Sa incepem cu proprietățile logaritmului unității. Formularea sa este următoarea: logaritmul unității este egal cu zero, adică log a 1=0 pentru orice a>0, a≠1. Demonstrarea este simplă: deoarece a 0 =1 pentru orice a care îndeplinește condițiile de mai sus a>0 și a≠1 , atunci egalitatea dovedită log a 1=0 urmează imediat din definiția logaritmului.
Să dăm exemple de aplicare a proprietății considerate: log 3 1=0 , lg1=0 și .
Să trecem la următoarea proprietate: logaritmul unui număr egal cu baza este egal cu unu, adică log a a=1 pentru a>0, a≠1. Într-adevăr, deoarece a 1 =a pentru orice a , atunci prin definiția logaritmului log a a=1 .
Exemple de utilizare a acestei proprietăți a logaritmilor sunt log 5 5=1 , log 5.6 5.6 și lne=1 .
De exemplu, log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 și 
.
Logaritmul produsului a două numere pozitive x și y este egal cu produsul logaritmilor acestor numere: log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1. Să demonstrăm proprietatea logaritmului produsului. Datorită proprietăților gradului a log a x+log a y =a log a x a log a y, și deoarece prin identitatea logaritmică principală un log a x =x și un log a y =y , atunci un log a x a log a y =x y . Astfel, un log a x+log a y =x y , de unde egalitatea cerută urmează prin definiția logaritmului.
Să arătăm exemple de utilizare a proprietății logaritmului produsului: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 și 
.
Proprietatea logaritmului produsului poate fi generalizată la produsul unui număr finit n de numere pozitive x 1 , x 2 , …, x n ca log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Această egalitate este ușor de demonstrat.
De exemplu, logaritmul natural al unui produs poate fi înlocuit cu suma a trei logaritmi naturali ai numerelor 4 , e , și .
Logaritmul câtului a două numere pozitive x și y este egal cu diferența dintre logaritmii acestor numere. Proprietatea logaritmului coeficientului corespunde unei formule de forma , unde a>0 , a≠1 , x și y sunt niște numere pozitive. Valabilitatea acestei formule este dovedită ca formula pentru logaritmul produsului: din moment ce 
, apoi prin definiția logaritmului .
Iată un exemplu de utilizare a acestei proprietăți a logaritmului: 
.
Să trecem la proprietatea logaritmului gradului. Logaritmul unui grad este egal cu produsul exponentului și logaritmul modulului bazei acestui grad. Scriem această proprietate a logaritmului gradului sub forma unei formule: log a b p =p log a |b|, unde a>0, a≠1, b și p sunt numere astfel încât gradul lui b p are sens și b p >0.
Mai întâi demonstrăm această proprietate pentru b pozitiv. Identitatea logaritmică de bază ne permite să reprezentăm numărul b ca un log a b , apoi b p =(a log a b) p , iar expresia rezultată, datorită proprietății puterii, este egală cu a p log a b . Ajungem deci la egalitatea b p =a p log a b , din care, prin definiția logaritmului, concluzionăm că log a b p =p log a b .
Rămâne de demonstrat această proprietate pentru negativul b . Aici observăm că expresia log a b p pentru negativ b are sens doar pentru exponenții pari p (deoarece valoarea gradului b p trebuie să fie mai mare decât zero, altfel logaritmul nu va avea sens), iar în acest caz b p =|b| p . Apoi b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, de unde log a b p =p log a |b| .
De exemplu, 
și ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 .
Rezultă din proprietatea anterioară proprietatea logaritmului de la rădăcină: logaritmul rădăcinii de gradul al n-lea este egal cu produsul fracției 1/n și logaritmul expresiei rădăcinii, adică 
, unde a>0 , a≠1 , n este un număr natural mai mare decât unu, b>0 .
Dovada se bazează pe egalitatea (vezi ), care este valabilă pentru orice b pozitiv și pe proprietatea logaritmului gradului: 
.
Iată un exemplu de utilizare a acestei proprietăți: 
.
Acum să demonstrăm formula de conversie la noua bază a logaritmului drăguț 
. Pentru a face acest lucru, este suficient să dovedim validitatea egalității log c b=log a b log c a . Identitatea logaritmică de bază ne permite să reprezentăm numărul b ca log a b , apoi log c b=log c a log a b . Rămâne să folosim proprietatea logaritmului gradului: log c a log a b = log a b log c a. Astfel, se dovedește egalitatea log c b=log a b log c a, ceea ce înseamnă că se dovedește și formula pentru trecerea la o nouă bază a logaritmului.
Să arătăm câteva exemple de aplicare a acestei proprietăți a logaritmilor: și 
.
Formula pentru trecerea la o nouă bază vă permite să treceți la lucrul cu logaritmi care au o bază „convenabilă”. De exemplu, poate fi folosit pentru a merge la logaritmi naturali sau zecimali, astfel încât să puteți calcula valoarea logaritmului din tabelul de logaritmi. Formula pentru trecerea la o nouă bază a logaritmului permite, de asemenea, în unele cazuri să se găsească valoarea unui logaritm dat, când sunt cunoscute valorile unor logaritmi cu alte baze.
Deseori folosit este un caz special al formulei pentru trecerea la o nouă bază a logaritmului pentru c=b de forma 
. Aceasta arată că log a b și log b a – . De exemplu, 
.
De asemenea, este des folosită formula 
, care este util pentru găsirea valorilor logaritmice. Pentru a ne confirma cuvintele, vom arăta cum se calculează valoarea logaritmului formei folosindu-l. Noi avem 
. Pentru a demonstra formula 
este suficient să folosiți formula de tranziție la noua bază a logaritmului a: 
.
Rămâne de demonstrat proprietățile de comparație ale logaritmilor.
Să demonstrăm că pentru orice numere pozitive b 1 și b 2 , b 1 log a b 2 , iar pentru a>1, inegalitatea log a b 1 În cele din urmă, rămâne de demonstrat ultima dintre proprietățile enumerate ale logaritmilor. Ne limităm la demonstrarea primei sale părți, adică demonstrăm că dacă a 1 >1 , a 2 >1 și a 1 1 este adevărat log a 1 b>log a 2 b . Enunțurile rămase ale acestei proprietăți a logaritmilor sunt dovedite printr-un principiu similar. Să folosim metoda opusă. Să presupunem că pentru a 1 >1 , a 2 >1 și a 1 1 log a 1 b≤log a 2 b este adevărat. Prin proprietățile logaritmilor, aceste inegalități pot fi rescrise ca 
și 
respectiv, iar din acestea rezultă că log b a 1 ≤log b a 2 și, respectiv, log b a 1 ≥log b a 2. Atunci, prin proprietățile puterilor cu aceleași baze, trebuie îndeplinite egalitățile b log b a 1 ≥b log b a 2 și b log b a 1 ≥b log b a 2, adică a 1 ≥a 2 . Astfel, am ajuns la o contradicție cu condiția a 1
Bibliografie.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. şi alţii.Algebra şi începuturile analizei: un manual pentru clasele 10-11 ale instituţiilor de învăţământ general.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice).
Odată cu dezvoltarea societății, complexitatea producției, s-a dezvoltat și matematica. Mișcare de la simplu la complex. Din metoda contabilă obișnuită de adunare și scădere, cu repetarea lor repetată, s-a ajuns la conceptul de înmulțire și împărțire. Reducerea operației de multiplicare repetată a devenit conceptul de exponențiere. Primele tabele ale dependenței numerelor de bază și ale numărului de exponențiere au fost întocmite încă din secolul al VIII-lea de către matematicianul indian Varasena. Din ele, puteți număra timpul de apariție a logaritmilor.
Contur istoric
Reînvierea Europei în secolul al XVI-lea a stimulat și dezvoltarea mecanicii. T a necesitat o cantitate mare de calcul asociat cu înmulțirea și împărțirea numerelor cu mai multe cifre. Mesele antice au făcut un serviciu grozav. Au făcut posibilă înlocuirea operațiilor complexe cu altele mai simple - adunarea și scăderea. Un mare pas înainte a fost lucrarea matematicianului Michael Stiefel, publicată în 1544, în care a realizat ideea multor matematicieni. Acest lucru a făcut posibilă utilizarea tabelelor nu numai pentru grade sub formă de numere prime, ci și pentru cele raționale arbitrare.
În 1614, scoțianul John Napier, dezvoltând aceste idei, a introdus pentru prima dată noul termen „logaritm al unui număr”. Au fost compilate noi tabele complexe pentru calcularea logaritmilor sinusurilor și cosinusurilor, precum și a tangentelor. Acest lucru a redus foarte mult munca astronomilor.
Au început să apară tabele noi, care au fost folosite cu succes de oamenii de știință timp de trei secole. A trecut mult timp înainte ca noua operație în algebră să-și dobândească forma finală. A fost definit logaritmul și au fost studiate proprietățile acestuia.
Abia în secolul al XX-lea, odată cu apariția calculatorului și a calculatorului, omenirea a abandonat vechile mese care funcționau cu succes de-a lungul secolelor al XIII-lea.
Astăzi numim logaritmul lui b pentru a baza numărul x, care este puterea lui a, pentru a obține numărul b. Aceasta se scrie sub formă de formulă: x = log a(b).
De exemplu, log 3(9) va fi egal cu 2. Acest lucru este evident dacă urmați definiția. Dacă ridicăm 3 la puterea lui 2, obținem 9.
Astfel, definiția formulată pune o singură restricție, numerele a și b trebuie să fie reale.
Varietăți de logaritmi
Definiția clasică se numește logaritm real și este de fapt o soluție a ecuației a x = b. Opțiunea a = 1 este limită și nu prezintă interes. Notă: 1 la orice putere este 1.
Valoarea reală a logaritmului definit numai dacă baza și argumentul sunt mai mari decât 0, iar baza nu trebuie să fie egală cu 1.
Loc deosebit în domeniul matematicii jucați logaritmi, care vor fi denumiti în funcție de valoarea bazei lor:
Reguli și restricții
Proprietatea fundamentală a logaritmilor este regula: logaritmul unui produs este egal cu suma logaritmică. log abp = log a(b) + log a(p).
Ca o variantă a acestei declarații, va fi: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), funcția coeficient este egală cu diferența funcțiilor.
Este ușor de observat din cele două reguli anterioare că: log a(b p) = p * log a(b).
Alte proprietăți includ:
Cometariu. Nu faceți o greșeală comună - logaritmul sumei nu este egal cu suma logaritmilor.
Timp de multe secole, operația de găsire a logaritmului a fost o sarcină destul de consumatoare de timp. Matematicienii au folosit formula binecunoscută a teoriei logaritmice a expansiunii într-un polinom:
ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), unde n este un număr natural mai mare decât 1, care determină acuratețea calculului.
Logaritmii cu alte baze au fost calculati folosind teorema trecerii de la o baza la alta si proprietatea logaritmului produsului.
Întrucât această metodă este foarte laborioasă și la rezolvarea problemelor practice greu de implementat, au folosit tabele de logaritmi pre-compilate, care au accelerat foarte mult întreaga activitate.
În unele cazuri, s-au folosit grafice de logaritmi special compilate, care au oferit mai puțină acuratețe, dar au accelerat semnificativ căutarea valorii dorite. Curba funcției y = log a(x), construită pe mai multe puncte, permite utilizarea riglei obișnuite pentru a găsi valorile funcției în orice alt punct. Multă vreme, inginerii au folosit așa-numita hârtie milimetrică în aceste scopuri.
În secolul al XVII-lea, au apărut primele condiții auxiliare de calcul analogic, care până în secolul al XIX-lea dobândiseră o formă finită. Cel mai de succes dispozitiv a fost numit regulă de calcul. În ciuda simplității dispozitivului, aspectul său a accelerat semnificativ procesul tuturor calculelor de inginerie, iar acest lucru este dificil de supraestimat. În prezent, puțini oameni sunt familiarizați cu acest dispozitiv.
Apariția calculatoarelor și calculatoarelor a făcut să fie inutilă utilizarea oricăror alte dispozitive.
Ecuații și inegalități
Următoarele formule sunt utilizate pentru a rezolva diverse ecuații și inegalități folosind logaritmi:
- Trecerea de la o bază la alta: log a(b) = log c(b) / log c(a);
- Ca o consecință a versiunii anterioare: log a(b) = 1 / log b(a).
Pentru a rezolva inegalitățile, este util să cunoaștem:
- Valoarea logaritmului va fi pozitivă numai dacă atât baza, cât și argumentul sunt ambele mai mari sau mai mici decât unu; dacă cel puțin o condiție este încălcată, valoarea logaritmului va fi negativă.
- Dacă funcția logaritm este aplicată în partea dreaptă și stângă a inegalității, iar baza logaritmului este mai mare decât unu, atunci semnul inegalității este păstrat; altfel, se schimba.
Exemple de sarcini
Luați în considerare mai multe opțiuni pentru utilizarea logaritmilor și proprietățile acestora. Exemple cu rezolvarea ecuațiilor:
Luați în considerare opțiunea de a plasa logaritmul în grad:
- Sarcina 3. Calculați 25^log 5(3). Rezolvare: în condițiile problemei, notația este similară cu următoarea (5^2)^log5(3) sau 5^(2 * log 5(3)). Să-l scriem diferit: 5^log 5(3*2), sau pătratul unui număr ca argument funcție poate fi scris ca pătrat al funcției în sine (5^log 5(3))^2. Folosind proprietățile logaritmilor, această expresie este 3^2. Răspuns: ca rezultat al calculului obținem 9.
Uz practic
Fiind un instrument pur matematic, pare departe de viața reală faptul că logaritmul a câștigat dintr-o dată multă importanță în descrierea obiectelor din lumea reală. Este greu să găsești o știință în care să nu fie folosită. Acest lucru se aplică pe deplin nu numai în domeniul natural, ci și în domeniul cunoașterii umaniste.
Dependențe logaritmice
Iată câteva exemple de dependențe numerice:
Mecanica si fizica
Din punct de vedere istoric, mecanica și fizica s-au dezvoltat întotdeauna folosind metode de cercetare matematică și, în același timp, au servit drept stimulent pentru dezvoltarea matematicii, inclusiv a logaritmilor. Teoria majorității legilor fizicii este scrisă în limbajul matematicii. Dăm doar două exemple de descriere a legilor fizice folosind logaritmul.
Este posibil să se rezolve problema calculării unei cantități atât de complexe precum viteza unei rachete folosind formula Tsiolkovsky, care a pus bazele teoriei explorării spațiului:
V = I * ln(M1/M2), unde
- V este viteza finală a aeronavei.
- I este impulsul specific al motorului.
- M 1 este masa inițială a rachetei.
- M 2 - masa finală.
Un alt exemplu important- aceasta este utilizarea în formula unui alt mare om de știință, Max Planck, care servește la evaluarea stării de echilibru în termodinamică.
S = k * ln (Ω), unde
- S este o proprietate termodinamică.
- k este constanta Boltzmann.
- Ω este ponderea statistică a diferitelor stări.
Chimie
Mai puțin evidentă ar fi utilizarea formulelor în chimie care conțin raportul logaritmilor. Iată doar două exemple:
- Ecuația Nernst, starea potențialului redox al mediului în raport cu activitatea substanțelor și constanta de echilibru.
- De asemenea, calculul unor constante precum indicele de autoproliză și aciditatea soluției nu este complet fără funcția noastră.
Psihologie și biologie
Și este complet de neînțeles ce legătură are psihologia cu asta. Se pare că puterea senzației este bine descrisă de această funcție ca raportul invers dintre valoarea intensității stimulului și valoarea intensității inferioare.
După exemplele de mai sus, nu mai este de mirare că tema logaritmilor este utilizată pe scară largă și în biologie. Se pot scrie volume întregi despre formele biologice corespunzătoare spiralelor logaritmice.
Alte domenii
Se pare că existența lumii este imposibilă fără legătură cu această funcție și guvernează toate legile. Mai ales când legile naturii sunt legate de o progresie geometrică. Merită să vă referiți la site-ul MatProfi și există multe astfel de exemple în următoarele domenii de activitate:
Lista ar putea fi nesfârșită. După ce stăpânești legile de bază ale acestei funcții, te poți cufunda în lumea înțelepciunii infinite.
Ce este un logaritm?
Atenţie!
Sunt suplimentare
material în secțiunea specială 555.
Pentru cei care puternic „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)
Ce este un logaritm? Cum se rezolvă logaritmii? Aceste întrebări îi încurcă pe mulți absolvenți. În mod tradițional, subiectul logaritmilor este considerat complex, de neînțeles și înfricoșător. Mai ales - ecuații cu logaritmi.
Acest lucru nu este absolut adevărat. Absolut! Nu crezi? Bun. Acum, timp de aproximativ 10 - 20 de minute:
1. Înțelegeți ce este un logaritm.
2. Învață să rezolvi o întreagă clasă de ecuații exponențiale. Chiar dacă nu ai auzit de ei.
3. Învață să calculezi logaritmi simpli.
Mai mult, pentru aceasta, va trebui să cunoașteți doar tabla înmulțirii și cum se ridică un număr la o putere...
Simt că te îndoiești... Ei bine, ține timpul! Merge!
Mai întâi, rezolvă următoarea ecuație în minte:
Daca va place acest site...
Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)
Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)
vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.
În raport cu
sarcina de a găsi oricare dintre cele trei numere din celelalte două, date, poate fi stabilită. Dat a și atunci N se găsește prin exponențiere. Dacă sunt date N și atunci a se găsește prin extragerea rădăcinii puterii x (sau exponentiației). Acum luați în considerare cazul în care, dat fiind a și N, este necesar să găsiți x.
Fie numărul N pozitiv: numărul a este pozitiv și nu egal cu unu: .
Definiție. Logaritmul numărului N la baza a este exponentul la care trebuie să ridicați a pentru a obține numărul N; logaritmul este notat cu
Astfel, în egalitatea (26.1), exponentul se găsește ca logaritmul lui N la baza a. Intrări
au acelasi sens. Egalitatea (26.1) este uneori numită identitatea de bază a teoriei logaritmilor; de fapt, exprimă definiția conceptului de logaritm. Prin această definiție, baza logaritmului a este întotdeauna pozitivă și diferită de unitate; numărul logaritmabil N este pozitiv. Numerele negative și zero nu au logaritmi. Se poate demonstra că orice număr cu o bază dată are un logaritm bine definit. Prin urmare egalitatea presupune . Rețineți că condiția este esențială aici, altfel concluzia nu ar fi justificată, deoarece egalitatea este adevărată pentru orice valori ale lui x și y.
Exemplul 1. Găsiți
Decizie. Pentru a obține numărul, trebuie să ridicați baza 2 la putere Prin urmare.
Puteți înregistra atunci când rezolvați astfel de exemple în următoarea formă:
Exemplul 2. Găsiți .
Decizie. Noi avem
În exemplele 1 și 2, am găsit cu ușurință logaritmul dorit reprezentând numărul logaritmabil ca un grad de bază cu un exponent rațional. În cazul general, de exemplu, pentru etc., acest lucru nu se poate face, deoarece logaritmul are o valoare irațională. Să fim atenți la o întrebare legată de această afirmație. În § 12 am dat conceptul de posibilitate de a determina orice putere reală a unui număr pozitiv dat. Acest lucru a fost necesar pentru introducerea logaritmilor, care, în general, pot fi numere iraționale.
Luați în considerare câteva proprietăți ale logaritmilor.
Proprietatea 1. Dacă numărul și baza sunt egale, atunci logaritmul este egal cu unu și, invers, dacă logaritmul este egal cu unu, atunci numărul și baza sunt egale.
Dovada. Fie După definiția logaritmului, avem și de unde
Dimpotrivă, să fie Atunci prin definiție
Proprietatea 2. Logaritmul unității la orice bază este egal cu zero.
Dovada. După definiția logaritmului (puterea zero a oricărei baze pozitive este egală cu unu, vezi (10.1)). De aici
Q.E.D.
Afirmația inversă este de asemenea adevărată: dacă , atunci N = 1. Într-adevăr, avem .
Înainte de a afirma următoarea proprietate a logaritmilor, suntem de acord să spunem că două numere a și b se află de aceeași parte a unui al treilea număr c dacă ambele sunt fie mai mari decât c, fie mai mici decât c. Dacă unul dintre aceste numere este mai mare decât c și celălalt este mai mic decât c, atunci spunem că ele se află pe laturile opuse ale lui c.
Proprietatea 3. Dacă numărul și baza se află pe aceeași parte a unității, atunci logaritmul este pozitiv; dacă numărul și baza se află pe părți opuse ale unității, atunci logaritmul este negativ.
Dovada proprietății 3 se bazează pe faptul că gradul lui a este mai mare decât unu dacă baza este mai mare decât unu și exponentul este pozitiv, sau baza este mai mică decât unu și exponentul este negativ. Gradul este mai mic decât unu dacă baza este mai mare decât unu și exponentul este negativ sau baza este mai mică decât unu și exponentul este pozitiv.
Există patru cazuri care trebuie luate în considerare:
Ne limităm la analiza primei dintre ele, cititorul le va lua în considerare pe restul singur.
Fie atunci exponentul în egalitate să nu fie nici negativ, nici egal cu zero, prin urmare, este pozitiv, adică ceea ce trebuia să fie demonstrat.
Exemplul 3. Aflați care dintre următorii logaritmi sunt pozitivi și care sunt negativi:
Soluție, a) întrucât numărul 15 și baza 12 sunt situate pe aceeași parte a unității;
b) , întrucât 1000 și 2 sunt situate pe aceeași parte a unității; în același timp, nu este esențial ca baza să fie mai mare decât numărul logaritmic;
c), deoarece 3.1 și 0.8 se află pe părți opuse ale unității;
G) ; De ce?
e) ; De ce?
Următoarele proprietăți 4-6 sunt numite adesea regulile logaritmului: ele permit, cunoscând logaritmii unor numere, să se găsească logaritmii produsului, câtul, gradul fiecăruia dintre ele.
Proprietatea 4 (regula pentru logaritmul produsului). Logaritmul produsului mai multor numere pozitive dintr-o bază dată este egal cu suma logaritmilor acestor numere din aceeași bază.
Dovada. Să fie date numere pozitive.
Pentru logaritmul produsului lor, scriem egalitatea (26.1) care definește logaritmul:
De aici găsim
Comparând exponenții primei și ultimei expresii, obținem egalitatea necesară:
Rețineți că condiția este esențială; logaritmul produsului a două numere negative are sens, dar în acest caz obținem
În general, dacă produsul mai multor factori este pozitiv, atunci logaritmul său este egal cu suma logaritmilor modulelor acestor factori.
Proprietatea 5 (regula logaritmului coeficientului). Logaritmul unui coeficient de numere pozitive este egal cu diferența dintre logaritmii dividendului și divizorului, luați în aceeași bază. Dovada. Găsește în mod constant
Q.E.D.
Proprietatea 6 (regula logaritmului gradului). Logaritmul puterii oricărui număr pozitiv este egal cu logaritmul acelui număr înmulțit cu exponentul.
Dovada. Scriem din nou identitatea principală (26.1) pentru numărul:
Q.E.D.
Consecinţă. Logaritmul rădăcinii unui număr pozitiv este egal cu logaritmul rădăcinii numărului împărțit la exponentul rădăcinii:
Putem demonstra validitatea acestui corolar prezentând cum și folosind proprietatea 6.
Exemplul 4. Logaritmul la baza a:
a) (se presupune că toate valorile b, c, d, e sunt pozitive);
b) (se presupune că ).
Soluție, a) Este convenabil să trecem în această expresie la puteri fracționale:
Pe baza egalităților (26.5)-(26.7) putem scrie acum:
Observăm că asupra logaritmilor numerelor se efectuează operații mai simple decât asupra numerelor în sine: la înmulțirea numerelor se adună logaritmii acestora, la împărțire se scad etc.
De aceea logaritmii au fost folosiți în practica de calcul (vezi Sec. 29).
Acțiunea inversă logaritmului se numește potențare și anume: potențarea este acțiunea prin care acest număr însuși este găsit de logaritmul dat al unui număr. În esență, potențarea nu este o acțiune specială: se rezumă la ridicarea bazei la o putere (egală cu logaritmul numărului). Termenul de „potenciare” poate fi considerat sinonim cu termenul de „exponentiare”.
La potențare, este necesar să folosiți regulile care sunt inverse regulilor logaritmului: înlocuiți suma logaritmilor cu logaritmul produsului, diferența de logaritmi cu logaritmul coeficientului etc. În special, dacă există orice factor în fața semnului logaritmului, apoi în timpul potențarii trebuie transferat la grade indicatoare sub semnul logaritmului.
Exemplul 5. Aflați N dacă se știe că
Decizie. În legătură cu regula de potențare tocmai enunțată, factorii 2/3 și 1/3, care se află în fața semnelor logaritmilor din partea dreaptă a acestei egalități, vor fi transferați exponenților sub semnele acestor logaritmi; primim
Acum înlocuim diferența de logaritmi cu logaritmul coeficientului:
pentru a obține ultima fracție din acest lanț de egalități, am eliberat fracția anterioară de iraționalitatea la numitor (secțiunea 25).
Proprietatea 7. Dacă baza este mai mare decât unu, atunci numărul mai mare are un logaritm mai mare (și cel mai mic are unul mai mic), dacă baza este mai mică de unu, atunci numărul mai mare are un logaritm mai mic (și cel mai mic unul are unul mai mare).
Această proprietate este, de asemenea, formulată ca regulă pentru logaritmul inegalităților, ambele părți fiind pozitive:
Când luați logaritmul inegalităților la o bază mai mare decât unu, semnul inegalității este păstrat, iar când luați un logaritm la o bază mai mică de unu, semnul inegalității este inversat (vezi și articolul 80).
Demonstrarea se bazează pe proprietățile 5 și 3. Luați în considerare cazul în care Dacă , atunci și, luând logaritmul, obținem
(a și N/M se află pe aceeași parte a unității). De aici
Urmează cazul, cititorul își va da seama singur.
