Sunt date rapoartele dintre principalele funcții trigonometrice - sinus, cosinus, tangentă și cotangentă formule trigonometrice. Și din moment ce există destul de multe conexiuni între funcțiile trigonometrice, acest lucru explică și abundența formulelor trigonometrice. Unele formule conectează funcțiile trigonometrice ale aceluiași unghi, altele - funcțiile unui unghi multiplu, altele - vă permit să scădeți gradul, al patrulea - să exprimați toate funcțiile prin tangenta unui jumătate de unghi etc.

În acest articol, enumeram în ordine toate formulele trigonometrice de bază, care sunt suficiente pentru a rezolva marea majoritate a problemelor de trigonometrie. Pentru ușurință de memorare și utilizare, le vom grupa în funcție de scopul lor și le vom introduce în tabele.

Navigare în pagină.

Identități trigonometrice de bază

Identități trigonometrice de bază stabiliți relația dintre sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi. Ele decurg din definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei, precum și a conceptului de cerc unitar. Vă permit să exprimați o funcție trigonometrică prin oricare alta.

Pentru o descriere detaliată a acestor formule de trigonometrie, derivarea lor și exemple de aplicare, consultați articolul.

Formule turnate

Formule turnate rezultă din proprietățile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei, adică reflectă proprietatea de periodicitate a funcțiilor trigonometrice, proprietatea simetriei și, de asemenea, proprietatea deplasării cu un unghi dat. Aceste formule trigonometrice vă permit să treceți de la lucrul cu unghiuri arbitrare la lucrul cu unghiuri cuprinse între zero și 90 de grade.

Rațiunea acestor formule, o regulă mnemonică pentru memorarea lor și exemple de aplicare a lor pot fi studiate în articol.

Formule de adunare

Formule trigonometrice de adunare arată cum funcțiile trigonometrice ale sumei sau diferenței a două unghiuri sunt exprimate în termenii funcțiilor trigonometrice ale acestor unghiuri. Aceste formule servesc drept bază pentru derivarea următoarelor formule trigonometrice.

Formule pentru dublu, triplu etc. colţ

Formule pentru dublu, triplu etc. unghiul (se mai numesc și formule cu unghiuri multiple) arată cum funcțiile trigonometrice dublu, triplu etc. unghiurile () sunt exprimate în termeni de funcții trigonometrice ale unui singur unghi. Derivarea lor se bazează pe formule de adunare.

Informații mai detaliate sunt colectate în formulele articolului pentru dublu, triplu etc. unghi .

Formule cu jumătate de unghi

Formule cu jumătate de unghi arătați cum funcțiile trigonometrice ale unui semiunghi sunt exprimate în termeni de cosinus al unui unghi întreg. Aceste formule trigonometrice decurg din formulele cu unghi dublu.

Concluzia lor și exemple de aplicare pot fi găsite în articol.

Formule de reducere

Formule trigonometrice pentru grade descrescătoare sunt concepute pentru a facilita trecerea de la puterile naturale ale funcțiilor trigonometrice la sinusuri și cosinusuri de gradul întâi, dar unghiuri multiple. Cu alte cuvinte, ele permit reducerea puterilor funcțiilor trigonometrice la prima.

Formule pentru suma și diferența funcțiilor trigonometrice

Scopul principal formule de sumă și diferență pentru funcțiile trigonometrice constă în trecerea la produsul funcțiilor, ceea ce este foarte util la simplificarea expresiilor trigonometrice. Aceste formule sunt, de asemenea, utilizate pe scară largă în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice, deoarece permit factorizarea sumei și diferențelor sinusurilor și cosinusurilor.

Formule pentru produsul dintre sinusuri, cosinus și sinus cu cosinus

Trecerea de la produsul funcțiilor trigonometrice la sumă sau diferență se realizează prin formulele pentru produsul dintre sinusuri, cosinus și sinus cu cosinus.

Substituție trigonometrică universală

Terminăm trecerea în revistă a formulelor de bază ale trigonometriei cu formule care exprimă funcții trigonometrice în termeni de tangente a unui semiunghi. Acest înlocuitor se numește substituție trigonometrică universală. Comoditatea sa constă în faptul că toate funcțiile trigonometrice sunt exprimate în termeni de tangente a unui jumătate de unghi rațional fără rădăcini.

Bibliografie.

• Algebră: Proc. pentru 9 celule. medie scoala / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Iluminismul, 1990.- 272 p.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M.I. Algebra și începutul analizei: Proc. pentru 10-11 celule. medie şcoală - Ed. a 3-a. - M.: Iluminismul, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebră iar începutul analizei: Proc. pentru 10-11 celule. educatie generala instituții / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorova.- ed. a XIV-a- M.: Iluminismul, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior scoala, 1984.-351 p., ill.

Drepturi de autor de către studenți inteligenți

Toate drepturile rezervate.
Protejat de legea dreptului de autor. Nicio parte a site-ului, inclusiv materialele interne și designul extern, nu poate fi reprodusă sub nicio formă sau utilizată fără permisiunea prealabilă scrisă a deținătorului drepturilor de autor.

LA transformări identice expresii trigonometrice se pot folosi următoarele trucuri algebrice: adunarea şi scăderea termenilor identici; scoaterea factorului comun din paranteze; înmulțirea și împărțirea cu aceeași valoare; aplicarea formulelor de multiplicare prescurtate; selectarea unui pătrat complet; factorizarea unui trinom pătrat; introducerea de noi variabile pentru simplificarea transformărilor.

Când convertiți expresii trigonometrice care conțin fracții, puteți utiliza proprietățile de proporție, de reducere a fracțiilor sau de reducere a fracțiilor la un numitor comun. În plus, puteți utiliza selecția părții întregi a fracției, înmulțind numărătorul și numitorul fracției cu aceeași valoare și, de asemenea, dacă este posibil, luați în considerare uniformitatea numărătorului sau numitorului. Dacă este necesar, puteți reprezenta o fracție ca sumă sau diferență a mai multor fracții mai simple.

În plus, atunci când se aplică toate metodele necesare pentru conversia expresiilor trigonometrice, este necesar să se țină cont în mod constant de intervalul de valori permise ale expresiilor convertite.

Să ne uităm la câteva exemple.

Exemplul 1

Calculați A = (sin (2x - π) cos (3π - x) + sin (2x - 9π/2) cos (x + π/2)) 2 + (cos (x - π/2) cos ( 2x – 7π) /2) +
+ sin (3π/2 - x) sin (2x -5π/2)) 2

Decizie.

Din formulele de reducere rezultă:

sin (2x - π) \u003d -sin 2x; cos (3π - x) \u003d -cos x;

sin (2x - 9π / 2) \u003d -cos 2x; cos (x + π/2) = -sin x;

cos (x - π / 2) \u003d sin x; cos (2x - 7π/2) = -sin 2x;

sin (3π / 2 - x) \u003d -cos x; sin (2x - 5π / 2) \u003d -cos 2x.

De unde, în virtutea formulelor de adunare a argumentelor și a identității trigonometrice de bază, obținem

A \u003d (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 \u003d sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) \u003d
= sin 2 3x + cos 2 3x = 1

Raspunsul 1.

Exemplul 2

Transformați expresia M = cos α + cos (α + β) cos γ + cos β – sin (α + β) sin γ + cos γ într-un produs.

Decizie.

Din formulele de adunare a argumentelor și formulele de conversie a sumei funcțiilor trigonometrice într-un produs, după gruparea corespunzătoare, avem

М = (cos (α + β) cos γ - sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) cos ((β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) (cos ((β – γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) 2cos ((β – γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) cos ((β – γ)/2) – (α + ( β +) γ)/2)/2) =

4cos ((β + γ)/2) cos ((α + β)/2) cos ((α + γ)/2).

Răspuns: М = 4cos ((α + β)/2) cos ((α + γ)/2) cos ((β + γ)/2).

Exemplul 3.

Arătați că expresia A \u003d cos 2 (x + π / 6) - cos (x + π / 6) cos (x - π / 6) + cos 2 (x - π / 6) ia pentru tot x de la R unul si aceeasi valoare. Găsiți această valoare.

Decizie.

Vă prezentăm două metode de rezolvare a acestei probleme. Aplicând prima metodă, prin izolarea pătratului complet și folosind formulele trigonometrice de bază corespunzătoare, obținem

A \u003d (cos (x + π / 6) - cos (x - π / 6)) 2 + cos (x - π / 6) cos (x - π / 6) \u003d

4sin 2 x sin 2 π/6 + 1/2(cos 2x + cos π/3) =

Sin 2 x + 1/2 cos 2x + 1/4 = 1/2 (1 - cos 2x) + 1/2 cos 2x + 1/4 = 3/4.

Rezolvând problema în al doilea mod, considerați A ca o funcție a lui x din R și calculați derivata acesteia. După transformări, obținem

А´ \u003d -2cos (x + π/6) sin (x + π/6) + (sin (x + π/6) cos (x - π/6) + cos (x + π/6) sin ( x + π/6)) - 2cos (x - π/6) sin (x - π/6) =

Sin 2(x + π/6) + sin ((x + π/6) + (x - π/6)) - sin 2(x - π/6) =

Sin 2x - (sin (2x + π/3) + sin (2x - π/3)) =

Sin 2x - 2sin 2x cos π/3 = sin 2x - sin 2x ≡ 0.

Prin urmare, în virtutea criteriului de constanță al unei funcții diferențiabile pe un interval, concluzionăm că

A(x) ≡ (0) = cos 2 π/6 - cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4, x ∈ R.

Răspuns: A = 3/4 pentru x € R.

Principalele metode de demonstrare a identităților trigonometrice sunt:

A) reducerea laturii stângi a identității către partea dreaptă prin transformări adecvate;
b) reducerea laturii drepte a identității la stânga;
în) reducerea părților din dreapta și din stânga identității la aceeași formă;
G) reducerea la zero a diferenței dintre părțile din stânga și din dreapta ale identității care se dovedește.

Exemplul 4

Verificați dacă cos 3x = -4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3).

Decizie.

Transformând partea dreaptă a acestei identități conform formulelor trigonometrice corespunzătoare, avem

4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3) =

2cos x (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) – (x + 2π/3))) =

2cos x (cos (2x + π) + cos π/3) =

2cos x cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) - cos x = cos 3x.

Partea dreaptă a identității este redusă la partea stângă.

Exemplul 5

Demonstrați că sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α cos β cos γ = 2 dacă α, β, γ sunt unghiuri interioare ale unui triunghi.

Decizie.

Ținând cont că α, β, γ sunt unghiuri interioare ale unui triunghi, obținem că

α + β + γ = π și deci γ = π – α – β.

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α cos β cos γ =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π - α - β) - 2cos α cos β cos (π - α - β) =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α - β) (cos (α + β) =

Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α - β) (cos (α + β) =

1/2 (1 - cos 2α) + ½ (1 - cos 2β) + 1 + 1/2 (cos 2α + cos 2β) = 2.

Egalitatea inițială este dovedită.

Exemplul 6

Demonstrați că pentru ca unul dintre unghiurile α, β, γ ale triunghiului să fie egal cu 60°, este necesar și suficient ca sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Decizie.

Condiția acestei probleme presupune dovada atât a necesității, cât și a suficienței.

Mai întâi dovedim nevoie.

Se poate arăta că

sin 3α + sin 3β + sin 3γ = -4cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2).

Prin urmare, ținând cont de faptul că cos (3/2 60°) = cos 90° = 0, obținem că dacă unul dintre unghiurile α, β sau γ este egal cu 60°, atunci

cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0 și deci sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Să demonstrăm acum adecvarea condiția specificată.

Dacă sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0, atunci cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0 și, prin urmare

fie cos (3α/2) = 0, fie cos (3β/2) = 0, fie cos (3γ/2) = 0.

Prin urmare,

sau 3α/2 = π/2 + πk, adică. α = π/3 + 2πk/3,

sau 3β/2 = π/2 + πk, adică. β = π/3 + 2πk/3,

sau 3γ/2 = π/2 + πk,

acestea. γ = π/3 + 2πk/3, unde k ϵ Z.

Din faptul că α, β, γ sunt unghiurile unui triunghi, avem

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Prin urmare, pentru α = π/3 + 2πk/3 sau β = π/3 + 2πk/3 sau

γ = π/3 + 2πk/3 din toate kϵZ numai k = 0 se potrivește.

De unde rezultă că fie α = π/3 = 60°, fie β = π/3 = 60°, fie γ = π/3 = 60°.

Afirmația a fost dovedită.

Aveti vreo intrebare? Nu știți cum să simplificați expresiile trigonometrice?
Pentru a obține ajutorul unui tutore - înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!

site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

Pentru a rezolva unele probleme, va fi util un tabel de identități trigonometrice, care va face mult mai ușor să faceți transformări ale funcțiilor:

Cele mai simple identități trigonometrice

Coeficientul de împărțire a sinusului unghiului alfa la cosinusul aceluiași unghi este egal cu tangentei acestui unghi (Formula 1). Vezi și dovada corectitudinii transformării celor mai simple identități trigonometrice.
Coeficientul de împărțire a cosinusului unghiului alfa la sinusul aceluiași unghi este egal cu cotangentei aceluiași unghi (Formula 2)
Secanta unui unghi este egală cu una împărțită la cosinusul aceluiași unghi (Formula 3)
Suma pătratelor sinusului și cosinusului aceluiași unghi este egală cu unu (Formula 4). vezi și demonstrația sumei pătratelor cosinusului și sinusului.
Suma unității și tangentei unghiului este egală cu raportul unității la pătratul cosinusului acestui unghi (Formula 5)
Unitatea plus cotangenta unghiului este egal cu câtul împărțirii unității la pătratul sinus al acestui unghi (Formula 6)
Produsul tangentei și cotangentei aceluiași unghi este egal cu unu (Formula 7).

Conversia unghiurilor negative ale funcțiilor trigonometrice (pare și impare)

Pentru a scăpa de valoarea negativă a gradului de măsură a unghiului la calcularea sinusului, cosinusului sau tangentei, puteți utiliza următoarele transformări trigonometrice (identități) bazate pe principiile funcțiilor trigonometrice pare sau impare.

Așa cum se vede, cosinus iar secanta este chiar funcția, sinus, tangentă și cotangentă sunt funcții impare.

Sinusul unui unghi negativ este egal cu valoarea negativă a sinusului aceluiași unghi pozitiv (minus sinusul alfa).
Cosinusul „minus alfa” va da aceeași valoare ca și cosinusul unghiului alfa.
Tangenta minus alfa este egală cu minus tangenta alfa.

Formule de reducere a unghiului dublu (sinus, cosinus, tangentă și cotangentă a unui unghi dublu)

Dacă trebuie să împărțiți unghiul la jumătate sau invers, treceți de la un unghi dublu la un singur unghi, puteți utiliza următoarele identități trigonometrice:

Conversie cu unghi dublu (unghi dublu sinus, unghi dublu cosinus și unghi dublu tangente) într-unul singur are loc după următoarele reguli:

Sinusul unui unghi dublu este egal cu dublul produsului dintre sinus și cosinus al unui singur unghi

Cosinusul unui unghi dublu este egală cu diferența dintre pătratul cosinusului unui singur unghi și pătratul sinusului acestui unghi

Cosinusul unui unghi dublu egal cu dublul pătratului cosinusului unui singur unghi minus unu

Cosinusul unui unghi dublu este egal cu unu minus pătratul dublu sinus al unui singur unghi

Tangenta cu unghi dublu este egal cu o fracție al cărei numărător este de două ori tangenta unui singur unghi și al cărei numitor este egal cu unu minus tangentei pătratului unui singur unghi.

Cotangentă cu unghi dublu este egal cu o fracție al cărei numărător este pătratul cotangentei unui singur unghi minus unu, iar numitorul este egal cu dublul cotangentei unui singur unghi

Formule universale de substituție trigonometrică

Formulele de conversie de mai jos pot fi utile atunci când trebuie să împărțiți argumentul funcției trigonometrice (sin α, cos α, tg α) la două și să aduceți expresia la valoarea jumătate a unghiului. Din valoarea lui α obținem α/2 .

Aceste formule sunt numite formule ale substituției trigonometrice universale. Valoarea lor constă în faptul că expresia trigonometrică cu ajutorul lor se reduce la expresia tangentei unei jumătăți de unghi, indiferent de ce funcții trigonometrice (sin cos tg ctg) au fost inițial în expresie. După aceea, ecuația cu tangenta unei jumătăți de unghi este mult mai ușor de rezolvat.

Identități trigonometrice de transformare semiunghi

Următoarele sunt formulele pentru conversia trigonometrică a jumătate din valoarea unui unghi în valoarea sa întreagă.
Valoarea argumentului funcției trigonometrice α/2 se reduce la valoarea argumentului funcției trigonometrice α.

Formule trigonometrice pentru adăugarea unghiurilor

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α

sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

Tangenta și cotangenta sumei unghiurilor alfa și beta pot fi convertite în conformitate cu următoarele reguli pentru conversia funcțiilor trigonometrice:

Tangenta sumei unghiurilor este egal cu o fracție al cărei numărător este suma tangentei primului unghi și tangentei celui de-al doilea unghi, iar numitorul este unu minus produsul tangentei primului unghi și tangentei celui de-al doilea unghi.

Diferența de unghi tangentă este egal cu o fracție, al cărei numărător este egal cu diferența dintre tangentei unghiului redus și tangentei unghiului de scăzut, iar numitorul este unu plus produsul tangentelor acestor unghiuri.

Cotangenta sumei unghiurilor este egal cu o fracție al cărei numărător este egal cu produsul cotangentelor acestor unghiuri plus unu, iar numitorul este egal cu diferența dintre cotangentei celui de-al doilea unghi și cotangentei primului unghi.

Cotangente a diferenței de unghi este egal cu o fracție al cărei numărător este produsul cotangentelor acestor unghiuri minus unu, iar numitorul este egal cu suma cotangentelor acestor unghiuri.

Aceste identități trigonometrice sunt convenabile de utilizat atunci când trebuie să calculați, de exemplu, tangenta de 105 grade (tg 105). Dacă este reprezentat ca tg (45 + 60), atunci puteți utiliza transformările identice date ale tangentei sumei unghiurilor, după care pur și simplu înlocuiți valorile tabulare ale tangentei lui 45 și tangentei. de 60 de grade.

Formule pentru conversia sumei sau diferențelor funcțiilor trigonometrice

Expresiile reprezentând suma formei sin α + sin β pot fi convertite folosind următoarele formule:

Formule cu unghi triplu - convertiți sin3α cos3α tg3α în sinα cosα tgα

Uneori este necesar să convertiți valoarea triplă a unghiului astfel încât unghiul α să devină argumentul funcției trigonometrice în loc de 3α.
În acest caz, puteți utiliza formulele (identitățile) pentru transformarea unghiului triplu:

Formule pentru transformarea produsului funcțiilor trigonometrice

Dacă devine necesar să convertiți produsul sinusurilor diferitelor unghiuri ale cosinusurilor diferitelor unghiuri sau chiar produsul dintre sinus și cosinus, atunci puteți utiliza următoarele identități trigonometrice:


În acest caz, produsul funcțiilor sinus, cosinus sau tangentă ale diferitelor unghiuri va fi convertit într-o sumă sau diferență.

Formule de reducere a funcţiilor trigonometrice

Trebuie să utilizați tabelul de distribuție după cum urmează. În linie, selectați funcția care ne interesează. Coloana este un unghi. De exemplu, sinusul unghiului (α+90) la intersecția primului rând și a primei coloane, aflăm că sin (α+90) = cos α .

Execut pentru toate valorile argumentului (din domeniul general).

Formule de substituție universală.

Cu aceste formule, este ușor să transformați orice expresie care conține diverse funcții trigonometrice ale unui argument într-o expresie rațională a unei singure funcții. tg (α /2):

Formule de conversie a sumelor în produse și a produselor în sume.

Anterior, formulele de mai sus erau folosite pentru a simplifica calculele. Ei au calculat folosind tabele logaritmice, iar mai târziu - o regulă de calcul, deoarece logaritmii sunt cei mai potriviti pentru înmulțirea numerelor. De aceea, fiecare expresie originală a fost redusă la o formă care ar fi convenabilă pentru logaritmi, adică la produse, De exemplu:

2 păcat α păcat b = cos (α - b) - cos (α + b);

2 cos α cos b = cos (α - b) + cos (α + b);

2 păcat α cos b = păcat (α - b) + păcat (α + b).

unde este unghiul pentru care, în special,

Formulele pentru funcțiile tangentă și cotangentă sunt ușor de obținut din cele de mai sus.

Formule de reducere a gradului.

sin 2 α \u003d (1 - cos 2α) / 2;	cos2α = (1 + cos2α)/2;
păcatul 3α = (3 sinα -păcatul 3α )/4;	cos 3 a = (3 cosα + cos 3α )/4.

Cu ajutorul acestor formule, ecuațiile trigonometrice sunt ușor reduse la ecuații cu grade mai mici. În același mod, formulele de scădere sunt derivate pentru grade superioare păcatși cos.

Exprimarea funcțiilor trigonometrice prin una dintre ele de același argument.

Semnul din fața rădăcinii depinde de sfert de unghi α .