Poliedre
Obiectul principal de studiu al stereometriei sunt corpurile tridimensionale. Corp este o parte a spațiului delimitată de o suprafață.
poliedru Un corp a cărui suprafață constă dintr-un număr finit de poligoane plate se numește. Un poliedru se numește convex dacă se află pe o parte a planului fiecărui poligon plat de pe suprafața sa. Se numește partea comună a unui astfel de plan și suprafața unui poliedru margine. Fețele unui poliedru convex sunt poligoane convexe plate. Laturile fețelor se numesc marginile poliedrului, și vârfurile vârfurile poliedrului.
De exemplu, un cub este format din șase pătrate care sunt fețele sale. Conține 12 muchii (laturile pătratelor) și 8 vârfuri (vârfurile pătratelor).
Cele mai simple poliedre sunt prismele și piramidele, pe care le vom studia în continuare.
Prismă
Definiția și proprietățile unei prisme
prismă se numește poliedru format din două poligoane plate situate în planuri paralele combinate prin translație paralelă și toate segmentele care leagă punctele corespunzătoare acestor poligoane. Poligoanele sunt numite baze de prisme, iar segmentele care leagă vârfurile corespunzătoare ale poligoanelor sunt marginile laterale ale prismei.
Înălțimea prismei numită distanța dintre planele bazelor sale (). Se numește un segment care leagă două vârfuri ale unei prisme care nu aparțin aceleiași fețe diagonala prismei(). Prisma se numește n-cărbune dacă baza sa este un n-gon.
Orice prismă are următoarele proprietăți, care decurg din faptul că bazele prismei sunt combinate prin translație paralelă:
1. Bazele prismei sunt egale.
2. Marginile laterale ale prismei sunt paralele și egale.
Suprafața unei prisme este formată din baze și suprafata laterala. Suprafața laterală a prismei este formată din paralelograme (acest lucru rezultă din proprietățile prismei). Aria suprafeței laterale a unei prisme este suma suprafețelor fețelor laterale.
prismă dreaptă
Prisma se numește Drept dacă marginile sale laterale sunt perpendiculare pe baze. În caz contrar, se numește prisma oblic.
Fețele unei prisme drepte sunt dreptunghiuri. Înălțimea unei prisme drepte este egală cu fețele sale laterale.
suprafața completă a prismei este suma suprafeței laterale și a ariilor bazelor.
Prisma corectă se numește prismă dreaptă cu un poligon regulat la bază.
Teorema 13.1. Aria suprafeței laterale a unei prisme drepte este egală cu produsul perimetrului și înălțimea prismei (sau, echivalent, cu marginea laterală).
Dovada. Fețele laterale ale unei prisme drepte sunt dreptunghiuri ale căror baze sunt laturile poligoanelor de la bazele prismei, iar înălțimile sunt marginile laterale ale prismei. Atunci, prin definiție, aria suprafeței laterale este:
,
unde este perimetrul bazei unei prisme drepte.
Paralelipiped
Dacă paralelogramele se află la bazele unei prisme, atunci se numește paralelipiped. Toate fețele unui paralelipiped sunt paralelograme. În acest caz, fețele opuse ale paralelipipedului sunt paralele și egale.
Teorema 13.2. Diagonalele paralelipipedului se intersectează într-un punct, iar punctul de intersecție este împărțit la jumătate.
Dovada. Luați în considerare două diagonale arbitrare, de exemplu, și . pentru că fețele paralelipipedului sunt paralelograme, apoi și , ceea ce înseamnă că după T aproximativ două drepte paralele cu a treia . În plus, aceasta înseamnă că liniile și se află în același plan (planul). Acest plan intersectează plane paralele și de-a lungul liniilor paralele și . Astfel, un patrulater este un paralelogram, iar prin proprietatea unui paralelogram, diagonalele sale și se intersectează și punctul de intersecție este împărțit la jumătate, ceea ce trebuia să fie demonstrat.
Un paralelipiped drept a cărui bază este un dreptunghi se numește cuboid. Toate fețele unui cuboid sunt dreptunghiuri. Lungimile muchiilor neparalele ale unui paralelipiped dreptunghiular se numesc dimensiunile sale liniare (măsurători). Există trei dimensiuni (lățime, înălțime, lungime).
Teorema 13.3. Într-un cuboid, pătratul oricărei diagonale este egal cu suma pătratelor celor trei dimensiuni ale sale 
(demonstrat prin aplicarea de două ori a lui Pitagora).
Se numește paralelipiped dreptunghic în care toate muchiile sunt egale cub.
Sarcini
13.1 Câte diagonale are n- prismă de carbon
13.2 Într-o prismă triunghiulară înclinată, distanțele dintre muchiile laterale sunt 37, 13 și 40. Aflați distanța dintre fața laterală mai mare și muchia laterală opusă.
13.3 Prin latura bazei inferioare a unei prisme triunghiulare regulate, este trasat un plan care intersectează fețele laterale de-a lungul segmentelor, unghiul dintre care este . Aflați unghiul de înclinare al acestui plan față de baza prismei.
Diferitele prisme sunt diferite unele de altele. În același timp, au multe în comun. Pentru a găsi aria bazei unei prisme, trebuie să vă dați seama ce fel arată.
Teoria generală
O prismă este orice poliedru ale cărui laturi au forma unui paralelogram. Mai mult, orice poliedru poate fi la baza sa - de la un triunghi la un n-gon. În plus, bazele prismei sunt întotdeauna egale între ele. Ceea ce nu se aplică fețelor laterale - acestea pot varia semnificativ în dimensiune.
La rezolvarea problemelor, nu se întâlnește numai zona bazei prismei. Poate fi necesar să se cunoască suprafața laterală, adică toate fețele care nu sunt baze. Suprafața completă va fi deja unirea tuturor fețelor care alcătuiesc prisma.
Uneori în sarcini apar înălțimi. Este perpendicular pe baze. Diagonala unui poliedru este un segment care leagă în perechi oricare două vârfuri care nu aparțin aceleiași fețe.
Trebuie remarcat faptul că aria bazei unei prisme drepte sau înclinate nu depinde de unghiul dintre ele și fețele laterale. Dacă au aceleași cifre în fețele superioare și inferioare, atunci zonele lor vor fi egale.
prisma triunghiulara
Are la bază o figură cu trei vârfuri, adică un triunghi. Se știe că este diferit. Dacă atunci este suficient să ne amintim că aria sa este determinată de jumătate din produsul picioarelor.
Notația matematică arată astfel: S = ½ av.
Pentru a afla aria bazei într-o formă generală, formulele sunt utile: Heron și cea în care jumătate din latură este dusă la înălțimea trasă la ea.
Prima formulă ar trebui scrisă astfel: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-c)). Această intrare conține un semiperimetru (p), adică suma a trei laturi împărțită la două.
Al doilea: S = ½ n a * a.
Dacă doriți să cunoașteți aria bazei unei prisme triunghiulare, care este regulată, atunci triunghiul este echilateral. Are propria formulă: S = ¼ a 2 * √3.
prismă pătrangulară
Baza sa este oricare dintre patrulaterele cunoscute. Poate fi un dreptunghi sau un pătrat, un paralelipiped sau un romb. În fiecare caz, pentru a calcula aria bazei prismei, veți avea nevoie de propria formulă.
Dacă baza este un dreptunghi, atunci aria sa se determină astfel: S = av, unde a, b sunt laturile dreptunghiului.
Când vine vorba de o prismă patruunghiulară, aria bazei unei prisme obișnuite este calculată folosind formula pentru un pătrat. Pentru că el este cel care stă la bază. S \u003d a 2.
În cazul în care baza este un paralelipiped, va fi necesară următoarea egalitate: S \u003d a * n a. Se întâmplă să fie date o latură a unui paralelipiped și unul dintre unghiuri. Apoi, pentru a calcula înălțimea, va trebui să utilizați o formulă suplimentară: na \u003d b * sin A. În plus, unghiul A este adiacent laturii „b”, iar înălțimea este na opusă acestui unghi.
Dacă un romb se află la baza prismei, atunci va fi necesară aceeași formulă pentru a-i determina aria ca și pentru un paralelogram (deoarece este un caz special al acestuia). Dar îl puteți folosi și pe acesta: S = ½ d 1 d 2. Aici d 1 și d 2 sunt două diagonale ale rombului.
Prismă pentagonală regulată
Acest caz implică împărțirea poligonului în triunghiuri, ale căror zone sunt mai ușor de aflat. Deși se întâmplă ca figurile să poată fi cu un număr diferit de vârfuri.
Deoarece baza prismei este un pentagon regulat, aceasta poate fi împărțită în cinci triunghiuri echilaterale. Apoi, aria bazei prismei este egală cu aria unui astfel de triunghi (formula poate fi văzută mai sus), înmulțită cu cinci.
Prismă hexagonală regulată
Conform principiului descris pentru o prismă pentagonală, este posibil să se împartă hexagonul de bază în 6 triunghiuri echilaterale. Formula pentru aria bazei unei astfel de prisme este similară cu cea anterioară. Numai în ea ar trebui înmulțit cu șase.
Formula va arăta astfel: S = 3/2 și 2 * √3.
Sarcini
Nr. 1. Este dată o linie regulată. Diagonala sa este de 22 cm, înălțimea poliedrului este de 14 cm. Calculați aria bazei prismei și întreaga suprafață.
Decizie. Baza unei prisme este un pătrat, dar latura acesteia nu este cunoscută. Puteți găsi valoarea sa din diagonala pătratului (x), care este legată de diagonala prismei (d) și de înălțimea acesteia (h). x 2 \u003d d 2 - n 2. Pe de altă parte, acest segment „x” este ipotenuza dintr-un triunghi ale cărui catete sunt egale cu latura pătratului. Adică x 2 \u003d a 2 + a 2. Astfel, se dovedește că a 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.
Înlocuiți numărul 22 în loc de d și înlocuiți „n” cu valoarea sa - 14, se dovedește că latura pătratului este de 12 cm. Acum este ușor să aflați aria de bază: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .
Pentru a afla suprafața întregii suprafețe, trebuie să adăugați de două ori valoarea suprafeței de bază și să multiplicați de patru ori latura. Acesta din urmă este ușor de găsit prin formula pentru un dreptunghi: înmulțiți înălțimea poliedrului și latura bazei. Adică, 14 și 12, acest număr va fi egal cu 168 cm 2. Suprafața totală a prismei este de 960 cm 2 .
Răspuns. Aria de bază a prismei este de 144 cm2. Toata suprafata - 960 cm 2 .
Nr 2. Dana La baza se afla un triunghi cu latura de 6 cm.In acest caz diagonala fetei laterale este de 10 cm.Calculeaza ariile: baza si suprafata laterala.
Decizie. Deoarece prisma este regulată, baza sa este un triunghi echilateral. Prin urmare, aria sa se dovedește a fi egală cu 6 pătrat ori ¼ și rădăcina pătrată de 3. Un calcul simplu duce la rezultatul: 9√3 cm 2. Aceasta este aria unei baze a prismei.
Toate fețele laterale sunt aceleași și sunt dreptunghiuri cu laturile de 6 și 10 cm Pentru a calcula ariile lor, este suficient să înmulțim aceste numere. Apoi înmulțiți-le cu trei, pentru că prisma are exact atâtea fețe laterale. Apoi, zona suprafeței laterale este înfășurată 180 cm 2 .
Răspuns. Suprafețe: bază - 9√3 cm 2, suprafața laterală a prismei - 180 cm 2.
Definiție 1. Suprafață prismatică
Teorema 1. Pe secțiuni paralele ale unei suprafețe prismatice
Definiție 2. Secțiune perpendiculară a unei suprafețe prismatice
Definiție 3. Prismă
Definiție 4. Înălțimea prismei
Definiție 5. Prismă directă
Teorema 2. Aria suprafeței laterale a prismei
Paralelepiped:
Definiție 6. Paralelepiped
Teorema 3. La intersecția diagonalelor unui paralelipiped
Definiție 7. Paralepiped drept
Definiție 8. Paralepiped dreptunghiular
Definiție 9. Dimensiunile unui paralelipiped
Definiție 10. Cub
Definiție 11. Romboedru
Teorema 4. Pe diagonalele unui paralelipiped dreptunghic
Teorema 5. Volumul unei prisme
Teorema 6. Volumul unei prisme drepte
Teorema 7. Volumul unui paralelipiped dreptunghic
prismă se numește poliedru, în care două fețe (baze) se află în planuri paralele, iar muchiile care nu se află în aceste fețe sunt paralele între ele.
Se numesc fețe altele decât bazele lateral.
Laturile fețelor laterale și ale bazelor se numesc marginile prismei, se numesc capetele marginilor vârfurile prismei. Coastele laterale numite muchii care nu apartin bazelor. Unirea fețelor laterale se numește suprafata laterala a prismei, iar unirea tuturor fețelor se numește suprafața completă a prismei. Înălțimea prismei numită perpendiculară căzută din punctul bazei superioare până în planul bazei inferioare sau lungimea acestei perpendiculare. 
prismă dreaptă numită prismă, în care marginile laterale sunt perpendiculare pe planurile bazelor. 
Corect numită prismă dreaptă (fig. 3), la baza căreia se află un poligon regulat.
Denumiri:
l - coastă laterală;
P - perimetrul bazei;
S o - zona de bază;
H - înălțime;
P ^ - perimetrul secțiunii perpendiculare;
S b - suprafata laterala;
V - volum;
S p - aria suprafeței totale a prismei.
|
V=SH |
*Se presupune că la fiecare două plane consecutive se intersectează și că ultimul plan îl intersectează pe primul.
Teorema 1 . Secțiunile unei suprafețe prismatice prin plane paralele între ele (dar nu paralele cu marginile acesteia) sunt poligoane egale.
Fie ABCDE și A"B"C"D"E" secțiuni ale unei suprafețe prismatice pe două plane paralele. Pentru a verifica dacă aceste două poligoane sunt egale, este suficient să arătăm că triunghiurile ABC și A"B"C" sunt egale și au același sens de rotație și că același sens este valabil și pentru triunghiurile ABD și A"B"D", ABE și A"B"E". Dar laturile corespunzătoare ale acestor triunghiuri sunt paralele (de exemplu, AC este paralelă cu A „C”) ca linii de intersecție ale unui anumit plan cu două plane paralele; rezultă că aceste laturi sunt egale (de exemplu, AC este egal cu A"C") ca laturi opuse ale unui paralelogram și că unghiurile formate de aceste laturi sunt egale și au aceeași direcție.
Definiția 2 . O secțiune perpendiculară a unei suprafețe prismatice este o secțiune a acestei suprafețe printr-un plan perpendicular pe marginile sale. Pe baza teoremei anterioare, toate secțiunile perpendiculare ale aceleiași suprafețe prismatice vor fi poligoane egale.
Definiția 3
. O prismă este un poliedru delimitat de o suprafață prismatică și două plane paralele între ele (dar nu paralele cu marginile suprafeței prismatice)
Se numesc chipurile situate în aceste ultime planuri baze de prisme; fețe aparținând unei suprafețe prismatice - fetele laterale; marginile suprafeței prismatice - marginile laterale ale prismei. În virtutea teoremei anterioare, bazele prismei sunt poligoane egale. Toate fețele laterale ale prismei paralelograme; toate marginile laterale sunt egale între ele.
Este evident că dacă baza prismei ABCDE și una dintre muchiile AA" sunt date ca mărime și direcție, atunci este posibil să se construiască o prismă prin desenarea muchiilor BB", CC", .., egale și paralele cu marginea AA”.
Definiția 4 . Înălțimea unei prisme este distanța dintre planele bazelor sale (HH").
Definiția 5
. O prismă se numește linie dreaptă dacă bazele ei sunt secțiuni perpendiculare ale unei suprafețe prismatice. În acest caz, înălțimea prismei este, desigur, a acesteia coastă laterală; marginile laterale vor dreptunghiuri.
Prismele pot fi clasificate după numărul de fețe laterale, egal cu numărul de laturi ale poligonului care îi servește drept bază. Astfel, prismele pot fi triunghiulare, patrulatere, pentagonale etc.
Teorema 2
. Aria suprafeței laterale a prismei este egală cu produsul marginii laterale și perimetrul secțiunii perpendiculare.
Fie ABCDEA"B"C"D"E" prisma dată și abcde secțiunea ei perpendiculară, astfel încât segmentele ab, bc, .. să fie perpendiculare pe marginile sale laterale. Fața ABA"B" este un paralelogram; aria sa este egal cu produsul bazei AA „ cu o înălțime care se potrivește cu ab; aria feței BCV "C" este egală cu produsul bazei BB" cu înălțimea bc etc. Prin urmare, suprafața laterală (adică suma suprafețelor fețelor laterale) este egal cu produsul muchiei laterale, cu alte cuvinte, lungimea totală a segmentelor AA", BB", .., cu suma ab+bc+cd+de+ea.
Informații generale despre o prismă dreaptă
Suprafața laterală a prismei (mai precis, aria suprafeței laterale) se numește sumă zonele feței laterale. Suprafața totală a prismei este egală cu suma suprafeței laterale și a ariilor bazelor.
Teorema 19.1. Suprafața laterală a unei prisme drepte este egală cu produsul dintre perimetrul bazei și înălțimea prismei, adică lungimea marginii laterale.
Dovada. Fețele laterale ale unei prisme drepte sunt dreptunghiuri. Bazele acestor dreptunghiuri sunt laturile poligonului situat la baza prismei, iar înălțimile sunt egale cu lungimea marginilor laterale. Rezultă că suprafața laterală a prismei este egală cu
S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,
unde a 1 și n sunt lungimile nervurilor bazei, p este perimetrul bazei prismei și I este lungimea nervurilor laterale. Teorema a fost demonstrată.
Sarcina practică
Sarcina (22) . Într-o prismă înclinată secțiune, perpendicular pe marginile laterale și intersectând toate marginile laterale. Aflați suprafața laterală a prismei dacă perimetrul secțiunii este p și marginile laterale sunt l.
Decizie. Planul secțiunii desenate împarte prisma în două părți (Fig. 411). Să supunem unul dintre ele unei translații paralele care combină bazele prismei. În acest caz, obținem o prismă dreaptă, în care secțiunea prismei originale servește ca bază, iar marginile laterale sunt egale cu l. Această prismă are aceeași suprafață laterală ca cea originală. Astfel, suprafața laterală a prismei originale este egală cu pl.
Generalizarea temei
Și acum să încercăm cu tine să rezumam subiectul prismei și să ne amintim ce proprietăți are o prismă.
Proprietățile prismei
În primul rând, pentru o prismă, toate bazele sale sunt poligoane egale;
În al doilea rând, pentru o prismă, toate fețele sale laterale sunt paralelograme;
În al treilea rând, într-o figură cu mai multe fațete precum o prismă, toate marginile laterale sunt egale;
De asemenea, trebuie amintit că poliedre precum prismele pot fi drepte și înclinate.
Ce este o prismă dreaptă?
Dacă marginea laterală a unei prisme este perpendiculară pe planul bazei sale, atunci o astfel de prismă se numește linie dreaptă.
Nu va fi de prisos să ne amintim că fețele laterale ale unei prisme drepte sunt dreptunghiuri.
Ce este o prismă oblică?
Dar dacă marginea laterală a prismei nu este situată perpendicular pe planul bazei sale, atunci putem spune cu siguranță că aceasta este o prismă înclinată.
Care este prisma corectă?
Dacă un poligon regulat se află la baza unei prisme drepte, atunci o astfel de prismă este regulată.
Acum să ne amintim proprietățile pe care le are o prismă obișnuită.
Proprietățile unei prisme regulate
În primul rând, poligoanele regulate servesc întotdeauna ca baze ale unei prisme regulate;
În al doilea rând, dacă luăm în considerare fețele laterale ale unei prisme regulate, atunci acestea sunt întotdeauna dreptunghiuri egale;
În al treilea rând, dacă comparăm dimensiunile nervurilor laterale, atunci în prisma corectă acestea sunt întotdeauna egale.
În al patrulea rând, o prismă obișnuită este întotdeauna dreaptă;
În al cincilea rând, dacă într-o prismă obișnuită fețele laterale sunt sub formă de pătrate, atunci o astfel de figură este de obicei numită poligon semi-regular.
Secțiunea prismei
Acum să ne uităm la secțiunea transversală a unei prisme:
Teme pentru acasă
Și acum să încercăm să consolidăm tema studiată prin rezolvarea problemelor.
Să desenăm o prismă triunghiulară înclinată, în care distanța dintre marginile ei va fi: 3 cm, 4 cm și 5 cm, iar suprafața laterală a acestei prisme va fi egală cu 60 cm2. Cu acești parametri, găsiți marginea laterală a prismei date.
Știți că figurile geometrice ne înconjoară constant nu numai la lecțiile de geometrie, ci și în viața de zi cu zi există obiecte care seamănă cu una sau alta figură geometrică.
Fiecare casă, școală sau serviciu are un computer, a cărui unitate de sistem este sub forma unei prisme drepte.
Dacă ridicați un creion simplu, veți vedea că partea principală a creionului este o prismă.
Mergând pe strada principală a orașului, vedem că sub picioarele noastre se află o țiglă care are forma unei prisme hexagonale.
A. V. Pogorelov, Geometrie pentru clasele 7-11, Manual pentru instituțiile de învățământ
Cursul video „Obțineți A” include toate subiectele necesare promovării cu succes a examenului la matematică cu 60-65 de puncte. Complet toate sarcinile 1-13 din Profil USE în matematică. De asemenea, potrivit pentru promovarea USE de bază în matematică. Dacă vrei să treci examenul cu 90-100 de puncte, trebuie să rezolvi partea 1 în 30 de minute și fără greșeli!
Curs de pregătire pentru examen pentru clasele 10-11, precum și pentru profesori. Tot ce ai nevoie pentru a rezolva partea 1 a examenului la matematică (primele 12 probleme) și problema 13 (trigonometrie). Și asta înseamnă mai mult de 70 de puncte la examenul de stat unificat și nici un student de o sută de puncte, nici un umanist nu se pot descurca fără ele.
Toată teoria necesară. Soluții rapide, capcane și secrete ale examenului. Au fost analizate toate sarcinile relevante din partea 1 din sarcinile Băncii FIPI. Cursul respectă pe deplin cerințele USE-2018.
Cursul conține 5 subiecte mari, câte 2,5 ore fiecare. Fiecare subiect este dat de la zero, simplu și clar.
Sute de sarcini de examen. Probleme de text și teoria probabilității. Algoritmi simpli și ușor de reținut pentru rezolvarea problemelor. Geometrie. Teorie, material de referință, analiza tuturor tipurilor de sarcini USE. Stereometrie. Trucuri viclene pentru rezolvare, fișe utile, dezvoltarea imaginației spațiale. Trigonometrie de la zero - la sarcina 13. Înțelegerea în loc de înghesuială. Explicarea vizuală a conceptelor complexe. Algebră. Rădăcini, puteri și logaritmi, funcție și derivată. Baza pentru rezolvarea problemelor complexe din partea a 2-a a examenului.
