SOLUȚIA INEGALITATILOR LINEARE

Proprietățile egalităților numerice ne-au ajutat să rezolvăm ecuații, adică să găsim acele valori ale variabilei pentru care ecuația se transformă într-o egalitate numerică adevărată. În același mod, proprietățile inegalităților numerice ne vor ajuta să rezolvăm inegalitățile cu o variabilă, adică să găsim acele valori ale variabilei pentru care inegalitatea cu variabila se transformă într-o adevărată inegalitate numerică. Fiecare astfel de valoare a unei variabile este de obicei numită o soluție a unei inegalități cu o variabilă.

Luați în considerare, de exemplu, inegalitatea

2x + 5< 7.

Înlocuind în loc de X sens 0 , primim 5 < 7 - inegalitatea adevărată; mijloace, x = 0 X sens 1 , primim 7 < 7 - inegalitatea greșită; De aceea x = 1 nu este o soluție la această inegalitate. Înlocuind în loc de X sens -3 , primim -6 + 5 < 7 , adică - 1 < 7 - inegalitatea adevărată; prin urmare, x = -3 este soluția acestei inegalități. Înlocuind în loc de X sens 2,5 , primim 2 - 2,5 + 5 < 7 , adică 10 < 7 - inegalitatea greșită. Mijloace, x = 2,5 nu este o soluție la inegalitate.

Dar înțelegeți că acesta este o fundătură: nici un matematician nu va rezolva o inegalitate în acest fel, pentru că nu se pot rezolva toate numerele! Aici trebuie să utilizați proprietățile inegalităților numerice, argumentând după cum urmează.

Suntem interesați de astfel de numere X, la care 2x + 5< 7 - inegalitatea numerică corectă. Dar apoi și 2x + 5 - 5< 7 - 5 - inegalitatea adevărată (conform proprietății 2: același număr a fost adăugat la ambele părți ale inegalității - 5 ). Avem o inegalitate mai simplă 2x< 2 . Împărțirea ambelor părți la un număr pozitiv 2 , obținem (pe baza proprietății 3) inegalitatea corectă X< 1 .

Ce înseamnă? Aceasta înseamnă că soluția inegalității este orice număr X, care este mai puțin 1 . Aceste numere umplu fasciculul deschis (-∞, 1) . Se spune de obicei că această rază este o soluție a inegalității 2x + 5< 7 (Ar fi mai corect să vorbim despre un set de soluții, dar matematicienii, ca întotdeauna, sunt economici în cuvinte). Astfel, putem folosi două opțiuni pentru a scrie soluții la această inegalitate: X< 1 sau (-∞, 1) .

Proprietățile inegalităților numerice ne permit să ne ghidăm după următoarele reguli atunci când rezolvăm inegalitățile:

Regula 1. Orice termen al inegalității poate fi transferat dintr-o parte a inegalității în alta cu semnul opus fără a schimba semnul inegalității.

Regula 2. Ambele părți ale unei inegalități pot fi înmulțite sau împărțite cu același număr pozitiv fără a schimba semnul inegalității.

Regula 3. Ambele părți ale inegalității pot fi înmulțite sau împărțite cu același număr negativ, schimbând în același timp semnul inegalității la opus.

Aplicăm aceste reguli pentru a rezolva inegalitățile liniare, adică inegalitățile care se reduc la forma ax + b > 0(sau ax + b< 0 ),

Unde Ași b- orice număr, cu o singură excepție: a ≠ 0.

Exemplul 1

Rezolvați inegalitatea Zx - 5 ≥ 7x - 15.

Decizie.

Să mutăm un membru 7xîn partea stângă a inegalității și termenul - 5 - în partea dreaptă a inegalității, fără a uita să schimbi semnele membrului 7x, și membrul -5 (ne ghidăm după regula 1). Apoi primim

Zx - 7x ≥ - 15 + 5, adică - 4x ≥ - 10.

Împărțiți ambele părți ale ultimei inegalități la același număr negativ - 4 , fără a uita să trecem la inegalitatea sensului opus (ghidat de regula 3). obține X< 2,5 . Aceasta este soluția la inegalitatea dată.

După cum am convenit, pentru a scrie soluția, puteți utiliza notația intervalului corespunzător al dreptei numerice: (-∞, 2,5] .

Răspuns: X< 2,5 , sau (-∞, 2,5] .

Pentru inegalități, precum și pentru ecuații, se introduce conceptul de echivalență. Două inegalități f(x)< g(x) и r(x) < s(x) numit echivalent dacă au aceleași soluții (sau, în special, dacă ambele inegalități nu au soluții).

De obicei, atunci când rezolvă o inegalitate, ei încearcă să înlocuiască această inegalitate cu una mai simplă, dar echivalentă cu ea. Un astfel de înlocuitor se numește transformarea echivalentă a inegalității. Aceste transformări sunt doar indicate în regulile 1-3 formulate mai sus.

Exemplul 2

Rezolvați inegalitatea

Decizie.

Înmulțiți ambele părți ale inegalității cu un număr pozitiv 15 , lăsând semnul de inegalitate neschimbat (regula 2), Acest lucru ne va permite să scăpăm de numitori, adică să mergem la o inegalitate mai simplă echivalentă cu cea dată:

Folosind regula 1 pentru ultima inegalitate, obținem o inegalitate mai simplă echivalentă cu aceasta:

În cele din urmă, aplicând regula 3, obținem

Răspuns: sau

În concluzie, observăm că, folosind proprietățile inegalităților numerice, nu putem rezolva, desigur, nicio inegalitate cu o variabilă, ci doar una care, după o serie de transformări simple (cum ar fi cele care au fost efectuate în exemplele din acest paragraf), ia forma securea > b(în loc de semnul >, desigur, poate exista orice alt semn de inegalitate, strict sau nestrict).

§ 1 Inegalităţi liniare

În această lecție, vom introduce definiția unei inegalități liniare. Luați în considerare proprietățile utilizate în rezolvarea inegalităților liniare. Să învățăm cum să rezolvăm inegalitățile liniare.

O inegalitate liniară este o inegalitate de forma ax + b > 0 sau ax + b< 0, где переменная или искомая величина, a и b- некоторые числа, причем a ≠ 0.

Deoarece inegalitatea poate fi strictă și nestrictă, atunci inegalitățile liniare pot avea următoarea formă ax+ b ≥0, ax+ b ≤ 0.

Inegalitatea este liniară, deoarece x este inclus în inegalitatea de gradul I.

Soluția unei inegalități liniare este valoarea variabilei x, la care inegalitatea se transformă într-o inegalitate numerică adevărată.

Luați inegalitatea 2x+5 > 0.

Înlocuiți zero cu x. Obținem 5 > 0. Aceasta este inegalitatea corectă. Deci x=0 este o soluție a inegalității 2x+5>0.

Înlocuind valoarea -2,5 în loc de x, obținem 0 > 0. Aceasta este o inegalitate incorectă. Prin urmare, x= -2,5 nu este o soluție a inegalității liniare 2x + 5>0. Alegând valorile lui x, se pot găsi mai multe soluții particulare.

A găsi toate soluțiile sau a demonstra că o inegalitate nu are soluții înseamnă rezolvarea unei inegalități liniare.

Inegalitățile care au aceleași soluții se numesc echivalente.

La rezolvarea inegalităților se folosesc reguli care pot fi folosite pentru a obține inegalități echivalente care sunt mai ușor de rezolvat.

§ 2 Exemple de rezolvare a inegalităţilor liniare

Să rezolvăm inegalitatea 2x+5>0. Și prima regulă care poate fi folosită aici este: dacă transferăm termenul de inegalitate dintr-o parte a inegalității în alta cu semnul opus, fără a schimba semnul inegalității, atunci obținem o inegalitate echivalentă.

Împărțiți ambele părți ale inegalității la 2. Obținem x > -2,5.

Răspunsul poate fi scris astfel: x > -2,5 sau ca un interval numeric

Rezultatul este un fascicul deschis direcționat pozitiv.

Deschis, deoarece inegalitatea noastră este strictă, ceea ce înseamnă că numărul -2,5 nu este inclus în intervalul numeric.

Să rezolvăm o altă inegalitate liniară 3x - 3 ≥ 7x - 15.

La fel ca atunci când rezolvăm ecuații liniare, mutăm termenii cu x la stânga și termenii numerici la dreapta. Să nu uităm să schimbăm semnele termenilor la opus la transfer. Pe baza primei reguli, semnul inegalității nu se schimbă.

Obținem 3x - 7x ≥ -15 + 3 sau -4x ≥ -12.

Apoi, folosim a treia regulă: dacă ambele părți ale inegalității sunt înmulțite sau împărțite cu același număr negativ, schimbând semnul inegalității la opus, atunci obținem o inegalitate echivalentă.

Împărțiți ambele părți ale inegalității la -4.

Se obține x ≤ 3.

Să arătăm soluția pe axa x.

Rezultatul este un fascicul închis cu direcție negativă. Închis, deoarece inegalitatea noastră nu este strictă, ceea ce înseamnă că numărul 3 este inclus în intervalul numeric.

Luați în considerare soluția unei inegalități liniare mai complexe

Folosind a doua regulă, înmulțim ambele părți ale inegalității cu numărul 15. Numărul 15 va fi numitorul comun al fracțiilor.

Înmulțiți numărătorii cu factori suplimentari.

Obținem inegalitatea 5x + 6x - 3 > 30x.

Folosind regula unu, transferăm termenii de la x la stânga, termenii numerici la dreapta, schimbând semnele la transferul la opus.

Obținem -19x > 3.

Aplicați regula trei, împărțiți ambele părți ale inegalității la -19. În acest caz, trebuie să schimbați semnul inegalității în semnul opus.

Să arătăm soluția pe axa x.

Rezultatul este o rază deschisă, deoarece inegalitatea este strictă, ceea ce înseamnă că numărul nu este inclus în intervalul numeric. Acesta este un fascicul direcționat negativ.

Rezolvăm următoarea inegalitate

Înmulțiți ambele părți ale inegalității cu 4.

Obținem 5 - 2x ≤ 8x. Mutați termenii de la x la stânga, termenii numerici la dreapta

2x - 8x ≤ -5 sau -10x ≤ -5.

Împărțiți ambele părți ale inegalității la -10. Acest număr este negativ, conform regulii 3, este necesar să se schimbe semnul inegalității la opus.

Se obține x≥0,5.

Să arătăm soluția pe axa x.

Rezultatul este o rază închisă, deoarece inegalitatea nu este strictă, ceea ce înseamnă că numărul 0,5 este inclus în intervalul numeric. Acesta este un fascicul direcționat pozitiv.

Când rezolvăm inegalități după transformări, se poate dovedi că coeficientul de la x este egal cu zero, de exemplu, 0∙x> b (sau 0∙x< b). Такое неравенство не имеет решений или решением является любое число.

Rezolvați inegalitatea 2(x + 8) -5x< 4-3х.

Să deschidem parantezele 2x + 16 - 5x< 4 - 3х.

Folosind proprietatea unu, mutăm termenii de la x la stânga, iar numerele la dreapta, obținem 0∙x< -12. При любом значении х неравенство обращается в неравенство 0 < -12. Это неверное неравенство.

Răspuns: nicio soluție sau set gol.

Să rezolvăm o altă inegalitate x > x - 1.

Să mutăm x de la dreapta la stânga, obținem 0∙x > -1. Pentru orice valoare a lui x, inegalitatea se transformă în inegalitatea 0 > -1. Aceasta este inegalitatea corectă.

§ 3 Rezumatul lecției

Important de reținut:

O inegalitate liniară este o inegalitate de forma ax + b > 0 (sau ax + b< 0, aх+ b ≥ 0, aх+ b≤ 0), где х - переменная, a и b- некоторые числа, причем a≠0.

Rezolvarea unei inegalități înseamnă găsirea tuturor soluțiilor acesteia sau demonstrarea faptului că nu există soluții.

La rezolvarea inegalităților liniare se folosesc reguli care permit înlocuirea acestei inegalități cu inegalități echivalente mai ușor de rezolvat:

1) dacă termenul inegalității este transferat dintr-o parte a inegalității în alta cu semnul opus, fără a schimba semnul inegalității, atunci obținem o inegalitate echivalentă;

2) dacă ambele părți ale inegalității sunt înmulțite sau împărțite cu același număr pozitiv fără a schimba semnul inegalității, atunci obținem o inegalitate echivalentă;

3) dacă ambele părți ale inegalității sunt înmulțite sau împărțite cu același număr negativ, schimbând semnul inegalității la opus, atunci obținem o inegalitate echivalentă.

Scopul aplicării acestor reguli este de a reduce inegalitatea liniară la forma x > b/a sau x< b/a.

Soluția unei inegalități liniare este un interval numeric. Poate fi un fascicul numeric deschis sau închis, care poate fi fie

direcționat pozitiv și direcționat negativ.

Lista literaturii folosite:

1. Makarychev Yu.N., N.G. Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B., editat de Telyakovsky S.A. Algebră: manual. pentru 8 celule. educatie generala instituţiilor. - M.: Educație, 2013.
2. Mordkovich A.G. Algebră. Clasa 8: În două părți. Partea 1: Proc. pentru invatamantul general instituţiilor. - M.: Mnemosyne.
3. Rurukin A.N. Dezvoltarea lecției de algebră: Clasa a 8-a. - M .: VAKO, 2010.
4. Algebră clasa a 8-a: planuri de lecții conform manualului de Yu.N. Makarycheva, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkova, S.B. Suvorova / Auth.-comp. T.L. Afanasiev, L.A. Tapilina. - Volgograd: Profesor, 2005.

Ce trebuie să știți despre pictogramele inegalității? Inegalități de pictograme Mai mult (> ), sau mai mici (< ) sunt numite strict. Cu icoane mai mult sau egal (≥ ), mai putin sau egal (≤ ) sunt numite nestrict. Pictogramă nu este egal (≠ ) stă singur, dar trebuie să rezolvați tot timpul exemplele cu o astfel de pictogramă. Și noi vom.)

Pictograma în sine nu are prea mult efect asupra procesului de soluție. Dar la finalul soluției, la alegerea răspunsului final, sensul pictogramei apare cu forță! După cum vom vedea mai jos, în exemple. Sunt niste glume...

Inegalitățile, ca și egalitățile, sunt credincios și necredincios. Totul este simplu aici, fără trucuri. Să zicem 5 > 2 este inegalitatea corectă. 5 < 2 este incorectă.

O astfel de pregătire funcționează pentru inegalități orice felși simplu de groază.) Trebuie doar să executați corect două (doar două!) acțiuni elementare. Aceste acțiuni sunt familiare tuturor. Dar, ceea ce este tipic, stâlpii din aceste acțiuni sunt principala greșeală în rezolvarea inegalităților, da... Prin urmare, aceste acțiuni trebuie repetate. Aceste acțiuni se numesc astfel:

Transformări identitare ale inegalităților.

Transformările identitare ale inegalităților sunt foarte asemănătoare cu transformările identitare ale ecuațiilor. De fapt, aceasta este principala problemă. Diferențele trec pe lângă cap și... au sosit.) Prin urmare, voi evidenția aceste diferențe în special. Deci, prima transformare identică a inegalităților:

1. Același număr sau expresie poate fi adăugat (scăzut) la ambele părți ale inegalității. Orice. Semnul inegalității nu se va schimba.

În practică, această regulă se aplică ca un transfer de termeni din partea stângă a inegalității în partea dreaptă (și invers) cu o schimbare de semn. Cu o schimbare a semnului termenului, nu inegalitate! Regula unu-la-unu este aceeași cu regula pentru ecuații. Dar următoarele transformări identice în inegalități diferă semnificativ de cele în ecuații. Așa că le evidențiez cu roșu:

2. Ambele părți ale inegalității pot fi înmulțite (împărțite) cu același lucrupozitivnumăr. Pentru oricepozitiv Nu se va schimba.

3. Ambele părți ale inegalității pot fi înmulțite (împărțite) cu același lucrunegativ număr. Pentru oricenegativnumăr. Semnul inegalității de aicise va schimba la invers.

Vă amintiți (sperați...) că o ecuație poate fi înmulțită/împărțită cu orice. Și pentru orice număr și pentru o expresie cu x. Atâta timp cât nu este zero. El, ecuația, nu este nici cald, nici rece din asta.) Nu se schimbă. Dar inegalitățile sunt mai sensibile la înmulțire/împărțire.

Un bun exemplu pentru o memorie lungă. Scriem o inegalitate care nu provoacă îndoieli:

5 > 2

Înmulțiți ambele părți cu +3, primim:

15 > 6

Există obiecții? Nu există obiecții.) Și dacă înmulțim ambele părți ale inegalității originale cu -3, primim:

15 > -6

Și aceasta este o minciună totală.) O minciună completă! Păcălirea oamenilor! Dar, de îndată ce semnul inegalității este inversat, totul cade la locul său:

15 < -6

Despre minciuni și înșelăciune - nu jur doar.) „Am uitat să schimb semnul inegalității...”- Acest Acasă eroare în rezolvarea inegalităților. Această regulă banală și necomplicată a rănit atât de mulți oameni! Care au uitat...) Așa că jur. Poate iti amintesti...)

Cei care sunt deosebit de atenți vor observa că inegalitatea nu poate fi înmulțită cu o expresie cu x. Respect atent!) Și de ce nu? Răspunsul este simplu. Nu cunoaștem semnul acestei expresii cu x. Poate fi pozitiv, negativ... Prin urmare, nu știm ce semn de inegalitate să punem după înmulțire. O schimbi sau nu? Necunoscut. Desigur, această limitare (interdicția înmulțirii / împărțirii unei inegalități cu o expresie cu x) poate fi ocolită. Dacă chiar ai nevoie de el. Dar acesta este un subiect pentru alte lecții.

Toate acestea sunt transformări identice ale inegalităților. Permiteți-mi să vă reamintesc din nou că lucrează pentru orice inegalităților. Și acum puteți trece la anumite tipuri.

Inegalități liniare. Soluție, exemple.

Inegalitățile liniare se numesc inegalități în care x este de gradul întâi și nu există împărțire cu x. Tip:

x+3 > 5x-5

Cum se rezolvă aceste inegalități? Sunt foarte usor de rezolvat! Și anume: cu ajutorul reducem cea mai confuză inegalitate liniară direct la răspuns. Asta e toata solutia. Voi evidenția punctele principale ale soluției. Pentru a evita greșelile stupide.)

Rezolvăm această inegalitate:

x+3 > 5x-5

Rezolvăm în același mod ca o ecuație liniară. Cu singura diferenta:

Atenție mare la semnul inegalității!

Primul pas este cel mai comun. Cu x - la stânga, fără x - la dreapta ... Aceasta este prima transformare identică, simplă și fără probleme.) Nu uitați să schimbați semnele membrilor transferați.

Se păstrează semnul inegalității:

x-5x > -5-3

Va prezentam altele asemanatoare.

Se păstrează semnul inegalității:

4x > -8

Rămâne de aplicat ultima transformare identică: împărțiți ambele părți la -4.

Împarte la negativ număr.

Semnul inegalității va fi inversat:

X < 2

Acesta este răspunsul.

Așa se rezolvă toate inegalitățile liniare.

Atenţie! Punctul 2 este desenat alb, adică. nevopsite. Gol în interior. Asta înseamnă că ea nu este inclusă în răspuns! Am desenat-o atât de sănătoasă intenționat. Un astfel de punct (gol, nu sănătos!)) în matematică se numește punct punctat.

Numerele rămase pe axă pot fi marcate, dar nu sunt necesare. Numerele străine care nu au legătură cu inegalitatea noastră pot fi confuze, da ... Trebuie doar să rețineți că creșterea numerelor merge în direcția săgeții, adică. numerele 3, 4, 5 etc. sunteți La dreapta doi și numerele 1, 0, -1 etc. - La stânga.

Inegalitatea x < 2 - strict. X este strict mai mic de doi. Când aveți îndoieli, verificarea este simplă. Inlocuim un numar indoielnic in inegalitate si ne gandim: "Doi este mai putin decat doi? Bineinteles ca nu!" Exact. Inegalitatea 2 < 2 gresit. Un doi nu este bun pentru un răspuns.

Un singur este suficient de bun? Cu siguranță. Mai puțin... Și zero este bun și -17 și 0,34... Da, toate numerele care sunt mai mici de doi sunt bune! Și chiar și 1.9999 .... Măcar puțin, dar mai puțin!

Deci marcam toate aceste numere pe axa numerelor. Cum? Există opțiuni aici. Prima opțiune este eclozarea. Plasăm mouse-ul peste imagine (sau atingem imaginea de pe tabletă) și vedem că zona x-urilor bilei care se potrivește cu condiția x este umbrită < 2 . Asta e tot.

Să luăm în considerare a doua opțiune din al doilea exemplu:

X ≥ -0,5

Desenați o axă, marcați numărul -0,5. Ca aceasta:

Ai observat diferența?) Ei bine, da, e greu să nu observi... Acest punct este negru! Pictat peste. Aceasta înseamnă că -0,5 incluse în răspuns. Aici, apropo, verifică și încurcă pe cineva. Inlocuim:

-0,5 ≥ -0,5

Cum așa? -0,5 este nimic mai mult de -0,5! Există mai multe pictograme...

E bine. Într-o inegalitate nestrictă, tot ceea ce se potrivește pictogramei este potrivit. Și egală se potrivesc şi Mai mult bun. Prin urmare, -0,5 este inclus în răspuns.

Deci, am marcat -0,5 pe axă, rămâne de marcat toate numerele care sunt mai mari de -0,5. De data aceasta marchez intervalul de valori x potrivite cătuşe(din cuvânt arc) mai degrabă decât eclozare. Treceți cu mouse-ul peste imagine și vedeți acest arc.

Nu există nicio diferență specială între hașurare și arcade. Fă cum spune profesorul. Dacă nu există profesor, trageți brațele. În sarcinile mai complexe, eclozarea este mai puțin evidentă. Poți fi confuz.

Așa sunt desenate inegalitățile liniare pe axă. Trecem la următoarea singularitate a inegalităților.

Scrieți un răspuns pentru inegalități.

A fost bine în ecuații.) Am găsit x și am notat răspunsul, de exemplu: x \u003d 3. În inegalități, există două forme de scriere a răspunsurilor. Unu - sub forma inegalității finale. Bun pentru cazuri simple. De exemplu:

X< 2.

Acesta este un răspuns complet.

Uneori se cere să scrieți același lucru, dar într-o formă diferită, prin goluri numerice. Apoi intrarea începe să pară foarte științifică):

x ∈ (-∞; 2)

Sub icoană ∈ ascunzând cuvântul „aparține”.

Intrarea sună astfel: x aparține intervalului de la minus infinit la doi neincluzând. Destul de logic. X poate fi orice număr din toate numerele posibile de la minus infinit la doi. Dublul X nu poate fi, ceea ce ne spune cuvântul "neincluzând".

Unde este în răspunsul că "neincluzând"? Acest fapt este notat în răspuns. rundă paranteză imediat după deuce. Dacă doi s-ar include, paranteza ar fi pătrat. Iată-l: ]. Următorul exemplu folosește o astfel de paranteză.

Să notăm răspunsul: x ≥ -0,5 prin intervale:

x ∈ [-0,5; +∞)

Citeste: x aparține intervalului de la minus 0,5, inclusiv, până la plus infinit.

Infinitul nu se poate porni niciodată. Nu este un număr, este un simbol. Prin urmare, în astfel de intrări, infinitul coexistă întotdeauna cu o paranteză.

Această formă de înregistrare este convenabilă pentru răspunsuri complexe constând din mai multe lacune. Dar - doar pentru răspunsurile finale. În rezultatele intermediare, unde se așteaptă o soluție ulterioară, este mai bine să folosiți forma obișnuită, sub forma unei inegalități simple. Ne vom ocupa de asta în subiectele relevante.

Sarcini populare cu inegalități.

Inegalitățile liniare în sine sunt simple. Prin urmare, sarcinile devin adesea mai dificile. Deci, să cred că era necesar. Acest lucru, dacă din obișnuință, nu este foarte plăcut.) Dar este util. Voi arăta exemple de astfel de sarcini. Nu pentru tine să le înveți, este de prisos. Și pentru a nu vă teme când vă întâlniți cu exemple similare. Un pic de gândire - și totul este simplu!)

1. Găsiți oricare două soluții pentru inegalitatea 3x - 3< 0

Dacă nu este foarte clar ce să faceți, amintiți-vă de regula principală a matematicii:

Dacă nu știi ce să faci, fă ce poți!

X < 1

Şi ce dacă? Nimic special. Ce ni se cere? Ni se cere să găsim două numere specifice care sunt soluția unei inegalități. Acestea. se potrivește cu răspunsul. Două orice numerele. De fapt, acest lucru este jenant.) Câteva 0 și 0,5 sunt potrivite. Un cuplu -3 și -8. Da, există un număr infinit de aceste cupluri! Care este răspunsul corect?!

Eu raspund: totul! Orice pereche de numere, fiecare dintre ele mai mică de unu, ar fi raspunsul corect. Scrie ce vrei. Să mergem mai departe.

2. Rezolvați inegalitatea:

4x - 3 ≠ 0

Lucrări de genul acesta sunt rare. Dar, ca inegalități auxiliare, la găsirea ODZ, de exemplu, sau la găsirea domeniului unei funcții, acestea sunt întâlnite tot timpul. O astfel de inegalitate liniară poate fi rezolvată ca o ecuație liniară obișnuită. Doar peste tot, cu excepția semnului „=" ( egală) pune semnul " ≠ " (nu este egal). Deci veți ajunge la răspuns, cu un semn de inegalitate:

X ≠ 0,75

În exemple mai complexe, este mai bine să faci lucrurile diferit. Faceți inegalitatea egală. Ca aceasta:

4x - 3 = 0

Rezolvați-l cu calm așa cum ați învățat și obțineți răspunsul:

x = 0,75

Principalul lucru, la sfârșit, când notăm răspunsul final, este să nu uităm că am găsit x, care dă egalitate.Și avem nevoie de - inegalitate. Prin urmare, pur și simplu nu avem nevoie de acest X.) Și trebuie să-l notăm cu pictograma corectă:

X ≠ 0,75

Această abordare duce la mai puține erori. Cei care rezolvă ecuații pe mașină. Și pentru cei care nu rezolvă ecuații, inegalitățile, de fapt, sunt inutile ...) Un alt exemplu de sarcină populară:

3. Găsiți cea mai mică soluție întreagă a inegalității:

3(x - 1) < 5x + 9

În primul rând, rezolvăm pur și simplu inegalitatea. Deschidem parantezele, transferăm, dăm altele similare... Obținem:

X > - 6

Nu s-a întâmplat!? Ai urmat indicatoarele? Și în spatele semnelor membrilor și în spatele semnului inegalității...

Să ne imaginăm din nou. Trebuie să găsim un anumit număr care să se potrivească atât cu răspunsul, cât și cu condiția „cel mai mic număr întreg”. Dacă nu vă prinde imediat, puteți pur și simplu să luați orice număr și să-l dați seama. Doi este mai mare decât minus șase? Cu siguranță! Există un număr mai mic potrivit? Desigur. De exemplu, zero este mai mare decât -6. Și chiar mai puțin? Avem nevoie de cel mai mic posibil! Minus trei este mai mult decât minus șase! Poți deja să prinzi modelul și să nu mai trimiți prostește numerele, nu?)

Luăm un număr mai aproape de -6. De exemplu, -5. Răspuns executat, -5 > - 6. Puteți găsi un alt număr mai mic de -5 dar mai mare de -6? Puteți, de exemplu, -5,5 ... Stop! Ni s-a spus întreg decizie! Nu se rostogolește -5,5! Ce zici de minus șase? Eee! Inegalitatea este strictă, minus 6 nu este mai puțin decât minus 6!

Deci răspunsul corect este -5.

Sper că totul este clar cu alegerea valorii din soluția generală. Alt exemplu:

4. Rezolvați inegalitatea:

7 < 3x+1 < 13

Cum! O astfel de expresie se numește inegalitate triplă. Strict vorbind, aceasta este o notație prescurtată a sistemului de inegalități. Dar mai trebuie să rezolvi astfel de inegalități triple în unele sarcini... Se rezolvă fără sisteme. Prin aceleași transformări identice.

Este necesar să simplificăm, să aducem această inegalitate la un X pur. Dar... Ce să transferi unde!? Aici este momentul să ne amintim că schimbarea stânga-dreapta este formă scurtată prima transformare identică.

Și forma completă arată astfel: Puteți adăuga/scădea orice număr sau expresie la ambele părți ale ecuației (inegalitate).

Sunt trei părți aici. Deci vom aplica transformări identice tuturor celor trei părți!

Deci, să scăpăm de cel din partea de mijloc a inegalității. Scădeți unul din toată partea de mijloc. Pentru ca inegalitatea să nu se modifice, scădem una din celelalte două părți. Ca aceasta:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

Deja mai bine, nu?) Rămâne să împărțim toate cele trei părți în trei:

2 < X < 4

Asta e tot. Acesta este răspunsul. X poate fi orice număr de la doi (neincluzând) la patru (neincluzând). Acest răspuns este scris și la intervale, astfel de intrări vor fi în inegalități de pătrat. Acolo sunt cel mai comun lucru.

La sfârșitul lecției, voi repeta cel mai important lucru. Succesul în rezolvarea inegalităților liniare depinde de capacitatea de a transforma și simplifica ecuațiile liniare. Dacă în acelaşi timp urmați semnul inegalității, nu vor fi probleme. Ce iti doresc eu. nici o problema.)

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

După ce primim informațiile inițiale despre inegalitățile cu variabile, trecem la întrebarea soluției acestora. Să analizăm soluția inegalităților liniare cu o variabilă și toate metodele de rezolvare a acestora cu algoritmi și exemple. Vor fi luate în considerare doar ecuațiile liniare cu o variabilă.

Ce este o inegalitate liniară?

Mai întâi trebuie să definiți o ecuație liniară și să aflați forma ei standard și cum va diferi de altele. Din cursul școlar avem că inegalitățile nu au o diferență fundamentală, așa că trebuie folosite mai multe definiții.

Definiția 1

Inegalitatea liniară cu o variabilă x este o inegalitate de forma a x + b > 0 când se folosește orice semn de inegalitate în loc de >< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

Definiția 2

Inegalitățile a x< c или a · x >c , cu x fiind o variabilă și a și c unele numere, se numește inegalități liniare cu o variabilă.

Deoarece nu se spune nimic despre dacă coeficientul poate fi egal cu 0, atunci o inegalitate strictă de forma 0 x > c și 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

Diferențele lor sunt:

• notația a · x + b > 0 în primul, iar a · x > c – în al doilea;
• admisibilitatea coeficientului zero a , a ≠ 0 - în primul și a = 0 - în al doilea.

Se crede că inegalitățile a x + b > 0 și a x > c sunt echivalente, deoarece se obțin prin transferarea termenului dintr-o parte în alta. Rezolvarea inegalității 0 · x + 5 > 0 va duce la faptul că va trebui rezolvată, iar cazul a = 0 nu va funcționa.

Definiția 3

Se consideră că inegalitățile liniare dintr-o variabilă x sunt inegalități de formă a x + b< 0 , a · x + b >0, a x + b ≤ 0și a x + b ≥ 0, unde a și b sunt numere reale. În loc de x, poate exista un număr obișnuit.

Pe baza regulii, avem că 4 x − 1 > 0 , 0 z + 2 , 3 ≤ 0 , - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 se numesc liniare.

Cum se rezolvă o inegalitate liniară

Principala modalitate de a rezolva astfel de inegalități este utilizarea transformărilor echivalente pentru a găsi inegalitățile elementare x< p (≤ , >, ≥) , p fiind un număr, pentru a ≠ 0 , și de forma a< p (≤ , >, ≥) pentru a = 0 .

Pentru a rezolva o inegalitate cu o variabilă, puteți aplica metoda intervalului sau o puteți reprezenta grafic. Oricare dintre ele poate fi folosit izolat.

Folosind transformări echivalente

Pentru a rezolva o inegalitate liniara de forma a x + b< 0 (≤ , >, ≥) , este necesar să se aplice transformări echivalente ale inegalității. Coeficientul poate fi sau nu zero. Să luăm în considerare ambele cazuri. Pentru a clarifica, este necesar să adere la o schemă formată din 3 puncte: esența procesului, algoritmul, soluția în sine.

Definiția 4

Algoritm pentru rezolvarea unei inegalități liniare a x + b< 0 (≤ , >, ≥) pentru a ≠ 0

• numărul b va fi transferat în partea dreaptă a inegalității cu semnul opus, ceea ce ne va permite să ajungem la echivalentul a x< − b (≤ , > , ≥) ;
• ambele părți ale inegalității vor fi împărțite la un număr care nu este egal cu 0. Mai mult, atunci când a este pozitiv, semnul rămâne, când a este negativ, se schimbă la opus.

Luați în considerare aplicarea acestui algoritm pentru rezolvarea exemplelor.

Exemplul 1

Rezolvați o inegalitate de forma 3 · x + 12 ≤ 0 .

Decizie

Această inegalitate liniară are a = 3 și b = 12 . Prin urmare, coeficientul a lui x nu este egal cu zero. Să aplicăm algoritmii de mai sus și să rezolvăm.

Este necesar să transferați termenul 12 într-o altă parte a inegalității cu o schimbare de semn în față. Atunci obținem o inegalitate de forma 3 · x ≤ − 12 . Este necesar să împărțiți ambele părți la 3. Semnul nu se va schimba deoarece 3 este un număr pozitiv. Obținem că (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3 , ceea ce va da rezultatul x ≤ − 4 .

O inegalitate de forma x ≤ − 4 este echivalentă. Adică, soluția pentru 3 x + 12 ≤ 0 este orice număr real care este mai mic sau egal cu 4 . Răspunsul se scrie ca o inegalitate x ≤ − 4 , sau un interval numeric de forma (− ∞ , − 4 ] .

Întregul algoritm descris mai sus este scris după cum urmează:

3 x + 12 ≤ 0; 3 x ≤ − 12 ; x ≤ − 4 .

Răspuns: x ≤ − 4 sau (− ∞ , − 4 ] .

Exemplul 2

Indicați toate soluțiile disponibile ale inegalității − 2 , 7 · z > 0 .

Decizie

Din condiție vedem că coeficientul a la z este egal cu - 2, 7 și b este explicit absent sau egal cu zero. Nu puteți folosi primul pas al algoritmului, ci treceți imediat la al doilea.

Împărțim ambele părți ale ecuației cu numărul - 2, 7. Deoarece numărul este negativ, este necesar să se schimbe semnul inegalității la opus. Adică, obținem că (− 2 , 7 z) : (− 2 , 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

Scriem întregul algoritm într-o formă scurtă:

− 2 , 7 z > 0 ; z< 0 .

Răspuns: z< 0 или (− ∞ , 0) .

Exemplul 3

Rezolvați inegalitatea - 5 · x - 15 22 ≤ 0 .

Decizie

Conform condiției, vedem că este necesară rezolvarea inegalității cu coeficientul a pentru variabila x, care este egală cu - 5, cu coeficientul b, care corespunde fracției - 15 22 . Este necesar să se rezolve inegalitatea urmând algoritmul, adică: transferul - 15 22 într-o altă parte cu semnul opus, împărțim ambele părți la - 5, schimbam semnul inegalității:

5 x ≤ 1522; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

La ultima tranziție pentru partea dreaptă, se folosește regula de împărțire a unui număr cu semne diferite 15 22: - 5 \u003d - 15 22: 5, după care împărțim fracția obișnuită la un număr natural - 15 22: 5 \ u003d - 15 22 1 5 \u003d - 15 1 22 5 = - 3 22 .

Răspuns: x ≥ - 3 22 și [ - 3 22 + ∞) .

Luați în considerare cazul când a = 0. Expresia liniară a formei a x + b< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Totul se bazează pe definiția soluției inegalității. Pentru orice valoare a lui x, obținem o inegalitate numerică de forma b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Considerăm toate judecățile sub forma unui algoritm de rezolvare a inegalităților liniare 0 x + b< 0 (≤ , > , ≥) :

Definiția 5

Inegalitatea numerică de forma b< 0 (≤ , >, ≥) este adevărată, atunci inegalitatea originală are o soluție pentru orice valoare și falsă atunci când inegalitatea originală nu are soluții.

Exemplul 4

Rezolvați inegalitatea 0 · x + 7 > 0 .

Decizie

Această inegalitate liniară 0 · x + 7 > 0 poate lua orice valoare x . Atunci obținem o inegalitate de forma 7 > 0 . Ultima inegalitate este considerată adevărată, deci orice număr poate fi soluția lui.

Răspuns: interval (− ∞ , + ∞) .

Exemplul 5

Găsiți o soluție la inegalitatea 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 .

Decizie

Înlocuind variabila x pentru orice număr, obținem că inegalitatea va lua forma − 12 , 7 ≥ 0 . Este incorect. Adică 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 nu are soluții.

Răspuns: nu exista solutii.

Luați în considerare soluția inegalităților liniare, unde ambii coeficienți sunt egali cu zero.

Exemplul 6

Să se determine o inegalitate de nerezolvat din 0 · x + 0 > 0 și 0 · x + 0 ≥ 0 .

Decizie

Când înlocuim orice număr în loc de x, obținem două inegalități de forma 0 > 0 și 0 ≥ 0 . Primul este incorect. Aceasta înseamnă că 0 x + 0 > 0 nu are soluții, iar 0 x + 0 ≥ 0 are un număr infinit de soluții, adică orice număr.

Răspuns: inegalitatea 0 x + 0 > 0 nu are soluții, iar 0 x + 0 ≥ 0 are soluții.

Această metodă este luată în considerare în cursul școlar de matematică. Metoda intervalului este capabilă să rezolve diferite tipuri de inegalități, inclusiv cele liniare.

Metoda intervalului este utilizată pentru inegalitățile liniare când valoarea coeficientului x nu este egală cu 0 . În caz contrar, va trebui să calculați folosind o altă metodă.

Definiția 6

Metoda de spațiere este:

• introducerea funcției y = a x + b ;
• căutarea zerourilor pentru a împărți domeniul definiției în intervale;
• determinarea semnelor pentru conceptul lor pe intervale.

Să asamblam un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor liniare a x + b< 0 (≤ , >, ≥) pentru a ≠ 0 folosind metoda intervalului:

• aflarea zerourilor functiei y = a · x + b pentru a rezolva o ecuatie de forma a · x + b = 0 . Dacă a ≠ 0, atunci soluția va fi singura rădăcină care va lua denumirea x 0;
• construirea unei linii de coordonate cu imaginea unui punct cu o coordonată x 0, cu o inegalitate strictă, punctul este notat printr-un perforat, cu o inegalitate nestrictă, este umbrit;
• determinarea semnelor funcției y = a x + b pe intervale, pentru aceasta este necesar să se găsească valorile funcției în punctele din interval;
• soluția inegalității cu semnele > sau ≥ pe linia de coordonate, se adaugă hașura deasupra decalajului pozitiv,< или ≤ над отрицательным промежутком.

Luați în considerare câteva exemple de rezolvare a unei inegalități liniare folosind metoda intervalului.

Exemplul 6

Rezolvați inegalitatea − 3 · x + 12 > 0 .

Decizie

Din algoritm rezultă că mai întâi trebuie să găsiți rădăcina ecuației − 3 · x + 12 = 0 . Obținem că − 3 · x = − 12 , x = 4 . Este necesar să descriem linia de coordonate, unde marchem punctul 4. Va fi perforat deoarece inegalitatea este strictă. Luați în considerare desenul de mai jos.

Este necesar să se determine semnele pe intervale. Pentru a-l determina pe intervalul (− ∞ , 4) , este necesar să se calculeze funcția y = − 3 · x + 12 pentru x = 3 . De aici obținem că − 3 3 + 12 = 3 > 0 . Semnul de pe decalaj este pozitiv.

Determinăm semnul din intervalul (4, + ∞), apoi înlocuim valoarea x \u003d 5. Avem − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Efectuăm soluția inegalității cu semnul > , iar hașura se efectuează peste decalajul pozitiv. Luați în considerare desenul de mai jos.

Din desen se poate observa că soluția dorită are forma (− ∞ , 4) sau x< 4 .

Răspuns: (− ∞ , 4) sau x< 4 .

Pentru a înțelege cum să reprezentăm grafic, este necesar să luăm în considerare 4 inegalități liniare ca exemplu: 0, 5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 și 0 , 5 x − 1 ≥ 0 . Soluțiile lor vor fi x< 2 , x ≤ 2 , x >2 și x ≥ 2 . Pentru a face acest lucru, desenați mai jos un grafic al funcției liniare y = 0 , 5 · x − 1.

Este clar că

Definiția 7

• soluția inegalității 0 , 5 x − 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• soluția 0 , 5 x − 1 ≤ 0 este intervalul în care funcția y = 0 , 5 x − 1 este sub 0 x sau coincide;
• soluția 0 , 5 x − 1 > 0 este considerată a fi intervalul, în care funcția este situată deasupra O x;
• soluția 0 , 5 x − 1 ≥ 0 este intervalul în care graficul este mai mare decât O x sau coincide.

Semnificația soluției grafice a inegalităților este de a găsi golurile, care trebuie reprezentate pe grafic. În acest caz, obținem că partea stângă are y \u003d a x + b, iar partea dreaptă are y \u003d 0 și coincide cu Despre x.

Definiția 8

Se realizează reprezentarea grafică a funcției y = a x + b:

• în timp ce rezolvăm inegalitatea a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• în timp ce se rezolvă inegalitatea a x + b ≤ 0, se determină intervalul în care graficul este afișat sub axa O x sau coincide;
• în timp ce se rezolvă inegalitatea a x + b > 0, se determină intervalul, unde graficul este afișat deasupra O x;
• în timp ce se rezolvă inegalitatea a x + b ≥ 0, se determină intervalul acolo unde graficul este deasupra O x sau coincide.

Exemplul 7

Rezolvați inegalitatea - 5 · x - 3 > 0 folosind graficul.

Decizie

Este necesar să se construiască un grafic al unei funcții liniare - 5 · x - 3 > 0 . Această linie este în scădere deoarece coeficientul lui x este negativ. Pentru a determina coordonatele punctului său de intersecție cu O x - 5 · x - 3 > 0, obținem valoarea - 3 5 . Să-l graficăm.

Rezolvarea inegalității cu semnul >, atunci trebuie să acordați atenție intervalului de deasupra O x. Evidențiem cu roșu partea necesară a avionului și obținem asta

Spațiul necesar este partea O x a culorii roșii. Prin urmare, raza numărului deschis - ∞ , - 3 5 va fi soluția inegalității. Dacă, prin condiție, au avut o inegalitate nestrictă, atunci și valoarea punctului - 3 5 ar fi o soluție a inegalității. Și ar coincide cu O x.

Răspuns: - ∞ , - 3 5 sau x< - 3 5 .

Soluția grafică este folosită atunci când partea stângă va corespunde funcției y = 0 x + b , adică y = b . Apoi linia va fi paralelă cu O x sau coincide la b \u003d 0. Aceste cazuri arată că o inegalitate poate să nu aibă soluții sau orice număr poate fi o soluție.

Exemplul 8

Determinați din inegalitățile 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Decizie

Reprezentarea y = 0 x + 7 este y = 7 , atunci se va da un plan de coordonate cu o dreaptă paralelă cu O x și deasupra lui O x. Deci 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

Graficul funcției y \u003d 0 x + 0 este considerat y \u003d 0, adică linia coincide cu O x. Prin urmare, inegalitatea 0 · x + 0 ≥ 0 are multe soluții.

Răspuns: a doua inegalitate are o soluție pentru orice valoare a lui x .

Inegalități liniare

Soluția inegalităților poate fi redusă la soluția unei ecuații liniare, care se numesc inegalități liniare.

Aceste inegalități au fost luate în considerare în cursul școlar, întrucât au fost un caz special de rezolvare a inegalităților, ceea ce a dus la deschiderea parantezelor și la reducerea termenilor similari. De exemplu, să considerăm că 5 − 2 x > 0 , 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x , x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x .

Inegalitățile prezentate mai sus sunt întotdeauna reduse la forma unei ecuații liniare. După aceea, se deschid parantezele și se dau termeni similari, transferați din diferite părți, schimbând semnul în opus.

Când reducem inegalitatea 5 − 2 x > 0 la una liniară, o reprezentăm în așa fel încât să aibă forma − 2 x + 5 > 0 , iar pentru a reduce a doua obținem că 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . Este necesar să deschideți parantezele, să aduceți termeni asemănători, să mutați toți termenii în partea stângă și să aduceți termenii asemănători. Arata cam asa:

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ ​​​​5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

Aceasta aduce soluția unei inegalități liniare.

Aceste inegalități sunt considerate liniare, deoarece au același principiu de soluție, după care este posibil să le reducă la inegalități elementare.

Pentru a rezolva acest tip de inegalitate de acest fel, este necesar să o reducem la una liniară. Ar trebui făcut astfel:

Definiția 9

• paranteze deschise;
• colectează variabile în stânga și numere în dreapta;
• aduceți condiții similare;
• împărțiți ambele părți la coeficientul lui x .

Exemplul 9

Rezolvați inegalitatea 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1 .

Decizie

Extindem parantezele, apoi obținem o inegalitate de forma 5 · x + 15 + x ≤ 6 · x − 18 + 1 . După reducerea termenilor similari, avem că 6 · x + 15 ≤ 6 · x − 17 . După mutarea termenilor de la stânga la dreapta, obținem că 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0 . Prin urmare, are o inegalitate de forma 32 ≤ 0 din rezultatul obținut în calculul 0 · x + 32 ≤ 0 . Se poate observa că inegalitatea este falsă, ceea ce înseamnă că inegalitatea dată de condiție nu are soluții.

Răspuns: fara solutii.

Este de remarcat faptul că există multe inegalități de alt fel, care pot fi reduse la una liniară sau la o inegalitate de tipul prezentat mai sus. De exemplu, 5 2 x − 1 ≥ 1 este o ecuație exponențială care se reduce la o soluție liniară 2 · x − 1 ≥ 0 . Aceste cazuri vor fi luate în considerare la rezolvarea inegalităților de acest tip.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Conținutul lecției

Definiții și proprietăți

Vom numi inegalitatea două expresii numerice sau literale legate prin semne >,<, ≥, ≤ или ≠.

Exemplu: 5 > 3

Această inegalitate spune că numărul 5 este mai mare decât numărul 3. Unghiul ascuțit al semnului de inegalitate ar trebui să fie îndreptat către numărul mai mic. Această inegalitate este adevărată deoarece 5 este mai mare decât 3.

Dacă un pepene cu o greutate de 5 kg este așezat pe tigaia din stânga a cântarului și un pepene care cântărește 3 kg este plasat pe tigaia din dreapta, atunci tigaia din stânga o va depăși pe cea dreaptă, iar ecranul cântarului va arăta că tigaia din stânga este mai greu decat cel potrivit:

Dacă 5 > 3 atunci 3< 5 . То есть левую и правую часть неравенства можно поменять местами, изменив знак неравенства на противоположный. В ситуации с весами: большой арбуз можно положить на правую чашу, а маленький арбуз на левую. Тогда правая чаша перевесит левую, и экран покажет знак <

Dacă în inegalitatea 5 > 3, fără a atinge părțile din stânga și din dreapta, schimbați semnul în< , то получится неравенство 5 < 3 . Это неравенство не является верным, поскольку число 3 не может быть больше числа 5.

Vor fi numite numerele care sunt situate în partea stângă și dreaptă a inegalității membrii această inegalitate. De exemplu, în inegalitatea 5 > 3, membrii sunt numerele 5 și 3.

Luați în considerare câteva proprietăți importante pentru inegalitatea 5 > 3 .
În viitor, aceste proprietăți vor funcționa și pentru alte inegalități.

Proprietatea 1.

Dacă același număr este adăugat sau scăzut în părțile din stânga și din dreapta inegalității 5 > 3, atunci semnul inegalității nu se va schimba.

De exemplu, să adăugăm numărul 4 la ambele părți ale inegalității. Apoi obținem:

Acum să încercăm să scădem un număr din ambele părți ale inegalității 5 > 3, să spunem numărul 2

Vedem că partea stângă este încă mai mare decât cea dreaptă.

Din această proprietate rezultă că orice termen al inegalității poate fi transferat dintr-o parte în alta prin schimbarea semnului acestui termen. Semnul inegalității nu se va schimba.

De exemplu, în inegalitatea 5 > 3, să mutăm termenul 5 din partea stângă în partea dreaptă prin schimbarea semnului acestui termen. După mutarea termenului 5 în partea dreaptă, nimic nu va rămâne în partea stângă, așa că scriem 0 acolo

0 > 3 − 5

0 > −2

Vedem că partea stângă este încă mai mare decât cea dreaptă.

Proprietatea 2.

Dacă ambele părți ale inegalității sunt înmulțite sau împărțite cu același număr pozitiv, atunci semnul inegalității nu se schimbă.

De exemplu, să înmulțim ambele părți ale inegalității 5 > 3 cu un număr pozitiv, să spunem cu numărul 2. Apoi obținem:

Vedem că partea stângă este încă mai mare decât cea dreaptă.

Acum hai să încercăm divide ambele părți ale inegalității 5 > 3 cu un anumit număr. Împărțiți-le la 2

Vedem că partea stângă este încă mai mare decât cea dreaptă.

Proprietatea 3.

Dacă ambele părți ale inegalității sunt înmulțite sau împărțite la fel un număr negativ, atunci semnul inegalității va fi inversat.

De exemplu, să înmulțim ambele părți ale inegalității 5 > 3 cu un număr negativ, să spunem -2. Atunci obținem:

Acum hai să încercăm divide ambele părți ale inegalității 5 > 3 cu un număr negativ. Să le împărțim la -1

Vedem că partea stângă a devenit mai mică decât cea dreaptă. Adică, semnul inegalității s-a schimbat în sens invers.

În sine, inegalitatea poate fi înțeleasă ca o anumită condiție. Dacă condiția este îndeplinită, atunci inegalitatea este adevărată. În schimb, dacă condiția nu este îndeplinită, atunci inegalitatea este falsă.

De exemplu, pentru a răspunde la întrebarea dacă inegalitatea 7 > 3 este adevărată, trebuie să verificați dacă condiția este îndeplinită "este cu 7 mai mult decat 3" . Știm că numărul 7 este mai mare decât numărul 3. Adică, condiția este îndeplinită și, prin urmare, inegalitatea 7 > 3 este adevărată.

Inegalitatea 8< 6 не является верным, поскольку не выполняется условие „8 este mai mic de 6”.

O altă modalitate de a determina dacă o inegalitate este corectă este să luăm diferența din partea stângă și dreaptă a inegalității date. Dacă diferența este pozitivă, atunci partea stângă este mai mare decât partea dreaptă. În schimb, dacă diferența este negativă, atunci partea stângă este mai mică decât partea dreaptă. Mai precis, această regulă arată astfel:

Număr A mai mult număr b dacă diferența a-b pozitiv. Număr A mai mic decât numărul b dacă diferența a-b negativ.

De exemplu, am constatat că inegalitatea 7 > 3 este adevărată deoarece numărul 7 este mai mare decât numărul 3. Să demonstrăm acest lucru folosind regula de mai sus.

Compuneți diferența dintre termenii 7 și 3. Atunci obținem 7 − 3 = 4 . Conform regulii, numărul 7 va fi mai mare decât numărul 3 dacă diferența 7 − 3 este pozitivă. O avem egală cu 4, adică diferența este pozitivă. Deci numărul 7 este mai mare decât numărul 3.

Să verificăm cu ajutorul diferenței dacă inegalitatea 3< 4 . Составим разность, получим 3 − 4 = −1 . Согласно правилу, число 3 будет меньше числа 4, если разность 3 − 4 окажется отрицательной. У нас она равна −1, то есть разность отрицательна. А значит число 3 меньше числа 4.

Să verificăm dacă inegalitatea 5 > 8 este adevărată. Compuneți diferența, obținem 5 − 8 = −3. Conform regulii, numărul 5 va fi mai mare decât numărul 8 dacă diferența 5 − 8 este pozitivă. Diferența noastră este −3, adică aceasta nu este pozitiv. Deci numărul 5 nu mai mult numărul 3. Cu alte cuvinte, inegalitatea 5 > 8 nu este adevărată.

Inegalități stricte și nestricte

Inegalități care conțin semne >,< называют strict. Și se numesc inegalitățile care conțin semnele ≥, ≤ nestrict.

Am considerat mai devreme exemple de inegalități stricte. Acestea sunt inegalitățile 5 > 3 , 7< 9 .

Nestrict, de exemplu, este inegalitatea 2 ≤ 5 . Această inegalitate se citește după cum urmează: „2 este mai mic sau egal cu 5” .

Intrarea 2 ≤ 5 este incompletă. Înregistrarea completă a acestei inegalități este următoarea:

2 < 5 sau 2 = 5

Atunci devine evident că inegalitatea 2 ≤ 5 constă din două condiții: "doi mai putin de cinci" și "doi egal cinci" .

O inegalitate nestrictă este adevărată dacă cel puțin una dintre condițiile sale este îndeplinită. În exemplul nostru, condiția este adevărată „2 este mai mic de 5”. Aceasta înseamnă că inegalitatea 2 ≤ 5 este de asemenea adevărată.

Exemplul 2. Inegalitatea 2 ≤ 2 este adevărată deoarece una dintre condițiile sale este îndeplinită, și anume 2 = 2.

Exemplul 3. Inegalitatea 5 ≤ 2 nu este adevărată deoarece niciuna dintre condițiile sale nu este îndeplinită: nici 5< 2 ни 5 = 2 .

dubla inegalitate

Numărul 3 este mai mare decât numărul 2 și mai mic decât numărul 4 . Sub forma unei inegalități, această afirmație poate fi scrisă astfel: 2< 3 < 4 . Такое неравенство называют двойным.

O inegalitate dublă poate conține semne de inegalități nestricte. De exemplu, dacă numărul 5 este mai mare sau egal cu numărul 2 și mai mic sau egal cu numărul 7 , atunci putem scrie că 2 ≤ 5 ≤ 7

Pentru a scrie corect o inegalitate dublă, scrieți mai întâi termenul în mijloc, apoi termenul în stânga, apoi termenul în dreapta.

De exemplu, să scriem că numărul 6 este mai mare decât numărul 4 și mai mic decât numărul 9.

Mai întâi notează 6

În stânga, scriem că acest număr este mai mare decât numărul 4

În dreapta, scriem că numărul 6 este mai mic decât numărul 9

Inegalitatea variabilă

Inegalitatea, ca și egalitatea, poate conține o variabilă.

De exemplu, inegalitatea X> 2 conține o variabilă X. De obicei, o astfel de inegalitate trebuie rezolvată, adică pentru a afla pentru ce valori X această inegalitate devine adevărată.

A rezolva o inegalitate înseamnă a găsi astfel de valori ale unei variabile X, sub care această inegalitate devine adevărată.

Se numește valoarea variabilei la care inegalitatea devine adevărată rezolvarea inegalitatii.

Inegalitate X> 2 devine adevărat când x=3, x=4, x=5, x=6 și așa mai departe la infinit. Vedem că această inegalitate nu are o singură soluție, ci multe soluții.

Cu alte cuvinte, prin rezolvarea inegalității X> 2 este mulțimea tuturor numerelor mai mari decât 2. Pentru aceste numere, inegalitatea va fi adevărată. Exemple:

3 > 2

4 > 2

5 > 2

Numărul 2, situat în partea dreaptă a inegalității X> 2, vom suna frontieră această inegalitate. În funcție de semnul inegalității, granița poate aparține sau nu mulțimii de soluții ale inegalității.

În exemplul nostru, granița inegalității nu aparține mulțimii de soluții, deoarece la înlocuirea numărului 2 în inegalitate X> 2 se dovedesc nu este corect inegalitatea 2 > 2 . Numărul 2 nu poate fi mai mare decât el însuși, deoarece este egal cu el însuși (2 = 2) .

Inegalitate X> 2 este strict. Se poate citi astfel: x este strict mai mare de 2″ . Adică toate valorile acceptate de variabilă X trebuie să fie strict mai mare decât 2. În caz contrar, inegalitatea nu va fi adevărată.

Dacă ni s-ar fi dat o inegalitate nestrictă X≥ 2 , atunci soluțiile acestei inegalități ar fi toate numerele care sunt mai mari decât 2, inclusiv numărul 2 însuși. În această inegalitate, granița 2 aparține mulțimii de soluții ale inegalității, deoarece la înlocuirea numărului 2 în inegalitate X≥ 2 obținem inegalitatea corectă 2 ≥ 2 . S-a spus mai devreme că o inegalitate nestrictă este adevărată dacă cel puțin una dintre condițiile sale este îndeplinită. Inegalitatea 2 ≥ 2 satisface condiția 2 = 2 , deci inegalitatea 2 ≥ 2 este de asemenea adevărată.

Cum se rezolvă inegalitățile

Procesul de rezolvare a inegalităților este în multe privințe similar cu procesul de rezolvare a ecuațiilor. La rezolvarea inegalităților vom aplica proprietățile pe care le-am studiat la începutul acestei lecții, precum: transferul de termeni dintr-o parte a inegalității în alta, schimbarea semnului; înmulțirea (sau împărțirea) ambelor părți ale inegalității cu același număr.

Aceste proprietăți ne permit să obținem o inegalitate care este echivalentă cu cea inițială. Inegalitățile echivalente se numesc inegalități ale căror soluții sunt aceleași.

La rezolvarea ecuațiilor, am efectuat transformări identice până când o variabilă a rămas în partea stângă a ecuației, iar valoarea acestei variabile a rămas în partea dreaptă (de exemplu: x=2, x=5). Cu alte cuvinte, ecuația inițială a fost înlocuită cu o ecuație echivalentă până la o ecuație de formă x = a, Unde A valoare variabilă X. În funcție de ecuație, ar putea exista una, două, un număr infinit de rădăcini sau deloc.

Și atunci când rezolvăm inegalități, vom înlocui inegalitatea inițială cu o inegalitate echivalentă cu aceasta până când variabila acestei inegalități rămâne în partea stângă, iar limita ei în partea dreaptă.

Exemplul 1. Rezolvarea inegalității 2 X> 6

Deci, trebuie să găsiți astfel de valori X , la înlocuirea lor în 2 X> 6 obținem inegalitatea corectă.

La începutul acestei lecții, sa spus că dacă ambele părți ale inegalității sunt împărțite la un număr pozitiv, atunci semnul inegalității nu se va schimba. Dacă aplicăm această proprietate unei inegalități care conține o variabilă, atunci obținem o inegalitate echivalentă cu cea inițială.

În cazul nostru, dacă separăm ambele părți ale inegalității 2 X> 6 cu un număr pozitiv, atunci obținem o inegalitate care este echivalentă cu inegalitatea inițială 2 X> 6.

Deci, să împărțim ambele părți ale inegalității la 2.

În partea stângă există o variabilă X, iar partea dreaptă a devenit egală cu 3. Am obținut o inegalitate echivalentă X> 3. Aceasta completează soluția, deoarece variabila rămâne în partea stângă, iar limita inegalității în partea dreaptă.

Acum putem concluziona că soluțiile inegalității X> 3 sunt toate numerele care sunt mai mari decât 3. Acestea sunt numerele 4, 5, 6, 7 și așa mai departe la infinit. Pentru aceste valori, inegalitatea X> 3 ar fi corect.

4 > 3

5 > 3

6 > 3

7 > 3

Rețineți că inegalitatea X> 3 este strict. " Variabila x este strict mai mare decât trei.”

Și pentru că inegalitatea X> 3 este echivalent cu inegalitatea originală 2 X> 6 , atunci soluțiile lor vor coincide. Cu alte cuvinte, valorile care se potrivesc inegalității X> 3 se va potrivi și cu inegalitatea 2 X> 6. Să o arătăm.

Luați, de exemplu, numărul 5 și înlocuiți-l mai întâi în inegalitatea echivalentă pe care am obținut-o X> 3 și apoi la originalul 2 X> 6 .

Vedem că în ambele cazuri se obține inegalitatea corectă.

După rezolvarea inegalității, răspunsul trebuie scris sub forma așa-zisului intervalul numeric in felul urmator:

Această expresie spune că valorile luate de variabilă X, aparțin intervalului numeric de la trei la plus infinit.

Cu alte cuvinte, toate numerele de la trei la plus infinit sunt soluții ale inegalității X> 3 . Semn ∞ în matematică înseamnă infinit.

Având în vedere că conceptul de interval numeric este foarte important, să ne oprim asupra lui mai detaliat.

Întinderi numerice

Decalaj numeric numiți setul de numere de pe linia de coordonate, care poate fi descris folosind o inegalitate.

Să presupunem că vrem să desenăm pe linia de coordonate un set de numere de la 2 la 8. Pentru a face acest lucru, mai întâi marcați punctele cu coordonatele 2 și 8 pe linia de coordonate, apoi selectați cu linii aria care se află între coordonatele 2 și 8. Aceste lovituri vor juca rolul numerelor, situate între numerele 2 și 8

Să numim numerele 2 și 8 frontiere decalaj de număr. Când se desenează un interval numeric, punctele pentru limitele sale sunt reprezentate nu ca puncte ca atare, ci ca cercuri care pot fi văzute.

Granițele pot aparține sau nu intervalului numeric.

Dacă limitele nu apartin interval numeric, apoi sunt reprezentate pe linia de coordonate din formular cercuri goale.

Dacă limitele aparține interval numeric, atunci cercurile trebuie vopsea peste.

În desenul nostru, cercurile au fost lăsate goale. Aceasta a însemnat că limitele 2 și 8 nu aparțin decalajului numeric. Aceasta înseamnă că intervalul nostru numeric va include toate numerele de la 2 la 8, cu excepția numerelor 2 și 8.

Dacă dorim să includem marginile 2 și 8 în intervalul numeric, atunci cercurile trebuie completate:

În acest caz, intervalul de numere va include toate numerele de la 2 la 8, inclusiv numerele 2 și 8.

În scris, un interval numeric este indicat prin indicarea limitelor acestuia folosind paranteze rotunde sau pătrate.

Dacă limitele nu apartin parantezele.

Dacă limitele aparține decalaj numeric, apoi marginile sunt încadrate paranteza patrata.

Figura prezintă două intervale numerice de la 2 la 8 cu denumirile corespunzătoare:

În prima figură, decalajul numeric este indicat de parantezele, din moment ce limitele 2 și 8 nu apartin acest interval numeric.

În a doua figură, decalajul numeric este indicat de paranteza patrata, din moment ce limitele 2 și 8 aparține acest interval numeric.

Folosind intervale numerice, puteți scrie răspunsuri la inegalități. De exemplu, răspunsul la inegalitatea dublă 2 ≤ X≤ 8 se scrie astfel:

X ∈ [ 2 ; 8 ]

Adică, mai întâi se notează variabila inclusă în inegalitate, apoi, folosind semnul de apartenență ∈, indică cărui interval numeric aparțin valorile acestei variabile. În acest caz, expresia X∈ [ 2 ; 8 ] indică faptul că variabila X, incluse în inegalitatea 2 ≤ X≤ 8, ia toate valorile cuprinse între 2 și 8 inclusiv. Pentru aceste valori, inegalitatea va fi adevărată.

Fiți atenți la faptul că răspunsul este scris folosind paranteze drepte, deoarece limitele inegalității 2 ≤ X≤ 8 și anume numerele 2 și 8 aparțin mulțimii soluțiilor acestei inegalități.

Mulțimea soluțiilor inegalității 2 ≤ X≤ 8 poate fi reprezentat și folosind o linie de coordonate:

Aici limitele intervalului numeric 2 și 8 corespund limitelor inegalității 2 ≤ X X 2 ≤ X≤ 8 .

În unele surse, se numesc limite care nu aparțin decalajului numeric deschis .

Se numesc deschise deoarece intervalul numeric rămâne deschis datorită faptului că limitele sale nu aparțin acestui interval numeric. Cercul gol de pe linia de coordonate a matematicii se numește punct punctat . A pune un punct înseamnă a-l exclude din intervalul numeric sau din mulțimea soluțiilor unei inegalități.

Și în cazul în care limitele aparțin intervalului numeric, ele sunt numite închis(sau închis), deoarece astfel de granițe închid (închid) un decalaj numeric. Cercul umplut pe linia de coordonate indică, de asemenea, că granițele sunt închise.

Există varietăți de intervale numerice. Să luăm în considerare fiecare dintre ele.

fascicul numeric

fascicul numeric x ≥ a, Unde A X- rezolvarea inegalitatii.

Lasa A= 3 . Apoi inegalitatea x ≥ a va lua forma X≥ 3. Soluțiile acestei inegalități sunt toate numerele care sunt mai mari decât 3, inclusiv numărul 3 însuși.

Desenați o rază numerică dată de inegalitate X≥ 3, pe linia de coordonate. Pentru a face acest lucru, marcați pe el un punct cu coordonata 3 și restul zona din dreapta ei evidențiați cu liniuțe. Este partea dreaptă care iese în evidență, deoarece soluțiile inegalității X≥ 3 sunt numere mai mari decât 3. Și numerele mai mari de pe linia de coordonate sunt situate în dreapta

X≥ 3 , iar zona marcată cu linii corespunde setului de valori X, care sunt soluții ale inegalității X≥ 3 .

Punctul 3, care este limita razei numerice, este prezentat ca un cerc umplut, deoarece limita inegalității X≥ 3 aparține mulțimii soluțiilor sale.

În scris, dreapta numerică dată de inegalitate x ≥ a,

[ A; +∞)

Se poate observa că pe o parte chenarul este încadrat de o paranteză pătrată, iar pe cealaltă de o paranteză rotundă. Acest lucru se datorează faptului că o graniță a razei numerice îi aparține, iar cealaltă nu, deoarece infinitul în sine nu are granițe și se înțelege că pe de altă parte nu există niciun număr care închide această rază numerică.

Având în vedere că una dintre granițele dreptei numerice este închisă, acest decalaj este adesea numit fascicul de numere închis.

Să scriem răspunsul la inegalitate X≥ 3 folosind notația cu raze numerice. Avem o variabilă A este 3

X ∈ [ 3 ; +∞)

Această expresie spune că variabila X incluse în inegalitate X≥ 3, ia toate valorile de la 3 la plus infinit.

Cu alte cuvinte, toate numerele de la 3 la plus infinit sunt soluții ale inegalității X≥ 3. Limita 3 aparține mulțimii soluții deoarece inegalitatea X≥ 3 este nestrict.

O rază numerică închisă se mai numește și interval numeric, care este dat de inegalitate x ≤ a . Soluții pentru inegalități x ≤ a A , inclusiv numărul în sine A.

De exemplu, dacă A X≤ 2 . Pe linia de coordonate, limita 2 va fi reprezentată ca un cerc umplut, iar întreaga zonă va fi localizată stânga, va fi evidențiat cu liniuțe. De data aceasta, partea stângă este evidențiată, deoarece soluțiile la inegalitate X≤ 2 sunt numere mai mici decât 2. Și numerele mai mici de pe linia de coordonate sunt situate la stânga

X≤ 2 , iar zona punctată corespunde setului de valori X, care sunt soluții ale inegalității X≤ 2 .

Punctul 2, care este limita razei numerice, este prezentat ca un cerc umplut, deoarece limita inegalității X≤ 2 aparține mulțimii soluțiilor sale.

Să scriem răspunsul la inegalitate X≤ 2 folosind notația cu raze numerice:

X ∈ (−∞ ; 2 ]

X≤ 2. Limita 2 aparține mulțimii soluțiilor, deoarece inegalitatea X≤ 2 este nestrict.

Raza de numere deschisă

Raza de numere deschisă se numește interval numeric, care este dat de inegalitate x > a, Unde A este limita acestei inegalități, X- rezolvarea inegalitatii.

O linie numerică deschisă este similară în multe privințe cu o linie numerică închisă. Diferența este că granița A nu aparține intervalului, precum și graniței inegalității x > a nu aparține setului soluțiilor sale.

Lasa A= 3 . Apoi inegalitatea ia forma X> 3 . Soluțiile acestei inegalități sunt toate numerele care sunt mai mari decât 3, cu excepția numărului 3

Pe linia de coordonate, limita razei numerelor deschise dată de inegalitate X> 3 va fi afișat ca un cerc gol. Întreaga zonă din dreapta va fi evidențiată cu linii:

Aici punctul 3 corespunde limitei inegalității x > 3, iar zona evidențiată cu linii corespunde setului de valori X, care sunt soluții ale inegalității x > 3 . Punctul 3, care este limita razei numerice deschise, este prezentat ca un cerc gol, deoarece limita inegalității x > 3 nu apartine multimii solutiilor sale.

x > a , notată după cum urmează:

(A; +∞)

Parantezele indică faptul că limitele razei numerice deschise nu îi aparțin.

Să scriem răspunsul la inegalitate X> 3 folosind notația unui fascicul numeric deschis:

X ∈ (3 ; +∞)

Această expresie spune că toate numerele de la 3 la plus infinit sunt soluții ale inegalității X> 3 . Limita 3 nu aparține mulțimii soluții deoarece inegalitatea X> 3 este strict.

O rază numerică deschisă se mai numește și interval numeric, care este dat de inegalitate X< a , Unde A este limita acestei inegalități, X- soluția inegalității . Soluții pentru inegalități X< a sunt toate numerele mai mici decât A , excluzând numărul A.

De exemplu, dacă A= 2 , atunci inegalitatea ia forma X< 2. Pe linia de coordonate, limita 2 va fi afișată ca un cerc gol, iar întreaga zonă din stânga va fi evidențiată cu linii:

Aici punctul 2 corespunde limitei inegalității X< 2, iar zona marcată cu linii corespunde setului de valori X, care sunt soluții ale inegalității X< 2. Punctul 2, care este limita razei numerice deschise, este prezentat ca un cerc gol, deoarece limita inegalității X< 2 nu aparține mulțimii soluțiilor sale.

În scris, fasciculul de numere deschis dat de inegalitate X< a , notată după cum urmează:

(−∞ ; A)

Să scriem răspunsul la inegalitate X< 2 folosind notația unui fascicul numeric deschis:

X ∈ (−∞ ; 2)

Această expresie spune că toate numerele de la minus infinit la 2 sunt soluții ale inegalității X< 2. Limita 2 nu aparține mulțimii soluțiilor deoarece inegalitatea X< 2 este strict.

Segment de linie

segment a ≤ x ≤ b, Unde Ași b X- rezolvarea inegalitatii.

Lasa A = 2 , b= 8 . Apoi inegalitatea a ≤ x ≤ b ia forma 2 ≤ X≤ 8 . Soluții la inegalitatea 2 ≤ X≤ 8 sunt toate numerele care sunt mai mari decât 2 și mai mici decât 8. În plus, limitele inegalității 2 și 8 aparțin mulțimii soluțiilor sale, deoarece inegalitatea 2 ≤ X≤ 8 este nestrict.

Desenați segmentul dat de inegalitatea dublă 2 ≤ X≤ 8 pe linia de coordonate. Pentru a face acest lucru, marcați punctele de pe el cu coordonatele 2 și 8 și marcați zona dintre ele cu linii:

≤ X≤ 8 , iar zona punctată corespunde setului de valori X X≤ 8 . Punctele 2 și 8, care sunt limitele segmentului, sunt afișate ca cercuri pline, deoarece limitele inegalității 2 ≤ X≤ 8 aparțin mulțimii soluțiilor sale.

Pe literă, segmentul dat de inegalitate a ≤ x ≤ b notată după cum urmează:

[ A; b ]

Parantezele pătrate de pe ambele părți indică faptul că limitele segmentului aparține l. Să scriem răspunsul la inegalitatea 2 ≤ X

X ∈ [ 2 ; 8 ]

Această expresie spune că toate numerele de la 2 la 8 inclusiv sunt soluții la inegalitatea 2 ≤ X≤ 8 .

Interval

interval se numește interval numeric, care este dat de inegalitatea dublă A< x < b , Unde Ași b sunt granițele acestei inegalități, X- rezolvarea inegalitatii.

Lasa a = 2, b = 8. Apoi inegalitatea A< x < b va lua forma 2< X< 8 . Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, исключая числа 2 и 8.

Să descriem intervalul pe linia de coordonate:

Aici punctele 2 și 8 corespund limitelor inegalității 2< X< 8 , а выделенная штрихами область соответствует множеству значений X < X< 8 . Точки 2 и 8, являющиеся границами интервала, изображены в виде пустых кружков, поскольку границы неравенства 2 < X< 8 не принадлежат множеству его решений.

În scris, intervalul dat de inegalitate A< x < b, notată după cum urmează:

(A; b)

Parantezele de pe ambele părți indică faptul că limitele intervalului nu apartin l. Să notăm răspunsul la inegalitatea 2< X< 8 с помощью этого обозначения:

X ∈ (2 ; 8)

Această expresie spune că toate numerele de la 2 la 8, cu excepția numerelor 2 și 8, sunt soluții la inegalitatea 2< X< 8 .

Jumătate de interval

Jumătate de interval se numește interval numeric, care este dat de inegalitate a ≤ x< b , Unde Ași b sunt granițele acestei inegalități, X- rezolvarea inegalitatii.

Un semi-interval se mai numește și interval numeric, care este dat de inegalitate A< x ≤ b .

Una dintre limitele semi-intervalului îi aparține. De aici denumirea acestui interval numeric.

În situația cu jumătate de interval a ≤ x< b ea (semi-intervalul) aparține graniței din stânga.

Și în situația cu jumătate de interval A< x ≤ b deține chenarul drept.

Lasa A= 2 , b= 8 . Apoi inegalitatea a ≤ x< b ia forma 2 ≤ X < 8 . Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, включая число 2, но исключая число 8.

Desenați intervalul 2 ≤ X < 8 на координатной прямой:

X < 8 , а выделенная штрихами область соответствует множеству значений X, care sunt soluții ale inegalității 2 ≤ X < 8 .

Punctul 2, care este marginea stângă jumătate de interval, este afișat ca un cerc umplut, deoarece limita din stânga a inegalității 2 ≤ X < 8 aparține multe dintre soluțiile lui.

Și punctul 8, care este marginea dreaptă jumătate de interval este afișat ca un cerc gol, deoarece limita dreaptă a inegalității 2 ≤ X < 8 nu aparține multe dintre soluțiile lui.

a ≤ x< b, notată după cum urmează:

[ A; b)

Se poate observa că pe o parte chenarul este încadrat de o paranteză pătrată, iar pe cealaltă de o paranteză rotundă. Acest lucru se datorează faptului că o limită a semi-intervalului îi aparține, în timp ce cealaltă nu. Să scriem răspunsul la inegalitatea 2 ≤ X < 8 с помощью этого обозначения:

X ∈ [ 2 ; 8)

Această expresie spune că toate numerele de la 2 la 8, inclusiv numărul 2, dar excluzând numărul 8, sunt soluții la inegalitatea 2 ≤ X < 8 .

În mod similar, pe linia de coordonate, se poate descrie semi-intervalul dat de inegalitate A< x ≤ b . Lasa A= 2 , b= 8 . Apoi inegalitatea A< x ≤ b va lua forma 2< X≤ 8 . Soluțiile la această dublă inegalitate sunt toate numerele care sunt mai mari decât 2 și mai mici decât 8, excluzând numărul 2, dar inclusiv numărul 8.

Desenați jumătate de interval 2< X≤ 8 pe linia de coordonate:

Aici punctele 2 și 8 corespund limitelor inegalității 2< X≤ 8 , iar zona punctată corespunde setului de valori X, care sunt soluții ale inegalității 2< X≤ 8 .

Punctul 2, care este marginea stângă jumătate de interval, este afișat ca un cerc gol, deoarece limita din stânga a inegalității 2< X≤ 8 Nu apartine multe dintre soluțiile lui.

Și punctul 8, care este marginea dreaptă jumătate de interval, este afișat ca un cerc umplut, deoarece limita dreaptă a inegalității 2< X≤ 8 aparține multe dintre soluțiile lui.

În scris, semiintervalul dat de inegalitate A< x ≤ b, notat astfel: A; b] . Să notăm răspunsul la inegalitatea 2< X≤ 8 folosind această notație:

X ∈ (2 ; 8 ]

Această expresie spune că toate numerele de la 2 la 8, excluzând numărul 2, dar inclusiv numărul 8, sunt soluții la inegalitatea 2< X≤ 8 .

Imagine a intervalelor numerice pe linia de coordonate

Un interval numeric poate fi specificat folosind o inegalitate sau o notație (paranteze sau paranteze drepte). În ambele cazuri, trebuie să se poată reprezenta acest interval numeric pe linia de coordonate. Să ne uităm la câteva exemple.

Exemplul 1. Desenați intervalul numeric dat de inegalitate X> 5

Amintim că o inegalitate a formei X> A este specificată o rază numerică deschisă. În acest caz, variabila A este egal cu 5. Inegalitate X> 5 este strict, deci chenarul 5 va fi afișat ca un cerc gol. Suntem interesați de toate valorile X, care sunt mai mari de 5, astfel încât întreaga zonă din dreapta va fi evidențiată cu linii:

Exemplul 2. Desenați intervalul numeric (5; +∞) pe linia de coordonate

Acesta este același interval de număr pe care l-am descris în exemplul anterior. Dar de data aceasta este setat nu cu ajutorul inegalității, ci cu ajutorul notării intervalului numeric.

Limita 5 este înconjurată de o paranteză, ceea ce înseamnă că nu aparține decalajului. În consecință, cercul rămâne gol.

Simbolul +∞ indică faptul că ne interesează toate numerele care sunt mai mari decât 5. În consecință, întreaga zonă din dreapta marginii 5 este evidențiată cu linii:

Exemplul 3. Desenați intervalul numeric (−5; 1) pe linia de coordonate.

Parantezele rotunde de pe ambele părți indică intervale. Limitele intervalului nu îi aparțin, așa că limitele lui -5 și 1 vor fi afișate pe linia de coordonate ca cercuri goale. Întreaga zonă dintre ele va fi evidențiată cu linii:

Exemplul 4. Desenați intervalul numeric dat de inegalitatea −5< X< 1

Acesta este același interval de număr pe care l-am descris în exemplul anterior. Dar de data aceasta se precizează nu cu ajutorul notării intervalului, ci cu ajutorul unei duble inegalități.

O inegalitate a formei A< x < b , intervalul este setat. În acest caz, variabila A este egal cu −5 și variabila b este egal cu unu. Inegalitatea −5< X< 1 este strict, deci limitele lui -5 și 1 vor fi desenate ca cercuri goale. Suntem interesați de toate valorile X, care sunt mai mari de −5 dar mai mici de unu, astfel încât întreaga zonă dintre punctele −5 și 1 va fi evidențiată cu linii:

Exemplul 5. Desenați intervale numerice [-1; 2] și

De data aceasta vom desena două goluri pe linia de coordonate simultan.

Parantezele pătrate de pe ambele părți indică segmente. Limitele segmentului îi aparțin, deci limitele segmentelor [-1; 2] și va fi reprezentat pe linia de coordonate ca cercuri pline. Întreaga zonă dintre ele va fi evidențiată cu linii.

Pentru a vedea clar golurile [−1; 2] și , primul poate fi reprezentat în zona superioară, iar al doilea în partea de jos. Deci hai sa o facem:

Exemplul 6. Desenați intervale numerice [-1; 2) și (2; 5]

Parantezele pătrate pe o parte și parantezele rotunde pe cealaltă denotă jumătate de intervale. Una dintre limitele semi-intervalului îi aparține, iar cealaltă nu.

În cazul semiintervalului [-1; 2) granița din stânga îi va aparține, dar cea dreaptă nu. Aceasta înseamnă că chenarul din stânga va fi afișat ca un cerc umplut. Chenarul din dreapta va fi afișat ca un cerc gol.

Iar în cazul unei jumătăți de interval (2; 5] numai marginea din dreapta îi va aparține, dar cea din stânga nu. Aceasta înseamnă că chenarul din stânga va fi afișat ca un cerc umplut. Chenarul din dreapta va fi afișat ca un cerc gol.

Desenați intervalul [-1; 2) pe regiunea superioară a dreptei de coordonate, iar intervalul (2; 5] — pe cea inferioară:

Exemple de rezolvare a inegalităților

O inegalitate care, prin transformări identice, poate fi redusă la formă securea > b(sau la vedere topor< b ), vom suna inegalitatea liniară cu o variabilă.

Într-o inegalitate liniară securea > b , X este variabila ale cărei valori se găsesc, A este coeficientul acestei variabile, b este granița inegalității, care, în funcție de semnul inegalității, poate fie să aparțină mulțimii soluțiilor sale, fie să nu-i aparțină.

De exemplu, inegalitatea 2 X> 4 este o inegalitate a formei securea > b. În ea, rolul variabilei A joacă numărul 2, rolul unei variabile b(inegalitatea limită) joacă numărul 4.

Inegalitatea 2 X> 4 poate fi făcut și mai simplu. Dacă împărțim ambele părți la 2, atunci obținem inegalitatea X> 2

Inegalitatea rezultată X> 2 este, de asemenea, o inegalitate a formei securea > b, adică o inegalitate liniară cu o variabilă. În această inegalitate, rolul variabilei A unitatea joacă. Mai devreme spuneam că nu se înregistrează coeficientul 1. Rolul variabilei b joaca numarul 2.

Pe baza acestor informații, să încercăm să rezolvăm câteva inegalități simple. În timpul rezolvării, vom efectua transformări elementare de identitate pentru a obține o inegalitate a formei securea > b

Exemplul 1. Rezolvați inegalitatea X− 7 < 0

Adaugă la ambele părți ale inegalității numărul 7

X− 7 + 7 < 0 + 7

Pe partea stângă va rămâne X, iar partea dreaptă devine egală cu 7

X< 7

Prin transformări elementare, am redus inegalitatea X− 7 < 0 к равносильному неравенству X< 7 . Решениями неравенства X< 7 являются все числа, которые меньше 7. Граница 7 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство строгое.

Când inegalitatea este adusă la formă X< a (sau x > a), poate fi considerat deja rezolvat. Inegalitatea noastră X− 7 < 0 тоже приведено к такому виду, а именно к виду X< 7 . Но в большинстве школ требуют, чтобы ответ был записан с помощью числового промежутка и проиллюстрирован на координатной прямой.

Să scriem răspunsul folosind un interval numeric. În acest caz, răspunsul va fi o rază numerică deschisă (amintim că raza numerică este dată de inegalitatea X< a și se notează ca (−∞ ; A)

X ∈ (−∞ ; 7)

Pe linia de coordonate, limita 7 va fi afișată ca un cerc gol, iar întreaga zonă din stânga limitei va fi evidențiată cu linii:

Pentru a verifica, luăm orice număr din intervalul (−∞ ; 7) și îl înlocuim în inegalitate X< 7 вместо переменной X. Luați, de exemplu, numărul 2

2 < 7

S-a dovedit inegalitatea numerică corectă, ceea ce înseamnă că soluția este corectă. Să luăm un alt număr, de exemplu, numărul 4

4 < 7

S-a dovedit inegalitatea numerică corectă. Deci decizia este corectă.

Și pentru că inegalitatea X< 7 равносильно исходному неравенству X - 7 < 0 , то решения неравенства X< 7 будут совпадать с решениями неравенства X - 7 < 0 . Подставим те же тестовые значения 2 и 4 в неравенство X - 7 < 0

2 − 7 < 0

−5 < 0 — Верное неравенство

4 − 7 < 0

−3 < 0 Верное неравенство

Exemplul 2. Rezolvați inegalitatea −4 X < −16

Împărțiți ambele părți ale inegalității la −4. Nu uitați că atunci când împărțiți ambele părți ale inegalității la un număr negativ, semn de inegalitate se schimba in sens invers:

Am redus inegalitatea −4 X < −16 к равносильному неравенству X> 4 . Soluții pentru inegalități X> 4 vor fi toate numerele care sunt mai mari decât 4. Limita 4 nu aparține mulțimii de soluții, deoarece inegalitatea este strictă.

X> 4 pe linia de coordonate și scrieți răspunsul ca interval numeric:

Exemplul 3. Rezolvați inegalitatea 3y + 1 > 1 + 6y

Reprogramare 6 y din partea dreaptă în partea stângă prin schimbarea semnului. Și vom transfera 1 din partea stângă în partea dreaptă, schimbând din nou semnul:

3y− 6y> 1 − 1

Iată termeni similari:

−3y > 0

Împărțiți ambele părți la −3. Nu uitați că atunci când împărțiți ambele părți ale inegalității la un număr negativ, semnul inegalității este inversat:

Soluții pentru inegalități y< 0 являются все числа, меньшие нуля. Изобразим множество решений неравенства y< 0 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Exemplul 4. Rezolvați inegalitatea 5(X− 1) + 7 ≤ 1 − 3(X+ 2)

Să extindem parantezele în ambele părți ale inegalității:

Mutare -3 X din partea dreaptă în partea stângă prin schimbarea semnului. Vom transfera termenii -5 și 7 din partea stângă în partea dreaptă, schimbând din nou semnele:

Iată termeni similari:

Împărțiți ambele părți ale inegalității rezultate la 8

Soluțiile inegalității sunt toate numerele care sunt mai mici decât . Granița aparține mulțimii soluții deoarece inegalitatea nu este strictă.

Exemplul 5. Rezolvați inegalitatea

Înmulțiți ambele părți ale inegalității cu 2. Acest lucru va scăpa de fracția din partea stângă:

Acum mutam 5 din partea stanga in partea dreapta prin schimbarea semnului:

După reducerea termenilor similari, obținem inegalitatea 6 X> 1 . Împărțiți ambele părți ale acestei inegalități la 6. Apoi obținem:

Soluțiile inegalității sunt toate numerele mai mari decât . Granița nu aparține mulțimii soluții deoarece inegalitatea este strictă.

Desenați setul de soluții ale inegalității pe linia de coordonate și scrieți răspunsul ca interval numeric:

Exemplul 6. Rezolvați inegalitatea

Înmulțiți ambele părți cu 6

După reducerea termenilor similari, obținem inegalitatea 5 X< 30 . Разделим обе части этого неравенства на 5

Soluții pentru inegalități X< 6 являются все числа, которые меньше 6. Граница 6 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство является X< 6 строгим.

Desenați setul de soluții ale inegalității X< 6 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Exemplul 7. Rezolvați inegalitatea

Înmulțiți ambele părți ale inegalității cu 10

În inegalitatea rezultată, deschideți parantezele din partea stângă:

Transferați membri fără Xîn partea dreaptă

Prezentăm termeni similari în ambele părți:

Împărțiți ambele părți ale inegalității rezultate la 10

Soluții pentru inegalități X≤ 3,5 sunt toate numerele care sunt mai mici de 3,5. Limita 3.5 aparține mulțimii soluții deoarece inegalitatea este X≤ 3,5 nestrict.

Desenați setul de soluții ale inegalității X≤ 3,5 pe linia de coordonate și scrieți răspunsul ca interval numeric:

Exemplul 8. Rezolvarea inegalității 4< 4X< 20

Pentru a rezolva o astfel de inegalitate, avem nevoie de o variabilă X liber de coeficientul 4. Atunci putem spune în ce interval se află soluția acestei inegalități.

Pentru a elibera o variabilă X din coeficient, puteți împărți termenul 4 X prin 4. Dar regula în inegalități este că dacă împărțim un membru al inegalității la un număr, atunci același lucru trebuie făcut cu restul termenilor incluși în această inegalitate. În cazul nostru, trebuie să împărțim la 4 toți cei trei termeni ai inegalității 4< 4X< 20

Soluții la inegalitate 1< X< 5 являются все числа, которые больше 1 и меньше 5. Границы 1 и 5 не принадлежат множеству решений, поскольку неравенство 1 < X< 5 является строгим.

Desenați setul de soluții ale inegalității 1< X< 5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Exemplul 9. Rezolvați inegalitatea −1 ≤ −2 X≤ 0

Împărțiți toți termenii inegalității la −2

Am obținut inegalitatea 0,5 ≥ X≥ 0. Este de dorit să scrieți o inegalitate dublă, astfel încât termenul mai mic să fie situat în stânga și cel mai mare în dreapta. Prin urmare, ne rescriem inegalitatea după cum urmează:

0 ≤ X≤ 0,5

Soluții la inegalitatea 0 ≤ X≤ 0,5 sunt toate numerele care sunt mai mari decât 0 și mai mici de 0,5. Limitele 0 și 0,5 aparțin mulțimii soluțiilor, deoarece inegalitatea 0 ≤ X≤ 0,5 este nestrict.

Desenați mulțimea soluțiilor inegalității 0 ≤ X≤ 0,5 pe linia de coordonate și scrieți răspunsul ca interval numeric:

Exemplul 10. Rezolvați inegalitatea

Înmulțiți ambele inegalități cu 12

Să deschidem parantezele din inegalitatea rezultată și să prezentăm termeni similari:

Împărțiți ambele părți ale inegalității rezultate la 2

Soluții pentru inegalități X≤ −0,5 sunt toate numerele care sunt mai mici de −0,5. Limita −0,5 aparține mulțimii soluțiilor deoarece inegalitatea X≤ −0,5 este nestrict.

Desenați setul de soluții ale inegalității X≤ −0,5 pe linia de coordonate și scrieți răspunsul ca interval numeric:

Exemplul 11. Rezolvați inegalitatea

Înmulțiți toate părțile inegalității cu 3

Acum scădeți 6 din fiecare parte a inegalității rezultate

Împărțim fiecare parte a inegalității rezultate la −1. Nu uitați că atunci când împărțiți toate părțile inegalității la un număr negativ, semnul inegalității este inversat:

Soluții la inegalitatea 3 ≤ a≤ 9 sunt toate numerele care sunt mai mari decât 3 și mai mici decât 9. Granițele 3 și 9 aparțin mulțimii de soluții, deoarece inegalitatea 3 ≤ a≤ 9 nu este strict.

Desenați mulțimea soluțiilor inegalității 3 ≤ a≤ 9 pe linia de coordonate și scrieți răspunsul ca interval numeric:

Când nu există soluții

Sunt inegalități care nu au soluții. Aceasta este, de exemplu, inegalitatea 6 X> 2(3X+ 1). În procesul de rezolvare a acestei inegalități, vom ajunge la faptul că semnul inegalității > nu justifică localizarea ei. Să vedem cum arată.

Extindem parantezele din partea dreaptă a acestei inegalități, obținem 6 X> 6X+ 2 . Reprogramare 6 X din partea dreaptă în partea stângă, schimbând semnul, obținem 6 X− 6X> 2 . Aducem termeni similari și obținem inegalitatea 0 > 2, ceea ce nu este adevărat.

Pentru o mai bună înțelegere, rescriem reducerea termenilor similari din partea stângă, după cum urmează:

Avem inegalitatea 0 X> 2 . În partea stângă este produsul, care va fi egal cu zero pentru oricare X. Și zero nu poate fi mai mare decât numărul 2. De aici inegalitatea 0 X> 2 nu are soluții.

X> 2 , atunci nu are soluții și inegalitatea inițială 6 X> 2(3X+ 1) .

Exemplul 2. Rezolvați inegalitatea

Înmulțiți ambele părți ale inegalității cu 3

În inegalitatea rezultată, transferăm termenul 12 X din partea dreaptă în partea stângă prin schimbarea semnului. Apoi dam termeni similari:

Partea dreaptă a inegalității rezultate pentru orice X va fi egal cu zero. Și zero nu este mai puțin de -8. Prin urmare, inegalitatea 0 X< −8 не имеет решений.

Și dacă inegalitatea echivalentă redusă este 0 X< −8 , то не имеет решений и исходное неравенство .

Răspuns: fara solutii.

Când există soluții infinite

Există inegalități care au un număr infinit de soluții. Astfel de inegalități devin adevărate pentru orice X .

Exemplul 1. Rezolvați inegalitatea 5(3X− 9) < 15X

Să extindem parantezele din partea dreaptă a inegalității:

Reprogramare 15 X din partea dreaptă în partea stângă, schimbând semnul:

Iată termenii similari din partea stângă:

Avem inegalitatea 0 X< 45 . În partea stângă este produsul, care va fi egal cu zero pentru oricare X. Și zero este mai mic decât 45. Deci soluția inegalității 0 X< 45 este orice număr.

X< 45 are un număr infinit de soluții, apoi inegalitatea inițială 5(3X− 9) < 15X are aceleasi solutii.

Răspunsul poate fi scris ca un interval numeric:

X ∈ (−∞; +∞)

Această expresie spune că soluțiile inegalității 5(3X− 9) < 15X sunt toate numerele de la minus infinit la plus infinit.

Exemplul 2. Rezolvați inegalitatea: 31(2X+ 1) − 12X> 50X

Să extindem parantezele din partea stângă a inegalității:

Să reprogramăm 50 X din partea dreaptă în partea stângă prin schimbarea semnului. Și vom transfera termenul 31 din partea stângă în partea dreaptă, schimbând din nou semnul:

Iată termeni similari:

Avem inegalitatea 0 x >-31 . În partea stângă este produsul, care va fi egal cu zero pentru oricare X. Și zero este mai mare decât −31 . Deci soluția inegalității 0 X< −31 este orice număr.

Și dacă inegalitatea echivalentă redusă este 0 x >−31 are un număr infinit de soluții, apoi inegalitatea inițială 31(2X+ 1) − 12X> 50X are aceleasi solutii.

Să scriem răspunsul ca un interval numeric:

X ∈ (−∞; +∞)

Sarcini pentru soluție independentă

Ți-a plăcut lecția?
Alăturați-vă noului nostru grup Vkontakte și începeți să primiți notificări despre noile lecții