Capitolul III. Curbe de ordinul doi

§ 40. Hiperbola.

Hiperbolă se numeste multime puncte plane, pentru fiecare dintre care modulul diferenței de distanțe la două puncte date ale planului este constant și distanta mai mica intre aceste puncte.

Aceste puncte sunt numite trucuri hiperbole, iar distanța dintre ele este focal distanţă.

Notați focarele hiperbolei cu literele F 1 și F 2 .
Lasa distanta focala| F 1 F 2 | = 2 cu.

Daca M - punct arbitrar hiperbole (Fig. 112), apoi, prin definiția unei hiperbole, modulul diferenței | F 1 M | - | F 2 M | constant. Indicând-o prin 2 A, primim

| | F 1 M | - | F 2 M | | = 2 A. (1)

Rețineți că prin definiția hiperbolei 2 A< 2cu, adică A< с .

Egalitatea (1) este ecuația unei hiperbole.

Alegem un sistem de coordonate astfel încât axa absciselor să treacă prin focarele hiperbolei; trageți axa y prin mijlocul segmentului F 1 F 2 perpendicular pe acesta (Fig. 113).

Atunci focarele hiperbolei vor fi punctele F 1 (- c; 0) și F 2 ( c; 0).

Fie M( X; la) este orice punct al hiperbolei, atunci

| F 1 M | = √( x+c) 2 + y 2 și | F 2 M | = √( x-c) 2 + y 2 .

Înlocuirea valorilor | F 1 M | și | F 2 M | în ecuația (1), obținem

| √(x+c) 2 + y 2 - √(x-c) 2 + y 2 | = 2A. (2)

Ecuația pe care am obținut-o este ecuația unei hiperbole în sistemul de coordonate ales. Această ecuație poate fi redusă la o formă mai simplă.

Lasa X > 0, atunci ecuația (2) poate fi scrisă fără semnul modulului, după cum urmează:

√(x+c) 2 + y 2 - √(x-c) 2 + y 2 = 2A,

√(x+c) 2 + y 2 =2A + √(x-c) 2 + y 2 (3)

Să punem la pătrat ambele părți ale egalității rezultate:

(x + c) 2 + la 2 = 4A 2 + 4A √(x-c) 2 + y 2 + (x - c) 2 + la 2 .

După simplificări și transformări corespunzătoare:

√(x-c) 2 + y 2 = c / A x - a, (4)

(x - c) 2 + la 2 = (c / A x - a) 2 ,

ajungem la ecuație

(5)

Prin definiția unei hiperbole A< cu, De aceea cu 2 - A 2 - număr pozitiv. Să o notăm prin b 2, adică pune b 2 = cu 2 - A 2. Atunci ecuația (5) ia forma

Împărțit termen cu termen în b 2, obținem ecuația

În cazul în care un X < 0, то уравнение (2) переписывается без знака модуля следующим образом:

√(x-c) 2 + y 2 - √(x+c) 2 + y 2 = 2A,

si in acelasi mod ca in cazul X > 0 este convertit la forma (6).

Ecuația (6) se numește ecuația canonică a hiperbolei.

Cometariu. Punerea la pătrat a ambelor părți ale ecuațiilor (3) și (4) nu a încălcat echivalența ecuațiilor. Ambele părți ale ecuației (3) sunt în mod evident nenegative pentru toate valorile Xși la. Partea stângă a ecuației (4) este, de asemenea, întotdeauna nenegativă. La X > A partea dreaptă ecuația (4) este pozitivă, deoarece

c / A x - a > c / A a - a = c - a > 0

Deci, punctele străine ar putea apărea numai sub condiția 0 < X< а , dar din ecuația (6) rezultă că X 2 /A 2 > 1, adică | X | > A.

Sarcina 1. Scrie ecuație canonică hiperbola care trece printr-un punct
M (-5; 9/4) dacă distanța focală a hiperbolei este 10.

Deoarece |F 1 F 2 |= 10, atunci cu= 5. Să scriem ecuația canonică a hiperbolei

Prin condiție, punctul M (-5; 9/4) aparține hiperbolei, prin urmare,

A doua ecuație de determinat A 2 și b 2 dă raportul

b 2 = cu 2 - A 2 = 25 - A 2 .

După ce am rezolvat sistemul

găsi A 2 =16, b 2 = 9. Ecuația dorită va fi ecuația

Sarcina 2. Demonstrați că ecuația

20X 2 - 29y 2 = 580

este ecuația unei hiperbole. Găsiți coordonatele trucurilor.

Împărțind ambele părți ale ecuației la 580, obținem

Aceasta este ecuația hiperbolică pentru care A 2 = 29, b 2 = 20.
Din relatie c 2 = A 2 + b 2 găsi c 2 = 29 + 20 = 49, cu= 7. Prin urmare, focarele hiperbolei sunt în punctele F 1 (-7; 0) și F 2 (7; 0).

Având în vedere ecuația unei elipse.

Decizie:

Scriem ecuația elipsei în forma canonică:
.

De aici
. Folosind raportul
, găsim
. Prin urmare,
.

Conform formulei găsi .

Ecuații directrice
arată ca
, distanța dintre ele
.

Conform formulei
găsiți abscisa punctelor, distanța de la care până la punct este egal cu 12:

. Înlocuirea valorii Xîn ecuația unei elipse, găsim ordonatele acestor puncte:

Astfel, punctul A(7;0) satisface condiția problemei.

Problema 56.

Scrieți o ecuație pentru o elipsă care trece prin puncte.

Decizie:

Căutăm ecuația elipsei în formă
.

Deoarece elipsa trece prin puncte
, atunci coordonatele lor satisfac ecuația elipsei:
. Înmulțind a doua egalitate cu (-4) și adunând la prima, găsim
.

Înlocuirea valorii găsite în prima ecuație, găsim
. Astfel, ecuația dorită
.

Problema 57.

;
.

Hiperbolă

Hiperbolă o linie se numește, constând din toate punctele planului, modulul diferenței de distanțe de la care la două puncte date. și este o valoare constantă (nu egală cu zero și mai mică decât distanța dintre puncte și ).

puncte și numit trucuri hiperbolă. Fie distanța dintre focare
. Modulul de distanțe de la punctele de hiperbolă la focare și notează prin . După condiție,
.

,

Unde
- coordonatele unui punct arbitrar al hiperbolei,

.

Ecuația
numit ecuație canonică hiperbolă.

Hiperbola are două asimptote
.

excentricitate hiperbola se numește număr . Pentru orice hiperbolă
.

Razele focale ale unui punct de hiperbolă numite segmente de linie care leagă acest punct cu focarele și . Lungimile lor și sunt date de formulele:

Direct
se numesc directrice ale hiperbolei. Ca și în cazul unei elipse, punctele unei hiperbole sunt caracterizate prin relație .

Problema 58.

Aflați distanța dintre focare și excentricitatea hiperbolei
.

Răspuns:
.

Problema 59.

Scrieți ecuația canonică a hiperbolei dacă (
). Determinați excentricitatea hiperbolei.

Răspuns:
.

Problema 60.

Scrieți ecuația canonică a unei hiperbole simetrice în jurul axelor de coordonate dacă trece printr-un punct
, iar excentricitatea este
.

Răspuns:
.

Sarcina 61.

Găsiți ecuațiile unei hiperbole ale cărei vârfuri sunt la focare și ale cărei focare sunt la vârfurile unei elipse
.

Răspuns:
.

Problema 62.

Defini loc geometric puncte
, distanțele de la care până la linia dreaptă
jumătate din cât înainte de punct
.

Răspuns:
.

Problema 63.

Scrieți ecuația unei hiperbole simetrice față de sistemul de coordonate dacă trece prin puncte
,
.

Răspuns:
.

Sarcina 64.

Scrieți o ecuație pentru o hiperbolă dacă asimptotele acesteia sunt date de ecuație
, iar hiperbola trece prin punct
.

Răspuns:
.

Problema 65.

Cum sunt situate punctele pe plan, ale căror coordonate îndeplinesc condițiile:

.

Parabolă

parabolă numită dreptă formată din toate punctele planului echidistante de un punct dat
(concentrare) și linie dată (directori).

Pentru a deduce ecuația canonică a parabolei, axa
trece prin focar
perpendicular pe directrice în direcția de la directrix la focalizare; originea coordonatelor este luată în mijlocul segmentului dintre focar
și punct
intersecția axelor
cu doamna directoare . Dacă este notat cu atunci distanța de focalizare de la directrice
iar ecuația directrice va arăta ca
.

În sistemul de coordonate ales, ecuația parabolei are forma:
. Această ecuație se numește ecuația canonică a parabolei.

Definiție . O hiperbola este un loc de puncte, diferența de la fiecare dintre acestea la două puncte date, numite focare, este o valoare constantă

Să luăm un sistem de coordonate astfel încât focarele să se afle pe axa absciselor, iar originea coordonatelor împarte segmentul F 1 F 2 la jumătate (Fig. 30). Se notează F 1 F 2 = 2c. Atunci F1 (c; 0); F2 (-c; 0)

MF 2 \u003d r 2, MF 1 \u003d r 1 - razele focale hiperbolă.

Conform definiției unei hiperbole, r 1 - r 2 = const.

Să o notăm cu 2a

Atunci r 2 - r 1 = ±2a deci:

=> ecuația canonică a unei hiperbole

Deoarece ecuația hiperbolei x și y este în puteri pare, atunci dacă punctul M 0 (x 0; y 0) se află pe hiperbolă, atunci punctele M 1 (x 0; -y 0) M 2 (-x) 0; -x 0; -y 0) M3 (-x 0; -y 0).

Prin urmare, hiperbola este simetrică față de ambele axe de coordonate.

Când y \u003d 0 x 2 \u003d a 2 x \u003d ± a. Vârfurile hiperbolei vor fi punctele A 1 (a; 0); A2 (-a; 0).

. Din cauza simetriei, studiul se desfășoară în primul trimestru

1) la
y are o valoare imaginară, de unde punctele hiperbolei cu abscise
nu exista

2) la x = a; y \u003d 0 A 1 (a; 0) aparține unei hiperbole

3) pentru x > a; y > 0. Mai mult, cu o creștere nelimitată a lui x, ramura hiperbolei merge la infinit.

Rezultă că o hiperbolă este o curbă formată din două ramuri infinite.

P 6. Asimptotele unei hiperbole

Luați în considerare împreună cu ecuația
ecuație în linie dreaptă

La curba se va afla sub linia dreaptă (Fig. 31). Luați în considerare punctele N (x, Y) și M (x, y) ale căror abscise sunt aceleași și Y - y \u003d MN. Luați în considerare lungimea segmentului MN

Sa gasim

Deci, dacă punctul M, care se deplasează de-a lungul hiperbolei în primul sfert, se îndepărtează la infinit, atunci distanța sa față de linia dreaptă
scade si tinde spre zero.

Datorită simetriei, linia dreaptă are aceeași proprietate.
.

Definiție. linii directe către care
curba se apropie la infinit se numesc asimptote.

Și
deci, ecuația asimptotelor hiperbolei
.

Asimptotele hiperbolei sunt situate de-a lungul diagonalelor unui dreptunghi, a cărui latură este paralelă cu axa x și este egală cu 2a, iar cealaltă este paralelă cu axa y și este egală cu 2b, iar centrul se află la origine (Fig. 32).

P 7. Excentricitatea și directricele unei hiperbole

r 2 – r 1 = ± 2a semnul + se referă la ramura dreaptă a hiperbolei

semn - se referă la ramura stângă a hiperbolei

Definiție. Excentricitatea unei hiperbole este raportul dintre distanța dintre focarele acestei hiperbole și distanța dintre vârfurile sale.

. Deoarece c > a, ε > 1

Exprimăm razele focale ale hiperbolei în termeni de excentricitate:

Definiție . Să sunăm liniile
, perpendicular pe axa focală a hiperbolei și situat la distanțădin centrul său de directrixa hiperbolei corespunzătoare focarelor drepte și stângi.

T
ca pentru hiperbolă
în consecinţă, directricele hiperbolei sunt situate între vârfurile acesteia (Fig. 33). Să arătăm că raportul dintre distanțe ale oricărui punct al hiperbolei față de focar și directricea corespunzătoare este o constantă și egală cu ε.

P. 8 Parabola și ecuația ei

O
definiție. O parabolă este locul punctelor care sunt echidistante de un punct dat, numit focar, și de o linie dată, numită directrice.

Pentru a alcătui ecuația unei parabole, luăm drept axa x o dreaptă care trece prin focarul F 1 perpendicular pe directrice și vom considera axa x direcționată de la directrice la focar. Pentru originea coordonatelor luăm mijlocul O al segmentului din punctul F până la dreapta dată, a cărei lungime o notăm cu p (Fig. 34). Mărimea p va fi numită parametrul parabolei. Punctul de coordonare focalizat
.

Fie M(x, y) un punct arbitrar al parabolei.

Prin definitie

la 2 = 2px este ecuația canonică a parabolei

Pentru a determina tipul de parabolă, transformăm ecuația acesteia
asta implică . Prin urmare, vârful parabolei este la origine, iar axa de simetrie a parabolei este x. Ecuația y 2 \u003d -2px cu p pozitiv este redusă la ecuația y 2 \u003d 2px prin înlocuirea x cu -x și graficul său arată ca (Fig. 35).

La
ecuația x 2 \u003d 2py este ecuația unei parabole cu un vârf în punctul O (0; 0) ale cărui ramuri sunt îndreptate în sus.

X
2 \u003d -2ru - ecuația unei parabole centrată la origine este simetrică față de axa y, ale cărei ramuri sunt îndreptate în jos (Fig. 36).

O parabolă are o axă de simetrie.

Dacă x este la prima putere și y este la a doua putere, atunci axa de simetrie este x.

Dacă x este la a doua putere și y este la prima putere, atunci axa de simetrie este axa y.

Observație 1. Ecuația directrice a unei parabole are forma
.

Observația 2. Deoarece pentru o parabolă , apoiε parabola este 1.ε = 1 .