Programul de rezolvare a inegalităților liniare, pătratice și fracționale nu oferă doar răspunsul problemei, ci oferă o soluție detaliată cu explicații, i.e. afiseaza procesul de rezolvare in vederea verificarii cunostintelor de matematica si/sau algebra.
Mai mult, dacă în procesul de rezolvare a uneia dintre inegalități este necesar să se rezolve, de exemplu, o ecuație pătratică, atunci este afișată și soluția sa detaliată (este inclusă în spoiler).
Acest program poate fi util elevilor de liceu în pregătirea testelor, părinților pentru a controla soluționarea inegalităților de către copiii lor.
Acest program poate fi util elevilor de liceu în pregătirea pentru teste și examene, la testarea cunoștințelor înainte de Examenul Unificat de Stat, pentru ca părinții să controleze rezolvarea multor probleme de matematică și algebră. Sau poate este prea scump pentru tine să angajezi un tutor sau să cumperi noi manuale? Sau vrei doar să-ți faci temele de matematică sau algebră cât mai repede posibil? În acest caz, puteți folosi și programele noastre cu o soluție detaliată.
În acest fel, vă puteți conduce propria pregătire și/sau formarea fraților sau surorilor mai mici, în timp ce nivelul de educație în domeniul sarcinilor de rezolvat este crescut.
Reguli pentru introducerea inegalităților
Orice literă latină poate acționa ca o variabilă.
De exemplu: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) etc.
Numerele pot fi introduse ca numere întregi sau fracții.
În plus, numerele fracționale pot fi introduse nu numai sub forma unei zecimale, ci și sub forma unei fracții obișnuite.
Reguli pentru introducerea fracțiilor zecimale.
În fracțiile zecimale, partea fracțională din întreg poate fi separată fie prin punct, fie prin virgulă.
De exemplu, puteți introduce zecimale astfel: 2,5x - 3,5x^2
Reguli pentru introducerea fracțiilor obișnuite.
Doar un număr întreg poate acționa ca numărător, numitor și parte întreagă a unei fracții.
Numitorul nu poate fi negativ.
Când introduceți o fracție numerică, numărătorul este separat de numitor printr-un semn de împărțire: /
Partea întreagă este separată de fracție printr-un ampersand: &
Intrare: 3&1/3 - 5&6/5y +1/7y^2
Rezultat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) y + \frac(1)(7)y^2 \)
Parantezele pot fi folosite la introducerea expresiilor. În acest caz, la rezolvarea inegalității, expresiile sunt mai întâi simplificate.
De exemplu: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0,6(a-2)(a+3)
Alegeți semnul de inegalitate dorit și introduceți polinoamele în câmpurile de mai jos.
Rezolvați sistemul de inegalități S-a constatat că unele scripturi necesare pentru a rezolva această sarcină nu au fost încărcate și este posibil ca programul să nu funcționeze.
Este posibil să aveți AdBlock activat.
În acest caz, dezactivați-l și reîmprospătați pagina.
JavaScript trebuie să fie activat pentru ca soluția să apară.
Iată instrucțiuni despre cum să activați JavaScript în browser.
pentru că Sunt o mulțime de oameni care doresc să rezolve problema, cererea ta este pusă în coadă.
După câteva secunde, soluția va apărea mai jos.
Asteapta te rog sec...
daca tu am observat o eroare în soluție, apoi puteți scrie despre asta în Formularul de feedback .
Nu uita indicați ce sarcină tu decizi ce intra in campuri.
Jocurile, puzzle-urile, emulatorii noștri:
Un pic de teorie.
Sisteme de inegalități cu o necunoscută. Întinderi numerice
Te-ai familiarizat cu conceptul de sistem în clasa a VII-a și ai învățat cum să rezolvi sisteme de ecuații liniare cu două necunoscute. În continuare, vor fi luate în considerare sistemele de inegalități liniare cu o necunoscută. Seturile de soluții ale sistemelor de inegalități pot fi scrise folosind intervale (intervale, semiintervale, segmente, raze). Veți învăța și despre notarea intervalelor numerice.
Dacă în inegalitățile \(4x > 2000 \) și \(5x \leq 4000 \) numărul necunoscut x este același, atunci aceste inegalități sunt considerate împreună și se spune că formează un sistem de inegalități: $$ \left\ (\begin( array)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(array)\right.$$
Acolada arată că trebuie să găsiți astfel de valori ale lui x pentru care ambele inegalități ale sistemului se transformă în inegalități numerice adevărate. Acest sistem este un exemplu de sistem de inegalități liniare cu o necunoscută.
Soluția unui sistem de inegalități cu o necunoscută este valoarea necunoscutului la care toate inegalitățile sistemului se transformă în inegalități numerice adevărate. A rezolva un sistem de inegalități înseamnă a găsi toate soluțiile acestui sistem sau a stabili că nu există.
Inegalitățile \(x \geq -2 \) și \(x \leq 3 \) pot fi scrise ca o dublă inegalitate: \(-2 \leq x \leq 3 \).
Soluțiile sistemelor de inegalități cu o necunoscută sunt mulțimi numerice diferite. Aceste seturi au nume. Deci, pe axa reală, mulțimea numerelor x astfel încât \(-2 \leq x \leq 3 \) este reprezentată de un segment cu capete în punctele -2 și 3.
| -2 | 3 |
Dacă \(a este un segment și este notat cu [a; b]
Dacă \(un interval și notat cu (a; b)
Mulțimi de numere \(x \) care satisfac inegalitățile \(a \leq x prin semiintervale și sunt notate cu [a; b) și respectiv (a; b]
Se numesc segmente, intervale, semiintervale și raze intervale numerice.
Astfel, intervalele numerice pot fi specificate sub formă de inegalități.
O soluție a unei inegalități cu două necunoscute este o pereche de numere (x; y) care transformă această inegalitate într-o inegalitate numerică adevărată. A rezolva o inegalitate înseamnă a găsi mulțimea tuturor soluțiilor ei. Deci, soluțiile inegalității x > y vor fi, de exemplu, perechi de numere (5; 3), (-1; -1), deoarece \(5 \geq 3 \) și \(-1 \geq - 1\)
Rezolvarea sistemelor de inegalități
Ați învățat deja cum să rezolvați inegalitățile liniare cu o necunoscută. Aflați ce sunt un sistem de inegalități și o soluție a sistemului. Prin urmare, procesul de rezolvare a sistemelor de inegalități cu o necunoscută nu vă va provoca dificultăți.
Și totuși ne amintim: pentru a rezolva un sistem de inegalități, trebuie să rezolvați fiecare inegalitate separat și apoi să găsiți intersecția acestor soluții.
De exemplu, sistemul original de inegalități a fost redus la forma:
$$ \left\(\begin(array)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(array)\right. $$
Pentru a rezolva acest sistem de inegalități, marcați soluția fiecărei inegalități pe axa reală și găsiți intersecția lor:
| -2 | 3 |
Intersecția este segmentul [-2; 3] - aceasta este soluția sistemului original de inegalități.
Continuăm să aprofundăm subiectul „rezolvarea inegalităților cu o singură variabilă”. Suntem deja familiarizați cu inegalitățile liniare și inegalitățile pătratice. Sunt cazuri speciale. inegalități raționale pe care o vom studia acum. Să începem prin a afla ce fel de inegalități se numesc raționale. În continuare, ne vom ocupa de subdiviziunea lor în inegalități raționale întregi și raționale fracționale. Și după aceea vom studia modul în care se realizează soluția inegalităților raționale cu o variabilă, vom nota algoritmii corespunzători și vom lua în considerare soluțiile exemplelor tipice cu explicații detaliate.
Navigare în pagină.
Ce sunt inegalitățile raționale?
La școală, la lecțiile de algebră, de îndată ce apare conversația despre rezolvarea inegalităților, se produce imediat întâlnirea cu inegalitățile raționale. Cu toate acestea, la început nu sunt numiți cu numele lor propriu, deoarece în această etapă tipurile de inegalități sunt de puțin interes, iar scopul principal este de a obține abilități inițiale în lucrul cu inegalitățile. Termenul „inegalitate rațională” în sine este introdus mai târziu în clasa a IX-a, când începe un studiu detaliat al inegalităților de acest tip particular.
Să aflăm ce sunt inegalitățile raționale. Iată definiția:
În definiția vocală, nu se spune nimic despre numărul de variabile, ceea ce înseamnă că este permis orice număr dintre ele. În funcție de aceasta, se disting inegalitățile raționale cu unu, doi etc. variabile. Apropo, manualul oferă o definiție similară, dar pentru inegalitățile raționale cu o variabilă. Acest lucru este de înțeles, deoarece școala se concentrează pe rezolvarea inegalităților cu o variabilă (mai jos, vom vorbi și despre rezolvarea inegalităților raționale cu o singură variabilă). Inegalități cu două variabile puțin se ia în considerare, iar inegalitățile cu trei sau mai multe variabile nu sunt, practic, luate în considerare deloc.
Deci, o inegalitate rațională poate fi recunoscută după notația sa, pentru aceasta este suficient să ne uităm la expresiile din stânga și din dreapta și să vă asigurați că sunt expresii raționale. Aceste considerații ne permit să dăm exemple de inegalități raționale. De exemplu x>4 , x 3 +2 y≤5 (y−1) (x 2 +1), sunt inegalități raționale. Și inegalitatea 
nu este rațional, deoarece partea stângă conține o variabilă sub semnul rădăcinii și, prin urmare, nu este o expresie rațională. De asemenea, inegalitatea nu este rațională, deoarece ambele părți ale sale nu sunt expresii raționale.
Pentru comoditatea unei descrieri suplimentare, introducem subdiviziunea inegalităților raționale în numere întregi și fracționale.
Definiție.
Se va numi inegalitatea rațională întreg, dacă ambele părți ale sale sunt expresii raționale întregi.
Definiție.
Inegalitatea fracțională rațională este o inegalitate rațională, din care cel puțin o parte este o expresie fracțională.
Deci 0,5 x≤3 (2−5 y) , 
sunt inegalități întregi și 1:x+3>0 și 
- fracționat rațional.
Acum avem o înțelegere clară a ceea ce sunt inegalitățile raționale și putem începe în siguranță să ne ocupăm de principiile rezolvării inegalităților raționale întregi și fracționale cu o variabilă.
Rezolvarea inegalităților întregi
Să ne punem sarcina: trebuie să rezolvăm o inegalitate rațională întreagă cu o variabilă x de forma r(x)
Mutăm expresia din partea dreaptă la stânga, ceea ce ne va conduce la o inegalitate echivalentă de forma r(x) − s(x)<0 (≤, >, ≥) cu zero în dreapta. Evident, expresia r(x)−s(x) , formată pe partea stângă, este de asemenea un număr întreg și se știe că orice . După ce am transformat expresia r(x)−s(x) în polinomul identic egal h(x) (aici observăm că expresiile r(x)−s(x) și h(x) au aceeași variabilă x ), trecem la inegalitatea echivalenta h(x)<0 (≤, >, ≥).
În cele mai simple cazuri, transformările efectuate vor fi suficiente pentru a obține soluția dorită, deoarece ne vor conduce de la inegalitatea rațională întregă inițială la o inegalitate pe care o putem rezolva, de exemplu, la una liniară sau pătrată. Luați în considerare exemple.
Exemplu.
Găsiți o soluție a întregii inegalități raționale x·(x+3)+2·x≤(x+1) 2 +1 .
Decizie.
Mai întâi, mutăm expresia din partea dreaptă la stânga: x (x+3)+2 x−(x+1) 2 −1≤0. După ce am făcut totul din partea stângă, ajungem la inegalitatea liniară 3·x−2≤0 , care este echivalentă cu inegalitatea întregului original. Soluția lui nu este dificilă:
3 x≤2,
x≤2/3.
Răspuns:
x≤2/3.
Exemplu.
Rezolvați inegalitatea (x 2 +1) 2 −3 x 2 >(x 2 − x) (x 2 + x).
Decizie.
Începem ca de obicei prin mutarea expresiei din partea dreaptă, apoi efectuăm transformări în partea stângă folosind:
(x 2 +1) 2 −3 x 2 −(x 2 − x) (x 2 + x)>0,
x 4 +2 x 2 +1−3 x 2 −x 4 +x 2 >0,
1>0
.
Deci, efectuând transformări echivalente, am ajuns la inegalitatea 1>0 , ceea ce este adevărat pentru orice valoare a variabilei x . Și aceasta înseamnă că soluția inegalității întregi originale este orice număr real.
Răspuns:
x - orice.
Exemplu.
Rezolvați inegalitatea x+6+2 x 3 −2 x (x 2 +x−5)>0.
Decizie.
Există zero pe partea dreaptă, așa că nu trebuie mutat nimic din el. Să transformăm întreaga expresie din partea stângă într-un polinom:
x+6+2 x 3 −2 x 3 −2 x 2 +10 x>0,
−2 x 2 +11 x+6>0 .
Am obținut o inegalitate pătratică, care este echivalentă cu inegalitatea inițială. O rezolvam prin orice metoda cunoscuta de noi. Vom rezolva grafic inegalitatea pătratică.
Aflați rădăcinile trinomului pătrat −2 x 2 +11 x+6 : 
Facem un desen schematic pe care notăm zerourile găsite și ținem cont de faptul că ramurile parabolei sunt îndreptate în jos, deoarece coeficientul de conducere este negativ: 
Deoarece rezolvăm inegalitatea cu semnul >, ne interesează intervalele pe care se află parabola deasupra axei x. Aceasta are loc pe intervalul (−0,5, 6) și este soluția dorită.
Răspuns:
(−0,5, 6) .
În cazuri mai complicate, în partea stângă a inegalității rezultate h(x)<0 (≤, >, ≥) va fi un polinom de gradul trei sau superior. Pentru a rezolva astfel de inegalități, este potrivită metoda intervalului, la primul pas al căruia va trebui să găsiți toate rădăcinile polinomului h (x) , care se face adesea prin.
Exemplu.
Găsiți o soluție pentru întreaga inegalitate rațională (x 2 +2) (x+4)<14−9·x .
Decizie.
Să mutăm totul în partea stângă, după care acolo și:
(x 2 +2) (x+4)−14+9 x<0
,
x 3 +4 x 2 +2 x+8−14+9 x<0
,
x 3 +4 x 2 +11 x−6<0
.
Manipularile efectuate ne conduc la o inegalitate care este echivalenta cu cea originala. Pe partea stângă este un polinom de gradul trei. Poate fi rezolvată folosind metoda intervalului. Pentru a face acest lucru, în primul rând, trebuie să găsiți rădăcinile polinomului, care se sprijină pe x 3 +4 x 2 +11 x−6=0. Să aflăm dacă are rădăcini raționale, care pot fi doar printre divizorii termenului liber, adică printre numerele ±1, ±2, ±3, ±6. Înlocuind pe rând aceste numere în locul variabilei x din ecuația x 3 +4 x 2 +11 x−6=0 , aflăm că rădăcinile ecuației sunt numerele 1 , 2 și 3 . Acest lucru ne permite să reprezentăm polinomul x 3 +4 x 2 +11 x−6 ca un produs (x−1) (x−2) (x−3) , iar inegalitatea x 3 +4 x 2 +11 x− 6<0 переписать как (x−1)·(x−2)·(x−3)<0 . Такой вид неравенства в дальнейшем позволит с меньшими усилиями определить знаки на промежутках.
Și apoi rămâne să efectuați pașii standard ai metodei intervalului: marcați puncte pe linia numerică cu coordonatele 1, 2 și 3, care împart această linie în patru intervale, determină și plasează semne, desenează hașura peste intervale cu semnul minus (deoarece rezolvăm o inegalitate cu un semn<) и записать ответ.
De unde avem (−∞, 1)∪(2, 3) .
Răspuns:
(−∞, 1)∪(2, 3) .
Trebuie remarcat că uneori nu este practic din cauza inegalității r(x) − s(x)<0 (≤, >, ≥) trece la inegalitatea h(x)<0 (≤, >, ≥), unde h(x) este un polinom de grad mai mare decât doi. Acest lucru se aplică cazurilor în care este mai dificil să factorizați polinomul h(x) decât să reprezentați expresia r(x) − s(x) ca produs de binoame liniare și trinoame pătrate, de exemplu, prin punerea în paranteze a factorului comun. Să explicăm acest lucru cu un exemplu.
Exemplu.
Rezolvați inegalitatea (x 2 −2 x−1) (x 2 −19)≥2 x (x 2 −2 x−1).
Decizie.
Aceasta este o întreagă inegalitate. Dacă mutăm expresia din partea dreaptă în partea stângă, apoi deschidem parantezele și aducem termeni similari, obținem inegalitatea x 4 −4 x 3 −16 x 2 +40 x+19≥0. Rezolvarea acesteia este foarte dificilă, deoarece implică găsirea rădăcinilor unui polinom de gradul al patrulea. Este ușor să verifici că nu are rădăcini raționale (ar putea fi numerele 1, -1, 19 sau -19), și este problematic să cauți celelalte rădăcini ale sale. Prin urmare, această cale este o fundătură.
Să căutăm alte soluții posibile. Este ușor de observat că, după transferul expresiei din partea dreaptă a inegalității întregi inițiale în partea stângă, putem scoate factorul comun x 2 −2 x −1 din paranteze:
(x 2 −2 x−1) (x 2 −19)−2 x (x 2 −2 x−1)≥0,
(x 2 −2 x−1) (x 2 −2 x−19)≥0.
Transformarea efectuată este echivalentă, deci soluția inegalității rezultate va fi soluția inegalității inițiale.
Și acum putem găsi zerourile expresiei situate în partea stângă a inegalității rezultate, pentru aceasta avem nevoie de x 2 −2 x−1=0 și x 2 −2 x−19=0 . Rădăcinile lor sunt numere 
. Acest lucru ne permite să trecem la o inegalitate echivalentă și o putem rezolva prin metoda intervalului: 
Conform desenului, notăm răspunsul.
Răspuns:
În încheierea acestui paragraf, aș dori doar să adaug că este departe de a fi întotdeauna posibil să găsim toate rădăcinile polinomului h (x) și, ca urmare, să îl extindem într-un produs de binoame liniare și trinoame pătrate. În aceste cazuri, nu există nicio modalitate de a rezolva inegalitatea h(x)<0 (≤, >, ≥), ceea ce înseamnă că nu există nicio modalitate de a găsi o soluție pentru întreaga ecuație rațională originală.
Rezolvarea inegalităților raționale fracționale
Acum să ne ocupăm de rezolvarea unei astfel de probleme: să fie necesar să se rezolve o inegalitate rațională fracțională cu o variabilă x de forma r(x)
Algoritm pentru rezolvarea unei inegalități fracționale raționale cu o variabilă r(x)
- În primul rând, trebuie să găsiți intervalul de valori acceptabile (ODV) ale variabilei x pentru inegalitatea inițială.
- Apoi, trebuie să transferați expresia din partea dreaptă a inegalității la stânga, iar expresia r(x) − s(x) formată acolo ar trebui convertită în forma unei fracții p(x)/q(x). ) , unde p(x) și q(x) sunt expresii întregi care sunt produse ale binoamelor liniare, ale trinoamelor pătrate necompunebile și ale puterilor lor cu un exponent natural.
- În continuare, trebuie să rezolvați inegalitatea rezultată prin metoda intervalelor.
- În final, din soluția obținută la pasul anterior, este necesar să se excludă punctele care nu sunt incluse în DPV a variabilei x pentru inegalitatea inițială găsită la primul pas.
Astfel, se va obține soluția dorită a inegalității fracționale raționale.
Al doilea pas al algoritmului necesită unele explicații. Transferând expresia din partea dreaptă a inegalității la stânga dă inegalitatea r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥), care este echivalent cu cel original. Totul este clar aici. Dar întrebările sunt ridicate de transformarea sa ulterioară în forma p(x)/q(x)<0 (≤, >, ≥).
Prima întrebare este: „Este întotdeauna posibil să o duci la îndeplinire”? Teoretic, da. Știm că orice este posibil. Numătorul și numitorul unei fracții raționale sunt polinoame. Și din teorema fundamentală a algebrei și teorema lui Bezout rezultă că orice polinom de grad n cu o variabilă poate fi reprezentat ca produs de binoame liniare. Așa se explică posibilitatea realizării acestei transformări.
În practică, este destul de dificil să factorizezi polinoamele, iar dacă gradul lor este mai mare decât al patrulea, atunci nu este întotdeauna posibil. Dacă factorizarea este imposibilă, atunci nu va exista nicio modalitate de a găsi o soluție la inegalitatea inițială, dar astfel de cazuri nu apar de obicei la școală.
A doua întrebare: „Va inegalitatea p(x)/q(x)<0
(≤, >, ≥) este echivalent cu inegalitatea r(x)−s(x)<0
(≤, >, ≥), și de aici și originalul”? Poate fi echivalent sau inegal. Este echivalent atunci când ODZ pentru expresia p(x)/q(x) este aceeași cu ODZ pentru expresia r(x)−s(x) . În acest caz, ultimul pas al algoritmului va fi redundant. Dar DPV pentru expresia p(x)/q(x) poate fi mai larg decât DPV pentru expresia r(x)−s(x) . Expansiunea ODZ poate avea loc atunci când fracțiile sunt reduse, cum ar fi, de exemplu, la mutarea din 
la . De asemenea, extinderea ODZ poate fi facilitată prin reducerea termenilor similari, ca, de exemplu, în trecerea de la 
la . În acest caz, este destinat ultimul pas al algoritmului, care elimină soluțiile străine care decurg din extinderea ODZ. Să fim cu ochii pe asta când analizăm mai jos soluțiile exemplelor.
Continuăm să analizăm modalități de rezolvare a inegalităților care au o variabilă în compoziția lor. Am studiat deja inegalitățile liniare și pătratice, care sunt cazuri speciale de inegalități raționale. În acest articol, vom clarifica ce tipuri de inegalități sunt raționale, vă vom spune în ce tipuri sunt împărțite (întregi și fracționari). După aceea, vom arăta cum să le rezolvăm corect, să oferim algoritmii necesari și să analizăm probleme specifice.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Conceptul de egalități raționale
Când subiectul rezolvării inegalităților este studiat la școală, ei iau imediat inegalitățile raționale. Ei dobândesc și perfecționează abilitățile de a lucra cu acest tip de expresie. Să formulăm definiția acestui concept:
Definiția 1
O inegalitate rațională este o inegalitate cu variabile care conține expresii raționale în ambele părți.
Rețineți că definiția nu afectează în niciun fel numărul de variabile, ceea ce înseamnă că poate exista un număr arbitrar de mare dintre ele. Prin urmare, sunt posibile inegalități raționale cu 1, 2, 3 sau mai multe variabile. Cel mai adesea, trebuie să se ocupe de expresii care conțin o singură variabilă, mai rar două, iar inegalitățile cu un număr mare de variabile nu sunt de obicei luate în considerare deloc în cadrul unui curs școlar.
Astfel, putem învăța o inegalitate rațională analizând notația acesteia. Atât în partea dreaptă cât și în partea stângă ar trebui să aibă expresii raționale. Aici sunt cateva exemple:
x > 4 x 3 + 2 y ≤ 5 (y − 1) (x 2 + 1) 2 x x - 1 ≥ 1 + 1 1 + 3 x + 3 x 2
Și aici este o inegalitate de forma 5 + x + 1< x · y · z не относится к рациональным, поскольку слева у него есть переменная под знаком корня.
Toate inegalitățile raționale sunt împărțite în numere întregi și fracționale.
Definiția 2
O egalitate rațională întregă constă din expresii raționale întregi (în ambele părți).
Definiția 3
Egalitatea fracțională rațională- aceasta este o egalitate care conține o expresie fracțională în una sau ambele părți.
De exemplu, inegalitățile de forma 1 + x - 1 1 3 2 2 + 2 3 + 2 11 - 2 1 3 x - 1 > 4 - x 4 și 1 - 2 3 5 - y > 1 x 2 - y 2 sunt rațional fracțional și 0 .5 x ≤ 3 (2 − 5 y)și 1: x + 3 > 0- întreg.
Am analizat ce sunt inegalitățile raționale și am identificat principalele tipuri ale acestora. Putem trece la o privire de ansamblu asupra modului de rezolvare a acestora.
Să presupunem că trebuie să găsim soluții la o inegalitate rațională întreagă r(x)< s (x) , care include o singură variabilă x . în care r(x)și s x) sunt numere sau expresii raționale întregi, iar semnul de inegalitate poate fi diferit. Pentru a rezolva această sarcină, trebuie să o transformăm și să obținem o egalitate echivalentă.
Să începem prin a muta expresia din partea dreaptă la stânga. Obținem următoarele:
de forma r (x) − s (x)< 0 (≤ , > , ≥)
Noi stim aia r(x) − s(x) va fi o valoare întreagă și orice expresie întreagă poate fi convertită într-un polinom. Să ne transformăm r(x) − s(x)în h(x). Această expresie va fi un polinom identic egal. Având în vedere că r (x) − s (x) și h (x) au același interval de valori posibile ale lui x, putem trece la inegalitățile h (x)< 0 (≤ , >, ≥) , care va fi echivalent cu cel original.
Adesea, o astfel de transformare simplă va fi suficientă pentru a rezolva inegalitatea, deoarece rezultatul poate fi o inegalitate liniară sau pătratică, a cărei valoare nu este dificil de calculat. Să aruncăm o privire asupra acestor probleme.
Exemplul 1
Condiție: rezolvarea unei inegalități raționale întregi x (x + 3) + 2 x ≤ (x + 1) 2 + 1.
Decizie
Să începem prin a transfera expresia din partea dreaptă în partea stângă cu semnul opus.
x (x + 3) + 2 x − (x + 1) 2 − 1 ≤ 0
Acum că am finalizat toate operațiile cu polinoamele din stânga, putem trece la inegalitatea liniară 3 x − 2 ≤ 0, echivalent cu ceea ce s-a dat în condiție. Rezolvarea este ușoară:
3 x ≤ 2 x ≤ 2 3
Răspuns: x ≤ 2 3 .
Exemplul 2
Condiție: găsi o soluție la inegalitate (x 2 + 1) 2 - 3 x 2 > (x 2 - x) (x 2 + x).
Decizie
Transferăm expresia din partea stângă în partea dreaptă și efectuăm transformări ulterioare folosind formulele de înmulțire abreviate.
(x 2 + 1) 2 − 3 x 2 − (x 2 − x) (x 2 + x) > 0 x 4 + 2 x 2 + 1 − 3 x 2 − x 4 + x 2 > 0 1 > 0
Ca rezultat al transformărilor noastre, am obținut o inegalitate care va fi adevărată pentru orice valoare a lui x, prin urmare, orice număr real poate fi soluția inegalității inițiale.
Răspuns: orice număr real.
Exemplul 3
Condiție: rezolva inegalitatea x + 6 + 2 x 3 − 2 x (x 2 + x − 5) > 0.
Decizie
Nu vom transfera nimic din partea dreaptă, deoarece există 0 . Să începem imediat prin a converti partea stângă într-un polinom:
x + 6 + 2 x 3 − 2 x 3 − 2 x 2 + 10 x > 0 − 2 x 2 + 11 x + 6 > 0 .
Am derivat o inegalitate pătratică echivalentă cu cea originală, care poate fi rezolvată cu ușurință prin mai multe metode. Să folosim metoda grafică.
Să începem prin a calcula rădăcinile trinomului pătrat − 2 x 2 + 11 x + 6:
D \u003d 11 2 - 4 (- 2) 6 \u003d 169 x 1 \u003d - 11 + 169 2 - 2, x 2 \u003d - 11 - 169 2 - 2 x 1 \u003d - 0, \ 5, x 2 u003d 6
Acum pe diagramă marchem toate zerourile necesare. Deoarece coeficientul de conducere este mai mic decât zero, ramurile parabolei de pe grafic vor privi în jos.
Vom avea nevoie de o zonă de parabolă situată deasupra axei absciselor, deoarece avem un semn > în inegalitate. Intervalul dorit este (− 0 , 5 , 6) , prin urmare, acest interval de valori va fi soluția de care avem nevoie.
Răspuns: (− 0 , 5 , 6) .
Există și cazuri mai complicate când în stânga se obține un polinom de gradul al treilea sau superior. Pentru a rezolva o astfel de inegalitate, se recomandă utilizarea metodei intervalului. Mai întâi calculăm toate rădăcinile polinomului h(x), care se face cel mai adesea prin factorizarea unui polinom.
Exemplul 4
Condiție: calcula (x 2 + 2) (x + 4)< 14 − 9 · x .
Decizie
Să începem, ca întotdeauna, prin mutarea expresiei în partea stângă, după care va fi necesar să deschidem parantezele și să reducem termenii similari.
(x 2 + 2) (x + 4) − 14 + 9 x< 0 x 3 + 4 · x 2 + 2 · x + 8 − 14 + 9 · x < 0 x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 < 0
În urma transformărilor, am obținut o egalitate echivalentă cu cea originală, în stânga căreia se află un polinom de gradul trei. Aplicam metoda intervalului pentru a o rezolva.
Mai întâi, calculăm rădăcinile polinomului, pentru care trebuie să rezolvăm ecuația cubică x 3 + 4 x 2 + 11 x - 6 = 0. Are rădăcini raționale? Ele pot fi doar printre divizorii termenului liber, i.e. dintre numere ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 . Le înlocuim pe rând în ecuația originală și aflăm că numerele 1, 2 și 3 vor fi rădăcinile acesteia.
Deci polinomul x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6 poate fi descris ca un produs (x − 1) (x − 2) (x − 3), și inegalitatea x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6< 0 poate fi prezentat ca (x − 1) (x − 2) (x − 3)< 0 . Cu o inegalitate de acest fel, ne va fi atunci mai ușor să determinăm semnele pe intervale.
În continuare, efectuăm pașii rămași ai metodei intervalului: trageți o linie numerică și puncte pe ea cu coordonatele 1 , 2 , 3 . Ele împart linia dreaptă în 4 intervale în care este necesar să se determine semnele. Umbrim golurile cu un minus, deoarece inegalitatea originală are semnul < .
Trebuie doar să notăm răspunsul gata: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .
Răspuns: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .
În unele cazuri, efectuați tranziția de la inegalitatea r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) la h (x)< 0 (≤ , >, ≥) , unde h(x)– un polinom mai mare de 2 este nepotrivit. Acest lucru se extinde la cazurile în care este mai ușor să se reprezinte r(x) − s(x) ca un produs al binoamelor liniare și al trinoamelor pătrate decât să factorizezi h(x) în factori separați. Să aruncăm o privire la această problemă.
Exemplul 5
Condiție: găsi o soluție la inegalitate (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) ≥ 2 x (x 2 − 2 x − 1).
Decizie
Această inegalitate se aplică numerelor întregi. Dacă mutam expresia din partea dreaptă spre stânga, deschidem parantezele și efectuăm reducerea termenilor, obținem x 4 − 4 x 3 − 16 x 2 + 40 x + 19 ≥ 0 .
Rezolvarea unei astfel de inegalități nu este ușoară, deoarece trebuie să cauți rădăcinile unui polinom de gradul al patrulea. Nu are nicio rădăcină rațională (de exemplu, 1 , - 1 , 19 sau − 19 nu se potrivesc) și este dificil să cauți alte rădăcini. Deci nu putem folosi această metodă.
Dar există și alte soluții. Dacă transferăm expresiile din partea dreaptă a inegalității inițiale în partea stângă, atunci putem efectua bracketing-ul factorului comun x 2 − 2 x − 1:
(x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) − 2 x (x 2 − 2 x − 1) ≥ 0 (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 2 · x − 19) ≥ 0 .
Am obținut o inegalitate echivalentă cu cea inițială, iar soluția ei ne va oferi răspunsul dorit. Aflați zerourile expresiei din partea stângă, pentru care rezolvăm ecuațiile pătratice x 2 − 2 x − 1 = 0și x 2 − 2 x − 19 = 0. Rădăcinile lor sunt 1 ± 2 , 1 ± 2 5 . Ne întoarcem la egalitatea x - 1 + 2 x - 1 - 2 x - 1 + 2 5 x - 1 - 2 5 ≥ 0 , care poate fi rezolvată prin metoda intervalului:
Conform imaginii, răspunsul este - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .
Răspuns: - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .
Adăugăm că uneori nu este posibil să găsim toate rădăcinile unui polinom h(x), prin urmare, nu o putem reprezenta ca un produs al binoamelor liniare și trinoamelor pătrate. Apoi rezolvați o inegalitate de forma h (x)< 0 (≤ , >, ≥) nu putem, prin urmare, este imposibil să rezolvăm și inegalitatea rațională inițială.
Să presupunem că trebuie să rezolvăm inegalitățile raționale fracționale de forma r (x)< s (x) (≤ , >, ≥) , unde r (x) și s x) sunt expresii raționale, x este o variabilă. Cel puțin una dintre expresiile specificate va fi fracțională. Algoritmul de soluție în acest caz va fi următorul:
- Determinăm intervalul de valori acceptabile pentru variabila x .
- Transferăm expresia din partea dreaptă a inegalității la stânga și expresia rezultată r(x) − s(x) reprezentat ca o fracție. Între timp, unde p(x)și q(x) vor fi expresii întregi care sunt produse de binoame liniare, trinoame pătrate indecompuse, precum și puteri cu un exponent natural.
- În continuare, rezolvăm inegalitatea rezultată prin metoda intervalului.
- Ultimul pas este excluderea punctelor obținute în timpul soluției din intervalul de valori acceptabile pentru variabila x pe care am definit-o la început.
Acesta este algoritmul pentru rezolvarea unei inegalități fracționale raționale. Cea mai mare parte este clară, mici explicații sunt necesare doar pentru paragraful 2. Am mutat expresia din partea dreaptă la stânga și am obținut r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) și apoi cum să o aduceți la forma p (x) q (x)< 0 (≤ , > , ≥) ?
În primul rând, determinăm dacă o anumită transformare poate fi întotdeauna efectuată. Teoretic, există întotdeauna o astfel de posibilitate, deoarece orice expresie rațională poate fi convertită într-o fracție rațională. Aici avem o fracție cu polinoame în numărător și numitor. Amintiți-vă teorema fundamentală a algebrei și teorema lui Bezout și determinați că orice polinom de gradul al n-lea care conține o variabilă poate fi transformat într-un produs de binoame liniare. Prin urmare, în teorie, putem întotdeauna transforma expresia în acest fel.
În practică, factorizarea polinoamelor este adesea o sarcină destul de dificilă, mai ales dacă gradul este mai mare de 4. Dacă nu putem realiza extinderea, atunci nu vom putea rezolva această inegalitate, dar astfel de probleme nu sunt de obicei studiate în cadrul cursului școlar.
În continuare, trebuie să decidem dacă inegalitatea rezultată p (x) q (x)< 0 (≤ , >, ≥) echivalent în raport cu r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) și la cea originală. Există posibilitatea ca acesta să se dovedească a fi inegal.
Echivalența inegalității va fi asigurată atunci când intervalul de valori acceptabile p(x) q(x) se potrivește cu intervalul de expresie r(x) − s(x). Apoi, ultimul paragraf al instrucțiunilor pentru rezolvarea inegalităților raționale fracționale nu trebuie urmat.
Dar gama pentru p(x) q(x) poate fi mai lat decât r(x) − s(x), de exemplu, prin reducerea fracțiilor. Un exemplu ar fi trecerea de la x x - 1 3 x - 1 2 x + 3 la x x - 1 x + 3 . Sau acest lucru se poate întâmpla atunci când adăugați termeni similari, de exemplu, aici:
x + 5 x - 2 2 x - x + 5 x - 2 2 x + 1 x + 3 la 1 x + 3
În astfel de cazuri, se adaugă ultimul pas al algoritmului. Prin executarea acestuia, veți scăpa de valorile străine ale variabilei care apar din cauza extinderii intervalului de valori valide. Să luăm câteva exemple pentru a ne clarifica despre ce vorbim.
Exemplul 6
Condiție: găsiți soluții pentru egalitatea rațională x x + 1 x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 x x - 3 2 x + 1 .
Decizie
Acționăm conform algoritmului indicat mai sus. În primul rând, determinăm intervalul de valori acceptabile. În acest caz, este determinată de sistemul de inegalități x + 1 x - 3 ≠ 0 x - 3 2 ≠ 0 x - 3 2 (x + 1) ≠ 0 , a cărui soluție este mulțimea (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .
x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) ≥ 0
După aceea, trebuie să-l transformăm astfel încât să fie convenabil să aplicăm metoda intervalului. În primul rând, aducem fracțiile algebrice la cel mai mic numitor comun (x − 3) 2 (x + 1):
x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) = = x x - 3 + 4 x + 1 + 3 x x - 3 2 x + 1 = x 2 + 4 x + 4 (x - 3) 2 (x + 1)
Restrângem expresia la numărător aplicând formula pătratului sumei:
x 2 + 4 x + 4 x - 3 2 x + 1 = x + 2 2 x - 3 2 x + 1
Intervalul de valori valide ale expresiei rezultate este (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) . Vedem că este similar cu cel care a fost definit pentru egalitatea inițială. Concluzionăm că inegalitatea x + 2 2 x - 3 2 x + 1 ≥ 0 este echivalentă cu cea inițială, ceea ce înseamnă că nu avem nevoie de ultimul pas al algoritmului.
Folosim metoda intervalului:
Vedem soluția ( − 2 ) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) , care va fi soluția inegalității raționale inițiale x x + 1 x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 x (x - 3 ) 2 · (x + 1) .
Răspuns: { − 2 } ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .
Exemplul 7
Condiție: calculați soluția x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 .
Decizie
Determinăm aria valorilor admisibile. În cazul acestei inegalități, ea va fi egală cu toate numerele reale, cu excepția − 2 , − 1 , 0 și 1 .
Mutăm expresiile din partea dreaptă spre stânga:
x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 > 0
x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 = x + 3 - x - 3 x x + 2 = 0 x x + 2 = 0 x + 2 = 0
Având în vedere rezultatul, scriem:
x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 0 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 (x + 1) x - 1 = = - x - 1 (x + 1) x - 1 = - x + 1 (x + 1) x - 1 = - 1 x - 1
Pentru expresia - 1 x - 1, intervalul de valori valide va fi setul tuturor numerelor reale, cu excepția unuia. Vedem că gama de valori s-a extins: − 2 , − 1 și 0 . Deci, trebuie să efectuăm ultimul pas al algoritmului.
Deoarece am ajuns la inegalitatea - 1 x - 1 > 0 , putem scrie echivalentul său 1 x - 1< 0 . С помощью метода интервалов вычислим решение и получим (− ∞ , 1) .
Excludem punctele care nu sunt incluse în intervalul de valori acceptabile ale egalității inițiale. Trebuie să excludem din (− ∞ , 1) numerele − 2 , − 1 și 0 . Astfel, soluția inegalității raționale x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 vor fi valorile (− ∞ , − 2 ) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .
Răspuns: (− ∞ , − 2) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .
În concluzie, mai dăm un exemplu de problemă în care răspunsul final depinde de intervalul de valori admisibile.
Exemplul 8
Condiție: găsiți soluția inegalității 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 .
Decizie
Aria valorilor admisibile ale inegalității specificate în condiție este determinată de sistemul x 2 ≠ 0 x 2 - x + 1 ≠ 0 x - 1 ≠ 0 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≠ 0.
Acest sistem nu are soluții pentru că
x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 = = (x + 1) x 2 - x + 1 x 2 - x + 1 - (x - 1) x + 1 x - 1 = = x + 1 - (x + 1) = 0
Aceasta înseamnă că egalitatea inițială 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 nu are nicio soluție, deoarece nu există astfel de valori ale variabilei pentru care ar fi are sens.
Răspuns: nu exista solutii.
Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
În articol vom lua în considerare rezolvarea inegalităților. Să vorbim clar despre cum să construim o soluție la inegalități cu exemple clare!
Înainte de a lua în considerare soluția inegalităților cu exemple, să ne ocupăm de conceptele de bază.
Introducere în inegalități
inegalitate se numește expresie în care funcțiile sunt legate prin semne de relație >, . Inegalitățile pot fi atât numerice, cât și alfabetice.
Inegalitățile cu două semne de relație se numesc dublu, cu trei - triplu etc. De exemplu:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Inegalitățile care conțin semnul > sau sau nu sunt stricte.
Soluția inegalității este orice valoare a variabilei pentru care această inegalitate este adevărată.
"Rezolvați inegalitatea" înseamnă că trebuie să găsiți setul tuturor soluțiilor sale. Există diverse metode de rezolvare a inegalităților. Pentru soluții pentru inegalități utilizați o dreaptă numerică care este infinită. De exemplu, rezolvarea inegalitatii x > 3 este un interval de la 3 la +, iar numărul 3 nu este inclus în acest interval, deci punctul de pe linie este notat cu un cerc gol, deoarece inegalitatea este strictă. 
+
Răspunsul va fi: x (3; +).
Valoarea x=3 nu este inclusă în setul de soluții, deci paranteza este rotundă. Semnul infinitului este întotdeauna inclus într-o paranteză. Semnul înseamnă „apartenere”.
Luați în considerare cum să rezolvați inegalitățile folosind un alt exemplu cu semnul:
x2
-
+
Valoarea x=2 este inclusă în setul de soluții, astfel încât paranteza pătrată și punctul de pe linie sunt notate cu un cerc umplut.
Raspunsul va fi: x)
