Printre toate triunghiurile, există două tipuri speciale: triunghiuri dreptunghiulare și triunghiuri isoscele. De ce sunt aceste tipuri de triunghiuri atât de speciale? Ei bine, în primul rând, astfel de triunghiuri se dovedesc foarte adesea a fi actorii principali în sarcinile examenului unificat de stat din prima parte. Și în al doilea rând, problemele despre triunghiuri dreptunghiulare și isoscele sunt mult mai ușor de rezolvat decât alte probleme de geometrie. Trebuie doar să cunoașteți câteva reguli și proprietăți. Toate cele mai interesante sunt discutate în subiectul corespunzător, iar acum vom lua în considerare triunghiuri isoscele. Și, în primul rând, ce este un triunghi isoscel. Sau, după cum spun matematicienii, care este definiția unui triunghi isoscel?

Vezi cum arată:

La fel ca un triunghi dreptunghic, un triunghi isoscel are nume speciale pentru laturile sale. Se numesc două laturi egale laturi, și terțul bază.

Și din nou, uită-te la imagine:

Desigur, ar putea fi așa:

Deci fii atent: partea laterală - una din două laturi egaleîntr-un triunghi isoscel și baza este un terț.

De ce este un triunghi isoscel atât de bun? Pentru a înțelege acest lucru, să desenăm înălțimea la bază. Îți amintești ce înălțime are?

Ce s-a întâmplat? Dintr-un triunghi isoscel, au ieșit două dreptunghiulare.

Acest lucru este deja bun, dar acest lucru se va întâmpla în orice, cel mai „oblic” triunghi.

Care este diferența dintre imaginea unui triunghi isoscel? Uita-te din nou:

Ei bine, în primul rând, desigur, nu este suficient ca acești matematicieni ciudați să vadă pur și simplu - cu siguranță trebuie să demonstreze. Și apoi, brusc, aceste triunghiuri sunt ușor diferite și le vom considera la fel.

Dar nu vă faceți griji: în acest caz, demonstrarea este aproape la fel de ușor ca să vedeți.

Putem incepe? Uită-te cu atenție, avem:

Prin urmare,! De ce? Da, doar găsim și, și din teorema lui Pitagora (amintindu-ne în același timp că)

Esti sigur? Ei bine, acum avem

Și pe trei părți - cel mai ușor (al treilea) semn al egalității triunghiurilor.

Ei bine, triunghiul nostru isoscel este împărțit în două dreptunghiulare identice.

Vezi cât de interesant? S-a dovedit ca:

Cum se obișnuiește ca matematicienii să vorbească despre asta? Să mergem în ordine:

(Reamintim aici că mediana este o linie trasă de la vârful care bisectează latura, iar bisectoarea este unghiul.)

Ei bine, aici am discutat ce bine se poate vedea dacă i se oferă un triunghi isoscel. Am dedus că într-un triunghi isoscel unghiurile de la bază sunt egale, iar înălțimea, bisectoarea și mediana trasate la bază sunt aceleași.

Și acum apare o altă întrebare: cum să recunoaștem un triunghi isoscel? Adică, după cum spun matematicienii, ce sunt semnele unui triunghi isoscel?

Și se dovedește că trebuie doar să „întoarceți” toate declarațiile, dimpotrivă. Acest lucru, desigur, nu se întâmplă întotdeauna, dar un triunghi isoscel este încă un lucru grozav! Ce se întâmplă după „inversare”?

Pai uite aici:
Dacă înălțimea și mediana sunt aceleași, atunci:

Dacă înălțimea și bisectoarea sunt aceleași, atunci:


Dacă bisectoarea și mediana sunt aceleași, atunci:

Ei bine, nu uitați și folosiți:

• Dacă este dat un triunghi triunghi isoscel, nu ezitați să desenați o înălțime, să obțineți două triunghiuri dreptunghiulare și să rezolvați deja problema despre un triunghi dreptunghic.
• Dacă i se dă asta două unghiuri sunt egale, apoi triunghiul exact isoscel și poți desena o înălțime și.... (Casa pe care a construit-o Jack...).
• Dacă s-a dovedit că înălțimea este împărțită la jumătate în lateral, atunci triunghiul este isoscel cu toate bonusurile care decurg.
• Dacă s-a dovedit că înălțimea a împărțit unghiul față de podele - de asemenea, isoscel!
• Dacă bisectoarea a împărțit latura în jumătate sau mediana - unghiul, atunci se întâmplă și acest lucru numaiîntr-un triunghi isoscel

Să vedem cum arată în sarcini.

Sarcina 1(cel mai simplu)

Într-un triunghi, laturile și sunt egale, a. A găsi.

Noi decidem:

Mai întâi un desen.

Care este baza aici? Cu siguranță, .

Ne amintim că dacă, atunci și.

Desen actualizat:

Să desemnăm pentru. Care este suma unghiurilor triunghiului? ?

Folosim:

Asta e Răspuns: .

Ușor, nu? Nici nu trebuia să merg sus.

Sarcina 2(De asemenea, nu foarte complicat, dar trebuie să repetați tema)

Într-un triunghi, A găsi.

Noi decidem:

Triunghiul este isoscel! Desenăm înălțimea (acesta este punctul central, cu ajutorul căruia totul se va decide acum).

Acum „ștergem din viață”, vom lua în considerare doar.

Deci, în avem:

Reamintim valorile tabelare ale cosinusului (bine, sau uită-te la foaia de cheat ...)

Rămâne de găsit: .

Răspuns: .

Rețineți că suntem aici foarte cunoștințe necesare privind triunghiul dreptunghic și sinusurile și cosinusurile „tabulare”. Foarte des se întâmplă acest lucru: subiectele, „Triunghiul isoscel” și în puzzle-uri merg în pachete, dar nu sunt foarte prietenoase cu alte subiecte.

Triunghi isoscel. Nivel mijlociu.

Aceste două laturi egale numit laturi, A a treia latură este baza unui triunghi isoscel.

Priviți imaginea: și - laturile, - baza unui triunghi isoscel.

Să vedem într-o poză de ce este așa. Desenați o înălțime dintr-un punct.

Aceasta înseamnă că toate elementele corespunzătoare sunt egale.

Tot! Într-o lovitură (înălțime) toate afirmațiile au fost dovedite deodată.

Și vă amintiți: pentru a rezolva problema triunghiului isoscel, este adesea foarte util să coborâți înălțimea până la baza triunghiului isoscel și să o împărțiți în două triunghiuri dreptunghiulare egale.

Semne ale unui triunghi isoscel

Afirmațiile inverse sunt de asemenea adevărate:

Aproape toate aceste afirmații pot fi din nou dovedite „dintr-o lovitură”.

1. Deci, fie v s-a dovedit a fi egal și.

Să luăm înălțimea. Apoi

2. a) Acum introduceți un triunghi aceeași înălțime și bisectoare.

2. b) Și dacă înălțimea și mediana sunt aceleași? Totul este aproape la fel, nimic mai complicat!

- pe două picioare

2. c) Dar dacă nu există înălțime, care este coborât la baza unui triunghi isoscel, atunci nu există triunghiuri dreptunghiulare inițial. Prost!

Dar există o cale de ieșire - citiți-o în următorul nivel de teorie, deoarece dovezile sunt mai complicate aici, dar deocamdată amintiți-vă că, dacă mediana și bisectoarea coincid, atunci triunghiul va fi și isoscel, iar înălțimea va fi. inca coincid cu aceste bisectoare si mediana.

A rezuma:

1. Dacă triunghiul este isoscel, atunci unghiurile de la bază sunt egale, iar înălțimea, bisectoarea și mediana trasate la bază sunt aceleași.
2. Dacă într-un triunghi există două unghiuri egale, sau vreo două dintre cele trei linii (bisectoare, mediană, înălțime) coincid, atunci un astfel de triunghi este isoscel.

Triunghi isoscel. Scurtă descriere și formule de bază

Un triunghi isoscel este un triunghi care are două laturi egale.

Semne ale unui triunghi isoscel:

1. Dacă un triunghi are două unghiuri egale, atunci este isoscel.
2. Dacă într-un anumit triunghi coincid:
   A) înălțime și bisectoare sau
   b) înălțimea și mediana sau
   în) mediană și bisectoare,
   tras într-o parte, atunci un astfel de triunghi este isoscel.

RĂMĂSUL 2/3 ARTICOLE SUNT DISPONIBILE NUMAI STUDENTILOR YOUCLEVER!

Deveniți student la YouClever,

Pregătiți-vă pentru OGE sau USE în matematică la prețul „o ceașcă de cafea pe lună”,

Și, de asemenea, obțineți acces nelimitat la manualul „YouClever”, programul de instruire „100gia” (cartea de soluții), USE de probă nelimitată și OGE, 6000 de sarcini cu analiza soluțiilor și alte servicii YouClever și 100gia.

Primii istorici ai civilizației noastre - grecii antici - menționează Egiptul ca fiind locul de naștere al geometriei. Este greu să nu fii de acord cu ei, știind cu ce precizie uimitoare au fost ridicate mormintele uriașe ale faraonilor. Dispunerea reciprocă a planurilor piramidelor, proporțiile lor, orientarea către punctele cardinale - ar fi de neconceput să se obțină o astfel de perfecțiune fără a cunoaște elementele de bază ale geometriei.

Însuși cuvântul „geometrie” poate fi tradus ca „măsurarea pământului”. Mai mult, cuvântul „pământ” nu apare ca o planetă - parte a sistemului solar, ci ca un plan. Marcarea zonelor pentru agricultură, cel mai probabil, este baza foarte originală a științei formelor geometrice, a tipurilor și proprietăților acestora.

Un triunghi este cea mai simplă figură spațială a planimetriei, care conține doar trei puncte - vârfuri (nu există mai puțin). Fundamentul fundațiilor, probabil, este motivul pentru care ceva misterios și străvechi pare să fie în el. Ochiul atotvăzător din interiorul unui triunghi este unul dintre cele mai vechi semne oculte cunoscute, iar geografia distribuției sale și intervalul de timp sunt pur și simplu uimitoare. De la vechii civilizații egiptene, sumeriene, aztece și alte civilizații până la comunități mai moderne de iubitori de ocultism împrăștiate pe tot globul.

Ce sunt triunghiurile

Un triunghi scalen obișnuit este o figură geometrică închisă, constând din trei segmente de lungimi diferite și trei unghiuri, dintre care niciunul nu este drept. În plus, există mai multe tipuri speciale.

Un triunghi ascuțit are toate unghiurile mai mici de 90 de grade. Cu alte cuvinte, toate unghiurile unui astfel de triunghi sunt acute.

Un triunghi dreptunghic, peste care școlarii au plâns tot timpul din cauza abundenței teoremelor, are un unghi cu o valoare de 90 de grade sau, cum se mai numește, unul drept.

Un triunghi obtuz se distinge prin faptul că unul dintre unghiurile sale este obtuz, adică valoarea lui este mai mare de 90 de grade.

Un triunghi echilateral are trei laturi de aceeași lungime. Într-o astfel de figură, toate unghiurile sunt, de asemenea, egale.

Și în sfârșit, într-un triunghi isoscel cu trei laturi, două sunt egale între ele.

Trăsături distinctive

Proprietățile unui triunghi isoscel determină, de asemenea, diferența principală, principală a acestuia - egalitatea celor două laturi. Aceste laturi egale sunt de obicei numite șolduri (sau, mai des, părțile laterale), dar a treia latură se numește „bază”.

În figura luată în considerare, a = b.

Al doilea semn al unui triunghi isoscel rezultă din teorema sinusului. Deoarece laturile a și b sunt egale, sinusurile unghiurilor lor opuse sunt de asemenea egale:

a/sin γ = b/sin α, de unde avem: sin γ = sin α.

Din egalitatea sinusurilor rezultă egalitatea unghiurilor: γ = α.

Deci, al doilea semn al unui triunghi isoscel este egalitatea a două unghiuri adiacente bazei.

Al treilea semn. Într-un triunghi se disting elemente precum înălțimea, bisectoarea și mediana.

Dacă în procesul de rezolvare a problemei se dovedește că în triunghiul luat în considerare, oricare două dintre aceste elemente coincid: înălțimea cu bisectoarea; bisectoare cu mediană; mediană cu înălțimea - putem concluziona cu siguranță că triunghiul este isoscel.

Proprietățile geometrice ale unei figuri

1. Proprietățile unui triunghi isoscel. Una dintre calitățile distinctive ale figurii este egalitatea unghiurilor adiacente bazei:

<ВАС = <ВСА.

2. O altă proprietate discutată mai sus: mediana, bisectoarea și înălțimea într-un triunghi isoscel sunt aceleași dacă sunt construite de la vârf până la bază.

3. Egalitatea bisectoarelor trase din vârfurile de la bază:

Dacă AE este bisectoarea unghiului BAC și CD este bisectoarea unghiului BCA, atunci: AE = DC.

4. Proprietățile unui triunghi isoscel asigură și egalitatea înălțimilor care sunt trasate din vârfurile de la bază.

Dacă construim înălțimile triunghiului ABC (unde AB = BC) de la vârfurile A și C, atunci segmentele rezultate CD și AE vor fi egale.

5. Medianele trase din colțurile de la bază se vor dovedi și ele egale.

Deci, dacă AE și DC sunt mediane, adică AD = DB și BE = EC, atunci AE = DC.

Înălțimea unui triunghi isoscel

Egalitatea laturilor și unghiurilor la ele introduce unele caracteristici în calculul lungimilor elementelor figurii în cauză.

Înălțimea într-un triunghi isoscel împarte figura în 2 triunghiuri dreptunghiulare simetrice, ale căror ipotenuze sunt laturile. Înălțimea în acest caz este determinată conform teoremei lui Pitagora, ca picior.

Un triunghi poate avea toate cele trei laturi egale, atunci se va numi echilateral. Înălțimea într-un triunghi echilateral este determinată într-un mod similar, doar pentru calcule este suficient să cunoaștem o singură valoare - lungimea laturii acestui triunghi.

Puteți determina înălțimea într-un alt mod, de exemplu, cunoscând baza și unghiul adiacent acesteia.

Mediana unui triunghi isoscel

Tipul de triunghi luat în considerare, datorită caracteristicilor geometrice, este rezolvat destul de simplu prin setul minim de date inițiale. Deoarece mediana dintr-un triunghi isoscel este egală atât cu înălțimea, cât și cu bisectoarea sa, algoritmul de determinare a acesteia nu este diferit de ordinea în care sunt calculate aceste elemente.

De exemplu, puteți determina lungimea medianei după latura laterală cunoscută și valoarea unghiului la vârf.

Cum se determină perimetrul

Deoarece figura planimetrică luată în considerare are două laturi întotdeauna egale, pentru a determina perimetrul este suficient să cunoaștem lungimea bazei și lungimea uneia dintre laturi.

Luați în considerare un exemplu când trebuie să determinați perimetrul unui triunghi având în vedere baza și înălțimea cunoscute.

Perimetrul este egal cu suma bazei și de două ori lungimea laturii. Latura laterală, la rândul ei, este determinată folosind teorema lui Pitagora ca ipotenuză a unui triunghi dreptunghic. Lungimea sa este egală cu rădăcina pătrată a sumei pătratului înălțimii și pătratul jumătății bazei.

Aria unui triunghi isoscel

Nu provoacă, de regulă, dificultăți și calculul ariei unui triunghi isoscel. Regula universală pentru determinarea ariei unui triunghi ca jumătate din produsul bazei și înălțimea acestuia este aplicabilă, desigur, în cazul nostru. Cu toate acestea, proprietățile unui triunghi isoscel fac din nou sarcina mai ușoară.

Să presupunem că știm înălțimea și unghiul adiacent bazei. Trebuie să determinați aria figurii. Puteți face acest lucru.

Deoarece suma unghiurilor oricărui triunghi este de 180°, nu este dificil să se determine mărimea unghiului. În continuare, folosind proporția întocmită conform teoremei sinusului, se determină lungimea bazei triunghiului. Totul, baza și înălțimea - date suficiente pentru a determina zona - sunt disponibile.

Alte proprietăți ale unui triunghi isoscel

Poziția centrului unui cerc circumscris în jurul unui triunghi isoscel depinde de unghiul vârfului. Deci, dacă un triunghi isoscel are un unghi acut, centrul cercului este situat în interiorul figurii.

Centrul unui cerc circumscris în jurul unui triunghi isoscel obtuz se află în afara acestuia. Și, în sfârșit, dacă unghiul la vârf este de 90°, centrul se află exact în mijlocul bazei, iar diametrul cercului trece prin baza însăși.

Pentru a determina raza unui cerc circumscris unui triunghi isoscel, este suficient să împărțiți lungimea laturii laterale cu de două ori cosinusul jumătății unghiului de la vârf.

Proprietățile unui triunghi isoscel exprimă următoarele teoreme.

Teorema 1. Într-un triunghi isoscel, unghiurile de la bază sunt egale.

Teorema 2. Într-un triunghi isoscel, bisectoarea trasată la bază este mediana și înălțimea.

Teorema 3. Într-un triunghi isoscel, mediana trasată la bază este bisectoarea și înălțimea.

Teorema 4. Într-un triunghi isoscel, înălțimea trasată la bază este bisectoarea și mediana.

Să demonstrăm una dintre ele, de exemplu, Teorema 2.5.

Dovada. Se consideră un triunghi isoscel ABC cu baza BC și se demonstrează că ∠ B = ∠ C. Fie AD bisectoarea triunghiului ABC (Fig. 1). Triunghiurile ABD și ACD sunt egale conform primului semn de egalitate al triunghiurilor (AB = AC prin condiție, AD este latura comună, ∠ 1 = ∠ 2, deoarece AD ​​​​este bisectoarea). Din egalitatea acestor triunghiuri rezultă că ∠ B = ∠ C. Se demonstrează teorema.

Folosind teorema 1, stabilim următoarea teoremă.

Teorema 5. Al treilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor. Dacă trei laturi ale unui triunghi sunt, respectiv, egale cu trei laturi ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt egale (Fig. 2).

Cometariu. Propozițiile stabilite în exemplele 1 și 2 exprimă proprietățile bisectoarei perpendiculare pe segment. Din aceste propuneri rezultă că bisectoarele perpendiculare ale laturilor unui triunghi se intersectează într-un punct.

Exemplul 1 Demonstrați că punctul planului echidistant de capetele segmentului se află pe bisectoarea perpendiculară pe acest segment.

Decizie. Fie punctul M să fie echidistant de capetele segmentului AB (Fig. 3), adică AM = VM.

Atunci ΔAMV este isoscel. Să trasăm o dreaptă p prin punctul M și mijlocul O al segmentului AB. Prin construcție, segmentul MO este mediana triunghiului isoscel AMB și, prin urmare (teorema 3), iar înălțimea, adică dreapta MO, este bisectoarea perpendiculară pe segmentul AB.

Exemplul 2 Demonstrați că fiecare punct al bisectoarei perpendiculare a unui segment este echidistant de capetele sale.

Decizie. Fie p bisectoarea perpendiculară pe segmentul AB și punctul O punctul de mijloc al segmentului AB (vezi Fig. 3).

Să considerăm un punct arbitrar M situat pe dreapta p. Să desenăm segmentele AM ​​și VM. Triunghiurile AOM și VOM sunt egale, deoarece unghiurile lor la vârful O sunt drepte, cateta OM este comună, iar cateta OA este egală cu cateta OB după condiție. Din egalitatea triunghiurilor AOM și BOM rezultă că AM = BM.

Exemplul 3În triunghiul ABC (vezi Fig. 4) AB \u003d 10 cm, BC \u003d 9 cm, AC \u003d 7 cm; în triunghi DEF DE = 7 cm, EF = 10 cm, FD = 9 cm.

Comparați triunghiurile ABC și DEF. Găsiți unghiuri egale corespunzător.

Decizie. Aceste triunghiuri sunt egale la al treilea criteriu. În consecință, unghiuri egale: A și E (se află opuse laturilor egale BC și FD), B și F (se află vizavi de laturile egale AC și DE), C și D (se află opuse laturilor egale AB și EF).

Exemplul 4În figura 5 AB = DC, BC = AD, ∠B = 100°.

Găsiți unghiul D.

Decizie. Luați în considerare triunghiurile ABC și ADC. Ele sunt egale în a treia caracteristică (AB = DC, BC = AD după condiție și latura AC este comună). Din egalitatea acestor triunghiuri rezultă că ∠ B = ∠ D, dar unghiul B este de 100°, deci unghiul D este de 100°.

Exemplul 5Într-un triunghi isoscel ABC cu baza AC, unghiul exterior la vârful C este de 123°. Aflați unghiul ABC. Dați răspunsul în grade.

Soluție video.