Capitolul III. Curbe de ordinul doi

§ 40. Hiperbola.

Hiperbolă se numeste multime puncte plane, pentru fiecare dintre care modulul diferenței de distanțe până la două puncte date ale planului este constant și distanta mai mica intre aceste puncte.

Aceste puncte sunt numite trucuri hiperbole, iar distanța dintre ele este focal distanţă.

Notați focarele hiperbolei cu literele F 1 și F 2 .
Lăsa distanta focala| F 1 F 2 | = 2 Cu.

Dacă M este un punct arbitrar al hiperbolei (Fig. 112), atunci, după definiția hiperbolei, modulul diferenței | F 1 M | - | F 2 M | constant. Indicând-o prin 2 A, primim

| | F 1 M | - | F 2 M | | = 2 A. (1)

Rețineți că prin definiția hiperbolei 2 A< 2Cu, adică A< с .

Egalitatea (1) este ecuația unei hiperbole.

Alegem un sistem de coordonate astfel încât axa absciselor să treacă prin focarele hiperbolei; trageți axa y prin mijlocul segmentului F 1 F 2 perpendicular pe acesta (Fig. 113).

Atunci focarele hiperbolei vor fi punctele F 1 (- c; 0) și F 2 ( c; 0).

Fie M( X; la) este orice punct al hiperbolei, atunci

| F 1 M | = √( x+c) 2 + y 2 și | F 2 M | = √( x-c) 2 + y 2 .

Înlocuirea valorilor | F 1 M | și | F 2 M | în ecuația (1), obținem

| √(x+c) 2 + y 2 - √(x-c) 2 + y 2 | = 2A. (2)

Ecuația pe care am obținut-o este ecuația unei hiperbole în sistemul de coordonate ales. Această ecuație poate fi redusă la o formă mai simplă.

Lăsa X > 0, atunci ecuația (2) poate fi scrisă fără semnul modulului, după cum urmează:

√(x+c) 2 + y 2 - √(x-c) 2 + y 2 = 2A,

√(x+c) 2 + y 2 =2A + √(x-c) 2 + y 2 (3)

Să punem la pătrat ambele părți ale egalității rezultate:

(x + c) 2 + la 2 = 4A 2 + 4A √(x-c) 2 + y 2 + (x - c) 2 + la 2 .

După simplificări și transformări corespunzătoare:

√(x-c) 2 + y 2 = c / A x - a, (4)

(x - c) 2 + la 2 = (c / A x - a) 2 ,

ajungem la ecuație

(5)

Prin definiția unei hiperbole A< Cu, de aceea Cu 2 - A 2 - număr pozitiv. Să o notăm prin b 2, adică punem b 2 = Cu 2 - A 2. Atunci ecuația (5) ia forma

Împărțit termen cu termen în b 2, obținem ecuația

În cazul în care un X < 0, то уравнение (2) переписывается без знака модуля следующим образом:

√(x-c) 2 + y 2 - √(x+c) 2 + y 2 = 2A,

și în același mod ca în cazul X > 0 este convertit la forma (6).

Ecuația (6) se numește ecuația canonică a hiperbolei.

Cometariu. Punerea la pătrat a ambelor părți ale ecuațiilor (3) și (4) nu a încălcat echivalența ecuațiilor. Ambele părți ale ecuației (3) sunt în mod evident nenegative pentru toate valorile Xși la. Partea stângă a ecuației (4) este, de asemenea, întotdeauna nenegativă. La X > A partea dreaptă ecuația (4) este pozitivă, deoarece

c / A x - a > c / A a - a = c - a > 0

Deci, punctele străine ar putea apărea numai sub condiția 0 < X< а , dar din ecuația (6) rezultă că X 2 /A 2 > 1, adică | X | > A.

Sarcina 1. Scrie ecuație canonică hiperbola care trece printr-un punct
M (-5; 9/4) dacă distanța focală a hiperbolei este 10.

Deoarece |F 1 F 2 |= 10, atunci Cu= 5. Să scriem ecuația canonică a hiperbolei

Prin condiție, punctul M (-5; 9/4) aparține hiperbolei, prin urmare,

A doua ecuație de determinat A 2 și b 2 dă raportul

b 2 = Cu 2 -A 2 = 25 -A 2 .

După ce am rezolvat sistemul

găsi A 2 =16, b 2 = 9. Ecuația dorită va fi ecuația

Sarcina 2. Demonstrați că ecuația

20X 2 - 29y 2 = 580

este ecuația unei hiperbole. Găsiți coordonatele trucurilor.

Împărțind ambele părți ale ecuației la 580, obținem

Aceasta este ecuația hiperbolică pentru care A 2 = 29, b 2 = 20.
Din relatie c 2 = A 2 + b 2 găsi c 2 = 29 + 20 = 49, Cu= 7. Prin urmare, focarele hiperbolei sunt în punctele F 1 (-7; 0) și F 2 (7; 0).

1. Ecuația generală a curbelor de ordinul doi.

Orice ecuație de gradul doi în raport cu x și y, adică o ecuație de formă

unde – dat coeficienți constanți, și
, definește o dreaptă pe plan, care este de obicei numită curbă de ordinul doi. Este adevărat și invers. Există patru tipuri de curbe de ordinul doi: cerc, elipsă, hiperbolă și parabolă. Toate pot fi obținute prin tăierea unui con cu un plan și de aceea se mai numesc cai.

Ecuațiile curbei pot fi derivate din acestea proprietăți geometrice ca un loc de puncte care satisface anumite condiţii.

2. Cerc. Cercul este numit loc geometric puncte ale planului echidistante de un punct dat, numit centru.

Dacă r este raza cercului, iar punctul C () este centrul acestuia, atunci ecuația cercului are forma:

. (12.2)

Dacă centrul cercului coincide cu originea, atunci ecuația cercului are cea mai simplă formă canonică: .

Exemplul 14. Scrieți o ecuație pentru un cerc care trece prin puncte
A(5; 0) și B(1; 4), dacă centrul său se află pe dreapta x - y - 3 = 0.

Aflați coordonatele punctului M - mijlocul coardei AB:

, adică M(3; 2).

Centrul cercului este pe perpendiculara restabilită de la mijlocul segmentului AB. Să compunem ecuația dreptei AB:

, sau x + y - 5 = 0.

Panta dreptei AB este -1, deci panta perpendicularei . Ecuație perpendiculară

y - 2 \u003d 1 (x - 3) sau x - y - 1 \u003d 0.

Centrul cercului C se află pe dreapta x + y - 3 = 0 în funcție de starea problemei, precum și pe perpendiculara x - y - 1 = 0, adică coordonatele centrului satisfac sistemul de ecuații:

x - y - 3 = 0

x - y - 1 \u003d 0.

Prin urmare, x = 2, y = 1 și punctul C(2; 1).

Raza cercului egal cu lungimea segment CA:

Ecuația cercului: (x - 2) 2 + (y-1) 2 \u003d 10.

3. Elipsă. O elipsă este locul punctelor dintr-un plan, suma distanțelor cărora la două puncte date, numite focare, este o valoare constantă egală cu mai mare decât distanța dintre focare. Ecuația canonică a unei elipse este:

. (12.3)

Aici - semi-axa mare elipsa, este semiaxa minoră, iar dacă distanța dintre focare este 2c, atunci . Valoare se numeste excentricitatea elipsei si caracterizeaza masura compresiunii. Din moment ce cu< , то < 1. Расстояния от некоторой точки М, расположенной на эллипсе, до фокусов называются фокальными радиус-векторами этой точки. Фокальные радиус-векторы выражаются через абсциссу точки эллипса по формулам: .

Direct și se numesc directrice ale elipsei. Directricele unei elipse au următoarea proprietate: dacă r este vectorul rază focală a punctului M, d este distanța de la acest punct la directricea unilaterală cu focalizare, atunci .

Exemplul 15. Scrieți o ecuație pentru o elipsă ale cărei focare se află pe axa x, simetrică față de origine, știind că axa ei majoră este 8 și distanța dintre directrice este 16.

După condiția problemei ecuația Directrix ; distanța directrice , prin urmare ; deoarece , apoi , adică c = 2.

pentru că , apoi .

Ecuația elipsei: .

Notă: dacă în ecuația canonică a unei elipse , atunci focarele elipsei se află pe axa y și ; ecuații directrice: ; vectorii cu raza focală se determină prin formulele: .

Exemplul 16 Scrieți o ecuație pentru o elipsă ale cărei focare se află simetric pe axa y față de origine, știind că distanța dintre focare este 2c = 24, excentricitatea .

Ecuația canonică a unei elipse este: .

După condiţia problemei c = 12. întrucât , apoi , acesta este .

pentru că , apoi .

Ecuația elipsei: .

4. Hiperbolă. O hiperbola este locul punctelor dintr-un plan pentru care valoare absolută diferența dintre distanța la două puncte fixe ale aceluiași plan, numite focare, este o valoare constantă egală cu , mai mică decât distanța dintre focare ( ).

Ecuația canonică a unei hiperbole are forma:

, (12.4)

Unde .

Hiperbola este formată din două ramuri și este situată simetric față de axele de coordonate. puncte și numite vârfurile hiperbolei. Segment de linie se numește axa reală a hiperbolei, iar segmentul puncte de legătură și , - axa imaginară. O hiperbolă are două asimptote ale căror ecuații sunt . Atitudine se numește excentricitatea hiperbolei. Drept, dat de ecuaţii se numesc directrice ale hiperbolei. Vectori cu raza focală a ramului drept al hiperbolei: .

Vectori cu raza focală a ramurii stângi a hiperbolei: .

Ecuația este, de asemenea, o ecuație a unei hiperbole, dar axa reală a acestei hiperbole este un segment al axei OY de lungime . puncte și servesc ca vârfuri ale hiperbolei. Ramurile hiperbolei sunt situate în partea de sus și de jos plan de coordonate. Două hiperbole și se numesc hiperbole conjugate.

Exemplul 17. Excentricitatea hiperbolei este . Compuneți cea mai simplă ecuație a unei hiperbole care trece prin punctul M( ).

Prin definiția excentricității, avem , sau .

Dar , Prin urmare . Din moment ce punctul M( ) este pe o hiperbolă, atunci . De aici .

Astfel, ecuația hiperbolei dorite are forma: .

Exemplul 18. Unghiul dintre asimptotele hiperbolei este de 60°. Calculați excentricitatea hiperbolei.

Panta asimptotei hiperbolei
. Excentricitatea unei hiperbole
.

Înlocuirea valorii pantă, primim

.

Exemplul 19. Scrieți o ecuație pentru o hiperbolă care trece printr-un punct
M(9; 8) dacă asimptotele hiperbolei sunt date de ecuații .

Din ecuația asimptotă avem . Deoarece punctul M(9; 8) aparține hiperbolei, coordonatele acesteia satisfac ecuația hiperbolei, adică .

Pentru a găsi semiaxele hiperbolei, avem sistemul:

Rezolvând sistemul, obținem Ecuația dorită a hiperbolei are forma: .

5. Parabolă. O parabolă este locul punctelor dintr-un plan care sunt echidistante de un punct dat, numit focar, și de o dreaptă dată, numită directrice. Dacă directricea este dată de ecuație , iar focalizarea este în punctul F(), atunci ecuația parabolei are forma:

. (12.5)

Această parabolă este situată simetric față de axa x.

Ecuația este ecuația unei parabole simetrică față de axa y.

Lungimea vectorului rază focală al parabolei este determinat de formula .

Exemplul 20. Compuneți ecuația unei parabole cu un vârf la origine, simetric față de axa OY și tăind o coardă de lungime 8 pe bisectoarea primului și al treilea unghi de coordonate.

Ecuația parabolă dorită are forma .

Ecuația bisectoare y \u003d x. Să definim punctele de intersecție ale parabolei și bisectoarei:

După ce am rezolvat sistemul, obținem O(0; 0) și M(2p; 2p).

Lungimea acordului OM = .

După condiție, avem: OM \u003d 8, de unde 2p \u003d 8.

Ecuația parabolă dorită .

Ecuația plană

LA coordonate carteziene fiecare plan este definit de o ecuație de gradul întâi în necunoscutele x, y și z, iar fiecare ecuație de gradul în trei necunoscute definește un plan.

Să luăm un vector arbitrar cu începutul în punct . Să derivăm ecuația locului punctelor M(x, y, z), pentru fiecare dintre care vectorul perpendicular pe vector. Să notăm condiția de perpendicularitate a vectorilor:

Ecuația rezultată este liniară în x, y, z, prin urmare, definește un plan care trece prin punctul perpendicular pe vectorul . Vector se numește vectorul normal al planului. Extinderea parantezelor în ecuația plană rezultată și notarea numărului
litera D, o reprezentăm sub forma:

Ax + By + Cz + D = 0. (13.2)

Această ecuație se numește ecuația generală a planului. A, B, C și D sunt coeficienții ecuației, A 2 + B 2 + C 2 0.

1. Ecuații incomplete avioane.

Dacă în ecuația generală a planului unu, doi sau trei coeficienți sunt egali cu zero, atunci ecuația planului se numește incompletă. Se pot prezenta următoarele cazuri:

1) D = 0 - planul trece prin origine;

2) A = 0 - planul este paralel cu axa Ox;

3) B = 0 - planul este paralel cu axa Oy;

4) C = 0 - planul este paralel cu axa Oz;

5) A = B = 0 - planul este paralel cu planul XOY;

6) A \u003d C \u003d 0 - planul este paralel cu planul XOZ;

7) B = C = 0 - planul este paralel cu planul YOZ;

8) A \u003d D \u003d 0 - planul trece prin axa Ox;

9) B = D = 0 - planul trece prin axa Oy;

10) C \u003d D \u003d 0 - avionul trece prin axa Oz;

11) A = B = D = 0 - planul coincide cu planul XOY;

12) A = C = D = 0 - planul coincide cu planul XOZ;

13) C \u003d B \u003d D \u003d 0 - planul coincide cu planul YOZ.

2. Ecuația unui plan în segmente.

Dacă în ecuația generală a planului D 0, atunci se poate transforma în forma

, (13.3)

care se numește ecuația planului în segmente. - determinați lungimea segmentelor tăiate de plan pe axele de coordonate.

3. Ecuația normală a planului.

Ecuația

Unde sunt cosinusurile de direcție ale vectorului normal al planului , numit ecuația normală avioane. Pentru a aduce ecuația generală a planului la forma normală, aceasta trebuie înmulțită cu factorul de normalizare:
,

în acest caz, semnul din fața rădăcinii este ales din condiție .

Distanța d de la punct la plan este determinată de formula: .

4. Ecuația unui plan care trece prin trei puncte

Să luăm un punct arbitrar al planului M(x,y,z) și să conectăm punctul M1 cu fiecare dintre cele trei rămase. Obținem trei vectori. Pentru ca trei vectori să aparțină aceluiași plan, este necesar și suficient ca aceștia să fie coplanari. Condiția pentru compararea a trei vectori este egalitatea cu zero a acestora produs mixt, acesta este .

Scriind această egalitate în termeni de coordonatele punctelor, obținem ecuația dorită:

. (13.5)

5. Unghiul dintre planuri.

Planurile pot fi paralele, coincide sau se intersectează, formându-se unghi diedru. Să fie date două avioane ecuații generaleși . Pentru ca planele să coincidă, este necesar ca coordonatele oricărui punct care satisface prima ecuație să satisfacă și a doua ecuație.

Aceasta va avea loc dacă
.

În cazul în care un , atunci planurile sunt paralele.

Unghiul format din două plane care se intersectează, egal cu unghiul formate din vectorii lor normali. Cosinusul unghiului dintre vectori este determinat de formula:

Dacă , atunci planurile sunt perpendiculare.

Exemplul 21. Scrieți o ecuație pentru un plan care trece prin două puncte și perpendicular pe plan.

Scriem ecuația dorită în vedere generala: . Deoarece planul trebuie să treacă prin puncte și , coordonatele punctelor trebuie să satisfacă ecuația planului. Înlocuind coordonatele punctelor și , obținem: și .

Din condiția de perpendicularitate a planurilor avem: . Vector situat în planul dorit și, deci, perpendicular pe vectorul normal: .

Combinând ecuațiile obținute, avem:

Rezolvând sistemul, obținem: , , , .

Ecuația dorită are forma: .

A doua cale. vector normal avion dat are coordonate . Vector . Vectorul normal al planului necesar este perpendicular pe vector și pe vector , adică coliniar cu produsul vectorial . Calcula produs vectorial:
.

Vector
. Să scriem ecuația planului care trece prin punctul perpendicular pe vector:

Sau ecuația dorită.

Definiție . O hiperbola este un loc de puncte, diferența de la fiecare dintre acestea la două puncte date, numite focare, este o valoare constantă

Să luăm un sistem de coordonate astfel încât focarele să se afle pe axa absciselor, iar originea coordonatelor împarte segmentul F 1 F 2 la jumătate (Fig. 30). Se notează F 1 F 2 = 2c. Atunci F1 (c; 0); F2 (-c; 0)

MF 2 \u003d r 2, MF 1 \u003d r 1 - raze focale hiperbolă.

Conform definiției unei hiperbole, r 1 - r 2 = const.

Să o notăm cu 2a

Atunci r 2 - r 1 = ±2a deci:

=> ecuația canonică a unei hiperbole

Deoarece ecuația hiperbolei x și y este în puteri pare, atunci dacă punctul M 0 (x 0; y 0) se află pe hiperbolă, atunci punctele M 1 (x 0; -y 0) M 2 (-x) 0; -y0) M3 (-x0; -y0).

Prin urmare, hiperbola este simetrică față de ambele axe de coordonate.

Când y \u003d 0 x 2 \u003d a 2 x \u003d ± a. Vârfurile hiperbolei vor fi punctele A 1 (a; 0); A2 (-a; 0).

. Din cauza simetriei, studiul se desfășoară în primul trimestru

1) la
y are o valoare imaginară, de unde punctele hiperbolei cu abscise
nu exista

2) la x = a; y \u003d 0 A 1 (a; 0) aparține unei hiperbole

3) pentru x > a; y > 0. Mai mult, cu o creștere nelimitată a lui x, ramura hiperbolei merge la infinit.

Rezultă că o hiperbolă este o curbă formată din două ramuri infinite.

P 6. Asimptotele unei hiperbole

Luați în considerare împreună cu ecuația
ecuație în linie dreaptă

La curba se va afla sub linia dreaptă (Fig. 31). Luați în considerare punctele N (x, Y) și M (x, y) ale căror abscise sunt aceleași și Y - y \u003d MN. Luați în considerare lungimea segmentului MN

Sa gasim

Deci, dacă punctul M, care se deplasează de-a lungul hiperbolei în primul sfert, se îndepărtează la infinit, atunci distanța sa de la linia dreaptă
scade si tinde spre zero.

Datorită simetriei, linia dreaptă are aceeași proprietate.
.

Definiție. linii directe către care
curba se apropie la infinit se numesc asimptote.

Și
deci, ecuația asimptotelor hiperbolei
.

Asimptotele hiperbolei sunt situate de-a lungul diagonalelor unui dreptunghi, a cărui latură este paralelă cu axa x și este egală cu 2a, iar cealaltă este paralelă cu axa y și este egală cu 2b, iar centrul se află la origine (Fig. 32).

P 7. Excentricitatea și directricele unei hiperbole

r 2 – r 1 = ± 2a semnul + se referă la ramura dreaptă a hiperbolei

semn - se referă la ramura stângă a hiperbolei

Definiție. Excentricitatea unei hiperbole este raportul dintre distanța dintre focarele acestei hiperbole și distanța dintre vârfurile sale.

. Deoarece c > a, ε > 1

Exprimăm razele focale ale hiperbolei în termeni de excentricitate:

Definiție . Să sunăm liniile
, perpendicular pe axa focală a hiperbolei și situat la distanțădin centrul său prin directrixa hiperbolei corespunzătoare focarelor drepte și stângi.

T
ca pentru hiperbolă
în consecinţă, directricele hiperbolei sunt situate între vârfurile acesteia (Fig. 33). Să arătăm că raportul dintre distanțe ale oricărui punct al hiperbolei față de focar și directrixa corespunzătoare este o constantă și egală cu ε.

P. 8 Parabola și ecuația ei

O
definiție. O parabolă este locul punctelor care sunt echidistante de un punct dat, numit focar, și de o linie dată, numită directrice.

Pentru a alcătui ecuația unei parabole, luăm ca axa x o dreaptă care trece prin focarul F 1 perpendicular pe directrice și vom considera axa x direcționată de la directrice către focar. Pentru originea coordonatelor, luăm punctul mijlociu O al segmentului din punctul F până la dreapta dată, a cărei lungime o notăm cu p (Fig. 34). Mărimea p va fi numită parametrul parabolei. Punctul de coordonare focalizat
.

Fie M(x, y) un punct arbitrar al parabolei.

Prin definitie

la 2 = 2px este ecuația canonică a parabolei

Pentru a determina tipul de parabolă, transformăm ecuația acesteia
asta implică . Prin urmare, vârful parabolei este la origine, iar axa de simetrie a parabolei este x. Ecuația y 2 \u003d -2px cu p pozitiv este redusă la ecuația y 2 \u003d 2px prin înlocuirea x cu -x și graficul său arată ca (Fig. 35).

La
ecuația x 2 \u003d 2py este ecuația unei parabole cu un vârf în punctul O (0; 0) ale cărui ramuri sunt îndreptate în sus.

X
2 \u003d -2ru - ecuația unei parabole centrată la origine este simetrică față de axa y, ale cărei ramuri sunt îndreptate în jos (Fig. 36).

O parabolă are o axă de simetrie.

Dacă x este la prima putere și y este la a doua putere, atunci axa de simetrie este x.

Dacă x este la a doua putere și y este la prima putere, atunci axa de simetrie este axa y.

Observația 1. Ecuația directrice a unei parabole are forma
.

Observația 2. Deoarece pentru o parabolă , apoiε parabola este 1.ε = 1 .

Având în vedere ecuația unei elipse.

Soluţie:

Scriem ecuația elipsei în forma canonică:
.

De aici
. Folosind relația
, găsim
. Prin urmare,
.

Conform formulei găsi .

Ecuații directrice
arată ca
, distanța dintre ele
.

Conform formulei
găsiți abscisa punctelor, distanța de la care până la punct este egal cu 12:

. Înlocuirea valorii Xîn ecuația unei elipse, găsim ordonatele acestor puncte:

Astfel, punctul A(7;0) satisface condiția problemei.

Problema 56.

Scrieți o ecuație pentru o elipsă care trece prin puncte.

Soluţie:

Căutăm ecuația elipsei în formă
.

Deoarece elipsa trece prin puncte
, atunci coordonatele lor satisfac ecuația elipsei:
. Înmulțind a doua egalitate cu (-4) și adunând la prima, găsim
.

Înlocuirea valorii găsite în prima ecuație, găsim
. Astfel, ecuația dorită
.

Problema 57.

;
.

Hiperbolă

Hiperbolă o linie se numește, constând din toate punctele planului, modulul diferenței de distanțe de la care la două puncte date. și este o valoare constantă (nu egală cu zero și mai mică decât distanța dintre puncte și ).

puncte și numit trucuri hiperbolă. Fie distanța dintre focare
. Modulul de distanțe de la punctele de hiperbolă la focare și notează prin . După condiție,
.

,

Unde
- coordonatele punct arbitrar hiperbolă,

.

Ecuația
numit ecuație canonică hiperbolă.

Hiperbola are două asimptote
.

excentricitate hiperbola se numește număr . Pentru orice hiperbolă
.

Razele focale ale unui punct de hiperbolă numite segmente de linie care leagă acest punct cu focarele și . Lungimile lor și sunt date de formulele:

Direct
se numesc directrice ale hiperbolei. Ca și în cazul unei elipse, punctele unei hiperbole sunt caracterizate prin relație .

Problema 58.

Aflați distanța dintre focare și excentricitatea hiperbolei
.

Răspuns:
.

Problema 59.

Scrieți ecuația canonică a hiperbolei dacă (
). Determinați excentricitatea hiperbolei.

Răspuns:
.

Problema 60.

Scrieți ecuația canonică a unei hiperbole simetrice în jurul axelor de coordonate dacă trece printr-un punct
, iar excentricitatea este
.

Răspuns:
.

Problema 61.

Găsiți ecuațiile unei hiperbole ale cărei vârfuri sunt la focare și ale cărei focare sunt la vârfurile unei elipse
.

Răspuns:
.

Problema 62.

Determinați locul punctelor
, distanțele de la care până la linia dreaptă
jumătate din cât înainte de punct
.

Răspuns:
.

Problema 63.

Scrieți ecuația unei hiperbole simetrice față de sistemul de coordonate dacă trece prin puncte
,
.

Răspuns:
.

Sarcina 64.

Scrieți o ecuație pentru o hiperbolă dacă asimptotele ei sunt date de ecuație
, iar hiperbola trece prin punct
.

Răspuns:
.

Problema 65.

Cum sunt situate punctele pe plan, ale căror coordonate îndeplinesc condițiile:

.

Parabolă

parabolă numită dreptă formată din toate punctele planului echidistante de un punct dat
(concentrare) și linie dată (directori).

Pentru a deduce ecuația canonică a parabolei, axa
trece prin focar
perpendicular pe directrice în direcția de la directrix la focalizare; originea coordonatelor este luată în mijlocul segmentului dintre focar
și punct
intersecția axelor
cu doamna directoare . Dacă este notat cu atunci distanța de focalizare de la directrice
iar ecuația directrice va arăta ca
.

În sistemul de coordonate ales, ecuația parabolei are forma:
. Această ecuație se numește ecuația canonică a parabolei.