Geometria cuprinde proprietățile și asocierile figurilor bidimensionale și spațiale. Valorile numerice care caracterizează astfel de structuri sunt pătratși perimetrul, al cărui calcul se efectuează după formule celebre sau exprimat unul prin altul.

Instruire

1. Dreptunghi. Sarcină: Calculați pătrat dreptunghi, dacă se știe că perimetrul său este de 40, iar lungimea b este de 1,5 ori mai mare decât lățimea a.

2. Soluție Utilizați celebra formulă de perimetru, este egală cu suma tuturor laturilor figurii. În acest caz, P = 2 a + 2 b. Din datele inițiale ale problemei, știți că b = 1,5 a, prin urmare, P = 2 a + 2 1,5 a = 5 a, din care a = 8. Aflați lungimea b = 1,5 8 = 12.

3. Scrieți formula pentru aria unui dreptunghi: S = a b, înlocuiți valorile cunoscute: S = 8 * 12 = 96.

4. Pătrat.Problemă: detectează pătrat pătrat dacă perimetrul este 36.

5. Rezolvare.Un pătrat este un caz special al unui dreptunghi, unde toate laturile sunt egale, prin urmare, perimetrul său este 4 a, de unde a = 8. Determinați aria pătratului cu formula S = a? = 64.

6. Triunghi.Problema: sa se dea un triunghi arbitrar ABC, al carui perimetru este 29. Aflati valoarea ariei sale, daca se stie ca inaltimea BH, coborata pe latura AC, il imparte in segmente cu lungimi de 3 si 4 cm.

7. Soluție. În primul rând, amintiți-vă formula ariei pentru un triunghi: S \u003d 1/2 c h, unde c este baza și h este înălțimea figurii. În cazul nostru, baza va fi latura AC, care este cunoscută prin condiția problemei: AC = 3+4 = 7, rămâne de găsit înălțimea BH.

8. Înălțimea este o perpendiculară trasată pe latura de la vârful opus, prin urmare, împarte triunghiul ABC în două triunghiuri dreptunghiulare. Cunoscând această calitate, luăm în considerare triunghiul ABH. Amintiți-vă formula lui Pitagora, conform căreia: AB? = BH? +AH? = BH? + 9 ? AB \u003d? (h? + 9). În triunghiul BHC, conform aceleiași teze, notați: BC? = BH? +HC? = BH? + 16 ? BC = ?(h? + 16).

9. Aplicați formula perimetrului: P = AB + BC + AC

10. Rezolvați ecuația: ?(h? + 9) + ?(h? + 16) = 22? [înlocuire t? =h? + 9]:?(t? + 7) = 22 - t, pătratează ambele părți ale ecuației: t? + 7 \u003d 484 - 44 t + t? ? t?10.84h? + 9 = 117,5? h? 10.42

11. Descoperi pătrat triunghi ABC:S = 1/2 7 10,42 = 36,47.

Un dreptunghi este un caz special de patrulater. Aceasta înseamnă că dreptunghiul are patru laturi. Laturile sale opuse sunt egale: de exemplu, dacă una dintre laturile sale este de 10 cm, atunci și latura opusă va fi de 10 cm. Un caz special al unui dreptunghi este un pătrat. Un pătrat este un dreptunghi cu toate laturile egale. Pentru a calcula aria unui pătrat, puteți utiliza același algoritm ca și pentru a calcula aria unui dreptunghi.

Cum să găsiți aria unui dreptunghi pe două laturi

Pentru a găsi aria unui dreptunghi, înmulțiți lungimea acestuia cu lățimea: Arie = Lungime × Lățime. În cazul de mai jos: Aria = AB × BC.

Cum să găsiți aria unui dreptunghi având în vedere latura și lungimea diagonalei

În unele probleme, trebuie să găsiți aria unui dreptunghi folosind lungimea diagonalei și a uneia dintre laturi. Diagonala unui dreptunghi îl împarte în două triunghiuri dreptunghiulare egale. Prin urmare, puteți determina a doua latură a dreptunghiului folosind teorema lui Pitagora. După aceea, problema se reduce la punctul anterior.

Cum să găsiți aria unui dreptunghi după perimetru și latură

Perimetrul unui dreptunghi este suma tuturor laturilor sale. Dacă cunoașteți perimetrul dreptunghiului și o latură (de exemplu, lățimea), puteți calcula aria dreptunghiului folosind următoarea formulă:
Zona \u003d (Perimetru × Lățime - Lățime ^ 2) / 2.

Aria unui dreptunghi în termeni de sinus al unui unghi ascuțit dintre diagonale și lungimea diagonalei

Diagonalele dintr-un dreptunghi sunt egale, așa că pentru a calcula aria pe baza lungimii diagonalei și a sinusului unghiului ascuțit dintre ele, utilizați următoarea formulă: Aria = Diagonala^2 × sin(unghiul ascuțit dintre diagonale)/ 2.

Definiție.

Dreptunghi Este un patrulater cu două laturi opuse egale și toate cele patru unghiuri egale.

Dreptunghiurile diferă unul de celălalt doar în raportul dintre latura lungă și cea scurtă, dar toate cele patru colțuri sunt drepte, adică 90 de grade fiecare.

Latura lungă a unui dreptunghi se numește lungime dreptunghi, iar scurtul lățimea dreptunghiului.

Laturile unui dreptunghi sunt, de asemenea, înălțimile acestuia.

Proprietățile de bază ale unui dreptunghi

Un dreptunghi poate fi un paralelogram, un pătrat sau un romb.

1. Laturile opuse ale unui dreptunghi au aceeași lungime, adică sunt egale:

AB=CD, BC=AD

2. Laturile opuse ale dreptunghiului sunt paralele:

3. Laturile adiacente ale unui dreptunghi sunt întotdeauna perpendiculare:

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. Toate cele patru colțuri ale dreptunghiului sunt drepte:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. Suma unghiurilor unui dreptunghi este de 360 ​​de grade:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Diagonalele unui dreptunghi au aceeași lungime:

7. Suma pătratelor diagonalei unui dreptunghi este egală cu suma pătratelor laturilor:

2d2 = 2a2 + 2b2

8. Fiecare diagonală a dreptunghiului împarte dreptunghiul în două figuri identice și anume triunghiuri dreptunghiulare.

9. Diagonalele dreptunghiului se intersectează și se împart la jumătate în punctul de intersecție:

		AO=BO=CO=DO=	d
			2

10. Punctul de intersecție al diagonalelor se numește centrul dreptunghiului și este și centrul cercului circumscris

11. Diagonala unui dreptunghi este diametrul cercului circumscris

12. Un cerc poate fi descris întotdeauna în jurul unui dreptunghi, deoarece suma unghiurilor opuse este de 180 de grade:

∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°

13. Un cerc nu poate fi înscris într-un dreptunghi a cărui lungime nu este egală cu lățimea sa, deoarece sumele laturilor opuse nu sunt egale între ele (un cerc poate fi înscris doar într-un caz special de dreptunghi - un pătrat).

Laturile unui dreptunghi

Definiție.

Lungime dreptunghi numiți lungimea perechii mai lungi a laturilor sale. Lățimea dreptunghiului numiți lungimea perechii mai scurte de laturi ale acesteia.

Formule pentru determinarea lungimilor laturilor unui dreptunghi

1. Formula pentru latura unui dreptunghi (lungimea și lățimea dreptunghiului) în termeni de diagonală și cealaltă latură:

a = √ d 2 - b 2

b = √ d 2 - a 2

2. Formula pentru latura unui dreptunghi (lungimea și lățimea dreptunghiului) în ceea ce privește suprafața și cealaltă parte:

b = dcos	β
	2

dreptunghi diagonală

Definiție.

Dreptunghi diagonal Se numește orice segment care leagă două vârfuri ale colțurilor opuse ale unui dreptunghi.

Formule pentru determinarea lungimii diagonalei unui dreptunghi

1. Formula pentru diagonala unui dreptunghi în termeni a două laturi ale dreptunghiului (prin teorema lui Pitagora):

d = √ a 2 + b 2

2. Formula pentru diagonala unui dreptunghi în termeni de suprafață și orice latură:

4. Formula pentru diagonala unui dreptunghi în funcție de raza cercului circumscris:

d=2R

5. Formula pentru diagonala unui dreptunghi în funcție de diametrul cercului circumscris:

d = D o

6. Formula diagonalei unui dreptunghi în termeni de sinus al unghiului adiacent diagonalei și lungimea laturii opuse acestui unghi:

8. Formula diagonalei unui dreptunghi în funcție de sinusul unui unghi ascuțit dintre diagonale și aria dreptunghiului

d = √2S: sinβ

Perimetrul unui dreptunghi

Definiție.

Perimetrul unui dreptunghi este suma lungimilor tuturor laturilor dreptunghiului.

Formule pentru determinarea lungimii perimetrului unui dreptunghi

1. Formula pentru perimetrul unui dreptunghi în termeni de două laturi ale dreptunghiului:

P = 2a + 2b

P = 2(a+b)

2. Formula pentru perimetrul unui dreptunghi în termeni de suprafață și orice latură:

P=	2S + 2a 2	=	2S + 2b 2
	A		b

3. Formula pentru perimetrul unui dreptunghi în termeni de diagonală și orice latură:

P = 2(a + √ d 2 - a 2) = 2(b + √ d 2 - b 2)

4. Formula pentru perimetrul unui dreptunghi în termeni de rază a cercului circumscris și orice latură:

P = 2(a + √4R 2 - a 2) = 2(b + √4R 2 - b 2)

5. Formula pentru perimetrul unui dreptunghi în funcție de diametrul cercului circumscris și orice latură:

P = 2(a + √D o 2 - a 2) = 2(b + √D o 2 - b 2)

Zona dreptunghiulară

Definiție.

Zona dreptunghiulară numit spațiu delimitat de laturile dreptunghiului, adică în perimetrul dreptunghiului.

Formule pentru determinarea ariei unui dreptunghi

1. Formula pentru aria unui dreptunghi în termeni de două laturi:

S = a b

2. Formula pentru aria unui dreptunghi prin perimetru și orice latură:

5. Formula pentru aria unui dreptunghi în termeni de rază a cercului circumscris și orice latură:

S = a √4R 2 - a 2= b √4R 2 - b 2

6. Formula pentru aria unui dreptunghi în ceea ce privește diametrul cercului circumscris și orice latură:

S \u003d a √ D o 2 - a 2= b √ D o 2 - b 2

Cerc circumscris în jurul unui dreptunghi

Definiție.

Un cerc circumscris unui dreptunghi Se numește un cerc care trece prin patru vârfuri ale unui dreptunghi, al cărui centru se află la intersecția diagonalelor dreptunghiului.

Formule pentru determinarea razei unui cerc circumscris unui dreptunghi

1. Formula pentru raza unui cerc circumscris unui dreptunghi prin două laturi:

4. Formula pentru raza unui cerc, care este descrisă despre un dreptunghi prin diagonala unui pătrat:

5. Formula pentru raza unui cerc, care este descrisă lângă dreptunghi prin diametrul cercului (circumscris):

6. Formula pentru raza unui cerc, care este descrisă lângă un dreptunghi prin sinusul unghiului care este adiacent diagonalei și lungimea laturii opuse acestui unghi:

7. Formula pentru raza unui cerc, care este descrisă despre un dreptunghi în termeni de cosinus al unghiului care este adiacent diagonalei și lungimea laturii la acest unghi:

8. Formula pentru raza unui cerc, care este descrisă lângă un dreptunghi prin sinusul unui unghi ascuțit dintre diagonale și aria dreptunghiului:

Unghiul dintre o latură și o diagonală a unui dreptunghi.

Formule pentru determinarea unghiului dintre latura și diagonala unui dreptunghi:

1. Formula pentru determinarea unghiului dintre latura și diagonala unui dreptunghi prin diagonală și latură:

2. Formula pentru determinarea unghiului dintre latura și diagonala unui dreptunghi prin unghiul dintre diagonale:

Unghiul dintre diagonalele dreptunghiului.

Formule pentru determinarea unghiului dintre diagonalele unui dreptunghi:

1. Formula pentru determinarea unghiului dintre diagonalele unui dreptunghi prin unghiul dintre latură și diagonală:

β = 2α

2. Formula pentru determinarea unghiului dintre diagonalele unui dreptunghi prin zonă și diagonală.

Dreptunghi - P = 2*a + 2*b = 2*3 + 2*6 = 6 + 12 = 18. În această problemă, perimetrul coincide ca valoare cu aria figurii.

Problema pătratului: găsiți perimetrul unui pătrat dacă aria lui este 9. Rezolvare: folosind formula ariei pătratului S = a ^ 2, de aici găsiți lungimea laturii a = 3. Perimetrul este egal cu suma lungimilor din toate laturile, prin urmare, P = 4 * a = 4 * 3 = 12.

Triunghi Sarcină: dat un ABC arbitrar, aria lui care este egală cu 14. Aflați perimetrul triunghiului dacă linia trasă de la vârful B împarte baza triunghiului în segmente de lungime 3 și 4 cm . S = ½*AC*BE. Perimetrul este egal cu suma lungimilor tuturor laturilor. Aflați lungimea laturii AC adunând lungimile AE și EC, AC = 3 + 4 = 7. Aflați înălțimea triunghiului BE = S*2/AC = 14*2/7 = 4. Să considerăm un triunghi dreptunghic ABE. Cunoscând AE și BE, puteți găsi ipotenuza folosind formula pitagoreică AB^2 = AE^2 + BE^2, AB = √(3^2 + 4^2) = √25 = 5. Luați în considerare triunghiul dreptunghic BEC. Conform formulei pitagoreice BC^2 = BE^2 + EC^2, BC = √(4^2 + 4^2) = 4*√2. Acum lungimile tuturor laturilor triunghiului. Aflați perimetrul din suma lor P = AB + BC + AC = 5 + 4*√2 + 7 = 12 + 4*√2 = 4*(3+√2).

Problema cercului: se știe că aria unui cerc este 16*π, găsiți-i perimetrul Soluție: scrieți formula pentru aria unui cerc S = π*r^2. Aflați raza cercului r = √(S/π) = √16 = 4. Conform formulei, perimetrul este P = 2*π*r = 2*π*4 = 8*π. Dacă acceptăm că π = 3,14, atunci P = 8*3,14 = 25,12.

Surse:

• aria este egală cu perimetrul

Toți, odată ajunsi la școală, începem să studiem perimetrul unui dreptunghi. Deci, să ne amintim cum să-l calculăm și care este perimetrul în general?

Cuvântul „perimetru” provine din două cuvinte grecești: „peri”, care înseamnă „în jur”, „despre” și „metron”, care înseamnă „a măsura”, „a măsura”. Acestea. perimetru, tradus din greacă înseamnă „măsurare în jur”.

Instruire

A doua definiție va suna astfel: perimetrul unui dreptunghi este de două ori mai mare decât suma lungimii și lățimii acestuia.

Videoclipuri asemănătoare

Sfaturi utile

Aria unui dreptunghi este produsul dintre lungimea lui și lățimea. Pemetrul este suma tuturor laturilor.

Surse:

Un cerc este o figură geometrică formată dintr-un set de puncte care sunt departe de centru. cercuri pentru o distanta egala. Pe baza cunoscutului cercuri date, există 2 formule care decurg una din cealaltă pentru determinarea ariei sale.

Vei avea nevoie

• Valoarea constantei π (egale cu 3,14);
• Mărimea diametrului/razei unui cerc.

Instruire

Videoclipuri asemănătoare

Un pătrat este o figură geometrică simplă și frumoasă. Este un dreptunghi cu laturile egale. Cum să găsești perimetru pătrat daca se stie lungimea laturii sale?

Instruire

În primul rând, amintiți-vă că perimetru nu este altceva decât suma unei figuri geometrice. Considerat de noi patru laturi. În plus, prin , toate aceste laturi sunt egale între .
Din aceste premise, este ușor de găsit perimetru A pătrat – perimetru pătrat Lungime laterală pătrat inmultit cu patru:
P \u003d 4a, unde a este lungimea laturii pătrat.

Videoclipuri asemănătoare

Sfat 6: Cum să găsiți aria unui triunghi și a unui dreptunghi

Triunghiul și dreptunghiul sunt două dintre cele mai simple figuri geometrice plate din geometria euclidiană. În perimetrele formate de laturile acestor poligoane, există o anumită secțiune a planului, a cărei aria poate fi determinată în multe feluri. Alegerea metodei în fiecare caz particular va depinde de parametrii cunoscuți ai figurilor.

Instruire

Utilizați una dintre formulele trigonometrice pentru a găsi aria unui triunghi dacă cunoașteți valorile unuia sau mai multor unghiuri în . De exemplu, cu o valoare cunoscută a unghiului (α) și a lungimii laturilor care îl alcătuiesc (B și C), aria (S) poate fi obținută prin formula S \u003d B * C * sin (α ) / 2. Și cu valorile tuturor unghiurilor (α, β și γ) și lungimea unei laturi în plus (A), puteți folosi formula S \u003d A² * sin (β) * sin (γ) / (2 * sin (α)). Dacă, pe lângă toate unghiurile, (R) cercului circumscris este cunoscut, atunci utilizați formula S=2*R²*sin(α)*sin(β)*sin(γ).

Dacă unghiurile nu sunt cunoscute, atunci pentru a găsi aria unui triunghi, puteți utiliza fără funcții trigonometrice. De exemplu, dacă (H) este desenat dintr-o parte care cunoaște și (A), atunci utilizați formula S \u003d A * H / 2. Și dacă sunt date lungimile fiecăreia dintre laturile (A, B și C), atunci găsiți mai întâi semiperimetrul p \u003d (A + B + C) / 2, apoi calculați aria \u200b\ u200btriunghiul folosind formula S \u003d √ (p * (p-A) * (p-B) * (p-C)). Dacă, în plus față de (A, B și C), este cunoscută raza (R) cercului circumscris, atunci utilizați formula S \u003d A * B * C / (4 * R).

Pentru a găsi aria unui dreptunghi, pot fi utilizate și funcții trigonometrice - de exemplu, dacă se cunosc lungimea diagonalei sale (C) și unghiul pe care îl are pe una dintre laturile (α). În acest caz, utilizați formula S=С²*sin(α)*cos(α). Și dacă sunt cunoscute lungimile diagonalelor (C) și unghiul pe care îl formează (α), atunci utilizați formula S \u003d C² * sin (α) / 2.