Știți care este punctul de mijloc al unei linii? Bineînțeles că faci. Și centrul cercului? De asemenea.

Care este mijlocul unui unghi?

Puteți spune că acest lucru nu se întâmplă. Dar de ce, segmentul poate fi împărțit în jumătate, dar unghiul nu? Este foarte posibil - doar nu un punct, dar .... linia.

Îți amintești gluma: bisectoarea este un șobolan care aleargă în jurul colțurilor și traversează colțul. Deci, definiția reală a bisectoarei este foarte asemănătoare cu această glumă:

Bisectoarea unui triunghi este un segment al bisectoarei unghiului unui triunghi, care leagă vârful acestui unghi cu un punct de pe latura opusă.

Cândva, astronomii și matematicienii antici au descoperit o mulțime de proprietăți interesante ale bisectoarei. Aceste cunoștințe au simplificat foarte mult viața oamenilor.

Prima cunoaștere care va ajuta în acest sens este...

Apropo, vă amintiți toți acești termeni? Îți amintești cum diferă unul de celălalt? Nu? Nu înfricoșător. Acum să ne dăm seama.

• Baza unui triunghi isoscel- aceasta este partea care nu este egală cu oricare alta. Uită-te la poză, de ce parte crezi că este? Așa este - este o latură.
• Mediana este o linie trasă de la vârful unui triunghi și bisectează latura opusă (din nou). Observați că nu spunem „mediana unui triunghi isoscel”. Stii de ce? Deoarece mediana trasată de la vârful unui triunghi bisectează latura opusă în ORICE triunghi.
• Înălțimea este o linie trasată de sus și perpendiculară pe bază. Ai observat? Vorbim din nou despre orice triunghi, nu doar unul isoscel. Înălțimea în ORICE triunghi este întotdeauna perpendiculară pe bază.

Deci, ți-ai dat seama? Aproape.

Pentru a înțelege mai bine și a aminti pentru totdeauna ce sunt bisectoarea, mediana și înălțimea, au nevoie comparați unul cu altulși înțelegeți cum se aseamănă și cum diferă unul de celălalt.

În același timp, pentru a vă aminti mai bine, este mai bine să descrieți totul în „limbaj uman”.

Apoi vei opera cu ușurință cu limbajul matematicii, dar la început nu înțelegi acest limbaj și trebuie să înțelegi totul în limba ta.

Deci, cum sunt ele asemănătoare?

Bisectoarea, mediana și înălțimea - toate „ieșesc” de la vârful triunghiului și se sprijină în direcția opusă și „fac ceva” fie cu unghiul din care ies, fie cu latura opusă.

Cred că e simplu, nu?

Și cum diferă ele?

• Bisectoarea bisectează unghiul din care iese.
• Mediana traversează partea opusă.
• Înălțimea este întotdeauna perpendiculară pe partea opusă.

Asta e. A înțelege este ușor. Odată ce înțelegi, poți să-ți amintești.

Acum următoarea întrebare.

De ce, atunci, în cazul unui triunghi isoscel, bisectoarea se dovedește a fi atât mediana, cât și înălțimea în același timp?

Puteți doar să vă uitați la figură și să vă asigurați că mediana se împarte în două triunghiuri absolut egale.

Asta e tot! Dar matematicienilor nu le place să-și creadă ochilor. Ei trebuie să demonstreze totul.

Cuvânt înfricoșător?

Nimic asemănător - totul este simplu! Uite: și au laturi egale și, au o latură comună și. (- bisectoare!) Și așa, sa dovedit că două triunghiuri au două laturi egale și un unghi între ele.

Amintim primul semn al egalității triunghiurilor (nu vă amintiți, uitați-vă la subiect) și concluzionam că, ceea ce înseamnă = și.

Acest lucru este deja bun - înseamnă că s-a dovedit a fi mediana.

Dar ce este?

Să ne uităm la imagine -. Și am prins asta. Asa si! În sfârșit, ura! și.

Ți s-a părut dificilă această dovadă? Privește imaginea - două triunghiuri identice vorbesc de la sine.

În orice caz, vă rugăm să rețineți:

Acum e mai greu: vom număra unghi între bisectoare în orice triunghi! Nu-ți fie teamă, nu este chiar atât de complicat. Uitate la imagine:

Să-l numărăm. Îți aduci aminte de asta suma unghiurilor unui triunghi este?

Să aplicăm acest fapt uimitor.

Pe de o parte, de la:

i.e.

Acum să ne uităm la:

Dar bisectoare, bisectoare!

Să ne amintim despre:

Acum prin scrisori

Nu este surprinzător?

S-a dovedit ca unghiul dintre bisectoarele a două unghiuri depinde doar de al treilea unghi!

Ei bine, ne-am uitat la două bisectoare. Daca sunt trei??!! Se vor intersecta toate în același punct?

Sau va fi?

Cum crezi? Aici matematicienii au gândit, au gândit și au demonstrat:

Într-adevăr mare?

Vrei să știi de ce se întâmplă asta?

Treceți la nivelul următor - sunteți gata să cuceriți noi culmi ale cunoștințelor despre bisectoare!

BIZECTORĂ. NIVEL MIJLOCIU

Îți amintești ce este bisectoarea?

Bisectoarea este o linie care bisectează un unghi.

Ai întâlnit bisectoarea în problemă? Încercați să aplicați una (și uneori puteți să mai multe) dintre următoarele proprietăți uimitoare.

1. Bisectoare într-un triunghi isoscel.

Ți-e frică de cuvântul „teoremă”? Dacă ți-e frică, atunci - în zadar. Matematicienii sunt obișnuiți să numească orice enunț care poate fi dedus cumva din alte enunțuri, mai simple, o teoremă a matematicii.

Deci, atenție, teorema!

Să demonstrăm această teoremă, adică vom înțelege de ce se întâmplă asta? Uită-te la isoscel.

Să le privim cu atenție. Și atunci vom vedea asta

1. - general.

Și asta înseamnă (mai degrabă, amintiți-vă primul semn al egalității triunghiurilor!), Asta.

Şi ce dacă? Ai vrea să spui așa? Și faptul că nu ne-am uitat încă la cele trei laturi și la unghiurile rămase ale acestor triunghiuri.

Și acum să vedem. Odată, apoi absolut exact și chiar în plus,.

Deci s-a întâmplat că

1. a împărțit partea în jumătate, adică s-a dovedit a fi mediana
2. , ceea ce înseamnă că ambele sunt pornite, deoarece (uitați-vă din nou la figură).

Deci s-a dovedit a fi o bisectoare și, de asemenea, o înălțime!

Ura! Am demonstrat teorema. Dar ghici ce, asta nu e tot. Credincios și teorema inversă:

Dovada? Esti interesat? Citiți următorul nivel de teorie!

Și dacă nu ești interesat, atunci amintește-ți cu fermitate:

De ce este greu de reținut? Cum poate ajuta? Imaginați-vă că aveți o sarcină:

Dat: .

A găsi: .

Te gândești imediat, bisectoare și, iată, ea a împărțit latura în jumătate! (după condiție...). Dacă vă amintiți cu fermitate că acest lucru se întâmplă numaiîntr-un triunghi isoscel, apoi încheiați, adică scrieți răspunsul:. E grozav, nu? Desigur, nu toate sarcinile vor fi atât de ușoare, dar cunoștințele vă vor ajuta cu siguranță!

Și acum următoarea proprietate. Gata?

2. Bisectoarea unui unghi este locul punctelor echidistante de laturile unghiului.

Speriat? De fapt, nu este nimic de care să-ți faci griji. Matematicienii leneși au ascuns patru în două rânduri. Deci, ce înseamnă, „Bisector - locul punctelor"? Și asta înseamnă că sunt executate imediat Douăafirmatii:

1. Dacă un punct se află pe o bisectoare, atunci distanțele dintre el și laturile unghiului sunt egale.
2. Dacă la un moment dat distanțele față de laturile unghiului sunt egale, atunci acest punct neapărat se află pe bisectoare.

Vedeți diferența dintre afirmațiile 1 și 2? Dacă nu, atunci amintiți-vă de Pălărierul din „Alice în Țara Minunilor”: „Deci mai aveți ceva bun de spus, de parcă „văd ce mănânc” și „mănânc ce văd” ar fi același lucru!

Deci, trebuie să demonstrăm afirmațiile 1 și 2 și apoi afirmația: „bisectoarea este locul punctelor echidistante de laturile unghiului” se va dovedi!

De ce 1 este corect?

Luați orice punct de pe bisectoare și numiți-l.

Să lăsăm perpendiculare din acest punct către laturile unghiului.

Și acum... pregătiți-vă să vă amintiți semnele de egalitate ale triunghiurilor dreptunghiulare! Dacă le-ați uitat, atunci uitați-vă la secțiune.

Deci... două triunghiuri dreptunghiulare: și. Ei au:

• ipotenuză comună.
• (pentru că - bisectoarea!)

Deci - după unghi și ipotenuză. Prin urmare, catetele corespunzătoare acestor triunghiuri sunt egale! i.e.

Am demonstrat că punctul este îndepărtat în mod egal (sau egal) de laturile unghiului. Punctul 1 a fost tratat. Acum să trecem la punctul 2.

De ce 2 este corect?

Și conectează punctele.

Deci, adică se află pe bisectoare!

Asta e tot!

Cum pot fi aplicate toate acestea la rezolvarea problemelor? De exemplu, în sarcini există adesea o astfel de expresie: „Cercul atinge laturile unghiului ...”. Ei bine, trebuie să găsești ceva.

Iti dai seama repede de asta

Și poți folosi egalitatea.

3. Trei bisectoare dintr-un triunghi se intersectează într-un punct

Din proprietatea bisectoarei de a fi locul punctelor echidistante de laturile unghiului, urmează următoarea afirmație:

Cum curge mai exact? Dar uite: două bisectoare se vor intersecta cu siguranță, nu?

Și a treia bisectoare ar putea merge așa:

Dar, de fapt, totul este mult mai bine!

Să luăm în considerare punctul de intersecție a două bisectoare. Să o sunăm.

Ce am folosit aici de ambele ori? da paragraful 1, desigur! Dacă un punct se află pe bisectoare, atunci este la fel de îndepărtat de laturile unghiului.

Și așa s-a întâmplat.

Dar priviți cu atenție aceste două egalități! La urma urmei, din ele rezultă că și, prin urmare, .

Și acum va funcționa punctul 2: dacă distanțele față de laturile unghiului sunt egale, atunci punctul se află pe bisectoarea ... a ce unghi? Privește din nou poza:

și sunt distanțele față de laturile unghiului și sunt egale, ceea ce înseamnă că punctul se află pe bisectoarea unghiului. A treia bisectoare a trecut prin același punct! Toate cele trei bisectoare se intersectează la un moment dat! Și, ca un cadou suplimentar -

Razele înscrisă cercuri.

(Pentru fidelitate, uita-te la un alt subiect).

Ei bine, acum nu vei uita niciodată:

Punctul de intersecție al bisectoarelor unui triunghi este centrul cercului înscris în el.

Să trecem la următoarea proprietate... Wow, și o bisectoare are o mulțime de proprietăți, nu? Și acest lucru este grozav, deoarece cu cât mai multe proprietăți, cu atât mai multe instrumente pentru rezolvarea problemelor legate de bisectoare.

4. Bisectoare și paralelism, bisectoare ale unghiurilor adiacente

Faptul că bisectoarea traversează unghiul în unele cazuri duce la rezultate complet neașteptate. De exemplu,

Cazul 1

E grozav, nu? Să înțelegem de ce.

Pe de o parte, desenăm o bisectoare!

Dar, pe de altă parte, - ca niște colțuri întinse transversal (amintiți-vă subiectul).

Și acum se dovedește că; arunca pe mijloc: ! - isoscel!

Cazul 2

Imaginați-vă un triunghi (sau uitați-vă la o imagine)

Să continuăm cot la punct. Acum sunt două colțuri:

• - colțul interior
• - colțul exterior - este afară, nu?

Deci, și acum cineva a vrut să deseneze nu una, ci două bisectoare deodată: și pentru și pentru. Ce se va intampla?

Și se va dovedi dreptunghiular!

În mod surprinzător, exact asta este.

Noi înțelegem.

Care crezi că este suma?

Desigur, pentru că toate împreună fac un astfel de unghi încât se dovedește a fi o linie dreaptă.

Și acum ne amintim că și sunt bisectoare și vom vedea că în interiorul unghiului este exact jumătate din suma tuturor celor patru unghiuri: și - - adică exact. Se poate scrie și sub formă de ecuație:

Deci, incredibil, dar adevărat:

Unghiul dintre bisectoarele unghiurilor interior și exterior ale triunghiului este egal.

Cazul 3

Vedeți că totul este la fel aici ca și pentru colțurile interioare și exterioare?

Sau ne gândim din nou de ce este așa?

Din nou, în ceea ce privește colțurile adiacente,

(așa cum corespunde cu bazele paralele).

Și din nou, machiază exact jumatate din suma

Concluzie: Dacă există bisectoare în problemă legate de unghiuri sau bisectoare respectiv unghiurile unui paralelogram sau trapez, atunci în această problemă cu siguranță este implicat un triunghi dreptunghic și poate chiar un dreptunghi întreg.

5. Bisectoare și latura opusă

Se pare că bisectoarea unghiului unui triunghi împarte latura opusă nu cumva, ci într-un mod special și foarte interesant:

adica:

Fapt uimitor, nu-i așa?

Acum vom demonstra acest fapt, dar pregătiți-vă: va fi puțin mai dificil decât înainte.

Din nou - o ieșire în „spațiu” - o clădire suplimentară!

Să mergem drept.

Pentru ce? Acum vom vedea.

Continuăm bisectoarea până la intersecția cu linia.

O poză cunoscută? Da, da, da, exact la fel ca în paragraful 4, cazul 1 - se dovedește că (- bisectoare)

Ca minciuna în cruce

Deci, și asta este.

Acum să ne uităm la triunghiuri și.

Ce se poate spune despre ei?

Sunt asemătători. Ei bine, da, unghiurile lor sunt egale cu verticale. Deci două colțuri.

Acum avem dreptul să scriem relațiile părților corespunzătoare.

Și acum pe scurt:

Ai! Îmi aduce aminte de ceva, nu? Nu asta am vrut să dovedim? Da, da, asta e!

Vedeți cât de grozav s-a dovedit „mersul spațial” – construcția unei linii drepte suplimentare – nimic nu s-ar fi întâmplat fără ea! Și așa am dovedit asta

Acum îl poți folosi în siguranță! Să mai analizăm o proprietate a bisectoarelor unghiurilor unui triunghi - nu vă speriați, acum cel mai dificil lucru s-a terminat - va fi mai ușor.

Înțelegem asta

Teorema 1:

Teorema 2:

Teorema 3:

Teorema 4:

Teorema 5:

Teorema 6:

Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, atunci ești foarte cool.

Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă ai citit până la capăt, atunci ești în 5%!

Acum cel mai important lucru.

Ți-ai dat seama de teoria pe această temă. Și, repet, este... pur și simplu super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.

Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...

Pentru ce?

Pentru promovarea cu succes a examenului, pentru admiterea la institut la buget și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.

Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...

Oamenii care au primit o educație bună câștigă mult mai mult decât cei care nu au primit-o. Aceasta este statistica.

Dar acesta nu este principalul lucru.

Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că în fața lor se deschid mult mai multe oportunități și viața devine mai strălucitoare? nu stiu...

Dar gandeste-te singur...

Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examen și, în cele din urmă, fii... mai fericit?

UMPLȚI-VĂ MÂNA, REzolVÂND PROBLEME PE ACEST TEMA.

La examen nu vi se va cere teorie.

Vei avea nevoie rezolva problemele la timp.

Și, dacă nu le-ai rezolvat (MULTE!), cu siguranță vei face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu vei reuși la timp.

Este ca în sport - trebuie să repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.

Găsiți o colecție oriunde doriți neaparat cu solutii, analiza detaliata si decide, decide, decide!

Puteți folosi sarcinile noastre (nu este necesar) și cu siguranță le recomandăm.

Pentru a obține o mână de lucru cu ajutorul sarcinilor noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.

Cum? Există două opțiuni:

1. Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din acest articol -
2. Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse în toate cele 99 de articole din tutorial - Cumpărați un manual - 899 de ruble

Da, avem 99 de astfel de articole în manual și accesul la toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis imediat.

Accesul la toate sarcinile ascunse este asigurat pe toată durata de viață a site-ului.

In concluzie...

Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri cu teorie.

„Înțeles” și „Știu să rezolv” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.

Găsiți probleme și rezolvați!

În această lecție, vom analiza în detaliu ce proprietăți au punctele situate pe bisectoarea unghiului și punctele care se află pe bisectoarea perpendiculară pe segment.

Tema: Cercul

Lecția: Proprietățile bisectoarei și bisectoarei perpendiculare a unui segment de dreaptă

Luați în considerare proprietățile unui punct situat pe bisectoarea unghiului (vezi Fig. 1).

Orez. unu

Având în vedere un unghi , bisectoarea sa AL, punctul M se află pe bisectoare.

Teorema:

Dacă punctul M se află pe bisectoarea unghiului, atunci este echidistant de laturile unghiului, adică distanțele de la punctul M la AC și la BC ale laturilor unghiului sunt egale.

Dovada:

Luați în considerare triunghiuri și . Acestea sunt triunghiuri dreptunghiulare și sunt egale, deoarece. au o ipotenuză comună AM, iar unghiurile și sunt egale, deoarece AL este bisectoarea unghiului . Astfel, triunghiurile dreptunghiulare sunt egale în ipotenuză și unghi ascuțit, deci rezultă că , ceea ce trebuia să fie demonstrat. Astfel, un punct de pe bisectoarea unui unghi este echidistant de laturile acelui unghi.

Teorema inversă este adevărată.

Dacă un punct este echidistant de laturile unui unghi neexpandat, atunci se află pe bisectoarea sa.

Orez. 2

Este dat un unghi desfășurat, punctul M, astfel încât distanța de la acesta până la laturile unghiului să fie aceeași (vezi Fig. 2).

Demonstrați că punctul M se află pe bisectoarea unghiului.

Dovada:

Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei. Desenați din punctul M perpendicularele MK pe latura AB și MP pe latura AC.

Luați în considerare triunghiuri și . Acestea sunt triunghiuri dreptunghiulare și sunt egale, deoarece. au o ipotenuză comună AM, catetele MK și MR sunt egale după condiție. Astfel, triunghiurile dreptunghiulare sunt egale în ipotenuză și catete. Din egalitatea triunghiurilor rezultă egalitatea elementelor corespunzătoare, unghiuri egale se află împotriva catetelor egale, astfel, , prin urmare, punctul M se află pe bisectoarea unghiului dat.

Teoremele directe și inverse pot fi combinate.

Teorema

Bisectoarea unui unghi neexpandat este locul punctelor echidistante de laturile unghiului dat.

Teorema

Bisectoarele AA 1 , BB 1 , CC 1 ale triunghiului se intersectează într-un punct O (vezi Fig. 3).

Orez. 3

Dovada:

Luați în considerare primele două bisectoare BB 1 și СС 1 . Se intersectează, punctul de intersecție O există. Pentru a demonstra acest lucru, să presupunem contrariul - fie bisectoarele date să nu se intersecteze, caz în care sunt paralele. Atunci linia BC este o secantă, iar suma unghiurilor , aceasta contrazice faptul că în întregul triunghi suma unghiurilor este .

Deci, punctul O de intersecție a două bisectoare există. Luați în considerare proprietățile sale:

Punctul O se află pe bisectoarea unghiului , ceea ce înseamnă că este echidistant de laturile sale BA și BC. Dacă OK este perpendicular pe BC, OL este perpendicular pe BA, atunci lungimile acestor perpendiculare sunt egale cu -. De asemenea, punctul O se află pe bisectoarea unghiului și este echidistant de laturile sale CB și CA, perpendicularele OM și OK sunt egale.

Avem următoarele egalități:

, adică toate cele trei perpendiculare căzute din punctul O spre laturile triunghiului sunt egale între ele.

Ne interesează egalitatea perpendicularelor OL și OM. Această egalitate spune că punctul O este echidistant de laturile unghiului, prin urmare se află pe bisectoarea sa AA 1.

Astfel, am demonstrat că toate cele trei bisectoare ale unui triunghi se intersectează într-un punct.

Să ne întoarcem la considerarea segmentului, bisectoarei sale perpendiculare și proprietăților punctului care se află pe bisectoarea perpendiculară.

Este dat segmentul AB, p este bisectoarea perpendiculară. Aceasta înseamnă că linia p trece prin punctul de mijloc al segmentului AB și este perpendiculară pe acesta.

Teorema

Orez. 4

Orice punct situat pe bisectoarea perpendiculară este echidistant de capetele segmentului (vezi Fig. 4).

Demonstrează asta

Dovada:

Luați în considerare triunghiuri și . Sunt dreptunghiulare și egale, pentru că. au un catete comun OM, iar catetele lui AO și OB sunt egale prin condiție, astfel, avem două triunghiuri dreptunghiulare egale în două catete. Rezultă că și ipotenuzele triunghiurilor sunt egale, adică ceea ce trebuia demonstrat.

Rețineți că segmentul AB este o coardă comună pentru multe cercuri.

De exemplu, primul cerc centrat în punctul M și raza MA și MB; al doilea cerc centrat în punctul N, raza NA și NB.

Astfel, am demonstrat că, dacă un punct se află pe bisectoarea perpendiculară a unui segment, acesta este echidistant de capetele segmentului (vezi Fig. 5).

Orez. 5

Teorema inversă este adevărată.

Teorema

Dacă un punct M este echidistant de capetele unui segment, atunci se află pe bisectoarea perpendiculară pe acest segment.

Se dă segmentul AB, mediana perpendiculară pe acesta p, punctul M, echidistant de capetele segmentului (vezi Fig. 6).

Demonstrați că punctul M se află pe bisectoarea perpendiculară pe segment.

Orez. 6

Dovada:

Să luăm în considerare un triunghi. Este isoscel, ca prin condiție. Luați în considerare mediana triunghiului: punctul O este mijlocul bazei AB, OM este mediana. Conform proprietății unui triunghi isoscel, mediana trasată la baza lui este atât o înălțime, cât și o bisectoare. De aici rezultă că. Dar dreapta p este și perpendiculară pe AB. Știm că o singură perpendiculară pe segmentul AB poate fi trasă până la punctul O, ceea ce înseamnă că dreptele OM și p coincid, de aici rezultă că punctul M aparține dreptei p, care se cerea demonstrată.

Teoremele directe și inverse pot fi generalizate.

Teorema

Bisectoarea perpendiculară a unui segment este locul punctelor echidistante de capetele sale.

Un triunghi, după cum știți, este format din trei segmente, ceea ce înseamnă că în el pot fi desenate trei bisectoare perpendiculare. Se dovedește că se intersectează la un moment dat.

Bisectoarele perpendiculare ale unui triunghi se intersectează într-un punct.

Se dă un triunghi. Perpendicular pe laturile sale: P 1 pe latura BC, P 2 pe latura AC, P 3 pe latura AB (vezi Fig. 7).

Demonstrați că perpendicularele Р 1 , Р 2 și Р 3 se intersectează în punctul O.

Astăzi va fi o lecție foarte ușoară. Vom lua în considerare un singur obiect - bisectoarea unghiului - și vom demonstra cea mai importantă proprietate a acestuia, care ne va fi foarte utilă în viitor.

Nu vă relaxați: uneori, studenții care doresc să obțină un scor mare la același OGE sau USE, în prima lecție, nu pot formula nici măcar definiția exactă a bisectoarei.

Și în loc să facem sarcini cu adevărat interesante, petrecem timp pe lucruri atât de simple. Deci citește, urmărește și adoptă. :)

Pentru început, o întrebare puțin ciudată: ce este un unghi? Așa este: un unghi sunt doar două raze care ies din același punct. De exemplu:

Exemple de unghiuri: acute, obtuz și drept

După cum puteți vedea din imagine, colțurile pot fi ascuțite, obtuze, drepte - nu contează acum. Adesea, pentru comoditate, pe fiecare rază este marcat un punct suplimentar și se spune, spun ei, că avem un unghi $AOB$ (scris ca $\angle AOB$).

Căpitanul pare să sugereze că, pe lângă razele $OA$ și $OB$, se pot trage oricând o grămadă de raze din punctul $O$. Dar printre ei va fi unul special - se numește bisectoare.

Definiție. Bisectoarea unui unghi este o rază care iese din vârful acelui unghi și bisectează unghiul.

Pentru unghiurile de mai sus, bisectoarele vor arăta astfel:

Exemple de bisectoare pentru unghiuri acute, obtuze și drepte

Deoarece în desenele reale este departe de a fi întotdeauna evident că o anumită rază (în cazul nostru, aceasta este raza $OM$) împarte unghiul inițial în două egale, se obișnuiește în geometrie să marcheze unghiuri egale cu același număr de arce (în desenul nostru acesta este 1 arc pentru un unghi ascuțit, doi pentru contondent, trei pentru drept).

Bine, ne-am dat seama de definiție. Acum trebuie să înțelegeți ce proprietăți are bisectoarea.

Proprietatea de bază a bisectoarei unghiului

De fapt, bisectoarea are o mulțime de proprietăți. Și cu siguranță le vom lua în considerare în următoarea lecție. Dar există un truc pe care trebuie să-l înțelegi chiar acum:

Teorema. Bisectoarea unui unghi este locul punctelor echidistante de laturile unghiului dat.

Tradus din matematică în rusă, aceasta înseamnă două fapte simultan:

1. Fiecare punct situat pe bisectoarea unui unghi se află la aceeași distanță de laturile acelui unghi.
2. Și invers: dacă un punct se află la aceeași distanță de laturile unui unghi dat, atunci este garantat să se afle pe bisectoarea acestui unghi.

Înainte de a demonstra aceste afirmații, să clarificăm un punct: cum se numește, de fapt, distanța de la un punct la o latură a unghiului? Vechea definiție bună a distanței de la un punct la o linie ne va ajuta aici:

Definiție. Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei trasate de la acel punct la acea dreaptă.

De exemplu, luați în considerare o linie $l$ și un punct $A$ care nu se află pe această linie. Desenați o perpendiculară $AH$, unde $H\în l$. Atunci lungimea acestei perpendiculare va fi distanța de la punctul $A$ la dreapta $l$.

Reprezentarea grafică a distanței de la un punct la o dreaptă

Deoarece un unghi este doar două raze și fiecare rază este o bucată dintr-o linie, este ușor să determinați distanța de la un punct la laturile unghiului. Sunt doar două perpendiculare:

Determinați distanța de la un punct la laturile unui unghi

Asta e tot! Acum știm ce este distanța și ce este o bisectoare. Prin urmare, putem demonstra proprietatea principală.

După cum am promis, împărțim dovada în două părți:

1. Distanțele de la un punct de pe bisectoare până la laturile unghiului sunt aceleași

Luați în considerare un unghi arbitrar cu vârf $O$ și bisectoare $OM$:

Să demonstrăm că același punct $M$ se află la aceeași distanță de laturile unghiului.

Dovada. Să desenăm perpendiculare din punctul $M$ la laturile unghiului. Să le numim $M((H)_(1))$ și $M((H)_(2))$:

Desenați perpendiculare pe părțile laterale ale colțului

Avem două triunghiuri dreptunghiulare: $\vartriangle OM((H)_(1))$ și $\vartriangle OM((H)_(2))$. Au o ipotenuză comună $OM$ și unghiuri egale:

1. $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$ prin presupunere (deoarece $OM$ este bisectoare);
2. $\angle M((H)_(1))O=\angle M((H)_(2))O=90()^\circ $ prin construcție;
3. $\angle OM((H)_(1))=\angle OM((H)_(2))=90()^\circ -\angle MO((H)_(1))$ deoarece suma unghiurile ascuțite ale unui triunghi dreptunghic sunt întotdeauna egale cu 90 de grade.

Prin urmare, triunghiurile sunt egale în latură și două unghiuri adiacente (vezi semnele de egalitate a triunghiurilor). Prin urmare, în special, $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, adică. distantele de la punctul $O$ la laturile unghiului sunt intr-adevar egale. Q.E.D.:)

2. Dacă distanțele sunt egale, atunci punctul se află pe bisectoare

Acum situația este inversată. Să fie dat un unghi $O$ și un punct $M$ echidistant de laturile acestui unghi:

Să demonstrăm că raza $OM$ este o bisectoare, i.e. $\unghi MO((H)_(1))=\unghi MO((H)_(2))$.

Dovada. Pentru început, să desenăm chiar această rază $OM$, altfel nu va fi nimic de demonstrat:

A petrecut fasciculul $OM$ în interiorul colțului

Obținem din nou două triunghiuri dreptunghiulare: $\vartriangle OM((H)_(1))$ și $\vartriangle OM((H)_(2))$. Evident, sunt egali pentru că:

1. Ipotenuza $OM$ este comună;
2. Picioarele $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ prin condiție (deoarece punctul $M$ este echidistant de laturile colțului);
3. Picioarele rămase sunt de asemenea egale, deoarece prin teorema lui Pitagora $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

Prin urmare, triunghiurile $\vartriangle OM((H)_(1))$ și $\vartriangle OM((H)_(2))$ pe trei laturi. În special, unghiurile lor sunt egale: $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$. Și asta înseamnă doar că $OM$ este o bisectoare.

În încheierea demonstrației, notăm unghiurile egale formate cu arce roșii:

Bisectoarea împarte unghiul $\angle ((H)_(1))O((H)_(2))$ în două egale

După cum puteți vedea, nimic complicat. Am demonstrat că bisectoarea unui unghi este locul punctelor echidistante de laturile acestui unghi. :)

Acum că ne-am hotărât mai mult sau mai puțin asupra terminologiei, este timpul să trecem la un nou nivel. În lecția următoare, vom analiza proprietăți mai complexe ale bisectoarei și vom învăța cum să le aplicăm pentru a rezolva probleme reale.

Bisectoarea unui triunghi - un segment al bisectoarei unghiului unui triunghi, închis între vârful triunghiului și latura opusă acestuia.

Proprietăți bisectoare

1. Bisectoarea unui triunghi bisectează unghiul.

2. Bisectoarea unghiului unui triunghi împarte latura opusă într-un raport egal cu raportul a două laturi adiacente ()

3. Bisectoarele unui unghi al unui triunghi sunt echidistante de laturile acelui unghi.

4. Bisectoarele unghiurilor interioare ale unui triunghi se intersectează într-un punct - centrul cercului înscris în acest triunghi.

Câteva formule legate de bisectoarea unui triunghi

(dovada formulei - )
, Unde
- lungimea bisectoarei trasă în lateral,
- laturile triunghiului față de vârfuri, respectiv,
- lungimea segmentelor în care bisectoarea împarte latura,

Vă invit să urmăriți lecție video, care demonstrează aplicarea tuturor proprietăților bisectoarei de mai sus.

Sarcinile acoperite în videoclip:
1. În triunghiul ABC cu laturile AB=2 cm, BC=3 cm, AC=3 cm se trasează bisectoarea BM. Aflați lungimile segmentelor AM și MC
2. Bisectoarea unghiului interior la vârful A și bisectoarea unghiului exterior la vârful C a triunghiului ABC se intersectează în punctul M. Aflați unghiul BMC, dacă unghiul B este de 40, unghiul C este de 80 de grade
3. Aflați raza unui cerc înscris într-un triunghi, considerând laturile celulelor pătrate egale cu 1

S-ar putea să fiți interesat și de un scurt tutorial video în care se aplică una dintre proprietățile bisectoarei

În această lecție, vom aminti conceptul de bisectoare, vom formula și demonstra teoreme directe și inverse asupra proprietăților bisectoarei și le vom generaliza. Vom rezolva o problemă în care, pe lângă faptele despre bisectoare, aplicăm și alte fapte geometrice.

Tema: Cercul

Lecția: Proprietățile unei bisectoare. Sarcini

Triunghiul este figura centrală a întregii geometrii și se spune în glumă că este inepuizabil, ca un atom. Proprietățile sale sunt numeroase, interesante, distractive. Luăm în considerare câteva dintre aceste proprietăți.

Orice triunghi este în primul rând trei unghiuri și trei segmente (vezi Fig. 1).

Orez. unu

Se consideră un unghi cu vârful A și laturile B și C - unghi.

În orice unghi, inclusiv unghiul unui triunghi, puteți desena o bisectoare - adică o linie dreaptă care împarte unghiul la jumătate (vezi Fig. 2).

Orez. 2

Luați în considerare proprietățile unui punct situat pe bisectoarea unui unghi (vezi Fig. 3).

Să considerăm un punct M situat pe bisectoarea unui unghi.

Amintiți-vă că distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei căzute de la acest punct la linie.

Orez. 3

Evident, dacă luăm un punct care nu se află pe bisectoare, atunci distanțele de la acest punct la laturile unghiului vor fi diferite. Distanța de la punctul M până la părțile laterale ale colțului este aceeași.

Teorema

Fiecare punct al bisectoarei unui unghi neexpandat este echidistant de laturile unghiului, adică distanțele de la punctul M la AC și la BC ale laturilor unghiului sunt egale.

Este dat un unghi, bisectoarea sa este AL, punctul M se află pe bisectoare (vezi Fig. 4).

Demonstrează că.

Orez. 4

Dovada:

Luați în considerare triunghiuri și . Acestea sunt triunghiuri dreptunghiulare și sunt egale, deoarece au o ipotenuză comună AM, iar unghiurile și sunt egale, deoarece AL este bisectoarea unghiului. Astfel, triunghiurile dreptunghiulare sunt egale în ipotenuză și unghi ascuțit, deci rezultă că , ceea ce trebuia să fie demonstrat. Astfel, un punct de pe bisectoarea unui unghi este echidistant de laturile acelui unghi.

Teorema inversă este adevărată.

Teorema

Dacă un punct este echidistant de laturile unui unghi neexpandat, atunci se află pe bisectoarea sa.

Se dă un unghi nedezvoltat, punctul M, astfel încât distanța de la acesta până la laturile unghiului să fie aceeași.

Demonstrați că punctul M se află pe bisectoarea unghiului (vezi Fig. 5).

Orez. 5

Dovada:

Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei. Desenați din punctul M perpendicularele MK pe latura AB și MP pe latura AC.

Luați în considerare triunghiuri și . Acestea sunt triunghiuri dreptunghiulare și sunt egale, deoarece au o ipotenuză comună AM, catetele lui MK și MR sunt egale prin condiție. Astfel, triunghiurile dreptunghiulare sunt egale în ipotenuză și catete. Din egalitatea triunghiurilor rezultă egalitatea elementelor corespunzătoare, unghiuri egale se află împotriva catetelor egale, astfel, , prin urmare, punctul M se află pe bisectoarea unghiului dat.

Uneori, teoremele directe și inverse sunt combinate după cum urmează:

Teorema

Un punct este echidistant de laturile unui unghi dacă și numai dacă se află pe bisectoarea acelui unghi.

Echidistanța punctelor bisectoare față de laturile unghiului este utilizată pe scară largă în diverse probleme.

Problema #674 din manualul lui Atanasyan, geometrie, clasele 7-9:

Din punctul M al bisectoarei unui unghi neexpandat, pe laturile acestui unghi sunt trasate perpendicularele MA și MB (vezi Fig. 6). Demonstrează că.

Dați: unghiul, bisectoarea OM, perpendicularele MA și MB pe laturile unghiului.

Orez. 6

Demonstrați că:

Dovada:

Conform teoremei directe, punctul M este echidistant de laturile unghiului, deoarece prin condiție se află pe bisectoarea sa. .

Luați în considerare triunghiuri dreptunghiulare și (vezi Fig. 7). Au o ipotenuză comună OM, catetele MA și MB sunt egale, așa cum am demonstrat mai devreme. Deci două dreptunghiulare

Orez. 7

triunghiurile sunt egale în catete și ipotenuză. Din egalitatea triunghiurilor decurge egalitatea elementelor lor corespondente, de unde egalitatea unghiurilor și egalitatea celorlalte picioare.

Din egalitatea catetelor OA și OB rezultă că triunghiul este isoscel, iar AB este baza lui. Linia OM este bisectoarea unui triunghi. După proprietatea unui triunghi isoscel, această bisectoare este și o înălțime, ceea ce înseamnă că dreptele OM și AB se intersectează în unghi drept, ceea ce trebuia demonstrat.

Deci, am luat în considerare teoremele directe și inverse asupra proprietății unui punct situat pe bisectoarea unui unghi, le-am generalizat și am rezolvat problema prin aplicarea diferitelor fapte geometrice, inclusiv această teoremă.

Bibliografie

1. Aleksandrov A.D. etc. Geometrie, nota 8. - M.: Educație, 2006.
2. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometrie, clasa a VIII-a. - M.: Educație, 2011.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometrie, clasa a VIII-a. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Bymath.net().
2. Oldskola1.narod.ru ().

Teme pentru acasă

1. Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. şi colab.Geometrie, 7-9, nr.676-678, art. 180.