Asimptotele graficului unei funcții

Asimptota graficului unei funcții y \u003d f (x) se numește o linie care are proprietatea că distanța de la punctul (x, f (x)) la această linie tinde spre zero cu o îndepărtare nelimitată a punctului grafic de la origine.

Figura 3.10. sunt date exemple grafice vertical, orizontalăși oblic asimptotă.

Găsirea asimptotelor graficului se bazează pe următoarele trei teoreme.

Teorema asimptotei verticale. Fie ca funcția y \u003d f (x) să fie definită într-o vecinătate a punctului x 0 (eventual excluzând acest punct în sine) și cel puțin una dintre limitele unilaterale ale funcției să fie egală cu infinitul, adică. Atunci linia x \u003d x 0 este asimptota verticală a graficului funcției y \u003d f (x).

Evident, linia x \u003d x 0 nu poate fi o asimptotă verticală dacă funcția este continuă în punctul x 0, deoarece în acest caz . Prin urmare, asimptotele verticale trebuie căutate în punctele de discontinuitate ale unei funcții sau la capetele domeniului acesteia.

Teorema asimptotei orizontale. Fie definită funcția y \u003d f (x) pentru x suficient de mare și există o limită finită a funcției. Atunci linia y = b este asimptota orizontală a graficului funcției.

Cometariu. Dacă numai una dintre limite este finită, atunci funcția are, respectiv, pe partea stângă sau pe partea dreaptă asimptotă orizontală.

În cazul în care , funcția poate avea o asimptotă oblică.

Teorema asimptotei oblice. Fie definită funcția y = f(x) pentru x suficient de mare și există limite finite . Atunci linia y = kx + b este o asimptotă oblică a graficului funcției.

Fără dovezi.

Asimptota oblică, la fel ca și cea orizontală, poate fi dreptaci sau stângaci dacă baza limitelor corespunzătoare este infinitatea unui anumit semn.

Studiul funcțiilor și construcția graficelor acestora include de obicei următorii pași:

1. Găsiți domeniul funcției.

2. Investigați funcția pentru par-impar.

3. Aflați asimptotele verticale examinând punctele de discontinuitate și comportamentul funcției pe limitele domeniului de definiție, dacă acestea sunt finite.

4. Găsiți asimptote orizontale sau oblice examinând comportamentul funcției la infinit.

Câte asimptote poate avea un grafic al unei funcții?

Nici unul, unu, doi, trei... sau un număr infinit. Nu vom merge departe pentru exemple, vom reaminti funcții elementare. Parabola, parabola cubică, sinusoida nu au deloc asimptote. Graficul unei funcții logaritmice exponențiale are o singură asimptotă. Arctangente, arccotangent are două dintre ele, iar tangenta, cotangentă are un număr infinit. Nu este neobișnuit ca un grafic să aibă atât asimptote orizontale, cât și verticale. Hyperbole, te va iubi mereu.

Ce înseamnă să găsești asimptotele unui grafic al unei funcții?

Aceasta înseamnă să aflați ecuațiile lor și să trasați linii drepte dacă starea problemei o cere. Procesul presupune găsirea limitelor funcției.

Asimptotele verticale ale unui grafic al unei funcții

Asimptota verticală a graficului, de regulă, se află în punctul de discontinuitate infinită a funcției. Este simplu: dacă într-un punct funcția suferă o întrerupere infinită, atunci linia dreaptă dată de ecuație este asimptota verticală a graficului.

Notă: Rețineți că notația este folosită pentru a se referi la două concepte complet diferite. Punctul este implicit sau ecuația unei linii drepte - depinde de context.

Astfel, pentru a stabili prezența unei asimptote verticale într-un punct, este suficient să arătăm că cel puțin una dintre limitele unilaterale este infinită. Cel mai adesea, acesta este punctul în care numitorul funcției este egal cu zero. De fapt, am găsit deja asimptote verticale în ultimele exemple ale lecției despre continuitatea unei funcții. Dar, în unele cazuri, există o singură limită unilaterală, iar dacă este infinită, atunci din nou - iubiți și favorizați asimptota verticală. Cea mai simplă ilustrație: și axa y.

Din cele de mai sus rezultă și faptul evident: dacă funcția este continuă, atunci nu există asimptote verticale. Din anumite motive, mi-a venit în minte o parabolă. Într-adevăr, unde poți „lipi” o linie dreaptă aici? ... da... înțeleg... adepții unchiului Freud înghesuiți în isterici =)

Afirmația inversă nu este în general adevărată: de exemplu, funcția nu este definită pe întreaga linie reală, dar este complet lipsită de asimptote.

Asimptote oblice ale unui grafic al unei funcții

Asimptotele oblice (ca caz special - orizontale) pot fi trase dacă argumentul funcției tinde spre „plus infinit” sau „minus infinit”. Prin urmare, graficul unei funcții nu poate avea mai mult de 2 asimptote oblice. De exemplu, graficul unei funcții exponențiale are o singură asimptotă orizontală la, iar graficul arc-tangentei la are două astfel de asimptote și altele diferite.

Definiție . O asimptotă a unui grafic al unei funcții este o linie dreaptă care are proprietatea că distanța de la punctul graficului funcției la această dreaptă tinde spre zero cu o distanță nelimitată de la originea punctului grafic..

După metodele de găsire a acestora, se disting trei tipuri de asimptote: verticale, orizontale, oblice.

Evident, cele orizontale sunt cazuri speciale de cele înclinate (pentru ).

Găsirea asimptotelor graficului funcției se bazează pe următoarele afirmații.

Teorema 1 . Fie ca funcția să fie definită cel puțin într-o semi-vecinătate a punctului și să fie cel puțin una dintre limitele sale unilaterale să fie infinită în acest punct, i.e. egal. Atunci linia dreaptă este asimptota verticală a graficului funcției.

Astfel, asimptotele verticale ale graficului funcției trebuie căutate în punctele de discontinuitate ale funcției sau la capetele domeniului său de definiție (dacă acestea sunt numere finite).

Teorema 2 . Să fie definită funcția pentru valorile argumentelor care sunt suficient de mari în valoare absolută și există o limită finită a funcției . Atunci linia este asimptota orizontală a graficului funcției.

Se poate întâmpla ca , A , și sunt numere finite, atunci graficul are două asimptote orizontale diferite: stângaci și dreptaci. Dacă există doar una dintre limitele finite sau, atunci graficul are fie o asimptotă orizontală din stânga, fie una din dreapta.

Teorema 3 . Să fie definită funcția pentru valori ale argumentului care sunt suficient de mari în valoare absolută și există limite finite și . Atunci linia dreaptă este asimptota oblică a graficului funcției.

Rețineți că dacă cel puțin una dintre aceste limite este infinită, atunci nu există nicio asimptotă oblică.

Asimptota oblică, ca și cea orizontală, poate fi unilaterală.

Exemplu. Găsiți toate asimptotele graficului funcției.

Decizie.

Funcția este definită cu . Să găsim limitele sale unilaterale în puncte.

La fel de și (celelalte două limite unilaterale nu mai pot fi găsite), atunci liniile sunt asimptotele verticale ale graficului funcției.

Calcula

(aplica regula lui L'Hopital) = .

Deci linia este o asimptotă orizontală.

Deoarece asimptota orizontală există, nu mai căutăm asimptote oblice (nu există).

Răspuns: Graficul are două asimptote verticale și una orizontală.

Studiu general al funcțieiy = f (X ).

Domeniul de aplicare a funcției. Găsiți-i domeniul D(f). Dacă nu este prea dificil, atunci este util să găsiți și gama E(f). (Cu toate acestea, în multe cazuri, problema găsirii E(f) este întârziată până când se găsesc extremele funcției.)

Proprietăți speciale ale unei funcții. Aflați proprietățile generale ale funcției: par, impar, periodicitate etc. Nu orice funcție are proprietăți precum par sau impar. O funcție nu este cu siguranță nici pară, nici impară dacă domeniul ei de definiție este asimetric față de punctul 0 de pe axă Bou. În același mod, pentru orice funcție periodică, domeniul de definiție constă fie din întreaga axă reală, fie din unirea sistemelor de intervale care se repetă periodic.

Asimptote verticale. Aflați cum se comportă funcția atunci când argumentul se apropie de punctele limită ale domeniului de definiție D(f) dacă există astfel de puncte de limită. În acest caz, pot apărea asimptote verticale. Dacă funcția are astfel de puncte de discontinuitate la care nu este definită, atunci aceste puncte sunt de asemenea verificate pentru prezența asimptotelor verticale ale funcției.

Asimptote oblice și orizontale. Dacă domeniul de aplicare D(f) include raze de forma (a;+) sau (−;b), atunci putem încerca să găsim asimptote oblice (sau asimptote orizontale) la x+ sau, respectiv, x−, i.e. găsiți limxf(x). Asimptote oblice : y = kx + b, unde k=limx+xf(x) și b=limx+(f(x)−x). Asimptote orizontale : y = b, unde limxf(x)=b.

Găsirea punctelor de intersecție ale graficului cu axele. Aflarea punctului de intersecție a graficului cu axa Oi. Pentru a face acest lucru, trebuie să calculați valoarea f(0). Găsiți și punctele de intersecție ale graficului cu axa Bou, de ce găsiți rădăcinile ecuației f(X) = 0 (sau asigurați-vă că nu există rădăcini). Ecuația poate fi adesea rezolvată doar aproximativ, dar separarea rădăcinilor ajută la înțelegerea mai bună a structurii graficului. Apoi, trebuie să determinați semnul funcției pe intervalele dintre rădăcini și punctele de rupere.

Găsirea punctelor de intersecție ale graficului cu asimptota.În unele cazuri, poate fi necesar să se găsească puncte caracteristice ale graficului care nu au fost menționate în paragrafele precedente. De exemplu, dacă funcția are o asimptotă oblică, atunci puteți încerca să aflați dacă există puncte de intersecție ale graficului cu această asimptotă.

Găsirea intervalelor de convexitate și concavitate. Acest lucru se face prin examinarea semnului derivatei a doua f(x). Aflați punctele de inflexiune la joncțiunile intervalelor convexe și concavități. Calculați valoarea funcției la punctele de inflexiune. Dacă funcția are alte puncte de continuitate (altele decât punctele de inflexiune) la care derivata a doua este egală cu 0 sau nu există, atunci în aceste puncte este util să se calculeze și valoarea funcției. După ce am găsit f(x) , rezolvăm inegalitatea f(x)0. Pe fiecare dintre intervalele de soluție, funcția va fi convexă în jos. Rezolvând inegalitatea inversă f(x)0, găsim intervalele pe care funcția este convexă în sus (adică concavă). Definim punctele de inflexiune ca acele puncte în care funcția schimbă direcția de convexitate (și este continuă).

Cum se introduc formule matematice pe site?

Dacă vreodată trebuie să adăugați una sau două formule matematice pe o pagină web, atunci cel mai simplu mod de a face acest lucru este cel descris în articol: formulele matematice sunt ușor de introdus în site sub formă de imagini pe care Wolfram Alpha le generează automat. Pe lângă simplitate, această metodă universală va ajuta la îmbunătățirea vizibilității site-ului în motoarele de căutare. Funcționează de mult (și cred că va funcționa pentru totdeauna), dar este depășit din punct de vedere moral.

Dacă, pe de altă parte, utilizați în mod constant formule matematice pe site-ul dvs., atunci vă recomand să utilizați MathJax, o bibliotecă JavaScript specială care afișează notații matematice în browserele web folosind markup MathML, LaTeX sau ASCIIMathML.

Există două moduri de a începe să utilizați MathJax: (1) folosind un cod simplu, puteți conecta rapid un script MathJax la site-ul dvs., care va fi încărcat automat de pe un server la distanță la momentul potrivit (lista de servere); (2) încărcați scriptul MathJax de pe un server la distanță pe serverul dvs. și conectați-l la toate paginile site-ului dvs. A doua metodă este mai complicată și consumatoare de timp și vă va permite să accelerați încărcarea paginilor site-ului dvs., iar dacă serverul MathJax părinte devine temporar indisponibil dintr-un motiv oarecare, acest lucru nu vă va afecta în niciun fel propriul site. În ciuda acestor avantaje, am ales prima metodă, deoarece este mai simplă, mai rapidă și nu necesită abilități tehnice. Urmează exemplul meu și în 5 minute vei putea folosi toate funcțiile MathJax pe site-ul tău.

Puteți conecta scriptul de bibliotecă MathJax de la un server la distanță folosind două opțiuni de cod preluate de pe site-ul principal MathJax sau de pe pagina de documentație:

Una dintre aceste opțiuni de cod trebuie să fie copiată și lipită în codul paginii dvs. web, de preferință între etichete și sau imediat după etichetă . Conform primei opțiuni, MathJax se încarcă mai repede și încetinește pagina mai puțin. Dar a doua opțiune urmărește și încarcă automat cele mai recente versiuni de MathJax. Dacă introduceți primul cod, atunci acesta va trebui actualizat periodic. Dacă lipiți al doilea cod, atunci paginile se vor încărca mai lent, dar nu va trebui să monitorizați în mod constant actualizările MathJax.

Cel mai simplu mod de a conecta MathJax este în Blogger sau WordPress: în panoul de control al site-ului, adăugați un widget conceput pentru a insera cod JavaScript de la terți, copiați prima sau a doua versiune a codului de încărcare prezentat mai sus în el și plasați widgetul mai aproape la începutul șablonului (apropo, acest lucru nu este deloc necesar, deoarece scriptul MathJax este încărcat asincron). Asta e tot. Acum aflați sintaxa de marcare MathML, LaTeX și ASCIIMathML și sunteți gata să încorporați formule matematice în paginile dvs. web.

Orice fractal este construit după o anumită regulă, care este aplicată în mod constant de un număr nelimitat de ori. Fiecare astfel de timp este numit o iterație.

Algoritmul iterativ pentru construirea unui burete Menger este destul de simplu: cubul original cu latura 1 este împărțit de planuri paralele cu fețele sale în 27 de cuburi egale. Un cub central și 6 cuburi adiacente acestuia de-a lungul fețelor sunt îndepărtate din el. Se dovedește un set format din 20 de cuburi mai mici rămase. Făcând același lucru cu fiecare dintre aceste cuburi, obținem un set format din 400 de cuburi mai mici. Continuând acest proces la nesfârșit, obținem buretele Menger.

O hiperbolă este un loc de puncte a cărui diferență de distanță față de două puncte date, numite focare, este o valoare constantă (această constantă trebuie să fie pozitivă și mai mică decât distanța dintre focare).

Notăm această constantă cu 2a, notăm distanța dintre focare și alegem axele de coordonate în același mod ca în § 3. Fie un punct arbitrar al hiperbolei.

Prin definiția unei hiperbole

În partea dreaptă a egalității, trebuie să alegeți un semn plus dacă și un semn minus dacă

Deoarece ultima egalitate poate fi scrisă ca:

Aceasta este ecuația hiperbolei în sistemul de coordonate ales.

Eliberându-ne de radicali din această ecuație (ca în § 3), putem reduce ecuația la forma sa cea mai simplă.

Transferând primul radical în partea dreaptă a egalității și pătratând ambele părți, după transformări evidente obținem:

Din nou, punând la pătrat ambele părți ale egalității, efectuând o reducere a termenilor similari și împărțind la un termen liber, obținem:

Din moment ce , valoarea este pozitivă. Indicând-o prin , adică setare

obţinem ecuaţia canonică a hiperbolei.

Studiem forma unei hiperbole.

1) Simetriile unei hiperbole. Deoarece ecuația (3) conține doar pătratele coordonatelor curente, axele de coordonate sunt axele de simetrie ale hiperbolei (vezi afirmația analogă pentru elipsă). Axa de simetrie a hiperbolei, pe care sunt situate focarele, se numește axa focală. Punctul de intersecție al axelor de simetrie - centrul de simetrie - se numește centrul hiperbolei. Pentru hiperbola dată de ecuația (3), axa focală coincide cu axa Ox, iar originea este centrul.

2) Puncte de intersecție cu axele de simetrie. Aflați punctele de intersecție ale hiperbolei cu axele de simetrie - vârfurile hiperbolei. Presupunând în ecuație găsim abscisele punctelor de intersecție ale hiperbolei cu axa

Prin urmare, punctele sunt vârfurile hiperbolei (Fig. 51); distanța dintre ele este de 2a. Pentru a găsi punctele de intersecție cu axa Oy, punem în ecuația Obținem ecuația pentru a determina ordonatele acestor puncte

adică pentru y am obținut valori imaginare; aceasta înseamnă că axa y nu intersectează hiperbolele.

În conformitate cu aceasta, axa de simetrie care intersectează hiperbola se numește axa reală de simetrie (axa focală), axa de simetrie care nu intersectează hiperbolele se numește axa imaginară de simetrie. Pentru o hiperbolă dată de ecuația (3), axa reală de simetrie este axa, axa imaginară de simetrie este axa Segmentul care leagă vârfurile hiperbolei, precum și lungimea ei 2a, se numește axa reală a hiperbola. Dacă pe axa imaginară de simetrie a hiperbolei, de ambele părți ale centrului său O, segmentele OB și lungimea b, atunci segmentul și, de asemenea, lungimea lui se numesc axa imaginară a hiperbolei. Mărimile a și b se numesc semiaxele reale și, respectiv, imaginare ale hiperbolei.

3) Forma unei hiperbole. Când se examinează forma unei hiperbole, este suficient să se ia în considerare valorile pozitive ale lui x și y, deoarece curba este situată simetric în raport cu axele de coordonate.

Deoarece din ecuația (3) rezultă că 1, atunci poate varia de la a la Când crește de la a la apoi Y crește și de la 0 la Curba are forma prezentată în Fig. 51. Este situat în afara fâșiei delimitate prin linii drepte și este format din două ramuri separate. Pentru orice punct M al uneia dintre aceste ramuri (ramură dreapta), pentru orice punct M al altei ramuri (ramură stângă).

4) Asimptotele unei hiperbole. Pentru a vă imagina mai clar forma unei hiperbole, luați în considerare două linii drepte strâns legate de aceasta - așa-numitele asimptote.

Presupunând că x și y sunt pozitive, rezolvăm ecuația (3) a hiperbolei în raport cu ordonata y:

Să comparăm ecuația cu ecuația unei drepte, numind după caz ​​două puncte situate respectiv pe această dreaptă și respectiv pe hiperbolă și având aceeași abscisă (Fig. 51). Evident, diferența Y - la ordonatele punctelor corespunzătoare exprimă distanța dintre ele, adică.

Să arătăm că, pe măsură ce distanța MN crește la infinit, pe măsură ce ucide, ea tinde spre zero. Într-adevăr,

După simplificare, obținem:

Din ultima formulă, vedem că cu o creștere nelimitată a abscisei, distanța MN scade și tinde spre zero. Rezultă că atunci când punctul M, care se deplasează de-a lungul hiperbolei în primul cadran, se îndepărtează la infinit, atunci distanța sa față de linia dreaptă scade și tinde spre zero. Aceeași circumstanță va avea loc atunci când punctul M se mișcă de-a lungul hiperbolei în cadranul trei (datorită simetriei față de originea O).

În sfârșit, datorită simetriei hiperbolei față de axa Oy, vom obține a doua dreaptă situată simetric cu dreapta, de care punctul M se va apropia și el la nesfârșit atunci când se va deplasa de-a lungul hiperbolei și se va îndepărta la infinit ( în al doilea și al patrulea cadran).

Aceste două drepte sunt numite asimptotele hiperbolei și, după cum am văzut, au ecuațiile:

Evident, asimptotele hiperbolei sunt situate de-a lungul diagonalelor unui dreptunghi, a cărui latură este paralelă cu axa Ox și egală cu 2a, cealaltă este paralelă cu axa Oy și egală cu și centrul se află la origine ( vezi Fig. 51).

Când desenați o hiperbolă conform ecuației sale, este recomandat să construiți mai întâi asimptotele acesteia.

Hiperbola echilaterală. În cazul unei hiperbole se numește echilateral; ecuația sa se obține din (3) și are forma:

În mod evident, pantele asimptotelor pentru o hiperbolă echilaterală vor fi. Prin urmare, asimptotele unei hiperbole echilaterale sunt perpendiculare între ele și bisectează unghiurile dintre axele sale de simetrie.