În această lecție, vom aminti toate metodele studiate anterior de factorizare a unui polinom și vom lua în considerare exemple de aplicare a acestora, în plus, vom studia o nouă metodă - metoda pătratului complet și vom învăța cum să o aplicăm în rezolvarea diferitelor probleme.
Subiect:Factorizarea polinoamelor
Lecţie:Factorizarea polinoamelor. Metoda de selecție a pătratului complet. Combinație de metode
Amintiți-vă principalele metode de factorizare a unui polinom care au fost studiate mai devreme:
Metoda de a scoate din paranteze un factor comun, adică un factor care este prezent în toți membrii polinomului. Luați în considerare un exemplu:
Amintiți-vă că un monom este un produs al puterilor și al numerelor. În exemplul nostru, ambii membri au câteva elemente comune, identice.
Deci, să scoatem factorul comun din paranteze:
;
Amintiți-vă că înmulțind multiplicatorul redat cu paranteză, puteți verifica corectitudinea redării.
metoda de grupare. Nu este întotdeauna posibil să scoateți un factor comun dintr-un polinom. În acest caz, trebuie să-i împărțiți membrii în grupuri, astfel încât în fiecare grup să puteți elimina un factor comun și să încercați să-l descompuneți astfel încât, după eliminarea factorilor din grupuri, să apară un factor comun pentru întreaga expresie, iar expansiunea ar putea fi continuată. Luați în considerare un exemplu:
Grupați primul termen cu al patrulea, al doilea cu al cincilea și, respectiv, al treilea cu al șaselea:
Să scoatem factorii comuni din grupuri:
Expresia are un factor comun. Hai să-l scoatem:
Aplicarea formulelor de înmulțire abreviate. Luați în considerare un exemplu:
;
Să scriem expresia în detaliu:
Evident, avem în față formula pătratului diferenței, deoarece există o sumă a pătratelor a două expresii și din aceasta se scade produsul dublu. Să trecem după formula:
Astăzi vom învăța un alt mod - metoda de selecție a pătratului complet. Se bazează pe formulele pătratului sumei și pătratului diferenței. Amintiți-le:
Formula pentru pătratul sumei (diferența);
Particularitatea acestor formule este că conțin pătrate a două expresii și produsul lor dublu. Luați în considerare un exemplu:
Să scriem expresia:
Deci prima expresie este , iar a doua .
Pentru a face o formulă pentru pătratul sumei sau al diferenței, produsul dublu al expresiilor nu este suficient. Trebuie adăugat și scăzut:
Să restrângem pătratul complet al sumei:
Să transformăm expresia rezultată:
Aplicăm formula diferenței de pătrate, amintim că diferența de pătrate a două expresii este produsul și sumele prin diferența lor:
Deci, această metodă constă, în primul rând, în faptul că este necesar să se identifice expresiile a și b care sunt la pătrat, adică să se determine care expresii sunt pătrate în acest exemplu. După aceea, trebuie să verificați prezența unui produs dublu și, dacă nu este acolo, adăugați și scădeți, acest lucru nu va schimba sensul exemplului, dar polinomul poate fi factorizat folosind formulele pentru pătrat. a sumei sau a diferenței și a diferenței de pătrate, dacă este posibil.
Să trecem la rezolvarea exemplelor.
Exemplul 1 - factorizați:
Găsiți expresii care sunt la pătrat:
Să scriem care ar trebui să fie produsul lor dublu:
Să adunăm și să scădem produsul dublu:
Să restrângem pătratul complet al sumei și să dăm altele similare:
Vom scrie după formula diferenței de pătrate:
Exemplul 2 - rezolvați ecuația:
;
Există un trinom în partea stângă a ecuației. Trebuie să-l factorizezi. Folosim formula pătratului diferenței:
Avem pătratul primei expresii și produsul dublu, lipsește pătratul celei de-a doua expresii, să adunăm și să scădem:
Să prăbușim pătratul complet și să dăm termeni similari:
Să aplicăm formula diferenței de pătrate:
Deci avem ecuația 
Știm că produsul este egal cu zero numai dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. Pe baza acestui lucru, vom scrie ecuații:
Să rezolvăm prima ecuație:
Să rezolvăm a doua ecuație:
Răspuns: sau
;
Acționăm în mod similar cu exemplul anterior - selectați pătratul diferenței.
Definiție
Expresii precum 2 x 2 + 3 x + 5 se numesc trinom pătrat. În cazul general, un trinom pătrat este o expresie de forma a x 2 + b x + c, unde a, b, c a, b, c sunt numere arbitrare și a ≠ 0.
Se consideră trinomul pătrat x 2 - 4 x + 5 . Să o scriem în această formă: x 2 - 2 2 x + 5. Să adăugăm 2 2 la această expresie și să scădem 2 2 , obținem: x 2 - 2 2 x + 2 2 - 2 2 + 5. Rețineți că x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2, deci x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 . Transformarea pe care am făcut-o se numește „selectarea unui pătrat complet dintr-un trinom pătrat”.
Selectați pătratul perfect din trinomul pătrat 9 x 2 + 3 x + 1 .
Rețineți că 9 x 2 = (3 x) 2 , `3x=2*1/2*3x`. Apoi `9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`. Adăugați și scădeți la expresia rezultată `(1/2)^2`, obținem
`((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.
Să arătăm cum se utilizează metoda de extragere a unui pătrat complet dintr-un trinom pătrat pentru a factoriza un trinom pătrat.
Factorizați trinomul pătrat 4 x 2 - 12 x + 5 .
Selectăm pătratul complet din trinomul pătratului: 2 x 2 - 2 2 x 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2 . Acum aplicăm formula a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) , obținem: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2 x - 1).
Factorizați trinomul pătrat - 9 x 2 + 12 x + 5 .
9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5 . Acum observați că 9 x 2 = 3 x 2 , - 12 x = - 2 3 x 2 .
Adăugăm termenul 2 2 la expresia 9 x 2 - 12 x, obținem:
3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 x - 2 2 .
Aplicam formula pentru diferenta de patrate, avem:
9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1) .
Factorizați trinomul pătrat 3 x 2 - 14 x - 5 .
Nu putem reprezenta expresia 3 x 2 ca pătratul unei expresii pentru că nu am învățat încă asta la școală. Veți trece prin asta mai târziu și deja în Sarcina nr. 4 vom studia rădăcinile pătrate. Să arătăm cum putem factoriza un trinom pătrat dat:
`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3) ^2-5/3)=`
`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^ 2-8/3)^2)=`
`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1) `.
Vom arăta cum se utilizează metoda pătratului complet pentru a găsi cele mai mari sau mai mici valori ale unui trinom pătrat.
Se consideră trinomul pătrat x 2 - x + 3 . Selectarea unui pătrat complet:
`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. Rețineți că atunci când `x=1/2` valoarea trinomului pătrat este `11/4`, iar când `x!=1/2` se adaugă un număr pozitiv la valoarea lui `11/4`, deci vom obțineți un număr mai mare decât `11/ 4`. Astfel, cea mai mică valoare a trinomului pătrat este `11/4` și se obține cu `x=1/2`.
Aflați cea mai mare valoare a trinomului pătrat - 16 2 + 8 x + 6 .
Selectăm pătratul complet din trinomul pătrat: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7 .
Cu `x=1/4` valoarea trinomului pătrat este 7 , iar cu `x!=1/4` din numărul 7 se scade un număr pozitiv, adică se obține un număr mai mic decât 7 . Astfel, numărul 7 este cea mai mare valoare a trinomului pătrat și se obține cu `x=1/4`.
Factorizați numărătorul și numitorul lui `(x^2+2x-15)/(x^2-6x+9)` și anulați fracția.
Rețineți că numitorul fracției x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2 . Descompunem numărătorul fracției în factori folosind metoda de extragere a pătratului complet din trinomul pătrat. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4 ) = (x + 5) (x - 3) .
Această fracție a fost redusă la forma `((x+5)(x-3))/(x-3)^2` după reducerea cu (x - 3) obținem `(x+5)/(x-3 )`.
Factorizați polinomul x 4 - 13 x 2 + 36.
Să aplicăm metoda pătratului întreg acestui polinom. `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^ 2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`
După cum am observat deja, în calculul integral nu există o formulă convenabilă pentru integrarea unei fracții. Și, prin urmare, există o tendință tristă: cu cât fracția este mai „fantezică”, cu atât este mai dificil să găsiți integrala din ea. În acest sens, trebuie să apelăm la diverse trucuri, pe care le voi discuta acum. Cititorii pregătiți pot utiliza imediat Cuprins:
- Metoda de subsumare sub semnul diferenţialului pentru fracţiile simple
Metoda de transformare artificială a numeratorului
Exemplul 1
Apropo, integrala considerată poate fi rezolvată și prin metoda modificării variabilei, notând , dar soluția va fi mult mai lungă.
Exemplul 2
Aflați integrala nedefinită. Efectuați o verificare.
Acesta este un exemplu de do-it-yourself. De menționat că aici metoda de înlocuire a variabilei nu va mai funcționa.
Atenție importantă! Exemplele nr. 1, 2 sunt tipice și sunt comune. În special, astfel de integrale apar adesea în cursul rezolvării altor integrale, în special, atunci când se integrează funcții iraționale (rădăcini).
Metoda de mai sus funcționează și în caz dacă puterea cea mai mare a numărătorului este mai mare decât puterea cea mai mare a numitorului.
Exemplul 3
Aflați integrala nedefinită. Efectuați o verificare.
Să începem cu numărătorul.
Algoritmul de selecție a numărătorului este cam așa:
1) La numărător trebuie să organizez , dar acolo . Ce sa fac? Închez între paranteze și înmulțesc cu: .
2) Acum încerc să deschid aceste paranteze, ce se întâmplă? . Hmm ... deja mai bine, dar nu există nici un doi cu inițial în numărător. Ce sa fac? Trebuie să înmulțiți cu:
3) Deschiderea din nou a consolelor: . Și iată primul succes! Necesar sa dovedit! Dar problema este că a apărut un termen în plus. Ce sa fac? Pentru ca expresia să nu se schimbe, trebuie să adaug același lucru la construcția mea: 
. Viața a devenit mai ușoară. Se poate organiza din nou la numărător?
4) Poți. Noi incercam: 
. Extindeți parantezele celui de-al doilea termen: 
. Îmi pare rău, dar am avut de fapt la pasul anterior și nu . Ce sa fac? Trebuie să înmulțim al doilea termen cu: 
5) Din nou, pentru verificare, deschid parantezele în al doilea termen: 
. Acum e normal: obținut din construcția finală a paragrafului 3! Dar din nou există un mic „dar”, a apărut un termen în plus, ceea ce înseamnă că trebuie să adaug la expresia mea: 
Dacă totul este făcut corect, atunci când deschidem toate parantezele, ar trebui să obținem numărătorul inițial al integrandului. Verificăm:
Bun.
Prin urmare: 
Gata. În ultimul termen, am aplicat metoda aducerii funcției sub diferenţial.
Dacă găsim derivata răspunsului și reducem expresia la un numitor comun, atunci obținem exact integrandul original. Metoda considerată de expansiune într-o sumă nu este altceva decât acțiunea inversă de a aduce expresia la un numitor comun.
Algoritmul de selecție a numărătorului din astfel de exemple este cel mai bine realizat pe o schiță. Cu unele abilități, va funcționa și mental. Îmi amintesc de un timp record când am făcut o selecție pentru puterea a 11-a, iar extinderea numărătorului a luat aproape două linii de Werd.
Exemplul 4
Aflați integrala nedefinită. Efectuați o verificare.
Acesta este un exemplu de do-it-yourself.
Metoda de subsumare sub semnul diferenţialului pentru fracţiile simple
Să trecem la următorul tip de fracții.
, , , (coeficienții și nu sunt egali cu zero).
De fapt, câteva cazuri cu arcsinus și arctangent au scăpat deja în lecție Metoda modificării variabilei în integrală nedefinită. Astfel de exemple se rezolvă prin aducerea funcției sub semnul diferențialei și apoi integrarea folosind tabelul. Iată câteva exemple mai tipice cu un logaritm lung și mare:
Exemplul 5
Exemplul 6
Aici este recomandabil să ridicați un tabel de integrale și să urmați ce formule și la fel de are loc transformarea. Notă, cum și de ce pătratele sunt evidențiate în aceste exemple. În special, în Exemplul 6, trebuie mai întâi să reprezentăm numitorul ca 
, apoi aduceti sub semnul diferentialului. Și trebuie să faceți toate acestea pentru a utiliza formula tabelară standard 
.
Dar la ce să te uiți, încearcă să rezolvi singur exemplele nr. 7,8, mai ales că sunt destul de scurte:
Exemplul 7
Exemplul 8
Aflați integrala nedefinită:
Dacă puteți verifica și aceste exemple, atunci marele respect sunt abilitățile dvs. de diferențiere la maxim.
Metoda de selecție a pătratului complet
Integrale ale formei, 
(coeficienții și nu sunt egali cu zero) se rezolvă metoda de selecție a pătratului complet, care a apărut deja în lecție Transformări ale diagramei geometrice.
De fapt, astfel de integrale se reduc la una dintre cele patru integrale de tabel pe care tocmai le-am luat în considerare. Și acest lucru se realizează folosind formulele de înmulțire abreviate familiare:
Formulele sunt aplicate în această direcție, adică ideea metodei este de a organiza artificial expresii la numitor sau , și apoi de a le converti, respectiv, în sau .
Exemplul 9
Aflați integrala nedefinită
Acesta este cel mai simplu exemplu în care cu termenul - coeficient unitar(și nu vreun număr sau minus).
Ne uităm la numitor, aici totul se reduce clar la caz. Să începem conversia numitorului:
Evident, trebuie să adăugați 4. Și pentru ca expresia să nu se schimbe - aceleași patru și scădeți:
Acum puteți aplica formula:
După terminarea conversiei MEREU este de dorit să efectuați o mișcare inversă: totul este bine, nu există erori.
Designul curat al exemplului în cauză ar trebui să arate cam așa: 
Gata. Aducerea unei funcții complexe „libere” sub semnul diferențial: , în principiu, ar putea fi neglijată
Exemplul 10
Aflați integrala nedefinită:
Acesta este un exemplu de auto-rezolvare, răspunsul este la sfârșitul lecției.
Exemplul 11
Aflați integrala nedefinită:
Ce să faci când există un minus în față? În acest caz, trebuie să scoateți minusul din paranteze și să aranjați termenii în ordinea de care avem nevoie:. Constant(„dublu” în acest caz) Nu atingeți!
Acum adăugăm unul între paranteze. Analizând expresia, ajungem la concluzia că avem nevoie de una în spatele parantezei - adăugați:
Iată formula, aplică:
MEREU efectuăm o verificare a draftului:
, care urma să fie verificat.
Designul curat al exemplului arată cam așa: 
Ne complicăm sarcina
Exemplul 12
Aflați integrala nedefinită: 
Aici, cu termenul, nu mai este un singur coeficient, ci un „cinci”.
(1) Dacă se găsește o constantă la, atunci o scoatem imediat din paranteze.
(2) În general, este întotdeauna mai bine să scoateți această constantă din integrală, astfel încât să nu stea în cale.
(3) Este evident că totul se va reduce la formula . Este necesar să înțelegeți termenul, și anume, să obțineți un „doi”
(4) Da, . Deci, adăugăm la expresie și scădem aceeași fracție.
(5) Acum selectați un pătrat complet. În cazul general, este și necesar să se calculeze , dar aici avem o formulă de logaritm lung 
, iar acțiunea nu are sens să se efectueze, de ce - va deveni clar puțin mai jos.
(6) De fapt, putem aplica formula 
, doar în loc de „x” avem, ceea ce nu anulează validitatea integralei tabelare. Strict vorbind, lipsește un pas - înainte de integrare, funcția ar fi trebuit să fie adusă sub semnul diferențial: 
, dar, după cum am observat în repetate rânduri, acest lucru este adesea neglijat.
(7) În răspunsul de sub rădăcină, este de dorit să deschideți toate parantezele înapoi:
Complicat? Acesta nu este cel mai dificil în calculul integral. Deși, exemplele luate în considerare nu sunt atât de complicate, cât necesită o tehnică bună de calcul.
Exemplul 13
Aflați integrala nedefinită:
Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Răspuns la sfârșitul lecției.
Există integrale cu rădăcini în numitor, care, cu ajutorul unei înlocuiri, sunt reduse la integrale de tipul considerat, puteți citi despre ele în articol Integrale complexe, dar este conceput pentru studenți foarte pregătiți.
Aducerea numărătorului sub semnul diferenţialului
Aceasta este partea finală a lecției, cu toate acestea, integralele de acest tip sunt destul de comune! Dacă oboseala s-a acumulat, poate că e mai bine să citești mâine? ;)
Integralele pe care le vom considera sunt asemănătoare integralelor din paragraful precedent, au forma: or 
(coeficienții și nu sunt egali cu zero).
Adică avem o funcție liniară în numărător. Cum se rezolvă astfel de integrale?
Calculator online.
Selectarea pătratului binomului și factorizarea trinomului pătrat.
Acest program de matematică extrage pătratul binomului din trinomul pătrat, adică face o transformare de forma: \(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q \) și factorizează trinomul pătrat: \(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) \)
Acestea. problemele se reduc la găsirea numerelor \(p, q \) și \(n, m \)
Programul nu numai că oferă răspunsul la problemă, dar afișează și procesul de rezolvare.
Acest program poate fi util elevilor de liceu în pregătirea pentru teste și examene, la testarea cunoștințelor înainte de Examenul Unificat de Stat, pentru ca părinții să controleze rezolvarea multor probleme de matematică și algebră. Sau poate este prea scump pentru tine să angajezi un tutor sau să cumperi noi manuale? Sau vrei doar să-ți faci temele de matematică sau algebră cât mai repede posibil? În acest caz, puteți folosi și programele noastre cu o soluție detaliată.
În acest fel, vă puteți conduce propria pregătire și/sau formarea fraților sau surorilor mai mici, în timp ce nivelul de educație în domeniul sarcinilor de rezolvat este crescut.
Dacă nu sunteți familiarizat cu regulile de introducere a unui trinom pătrat, vă recomandăm să vă familiarizați cu ele.
Reguli pentru introducerea unui polinom pătrat
Orice literă latină poate acționa ca o variabilă.
De exemplu: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) etc.
Numerele pot fi introduse ca numere întregi sau fracții.
În plus, numerele fracționale pot fi introduse nu numai sub forma unei zecimale, ci și sub forma unei fracții obișnuite.
Reguli pentru introducerea fracțiilor zecimale.
În fracțiile zecimale, partea fracțională din întreg poate fi separată fie prin punct, fie prin virgulă.
De exemplu, puteți introduce zecimale astfel: 2,5x - 3,5x^2
Reguli pentru introducerea fracțiilor obișnuite.
Doar un număr întreg poate acționa ca numărător, numitor și parte întreagă a unei fracții.
Numitorul nu poate fi negativ.
Când introduceți o fracție numerică, numărătorul este separat de numitor printr-un semn de împărțire: /
Partea întreagă este separată de fracție printr-un ampersand: &
Intrare: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Rezultat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2 \)
La introducerea unei expresii puteți folosi paranteze. În acest caz, la rezolvare, expresia introdusă este mai întâi simplificată.
De exemplu: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)
Exemplu detaliat de soluție
Selectarea pătratului binomului.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Răspuns:$$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Factorizarea.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\left(x^2+x-2 \right) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) ) \right) = $$ $$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$ Răspuns:$$2x^2+2x-4 = 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$
S-a constatat că unele scripturi necesare pentru a rezolva această sarcină nu s-au încărcat și este posibil ca programul să nu funcționeze.
Este posibil să aveți AdBlock activat.
În acest caz, dezactivați-l și reîmprospătați pagina.
JavaScript trebuie să fie activat pentru ca soluția să apară.
Iată instrucțiuni despre cum să activați JavaScript în browser.
pentru că Sunt o mulțime de oameni care doresc să rezolve problema, cererea ta este pusă în coadă.
După câteva secunde, soluția va apărea mai jos.
Asteapta te rog sec...
daca tu am observat o eroare în soluție, apoi puteți scrie despre asta în Formularul de feedback .
Nu uita indicați ce sarcină tu decizi ce intra in campuri.
Jocurile, puzzle-urile, emulatorii noștri:
Un pic de teorie.
Extragerea unui binom pătrat dintr-un trinom pătrat
Dacă trinomul pătrat ax 2 + bx + c este reprezentat ca a (x + p) 2 + q, unde p și q sunt numere reale, atunci se spune că din trinom pătrat se evidențiază pătratul binomului.
Să extragem pătratul binomului din trinomul 2x 2 +12x+14.
\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)
Pentru a face acest lucru, reprezentăm 6x ca produs de 2 * 3 * x, apoi adunăm și scădem 3 2 . Primim:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$
Acea. noi selectat pătratul binomului din trinomul pătrat, și a arătat că:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$
Factorizarea unui trinom pătrat
Dacă trinomul pătrat ax 2 +bx+c este reprezentat ca a(x+n)(x+m), unde n și m sunt numere reale, atunci se spune că operația este efectuată factorizări ale unui trinom pătrat.
Să folosim un exemplu pentru a arăta cum se face această transformare.
Să factorizăm trinomul pătrat 2x 2 +4x-6.
Să scoatem coeficientul a din paranteze, adică. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)
Să transformăm expresia dintre paranteze.
Pentru a face acest lucru, reprezentăm 2x ca diferență 3x-1x și -3 ca -1*3. Primim:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$
Acea. noi factorizați trinomul pătrat, și a arătat că:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$
Rețineți că factorizarea unui trinom pătrat este posibilă numai atunci când ecuația pătratică corespunzătoare acestui trinom are rădăcini.
Acestea. în cazul nostru, factorizarea trinomului 2x 2 +4x-6 este posibilă dacă ecuația pătratică 2x 2 +4x-6 =0 are rădăcini. În procesul de factoring, am constatat că ecuația 2x 2 +4x-6 =0 are două rădăcini 1 și -3, deoarece cu aceste valori, ecuația 2(x-1)(x+3)=0 se transformă într-o egalitate adevărată.
x nume-
1.2.3. Utilizarea identităților de multiplicare prescurtate
Exemplu. Factorul x 4 16.
x 4 16x 2 2 42 x 2 4x 2 4x 2x 2x 2 4 .
1.2.4. Factorizarea unui polinom folosind rădăcinile acestuia
Teorema. Fie polinomul P x să aibă rădăcină x 1 . Atunci acest polinom poate fi factorizat după cum urmează: P x x x 1 S x , unde S x este un polinom al cărui grad este cu unu mai mic decât
valorile alternativ în expresia pentru P x. Obținem că pentru x 2 tu-
expresia se va transforma la 0, adică P 2 0, ceea ce înseamnă că x 2 este rădăcina multi-
membru. Împărțiți polinomul P x la x 2 .
X 3 3x 2 10x 24 | ||
x 32 x 2 | 24 10 x | x2 x12 |
12x2412x24
P x x 2 x2 x12 x2 x2 3 x4 x12 x2 x x3 4 x3
x 2 x3 x4
1.3. Selecție completă de pătrat
Metoda de selecție a pătratului complet se bazează pe formulele: a 2 2ab b 2 a b 2 ,a 2 2ab b 2 a b 2 .
Selectarea pătratului complet este o astfel de transformare identică în care trinomul dat este reprezentat ca a b 2 suma sau diferența pătratului binomului și o expresie numerică sau literală.
Un trinom pătrat în raport cu o variabilă este o expresie a formei
ax 2 bx c , unde a ,b și c sunt date numere și a 0 . | |||||||||||||
Transformăm trinomul pătrat ax 2 bx c după cum urmează. | x2 : |
||||||||||||
coeficient | |||||||||||||
Apoi reprezentăm expresia b x ca 2b x (produs dublu
x):a x | ||||||||||||||||
La expresia dintre paranteze, adăugați și scădeți din ea numărul
care este pătratul unui număr | Ca rezultat, obținem: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Acum observând asta | obține | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4a 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Exemplu. Selectați un pătrat complet. | 2 x 12 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2x2 4x5 2x2 2x5 | 2x2 2x1 15 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 x 12 7.
4 la 2,
1.4. Polinoame în mai multe variabile
Polinoamele din mai multe variabile, precum polinoamele dintr-o variabilă, pot fi adăugate, înmulțite și ridicate la o putere naturală.
O transformare importantă de identitate a unui polinom în mai multe variabile este factorizarea. Aici, astfel de tehnici de factorizare sunt folosite ca scoaterea factorului comun din paranteze, gruparea, folosind identități de multiplicare abreviate, evidențierea pătratului complet, introducerea variabilelor auxiliare.
1. Factorizează polinomul P x ,y 2x 5 128x 2 y 3 .
2 x 5128 x 2y 32 x 2x 364 y 32 x 2x 4 y x 24 xy 16 y 2.
2. Factorizați P x ,y ,z 20x 2 3yz 15xy 4xz . Aplicați metoda de grupare
20 x2 3 yz15 xy4 xz20 x2 15 xy4 xz3 yz5 x4 x3 y z4 x3 y
4x3 y5xz.
3. Factorizați P x ,y x 4 4y 4 . Să selectăm un pătrat complet:
x 4y 4x 44 x 2y 24 y 24 x 2y 2x 22 y 2 2 4 x 2y 2
x2 2 y2 2 xy x2 2 y2 2 xy.
1.5. Proprietăți de grad cu orice exponent rațional
Un grad cu orice exponent rațional are următoarele proprietăți:
1. a r 1a r 2a r 1r 2,
a r 1a r 2a r 1r 2, |
||||||
3. a r 1r 2 a r 1r 2, |
||||||
4. abr 1 ar 1 br 1, |
||||||
a r 1 | ar 1 |
|||||
br 1 |
||||||
unde a 0;b 0;r 1 ;r 2 sunt numere raționale arbitrare.
1. Înmulțiți 8 | x3 12x7. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
24x23. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8 x 3 12 x 7 x 8 x 12 x 8 12 x 24 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. Factorizați | a2x3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.6. Exerciții pentru auto-împlinire
1. Efectuați acțiuni folosind formule de înmulțire prescurtate. unu) a 52 ;
2) 3 a 72;
3) a nb n2 .
4) 1 x 3;
3 y 3 ; | |||||
7) 8a 2 8a 2;
8) a nb ka kb na nb ka kb n.
9) a 2 b a2 2 ab4 b2 ;
10) a 3a 2 3a 9 ;
11) a 2b 2a 4a 2b 2b 4. 3
2. Calculați folosind identitățile de multiplicare abreviate:
1) 53 2 432 ;
2) 22,4 2 22,32 ;
4) 30 2 2 ;
5) 51 2 ;
6) 99 2 ;
7) 17 2 2 17 23 232 ;
8) 85 2 2 85 15 152 .
3. Demonstrați identitățile:
unu). x 2 13 3x 2 x 12 6x x 1 11x 3 32 2;
2) a 2b 2 2 2 ab 2 a 2b 2 2 ;
3) a 2 b2 x2 y2 ax by2 bx ay2 .
4. Factorizați următoarele polinoame:
1) 3 x a2 a2;
2) ac 7 bc3 a21 b;
3) 63 m 4n 327 m 3n 445 m 5n 7;
4) 5 b2 c3 2 bc2 k2 k2 ;
5) 2 x3 y2 3 yz2 2 x2 yz3 z3 ;
6) 24ax38bx12a19b;
7) 25 a 21 b 2q 2;
8) 9 5 a 4b 2 64a 2 ;
9) 121 n 2 3n 2t 2 ;
10) 4 t 2 20tn 25n 2 36;
11) p 4 6 p2 k9 k2 ;
12) 16 p 3 q 8 72p 4 q 7 81p 5 q 6 ;
13) 6x3 36x 2 72x 48;
14) 15ax 3 45ax 2 45ax 15a;
15) 9 a 3 n 1 4,5a 2 n 1;
16) 5 p 2 n q n 15p 5 n q 2 n ;
17) 4 a 7b 232 a 4b 5;
18) 7 x 24 y 2 2 3 x 28 y 2 2;
19) 1000 t 3 27t 6 .
5. Calculați în cel mai simplu mod:
1) 59 3 413 ;
2) 67 3 523 67 52. 119
6. Aflați câtul și restul împărțirii unui polinom P x prin polinomul Q x : 1)P x 2x 4 x 3 5;Q x x 3 9x ;
2) P x 2 x 2; Q x x3 2 x2 x; 3) P x x6 1; Qxx4 4x2 .
7. Demonstrați că polinomul x 2 2x 2 nu are rădăcini reale.
8. Aflați rădăcinile unui polinom:
1) x 3 4 x;
2) x 3 3x 2 5x 15.
9. Factorizați:
1) 6 a 2 a 5 5a 3;
2) x 2 x 3 2x 32 4x 3 3x 2 ;
3) x 3 6x 2 11x 6.
10. Rezolvați ecuații selectând un pătrat întreg:
1) x 2 2x 3 0;
2) x 2 13x 30 0 .
11. Găsiți valorile expresiei:
4 3 85 | ||||
16 6 | ||||
2 520 9 519 | ||||
1254
3) 5 3 25 7 ;
4) 0,01 2 ;
5) 06 .
12. Calculați:
16 0,25 | 16 0,25 | |||||||||||||||||||||||
 
| ||||||||||||||||||||||||