Numătorul și cel cu care este împărțit este numitorul.

Pentru a scrie o fracție, scrieți mai întâi numărătorul acesteia, apoi trasați o linie orizontală sub acest număr și scrieți numitorul sub linie. Linia orizontală care separă numărătorul și numitorul se numește bară fracțională. Uneori este descris ca un „/” sau „∕” oblic. În acest caz, numărătorul este scris în stânga liniei, iar numitorul în dreapta. Deci, de exemplu, fracția „două treimi” va fi scrisă ca 2/3. Pentru claritate, numărătorul este de obicei scris în partea de sus a liniei, iar numitorul în partea de jos, adică în loc de 2/3, puteți găsi: ⅔.

Pentru a calcula produsul fracțiilor, mai întâi înmulțiți numărătorul lui unu fractii la alt numărător. Scrieți rezultatul la numărătorul noului fractii. Apoi înmulțiți și numitorii. Specificați valoarea finală în noua fractii. De exemplu, 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).

Pentru a împărți o fracție la alta, mai întâi înmulțiți numărătorul primei cu numitorul celei de-a doua. Faceți același lucru cu a doua fracție (divizor). Sau, înainte de a efectua toți pașii, mai întâi „întoarceți” divizorul, dacă vă este mai convenabil: numitorul ar trebui să fie în locul numărătorului. Apoi înmulțiți numitorul dividendului cu noul numitor al divizorului și înmulțiți numărătorii. De exemplu, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 × 5 = 5; 3 × 1 = 3).

Surse:

• Sarcini de bază pentru fracții

Numerele fracționale vă permit să exprimați valoarea exactă a unei cantități în moduri diferite. Cu fracțiile, puteți efectua aceleași operații matematice ca și cu numerele întregi: scădere, adunare, înmulțire și împărțire. Să înveți cum să decizi fractii, este necesar să ne amintim unele dintre caracteristicile lor. Ele depind de tip fractii, prezența unei părți întregi, un numitor comun. Unele operații aritmetice după execuție necesită reducerea părții fracționale a rezultatului.

Vei avea nevoie

• - calculator

Instruire

Privește cu atenție numerele. Dacă există zecimale și neregulate printre fracții, uneori este mai convenabil să efectuați mai întâi acțiuni cu zecimale și apoi să le convertiți în forma greșită. Poti sa traduci fractiiîn această formă inițial, scriind valoarea după virgulă la numărător și punând 10 la numitor. Dacă este necesar, reduceți fracția împărțind numerele de mai sus și de dedesubt la un divizor. Fracțiile în care se evidențiază întreaga parte duc la forma greșită înmulțind-o cu numitorul și adunând numărătorul la rezultat. Această valoare va deveni noul numărător fractii. Pentru a extrage întreaga parte din inițial incorectă fractii, împărțiți numărătorul la numitor. Scrieți întregul rezultat din fractii. Iar restul diviziunii devine noul numărător, numitorul fractiiîn timp ce nu se schimbă. Pentru fracțiile cu o parte întreagă, este posibil să se efectueze acțiuni separat, mai întâi pentru întregul și apoi pentru părțile fracționale. De exemplu, suma 1 2/3 și 2 ¾ poate fi calculată:
- Conversia fracțiilor la forma greșită:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Însumarea separată a părților întregi și fracționale ale termenilor:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Rescrieți-le prin separatorul „:” și continuați împărțirea obișnuită.

Pentru a obține rezultatul final, reduceți fracția rezultată împărțind numărătorul și numitorul la un număr întreg, cel mai mare posibil în acest caz. În acest caz, trebuie să existe numere întregi deasupra și sub linie.

Notă

Nu faceți aritmetică cu fracții care au numitori diferiți. Alegeți un număr astfel încât, atunci când numărătorul și numitorul fiecărei fracții sunt înmulțite cu acesta, ca rezultat, numitorii ambelor fracții să fie egali.

Sfaturi utile

Când scrieți numere fracționale, dividendul este scris deasupra liniei. Această cantitate este denumită numărătorul unei fracții. Sub linie se scrie divizorul sau numitorul fracției. De exemplu, un kilogram și jumătate de orez sub formă de fracție se va scrie astfel: 1 ½ kg de orez. Dacă numitorul unei fracții este 10, se numește fracție zecimală. În acest caz, numărătorul (dividendul) se scrie în dreapta întregii părți, despărțit prin virgulă: 1,5 kg de orez. Pentru comoditatea calculelor, o astfel de fracție poate fi întotdeauna scrisă într-o formă greșită: 1 2/10 kg de cartofi. Pentru a simplifica, puteți reduce valorile numărătorului și numitorului împărțindu-le la un singur număr întreg. În acest exemplu, este posibilă împărțirea la 2. Rezultatul este 1 1/5 kg de cartofi. Asigurați-vă că numerele cu care veți face aritmetica sunt în aceeași formă.

Acțiuni cu fracții. În acest articol, vom analiza exemple, totul este detaliat cu explicații. Vom lua în considerare fracțiile obișnuite. În viitor, vom analiza zecimale. Recomand să urmăriți întregul și să studiați secvențial.

1. Suma fracțiilor, diferența de fracții.

Regula: atunci când se adună fracții cu numitori egali, rezultatul este o fracție - al cărei numitor rămâne același, iar numărătorul ei va fi egal cu suma numărătorilor fracțiilor.

Regula: atunci când se calculează diferența fracțiilor cu aceiași numitori, obținem o fracție - numitorul rămâne același, iar numărătorul celei de-a doua se scade din numărătorul primei fracții.

Notarea formală a sumei și diferenței fracțiilor cu numitori egali:

Exemple (1):

Este clar că atunci când sunt date fracții obișnuite, atunci totul este simplu, dar dacă sunt amestecate? Nimic complicat...

Opțiunea 1- le puteți converti în altele obișnuite și apoi le puteți calcula.

Opțiunea 2- puteți „lucra” separat cu părțile întregi și fracționale.

Exemple (2):

Mai mult:

Și dacă este dată diferența a două fracții mixte și numărătorul primei fracții este mai mic decât numărătorul celei de-a doua? De asemenea, se poate face în două moduri.

Exemple (3):

* Tradus în fracții obișnuite, calculat diferența, convertit fracția improprie rezultată într-una mixtă.

* Împărțit în părți întregi și fracționale, am obținut trei, apoi a prezentat 3 ca sumă a lui 2 și 1, cu unitatea prezentată ca 11/11, apoi a găsit diferența dintre 11/11 și 7/11 și a calculat rezultatul. Sensul transformărilor de mai sus este să luăm (selectăm) o unitate și să o prezentăm ca o fracție cu numitorul de care avem nevoie, apoi din această fracție putem deja să scădem alta.

Alt exemplu:

Concluzie: există o abordare universală - pentru a calcula suma (diferența) fracțiilor mixte cu numitori egali, acestea pot fi întotdeauna convertite în unele improprii, apoi efectuați acțiunea necesară. După aceea, dacă în rezultat obținem o fracție improprie, o traducem într-una mixtă.

Mai sus, ne-am uitat la exemple cu fracții care au numitori egali. Ce se întâmplă dacă numitorii diferă? În acest caz, fracțiile sunt reduse la același numitor și se efectuează acțiunea specificată. Pentru a schimba (transforma) o fracție, se folosește proprietatea principală a fracției.

Luați în considerare exemple simple:

În aceste exemple, vedem imediat cum una dintre fracții poate fi convertită pentru a obține numitori egali.

Dacă desemnăm modalități de reducere a fracțiilor la un numitor, atunci acesta va fi numit METODA 1.

Adică, imediat când „evaluați” fracția, trebuie să vă dați seama dacă o astfel de abordare va funcționa - verificăm dacă numitorul mai mare este divizibil cu cel mai mic. Și dacă este împărțit, atunci efectuăm transformarea - înmulțim numărătorul și numitorul astfel încât numitorii ambelor fracții să devină egali.

Acum uită-te la aceste exemple:

Această abordare nu se aplică lor. Există și alte moduri de a reduce fracțiile la un numitor comun, luați în considerare.

Metoda A DOUA.

Înmulțiți numărătorul și numitorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua, iar numărătorul și numitorul celei de-a doua fracții cu numitorul primei:

*De fapt, aducem fracții la forma când numitorii devin egali. În continuare, folosim regula adunării timizi cu numitori egali.

Exemplu:

*Această metodă poate fi numită universală și funcționează întotdeauna. Singurul negativ este că, după calcule, se poate dovedi o fracție care va trebui redusă în continuare.

Luați în considerare un exemplu:

Se poate observa că numărătorul și numitorul sunt divizibile cu 5:

Metoda A TREIA.

Găsiți cel mai mic multiplu comun (MCM) al numitorilor. Acesta va fi numitorul comun. Ce este acest numar? Acesta este cel mai mic număr natural care este divizibil cu fiecare dintre numere.

Uite, aici sunt două numere: 3 și 4, există multe numere care sunt divizibile cu ele - acestea sunt 12, 24, 36, ... Cel mai mic dintre ele este 12. Sau 6 și 15, 30, 60, 90 sunt divizibil de ei.... Cel puțin 30. Întrebare - cum se determină acest cel mai mic multiplu comun?

Există un algoritm clar, dar adesea acest lucru se poate face imediat, fără calcule. De exemplu, conform exemplelor de mai sus (3 și 4, 6 și 15), nu este nevoie de un algoritm, am luat numere mari (4 și 15), le-am dublat și am văzut că sunt divizibile cu al doilea număr, dar perechi de numere pot fi altele, cum ar fi 51 și 119.

Algoritm. Pentru a determina cel mai mic multiplu comun al mai multor numere, trebuie:

- descompuneți fiecare dintre numere în factori SIMPLI

- scrieți descompunerea CEI MAI MARI dintre ele

- înmulțiți-l cu factorii LIPSĂ ai altor numere

Luați în considerare exemple:

50 și 60 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

în extinderea unui număr mai mare, lipsește unul cinci

=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 și 72 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

în extinderea unui număr mai mare lipsesc doi și trei

=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* Cel mai mic multiplu comun al două numere prime este egal cu produsul lor

Întrebare! Și de ce este util să găsiți cel mai mic multiplu comun, deoarece puteți utiliza a doua metodă și pur și simplu reduceți fracția rezultată? Da, poți, dar nu este întotdeauna convenabil. Uită-te la numitorul numerelor 48 și 72, dacă doar le înmulți 48∙72 = 3456. Fii de acord că este mai plăcut să lucrezi cu numere mai mici.

Luați în considerare exemple:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

în extinderea unui număr mai mare, lipsește un triplu

=> LCM(51,119) = 3∙7∙17

Și acum aplicăm prima metodă:

* Uitați-vă la diferența dintre calcule, în primul caz există un minim, iar în al doilea trebuie să lucrați separat pe o bucată de hârtie și chiar și fracțiunea pe care o obțineți trebuie redusă. Găsirea LCM simplifică considerabil munca.

Mai multe exemple:

* În al doilea exemplu, este deja clar că cel mai mic număr care este divizibil cu 40 și 60 este 120.

TOTAL! ALGORITM GENERAL DE CALCUL!

- aducem fracții la cele obișnuite, dacă există o parte întreagă.

- aducem fractiile la un numitor comun (mai intai ne uitam sa vedem daca un numitor este divizibil cu altul, daca este divizibil, apoi inmultim numaratorul si numitorul acestei alte fractii; daca nu este divizibil, actionam folosind alte metode indicate mai sus).

- primind fracții cu numitori egali, efectuăm acțiuni (adunare, scădere).

- daca este necesar, reducem rezultatul.

- dacă este necesar, selectați întreaga parte.

2. Produsul fracțiilor.

Regula este simplă. La înmulțirea fracțiilor, numărătorii și numitorii lor se înmulțesc:

Exemple:

Sarcină. La bază au fost aduse 13 tone de legume. Cartofii reprezintă ¾ din toate legumele importate. Câte kilograme de cartofi au fost aduse la bază?

Să terminăm cu treaba.

* Mai devreme v-am promis că veți oferi o explicație formală a proprietății principale a fracției prin produs, vă rugăm:

3. Împărțirea fracțiilor.

Împărțirea fracțiilor se reduce la înmulțirea lor. Este important să ne amintim că fracția care este un divizor (cea care este împărțită cu) este răsturnată și acțiunea se schimbă în înmulțire:

Această acțiune poate fi scrisă ca o așa-numită fracție cu patru etaje, deoarece diviziunea în sine „:” poate fi scrisă și ca o fracție:

Exemple:

Asta e tot! Multă baftă!

Cu stimă, Alexander Krutitskikh.

O ecuație este o egalitate care conține o literă a cărei valoare trebuie găsită.

În ecuații, necunoscutul este de obicei notat cu o literă latină mică. Cele mai frecvent utilizate litere sunt „x” [x] și „y” [y].

Rădăcina ecuației- aceasta este valoarea literei, la care se obține egalitatea numerică corectă din ecuație.

rezolva ecuatia- înseamnă să-i găsești toate rădăcinile sau să te asiguri că nu există rădăcini.

După ce am rezolvat ecuația, notăm întotdeauna cecul după răspuns.

Informații pentru părinți

Dragi părinți, vă atragem atenția că în școala elementară și în clasa a V-a, copiii NU cunosc tema „Numere negative”.

Prin urmare, ei trebuie să rezolve ecuații folosind numai proprietățile de adunare, scădere, înmulțire și împărțire. Metodele de rezolvare a ecuațiilor pentru clasa a 5-a sunt prezentate mai jos.

Nu încercați să explicați soluția ecuațiilor transferând numere și litere dintr-o parte a ecuației în alta cu o schimbare de semn.

Vă puteți reîmprospăta cunoștințele despre conceptele legate de adunare, scădere, înmulțire și împărțire în lecția „Legile aritmeticii”.

Rezolvarea ecuațiilor pentru adunare și scădere

Cum să găsești necunoscutul
termen

Cum să găsești necunoscutul
descăzut

Cum să găsești necunoscutul
descăzut

Pentru a găsi termenul necunoscut, scădeți termenul cunoscut din sumă.

Pentru a găsi minuend necunoscut, trebuie să adăugați subtraendul la diferență.

Pentru a găsi subtraend necunoscut, este necesar să scădem diferența din minuend.

x + 9 = 15
x = 15 − 9
x=6
Examinare

x − 14 = 2
x = 14 + 2
x=16
Examinare

16 − 2 = 14
14 = 14

5 − x = 3
x = 5 − 3
x=2
Examinare

Rezolvarea ecuațiilor de înmulțire și împărțire

Cum să găsești necunoscutul
factor

Cum să găsești necunoscutul
dividend

Cum să găsești necunoscutul
separator

Pentru a găsi factorul necunoscut, produsul trebuie împărțit la factorul cunoscut.

Pentru a găsi dividendul necunoscut, trebuie să înmulțiți coeficientul cu divizorul.

Pentru a găsi divizorul necunoscut, împărțiți dividendul la cât.

y 4 = 12
y=12:4
y=3
Examinare

y:7=2
y = 2 7
y=14
Examinare

8:y=4
y=8:4
y=2
Examinare

O ecuație este o ecuație care conține litera al cărei semn trebuie găsit. Soluția unei ecuații este setul de valori ale literelor care transformă ecuația într-o egalitate adevărată:

Amintiți-vă că pentru a rezolva ecuaţie este necesar să transferați termenii cu necunoscutul într-o parte a egalității, iar termenii numerici în cealaltă, aduceți-i pe cei similari și obțineți următoarea egalitate:

Din ultima egalitate, determinăm necunoscuta prin regula: „unul dintre factori este egal cu câtul împărțit la al doilea factor”.

Deoarece numerele raționale a și b pot avea semne identice și diferite, semnul necunoscutului este determinat de regulile de împărțire a numerelor raționale.

Procedura de rezolvare a ecuațiilor liniare

Ecuația liniară trebuie simplificată prin deschiderea parantezelor și efectuarea acțiunilor etapei a doua (înmulțire și împărțire).

Mutați necunoscutele pe o parte a semnului egal și numerele pe cealaltă parte a semnului egal, devenind identice cu egalitatea dată,

Aduceți like la stânga și la dreapta semnului egal, obținând o egalitate a formei topor = b.

Calculați rădăcina ecuației (aflați necunoscutul X din egalitate X = b : A),

Testați prin înlocuirea necunoscutului în ecuația dată.

Dacă obținem o identitate în egalitate numerică, atunci ecuația este rezolvată corect.

Cazuri speciale de rezolvare a ecuațiilor

1. În cazul în care un ecuația este dat de un produs egal cu 0, apoi pentru a-l rezolva folosim proprietatea înmulțirii: „produsul este egal cu zero dacă unul dintre factori sau ambii factori sunt egali cu zero”.

27 (X - 3) = 0
27 nu este egal cu 0, deci X - 3 = 0

Al doilea exemplu are două soluții ale ecuației, deoarece
Aceasta este o ecuație de gradul doi:

Dacă coeficienții ecuației sunt fracții obișnuite, atunci în primul rând trebuie să scăpați de numitori. Pentru asta:

Găsiți un numitor comun;

Determinați factori suplimentari pentru fiecare termen al ecuației;

Înmulțiți numărătorii fracțiilor și numerelor întregi cu factori suplimentari și notați toți termenii ecuației fără numitori (numitorul comun poate fi aruncat);

Mutați termenii cu necunoscute într-o parte a ecuației, iar termenii numerici în cealaltă din semnul egal, obținând o egalitate echivalentă;

Aduceți ca membri;

Proprietățile de bază ale ecuațiilor

În orice parte a ecuației, puteți aduce termeni similari sau deschideți paranteza.

Orice termen al ecuației poate fi transferat dintr-o parte a ecuației în alta prin schimbarea semnului său la opus.

Ambele părți ale ecuației pot fi înmulțite (împărțite) cu același număr, cu excepția 0.

În exemplul de mai sus, toate proprietățile sale au fost folosite pentru a rezolva ecuația.

Cum se rezolvă o ecuație cu o necunoscută într-o fracție

Uneori, ecuațiile liniare iau forma când necunoscut apare la numărătorul uneia sau mai multor fracții. Ca în ecuația de mai jos.

În astfel de cazuri, astfel de ecuații pot fi rezolvate în două moduri.

eu cale de solutie
Reducerea unei ecuații la o proporție

Când rezolvați ecuații folosind metoda proporției, trebuie să efectuați următorii pași:

aduceți toate fracțiile la un numitor comun și adăugați-le ca fracții algebrice (doar o fracție ar trebui să rămână în partea stângă și în partea dreaptă);

Rezolvați ecuația rezultată folosind regula proporției.

Deci, revenim la ecuația noastră. În partea stângă, avem deja o singură fracție, așa că nu sunt necesare transformări în ea.

Vom lucra cu partea dreaptă a ecuației. Simplificați partea dreaptă a ecuației astfel încât să rămână o singură fracție. Pentru a face acest lucru, amintiți-vă regulile de adunare a unui număr cu o fracție algebrică.

Acum folosim regula proporției și rezolvăm ecuația până la sfârșit.

II metoda de rezolvare
Reducere la o ecuație liniară fără fracții

Luați în considerare din nou ecuația de mai sus și rezolvați-o într-un mod diferit.

Vedem că există două fracții în ecuație "

Cum se rezolvă ecuații cu fracții. Rezolvare exponențială a ecuațiilor cu fracții.

Rezolvarea ecuațiilor cu fracții să ne uităm la exemple. Exemplele sunt simple și ilustrative. Cu ajutorul lor, puteți înțelege în cel mai înțeles mod,.
De exemplu, trebuie să rezolvați o ecuație simplă x/b + c = d.

O ecuație de acest tip se numește liniară, deoarece numitorul conține doar numere.

Rezolvarea se realizează prin înmulțirea ambelor părți ale ecuației cu b, apoi ecuația ia forma x = b*(d – c), adică. numitorul fracției din partea stângă se reduce.

De exemplu, cum se rezolvă o ecuație fracțională:
x/5+4=9
Înmulțim ambele părți cu 5. Obținem:
x+20=45

Un alt exemplu în care necunoscutul este la numitor:

Ecuațiile de acest tip se numesc raționale fracționale sau pur și simplu fracționale.

Am rezolva o ecuație fracțională scăpând de fracții, după care această ecuație, de cele mai multe ori, se transformă într-una liniară sau pătratică, care se rezolvă în mod obișnuit. Trebuie să țineți cont doar de următoarele puncte:

• valoarea unei variabile care transformă numitorul la 0 nu poate fi o rădăcină;
• nu puteți împărți sau înmulți ecuația cu expresia =0.

Aici intră în vigoare un astfel de concept precum zona valorilor permise (ODZ) - acestea sunt valorile rădăcinilor ecuației pentru care ecuația are sens.

Astfel, rezolvând ecuația, este necesar să găsiți rădăcinile și apoi să le verificați pentru conformitatea cu ODZ. Acele rădăcini care nu corespund DHS-ului nostru sunt excluse din răspuns.

De exemplu, trebuie să rezolvați o ecuație fracțională:

Pe baza regulii de mai sus, x nu poate fi = 0, i.e. ODZ în acest caz: x - orice valoare, alta decât zero.

Scăpăm de numitor înmulțind toți termenii ecuației cu x

Și rezolvați ecuația obișnuită

5x - 2x = 1
3x=1
x = 1/3

Să rezolvăm ecuația mai complicată:

ODZ este prezent și aici: x -2.

Rezolvând această ecuație, nu vom transfera totul într-o singură direcție și vom aduce fracțiile la un numitor comun. Înmulțim imediat ambele părți ale ecuației cu o expresie care va reduce toți numitorii simultan.

Pentru a reduce numitorii, trebuie să înmulțiți partea stângă cu x + 2 și partea dreaptă cu 2. Deci, ambele părți ale ecuației trebuie înmulțite cu 2 (x + 2):

Aceasta este cea mai comună înmulțire a fracțiilor, despre care am discutat deja mai sus.

Scriem aceeași ecuație, dar într-un mod ușor diferit.

Partea stângă este redusă cu (x + 2), iar partea dreaptă cu 2. După reducere, obținem ecuația liniară obișnuită:

x \u003d 4 - 2 \u003d 2, care corespunde ODZ-ului nostru

Rezolvarea ecuațiilor cu fracții nu atât de dificil pe cât ar părea. În acest articol, am arătat acest lucru cu exemple. Dacă întâmpinați dificultăți cu cum se rezolvă ecuații cu fracții, apoi dezabonează-te în comentarii.

Rezolvarea ecuațiilor cu fracții Gradul 5

Rezolvarea ecuațiilor cu fracții. Rezolvarea problemelor cu fracții.

Vizualizați conținutul documentului
„Rezolvarea ecuațiilor cu fracții de gradul 5”

- Adunarea fracțiilor cu aceiași numitori.

- Scăderea fracțiilor cu aceiași numitori.

Adunarea fracțiilor cu aceiași numitori.

Pentru a adăuga fracții cu aceiași numitori, adăugați numărătorii lor și lăsați numitorul același.

Scăderea fracțiilor cu aceiași numitori.

Pentru a scădea fracții cu aceiași numitori, scădeți numărătorul subtraendului de la numărătorul minuendului și lăsați numitorul același.

La rezolvarea ecuațiilor, este necesar să folosiți regulile de rezolvare a ecuațiilor, proprietățile de adunare și scădere.

Rezolvarea ecuațiilor folosind proprietăți.

Rezolvarea ecuațiilor folosind reguli.

Expresia din partea stângă a ecuației este suma.

termen + termen = suma.

Pentru a găsi termenul necunoscut, scădeți termenul cunoscut din sumă.

minuend – subtraend = diferență

Pentru a găsi subtraend necunoscut, scădeți diferența din minuend.

Expresia din partea stângă a ecuației este diferența.

Pentru a găsi minuend necunoscut, trebuie să adăugați subtraendul la diferență.

UTILIZAREA REGULI PENTRU REZOLVAREA ECUATIILOR.

În partea stângă a ecuației, expresia este suma.

Ecuațiile care conțin o variabilă la numitor pot fi rezolvate în două moduri:

Reducerea fracțiilor la un numitor comun

Folosind proprietatea de bază a proporției

Indiferent de metoda aleasă, este necesar, după găsirea rădăcinilor ecuației, să se selecteze din valorile găsite valorile acceptabile, adică cele care nu transformă numitorul în $0$.

1 cale. Aducerea fracțiilor la un numitor comun.

Exemplul 1

$\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)$

Decizie:

1. Mutați fracția din partea dreaptă a ecuației la stânga

\[\frac(2x+3)(2x-1)-\frac(x-5)(x+3)=0\]

Pentru a face acest lucru corect, reamintim că la mutarea elementelor în altă parte a ecuației, semnul din fața expresiilor se schimbă în opus. Deci, dacă în partea dreaptă a fost semnul „+” înaintea fracției, atunci în partea stângă va fi semnul „-” în fața ei, apoi în partea stângă obținem diferența dintre fracții.

2. Acum observăm că fracțiile au numitori diferiți, ceea ce înseamnă că pentru a compensa diferența este necesar să aducem fracțiile la un numitor comun. Numitorul comun va fi produsul polinoamelor din numitorii fracțiilor originale: $(2x-1)(x+3)$

Pentru a obține o expresie identică, numărătorul și numitorul primei fracții trebuie înmulțite cu polinomul $(x+3)$, iar a doua cu polinomul $(2x-1)$.

\[\frac((2x+3)(x+3))((2x-1)(x+3))-\frac((x-5)(2x-1))((x+3)( 2x-1))=0\]

Să facem transformarea în numărătorul primei fracții - vom înmulți polinoamele. Amintiți-vă că pentru aceasta este necesar să înmulțiți primul termen al primului polinom, să înmulțiți cu fiecare termen al celui de-al doilea polinom, apoi să înmulțiți al doilea termen al primului polinom cu fiecare termen al celui de-al doilea polinom și să adăugați rezultatele

\[\left(2x+3\right)\left(x+3\right)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9\]

Prezentăm termeni similari în expresia rezultată

\[\left(2x+3\right)\left(x+3\right)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9=\] \[(=2x)^2+9x+9\]

Efectuați o transformare similară în numărătorul celei de-a doua fracții - vom înmulți polinoamele

$\left(x-5\right)\left(2x-1\right)=x\cdot 2x-x\cdot 1-5\cdot 2x+5\cdot 1=(2x)^2-x-10x+ 5 =(2x)^2-11x+5$

Atunci ecuația va lua forma:

\[\frac((2x)^2+9x+9)((2x-1)(x+3))-\frac((2x)^2-11x+5)((x+3)(2x- 1))=0\]

Acum fracții cu același numitor, deci puteți scădea. Amintiți-vă că la scăderea fracțiilor cu același numitor de la numărătorul primei fracții, este necesar să se scadă numărătorul celei de-a doua fracții, lăsând numitorul același

\[\frac((2x)^2+9x+9-((2x)^2-11x+5))((2x-1)(x+3))=0\]

Să transformăm expresia în numărător. Pentru a deschide parantezele precedate de semnul „-”, toate semnele din fața termenilor dintre paranteze trebuie să fie inversate

\[(2x)^2+9x+9-\left((2x)^2-11x+5\right)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5\]

Prezentăm termeni similari

$(2x)^2+9x+9-\left((2x)^2-11x+5\right)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5=20x+4 $

Apoi fracția va lua forma

\[\frac((\rm 20x+4))((2x-1)(x+3))=0\]

3. O fracție este egală cu $0$ dacă numărătorul ei este 0. Prin urmare, echivalăm numărătorul fracției cu $0$.

\[(\rm 20x+4=0)\]

Să rezolvăm ecuația liniară:

4. Să eșantionăm rădăcinile. Aceasta înseamnă că este necesar să se verifice dacă numitorii fracțiilor originale se transformă în $0$ atunci când sunt găsite rădăcinile.

Punem condiția ca numitorii să nu fie egali cu $0$

x$\ne 0,5$ x$\ne -3$

Aceasta înseamnă că toate valorile variabilelor sunt permise, cu excepția $-3$ și $0.5$.

Rădăcina pe care am găsit-o este o valoare validă, deci poate fi considerată în siguranță rădăcina ecuației. Dacă rădăcina găsită nu ar fi o valoare validă, atunci o astfel de rădăcină ar fi străină și, desigur, nu ar fi inclusă în răspuns.

Răspuns:$-0,2.$

Acum putem scrie un algoritm pentru rezolvarea unei ecuații care conține o variabilă la numitor

Un algoritm pentru rezolvarea unei ecuații care conține o variabilă la numitor

Mutați toate elementele din partea dreaptă a ecuației în partea stângă. Pentru a obține o ecuație identică, este necesar să schimbați toate semnele din fața expresiilor din partea dreaptă în opus

Dacă în partea stângă obținem o expresie cu numitori diferiți, atunci le aducem la una comună folosind proprietatea principală a fracției. Efectuați transformări folosind transformări identice și obțineți fracția finală egală cu $0$.

Echivalează numărătorul cu $0$ și găsește rădăcinile ecuației rezultate.

Să eșantionăm rădăcinile, adică găsiți valori variabile valide care nu transformă numitorul la $0$.

2 sensuri. Folosind proprietatea de bază a proporției

Principala proprietate a unei proporții este că produsul termenilor extremi ai proporției este egal cu produsul termenilor medii.

Exemplul 2

Folosim această proprietate pentru a rezolva această sarcină

\[\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)\]

1. Să găsim și să echivalăm produsul dintre membrii extremi și mijlocii ai proporției.

$\left(2x+3\right)\cdot(\ x+3)=\left(x-5\right)\cdot(2x-1)$

\[(2x)^2+3x+6x+9=(2x)^2-10x-x+5\]

Rezolvând ecuația rezultată, găsim rădăcinile originalei

2. Să găsim valorile admisibile ale unei variabile.

Din soluția anterioară (prima cale) am constatat deja că orice valoare este permisă, cu excepția $-3$ și $0.5$.

Apoi, după ce am stabilit că rădăcina găsită este o valoare validă, am aflat că $-0,2$ va fi rădăcina.

În articol, vom arăta cum se rezolvă fracții cu exemple simple clare. Să înțelegem ce este o fracție și să luăm în considerare rezolvarea fracțiilor!

concept fractii se introduce în cursul de matematică începând din clasa a VI-a de gimnaziu.

Fracțiile arată astfel: ±X / Y, unde Y este numitorul, spune în câte părți a fost împărțit întregul, iar X este numărătorul, spune câte astfel de părți au fost luate. Pentru claritate, să luăm un exemplu cu un tort:

În primul caz, prăjitura a fost tăiată în mod egal și s-a luat jumătate, adică. 1/2. În al doilea caz, prăjitura a fost tăiată în 7 părți, din care s-au luat 4 părți, adică. 4/7.

Dacă partea de împărțire a unui număr la altul nu este un număr întreg, se scrie ca fracție.

De exemplu, expresia 4:2 \u003d 2 dă un număr întreg, dar 4:7 nu este complet divizibil, așa că această expresie este scrisă ca o fracție 4/7.

Cu alte cuvinte fracțiune este o expresie care denotă împărțirea a două numere sau expresii și care se scrie cu o bară oblică.

Dacă numărătorul este mai mic decât numitorul, fracția este corectă, dacă invers, este incorectă. O fracție poate conține un număr întreg.

De exemplu, 5 întregi 3/4.

Această intrare înseamnă că pentru a obține întregul 6, o parte din patru nu este suficientă.

Dacă vrei să-ți amintești cum se rezolvă fracții pentru clasa a VI-a trebuie să înțelegi asta rezolvarea fracțiilor practic se rezumă la înțelegerea câtorva lucruri simple.

• O fracție este în esență o expresie pentru o fracție. Adică, o expresie numerică a ce parte este o valoare dată dintr-un întreg. De exemplu, fracția 3/5 exprimă că dacă împărțim ceva întreg în 5 părți și numărul de părți sau părți din acest întreg este trei.
• O fracție poate fi mai mică decât 1, de exemplu 1/2 (sau în esență jumătate), atunci este corectă. Dacă fracția este mai mare decât 1, de exemplu 3/2 (trei jumătăți sau una și jumătate), atunci este incorectă și pentru a simplifica soluția, este mai bine să selectăm întreaga parte 3/2= 1 întreg 1 /2.
• Fracțiile sunt aceleași numere ca 1, 3, 10 și chiar 100, doar că numerele nu sunt întregi, ci fracționale. Cu ele, puteți efectua toate aceleași operațiuni ca și cu numerele. Numărarea fracțiilor nu este mai dificilă și mai departe vom arăta acest lucru cu exemple specifice.

Cum se rezolvă fracții. Exemple.

O varietate de operații aritmetice sunt aplicabile fracțiilor.

Aducerea unei fracții la un numitor comun

De exemplu, trebuie să comparați fracțiile 3/4 și 4/5.

Pentru a rezolva problema, găsim mai întâi cel mai mic numitor comun, adică. cel mai mic număr care este divizibil fără rest cu fiecare dintre numitorii fracțiilor

Cel mai mic numitor comun (4,5) = 20

Apoi numitorul ambelor fracții se reduce la cel mai mic numitor comun

Raspuns: 15/20

Adunarea și scăderea fracțiilor

Dacă este necesar să se calculeze suma a două fracții, acestea sunt mai întâi aduse la un numitor comun, apoi se adună numărătorii, în timp ce numitorul rămâne neschimbat. Diferența de fracții este considerată într-un mod similar, singura diferență este că numărătorii sunt scăzuți.

De exemplu, trebuie să găsiți suma fracțiilor 1/2 și 1/3

Acum găsiți diferența dintre fracțiile 1/2 și 1/4

Înmulțirea și împărțirea fracțiilor

Aici soluția fracțiilor este simplă, totul este destul de simplu aici:

• Înmulțirea - numărătorii și numitorii fracțiilor se înmulțesc între ei;
• Împărțire - mai întâi obținem o fracție, reciproca celei de-a doua fracții, adică. schimbați numărătorul și numitorul, după care înmulțim fracțiile rezultate.

De exemplu:

Despre asta despre cum se rezolvă fracții, toate. Dacă aveți întrebări despre rezolvarea fracțiilor, ceva nu este clar, atunci scrie in comentarii si iti vom raspunde.

Dacă sunteți profesor, atunci este posibil să descărcați o prezentare pentru o școală elementară (http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html), care vă va fi utilă.