Pentru a găsi o integrală definită folosind metoda trapezului, aria unui trapez curbiliniu este, de asemenea, împărțită în n trapeze dreptunghiulare cu înălțimi h și baze y 1, y 2, y 3,..y n, unde n este numărul trapez dreptunghiular. Integrala va fi numeric egală cu suma ariilor trapezelor dreptunghiulare (Figura 4).

Orez. 4

n - numărul de împărțiri

Eroarea formulei trapezului este estimată prin număr

Eroarea formulei trapezului scade mai repede cu creșterea decât eroarea formulei dreptunghiului. Prin urmare, formula trapezoidală vă permite să obțineți mai multă precizie decât metoda dreptunghiului.

Formula Simpson

Dacă pentru fiecare pereche de segmente construim un polinom de gradul doi, apoi îl integrăm pe segment și folosim proprietatea de aditivitate a integralei, atunci obținem formula Simpson.

În metoda lui Simpson de calcul a integralei definite, întregul interval de integrare este împărțit în subintervale de lungime egală h=(b-a)/n. Numărul de segmente de partiție este un număr par. Apoi, pe fiecare pereche de subintervale adiacente, funcția integrand f(x) este înlocuită cu un polinom Lagrange de gradul doi (Figura 5).

Orez. 5 Funcția y=f(x) pe segment este înlocuită cu un polinom de ordinul 2

Luați în considerare integrandul pe interval. Să înlocuim acest integrand cu un polinom de interpolare Lagrange de gradul doi care coincide cu y= în punctele:

Să integrăm pe interval:

Introducem o schimbare de variabile:

Având în vedere formulele de înlocuire,

După integrare, obținem formula Simpson:

Valoarea obținută pentru integrală coincide cu aria unui trapez curbiliniu delimitat de o axă, linii drepte și o parabolă care trece prin puncte. Pe un segment, formula lui Simpson va arăta astfel:

În formula parabolă, valoarea funcției f (x) la punctele impare de împărțire x 1, x 3, ..., x 2n-1 are un coeficient de 4, la punctele pare x 2, x 4, ... , x 2n-2 - coeficientul 2 și în două puncte de limită x 0 =a, x n =b - coeficientul 1.

Semnificația geometrică a formulei lui Simpson: aria unui trapez curbiliniu sub graficul funcției f(x) pe un segment este aproximativ înlocuită cu suma ariilor figurilor aflate sub parabole.

Dacă funcția f(x) are o derivată continuă de ordinul al patrulea, atunci valoarea absolută a erorii formulei Simpson nu este mai mare de

unde M este cea mai mare valoare de pe segment. Deoarece n 4 crește mai repede decât n 2 , eroarea formulei lui Simpson scade odată cu creșterea n mult mai rapid decât eroarea formulei trapezoidale.

Calculăm integrala

Această integrală este ușor de calculat:

Să luăm n egal cu 10, h=0,1, să calculăm valorile integrandului la punctele de partiție, precum și punctele semiîntregi.

Conform formulei dreptunghiurilor din mijloc, obținem I drept = 0,785606 (eroarea este 0,027%), conform formulei trapezoidale I capcană = 0,784981 (eroarea este de aproximativ 0,054. Când folosiți metoda dreptunghiurilor drepte și stângi, eroarea este mai mare de 3%.

Pentru a compara acuratețea formulelor aproximative, calculăm încă o dată integrala

dar acum prin formula Simpson pentru n=4. Împărțim segmentul în patru părți egale cu puncte x 0 \u003d 0, x 1 \u003d 1/4, x 2 \u003d 1/2, x 3 \u003d 3/4, x 4 \u003d 1 și calculăm aproximativ valorile ​​al funcției f (x) \u003d 1 / ( 1+x) în aceste puncte: y 0 =1,0000, y 1 =0,8000, y 2 =0,6667, y 3 =0,5714, y 4 =0,5000.

Prin formula lui Simpson, obținem

Să estimăm eroarea rezultatului obținut. Pentru integrandul f(x)=1/(1+x) avem: f (4) (x)=24/(1+x) 5 , de unde rezultă că pe segmentul . Prin urmare, putem lua M=24, iar eroarea rezultată nu depășește 24/(2880 4 4)=0,0004. Comparând valoarea aproximativă cu cea exactă, ajungem la concluzia că eroarea absolută a rezultatului obținut prin formula Simpson este mai mică de 0,00011. Aceasta este în conformitate cu estimarea erorii prezentată mai sus și, în plus, indică faptul că formula Simpson este mult mai precisă decât formula trapezoidală. Prin urmare, formula Simpson pentru calculul aproximativ al integralelor definite este utilizată mai des decât formula trapezoidală.

Se pune problema calculului numeric al unei integrale determinate, care se rezolvă cu ajutorul unor formule numite cuadratura.

Amintiți-vă cele mai simple formule de integrare numerică.

Să calculăm valoarea numerică aproximativă a lui . Împărțim intervalul de integrare [а, b] în n părți egale prin împărțirea punctelor
, numite noduri ale formulei de cuadratura. Să fie cunoscute valorile din noduri
:

Valoare

se numește interval sau pas de integrare. Rețineți că în practica calculelor -, numărul i este ales mic, de obicei nu este mai mare de 10-20. Pe un interval parțial

integrandul este înlocuit cu polinomul de interpolare

care reprezintă aproximativ funcţia f(x) pe intervalul luat în considerare.

a) Păstrați un singur prim termen în polinomul de interpolare, atunci

Formula pătratică rezultată

numită formula dreptunghiurilor.

b) Păstrați primii doi termeni în polinomul de interpolare, atunci

(2)

Formula (2) se numește formula trapezoidală.

c) Interval de integrare
împărțim într-un număr par de 2n părți egale, în timp ce pasul de integrare h va fi egal cu . Pe interval
de lungime 2h, înlocuim integrandul cu un polinom de interpolare de gradul doi, adică păstrăm primii trei termeni în polinom:

Formula de cuadratura rezultată se numește formula lui Simpson

(3)

Formulele (1), (2) și (3) au o semnificație geometrică simplă. În formula dreptunghiurilor, integralul f(x) pe interval
este înlocuit cu un segment de linie dreaptă y \u003d uk, paralel cu axa x, iar în formula trapezoidală - de un segment de linie dreaptă
și se calculează aria unui dreptunghi și respectiv a unui trapez rectiliniu, care sunt apoi însumate. În formula lui Simpson, funcția f(x) pe interval
lungimea 2h este înlocuită cu un trinom pătrat - o parabolă
se calculează aria unui trapez parabolic curbiliniu, apoi se însumează ariile.

CONCLUZIE

În concluzie, aș dori să remarc o serie de caracteristici ale aplicării metodelor discutate mai sus. Fiecare metodă pentru rezolvarea aproximativă a unei integrale definite are avantajele și dezavantajele sale, în funcție de sarcina în cauză, trebuie utilizate metode specifice.

Metoda substituției variabile este una dintre principalele metode de calcul a integralelor nedefinite. Chiar și atunci când integrăm printr-o altă metodă, de multe ori trebuie să apelăm la o schimbare de variabile în calculele intermediare. Succesul integrării depinde în mare măsură de dacă putem găsi o modificare atât de bună a variabilelor care să simplifice integrala dată.

În esență, studiul metodelor de integrare se rezumă la a afla ce fel de schimbare a variabilei ar trebui făcută pentru o formă sau alta a integrandului.

Prin urmare, integrarea fiecărei fracții raționale se reduce la integrarea unui polinom și a câtorva fracții simple.

Integrala oricărei funcții raționale poate fi exprimată în termeni de funcții elementare în forma finală și anume:

prin logaritmi - în cazurile celor mai simple fracții de tip 1;

prin funcţii raţionale – în cazul fracţiilor simple de tip 2

prin logaritmi și arctangente – în cazul fracțiilor simple de tip 3

prin funcții raționale și arctangente – în cazul celor mai simple fracții de tip 4. Substituția trigonometrică universală raționalizează întotdeauna integrandul, dar adesea duce la fracții raționale foarte greoaie, pentru care, în special, este practic imposibil de găsit rădăcinile numitorului. Prin urmare, dacă este posibil, se folosesc substituții parțiale, care raționalizează și integrandul și conduc la fracții mai puțin complexe.

formula Newton-Leibniz este o abordare generală a găsirii integralelor definite.

În ceea ce privește metodele de calcul a integralelor definite, acestea practic nu diferă de toate acele metode și metode.

Același lucru este valabil metode de substituție(schimbarea variabilei), metoda de integrare pe părți, aceleași metode de găsire a antiderivatelor pentru funcții trigonometrice, iraționale și transcendentale. Singura particularitate este că atunci când se aplică aceste tehnici, este necesar să se extindă transformarea nu numai la funcția sub-integrală, ci și la limitele integrării. Când schimbați variabila de integrare, nu uitați să modificați limitele de integrare în consecință.

Bine din teoremă, condiția de continuitate a funcției este o condiție suficientă pentru integrabilitatea funcției. Dar asta nu înseamnă că integrala definită există doar pentru funcții continue. Clasa de funcții integrabile este mult mai largă. Deci, de exemplu, există o integrală definită a funcțiilor care au un număr finit de puncte de discontinuitate.

Calculul unei integrale definite a unei funcții continue folosind formula Newton-Leibniz se reduce la găsirea unei antiderivate, care există întotdeauna, dar nu este întotdeauna o funcție elementară sau o funcție pentru care se întocmesc tabele care fac posibilă obținerea valorii a integralei. În numeroase aplicații, funcția integrabilă este dată într-un tabel, iar formula Newton-Leibniz nu este direct aplicabilă.

Dacă vrei cel mai precis rezultat, ideal metoda lui Simpson.

Din cele studiate mai sus, se poate trage următoarea concluzie că integrala este utilizată în științe precum fizica, geometria, matematica și alte științe. Cu ajutorul integralei se calculează munca forței, se găsesc coordonatele centrului de masă, drumul parcurs de punctul material. În geometrie, este folosit pentru a calcula volumul unui corp, a găsi lungimea unui arc de curbă etc.

În această metodă, se propune aproximarea integralandului pe un interval parțial printr-o parabolă care trece prin puncte.
(x j, f(xj)), Unde j = i-1; i-0.5; i, adică aproximăm integrandul prin polinomul de interpolare Lagrange de gradul doi:

(10.14)

După integrare, obținem:

(10.15)

Asta e formula lui Simpson sau formula parabolelor. Pe segment
[a, b] Formula lui Simpson ia forma

(10.16)

O reprezentare grafică a metodei lui Simpson este prezentată în fig. 2.4.

Orez. 10.4. Metoda Simpson

Să scăpăm de indicii fracționali din expresia (2.16) redenumind variabilele:

(10.17)

Apoi formula lui Simpson ia forma

(10.18)

Eroarea formulei (2.18) este estimată prin următoarea expresie:

, (10.19)

Unde h n = b-a, . Astfel, eroarea formulei lui Simpson este proporțională cu O(h 4).

Cometariu. Trebuie remarcat faptul că în formula Simpson, segmentul de integrare este în mod necesar împărțit în chiar numărul de intervale.

10.5. Calculul integralelor definite prin metode
Monte Carlo

Metodele discutate anterior sunt numite determinat , adică lipsit de elementul întâmplării.

Metode Monte Carlo(MMK) sunt metode numerice de rezolvare a problemelor matematice prin modelarea variabilelor aleatoare. MCM permit rezolvarea cu succes a problemelor matematice cauzate de procese probabilistice. Mai mult, atunci când se rezolvă probleme care nu sunt asociate cu nicio probabilitate, se poate veni în mod artificial un model probabilistic (și chiar mai mult de unul) care să permită rezolvarea acestor probleme. Luați în considerare calculul integralei definite

(10.20)

Când se calculează această integrală folosind formula dreptunghiurilor, intervalul [ a, b] împărțit în N intervale identice, în mijlocul cărora s-au calculat valorile integrandului. Prin calcularea valorilor funcției la noduri aleatorii, puteți obține un rezultat mai precis:

(10.21)

(10.22)

Aici γ i este un număr aleator distribuit uniform pe interval
. Eroarea în calcularea integralei MMK ~ , care este mult mai mare decât cea a metodelor deterministe studiate anterior.

Pe fig. 2.5 prezintă o implementare grafică a metodei Monte Carlo pentru calcularea unei integrale unice cu noduri aleatoare (2.21) și (2.22).

(2.23)

Orez. 10.6. Integrare Monte Carlo (al doilea caz)

După cum se vede în fig. 2.6, curba integrală se află în pătratul unității, iar dacă putem obține perechi de numere aleatoare distribuite uniform pe interval, atunci valorile obținute (γ 1, γ 2) pot fi interpretate ca coordonatele unui punct din pătrat unitar. Apoi, dacă există suficiente din aceste perechi de numere, putem presupune aproximativ că
. Aici S este numărul de perechi de puncte care se încadrează sub curbă și N este numărul total de perechi de numere.

Exemplul 2.1. Calculați următoarea integrală:

Problema a fost rezolvată prin diferite metode. Rezultatele obţinute sunt rezumate în tabel. 2.1.

Tabelul 2.1

Cometariu. Alegerea integralei de tabel ne-a permis să comparăm eroarea fiecărei metode și să aflăm influența numărului de partiții asupra preciziei calculelor.

11 SOLUȚIA APROXIMATĂ A NELINEARĂ
ȘI ECUATII TRANSCENDENTE

Calculul integralelor folosind formulele dreptunghiurilor, trapezelor și formulei lui Simpson. Estimarea erorilor.

Orientări privind subiectul 4.1:

Calculul integralelor prin formule de dreptunghiuri. Estimarea erorii:

Rezolvarea multor probleme tehnice se reduce la calculul anumitor integrale, a căror exprimare exactă este dificilă, necesită calcule lungi și nu este întotdeauna justificată în practică. Aici, valoarea lor aproximativă este destul de suficientă. De exemplu, trebuie să calculați aria delimitată de o dreaptă a cărei ecuație este necunoscută, axa Xși două ordonate. În acest caz, puteți înlocui această linie cu una mai simplă, pentru care ecuația este cunoscută. Aria trapezului curbiliniu astfel obținut este luată ca valoare aproximativă a integralei dorite. Geometric, ideea din spatele metodei de calcul a integralei definite folosind formula dreptunghiurilor este că aria unui trapez curbiliniu A 1 ABB 1 este înlocuit cu aria unui dreptunghi cu suprafață egală A 1 A 2 B 1 B 2, care, conform teoremei valorii medii, este egală cu

Unde f(c)--- înălțimea dreptunghiului A 1 A 2 B 1 B 2, care este valoarea integrandului la un punct intermediar c(a< c

Este practic dificil să găsești o asemenea valoare cu, la care (b-a)f(c) ar fi exact egal cu . Pentru a obține o valoare mai precisă, aria unui trapez curbiliniu este împărțită în n dreptunghiuri ale căror înălțimi sunt egale y 0 , y 1 , y 2 , …, y n -1 si fundatii.

Dacă rezumăm ariile dreptunghiurilor care acoperă aria unui trapez curbiliniu cu un dezavantaj, funcția este nedescrescătoare, atunci în loc de formulă, se folosește formula

Dacă este în exces, atunci

Valorile se găsesc din egalități. Aceste formule sunt numite formule dreptunghiulareși dați un rezultat aproximativ. Odată cu creșterea n rezultatul devine mai precis.

Exemplul 1 . Calculați din formula dreptunghiurilor

Împărțim intervalul de integrare în 5 părți. Apoi . Folosind un calculator sau un tabel, găsim valorile integrandului (cu o precizie de 4 zecimale):

Conform formulei dreptunghiurilor (cu un dezavantaj)

Pe de altă parte, conform formulei Newton-Leibniz

Să găsim eroarea relativă de calcul folosind formula dreptunghiurilor:

Calculul integralelor prin formule trapezoidale. Estimarea erorii:

Semnificația geometrică a următoarei metode pentru calculul aproximativ al integralelor este aceea de a găsi aria unui trapez „rectilin” aproximativ egal.

Să fie necesar să se calculeze suprafața A 1 AmBB 1 trapez curbiliniu, exprimat prin formula .

Să înlocuim arcul AmB coardă ABși în loc de zona unui trapez curbiliniu A 1 AmBB 1 calculați aria trapezului A 1 ABB 1: , Unde AA 1și BB 1 - baza trapezului și A 1 B 1 este înălțimea acestuia.

Denota f(a)=A 1 A, f(b)=B 1 B.înălțimea trapezului A 1 B 1 \u003d b-a, pătrat . Prin urmare, sau

Acest așa-zis formulă trapezoidală mică.

Pentru a construi formula Simpson, luăm mai întâi în considerare următoarea problemă: calculați aria S a unui trapez curbiliniu mărginit de sus de graficul parabolei y \u003d Ax 2 + Bx + C, de la stânga de linia dreaptă x \u003d - h, de la dreapta de linia dreaptă x \u003d h și de jos de segmentul [-h; h]. Lasă parabola să treacă prin trei puncte (Fig. 8): D (-h; y 0) E (0; y 1) și F (h; y 2), și x 2 - x 1 = x 1 - x 0 = h . Prin urmare,

x 1 \u003d x 0 + h \u003d 0; x 2 = x 0 + 2h.

Atunci aria S este egală cu integrala:

Exprimăm această zonă în termeni de h, y 0 , y 1 și y 2 . Pentru a face acest lucru, calculăm coeficienții parabolei A, B, C. Din condiția ca parabola să treacă prin punctele D, E și F, avem:

Rezolvând acest sistem, obținem: C = y 1 ; A=

Înlocuind aceste valori A și C în (3), obținem aria dorită

Să ne întoarcem acum la derivarea formulei lui Simpson pentru calcularea integralei

Pentru a face acest lucru, împărțim segmentul de integrare în 2n părți egale de lungime

La punctele de divizare (Fig. 4). a \u003d x 0, x 1, x 2, ..., x 2n-2, x 2n-1, x 2n \u003d b,

Se calculează valorile integrandului f: y 0 , y 1 , y 2 , ...,y 2n-2 , y 2n-1 , y 2n , de y i = f(x i), x i = a + ih (i = 0, 1, 2,...,2n).

Pe segment înlocuim integrandul cu o parabolă care trece prin punctele (x 0; y 0), (x 1; y 1) și (x 2; y 2), și se calculează valoarea aproximativă a integralei din x 0 la x 2, folosim formula (4 ). Apoi (zona umbrită din Fig. 4):

În mod similar, găsim:

................................................

Adunând egalitățile rezultate, avem:

Formula (5) se numește formula Simpson generalizată sau formula parabolă, deoarece la derivarea acestuia, graficul integrandului pe un segment parțial de lungime 2h este înlocuit cu un arc de parabolă.

Atribuirea de locuri de muncă:

1. Conform instrucțiunilor profesorului sau în conformitate cu o opțiune de la Mese 4 sarcini (vezi Anexa) pentru a lua condițiile - integrand, limitele integrării.

2. Întocmește o organigramă a programului și un program care ar trebui:

Solicitați acuratețea calculării unei integrale definite, limitele inferioare și superioare de integrare;

Calculați integrala dată prin metode: pentru opțiunile 1,4,7, 10... - dreapta, pentru opțiunile 2,5,8,... - medie; pentru opțiunile 2,5,8,... - dreptunghiuri din stânga. Ieșiți numărul de partiții ale intervalului de integrare la care este atinsă precizia de calcul specificată;

Calculați integrala dată folosind metoda trapezului (pentru opțiunile pare) și metoda lui Simpson (pentru opțiunile impare).

Ieșiți numărul de partiții ale intervalului de integrare la care este atinsă precizia de calcul specificată;

Ieșiți valorile funcției de control pentru valoarea dată a argumentului și comparați cu valorile calculate ale integralei. A trage concluzii.

întrebări de test

1. Ce este o integrală definită?

2. De ce, alături de metodele analitice, se folosesc metode numerice pentru calcularea integralelor definite.

3. Care este esența principalelor metode numerice de calcul a integralelor definite.

4. Influența numărului de partiții asupra preciziei calculării unei integrale definite prin metode numerice.

5. Cum se calculează integrala prin orice metodă cu o precizie dată?