Ecuațiile canonice ale unei linii drepte în spațiu sunt ecuații care definesc o dreaptă care trece printr-un punct dat în mod coliniar către un vector de direcție.

Fie dat un punct și un vector direcție. Un punct arbitrar se află pe o dreaptă l numai dacă vectorii și sunt coliniari, adică îndeplinesc condiția:

.

Ecuațiile de mai sus sunt ecuațiile canonice ale dreptei.

Numerele m , nși p sunt proiecții ale vectorului direcție pe axele de coordonate. Deoarece vectorul este diferit de zero, atunci toate numerele m , nși p nu poate fi zero în același timp. Dar unul sau două dintre ele pot fi zero. În geometria analitică, de exemplu, este permisă următoarea notație:

,

ceea ce înseamnă că proiecţiile vectorului pe axe Oiși Oz sunt egale cu zero. Prin urmare, atât vectorul cât și dreapta dată de ecuațiile canonice sunt perpendiculare pe axele Oiși Oz, adică avioane yOz .

Exemplul 1 Alcătuiți ecuații ale unei drepte în spațiu perpendicular pe un plan şi trecând prin punctul de intersecţie a acestui plan cu axa Oz .

Decizie. Aflați punctul de intersecție al planului dat cu axa Oz. Din moment ce orice punct al axei Oz, are coordonatele , atunci, presupunând în ecuația dată a planului x=y= 0, obținem 4 z- 8 = 0 sau z= 2 . Prin urmare, punctul de intersecție al planului dat cu axa Oz are coordonatele (0; 0; 2) . Deoarece linia dorită este perpendiculară pe plan, este paralelă cu vectorul său normal. Prin urmare, vectorul normal poate servi ca vector de direcție al dreptei avion dat.

Acum scriem ecuațiile dorite ale dreptei care trece prin punct A= (0; 0; 2) în direcția vectorului :

Ecuațiile unei drepte care trece prin două puncte date

O linie dreaptă poate fi definită prin două puncte aflate pe ea și În acest caz, vectorul de direcție al dreptei poate fi vectorul . Atunci ecuațiile canonice ale dreptei iau forma

.

Ecuațiile de mai sus definesc o linie dreaptă care trece prin două puncte date.

Exemplul 2 Scrieți ecuația unei drepte în spațiu care trece prin punctele și .

Decizie. Scriem ecuațiile dorite ale dreptei în forma dată mai sus în referința teoretică:

.

Deoarece , atunci linia dorită este perpendiculară pe axă Oi .

Drept ca o linie de intersecție a planelor

O linie dreaptă în spațiu poate fi definită ca o linie de intersecție a două plane neparalele și, adică, ca o mulțime de puncte care satisfac un sistem de două ecuații liniare

Ecuațiile sistemului sunt numite și ecuații generale ale unei linii drepte în spațiu.

Exemplul 3 Alcătuiți ecuații canonice ale unei drepte în spațiul dat de ecuații generale

Decizie. Pentru a scrie ecuațiile canonice ale unei linii drepte sau, ceea ce este același, ecuația unei linii drepte care trece prin două puncte date, trebuie să găsiți coordonatele oricăror două puncte de pe linia dreaptă. Ele pot fi punctele de intersecție ale unei linii drepte cu oricare două plane de coordonate, de exemplu yOzși xOz .

Punct de intersecție a unei drepte cu un plan yOz are o abscisă X= 0 . Prin urmare, presupunând în acest sistem de ecuații X= 0 , obținem un sistem cu două variabile:

Decizia ei y = 2 , z= 6 împreună cu X= 0 definește un punct A(0; 2; 6) din linia dorită. Presupunând atunci în sistemul dat de ecuații y= 0, obținem sistemul

Decizia ei X = -2 , z= 0 împreună cu y= 0 definește un punct B(-2; 0; 0) intersecția unei drepte cu un plan xOz .

Acum scriem ecuațiile unei drepte care trece prin puncte A(0; 2; 6) și B (-2; 0; 0) :

,

sau după împărțirea numitorilor la -2:

,

Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat într-o direcție dată. Ecuația unei drepte care trece prin două puncte date. Unghiul dintre două linii. Condiție de paralelism și perpendicularitate a două drepte. Determinarea punctului de intersecție a două drepte

1. Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat A(X 1 , y 1) într-o direcție dată, determinată de pantă k,

y - y 1 = k(X - X 1). (1)

Această ecuație definește un creion de linii care trec printr-un punct A(X 1 , y 1), care se numește centrul fasciculului.

2. Ecuația unei drepte care trece prin două puncte: A(X 1 , y 1) și B(X 2 , y 2) se scrie astfel:

Panta unei drepte care trece prin două puncte date este determinată de formula

3. Unghiul dintre liniile drepte Ași B este unghiul cu care trebuie rotită prima linie dreaptă Aîn jurul punctului de intersecție al acestor linii în sens invers acelor de ceasornic până când acesta coincide cu a doua linie B. Dacă două drepte sunt date prin ecuații de pante

y = k 1 X + B 1 ,

Să fie date două puncte M(X 1 ,La 1) și N(X 2,y 2). Să găsim ecuația dreptei care trece prin aceste puncte.

Deoarece această linie trece prin punct M, atunci conform formulei (1.13) ecuația sa are forma

La – Y 1 = K(X-x 1),

Unde K este panta necunoscută.

Valoarea acestui coeficient este determinată din condiția ca linia dreaptă dorită să treacă prin punct N, ceea ce înseamnă că coordonatele sale satisfac ecuația (1.13)

Y 2 – Y 1 = K(X 2 – X 1),

De aici puteți găsi panta acestei linii:

,

Sau după conversie

(1.14)

Formula (1.14) definește Ecuația unei drepte care trece prin două puncte M(X 1, Y 1) și N(X 2, Y 2).

În cazul particular când punctele M(A, 0), N(0, B), DAR ¹ 0, B¹ 0, se află pe axele de coordonate, ecuația (1.14) ia o formă mai simplă

Ecuația (1.15) numit Ecuația unei drepte în segmente, Aici DARși B desemnează segmente tăiate de o linie dreaptă pe axe (Figura 1.6).

Figura 1.6

Exemplul 1.10. Scrieți ecuația unei drepte care trece prin puncte M(1, 2) și B(3, –1).

. Conform (1.14), ecuația dreptei dorite are forma

2(Y – 2) = -3(X – 1).

Transferând toți termenii în partea stângă, obținem în sfârșit ecuația dorită

3X + 2Y – 7 = 0.

Exemplul 1.11. Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece printr-un punct M(2, 1) și punctul de intersecție al liniilor X+ Y- 1 = 0, X y+ 2 = 0.

. Găsim coordonatele punctului de intersecție al dreptelor rezolvând împreună aceste ecuații

Dacă adunăm aceste ecuații termen cu termen, obținem 2 X+ 1 = 0, de unde . Înlocuind valoarea găsită în orice ecuație, găsim valoarea ordonatei La:

Acum să scriem ecuația unei drepte care trece prin punctele (2, 1) și:

sau .

Prin urmare sau -5( Y – 1) = X – 2.

În final, obținem ecuația dreptei dorite în formă X + 5Y – 7 = 0.

Exemplul 1.12. Aflați ecuația unei drepte care trece prin puncte M(2.1) și N(2,3).

Folosind formula (1.14), obținem ecuația

Nu are sens pentru că al doilea numitor este zero. Din condiția problemei se poate observa că abscisele ambelor puncte au aceeași valoare. Prin urmare, linia necesară este paralelă cu axa OY iar ecuația sa este: X = 2.

cometariu . Dacă, la scrierea ecuației unei linii drepte conform formulei (1.14), unul dintre numitori se dovedește a fi egal cu zero, atunci ecuația dorită poate fi obținută prin echivalarea numărătorului corespunzător cu zero.

Să luăm în considerare și alte modalități de a stabili o linie dreaptă pe un plan.

1. Fie un vector diferit de zero perpendicular pe o dreaptă dată L, și punctul M 0(X 0, Y 0) se află pe această linie (Figura 1.7).

Figura 1.7

Denota M(X, Y) un punct arbitrar pe linie L. Vectori și ortogonală. Folosind condițiile de ortogonalitate pentru acești vectori, obținem sau DAR(X – X 0) + B(Y – Y 0) = 0.

Am obținut ecuația unei drepte care trece printr-un punct M 0 este perpendicular pe vectorul . Acest vector se numește Vector normal la o linie dreaptă L. Ecuația rezultată poate fi rescrisă ca

Oh + Wu + Cu= 0, unde Cu = –(DARX 0 + De 0), (1.16),

Unde DARși LA sunt coordonatele vectorului normal.

Obținem ecuația generală a unei drepte într-o formă parametrică.

2. O dreaptă pe un plan poate fi definită după cum urmează: fie un vector diferit de zero paralel cu o dreaptă dată Lși punct M 0(X 0, Y 0) se află pe această linie. Din nou, luați un punct arbitrar M(X, y) pe o linie dreaptă (Figura 1.8).

Figura 1.8

Vectori și coliniare.

Să notăm condiția de coliniaritate a acestor vectori: , unde T este un număr arbitrar, numit parametru. Să scriem această egalitate în coordonate:

Aceste ecuații se numesc Ecuații parametrice Drept. Să excludem din aceste ecuații parametrul T:

Aceste ecuații pot fi scrise sub forma

. (1.18)

Ecuația rezultată se numește Ecuația canonică a unei drepte. Apel vectorial Vector de direcție drept .

cometariu . Este ușor de observat că if este vectorul normal al liniei L, atunci vectorul său de direcție poate fi vectorul , deoarece , adică .

Exemplul 1.13. Scrieți ecuația unei drepte care trece printr-un punct M 0(1, 1) paralel cu linia 3 X + 2La– 8 = 0.

Decizie . Vectorul este vectorul normal pentru liniile date și dorite. Să folosim ecuația unei drepte care trece printr-un punct M 0 cu un vector normal dat 3( X –1) + 2(La– 1) = 0 sau 3 X + 2 ani- 5 \u003d 0. Am obținut ecuația dreptei dorite.

Acest articol continuă subiectul ecuației unei linii drepte pe un plan: luați în considerare un astfel de tip de ecuație ca ecuația generală a unei linii drepte. Să definim o teoremă și să dăm dovada acesteia; Să ne dăm seama ce este o ecuație generală incompletă a unei linii drepte și cum să facem tranziții de la o ecuație generală la alte tipuri de ecuații ale unei linii drepte. Vom consolida întreaga teorie cu ilustrații și rezolvarea problemelor practice.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Fie dat un sistem de coordonate dreptunghiular O x y pe plan.

Teorema 1

Orice ecuație de gradul întâi, având forma A x + B y + C \u003d 0, unde A, B, C sunt numere reale (A și B nu sunt egale cu zero în același timp) definește o linie dreaptă în un sistem de coordonate dreptunghiular pe un plan. La rândul său, orice linie dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular pe plan este determinată de o ecuație care are forma A x + B y + C = 0 pentru un anumit set de valori A, B, C.

Dovada

Această teoremă constă din două puncte, vom demonstra fiecare dintre ele.

1. Să demonstrăm că ecuația A x + B y + C = 0 definește o dreaptă pe plan.

Să existe un punct M 0 (x 0 , y 0) ale cărui coordonate corespund ecuației A x + B y + C = 0 . Astfel: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Scădeți din partea stângă și dreaptă ale ecuațiilor A x + B y + C \u003d 0 laturile stânga și dreaptă ale ecuației A x 0 + B y 0 + C \u003d 0, obținem o nouă ecuație care arată ca A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Este echivalent cu A x + B y + C = 0 .

Ecuația rezultată A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 este o condiție necesară și suficientă pentru perpendicularitatea vectorilor n → = (A, B) și M 0 M → = (x - x) 0, y - y 0). Astfel, mulțimea punctelor M (x, y) definește într-un sistem de coordonate dreptunghiular o dreaptă perpendiculară pe direcția vectorului n → = (A, B) . Putem presupune că nu este așa, dar atunci vectorii n → = (A, B) și M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) nu ar fi perpendiculari, iar egalitatea A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 nu ar fi adevărat.

Prin urmare, ecuația A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 definește o linie într-un sistem de coordonate dreptunghiular pe plan și, prin urmare, ecuația echivalentă A x + B y + C \u003d 0 definește aceeași linie. Astfel am demonstrat prima parte a teoremei.

1. Să demonstrăm că orice dreaptă dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular pe un plan poate fi dată printr-o ecuație de gradul I A x + B y + C = 0 .

Să stabilim o linie dreaptă a într-un sistem de coordonate dreptunghiular pe plan; punctul M 0 (x 0 , y 0) prin care trece această dreaptă, precum și vectorul normal al acestei drepte n → = (A , B) .

Să existe și un punct M (x , y) - un punct flotant al dreptei. În acest caz, vectorii n → = (A , B) și M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) sunt perpendiculari între ei, iar produsul lor scalar este zero:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Să rescriem ecuația A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 , definim C: C = - A x 0 - B y 0 și în final obținem ecuația A x + B y + C = 0 .

Deci, am demonstrat a doua parte a teoremei și am demonstrat întreaga teoremă ca întreg.

Definiția 1

O ecuație care arată ca A x + B y + C = 0 - Acest ecuația generală a unei drepte pe un plan într-un sistem de coordonate dreptunghiularO x y .

Pe baza teoremei demonstrate, putem concluziona că o dreaptă dată pe un plan într-un sistem de coordonate dreptunghiular fix și ecuația sa generală sunt indisolubil legate. Cu alte cuvinte, linia originală corespunde ecuației sale generale; ecuația generală a unei drepte corespunde unei drepte date.

De asemenea, din demonstrarea teoremei rezultă că coeficienții A și B pentru variabilele x și y sunt coordonatele vectorului normal al dreptei, care este dat de ecuația generală a dreptei A x + B y + C = 0 .

Luați în considerare un exemplu specific de ecuație generală a unei linii drepte.

Să fie dată ecuația 2 x + 3 y - 2 = 0, care corespunde unei linii drepte într-un sistem de coordonate dreptunghiular dat. Vectorul normal al acestei linii este vectorul n → = (2, 3) ​​. Desenați o linie dreaptă dată în desen.

Se mai poate argumenta și următoarele: linia dreaptă pe care o vedem în desen este determinată de ecuația generală 2 x + 3 y - 2 = 0, deoarece coordonatele tuturor punctelor unei drepte date corespund acestei ecuații.

Putem obține ecuația λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 înmulțind ambele părți ale ecuației generale drepte cu un număr diferit de zero λ. Ecuația rezultată este echivalentă cu ecuația generală inițială, prin urmare, va descrie aceeași dreaptă în plan.

Definiția 2

Ecuația generală completă a unei linii drepte- o astfel de ecuație generală a dreptei A x + B y + C \u003d 0, în care numerele A, B, C sunt diferite de zero. În caz contrar, ecuația este incomplet.

Să analizăm toate variațiile ecuației generale incomplete a dreptei.

1. Când A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0, ecuația generală devine B y + C \u003d 0. O astfel de ecuație generală incompletă definește o linie dreaptă într-un sistem de coordonate dreptunghiular O x y care este paralelă cu axa O x, deoarece pentru orice valoare reală a lui x, variabila y va lua valoarea - C B . Cu alte cuvinte, ecuația generală a liniei A x + B y + C \u003d 0, când A \u003d 0, B ≠ 0, definește locul punctelor (x, y) ale căror coordonate sunt egale cu același număr - C B .
2. Dacă A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0, ecuația generală devine y \u003d 0. O astfel de ecuație incompletă definește axa x O x .
3. Când A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0, obținem o ecuație generală incompletă A x + C \u003d 0, care definește o linie dreaptă paralelă cu axa y.
4. Fie A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0, atunci ecuația generală incompletă va lua forma x \u003d 0, iar aceasta este ecuația dreptei de coordonate O y.
5. În cele din urmă, când A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0, ecuația generală incompletă ia forma A x + B y \u003d 0. Și această ecuație descrie o linie dreaptă care trece prin origine. Într-adevăr, perechea de numere (0 , 0) corespunde egalității A x + B y = 0 , întrucât A · 0 + B · 0 = 0 .

Să ilustrăm grafic toate tipurile de mai sus ale ecuației generale incomplete a unei linii drepte.

Exemplul 1

Se știe că linia dreaptă dată este paralelă cu axa y și trece prin punctul 2 7 , - 11 . Este necesar să scrieți ecuația generală a unei linii drepte date.

Decizie

O linie dreaptă paralelă cu axa y este dată de o ecuație de forma A x + C \u003d 0, în care A ≠ 0. Condiția specifică și coordonatele punctului prin care trece linia, iar coordonatele acestui punct corespund condițiilor ecuației generale incomplete A x + C = 0 , adică. egalitatea este corectă:

A 2 7 + C = 0

Este posibil să se determine C din el dând lui A o valoare diferită de zero, de exemplu, A = 7 . În acest caz, obținem: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. Cunoaștem ambii coeficienți A și C, înlocuiți-i în ecuația A x + C = 0 și obținem ecuația necesară a dreptei: 7 x - 2 = 0

Răspuns: 7 x - 2 = 0

Exemplul 2

Desenul arată o linie dreaptă, este necesar să scrieți ecuația acesteia.

Decizie

Desenul dat ne permite să luăm cu ușurință datele inițiale pentru rezolvarea problemei. Vedem în desen că linia dată este paralelă cu axa O x și trece prin punctul (0 , 3) ​​​​.

Linia dreaptă, care este paralelă cu abscisa, este determinată de ecuația generală incompletă B y + С = 0. Aflați valorile lui B și C. Coordonatele punctului (0, 3), deoarece linia dreaptă dată trece prin el, vor satisface ecuația dreptei B y + С = 0, atunci egalitatea este valabilă: В · 3 + С = 0. Să setăm B la o altă valoare decât zero. Să spunem B \u003d 1, în acest caz, din egalitatea B · 3 + C \u003d 0 putem găsi C: C \u003d - 3. Folosind valorile cunoscute ale lui B și C, obținem ecuația necesară a dreptei: y - 3 = 0.

Răspuns: y - 3 = 0 .

Ecuația generală a unei drepte care trece printr-un punct dat al planului

Să treacă dreapta dată prin punctul M 0 (x 0, y 0), apoi coordonatele ei corespund ecuației generale a dreptei, adică. egalitatea este adevărată: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Scădeți părțile stânga și dreaptă ale acestei ecuații din laturile stânga și dreapta ale ecuației generale complete a dreptei. Obținem: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, această ecuație este echivalentă cu cea generală inițială, trece prin punctul M 0 (x 0, y 0) și are o vector normal n → \u003d (A, B) .

Rezultatul pe care l-am obținut face posibilă scrierea ecuației generale a unei drepte pentru coordonatele cunoscute ale vectorului normal al dreptei și coordonatele unui anumit punct al acestei drepte.

Exemplul 3

Dat un punct M 0 (- 3, 4) prin care trece dreapta și vectorul normal al acestei drepte n → = (1 , - 2) . Este necesar să scrieți ecuația unei linii drepte date.

Decizie

Condițiile inițiale ne permit să obținem datele necesare pentru compilarea ecuației: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. Apoi:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Problema ar fi putut fi rezolvată altfel. Ecuația generală a unei drepte are forma A x + B y + C = 0 . Vectorul normal dat vă permite să obțineți valorile coeficienților A și B, apoi:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Acum să găsim valoarea lui C, folosind punctul M 0 (- 3, 4) dat de condiția problemei, prin care trece linia. Coordonatele acestui punct corespund ecuației x - 2 · y + C = 0 , adică. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Prin urmare, C = 11. Ecuația necesară dreptei ia forma: x - 2 · y + 11 = 0 .

Răspuns: x - 2 y + 11 = 0 .

Exemplul 4

Având în vedere o dreaptă 2 3 x - y - 1 2 = 0 și un punct M 0 situat pe această dreaptă. Numai abscisa acestui punct este cunoscută și este egală cu - 3. Este necesar să se determine ordonata punctului dat.

Decizie

Să setăm desemnarea coordonatelor punctului M 0 ca x 0 și y 0 . Datele inițiale indică faptul că x 0 \u003d - 3. Deoarece punctul aparține unei linii date, atunci coordonatele sale corespund ecuației generale a acestei drepte. Atunci următoarea egalitate va fi adevărată:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Definiți y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Răspuns: - 5 2

Trecerea de la ecuația generală a unei linii drepte la alte tipuri de ecuații a unei linii drepte și invers

După cum știm, există mai multe tipuri de ecuații ale aceleiași drepte în plan. Alegerea tipului de ecuație depinde de condițiile problemei; se poate alege pe cea mai convenabila solutiei sale. Aici este foarte utilă abilitatea de a converti o ecuație de un fel într-o ecuație de alt fel.

Mai întâi, luați în considerare trecerea de la ecuația generală de forma A x + B y + C = 0 la ecuația canonică x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Dacă A ≠ 0, atunci transferăm termenul B y în partea dreaptă a ecuației generale. În partea stângă, scoatem A din paranteze. Ca rezultat, obținem: A x + C A = - B y .

Această egalitate poate fi scrisă ca proporție: x + C A - B = y A .

Dacă B ≠ 0, lăsăm doar termenul A x în partea stângă a ecuației generale, le transferăm pe celelalte în partea dreaptă, obținem: A x \u003d - B y - C. Scoatem - B din paranteze, apoi: A x \u003d - B y + C B.

Să rescriem egalitatea ca proporție: x - B = y + C B A .

Desigur, nu este nevoie să memorezi formulele rezultate. Este suficient să cunoaștem algoritmul acțiunilor în timpul trecerii de la ecuația generală la cea canonică.

Exemplul 5

Este dată ecuația generală a dreptei 3 y - 4 = 0. Trebuie convertit într-o ecuație canonică.

Decizie

Scriem ecuația originală ca 3 y - 4 = 0 . În continuare, acționăm conform algoritmului: termenul 0 x rămâne în partea stângă; iar pe partea dreaptă scoatem - 3 din paranteze; obținem: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Să scriem egalitatea rezultată ca proporție: x - 3 = y - 4 3 0 . Astfel, am obținut o ecuație a formei canonice.

Răspuns: x - 3 = y - 4 3 0.

Pentru a transforma ecuația generală a unei linii drepte în cele parametrice, se efectuează mai întâi trecerea la forma canonică, apoi trecerea de la ecuația canonică a dreptei la ecuațiile parametrice.

Exemplul 6

Linia dreaptă este dată de ecuația 2 x - 5 y - 1 = 0 . Notați ecuațiile parametrice ale acestei drepte.

Decizie

Să facem trecerea de la ecuația generală la cea canonică:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Acum să luăm ambele părți ale ecuației canonice rezultate egale cu λ, atunci:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Răspuns:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Ecuația generală poate fi convertită într-o ecuație în linie dreaptă cu o pantă y = k x + b, dar numai când B ≠ 0. Pentru trecerea pe partea stângă, lăsăm termenul B y , restul se transferă la dreapta. Se obține: B y = - A x - C . Să împărțim ambele părți ale egalității rezultate la B , care este diferit de zero: y = - A B x - C B .

Exemplul 7

Ecuația generală a unei drepte este dată: 2 x + 7 y = 0 . Trebuie să convertiți acea ecuație într-o ecuație a pantei.

Decizie

Să efectuăm acțiunile necesare conform algoritmului:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Răspuns: y = - 2 7 x .

Din ecuația generală a unei linii drepte, este suficient să obțineți pur și simplu o ecuație în segmente de forma x a + y b \u003d 1. Pentru a face o astfel de tranziție, transferăm numărul C în partea dreaptă a egalității, împărțim ambele părți ale egalității rezultate cu - С și, în final, transferăm coeficienții pentru variabilele x și y la numitori:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Exemplul 8

Este necesar să convertiți ecuația generală a dreptei x - 7 y + 1 2 = 0 în ecuația unei drepte în segmente.

Decizie

Să mutăm 1 2 în partea dreaptă: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Împărțiți la -1/2 ambele părți ale ecuației: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Răspuns: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

În general, trecerea inversă este și ea ușoară: de la alte tipuri de ecuații la cea generală.

Ecuația unei drepte în segmente și ecuația cu o pantă pot fi ușor convertite într-una generală prin simpla colectare a tuturor termenilor din partea stângă a ecuației:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Ecuația canonică este convertită în cea generală după următoarea schemă:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Pentru a trece de la parametric, se efectuează mai întâi trecerea la canonic, apoi la cea generală:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Exemplul 9

Sunt date ecuațiile parametrice ale dreptei x = - 1 + 2 · λ y = 4. Este necesar să scrieți ecuația generală a acestei linii.

Decizie

Să facem tranziția de la ecuațiile parametrice la cele canonice:

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Să trecem de la canonic la general:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Răspuns: y - 4 = 0

Exemplul 10

Este dată ecuația unei drepte în segmente x 3 + y 1 2 = 1. Este necesar să se efectueze tranziția la forma generală a ecuației.

Decizie:

Să rescriem ecuația în forma necesară:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Răspuns: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Întocmirea unei ecuații generale a unei linii drepte

Mai sus, am spus că ecuația generală poate fi scrisă cu coordonatele cunoscute ale vectorului normal și coordonatele punctului prin care trece dreapta. O astfel de dreaptă este definită de ecuația A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . În același loc am analizat exemplul corespunzător.

Acum să ne uităm la exemple mai complexe în care, mai întâi, este necesar să se determine coordonatele vectorului normal.

Exemplul 11

Dată o dreaptă paralelă cu dreapta 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . De asemenea, este cunoscut punctul M 0 (4 , 1) prin care trece linia dată. Este necesar să scrieți ecuația unei linii drepte date.

Decizie

Condițiile inițiale ne spun că dreptele sunt paralele, apoi, ca vector normal al dreptei a cărei ecuație trebuie scrisă, luăm vectorul de direcție al dreptei n → = (2, - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Acum cunoaștem toate datele necesare pentru a compune ecuația generală a unei linii drepte:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Răspuns: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Exemplul 12

Linia dată trece prin originea perpendiculară pe dreapta x - 2 3 = y + 4 5 . Este necesar să scrieți ecuația generală a unei linii drepte date.

Decizie

Vectorul normal al dreptei date va fi vectorul de direcție al dreptei x - 2 3 = y + 4 5 .

Atunci n → = (3 , 5) . Linia dreaptă trece prin origine, adică. prin punctul O (0, 0) . Să compunem ecuația generală a unei drepte date:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Răspuns: 3 x + 5 y = 0 .

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Lecție din seria „Algoritmi geometrici”

Bună dragă cititor!

Astăzi vom începe să învățăm algoritmi legați de geometrie. Cert este că există destul de multe probleme la olimpiade în informatică legate de geometria computațională, iar rezolvarea unor astfel de probleme provoacă adesea dificultăți.

În câteva lecții, vom lua în considerare o serie de subprobleme elementare pe care se bazează soluția majorității problemelor de geometrie computațională.

În această lecție, vom scrie un program pentru aflarea ecuatiei unei drepte trecând prin dat două puncte. Pentru a rezolva probleme geometrice, avem nevoie de anumite cunoștințe de geometrie computațională. Vom dedica o parte a lecției cunoașterii lor.

Informații din geometria computațională

Geometria computațională este o ramură a informaticii care studiază algoritmii pentru rezolvarea problemelor geometrice.

Datele inițiale pentru astfel de probleme pot fi un set de puncte pe plan, un set de segmente, un poligon (date, de exemplu, printr-o listă a vârfurilor sale în ordinea acelor de ceasornic), etc.

Rezultatul poate fi fie un răspuns la o întrebare (cum ar fi un punct aparține unui segment, două segmente se intersectează, ...), fie un obiect geometric (de exemplu, cel mai mic poligon convex care leagă punctele date, aria de un poligon etc.).

Vom lua în considerare probleme de geometrie computațională doar în plan și numai în sistemul de coordonate carteziene.

Vectori și coordonate

Pentru a aplica metodele geometriei computaționale, este necesară traducerea imaginilor geometrice în limbajul numerelor. Presupunem că pe plan este dat un sistem de coordonate carteziene, în care direcția de rotație în sens invers acelor de ceasornic se numește pozitivă.

Acum obiectele geometrice primesc o expresie analitică. Deci, pentru a stabili un punct, este suficient să specificați coordonatele acestuia: o pereche de numere (x; y). Un segment poate fi specificat prin specificarea coordonatele capetelor sale, o linie dreaptă poate fi specificată prin specificarea coordonatele unei perechi de puncte.

Dar principalul instrument pentru rezolvarea problemelor vor fi vectorii. Permiteți-mi să vă reamintesc, așadar, câteva informații despre ei.

Segment de linie AB, care are rost DAR considerat începutul (punctul de aplicare) și punctul LA- capătul se numește vector ABși notat fie prin , fie cu o literă minusculă aldine, de exemplu A .

Pentru a desemna lungimea unui vector (adică lungimea segmentului corespunzător), vom folosi simbolul modulului (de exemplu, ).

Un vector arbitrar va avea coordonatele egale cu diferența dintre coordonatele corespunzătoare ale sfârșitului și începutului său:

,

puncte aici Ași B au coordonate respectiv.

Pentru calcule vom folosi conceptul unghi orientat, adică un unghi care ține cont de poziția relativă a vectorilor.

Unghi orientat între vectori A și b pozitiv dacă rotația este departe de vector A la vector b se face în sens pozitiv (în sens invers acelor de ceasornic) și negativ în celălalt caz. Vezi fig.1a, fig.1b. Se mai spune că o pereche de vectori A și b orientat pozitiv (negativ).

Astfel, valoarea unghiului orientat depinde de ordinea de enumerare a vectorilor și poate lua valori în intervalul .

Multe probleme de geometrie computațională folosesc conceptul de produse vectoriale (înclinate sau pseudoscalare) ale vectorilor.

Produsul vectorial al vectorilor a și b este produsul dintre lungimile acestor vectori și sinusul unghiului dintre ei:

.

Produs vectorial al vectorilor în coordonate:

Expresia din dreapta este un determinant de ordinul doi:

Spre deosebire de definiția dată în geometria analitică, acesta este un scalar.

Semnul produsului încrucișat determină poziția vectorilor unul față de celălalt:

A și b orientat pozitiv.

Dacă valoarea este , atunci perechea de vectori A și b orientat negativ.

Produsul încrucișat al vectorilor nenuli este zero dacă și numai dacă sunt coliniari ( ). Aceasta înseamnă că se află pe aceeași linie sau pe linii paralele.

Să luăm în considerare câteva sarcini simple necesare pentru rezolvarea celor mai complexe.

Să definim ecuația unei linii drepte prin coordonatele a două puncte.

Ecuația unei drepte care trece prin două puncte diferite date de coordonatele lor.

Pe linie sunt date două puncte necoincidente: cu coordonatele (x1;y1) și cu coordonatele (x2; y2). În consecință, vectorul cu începutul în punct și sfârșitul în punct are coordonate (x2-x1, y2-y1). Dacă P(x, y) este un punct arbitrar pe dreapta noastră, atunci coordonatele vectorului sunt (x-x1, y - y1).

Cu ajutorul produsului încrucișat, condiția de coliniaritate a vectorilor și poate fi scrisă după cum urmează:

Acestea. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Rescriem ultima ecuație după cum urmează:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Deci, linia dreaptă poate fi dată de o ecuație de forma (1).

Sarcina 1. Sunt date coordonatele a două puncte. Găsiți reprezentarea sa sub forma ax + by + c = 0.

În această lecție, ne-am familiarizat cu câteva informații din geometria computațională. Am rezolvat problema găsirii ecuației dreptei după coordonatele a două puncte.

În lecția următoare, vom scrie un program pentru a găsi punctul de intersecție a două drepte date de ecuațiile noastre.