Pentru a înțelege cum să adunăm fracții cu numitori diferiți, să studiem mai întâi regula și apoi să ne uităm la exemple specifice.
Pentru a adăuga sau scădea fracții cu numitori diferiți:
1) Găsiți (NOZ) fracții date.
2) Găsiți un factor suplimentar pentru fiecare fracție. Pentru a face acest lucru, noul numitor trebuie împărțit la vechiul.
3) Înmulțiți numărătorul și numitorul fiecărei fracții cu un factor suplimentar și adăugați sau scădeți fracții cu aceiași numitori.
4) Verificați dacă fracția rezultată este regulată și ireductibilă.
În următoarele exemple, trebuie să adăugați sau să scădeți fracții cu numitori diferiți:
1) Pentru a scădea fracții cu numitori diferiți, căutați mai întâi cel mai mic numitor comun al acestor fracții. Alegem cel mai mare dintre numere și verificăm dacă este divizibil cu cel mai mic. 25 nu este divizibil cu 20. Înmulțim 25 cu 2. 50 nu este divizibil cu 20. Înmulțim 25 cu 3. 75 nu este divizibil cu 20. Înmulțim 25 cu 4. 100 este divizibil cu 20. Deci cel mai mic numitor comun este 100.
2) Pentru a găsi un factor suplimentar pentru fiecare fracție, trebuie să împărțiți noul numitor la cel vechi. 100:25=4, 100:20=5. În consecință, pentru prima fracție un factor suplimentar este 4, pentru a doua - 5.
3) Înmulțim numărătorul și numitorul fiecărei fracții cu un factor suplimentar și scădem fracțiile conform regulii de scădere a fracțiilor cu aceiași numitori.
4) Fracția rezultată este regulată și ireductibilă. Deci acesta este răspunsul.
1) Pentru a adăuga fracții cu numitori diferiți, căutați mai întâi cel mai mic numitor comun. 16 nu este divizibil cu 12. 16∙2=32 nu este divizibil cu 12. 16∙3=48 este divizibil cu 12. Deci 48 este NOZ.
2) 48:16=3, 48:12=4. Aceștia sunt factori suplimentari pentru fiecare fracție.
3) înmulțiți numărătorul și numitorul fiecărei fracții cu un factor suplimentar și adăugați noile fracții.
4) Fracția rezultată este regulată și ireductibilă.
1) 30 nu este divizibil cu 20. 30∙2=60 este divizibil cu 20. Deci 60 este cel mai mic numitor comun al acestor fracții.
2) pentru a găsi un factor suplimentar pentru fiecare fracție, trebuie să împărțiți noul numitor la cel vechi: 60:20=3, 60:30=2.
3) înmulțiți numărătorul și numitorul fiecărei fracții cu un factor suplimentar și scădeți fracții noi.
4) fracția rezultată 5.
1) 8 nu este divizibil cu 6. 8∙2=16 nu este divizibil cu 6. 8∙3=24 este divizibil cu 4 și 6. Prin urmare, 24 este NOZ.
2) pentru a găsi un factor suplimentar pentru fiecare fracție, trebuie să împărțiți noul numitor la cel vechi. 24:8=3, 24:4=6, 24:6=4. Deci 3, 6 și 4 sunt factori suplimentari la prima, a doua și a treia fracție.
3) înmulțiți numărătorul și numitorul fiecărui dolby cu un factor suplimentar. Adunăm și scădem. Fracția rezultată este necorespunzătoare, așa că trebuie să selectați întreaga parte.
În această lecție, ne vom uita la reducerea fracțiilor la un numitor comun și vom rezolva probleme pe această temă. Să dăm o definiție a conceptului de numitor comun și a unui factor suplimentar, amintiți-vă despre numerele coprime. Să definim conceptul de cel mai mic numitor comun (LCD) și să rezolvăm o serie de probleme pentru a-l găsi.
Subiect: Adunarea și scăderea fracțiilor cu numitori diferiți
Lecția: Reducerea fracțiilor la un numitor comun
Repetiţie. Proprietatea de bază a fracției.
Dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt înmulțite sau împărțite cu același număr natural, atunci se va obține o fracție egală cu acesta.
De exemplu, numărătorul și numitorul unei fracții pot fi împărțite la 2. Obținem o fracție. Această operație se numește reducerea fracției. De asemenea, puteți efectua transformarea inversă prin înmulțirea numărătorului și numitorului fracției cu 2. În acest caz, spunem că am redus fracția la un nou numitor. Numărul 2 se numește factor suplimentar.
Concluzie. O fracție poate fi redusă la orice numitor care este un multiplu al numitorului fracției date. Pentru a aduce o fracție la un nou numitor, numărătorul și numitorul acesteia sunt înmulțite cu un factor suplimentar.
1. Aduceți fracția la numitorul 35.
Numărul 35 este un multiplu al lui 7, adică 35 e divizibil cu 7 fără rest. Deci această transformare este posibilă. Să găsim un factor suplimentar. Pentru a face acest lucru, împărțim 35 la 7. Obținem 5. Înmulțim numărătorul și numitorul fracției inițiale cu 5.
2. Aduceți fracția la numitorul 18.
Să găsim un factor suplimentar. Pentru a face acest lucru, împărțim noul numitor la cel original. Obținem 3. Înmulțim numărătorul și numitorul acestei fracții cu 3.
3. Aduceți fracția la numitorul 60.
Împărțind 60 la 15, obținem un multiplicator suplimentar. Este egal cu 4. Să înmulțim numărătorul și numitorul cu 4.
4. Aduceți fracția la numitorul 24
În cazuri simple, reducerea la un nou numitor se realizează în minte. Se obișnuiește să se indice doar un factor suplimentar în spatele parantezei puțin la dreapta și deasupra fracției inițiale.
O fracție poate fi redusă la un numitor de 15 și o fracție poate fi redusă la un numitor de 15. Fracțiile au un numitor comun de 15.
Numitorul comun al fracțiilor poate fi orice multiplu comun al numitorilor acestora. Pentru simplitate, fracțiile sunt reduse la cel mai mic numitor comun. Este egal cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor fracțiilor date.
Exemplu. Reduceți la cel mai mic numitor comun al fracției și .
Mai întâi, găsiți cel mai mic multiplu comun al numitorilor acestor fracții. Acest număr este 12. Să găsim un factor suplimentar pentru prima și a doua fracție. Pentru a face acest lucru, împărțim 12 la 4 și la 6. Trei este un factor suplimentar pentru prima fracție și doi pentru a doua. Aducem fracțiile la numitorul 12.
Am redus fracțiile la un numitor comun, adică am găsit fracții care sunt egale cu ele și au același numitor.
Regulă. Pentru a aduce fracțiile la cel mai mic numitor comun,
Mai întâi, găsiți cel mai mic multiplu comun al numitorilor acestor fracții, care va fi cel mai mic numitor comun al acestora;
În al doilea rând, împărțiți cel mai mic numitor comun la numitorii acestor fracții, adică găsiți un factor suplimentar pentru fiecare fracție.
În al treilea rând, înmulțiți numărătorul și numitorul fiecărei fracții cu factorul ei suplimentar.
a) Reduceți fracțiile și la un numitor comun.
Cel mai mic numitor comun este 12. Factorul suplimentar pentru prima fracție este 4, pentru a doua - 3. Aducem fracțiile la numitorul 24.
b) Reduceți fracțiile și la un numitor comun.
Cel mai mic numitor comun este 45. Împărțind 45 la 9 la 15, obținem 5 și, respectiv, 3. Aducem fracțiile la numitorul 45.
c) Reduceți fracțiile și la un numitor comun.
Numitorul comun este 24. Factorii suplimentari sunt 2, respectiv 3.
Uneori este dificil să găsiți verbal cel mai mic multiplu comun pentru numitorii fracțiilor date. Apoi numitorul comun și factorii suplimentari se găsesc prin factorizarea în factori primi.
Reduceți la un numitor comun al fracției și .
Să descompunem numerele 60 și 168 în factori primi. Să scriem expansiunea numărului 60 și să adăugăm factorii lipsă 2 și 7 din a doua expansiune. Înmulțiți 60 cu 14 și obțineți un numitor comun de 840. Factorul suplimentar pentru prima fracție este 14. Factorul suplimentar pentru a doua fracție este 5. Să reducem fracțiile la un numitor comun de 840.
Bibliografie
1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. si altele.Matematica 6. - M.: Mnemozina, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematica clasa a VI-a. - Gimnaziul, 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. În spatele paginilor unui manual de matematică. - Iluminismul, 1989.
4. Rurukin A.N., Chaikovsky I.V. Sarcini pentru cursul de matematică clasa 5-6. - ZSH MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Chaikovsky K.G. Matematică 5-6. Un manual pentru elevii clasei a VI-a ai școlii de corespondență MEPhI. - ZSH MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. si altele.Matematica: Un manual-interlocutor pentru clasele 5-6 de liceu. Biblioteca profesorului de matematică. - Iluminismul, 1989.
Puteți descărca cărțile specificate în clauza 1.2. această lecție.
Teme pentru acasă
Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. si altele.Matematica 6. - M .: Mnemozina, 2012. (vezi link 1.2)
Teme: Nr. 297, Nr. 298, Nr. 300.
Alte sarcini: #270, #290
În acest material, vom analiza cum să aducem corect fracțiile la un nou numitor, ce este un factor suplimentar și cum să-l găsim. După aceea, formulăm regula de bază pentru reducerea fracțiilor la noi numitori și o ilustrăm cu exemple de probleme.
Conceptul de reducere a unei fracții la un numitor diferit
Amintiți-vă proprietatea de bază a unei fracții. Potrivit lui, fracția obișnuită a b (unde a și b sunt numere oarecare) are un număr infinit de fracții care sunt egale cu ea. Astfel de fracții pot fi obținute prin înmulțirea numărătorului și numitorului cu același număr m (natural). Cu alte cuvinte, toate fracțiile obișnuite pot fi înlocuite cu altele de forma a m b m . Aceasta este reducerea valorii inițiale la o fracție cu numitorul dorit.
Puteți aduce o fracție la un numitor diferit înmulțind numărătorul și numitorul ei cu orice număr natural. Condiția principală este ca multiplicatorul să fie același pentru ambele părți ale fracției. Rezultatul este o fracție egală cu originalul.
Să ilustrăm acest lucru cu un exemplu.
Exemplul 1
Transformați fracția 11 25 la un nou numitor.
Decizie
Luați un număr natural arbitrar 4 și înmulțiți ambele părți ale fracției inițiale cu acesta. Considerăm: 11 4 \u003d 44 și 25 4 \u003d 100. Rezultatul este o fracție de 44.100.
Toate calculele pot fi scrise în această formă: 11 25 \u003d 11 4 25 4 \u003d 44 100
Se pare că orice fracție poate fi redusă la un număr mare de numitori diferiți. În loc de patru, am putea lua un alt număr natural și am putea obține o altă fracție echivalentă cu cea inițială.
Dar nu orice număr poate deveni numitorul unei noi fracții. Deci, pentru a b numitorul poate conține numai numere b · m care sunt multipli ai lui b . Amintiți-vă conceptele de bază ale diviziunii - multipli și divizori. Dacă numărul nu este un multiplu al lui b, dar nu poate fi un divizor al unei noi fracții. Să explicăm ideea noastră cu un exemplu de rezolvare a problemei.
Exemplul 2
Calculați dacă este posibil să reduceți fracția 5 9 la numitorii 54 și 21.
Decizie
54 este un multiplu de nouă, care este numitorul noii fracții (adică 54 poate fi împărțit la 9). Prin urmare, o astfel de reducere este posibilă. Și nu putem împărți 21 la 9, așa că o astfel de acțiune nu poate fi efectuată pentru această fracție.
Conceptul de multiplicator suplimentar
Să formulăm ce este un factor suplimentar.
Definiția 1
Multiplicator suplimentar este un număr natural cu care ambele părți ale unei fracții sunt înmulțite pentru a o aduce la un nou numitor.
Acestea. când efectuăm această acțiune asupra unei fracții, luăm un multiplicator suplimentar pentru aceasta. De exemplu, pentru a reduce fracția 7 10 la forma 21 30, avem nevoie de un factor suplimentar 3 . Și puteți obține o fracție 15 40 din 3 8 folosind un multiplicator 5.
În consecință, dacă cunoaștem numitorul la care trebuie redusă fracția, atunci putem calcula un factor suplimentar pentru aceasta. Să ne dăm seama cum să o facem.
Avem o fracție a b , care poate fi redusă la un numitor c ; se calculează factorul suplimentar m . Trebuie să înmulțim numitorul fracției originale cu m. Se obține b · m , iar după condiția problemei b · m = c . Amintiți-vă cum sunt legate înmulțirea și împărțirea. Această legătură ne va conduce la următoarea concluzie: factorul suplimentar nu este altceva decât câtul împărțirii lui c la b, cu alte cuvinte, m = c: b.
Astfel, pentru a găsi un factor suplimentar, trebuie să împărțim numitorul necesar la cel inițial.
Exemplul 3
Aflați factorul suplimentar prin care fracția 17 4 a fost adusă la numitorul 124 .
Decizie
Folosind regula de mai sus, împărțim pur și simplu 124 la numitorul fracției inițiale, patru.
Considerăm: 124: 4 \u003d 31.
Acest tip de calcul este adesea necesar la reducerea fracțiilor la un numitor comun.
Regula pentru reducerea fracțiilor la un numitor specificat
Să trecem la definiția regulii de bază, cu care puteți aduce fracții la numitorul specificat. Asa de,
Definiția 2
Pentru a aduce o fracție la numitorul specificat, aveți nevoie de:
- determinați un multiplicator suplimentar;
- înmulțiți cu acesta atât numărătorul cât și numitorul fracției inițiale.
Cum se aplică această regulă în practică? Să dăm un exemplu de rezolvare a problemei.
Exemplul 4
Efectuați reducerea fracției 7 16 la numitorul 336 .
Decizie
Să începem prin a calcula multiplicatorul suplimentar. Împărțire: 336: 16 = 21.
Înmulțim răspunsul primit cu ambele părți ale fracției inițiale: 7 16 \u003d 7 21 16 21 \u003d 147 336. Așa că am adus fracția inițială la numitorul dorit 336.
Răspuns: 7 16 = 147 336.
Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
Cum se aduce fracțiile algebrice (raționale) la un numitor comun?
1) Dacă numitorii fracțiilor sunt polinoame, trebuie să încercați una dintre metodele cunoscute.
2) Cel mai mic numitor comun (LCD) este format din toate multiplicatori preluați cel mai mare grad.
Cel mai mic numitor comun pentru numere este căutat verbal ca cel mai mic număr care este divizibil cu restul numerelor.
3) Pentru a găsi un factor suplimentar pentru fiecare fracție, trebuie să împărțiți noul numitor la cel vechi.
4) Numătorul și numitorul fracției inițiale se înmulțesc cu un factor suplimentar.
Luați în considerare exemple de reducere a fracțiilor algebrice la un numitor comun.
Pentru a găsi un numitor comun pentru numere, alegeți numărul mai mare și verificați dacă este divizibil cu cel mai mic. 15 nu este divizibil cu 9. Înmulțim 15 cu 2 și verificăm dacă numărul rezultat este divizibil cu 9. 30 nu este divizibil cu 9. Înmulțim 15 cu 3 și verificăm dacă numărul rezultat este divizibil cu 9. 45 este divizibil cu 9, ceea ce înseamnă că numitorul comun al numerelor este 45.
Cel mai mic numitor comun este suma tuturor factorilor luați la cea mai mare putere. Astfel, numitorul comun al acestor fracții este 45 bc (literele sunt de obicei scrise în ordine alfabetică).
Pentru a găsi un factor suplimentar pentru fiecare fracție, trebuie să împărțiți noul numitor la cel vechi. 45bc:(15b)=3c, 45bc:(9c)=5b. Înmulțim numărătorul și numitorul fiecărei fracții cu un factor suplimentar:
În primul rând, căutăm un numitor comun pentru numere: 8 nu este divizibil cu 6, 8∙2=16 nu este divizibil cu 6, 8∙3=24 este divizibil cu 6. Fiecare dintre variabile trebuie inclusă o dată în numitorul comun. Din grade luăm gradul cu exponent mare.
Astfel, numitorul comun al acestor fracții este 24a³bc.
Pentru a găsi un factor suplimentar pentru fiecare fracție, trebuie să împărțiți noul numitor la cel vechi: 24a³bc:(6a³c)=4b, 24a³bc:(8a²bc)=3a.
Înmulțim factorul suplimentar cu numărătorul și numitorul:
Sunt necesare polinoamele din numitorii acestor fracții. Numitorul primei fracții este pătratul complet al diferenței: x²-18x+81=(x-9)²; în numitorul celui de-al doilea - diferența de pătrate: x²-81=(x-9)(x+9):
Numitorul comun este format din toți factorii luați în cea mai mare măsură, adică este egal cu (x-9)²(x+9). Găsim factori suplimentari și îi înmulțim cu numărătorul și numitorul fiecărei fracții:
Fracțiile au numitori diferiți sau aceiași. Același numitor sau altfel numit numitor comun la fractie Un exemplu de numitor comun:
\(\frac(17)(5), \frac(1)(5)\)
Un exemplu de numitori diferiți pentru fracții:
\(\frac(8)(3), \frac(2)(13)\)
Cum să găsiți un numitor comun al unei fracții?
Prima fracție are numitorul 3, a doua este 13. Trebuie să găsiți un număr care este divizibil atât cu 3, cât și cu 13. Acest număr este 39.
Prima fracție trebuie înmulțită cu multiplicator suplimentar 13. Pentru ca fracția să nu se modifice, trebuie să înmulțim atât numărătorul cu 13, cât și numitorul.
\(\frac(8)(3) = \frac(8 \times \color(red) (13))(3 \times \color(red) (13)) = \frac(104)(39)\)
Înmulțim a doua fracție cu un factor suplimentar de 3.
\(\frac(2)(13) = \frac(2 \times \color(red) (3))(13 \times \color(red) (3)) = \frac(6)(39)\)
Am redus numitorul comun al fracției:
\(\frac(8)(3) = \frac(104)(39), \frac(2)(13) = \frac(6)(39)\)
Cel mai mic numitor comun.
Luați în considerare un alt exemplu:
Să aducem fracțiile \(\frac(5)(8)\) și \(\frac(7)(12)\) la un numitor comun.
Numitorul comun pentru numerele 8 și 12 pot fi numerele 24, 48, 96, 120, ..., se obișnuiește să se aleagă cel mai mic numitor comunîn cazul nostru, acest număr este 24.
Cel mai mic numitor comun este cel mai mic număr care împarte numitorul primei și celei de-a doua fracții.
Cum să găsiți cel mai mic numitor comun?
Prin enumerarea numerelor, prin care se împarte numitorul primei și a doua fracții și se alege pe cea mai mică dintre ele.
Trebuie să înmulțim fracția cu numitorul de 8 cu 3 și să înmulțim fracția cu numitorul de 12 cu 2.
\(\begin(align)&\frac(5)(8) = \frac(5 \times \color(red) (3))(8 \times \color(red) (3)) = \frac(15 )(24)\\\\&\frac(7)(12) = \frac(7 \times \color(red) (2))(12 \times \color(red) (2)) = \frac( 14)(24)\\\\ \end(align)\)
Dacă nu puteți aduce imediat fracțiile la cel mai mic numitor comun, nu este nimic în neregulă, în viitor, atunci când rezolvați exemplul, poate fi necesar să obțineți răspunsul
Un numitor comun poate fi găsit pentru oricare două fracții; acesta poate fi produsul numitorilor acestor fracții.
De exemplu:
Reduceți fracțiile \(\frac(1)(4)\) și \(\frac(9)(16)\) la cel mai mic numitor comun.
Cel mai simplu mod de a găsi numitorul comun este să înmulți numitorii 4⋅16=64. Numărul 64 nu este cel mai mic numitor comun. Sarcina este de a găsi cel mai mic numitor comun. Deci căutăm mai departe. Avem nevoie de un număr care este divizibil atât cu 4, cât și cu 16, acesta este numărul 16. Să reducem fracția la un numitor comun, să înmulțim fracția cu numitorul de 4 cu 4 și fracția cu numitorul de 16 cu unul. Primim:
\(\begin(align)&\frac(1)(4) = \frac(1 \times \color(red) (4))(4 \times \color(red) (4)) = \frac(4 )(16)\\\\&\frac(9)(16) = \frac(9 \times \color(red) (1))(16 \times \color(red) (1)) = \frac( 9)(16)\\\\ \end(align)\)
