Ramura mecanicii in care se studiaza conditiile de echilibru al corpurilor se numeste statica. Din a doua lege a lui Newton rezultă că dacă suma vectorială a tuturor forțelor aplicate unui corp este zero, atunci corpul își păstrează viteza neschimbată. În special, dacă viteza inițială este zero, corpul rămâne în repaus. Condiția invarianței vitezei corpului poate fi scrisă astfel:

sau în proiecții pe axele de coordonate:

.

Este evident că un corp poate fi în repaus doar în raport cu un anumit sistem de coordonate. În statică, condițiile de echilibru ale corpurilor sunt studiate tocmai într-un astfel de sistem. Condiția de echilibru necesară poate fi obținută și luând în considerare mișcarea centrului de masă al unui sistem de puncte materiale. Forțele interne nu afectează mișcarea centrului de masă. Accelerația centrului de masă este determinată de suma vectorială a forțelor externe. Dar dacă această sumă este egală cu zero, atunci accelerația centrului de masă și, în consecință, viteza centrului de masă. Dacă în momentul inițial, atunci centrul de masă al corpului rămâne în repaus.

Astfel, prima condiție pentru echilibrul corpurilor se formulează astfel: viteza corpului nu se modifică dacă suma forțelor externe aplicate în fiecare punct este zero. Condiția de repaus rezultată pentru centrul de masă este o condiție necesară (dar nu suficientă) pentru echilibrul unui corp rigid.

Exemplu

Este posibil ca toate forțele care acționează asupra corpului să fie echilibrate, totuși, corpul va accelera. De exemplu, dacă aplicați două forțe egale și direcționate opus (se numesc o pereche de forțe) centrului de masă al roții, atunci roata va fi în repaus dacă viteza sa inițială a fost zero. Dacă aceste forțe sunt aplicate în puncte diferite, atunci roata va începe să se rotească (Fig. 4.5). Acest lucru se datorează faptului că corpul este în echilibru atunci când suma tuturor forțelor este zero în fiecare punct al corpului. Dar dacă suma forțelor externe este egală cu zero, iar suma tuturor forțelor aplicate fiecărui element al corpului nu este egală cu zero, atunci corpul nu va fi în echilibru, posibil (ca în exemplul luat în considerare) mișcare de rotație . Astfel, dacă un corp se poate roti în jurul unei anumite axe, atunci pentru echilibrul său nu este suficient ca rezultanta tuturor forțelor să fie egală cu zero.

Pentru a obține a doua condiție de echilibru, folosim ecuația mișcării de rotație, unde este suma momentelor forțelor externe în jurul axei de rotație. Când , atunci b = 0, ceea ce înseamnă că viteza unghiulară a corpului nu se modifică. Dacă în momentul inițial w = 0, atunci corpul nu se va roti mai departe. În consecință, a doua condiție pentru echilibrul mecanic este cerința ca suma algebrică a momentelor tuturor forțelor externe în jurul axei de rotație să fie egală cu zero:

În cazul general al unui număr arbitrar de forțe externe, condițiile de echilibru pot fi reprezentate astfel:

,

.

Aceste condiții sunt necesare și suficiente.

Exemplu

Echilibrul este stabil, instabil și indiferent. Echilibrul este stabil dacă, cu deplasări mici ale corpului din poziţia de echilibru, forţele care acţionează asupra acestuia şi momentele de forţe tind să readucă corpul în poziţia de echilibru (Fig. 4.6a). Echilibrul este instabil dacă forțele care acționează în același timp duc corpul și mai departe de poziția de echilibru (Fig. 4.6b). Dacă, la deplasări mici ale corpului, forțele care acționează sunt încă echilibrate, atunci echilibrul este indiferent (Fig. 4.6c). O minge situată pe o suprafață orizontală plană se află într-o stare de echilibru indiferent. O minge situată în partea de sus a unei margini sferice este un exemplu de echilibru instabil. În cele din urmă, bila din partea inferioară a cavității sferice este într-o stare de echilibru stabil.

Un exemplu interesant de echilibru al unui corp pe un suport este turnul înclinat din orașul italian Pisa, care, conform legendei, a fost folosit de Galileo atunci când studia legile căderii libere a corpurilor. Turnul are forma unui cilindru cu raza de 7 m. Vârful turnului este deviat de la verticală cu 4,5 m.

Turnul înclinat din Pisa este renumit pentru panta sa abruptă. Turnul cade. Înălțimea turnului este de 55,86 metri față de sol pe partea cea mai de jos și 56,70 metri pe cea mai înaltă. Greutatea sa este estimată la 14.700 de tone. Panta actuală este de aproximativ 5,5°. O linie verticală trasată prin centrul de masă al turnului intersectează baza la aproximativ 2,3 m de centrul său. Astfel, turnul este într-o stare de echilibru. Echilibrul va fi perturbat, iar turnul va cădea atunci când abaterea vârfului său de la verticală va ajunge la 14 m. Aparent, acest lucru nu se va întâmpla foarte curând.

Se credea că curbura turnului a fost concepută inițial de arhitecți - pentru a-și demonstra abilitățile remarcabile. Dar altceva este mult mai probabil: arhitecții știau că construiau pe o fundație extrem de nesigură și, prin urmare, au prevăzut în proiect posibilitatea unei ușoare abateri.

Când a existat o amenințare reală de prăbușire a turnului, inginerii moderni au preluat-o. Acesta a fost tras într-un corset de oțel de 18 cabluri, fundația a fost cântărită cu blocuri de plumb și, în același timp, solul a fost întărit prin pomparea betonului în subteran. Cu ajutorul tuturor acestor măsuri, a fost posibilă reducerea unghiului de înclinare a turnului în cădere cu jumătate de grad. Experții spun că acum va putea rezista cel puțin încă 300 de ani. Din punct de vedere al fizicii, măsurile luate înseamnă că condițiile de echilibru ale turnului au devenit mai sigure.

Pentru un corp cu o axă fixă ​​de rotație, toate cele trei tipuri de echilibru sunt posibile. Echilibrul indiferent apare atunci când axa de rotație trece prin centrul de masă. În echilibru stabil și instabil, centrul de masă se află pe o linie verticală care trece prin axa de rotație. În acest caz, dacă centrul de masă este sub axa de rotație, starea de echilibru este stabilă (Fig. 4.7a). Dacă centrul de masă este situat deasupra axei, starea de echilibru este instabilă (Fig. 4.7b).

Un caz special de echilibru este echilibrul unui corp pe un suport. În acest caz, forța elastică a suportului nu se aplică într-un punct, ci este distribuită pe baza corpului. Corpul este în echilibru dacă o linie verticală trasată prin centrul de masă al corpului trece prin zona de sprijin, adică în interiorul conturului format din linii care leagă punctele de sprijin. Dacă această linie nu traversează zona de sprijin, atunci corpul se răstoarnă.

Într-o stare de echilibru, corpul se află în repaus (vectorul viteză este egal cu zero) în cadrul de referință ales, fie se mișcă uniform în linie dreaptă, fie se rotește fără accelerație tangențială.

Definire prin energia sistemului[ | ]

Deoarece energia și forțele sunt conectate prin dependențe fundamentale, această definiție este echivalentă cu prima. Totuși, definiția în termeni de energie poate fi extinsă pentru a obține informații despre stabilitatea poziției de echilibru.

Tipuri de echilibru [ | ]

Există trei tipuri de echilibru al corpurilor: stabil, instabil și indiferent. Echilibrul se numește stabil dacă, după mici influențe externe, corpul revine la starea inițială de echilibru. Echilibrul se numește instabil dacă, cu o ușoară deplasare a corpului din poziția de echilibru, rezultanta forțelor aplicate acestuia este nenulă și este direcționată din poziția de echilibru. Echilibrul se numește indiferent dacă, cu o mică deplasare a corpului din poziția de echilibru, rezultanta forțelor aplicate acestuia este egală cu zero.

Să dăm un exemplu pentru un sistem cu un grad de libertate. În acest caz, o condiție suficientă pentru poziția de echilibru va fi prezența unui extremum local al energiei potențiale în punctul studiat. După cum se știe, condiția pentru un extremum local al unei funcții diferențiabile este egalitatea cu zero a primei sale derivate. Pentru a determina când acest punct este un minim sau maxim, este necesar să se analizeze derivata a doua a acestuia. Stabilitatea poziției de echilibru este caracterizată de următoarele opțiuni:

• echilibru instabil;
• echilibru stabil;
• echilibru indiferent.

Echilibru instabil[ | ]

În cazul în care derivata a doua este negativă, energia potențială a sistemului este în starea unui maxim local. Aceasta înseamnă că poziția de echilibru instabil. Dacă sistemul este deplasat cu o distanță mică, atunci își va continua mișcarea datorită forțelor care acționează asupra sistemului. Adică, atunci când corpul este dezechilibrat, acesta nu revine la poziția inițială.

echilibru durabil[ | ]

Derivată a doua > 0: energie potențială la minim local, poziție de echilibru în mod constant(vezi teorema lui Lagrange privind stabilitatea unui echilibru). Dacă sistemul este deplasat pe o distanță mică, acesta va reveni la starea de echilibru. Echilibrul este stabil dacă centrul de greutate al corpului ocupă poziția cea mai joasă în comparație cu toate pozițiile învecinate posibile. Cu un astfel de echilibru, corpul dezechilibrat revine la locul inițial.

Echilibrul indiferent[ | ]

Derivată a doua = 0: în această regiune, energia nu variază, iar poziția de echilibru este indiferent. Dacă sistemul este mutat pe o distanță mică, acesta va rămâne în noua poziție. Dacă devii sau miști corpul, acesta va rămâne în echilibru.

Stabilitate în sisteme cu un număr mare de grade de libertate[ | ]

Dacă sistemul are mai multe grade de libertate, atunci se poate dovedi că, cu abateri de-a lungul unei anumite direcții, echilibrul este stabil, dar dacă echilibrul este instabil în cel puțin o direcție, atunci este și instabil în general. Cel mai simplu exemplu al unei astfel de situații este un punct de echilibru de tip „șa” sau „pass”.

Echilibrul unui sistem cu mai multe grade de libertate va fi stabil doar dacă este stabil în toate direcțiile.

Toate forțele aplicate corpului în jurul oricărei axe arbitrare de rotație sunt, de asemenea, egale cu zero.

Într-o stare de echilibru, corpul se află în repaus (vectorul viteză este egal cu zero) în cadrul de referință ales, fie se mișcă uniform în linie dreaptă, fie se rotește fără accelerație tangențială.

YouTube enciclopedic

1 / 3

✪ Fizica. Statica: Conditii pentru echilibrul unui corp. Centrul de învățare online Foxford

✪ STARE DE ECHILIBRI A CORPURILOR Nota 10 Romanov

✪ Lecția 70. Tipuri de echilibru. Starea de echilibru a unui corp în absența rotației.

Subtitrări

Definire prin energia sistemului

Deoarece energia și forțele sunt conectate prin dependențe fundamentale, această definiție este echivalentă cu prima. Totuși, definiția în termeni de energie poate fi extinsă pentru a obține informații despre stabilitatea poziției de echilibru.

Tipuri de echilibru

Să dăm un exemplu pentru un sistem cu un grad de libertate. În acest caz, o condiție suficientă pentru poziția de echilibru va fi prezența unui extrem local  în punctul studiat. După cum se știe, condiția pentru un extremum local al unei funcții diferențiabile este egalitatea cu zero a primei sale derivate. Pentru a determina când acest punct este un minim sau maxim, este necesar să se analizeze derivata a doua a acestuia. Stabilitatea poziției de echilibru este caracterizată de următoarele opțiuni:

• echilibru instabil;
• echilibru stabil;
• echilibru indiferent.

În cazul în care derivata a doua este negativă, energia potențială a sistemului este în starea unui maxim local. Aceasta înseamnă că poziția de echilibru instabil. Dacă sistemul este deplasat cu o distanță mică, atunci își va continua mișcarea datorită forțelor care acționează asupra sistemului. Adică, atunci când corpul este dezechilibrat, acesta nu revine la poziția inițială.

echilibru durabil

Derivată a doua > 0: energie potențială la minim local, poziție de echilibru în mod constant(vezi teorema lui Lagrange privind stabilitatea echilibrului). Dacă sistemul este deplasat pe o distanță mică, acesta va reveni la starea de echilibru. Echilibrul este stabil dacă centrul de greutate al corpului ocupă poziția cea mai joasă în comparație cu toate pozițiile învecinate posibile. Cu un astfel de echilibru, corpul dezechilibrat revine la locul inițial.

Echilibrul indiferent

Derivată a doua = 0: în această regiune, energia nu variază, iar poziția de echilibru este indiferent. Dacă sistemul este mutat pe o distanță mică, acesta va rămâne în noua poziție. Dacă devii sau miști corpul, acesta va rămâne în echilibru.

• Tipuri de durabilitate

Echilibrul este o stare a sistemului în care forțele care acționează asupra sistemului sunt echilibrate între ele. Echilibrul poate fi stabil, instabil sau indiferent.

Conceptul de echilibru este unul dintre cele mai universale din științele naturii. Se aplică oricărui sistem, fie că este vorba de un sistem de planete care se mișcă pe orbite staționare în jurul unei stele, sau de o populație de pești tropicali dintr-o lagună a atolului. Dar cel mai simplu mod de a înțelege conceptul de stare de echilibru a unui sistem este prin exemplul sistemelor mecanice. În mecanică, se consideră că sistemul este în echilibru dacă toate forțele care acționează asupra lui sunt complet echilibrate între ele, adică se anulează reciproc. Dacă citești această carte, de exemplu, în timp ce stai pe un scaun, atunci ești doar într-o stare de echilibru, deoarece forța gravitației care te trage în jos este complet compensată de presiunea scaunului asupra corpului tău, care acționează din partea de jos în sus. Nu cazi si decolazi tocmai pentru ca esti intr-o stare de echilibru.

Există trei tipuri de echilibru care corespund a trei situații fizice.

echilibru durabil

Aceasta este ceea ce majoritatea oamenilor înțeleg de obicei prin „echilibru”. Imaginați-vă o minge în partea de jos a unui bol sferic. În repaus, este situat strict în centrul vasului, unde acțiunea forței de atracție gravitațională a Pământului este echilibrată de forța de reacție a suportului îndreptată strict în sus, iar mingea se sprijină acolo exact așa cum te odihnești în tine. scaunul tău. Dacă mutați mingea departe de centru, rostogolindu-o lateral și în sus, spre marginea bolului, atunci, de îndată ce o eliberați, se repezi imediat înapoi în punctul cel mai adânc din centrul bolului - în direcția spre poziţia de echilibru stabil.

Tu, stând pe un scaun, ești în repaus datorită faptului că sistemul format din corpul tău și scaunul tău se află într-o stare de echilibru stabil. Prin urmare, atunci când unii parametri ai acestui sistem se modifică - de exemplu, atunci când îți crești greutatea, dacă, să zicem, un copil stă în poală - scaunul, fiind un obiect material, își va schimba configurația în așa fel încât reacția forta suportului va creste - si vei ramane intr-o pozitie de echilibru stabil (cel mai mult se poate intampla ca perna de sub tine sa se afunde putin mai adanc).

În natură, există multe exemple de echilibru stabil în diferite sisteme (și nu numai în cele mecanice). Luați în considerare, de exemplu, relația prădător-pradă într-un ecosistem. Raportul dintre numărul populațiilor închise de prădători și prada lor ajunge rapid la o stare de echilibru - atât de mulți iepuri în pădure de la an la an reprezintă în mod constant atât de multe vulpi, relativ vorbind. Dacă dintr-un anumit motiv populația de pradă se schimbă dramatic (din cauza unei creșteri a natalității iepurilor de câmp, de exemplu), echilibrul ecologic va fi restabilit foarte curând datorită creșterii rapide a numărului de prădători, care vor începe să extermine. iepurii într-un ritm accelerat până când readuc numărul de iepuri la normal și nu vor începe să moară ei înșiși de foame, readucendu-și propriul efectiv de animale la normal, în urma căreia populațiile atât de iepuri, cât și de vulpi vor reveni la normă care a fost observată înainte de creșterea ratei natalității la iepuri. Adică, într-un ecosistem stabil, funcționează și forțele interne (deși nu în sensul fizic al cuvântului), căutând să readucă sistemul la o stare de echilibru stabil în cazul în care sistemul se abate de la acesta.

Efecte similare pot fi observate în sistemele economice. O scădere bruscă a prețului unui bun duce la o creștere a cererii din partea vânătorilor de chilipiruri, o reducere ulterioară a stocurilor și, ca urmare, o creștere a prețului și o scădere a cererii pentru bun - și așa mai departe până când sistemul revine. la o stare de echilibru stabil al preţurilor între cerere şi ofertă. (În mod firesc, în sistemele reale, atât ecologice cât și economice, pot exista factori externi care abate sistemul de la starea de echilibru – de exemplu, împușcarea sezonieră a vulpilor și/sau iepurilor de câmp sau reglementarea de stat a prețurilor și/sau a cotelor de consum. O astfel de intervenție conduce la un echilibru de polarizare, al cărui analog în mecanică ar fi, de exemplu, deformarea sau înclinarea bolului.)

Echilibru instabil

Cu toate acestea, nu orice echilibru este stabil. Imaginează-ți o minge echilibrată pe lama unui cuțit. Forța gravitației îndreptată strict în jos în acest caz, evident, este complet echilibrată și de forța de reacție a suportului îndreptată în sus. Dar de îndată ce centrul mingii este deviat de la punctul de repaus, cel puțin o fracțiune de milimetru pe linia lamei (și pentru aceasta este suficient un efect de forță slab), echilibrul va fi deranjat instantaneu și forța gravitației va începe să tragă mingea din ce în ce mai departe de ea.

Un exemplu de echilibru natural instabil este echilibrul termic al Pământului când perioadele de încălzire globală sunt înlocuite cu noi ere glaciare și invers ( cm. cicluri Milankovitch). Temperatura medie anuală a suprafeței planetei noastre este determinată de bilanțul energetic dintre radiația solară totală care ajunge la suprafață și radiația termică totală a Pământului în spațiul cosmic. Acest echilibru termic devine instabil după cum urmează. Unele ierni zăpadă mai mult decât de obicei. În vara următoare, nu este suficientă căldură pentru a topi zăpada în exces, iar vara este, de asemenea, mai rece decât de obicei, datorită faptului că, din cauza excesului de zăpadă, suprafața Pământului reflectă înapoi în spațiu o proporție mai mare de razele soarelui decât înainte. Din această cauză, iarna următoare se dovedește a fi și mai zăpadă și mai rece decât cea anterioară, iar vara următoare, și mai multă zăpadă și gheață rămân la suprafață, reflectând energia solară în spațiu... Este ușor de observat că cu cât un astfel de sistem global de climat se abate de la punctul de plecare al echilibrului termic, cu atât mai rapid cresc procesele care îndepărtează și mai mult clima de acesta. În cele din urmă, pe suprafața Pământului din regiunile polare, de mulți ani de răcire globală, se formează mulți kilometri de straturi de ghețari, care se deplasează inexorabil spre latitudini tot mai joase, aducând cu ei o altă eră glaciară pe planetă. Deci este greu de imaginat un echilibru mai precar decât clima globală.

De remarcat este un fel de echilibru instabil numit metastabil sau echilibru cvasi-stabil. Imaginați-vă o minge într-o canelură îngustă și puțin adâncă - de exemplu, pe lama unui patinaj artistic întoarsă cu susul în jos. O ușoară abatere - cu un milimetru sau doi - de la punctul de echilibru va duce la apariția unor forțe care vor readuce mingea la o stare de echilibru în centrul șanțului. Cu toate acestea, puțin mai multă forță este deja suficientă pentru a scoate mingea din zona de echilibru metastabil și va cădea de pe lama patinei. Sistemele metastabile, de regulă, au proprietatea de a rămâne într-o stare de echilibru pentru o perioadă de timp, după care „se ies” din aceasta ca urmare a unor fluctuații ale influențelor externe și „cade” într-un proces ireversibil caracteristic instabil. sisteme.

Un exemplu tipic de echilibru cvasi-stabil este observat în atomii substanței de lucru ale unor tipuri de sisteme laser. Electronii din atomii corpului de lucru al laserului ocupă orbite atomice metastabile și rămân pe ele până la trecerea primului cuantum de lumină, care îi „doboară” de pe orbita metastabilă pe una stabilă inferioară, emițând în același timp o nouă cuantă de lumină. , coerent cu cel care trece, care, la rândul său, doboară electronul următorului atom de pe orbita metastabilă etc. Ca urmare, este lansată o reacție asemănătoare avalanșei de emisie de fotoni coerenți formând un fascicul laser, care, de fapt, stă la baza funcționării oricărui laser.

Echilibrul indiferent

Un caz intermediar între echilibrul stabil și cel instabil este așa-numitul echilibru indiferent, în care orice punct al sistemului este un punct de echilibru, iar abaterea sistemului de la punctul de repaus inițial nu schimbă nimic în balanța forțelor din interior. aceasta. Imaginați-vă o minge pe o masă orizontală perfect netedă - indiferent unde o mutați, aceasta va rămâne într-o stare de echilibru.

Ramura mecanicii in care se studiaza conditiile de echilibru al corpurilor se numeste statica. Cel mai simplu mod este de a lua în considerare condițiile de echilibru pentru un corp absolut rigid, adică un astfel de corp, ale cărui dimensiuni și formă pot fi considerate neschimbate. Conceptul de corp absolut rigid este o abstractizare, deoarece toate corpurile reale, sub influența forțelor aplicate acestora, sunt deformate într-un grad sau altul, adică își schimbă forma și dimensiunea. Mărimea deformărilor depinde atât de forțele aplicate corpului, cât și de proprietățile corpului însuși - forma acestuia și proprietățile materialului din care este fabricat. În multe cazuri practic importante, deformațiile sunt mici, iar utilizarea conceptelor de corp absolut rigid este justificată.

Model al unui corp perfect rigid. Cu toate acestea, micimea deformațiilor nu este întotdeauna o condiție suficientă pentru ca un corp să fie considerat absolut rigid. Pentru a clarifica acest lucru, luați în considerare următorul exemplu. O placă sprijinită pe două suporturi (Fig. 140a) poate fi considerată ca un corp absolut rigid, în ciuda faptului că se îndoaie ușor sub influența gravitației. Într-adevăr, în acest caz, condițiile de echilibru mecanic fac posibilă determinarea forțelor de reacție ale suporturilor fără a ține cont de deformarea plăcii.

Dar dacă aceeași placă se află pe aceleași suporturi (Fig. 1406), atunci ideea unui corp absolut rigid este inaplicabilă. Într-adevăr, lasă suporturile extreme să fie pe aceeași linie orizontală, iar cea din mijloc puțin mai jos. Dacă placa este absolut solidă, adică nu se îndoaie deloc, atunci nu pune deloc presiune pe suportul din mijloc.Dacă placa se îndoaie, atunci apasă pe suportul din mijloc și cu cât este mai puternică, cu atât este mai mare. deformare. Condiții

Echilibrul unui corp absolut rigid în acest caz nu permite determinarea forțelor de reacție ale suporturilor, deoarece acestea conduc la două ecuații pentru trei mărimi necunoscute.

Orez. 140. Forțele de reacție care acționează asupra unei plăci așezate pe două (a) și trei (b) suporturi

Astfel de sisteme sunt numite static nedeterminate. Pentru a le calcula, este necesar să se țină seama de proprietățile elastice ale corpurilor.

Exemplul de mai sus arată că aplicabilitatea modelului unui corp absolut rigid în statică este determinată nu atât de proprietățile corpului în sine, cât de condițiile în care se află. Deci, în exemplul luat în considerare, chiar și un pai subțire poate fi considerat un corp absolut solid dacă se află pe două suporturi. Dar nici măcar o grindă foarte rigidă nu poate fi considerată un corp absolut rigid dacă se sprijină pe trei suporturi.

Condiții de echilibru. Condițiile de echilibru pentru un corp absolut rigid sunt un caz special de ecuații dinamice când nu există accelerație, deși din punct de vedere istoric, statica a apărut din nevoile echipamentelor de construcții cu aproape două milenii mai devreme decât dinamica. Într-un cadru de referință inerțial, un corp rigid este în echilibru dacă suma vectorială a tuturor forțelor externe care acționează asupra corpului și suma vectorială a momentelor acestor forțe sunt egale cu zero. Când este îndeplinită prima condiție, accelerația centrului de masă al corpului este egală cu zero. Când a doua condiție este îndeplinită, nu există o accelerație unghiulară de rotație. Prin urmare, dacă în momentul inițial corpul era în repaus, atunci va rămâne în repaus în continuare.

În cele ce urmează, ne limităm la studiul sistemelor relativ simple în care toate forțele care acționează se află în același plan. În acest caz, condiția vectorială

se reduce la doi scalari:

dacă sunt situate axele planului de acţiune al forţelor. Unele dintre forțele externe incluse în condițiile de echilibru (1) care acționează asupra corpului pot fi date, adică se cunosc modulele și direcțiile acestora. În ceea ce privește forțele de reacție ale legăturilor sau suporturilor care limitează posibila mișcare a corpului, acestea, de regulă, nu sunt predeterminate și sunt ele însele supuse determinării. În absența frecării, forțele de reacție sunt perpendiculare pe suprafața de contact a corpurilor.

Orez. 141. Pentru a determina direcția forțelor de reacție

forte de reactie. Uneori apar îndoieli în determinarea direcției forței de reacție a legăturii, ca, de exemplu, în Fig. 141, care prezintă o tijă sprijinită în punctul A pe suprafața netedă concavă a cupei și în punctul B pe muchia ascuțită a cupei.

Pentru a determina direcția forțelor de reacție în acest caz, puteți mișca puțin tija fără a perturba contactul acesteia cu cupa. Forța de reacție va fi direcționată perpendicular pe suprafața pe care alunecă punctul de contact. Deci, în punctul A, forța de reacție care acționează asupra tijei este perpendiculară pe suprafața cupei, iar în punctul B, este perpendiculară pe tijă.

Moment de putere. Momentul M de forță relativ la un punct

O se numește produsul vectorial al rază-vector trasat de la O până la punctul de aplicare al forței, prin vectorul forță

Vectorul M al momentului de forță este perpendicular pe planul în care se află vectorii

Ecuația momentelor. Dacă asupra corpului acţionează mai multe forţe, atunci a doua condiţie de echilibru asociată cu momentele forţelor se scrie ca

În acest caz, punctul O, din care sunt trasi vectorii de rază, trebuie ales comun pentru toate forțele care acționează.

Pentru un sistem plat de forțe, vectorii momentelor tuturor forțelor sunt direcționați perpendicular pe planul în care se află forțele, dacă momentele sunt considerate relativ la un punct situat în același plan. Prin urmare, condiția vectorială (4) pentru momente se reduce la unul scalar: în poziția de echilibru, suma algebrică a momentelor tuturor forțelor externe care acționează este egală cu zero. Modulul momentului de forță relativ la punctul O este egal cu produsul modulului

forte la distanta de la punctul O pana la dreapta de-a lungul careia actioneaza forta.In acest caz, momentele care tind sa roteasca corpul in sensul acelor de ceasornic se iau cu un semn, in sens invers acelor de ceasornic - cu opusul. Alegerea punctului față de care sunt luate în considerare momentele forțelor se face numai din motive de comoditate: ecuația momentelor va fi cu atât mai simplă, cu atât mai multe forțe vor avea momente egale cu zero.

Exemplu de echilibru. Pentru a ilustra aplicarea condițiilor de echilibru pentru un corp perfect rigid, luați în considerare următorul exemplu. O scară ușoară este formată din două părți identice, articulate în partea de sus și legate cu o frânghie la bază (Fig. 142). Să stabilim care este forța de întindere a frânghiei, cu ce forțe interacționează jumătățile scării în balama și cu ce forțe apasă pe podea, dacă o persoană cu greutatea P stă în mijlocul uneia dintre ele .

Sistemul luat în considerare este format din două corpuri rigide - jumătăți de scară, iar condițiile de echilibru pot fi aplicate atât sistemului ca întreg, cât și părților sale. Aplicând condițiile de echilibru întregului sistem în ansamblu, se pot găsi forțele de reacție ale pardoselii și (Fig. 142). În absența frecării, aceste forțe sunt îndreptate vertical în sus, iar condiția ca suma vectorială a forțelor externe (1) să fie egală cu zero ia forma

Condiția de echilibru pentru momentele forțelor externe raportate la punctul A se scrie după cum urmează:

unde - lungimea scărilor, unghiul format de scări cu podeaua. Rezolvând sistemul de ecuații (5) și (6), găsim

Orez. 142. Suma vectorială a forțelor externe și suma momentelor forțelor externe în echilibru este zero

Desigur, în loc de ecuația momentelor (6) față de punctul A, s-ar putea scrie ecuația momentelor față de punctul B (sau orice alt punct). Aceasta ar rezulta într-un sistem de ecuații echivalent cu sistemul (5) și (6) utilizat.

Forța de întindere a cablului și forța de interacțiune în balama pentru sistemul fizic considerat sunt interne și, prin urmare, nu pot fi determinate din condițiile de echilibru ale întregului sistem în ansamblu. Pentru a determina aceste forțe, este necesar să se ia în considerare condițiile pentru echilibrul părților individuale ale sistemului. în care

Printr-o bună alegere a punctului relativ la care se compilează ecuația momentelor de forțe, se poate realiza o simplificare a sistemului algebric de ecuații. Deci, de exemplu, în acest sistem, putem considera condiția de echilibru pentru momentele forțelor care acționează pe jumătatea stângă a scării, raportat la punctul C, unde se află balamaua.

Cu această alegere a punctului C, forțele care acționează în balama nu vor intra în această stare și găsim imediat forța de întindere a cablului T:

de unde, având în vedere că obținem

Condiția (7) înseamnă că rezultanta forțelor T și trece prin punctul C, adică este direcționată de-a lungul scărilor. Prin urmare, echilibrul acestei jumătăți a scării este posibil numai dacă forța care acționează asupra ei în balama este și direcționată de-a lungul scării (Fig. 143), iar modulul ei este egal cu modulul forțelor rezultante T și

Orez. 143. Liniile de acțiune ale tuturor celor trei forțe care acționează pe jumătatea stângă a scărilor trec printr-un punct

Valoarea absolută a forței care acționează în balamaua de pe cealaltă jumătate a scărilor, pe baza celei de-a treia legi a lui Newton, este egală cu și direcția acesteia este opusă direcției vectorului.Direcția forței ar putea fi determinată direct din fig. . 143, dat fiind că atunci când un corp este în echilibru sub acțiunea a trei forțe, liniile de-a lungul cărora acţionează aceste forţe se intersectează într-un punct. Într-adevăr, luați în considerare punctul de intersecție al liniilor de acțiune a două dintre aceste trei forțe și întocmește o ecuație a momentelor despre acest punct. Momentele primelor două forțe în jurul acestui punct sunt egale cu zero; prin urmare, momentul celei de-a treia forțe trebuie să fie, de asemenea, egal cu zero, ceea ce, în conformitate cu (3), este posibil numai dacă linia de acțiune a acesteia trece și ea prin acest punct.

Regula de aur a mecanicii. Uneori problema staticii poate fi rezolvată fără a lua în considerare deloc condițiile de echilibru, ci folosind legea conservării energiei în raport cu mecanismele fără frecare: niciun mecanism nu oferă un câștig în muncă. Această lege

numită regula de aur a mecanicii. Pentru a ilustra această abordare, luați în considerare următorul exemplu: o sarcină mare de greutate P este suspendată pe o balama fără greutate cu trei verigi (Fig. 144). Ce tensiune trebuie menținută de punctele de legătură A și B ale filetului?

Orez. 144. La determinarea forței de întindere a firului într-o balama cu trei brațe care susține o sarcină de greutate P

Să încercăm să folosim acest mecanism pentru a ridica sarcina P. După ce dezlegam firul în punctul A, îl tragem în sus astfel încât punctul B să se ridice încet la o distanță.Această distanță este limitată de faptul că forța de întindere a firului T trebuie să rămână neschimbată în timpul mișcării. În acest caz, după cum se vede din răspuns, forța T nu depinde deloc de cât de mult este comprimată sau întinsă balamaua. O treaba bine facuta. Ca urmare, sarcina P se ridică la o înălțime care, după cum reiese din considerente geometrice, este egală cu. Deoarece în absența frecării nu apar pierderi de energie, se poate susține că modificarea energiei potențiale a sarcinii este egală. to este determinată de munca efectuată în timpul ridicării. Asa de

Evident, pentru o balama care conține un număr arbitrar de legături identice,

Nu este greu de găsit forța de întindere a firului, iar în cazul în care este necesar să se țină cont de greutatea balamalei în sine, munca efectuată în timpul ridicării ar trebui să fie echivalată cu suma modificărilor energiilor potențiale ale sarcina si balamaua. Pentru o balama de legături identice, centrul său de masă se ridică la Prin urmare

Principiul formulat („regula de aur a mecanicii”) este aplicabil și atunci când nu există nicio modificare a energiei potențiale în procesul de deplasare, iar mecanismul este utilizat pentru a transforma forța. Cutii de viteze, transmisii, porți, sisteme de pârghii și blocuri - în toate astfel de sisteme, forța transformată poate fi determinată prin echivalarea muncii forțelor transformate și aplicate. Cu alte cuvinte, în absența frecării, raportul acestor forțe este determinat doar de geometria dispozitivului.

Luați în considerare din acest punct de vedere exemplul de mai sus cu o scară. Desigur, nu este recomandabil să folosiți o scară ca mecanism de ridicare, adică să ridicați o persoană prin adunarea jumătăților de scară împreună. Totuși, acest lucru nu ne poate împiedica să aplicăm metoda descrisă pentru a găsi tensiunea în frânghie. Echivalarea muncii efectuate atunci când părțile scării se apropie de modificarea energiei potențiale a unei persoane de pe scară și conectarea din considerente geometrice între mișcarea capătului inferior al scării cu modificarea înălțimii sarcinii (Fig. . 145), obținem, așa cum era de așteptat, rezultatul dat mai devreme:

După cum sa menționat deja, deplasarea trebuie aleasă astfel încât forța de acțiune să poată fi considerată constantă în timpul procesului său. Este ușor de observat că în exemplul cu balama, această condiție nu impune restricții de mișcare, deoarece tensiunea firului nu depinde de unghi (Fig. 144). Pe de altă parte, în problema scării, deplasarea trebuie aleasă mică, deoarece tensiunea pe frânghie depinde de unghiul a.

Stabilitatea echilibrului. Echilibrul este stabil, instabil și indiferent. Echilibrul este stabil (Fig. 146a), dacă, cu deplasări mici ale corpului din poziția de echilibru, forțele care acționează tind să-l returneze înapoi, și instabil (Fig. 1466), dacă forțele îl duc mai departe de poziția de echilibru. .

Orez. 145. Mișcarea capetelor inferioare ale scării și deplasarea încărcăturii atunci când jumătățile scării se apropie una de alta

Orez. 146. Echilibrul stabil (a), instabil (b) și indiferent (c).

Dacă, la deplasări mici, forțele care acționează asupra corpului și momentele acestora sunt încă echilibrate, atunci echilibrul este indiferent (Fig. 146c). Cu un echilibru indiferent, pozițiile învecinate ale corpului sunt și ele în echilibru.

Să luăm în considerare exemple de studiu al stabilității echilibrului.

1. Un echilibru stabil corespunde unei energii potențiale minime a corpului în raport cu valorile sale în pozițiile învecinate ale corpului. Este adesea convenabil să folosiți această proprietate pentru a găsi poziția de echilibru și pentru a studia natura echilibrului.

Orez. 147. Stabilitatea echilibrului corpului și poziția centrului de masă

O coloană verticală de sine stătătoare este în echilibru stabil, deoarece centrul său de masă se ridică la înclinări mici. Acest lucru se întâmplă până când proiecția verticală a centrului de masă depășește zona de sprijin, adică unghiul de abatere de la verticală nu depășește o anumită valoare maximă. Cu alte cuvinte, regiunea de stabilitate se extinde de la minimul de energie potenţială (în poziţie verticală) până la maximul cel mai apropiat de acesta (Fig. 147). Când centrul de masă este situat exact deasupra limitei zonei de sprijin, coloana este, de asemenea, în echilibru, dar instabilă. O coloană situată orizontal corespunde unei regiuni de stabilitate mult mai largi.

2. Sunt două creioane rotunde cu raze și Unul dintre ele este amplasat orizontal, celălalt este echilibrat pe el în poziție orizontală, astfel încât axele creioanelor să fie reciproc perpendiculare (Fig. 148a). La ce raport între raze este echilibrul stabil? La ce unghi maxim poate fi deviat creionul de sus față de orizontală? Coeficientul de frecare al creioanelor unul față de celălalt este egal cu

La prima vedere, poate părea că echilibrul creionului superior este în general instabil, deoarece centrul de masă al creionului superior se află deasupra axei în jurul căreia se poate roti. Totuși, aici poziția axei de rotație nu rămâne neschimbată; prin urmare, acest caz necesită un studiu special. Deoarece creionul de sus este echilibrat într-o poziție orizontală, centrele de masă ale creioanelor se află pe această verticală (Fig. ).

Deviați creionul de sus la un anumit unghi față de orizontală. În absența frecării statice, ar aluneca imediat în jos. Pentru a nu ne gândi deocamdată la o posibilă alunecare, vom presupune că frecarea este suficient de mare. În acest caz, creionul superior se „rulează” de-a lungul celui inferior fără să alunece. Punctul de sprijin din poziția A se mută într-o nouă poziție C, iar punctul în care creionul superior s-a sprijinit pe cel inferior înainte de abatere

se deplasează în poziția B. Deoarece nu există alunecare, lungimea arcului este egală cu lungimea segmentului

Orez. 148. Creionul superior este echilibrat în poziție orizontală pe creionul inferior (a); la studiul stabilității echilibrului (b)

Centrul de masă al creionului superior se deplasează în poziția . Dacă verticala trasă trece la stânga noului punct de sprijin C, atunci gravitația tinde să readucă creionul de sus în poziția sa de echilibru.

Să exprimăm această condiție matematic. Trasând o linie verticală prin punctul B, vedem că condiția trebuie îndeplinită

De atunci din condiția (8) obținem

Deoarece gravitația va tinde să readucă creionul superior în poziția de echilibru numai la. Prin urmare, echilibrul stabil al creionului superior pe cel inferior este posibil numai atunci când raza sa este mai mică decât raza creionului inferior.

Rolul frecării. Pentru a răspunde la a doua întrebare, este necesar să se afle ce motive limitează unghiul de abatere admisibil. Mai întâi, la unghiuri mari de deviere, verticala trasă prin centrul de masă al creionului superior poate trece la dreapta punctului de sprijin C. Din condiția (9) se poate observa că pentru un raport dat al razelor creionului, maximul unghiul de deviere

Condițiile de echilibru ale unui corp rigid sunt întotdeauna suficiente pentru a determina forțele de reacție?

Cum se poate determina practic direcția forțelor de reacție în absența frecării?

Cum poate fi folosită regula de aur a mecanicii în analiza condițiilor de echilibru?

Dacă în balamaua prezentată în Fig. 144, cu un fir pentru a lega nu punctele A și B, ci punctele L și C, atunci care va fi forța sa de întindere?

Cum este stabilitatea echilibrului unui sistem legată de energia sa potențială?

Ce condiții determină unghiul maxim de deviere al unui corp sprijinit pe un plan în trei puncte, astfel încât stabilitatea acestuia să nu se piardă?