SECȚIUNEA A DOUA.

TRANSFORMĂRI DE IDENTITATE

(PRIMELE PATRU ACȚIUNI ALGEBRICE).

Capitol unul.

Polinom și monom.

42. Polinom și monom. O expresie algebrică compusă din alte câteva expresii legate prin semne + sau - se numește polinom. De exemplu, aceasta este expresia:

Expresiile separate, din combinația cărora semnele + sau - s-au dovedit a fi un polinom, sunt numite membrii săi. De obicei, termenii unui polinom sunt considerați împreună cu semnele care stau înaintea lor; de exemplu, ei spun: membru - A , membru + b 2 etc. Inaintea primului membru, daca nu se pune nici un semn inaintea lui, se poate insemna enak +; deci, în exemplul nostru, primul membru este ab sau + ab .

O expresie formată dintr-un singur membru se numește un singur termen, din doi membri - doi termeni, trei - trei termeni etc. Un monomiu este fie un singur număr exprimat printr-o literă sau numere (de exemplu - A , + 10) sau un produs (ex. ab ), sau privat (de ex. a-b / 2 ) sau grad (ex. b 2); dar un monom nu trebuie să fie nici suma, nici diferența , deoarece altfel ar fi un binom, un trinom, un polinom în general.

Dacă un monom este un coeficient, atunci se numește monom fracțional; toate celelalte monomii se numesc obiective. Deci, în exemplul nostru, monomul a-b / 2 este fracționar și toți ceilalți membri ai polinomului sunt numere întregi. Întrucât la începutul algebrei vom vorbi doar de monomii întregi, pentru concizie le vom numi pur și simplu „monoame”.

Dacă toți membrii unui polinom sunt numere întregi, atunci se mai numește și numere întregi.

43. Coeficient. Să presupunem că ni se oferă un produs:

A 3ab (- 2) ,

în care unii factori sunt exprimați în cifre, alții în litere. Astfel de produse pot fi transformate (folosind proprietățile asociative și comutative ale înmulțirii) prin combinarea într-un grup a tuturor factorilor exprimați în numere, în alt grup - toți factorii exprimați cu litere A, etc.:

3 (- 2) (aa) b ,

ce se poate scrie pe scurt:- 6A 2 b ;. Ca aceasta:

-l0 axx (- 2) = + 20Oh 2 , etc.

Factorul exprimat în numere, plasat în fața factorilor alfabetici, se numește coeficient monomial. Deci, într-un monom - 6A 2 b număr - 6 există un coeficient.

Rețineți că, dacă coeficientul este un întreg pozitiv, înseamnă de câte ori se repetă de termen expresia literală la care se referă; Asa de, 3 ab = 3(ab) =(ab) 3 =ab + ab + ab . Dacă coeficientul este o fracție, atunci exprimă fracția care este luată din valoarea numerică a expresiei literale. Asa de:
2 / 3 Oh = Oh 2 / 3 , și înmulțiți Oh pe 2 / 3 înseamnă a lua 2 / 3 din număr Oh .

44. Proprietăţile unui polinom. Orice polinom poate fi considerat ca o sumă algebrică a termenilor săi. De exemplu, un polinom

2A - b + cu

exista o suma: 2A + (- b) + (+ cu ) deoarece expresia + (- b) este echivalent cu expresia - b și expresie + (+ cu ) înseamnă la fel ca + cu . În consecință, toate proprietățile sumei numerelor relative (Sec. 1 § 25) aparțin și ele polinomului. Să ne amintim cele mai importante dintre aceste proprietăți:

A) Transfer proprietate: valoarea numerică a polinomului nu se modifică la mutarea membrilor săi (cu semnele lor).

Să presupunem, de exemplu, că găsim valoarea numerică a polinomului

2A 2 - ab + b 2 - 1 / 2 A

la a = - 4 și b = - 3. Pentru a face acest lucru, mai întâi calculăm fiecare termen separat:

2A 2 = 2(- 4) 2 = 2(- 4)(- 4) = 32 ; - ab = - (- 4) (- 3)= -12 ;

b 2 =(- 3) 2 = (- 3)(- 3)= +9 ; - 1 / 2 A = - 1 / 2 (- 4)= +2 .

Acum să adunăm toate numerele obținute sau din succesiunea în care sunt scriși membrii polinomului:

32 - 12 + 9 + 2 = 31,

sau într-o altă ordine, obținem întotdeauna același număr 31.

b) Proprietate asociativă: valoarea numerică a polinomului nu se va modifica dacă înlocuim oricare dintre termenii acestuia cu suma lor algebrică.

Deci, dacă în polinomul luat acum înlocuim termenii - ab , + b 2 și - 1 / 2 A suma lor algebrică, adică ia acest polinom în următoarea formă:

2A 2 + (- ab + b 2 - 1 / 2 A )

apoi la A = - 4 și b = - 3 obținem:

32 + (- 12 + 9 + 2) = 32 + (- 1) = 31,

adică obținem același număr 31 pe care l-am primit înainte. De asemenea, notăm următoarea proprietate importantă a polinomului:

în) Dacă înaintea fiecărui membru al polinomului schimbăm semnul în opus, atunci valoarea numerică a polinomului va schimba și semnul în opus, iar valoarea lui absolută nu se va modifica.

De exemplu, valoarea numerică a polinomului 2A 2 - ab + b 2 - 1 / 2 A
la A = - 4 și b = - 3 este, după cum am văzut, 31, iar valoarea numerică a polinomului - 2A 2 + ab- b 2 + 1 / 2 A cu aceleași valori ale literelor este egală cu -31.

45. Reducerea termenilor similari. Uneori într-un polinom există astfel de termeni care diferă între ei doar prin coeficienți, sau semne, sau chiar nu diferă deloc; astfel de membri sunt numiți similari. De exemplu, într-un polinom

primul termen este similar cu al treilea (sunt subliniați cu o linie), al doilea termen este similar cu al patrulea și al șaselea (subliniat cu două rânduri), iar al cincilea termen nu are analogi.

Dacă un polinom conține termeni similari, atunci aceștia pot fi combinați într-un singur termen. Deci, în exemplul dat acum, putem (pe baza proprietății asociative a unui polinom) să combinăm membrii în astfel de grupuri:

(4A + 0,5A) + (- 3X + 8X - 2X) + 3 topor .

Dar este evident că 4 din unele numere și 0,5 din același număr sunt 4,5 din același număr. Mijloace, 4A + 0,5A = 4,5A . La fel de - 3X + 8X = 5X și 5X - 2X =3X . Deci polinomul poate fi reprezentat astfel:

4,5A + 3X+ 3 topor .

Rețineți că combinarea tuturor membrilor similari ai unui polinom într-un singur membru se numește de obicei reducerea membrilor similari ai unui polinom.

Cometariu. Doi termeni similari cu aceiași coeficienți, dar cu alții diferiți (se anulează unul pe celălalt prin semne, cum ar fi, de exemplu, termenii + 2 Ași 2 A, sau - 1 / 2 X 2 și + 1/2 X 2 .

Exemple.

Capitolul doi.

Adunarea și scăderea algebrică.

46. ​​​​Ce sunt „operațiile algebrice”.

În aritmetică, operațiile sunt efectuate pe numere, iar rezultatul este un număr nou. În algebră, acțiunile sunt efectuate nu pe numere, ci pe expresii algebrice, iar rezultatul este o nouă expresie algebrică. De exemplu, înmulțiți monomiul 3 A într-un monom 2 A - înseamnă, în primul rând, a indica înmulțirea cu semnele acceptate:

(3A) (2A)

și, în al doilea rând, să transforme, dacă este posibil, expresia algebrică rezultată într-o alta, mai simplă. În exemplul nostru, transformarea se poate face prin raționament astfel: să înmulțim un număr cu produsul 2 A , puteți înmulți mai întâi acest număr cu 2 și apoi înmulțiți rezultatul cu A .

(3A) (2A) = (3A) 2A .

În ultima expresie, putem elimina parantezele, deoarece acest lucru nu schimbă sensul expresiei; atunci primim 3A 2A .. Acum, folosind proprietatea asociativă a înmulțirii, grupăm factorii astfel: (3 2) (aa) , ceea ce este evident 6a 2 .

Oricare ar fi numărul litera A nici nu însemna valoarea numerică a expresiei (3A) (2A) este întotdeauna egală cu valoarea numerică a expresiei 6a 2 , adică aceste expresii sunt identice.

Astfel, acțiunea algebrică din exemplul nostru de înmulțire constă, în primul rând, în indicarea acestei acțiuni prin semnele acceptate în algebră și, în al doilea rând, în transformarea, dacă este posibil, a expresiei algebrice rezultate într-o alta, identică cu aceasta.

47. Adăugarea monomiilor. Să fie necesară adăugarea mai multor monomii:

3A, - 5b, + 0,2a, -7b și cu . Suma lor se exprimă după cum urmează:

3un +(- 5b) + (+ 0,2a) + (-7b ) + cu

Dar expresiile: + (- 5b), + (+ 0,2a)și + (- 7b ) sunt echivalente cu: - 5b, + 0,2ași - 7b prin urmare, suma acestor monomii poate fi rescrisă într-un mod mai simplu:

care, după turnarea unor termeni similari, dă: 3,2A - 12b+ cu. Mijloace, pentru a adăuga mai multe monomii, este suficient să le scrieți unul după altul cu semnele lor și să faceți o reducere a termenilor similari.

48. Adunarea polinoamelor. Să fie cerută unui număr sau expresie algebrică m adăugați un polinom a - b + c . Cantitatea dorită poate fi exprimată după cum urmează:

m + (a - b + c ).

Pentru a transforma această expresie, luăm în considerare că polinomul
a - b + c este suma a + (- b) + c , iar pentru a adăuga suma, puteți adăuga fiecare termen unul câte unul; De aceea:

m + (a - b + c ) = m +a + (- b) + c

Dar adauga -b indiferent ce să scadă b ; De aceea:

m + (a - b + c ) = m + a - b + c

Regulă. Pentru a adăuga un polinom la o expresie alebrică, este necesar să îi atribuim acestei expresii toți termenii polinomului unul după altul cu semnele lor. (mai mult decât atât, înaintea primului membru al polinomului, dacă nu există semn în fața acestuia, semnul + trebuie să fie subînțeles) și distribuiți membri similari, dacă apar.

Exemplu.

3A 2 - 5ab + b 2 + (4ab - b 2 + 7A 2).

Primul termen, pe care acum l-am notat cu o singură literă m, dat în acest exemplu ca polinom 3A 2 - 5ab + b 2 . Aplicând această regulă, găsim:

3A 2 - 5ab + b 2 + (4ab - b 2 + 7A 2) = 3A 2 - 5ab + b 2 + 4ab - b 2 + 7A 2 = 10A 2 - ab

Dacă datele polinomiale pentru adunare conțin termeni similari (ca în exemplul nostru), atunci este util să scrieți termenii unul sub celălalt, astfel încât termenii asemănători să stea sub cei similari:

49. Scăderea monomiilor. Să fie cerut de la monom 10 topor scade monomul - 3 topor . Diferența dorită este exprimată după cum urmează:

10 topor - (- 3 topor ).

Conform regulii scăderii, scăderea este 3 topor poate fi înlocuit prin adăugarea unui număr opus numărului - 3 topor . Există un astfel de număr + 3 topor , De aceea:

10 topor - (- 3 topor ) = 10 topor + (+ 3 topor ) = 10 topor + 3 topor = 13 topor .

Mijloace, pentru a scădea un monom, este suficient să-l atribuiți minuendului cu semnul opus (și să faceți o reducere a termenilor similari, dacă apar).

50. Scăderea polinoamelor. Să fie cerută de la un număr sau o expresie algebrică m scăderea polinomului a - b + c , care poate fi exprimat astfel:

m- (a - b + c ).

Pentru a face acest lucru, conform regulii de scădere (Secțiunea 1 § 22), este suficient să adăugați la m numărul opus a - b + c . Există un astfel de număr - a + b - c (); mijloace:

m- (a - b + c ) = m+ (- a + b - c )

Aplicând acum regula adunării polinoamelor, obținem:

m- (a - b + c ) = m - a + b - c .

Mijloace, pentru a scădea un polinom dintr-o expresie algebrică este suficient să atribuim acestei expresii toți termenii polinomului subtraend cu semne opuse (și să facem o reducere).

Dacă este necesară scăderea unui alt polinom dintr-un polinom și aceste polinoame au termeni similari, atunci este util să scrieți polinomul scăzut sub cel redus, schimbând semnele polinomului scăzut cu cele opuse și astfel încât să rămână termeni asemănători. sub altele asemănătoare. De exemplu, scăderea
(7A 2 - 2ab + b 2) - (5A 2 + 4ab - 2b 2) este cel mai bine plasat astfel:

(în polinomul care trebuie scăzut, semnele superioare sunt stabilite așa cum au fost date, iar în partea de jos sunt inversate).

51. Paranteze extinse precedate de semnul + sau -.

Lasă să intre expresia

2 A + (A - 3 b + c ) - (2 a - b + 2 cu )

parantezele trebuie deschise. Acest lucru trebuie înțeles în așa fel încât să se solicite efectuarea asupra polinoamelor din interiorul parantezelor acelor acțiuni care sunt indicate prin semnele din fața parantezelor. În exemplul nostru, prima paranteză este precedată de semnul +, iar a doua paranteză este precedată de semnul -. După adunarea și scăderea conform regulilor pe care le-am dat, obținem o expresie fără paranteze:

2 A + A - 3 b + c - 2 a + b - 2 c = a - 2 b - c

Astfel, trebuie să ne amintim că, extinzând parantezele precedate de semnul +, nu trebuie să schimbăm semnele din interiorul parantezelor, iar extinzând parantezele precedate de semnul -, trebuie să schimbăm semnele la opus înaintea tuturor elementelor din paranteze.

De asemenea, trebuie să deschideți parantezele din expresia:

10r - .

Pentru a face acest lucru, cel mai convenabil este să deschideți mai întâi parantezele interioare, apoi pe cele exterioare:

10r - = 10p - 3p - 5p + 10 + 4] = 2p+14.

52. Bracketing o parte dintr-un polinom. Pentru a transforma un polinom, uneori este util să puneți în paranteze mulțimea unora dintre membrii săi și uneori este de dorit să puneți + în fața parantezelor, adică să descrieți polinomul ca o sumă, iar uneori semnul -, de exemplu. reprezentați polinomul ca diferență. Fie, de exemplu, într-un polinom a + b - c dorim să punem paranteze ultimii doi termeni prefixând parantezele cu semnul +. Apoi scriem asa:

a + b - c = a + (b - c) ,

adică, în paranteze lăsăm aceleași semne care au fost în acest polinom. Că o astfel de transformare este adevărată, ne vom asigura dacă deschidem parantezele după regula adunării; apoi obținem din nou polinomul dat.

Să presupunem că în același polinom este necesar să se așeze ultimele două numere punând semnul minus în fața parantezelor.

Apoi scriem asa:

a + b - c = A - (- b + c) = A - ( cu - b) ,

adică în interiorul parantezelor din fața tuturor membrilor, schimbăm semnele la opus. Că o astfel de transformare este adevărată, ne vom asigura dacă deschidem parantezele după regula scăderii; apoi obținem din nou polinomul dat.

Cometariu. De asemenea, puteți include întregul polinom între paranteze punând semnul + sau - în fața lor. De exemplu, puteți scrie:

a - b + c = + (a - b + c ) și a - b + c = - (- a + b - c ).

Capitolul trei.

Înmulțirea algebrică.

53. Înmulțirea puterilor de același număr. Să ne înmulțim A 3 pe A 2, care poate fi exprimat astfel: A 3 A 2 sau mai multe :( ahh ) (aa ). Aici treaba ahh inmultit cu altul aa . Dar pentru a înmulți un număr cu un produs, se poate înmulți acest număr cu primul factor, înmulți rezultatul cu al doilea factor și așa mai departe; De aceea:

A 3 A 2 = (ahh )(aa ) = (ahh ) aa ,

care poate fi scris fără paranteze, deoarece ordinea acțiunilor rămâne aceeași fără paranteze, așa cum este indicat de paranteze:

A 3 A 2 = aaaaa = A 5 .

Mijloace, la înmulțirea puterilor de același număr, exponenții acestora se adună.

Prin urmare: X 3 X = X 4 , m 2 m 3 = m 5 , y 2 y y 3 = y 6, etc.

54. Înmulțirea monomiilor. Am spus deja înainte () cum puteți transforma produsul monomiilor (3A) (2A) în monom 6 A 2. Să repetăm ​​acum cele spuse atunci cu un alt exemplu. Hai sa inmultim:

De când monomiul 5abx este un produs, atunci este suficient să înmulțiți multiplicatorul cu primul factor - 5 , înmulțiți rezultatul cu al doilea factor A , etc. Deci:

3Oh 2 (- 5abx) = 3Oh 2 (- 5)abx .

În acest produs, folosind proprietatea asociativă a înmulțirii, grupăm factorii în următoarele grupe:

(+3)(- 5) (aa) b (X 2 X).

După înmulțirea în fiecare grupă, obținem:

- 15 A 2 b X 3 .

Mijloace, pentru a înmulți un monom cu un monom, trebuie să le înmulțiți coeficienții, să adăugați indicatorii de litere identice, iar acele litere care sunt incluse numai în multiplicand sau numai în factor, se transferă la produs cu indicatorii lor.

Exemple.

1) 0,7A 3 X (3A 4 X 2 la 2) = 2,1A 7 X 3 la 2

2) (1 / 2 m x 3) 2 = 1 / 2 m x 3 (1 / 2 m x 3) = 1 / 4 m 2 x 6

3) -3,5 X 2 la (3 / 4 X 3) = - 21 / 8 X 5 la

55. Înmulțirea unui polinom cu un monom.

Să fie dat pentru a înmulți un polinom a + b - c într-un monom m , care poate fi exprimat astfel:

(a + b - c ) m .

Polinom a + b - c este suma numerelor relative a + b + (- cu) . Dar, pentru a înmulți suma, puteți înmulți fiecare termen separat și adăugați rezultatele (proprietatea distributivă); mijloace:

(a + b - c ) m = [ a + b + (- cu) ] m = A m +b m + (- cu)m .

Dar (- cu)m = - cm și + (- cm ) = - cm ; De aceea

(a + b - c ) m = A m +b m - cum .

Regulă. Pentru a înmulți un polinom cu un monom, este necesar să înmulțiți fiecare termen al polinomului cu acest monom și să adăugați produsele rezultate.

Deoarece produsul nu se schimbă dintr-o permutare a locurilor factorilor, această regulă se aplică și înmulțirii unui monom cu un polinom; prin urmare:

m (a + b - c ) = m A + m b m - mc .

Exemple.

1) (3X 2 - 2Oh + 5A 2) (-4Oh) .

Aici, înmulțirea termenilor unui polinom cu un monom dat trebuie efectuată după regula înmulțirii monomurilor, ținând cont și de regula semnelor: atunci când sunt înmulțite, aceleași semne dau +, iar semnele diferite dau - . Înmulțim separat fiecare termen al polinomului cu monomul:

(3X 2)(-4Oh) = - 12topor 3 ; (- 2Oh) (-4Oh) == + 8A 2 X 2 ; (+ 5A 2) (-4Oh) = - 20A 3 X .

Acum să rezumam rezultatele:

- 12topor 3 + 8A 2 X 2 - 20A 3 X .

2) (A 2 - ab + b 2) (3A) = A 2 (3A) - (ab ) (3A) + b 2 (3A) = 3A 3 - 3A 2 b+ 3ab 2

3) (7X 3 + 3 / 4 Oh - 0,3) (2,l A 2 X) = (7X 3 ) (2,l A 2 X) + (3 / 4 Oh) (2,l A 2 X) - 0,3 (2,l A 2 X) =
= 14,7A 2 X 4 + 1,575A 3 X 2 - 0,63 A 2 X .

4) 2A (3A - 4 Oh + 1 / 2 X 2) = 6A 2 - 8A 2 X + AX 2

56. Înmulțirea unui polinom cu un polinom. Hai sa facem inmultirea:

(a + b - c ) (m-n ).

Având în vedere multiplicatorul m-n ca un singur număr (ca monom), aplicăm regula de înmulțire a unui polinom cu un monom:

a (m - n) + b (m - n) - c (m - n).

Avand in vedere acum expresia m-n ca polinom (binom), aplicăm regula înmulțirii unui monom cu un polinom:

(am - an) + (bm - bn) - (cm - cn).

În cele din urmă, deschizând parantezele conform regulilor de adunare și scădere, găsim în sfârșit:

(a + b - c) (m - n) = am - an + bm - bn - cm + cn

Regulă. Pentru a înmulți un polinom cu un polinom, trebuie să înmulțiți fiecare termen al primului polinom cu fiecare termen al celui de-al doilea polinom și să adăugați produsele rezultate.

Desigur, atunci când înmulțiți termenii primului polinom cu termenii celui de-al doilea polinom, trebuie să ne ghidăm după regulile semnelor: aceleași semne dau + semne diferite -.

Exemplu, (A 2 - 5ab + b 2 - 3) (A 3 - 3ab 2 + b 3)

Mai întâi înmulțim toți termenii multiplicandului cu primul termen al multiplicatorului:

(A 2 - 5ab + b 2 - 3) A 3 = A 5 - 5A 4 b + A 3 b 2 - 3A 3

Apoi înmulțim toți termenii multiplicandului cu al 2-lea termen al multiplicatorului:

(A 2 - 5ab + b 2 - 3) (- 3ab 2) = - 3a 3 b 2 + 15a 2 b 3 - 3ab 4 + 9ab 2

(A 2 - 5ab + b 2 - 3) (b 3) = A 2 b 3 - 5ab 4 + b 5 - 3b 3

În final, adunăm toate produsele rezultate și facem o reducere a termenilor similari; rezultatul final va fi:

A 5 - 5A 4 b- 2a 3 b 2 - 3A 3 + 16a 2 b 3 - 8ab 4 + 9ab 2 + b 5 - 3b 3

Observatii. 1) Pentru a nu pierde niciunul dintre produsele termenilor atunci când înmulțiți un polinom cu un polinom, este util să respectați întotdeauna o anumită ordine de înmulțire; de exemplu, așa cum am făcut acum, mai întâi înmulțiți toți termenii multiplicandului cu primul termen al multiplicatorului, apoi înmulțiți toți termenii cu al doilea termen al multiplicatorului etc.

2) Când este aplicată numerelor aritmetice, regula înmulțirii pentru polinoame poate fi interpretată în mod clar geometric. Luați, de exemplu, 4 segmente de linie a, b, m și n și construiți două dreptunghiuri: unul cu bază a + b si inaltime m+n , altul cu baza a + b , și înălțimea m-n .

Aria primului este ( a + b ) (m+n ), iar aria celui de-al doilea va fi ( a + b ) (m-n ). Se vede direct din desene că prima zonă este egală am + bm + an + bn , iar al doilea este am + bm - an - bn .

Exemple.

1) (a - b) (m - n - p) \u003d am - bm - an + bn - ap + bp.

2) (x 2 - y 2) (x + y) \u003d x 3 - xy 2 + x 2 y - y 3

3) (3an + 2n 2 - 4a 2) (n 2 - 5an) = 3an 3 + 2n 4 - 4a 2 n 2 - 15a 2 n 2 - 10an 3 + 20a 3 n =
\u003d -7an 3 + 2n 4 - 19a 2 n 2 + 20a 3 n

4) (2a 2 - 3) 2 = (2a 2 - 3) (2a 2 - 3) = (2a 2) 2 - 3 (2a 2) - (2a 2) 3 + 9 =
= 4a 4 - 6a 2 - 6a 2 + 9 = 4a 4 - 12a 2 + 9

57. Polinom situat. A aranja un polinom în puteri ale unei litere înseamnă, dacă este posibil, a-i scrie termenii într-o astfel de succesiune încât exponenții acestei litere să crească sau să scadă de la primul termen la ultimul. Da, polinom 1 + 2x + x 2 - x 3 situat în puteri crescânde ale literei X . Același polinom va fi aranjat în puteri descrescătoare ale literei X , dacă îi scriem membrii în ordine inversă: -X 3 +x2 + 2x + 1 .

Litera pe care se află polinomul se numește litera sa principală. Termenul care conține litera majusculă cu cel mai mare exponent se numește termenul cel mai înalt al polinomului; termenul care conține litera principală cu cel mai mic exponent sau care nu o conține deloc se numește termenul cel mai mic al polinomului.

58. Înmulțirea polinoamelor situate este cel mai convenabil să se producă așa cum va fi indicat în exemplul următor.

Multiplica

3x - 5 + 7x 2 - x 3 pe 2 - 8x 2 + x.

Aranjarea ambelor polinoame în puteri descrescătoare ale literei X , scrieți multiplicatorul sub multiplicand și trageți o linie sub el:

Înmulțiți toți termenii multiplicandului cu primul termen al multiplicatorului (cu - 8x2 ) iar produsul rezultat se scrie sub rând. Apoi toți termenii multiplicandului sunt înmulțiți cu al 2-lea termen al multiplicatorului (cu + x ) și al doilea produs rezultat este scris sub primul, astfel încât termenii asemănători să fie sub cei similari. De asemenea, ei continuă să facă asta. Sub ultima lucrare (pe + 2 ) trasează o linie sub care scrie lucrarea completă, însumând toate celelalte lucrări.

De asemenea, este posibil să se aranjeze ambele polinoame în puteri crescătoare ale literei principale și apoi să se înmulțească în aceeași ordine în care tocmai s-a indicat.

59. Membrii superiori și inferiori ai unei opere. Din aceste exemple rezultă:

Cel mai mare termen al produsului este egal cu produsul celui mai mare termen înmulțit cu cel mai mare termen al multiplicatorului.

Cel mai mic termen al produsului este egal cu produsul dintre cel mai mic termen al multiplicatorului cu cel mai mic termen al multiplicatorului.

Membrii rămași ai lucrării pot fi obținuți prin combinarea mai multor membri similari într-unul singur. Se poate chiar întâmpla ca într-un produs, după reducerea termenilor similari, toți termenii să fie distruși, cu excepția primului și ultimului (mai mare și mai mic), așa cum se poate observa în exemplul următor:

60. Numărul de membri ai lucrării. Fie ca multiplicandul să aibă cinci termeni, iar multiplicatorul să aibă trei termeni. Înmulțind fiecare termen al multiplicandului cu primul termen al multiplicatorului, obținem 5 termeni ai produsului; apoi înmulțind fiecare termen al multiplicandului cu al 2-lea termen al multiplicatorului, obținem încă 6 termeni ai produsului etc.; prin urmare, toți termenii din produs vor fi 5 3, adică 15. În general, numărul de membri ai produsului, înainte de combinația de membri similari din acesta, este egal cu produsul numărului de membri înmulțit cu numărul de membri ai multiplicatorului.

Deoarece membrii cei mai înalți și de jos ai unei opere nu pot avea membri ca ei și toți ceilalți membri pot fi anihilati, atunci Cel mai mic număr de termeni dintr-un produs după reducerea termenilor similari din acesta este 2.

61. Câteva formule de înmulțire a binoamelor. Este util să ne amintim următoarele formule pentru înmulțirea binoamelor:

A) (a + b) 2 = (a + b) (a + b) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 .

De exemplu: 17 2 = (10 + 7) 2 = 10 2 + 2 10 7 + 7 2 = 100 + 140 + 49 = 289.

Prin urmare, pătratul sumei a două numere este egal cu pătratul primului număr, plus de două ori produsul primului număr și al doilea, plus pătratul celui de-al doilea număr.

b) (a - b) 2 = (a - b) (a - b) \u003d a 2 - ab - ab + b 2 = a 2 - 2ab + b 2 .

De exemplu: 19 2 = (20 -1) 2 = 20 2 - 2 20 1 + 1 2 = 400 - 40 + 1 = 361

Prin urmare, pătratul diferenței dintre două numere este egal cu pătratul primului număr, minus de două ori produsul primului număr și al doilea, plus pătratul celui de-al doilea număr.

Cometariu. Este util de observat că ridicarea la o putere în ceea ce privește adunarea și scăderea nu are o proprietate distributivă; Asa de, (2+3) 2 nu este egal
2 2 + 3 2 sau (8 - 6) 2 nu este egal cu 8 2 - 6 2 .

în) (a + b) (a - b) = a 2 + ab - ab - b 2 = a 2 - b 2

De exemplu: 25 15 = (20 + 5) (20 - 5) = 20 2 - 5 2 = 400 - 25 = 375.

Prin urmare, produsul dintre suma a două numere și diferența lor este egal cu diferența pătratelor acestor numere.

G) (a + b) 3 = (a + b) 2 (a + b) = (a 2 + 2ab + b 2 )(a + b) =
= a 3 + 2a 2 b + ab 2 + a 2b + 2ab 2 + b 3 = a 3 + 3а 2 b + 3ab 2 + b 3

De exemplu: 12 3 = (10 + 2) 3 = 10 3 + 3 10 2 2 + 3 10 2 2 + 2 3 = 1000 + 600 + 120 + 8=1728.

Prin urmare, cubul sumei a două numere este egal cu cubul primului număr, plus de trei ori produsul dintre pătratul primului număr și al doilea, plus de trei ori produsul primului număr și pătratul celui de-al doilea, plus cubul celui de-al doilea număr.

e) (a - b) 3 = (a - b) 2 (a - b) = (a 2 - 2ab + b 2 )(a - b) =
\u003d a 3 - 2a 2 b + ab 2 - a 2b + 2ab 2 - b 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Ex: 19 3 = (20 - 1) 3 = 20 3 - 3 20 2 1 + 3 20 1 2 - 1 3 = 8000 -1200 + 60 - 1= 6869.

Prin urmare, cubul diferenței a două numere este egal cu cubul primului număr, minus de trei ori produsul dintre pătratul primului număr și al doilea, plus de trei ori produsul primului număr și pătratul celui de-al doilea, minus cubul celui de-al doilea număr.

62. Interpretarea geometrică a unora dintre aceste formule.

A) Lăsați deoparte segmentul de dreaptă AB = A iar acestuia îi aplicăm segmentul BC = b, apoi construim pătrate: ACDE și ABJK, ale căror arii vor fi egale (a + b) 2 și A 2 . Continuând liniile BJ și KJ până la intersecția cu ED și CD, împărțim pătratul mai mare în 4 părți, ale căror zone vor fi: A 2 , b 2 , ab și ab .

(a + b) 2 = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 .

b) Pune deoparte AB = A iar din AB scadem BC = b ; apoi construim pătratele ACDE, ABFK și KLME ale căror arii sunt (a - b) 2 , A 2 și b 2 . Continuând CD până la punctul N, obținem: pl. ACDE = pl. ABFK + mp. EKLM- mp. CBFN - pl. DNLM.

(a - b) 2 = a 2 + b 2 - ab - ab = a 2 - 2ab + b 2 .

în) Amânare (Fig. 13) AB = A , BG = b , AD = A și DE= b , construiți dreptunghiul ACJE și pătratele ABKD și DEML.

Apoi mp. ACJE = mp. ABKD + mp. BCJN - mp. DEML - pl. LMNK. Dar dreptunghiurile BCJN și LMNK sunt egale și, prin urmare, ariile lor din egalitatea pe care am scris-o se anulează reciproc: sq. ACJE = mp. ABKD - mp. DEML, adică

(a + b) (a-b) \u003d a 2 - b 2.

63. Aplicații. Cu ajutorul acestor formule, uneori este posibil să se înmulțească polinoame mai simplu decât în ​​mod obișnuit. Aici sunt cateva exemple:

1) (4a 3 - 1) 2 \u003d (4a 3) 2 - 2 (4a 3) 1 +1 2 \u003d 16a 6 - 8a 3 + 1

2) (x + y)(y - x) = (y + x)(y - x) = y 2 - x 2 .

3) (x + y + 1) (x - y + 1) = [(x + 1) + y] [(x + 1) - y] = (x + 1) 2 - y 2 = x 2 + 2x + 1 - la 2.

4) (a - b + c) (a + b - c) \u003d [a - (b - c)] [a + (b - c)] \u003d

\u003d a 2 - (b - c) 2 \u003d a 2 - (b 2 - 2bc + c 2) \u003d a 2 - b 2 + 2bc - c 2

Capitolul patru.

Diviziune algebrică.

64. Împărțirea puterilor în același număr. Să ne împărțim:

a 5: a 2 .

Întrucât dividendul trebuie să fie egal cu divizorul înmulțit cu câtul, iar când este înmulțit, se adaugă indicatorii de litere identice, atunci în câtul dorit al literei a trebuie să existe un număr care, adăugat la 2, este 5; un astfel de număr este egal cu diferența 5 - 2. Deci:

a 5: a 2 = un 5-2 = a 3

Astfel găsim: x 3: x 2 \u003d x; y 4: y = y 3 etc.

Mijloace, la împărțirea puterilor aceluiași număr, exponentul divizorului se scade din exponentul dividendului .Cu excepția cazului în care numărul ale cărui puteri sunt divizibile nu este egal cu zero. Deci, nu puteți scrie: 0 m: 0 n = 0 m-n , deoarece această egalitate ar însemna: 0:0 = 0, în timp ce câtul 0:0 poate fi egal cu orice număr

65. Indicator zero. Dacă, la împărțirea puterilor aceluiași număr, indicatorul divizorului se dovedește a fi egal cu indicatorul dividendului, atunci coeficientul trebuie să fie egal cu 1; de exemplu: A 3 : A 3 = 1 deoarece A 3 = A 3 1. Să fim de acord să scădem indicatorii și în acest caz; apoi în coeficient obținem o literă cu exponent zero:
A 3 : A 3 = A 3-3 = A 0 . Desigur, acest indicator nu are semnificația pe care am atașat-o indicatorilor mai devreme, deoarece este imposibil să repeți numărul cu un factor de 0 ori. Vom fi de acord sub pretext A 0 înțelegeți câtul de împărțire a acelorași puteri ale unei litere A , și întrucât acest coeficient este egal cu 1, vom lua A 0 pentru 1.

66. Împărțirea monomiilor. Să fie dat să se împartă:

(12a 3 b 2 x): (4a 2 b 2) .

Cu toate acestea, de dragul conciziei, se obișnuiește să se omite parantezele în astfel de notații. Conform definiției diviziunii, câtul, atunci când este înmulțit cu divizorul, trebuie să fie dividendul. Prin urmare, coeficientul dorit trebuie să aibă 12: 4 , adică 3 ; indexul scrisorii A obtinut prin scaderea din indicatorul acestei litere din dividendul indicatorului aceleiasi litere din divizor, litera b nu va intra deloc în coeficient sau, ceea ce este la fel, îl va introduce cu un indicator 0 , și scrisoarea X va merge la coeficientul cu exponentul său.

Prin urmare: 12a 3 b 2 x: 4a 2 b 2 = 3ah . Verificare: 3ah 4а 2 b 2 = 12а 3 b 2 x

Regulă. Pentru a împărți un monom într-un monom, este necesar să împărțiți coeficientul dividendului cu coeficientul divizorului, scădeți indicatorii acelorași litere ale divizorului din indicatorii literelor dividendului și transferați la coeficient, fără a modifica indicatorii, acele litere ale dividendului care nu sunt în divizor.

Exemple.

1) 3m 3 n 4 x: 4m 2 nx = 3 / 4 m n 3

2) - ax 4 y 3: - 5 / 6 axy 2 \u003d + 6 / 5 x 3 y.

3) 0,8ax n: - 0,02ax = - 40x n-1 .

67. Semne ale imposibilității divizării monomiilor. Dacă câtul împărțirii monomiilor întregi nu poate fi exprimat exact printr-un monom întreg, atunci ei spun că o astfel de împărțire este imposibilă. Împărțirea monomiilor este imposibilă în două raze:

A) Când există litere în divizor care nu sunt în dividend.

De exemplu, nu vă puteți despărți 4ab 2 pe 2ax , deoarece orice monom înmulțit cu 2ax oferă un produs care conține litera X , iar în divizibilul nostru nu există deloc o astfel de scrisoare.

b) Când exponentul oricărei litere din divizor este mai mare decât exponentul aceleiași litere din dividend.

De exemplu, împărțirea 10a 3 b 2: 5ab 3 imposibil, deoarece orice monom înmulțit cu 5ab 3 , dă în produs un astfel de monom care conține litera b cu un exponent de 3 sau cu un exponent mai mare de 3, în timp ce în divizibilul nostru această literă este cu un exponent de 2.

Când un monom nu este divizibil cu un alt monom, atunci coeficientul poate fi indicat doar prin semne de diviziune; deci coeficient de diviziune 4а 2 b: 2ac poate fi indicat

sau cam asa: 4а 2 b: 2ac , sau cam asa:

68. Împărțirea unui polinom cu un monom.

Să fie necesar să se împartă polinomul a + b - c într-un monom m , care poate fi exprimat astfel:

(a + b - c) : m , sau ,

Polinom a + b - c există o sumă algebrică, iar pentru a împărți suma algebrică la un număr, fiecare termen poate fi împărțit la acest număr separat; De aceea:

Acest lucru se poate verifica prin verificare: prin înmulțirea polinomului A /m+ b /m - c /m la divizor m , primim dividendul a + b - c

Regulă. Pentru a împărți un polinom într-un monom, este necesar să împărțiți fiecare termen al polinomului în acest monom și să adăugați coeficientii rezultați.

Desigur, împărțirea termenilor unui polinom cu un monom se realizează conform regulii de împărțire a monomurilor.

Exemple.

69. Împărțirea unui monom cu un polinom. Să fie cerut monomiul A împărțirea la polinom b+ c-d . Coeficientul unei astfel de diviziuni nu poate fi exprimat nici printr-un monom întreg, nici printr-un polinom întreg, deoarece dacă presupunem că câtul este egal cu un monom întreg sau cu un polinom întreg, atunci produsul acestui coeficient prin polinom b+ c-d ar da, de asemenea, un polinom, și nu un monom, așa cum se cere prin diviziune. Coeficientul de diviziune A pe b+ c-d poate fi indicat doar prin semne de împărțire:

A : (b+ c-d ), sau

70. Împărțirea unui polinom cu un polinom. Coeficientul împărțirii unui polinom la un polinom poate fi exprimat doar în cazuri rare ca un polinom întreg. De exemplu:

(a 2 + 2ab + b 2 ) : (a + b) = a + b

la fel de (a + b) (a + b) = (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 .

În general, astfel de coeficienti pot fi notați doar printr-un semn de divizare. De exemplu, coeficientul de diviziune a - b + c pe d-e ar fi exprimat astfel:

Sau ( a - b + c ): (d-e).

Uneori este posibil să se exprime câtul ca un polinom întreg atunci când ambele polinoame sunt situate în puteri ale aceleiași litere. Să arătăm cum să faceți acest lucru cu următorul exemplu:

(5x 2 - 19x 3 + 17x + 6x 4 - 4) : (1 - 5x + 3x 2) .

Scriem ambele polinoame în puteri descrescătoare ale literei X și aranjați împărțirea așa cum este atunci când împărțiți numerele întregi:

Să presupunem că câtul necesar este egal cu un polinom și că termenii acestui polinom sunt de asemenea localizați în puteri descrescătoare ale literei X .

Dividendele trebuie să fie egal cu produsul dintre divizor și cât. Din înmulțirea polinoamelor aranjate, se știe că cel mai mare termen al produsului este egal cu produsul dintre cel mai mare termen multiplicand și cel mai mare termen al multiplicatorului. În divizibil, termenul cel mai mare este primul, în divizor și coeficient, termenii cei mai mari sunt și primii. Prin urmare, primul termen al dividendului ( 6x 4 ) trebuie să fie produsul primului termen al divizorului ( 3x 2 ) prin primul termen al coeficientului. De aici rezultă: pentru a găsi primul termen al coeficientului, este suficient să împărțiți primul termen al dividendului la primul termen al divizorului. Împărțind, găsim primul membru al coeficientului 2x 2 . O scriem sub rând în privat.

Înmulțim toți termenii divizorului cu primul termen al coeficientului și scadem produsul rezultat din dividend. Pentru a face acest lucru, îl scriem sub dividend, astfel încât termenii similari să fie sub cei similari și toți termenii subtraendului să fie inversați. Obținem după scăderea primului rest. Dacă acest rest s-a dovedit a fi egal cu zero, atunci aceasta ar însemna că nu există alți termeni în câte, cu excepția primului găsit, adică că câtul este un monom. Dacă, ca în exemplul nostru, primul rest nu este zero, atunci vom argumenta după cum urmează.

Dividentul este produsul tuturor termenilor divizorului și fiecărui termen al coeficientului. Din dividend am scăzut produsul tuturor membrilor divizorului cu primul membru al coeficientului; prin urmare, primul rest conține produsul tuturor termenilor divizorului cu al 2-lea, cu al 8-lea și următorii membri ai coeficientului. Cel mai înalt termen din restul este primul; cel mai înalt membru al divizorului este și primul; cel mai înalt termen din coeficient (fără a număra primul) este al 2-lea termen. Deci primul termen al restului (- 9X 3 ) trebuie să fie egal cu produsul dintre primul termen al divizorului cu al doilea termen al câtului. De aici concluzionăm: pentru a găsi al 2-lea membru al coeficientului, este suficient să împărțim primul membru al primului rest la primul membru al divizorului. Împărțind, găsim al 2-lea membru al coeficientului - Zx . O scriem in privat.

Înmulțim cu al 2-lea membru al coeficientului toți membrii divizorului și scădem produsul rezultat din primul rest. Primim al 2-lea rest. Dacă acest rest este zero, atunci împărțirea este încheiată; dacă, ca în exemplul nostru, al 2-lea rest nu este egal cu zero, atunci vom argumenta după cum urmează.

Al 2-lea rest este produsul tuturor termenilor divizorului și al treilea, al 4-lea și următorii termeni ai coeficientului. Deoarece dintre acești membri ai coeficientului cel mai mare este al 3-lea, atunci, ca și precedentul, vom găsi al 3-lea termen al coeficientului dacă împărțim primul termen al celui de-al 2-lea rest la primul termen al divizorului. Împărțind, găsim - 4 . Înmulțirea cu -4 toți termenii divizorului și scăzând produsul din rest, obținem al treilea rest. În exemplul nostru, acest rest sa dovedit a fi zero; asta arată că privatul nu poate conține alți membri decât cei găsiți. Dacă al 3-lea rest nu ar fi 0, atunci, ca și precedentul, ar fi necesară împărțirea primului termen al acestui rest la primul termen al divizorului; aceasta ar da al 4-lea termen al coeficientului și așa mai departe.

Ar fi posibil să se aranjeze dividendul și divizorul în puteri crescătoare ale aceleiași litere și apoi să se procedeze așa cum tocmai s-a spus; în acest caz, ar trebui să se bazeze pe faptul că cel mai mic termen al produsului este egal cu produsul dintre termenul cel mai mic al multiplicandului cu cel mai mic termen al multiplicatorului.

71. Exemple.

Nu am scris aici produsele termenului 1 al divizorului cu primul, cu al 2-lea etc., membri ai coeficientului, deoarece aceste produse sunt întotdeauna egale cu termenii în care sunt semnate, și se reduc întotdeauna atunci când scazut. De obicei fac asta. În plus, la semnarea subtraendelor, le-am scris direct cu semne inverse.

În mod similar, putem verifica că diferențele x 5 - a 5 , x 6 - a 6 ... si in general vorbind
x m - a m împărțit fără rest la diferență x - a , adică că diferența acelorași puteri a două numere este divizibilă cu diferența acestor numere fără rest .

72. Semne ale imposibilității împărțirii polinoamelor. Din procesul descris, se poate observa că împărțirea unui polinom cu un polinom nu poate fi efectuată în următoarele cazuri:

A) Dacă exponentul majusculei în termenul cel mai mare al dividendului este mai mic decât exponentul aceleiași litere în termenul cel mai înalt al divizorului, pentru că atunci nu se poate obține termenul cel mai mare al coeficientului.

b) Dacă exponentul majusculei în termenul cel mai mic al dividendului este mai mic decât exponentul. de aceeași literă în termenul cel mai mic al divizorului, pentru că atunci este imposibil să înveți termenul cel mai mic al coeficientului.

c) Dacă indicatorii literei principale în termenii cel mai mare și cel mai mic al dividendului nu sunt mai mici decât indicatorii acestei litere în termenii cel mai mare și cel mai mic al divizorului, atunci nu se poate spune că împărțirea este posibilă. În acest caz, pentru a judeca posibilitatea sau imposibilitatea împărțirii, trebuie să începem să executăm acțiunea în sine și să o continuăm până când ne convingem în sfârșit de posibilitatea sau imposibilitatea obținerii unui coeficient sub formă de polinom.

În acest caz, trebuie să se distingă două cazuri:

I. Când polinoamele sunt aranjate în puteri descrescătoare ale literei principale, ele continuă acțiunea până când restul este 0 (atunci împărțirea este posibilă și completă), sau până ajung la un astfel de rest, al cărui termen 1 conține principalul litera cu indicatorul mai mic decât indicele primului termen al divizorului (atunci împărțirea este imposibilă). De exemplu:

Împărțirea este imposibilă, pentru că am ajuns la un astfel de rest, în care primul termen nu este divizibil cu primul termen al divizorului.

II. Când polinoamele sunt aranjate în puteri crescătoare, atunci, indiferent cât de mult am continua împărțirea, nu vom obține niciodată un astfel de rest, în care exponentul primului membru ar fi mai mic decât exponentul primului membru al divizorului, deoarece cu o astfel de aranjare, indicii majusculei din resturile primelor membre sunt in crestere. De exemplu:

Continuând acțiunea mai departe, vom obține în termen privat - 4a 3 , dar dacă ar fi posibil să se obțină un coeficient întreg (fără un rest), atunci ultimul său membru ar trebui să fie 5a 2 (de la împărțirea celui mai mare membru al dividendului la cel mai mare membru al divizorului); deci împărțirea este imposibilă.

Cometariu. Împărțirea polinoamelor este descrisă mai detaliat în partea a 2-a, § 390 și urm.

Capitolul cinci.

Factorizarea.

73. Observație preliminară. Vorbind despre împărțirea algebrică, am subliniat că, în unele cazuri, câtul poate fi notat doar prin semnul diviziunii. Expresiile rezultate sunt astfel:

etc.,

numit fracții algebrice prin asemănarea acestor expresii cu fracţiile aritmetice.

Vom vedea în curând că fracțiile algebrice, precum cele aritmetice, pot fi uneori simplificate prin reducerea (adică, împărțirea) dividendului și împărțirea la factorii lor comuni, dacă există. Pentru a face posibilă fără dificultate o astfel de reducere, trebuie să înveți să factorizezi expresii algebrice (la fel ca și în aritmetică, pentru a reduce fracții, trebuie să fii capabil să factorizezi numerele întregi în factorii lor constitutivi).

74. Descompunerea monomiilor întregi. Luați un monom întreg, de exemplu. 6a2b 3 . Deoarece este un produs, atunci de către unul dintre tipurile sale poate fi descompus imediat în factori constitutivi. Asa de:

6a2b 3 =2 3 (aa) (bbb) = 2 3aabbb.

Combinând acești factori în unele grupe (folosind proprietatea asociativă a înmulțirii), putem indica diferite expansiuni pentru acest monom, de exemplu:

6a2b 3 =(6a) (ab 3) \u003d (2a 2 b) (3b 2) \u003d (Zab 2) (2ab) etc.

75. Descompunerea polinoamelor. Să indicăm cele mai simple cazuri când un polinom poate fi factorizat.

A) La fel de (a + b - c) m = am + bm - cm , si invers:

am + bm - cm = (a + b - c) m .

Prin urmare, dacă toți termenii polinomului conțin un factor comun, atunci acesta poate fi scos din paranteze.

De exemplu: 1) x 6 -2x 2 + 3x \u003d x (x 5 -2x + 3).

2) 16a 2 - 4a 3 \u003d 4a 2 (4 - a).

3) 5m(x - 1) + 3n (x - 1) = (x - 1) (5m - 3n).

b) La fel de

(a + b) (a-b) \u003d a 2 - b 2

si invers:

a 2 - b 2 \u003d (a + b) (a-b)

Prin urmare, un binom, care este pătratul unui număr fără pătratul altui număr, poate fi înlocuit cu produsul sumei acestor numere prin diferența lor.

în) La fel de (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 și (a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 , si invers:

a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 = (a + b) (a + b) și

a 2 - 2ab + b 2 = (a - b) 2 ==(a - b) (a - b) ,

Deci trinomul, care este suma pătratelor oricăror două numere, mărită sau micșorată de două ori produsul acestor numere, poate fi văzută ca pătratul sumei sau diferenței acestor numere.

Exemple.

1) a 2 + 2a +1 . La fel de 1=1 2 și 2a = 2a 1 , apoi

a 2 + 2a +1 = (a + 1) 2 .

2) x 4 + 4 - 4x 2 . Aici x 4 \u003d (x 2) 2, 4 \u003d 2 2 și 4x 2 \u003d 2x 2 2 ;

De aceea: x 4 + 4 - 4x 2 = (x 2 - 2) 2 . Se poate scrie și asta

x 4 + 4 - 4x 2 = (2x2) 2 , deoarece sunt binoame. x 2 - 2 și 2x2 , fiind ridicat la pătrat, dați trinoame care diferă doar în ordinea termenilor:

(x 2 - 2) 2 = x 4 + 4 - 4x 2 ; (2x2) 2 = 4 - 4x 2 + x4 .

3) -x + 25x 2 + 0,01 . Sunt două pătrate aici: 25x 2 = (5x) 2 și 0,01 = 0,1 2 . Produsul dublu al numerelor 5x și 0,1 este: 2 5x 0,1 = X . Deoarece în acest trinom ambele pătrate sunt cu semnul + și produsul dublu (adică. X ) cu semnul -, atunci

-x + 25x 2 + 0,01 = 25x 2 - X + 0,01 = (5x - 0,1) 2 = (0,1 - 5x) 2 .

4) - x 2 - y 2 + 2xy. Să punem semnul - din paranteze: - ( x 2 + y 2 - 2xy ). Trinomul dintre paranteze este evident (X y) 2 .

- x 2 - y 2 + 2xy = - (x 2 + y 2 - 2xy ) = - (X y) 2 = - (y-x) 2 .

d) Uneori un polinom poate fi factorizat prin combinarea membrilor săi în unele grupuri.

Capitolul șase.

Fracții algebrice.

76. Diferența dintre o fracție algebrică și una aritmetică. După cum am spus mai înainte, câtul împărțirii a două expresii algebrice în cazul în care împărțirea este doar indicată se numește fracție algebrică. Acestea sunt, de exemplu, expresiile:

În astfel de expresii, dividendul se numește numărător, divizorul este numitorul și ambii sunt termenii fracției.

Amintiți-vă că o fracție aritmetică este și câtul împărțirii numărătorului la numitor. Astfel, fracția 3/5 nu înseamnă doar trei astfel de acțiuni, care sunt cuprinse în unitatea cinci; această fracție înseamnă, de asemenea, a cincea parte a trei unități, adică este un cât de împărțire a 3 la 5. Dar diferența dintre o fracție algebrică și una aritmetică este că o fracție aritmetică este un cât de împărțire a unui număr întreg pozitiv la un alt număr întreg pozitiv , atunci la fel cum o fracție algebrică este un coeficient al împărțirii oricăror numere, atât întregi cât și fracționari, atât pozitive cât și negative. De exemplu, expresii:

nu pot fi numite fracții aritmetice; acestea vor fi cazuri speciale de fracții algebrice. Astfel, o fracție algebrică este un concept mai larg decât o fracție aritmetică; include o fracție aritmetică ca caz special.

Totuși, în ciuda acestei diferențe, toate proprietățile unei fracții aritmetice aparțin, așa cum vom vedea în acest capitol, unei fracții algebrice.

77. Proprietatea principală a unei fracții. Deoarece fracția este câtul împărțirii numărătorului la numitor, iar câtul nu se modifică de la înmulțirea (sau împărțirea) dividendului și divizorului cu același număr (cu excepția zero) (Secțiunea 1 § 34, e), atunci aceeași proprietate aparține fracției, adică valoarea unei fracții nu se modifică dacă numărătorul și numitorul ei sunt înmulțiți (sau împărțiți) cu același număr (cu excepția zero) . De exemplu, dacă înmulțim numărătorul și numitorul unei fracții

hai sa ne punem - 4 / 9 , atunci vom avea: prima fracție

fracție nouă:

vedem că valoarea fracției rămâne aceeași.

Folosind această proprietate a unei fracții, putem efectua aceleași transformări asupra fracțiilor algebrice ca cele indicate în aritmetică pentru fracții aritmetice, adică putem reduce, dacă este posibil, fracții și le aducem, dacă este necesar, la un numitor. Să luăm în considerare aceste transformări și să subliniem altele care nu sunt folosite în aritmetică.

78. Reducerea membrilor unei fracții la o formă întreagă. Dacă se întâmplă ca membrii unei fracții să conțină ei înșiși fracții, atunci prin înmulțirea lor cu un număr ales corect sau cu o expresie algebrică, putem scăpa de aceste fracții.

Exemple.

79. Schimbarea semnelor membrilor unei fracțiuni. Inversarea semnului în fața numărătorului și numitorului unei fracții este ca și cum le-ați înmulți cu -1, ceea ce nu schimbă valoarea fracției. Asa de:

Rețineți că dacă schimbăm semnul în fața oricărui membru al fracției și în același timp schimbăm semnul în fața fracției în sine, atunci și valoarea fracției nu se va schimba; de exemplu:

Aceste proprietăți ale unei fracții pot fi uneori folosite pentru o anumită transformare a acesteia; de exemplu:

80. Reducerea fracțiilor. Pentru a reduce o fracție algebrică, este necesar, dacă este posibil, să găsim mai întâi o astfel de expresie algebrică prin care ambii termeni ai fracției să fie divizibili și apoi să îi împarți prin această expresie. Luați în considerare cum este cel mai convenabil să faceți acest lucru în următoarele două cazuri.

A) Luați o fracție în care ambii termeni sunt monomii întregi; de exemplu:

Cote 12 și 20 sunt divizibile cu 4, iar expresiile literale sunt divizibile cu A și pe X 2 , Deci această fracție poate fi redusă cu 4ax 2 :

(deasupra fracției am scris acei factori comuni prin care reducem fracția; în loc să împărțim 3ax pe 5 ne-am împărțit în 5 numai coeficient 3 ).

b) Dacă fracția are un numărător sau numitor (sau ambele) sunt polinoame, atunci aceste polinoame trebuie mai întâi factorizate (așa cum este indicat în); dacă printre ele sunt aceleași, atunci fracția poate fi redusă pe ele.

Exemple.

(în loc de împărțire la 2, se stabilește înmulțirea cu 1/2, ceea ce este echivalent cu împărțirea la 2).

81. Reducerea fracțiilor la un numitor comun,

A) Să fie necesar să se reducă la un numitor comun fracțiile cu numitori exprimați în numere, de exemplu, cum ar fi:

Pentru a face acest lucru, descompunem numitorii în factori primi:

3; 15 = 3 5; 18 = 2 3 3

și găsiți cel mai mic multiplu al lor; acesta va fi 2 3 3 5 = 90. Acum găsiți pentru fiecare numitor un factor suplimentar prin care să înmulțiți acest numitor pentru a obține în schimb 90. Acești factori suplimentari vor fi:

90:3 = 30; 90:15 = 6, 90:18 = 5.

Pentru ca fracțiile să nu-și schimbe valoarea, este necesar să înmulțim numărătorii cu aceleași numere cu care înmulțim numitorii:

(Multiplicatorii suplimentari se scriu deasupra fracțiilor).

b) Să luăm acum fracții ai căror numitori sunt monomii literale; de exemplu:

Pentru numitorul comun, se poate lua evident 30ab 2 . Multiplicatorii suplimentari vor fi atunci: 15ab, 10b și 6 :

Să factorizăm fiecare numitor. Primele două nu se descompun, iar a treia = (a + b) (a - b) . Deci numitorul comun va fi a 2 - b 2 , și obținem:

d) Se poate întâmpla ca nicio pereche de numitori să nu aibă factori comuni. Atunci trebuie să procedăm așa cum se procedează într-un caz similar în aritmetică, și anume: înmulțiți numărătorul și numitorul fiecărei fracții cu produsul semnificativului tuturor celorlalte fracții. De exemplu:

82. Adunarea și scăderea fracțiilor. După regula împărțirii unui polinom la un monom, putem scrie:

Citind aceste egalități de la dreapta la stânga, găsim:

1) Pentru a adăuga fracții cu aceiași numitori, puteți adăuga numărătorii lor și puteți semna același numitor sub sumă ;

2) pentru a scădea fracții cu aceiași numitori, puteți scădea numărătorii lor și semnați același numitor sub diferență;

Dacă datele pentru adunarea sau scăderea unei fracții au numitori diferiți, atunci trebuie mai întâi aduse la același numitor. De exemplu:

Ca rezultat al scăderii obținem:

83. Înmulțirea fracțiilor. Pentru a înmulți o fracție cu o fracție, puteți înmulți numărătorul cu numărătorul și numitorul cu numitorul și luați primul produs ca numărător și al doilea ca numitor, adică

Amintiți-vă explicația acestei reguli așa cum este aplicată fracțiilor aritmetice. Să se înmulțească 2 / 3 4 / 5 Înseamnă să găsești 4 / 5 din 2 / 3 (ex. a găsi 4 / 5 lungime egală cu 2 / 3 metri). Pentru a face acest lucru, trebuie mai întâi să găsiți 1 / 5 din 2 / 3 și apoi 4 / 5 din 2 / 3 . A găsi 1 / 5 din 2 / 3 necesar 2 / 3 reduce de 5 ori; primim 2 / 15 . Pentru a găsi acum 4 / 5 din 2 / 3 , necesar 2 / 15 crește de 4 ori; primim 8 / 15 . Prin urmare:

Acum vom verifica această regulă pentru fracțiile algebrice, când numerele a, b, c și d va fi orice. Să presupunem mai întâi că toate aceste numere sunt pozitive, dar nu întregi, ci fracționale. Să fie, de exemplu:

Să substituim aceste numere în egalitatea (1), să calculăm separat părțile din stânga și din dreapta și să comparăm rezultatele pe care le obținem (când calculăm, ne vom ghida după regulile de împărțire și înmulțire a fracțiilor aritmetice):

(nu vom efectua calculul final).

Acum să găsim partea dreaptă a egalității (1):

Comparând rezultatele obținute, vedem că sunt aceleași, deoarece (după proprietatea comutativă a înmulțirii întregi) 2 8 5 4 = 2 5 8 4 și 3 7 6 9 = 3 6 7 9. Prin urmare, egalitatea (1) rămâne adevărat și în acest caz.

Acum să presupunem că unele dintre numerele a, b, c și d devin negative. fie, de exemplu, a = - 2 / 3 ( b, c și d au aceleasi valori). Apoi fracția A / b devine negativ, iar toată partea stângă a egalității (1) va fi, de asemenea, un număr negativ. Pe partea dreaptă a lucrării as devine negativ și, prin urmare, toată partea dreaptă va fi, de asemenea, un număr negativ. Valoarea absolută a părții stângi și a părții drepte va rămâne aceeași. Prin urmare, egalitatea (1) nu este încălcată. De asemenea, ne asigurăm că egalitatea (1) rămâne adevărată chiar și atunci când alte numere devin negative.

Tot ceea ce tocmai am spus despre un anumit exemplu poate fi repetat despre orice alt exemplu; prin urmare, egalitatea (1) este adevărată pentru orice valoare a literelor a, b, c și d .

84. Împărțirea fracțiilor. Pentru a împărți o fracție la o fracție, puteți înmulți numărătorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua, numitorul primei cu numărătorul celei de-a doua și să luați primul produs ca numărător și al doilea ca numitor. , adică

Că această egalitate este adevărată pentru toate numerele a, b, c, d , te poți asigura printr-o simplă verificare a împărțirii: înmulțind câtul cu divizorul (după regula de înmulțire a fracțiilor demonstrată mai sus), obținem dividendul:

85. Observații. 1) Din moment ce anunț /bc=a/bd/ c , atunci regula împărțirii poate fi exprimată în alt mod: Pentru a împărți o fracție la o fracție, puteți înmulți prima fracție cu reciproca celei de-a doua.

2) Orice expresie algebrică întreagă poate fi considerată ca o fracție, în care numărătorul este această expresie întreagă, iar numitorul este 1; de exemplu.

A = a/1 ; 3x 2 = 3x 2 /1 etc.

Prin urmare, regulile date de noi pentru acțiunile asupra fracțiilor pot fi aplicate și în astfel de cazuri când oricare dintre aceste expresii este un număr întreg, este necesar doar să descriem acest număr întreg (cel puțin mental) ca o fracție. De exemplu:

86. Eliberarea ecuației de la numitori. Să fie dată ecuația:

Reversibil 6 3 / 5 într-o fracție improprie și aduceți toți termenii la același numitor:

Acum înmulțiți toți termenii cu 10; atunci numitorul 10 va fi distrus și vom obține ecuația fără fracții:

Pentru a evita o eroare, am inclus un binom 7x-2 între paranteze pentru a arăta că semnul - din această ecuație în fața celei de-a doua fracții nu se referă la 7x , și la întregul binom 7x-2 (la numărătorul celei de-a doua fracții). Extinderea acestor paranteze conform regulii de scădere, obținem:

Prin urmare, pentru a elibera o ecuație de numitori, este necesar să aduceți toți termenii ei la același numitor și apoi să-i înmulțiți cu acest numitor (cu alte cuvinte, aruncă-l ).

Capitolul șapte.

raport și proporție.

87. Atitudine. De multe ori este necesar să comparați o valoare cu o altă valoare, omogenă cu aceasta, pentru a afla de câte ori prima valoare o conține pe a doua.

De exemplu, în acest scop putem compara greutatea unui obiect cu greutatea altui obiect, prețul unui produs cu prețul altui produs etc. În toate astfel de cazuri, rezultatul comparației este exprimat ca număr. , care poate fi atât un întreg, cât și un întreg cu o fracție și fracțional. Să comparăm, de exemplu, lungimea A cu lungime diferita b , iar rezultatul comparației s-a dovedit a fi numărul întreg 3 .

Aceasta înseamnă că lungimea A conţine lungimea b exact de 3 ori (cu alte cuvinte, A Mai mult b de 3 ori).

Dacă rezultatul comparației este un număr întreg cu o fracție, de ex. 2 1 / 2 , atunci asta înseamnă că A conţine b de 2 ori 1/2 ( A Mai mult b de 2 ori 1/2).

Dacă, în sfârșit, rezultatul comparației este o fracție, puneți 3 / 4 , atunci A nu contine b nu o dată, ci doar 3/4 b .

În toate aceste cazuri, rezultatul comparației este un număr abstract cu care a doua valoare trebuie înmulțită pentru a obține prima. Deci, în exemplele noastre:

a = b 3 ; a = b 2 1 / 2 ; a = b 3 / 4;

Rezultatul comparării unei mărimi cu o altă cantitate omogenă se numește de obicei raportul dintre prima cantitate și a doua. Mijloace, raportul dintre o cantitate și o altă mărime omogenă este un număr abstract cu care a doua cantitate trebuie înmulțită pentru a obține prima. Deoarece acest număr este câtul împărțirii primei valori la a doua, raportul este indicat de semnul diviziunii. Deci, puteți scrie:

A / b (sau a:b) =3; A / b = 2 1 / 2 A / b = 3 / 4 . etc.

Valorile între care se ia raportul se numesc membri ai relației, prima valoare fiind numită membru anterior, iar a doua următoarea.

Dacă mărimile sunt măsurate cu aceeași unitate și exprimate în numere, atunci raportul lor poate fi înlocuit cu raportul acestor numere. De exemplu, raportul dintre două greutăți, una la 80 g și cealaltă la 15 g, este egal cu raportul numerelor 80 și 15, adică este egal cu coeficientul 80:15, care este 5 1 / 3 ; de asemenea, raportul dintre un unghi de 30 ° și un unghi drept este egal cu câtul 30:90, adică fracții 1 / 3

Este necesar să se compare între ele în cea mai mare parte a cantităților pozitive; prin urmare, atât termenii relației, cât și relația în sine se vor presupune a fi exprimați ca numere pozitive.

88. Dependenţa dintre relaţie şi membrii acesteia la fel ca și între dividend, divizor și coeficient.

A) Termenul anterior este egal cu următorul înmulțit cu raportul (dividendul este egal cu divizorul înmulțit cu câtul). Dacă, de exemplu, raportul unui număr necunoscut X la număr 100 egală 2 1 / 2 , apoi X = 100 2 1 / 2 = 250 .

b) Următorul termen este egal cu cel anterior împărțit la raport (divizorul este egal cu dividendul împărțit la cât). Deci, dacă se știe că 15: X = 5, atunci X = 15: 5 = 3.

în) Raportul nu se va schimba dacă ambii membri ai săi sunt înmulțiți sau împărțiți cu același număr (coeficientul nu se va schimba dacă...).

89. Aducerea membrilor relaţiei la întreaga formă.Înmulțind ambii termeni ai relației cu același număr, putem înlocui relația cu membri fracționari cu relația de numere întregi. Da, atitudine 7 / 3 : 5 prin înmulțirea membrilor săi cu 3, se va transforma într-un raport de numere întregi 7:15; raportul 9 / 14: 10 / 21, după înmulțirea termenilor săi cu un numitor comun 42, se va transforma, de asemenea, într-un raport de numere întregi 27: 20.

90. Reducerea relatiei. Dacă ambii membri ai relației sunt numere întregi divizibile cu un divizor comun, atunci o astfel de relație poate fi redusă. Deci, raportul de 42:12 prin împărțirea membrilor săi la 6 ar fi 7:2.

91. Relație inversă. Dacă rearanjam termenii relației, adică facem ca termenul anterior să urmeze și invers, atunci obținem o nouă relație, care se numește inversul celei anterioare. Astfel, raportul dintre metru și centimetru este invers raportului dintre centimetru și metru; primul este egal cu numărul 100, al doilea este egal cu reciproca lui 0,01.

92. Proporţia. Observând că raportul dintre kilogram la gram este 1000 și că raportul dintre kilometru și metru este, de asemenea, 1000, putem scrie ecuația:

sau kilogram: gram = kilometru: metru, care arată după cum urmează: raportul dintre un kilogram și un gram este egal cu raportul dintre un kilometru și un metru; sau așa: un kilogram este raportat la un gram cât un kilometru este legat de un metru (sau altfel: un kilogram este mai mare decât un gram de câte ori un kilometru este mai mare decât un metru).

Egalitatea a două rapoarte se numește proporție. Desigur, cantitățile implicate în fiecare raport trebuie să fie omogene; deci, în exemplul nostru, valorile primului raport sunt greutăți, iar valorile celui de-al doilea raport sunt lungimi.

Dintre cele patru valori care alcătuiesc proporția, primul și al patrulea se numesc termeni extremi, al doilea și al treilea sunt termenii de mijloc, primul și al treilea sunt cei anteriori, al doilea și al patrulea sunt următorii. cele. Ultima mărime se mai numește și a patra proporțională cu primele trei mărimi.

Vom presupune că toți cei patru termeni ai proporției sunt exprimați în numere; o astfel de proporţie o vom numi numerică.

93. Principala proprietate a proporţiei numerice. Să presupunem că avem următoarele proporții numerice:

21 / 7 = 15 / 5 (fiecare raport = 3)

Să luăm în fiecare proporție produsul termenilor extremi și produsul termenilor de mijloc și să le comparăm între ele. În prima proporție, produsul extremelor este

21 5=105 iar produsul mijloacelor este 7 15=105; în a doua proporție, produsul extremelor \u003d 2 1 / 2 3 = 7 1/2 și produsul mediilor = 3/4 10 = 7 1/2

Astfel, în fiecare dintre proporțiile luate, produsul termenilor extremi este egal cu produsul celor din mijloc.

Pentru a arăta că această proprietate aparține oricărei proporții numerice, să luăm proporția în formă literală:

A / b = cu / d

Deoarece fiecare dintre cele două rapoarte care alcătuiesc proporția este câtul de împărțire a termenului anterior la următorul, putem spune că proporția este egalitatea a două fracții. Să aducem aceste fracții la un numitor comun bd .

Acum înmulțim ambele părți ale ecuației cu bd (din care egalitatea nu va fi încălcată); atunci numitorul comun va scădea și obținem egalitatea:

ad = cb ,

exprimând că în orice proporție numerică produsul termenilor extremi este egal cu produsul celor mijlocii.

De aici rezultă că fiecare membru extrem al proporției este egal cu produsul dintre medii împărțit la cealaltă extremă și fiecare membru mediu al proporției este egal cu produsul dintre extreme împărțit la cealaltă medie. Acest lucru ne oferă capacitatea de a rezolva rapid ecuații date ca proporții; de exemplu din ecuație

10 / X = 45 / 20

ieșire direct: X = 10 20 / 45 = 4 4 / 9 .

94. Propunerea inversă. Să presupunem că avem 4 numere astfel încât produsul a două dintre ele este egal cu produsul celorlalte două, de exemplu:

Putem transforma o asemenea egalitate într-o serie de proporții. Pentru a face acest lucru, împărțim ambele părți în fiecare dintre aceste lucrări:

5 30; 5 2; 12 30; 12 2,

în care un factor este luat dintr-un produs dat, iar celălalt dintr-un altul. Apoi obținem alte 4 egalități (dacă împărțim numere egale în numere egale, atunci obținem cele egale), și anume:

Reducand toate aceste fractii, gasim:

Vom obține astfel 4 proporții, în care termenii extremi sunt factorii unuia dintre produsele date, iar termenii medii sunt factorii unui alt produs dat.

În mod similar, putem transforma ecuația 0,3 4 = 6 0,2 în următoarele proporții:

sau egalitate: 5x=3y putem converti în proporții:

5:3=y:x ; x:y=3:5 , etc.

Astfel, dacă produsul a două numere este egal cu produsul altor două numere, atunci se pot face proporții din aceste 4 numere, luând factorii unui produs ca termeni extremi și factorii celuilalt produs ca membri din mijloc. a proportiilor.

95. Consecință.În orice proporție numerică, se pot rearanja termenii mijlocii între ei, termenii extremi între ei sau pune mediile în locul extremelor și invers, deoarece astfel de permutări nu vor încălca egalitatea dintre produsul extremelor și produsul mediilor și, prin urmare, proporționalitatea numerelor nu va fi încălcată.

96. Media geometrică. Să luăm o proporție în care termenii de mijloc sunt aceiași; De exemplu:

Termenul repetat al unei astfel de proporții se numește medie geometrică numărul celorlalți doi membri ai proporției: 12 este media geometrică a lui 36 și 4. Astfel, dacă doriți să aflați media geometrică a două numere A și b , apoi, notându-l prin literă X , putem scrie proporția:

a:x=x:b

x 2 = ab

Prin urmare, media geometrică a două numere date este un astfel de al treilea număr, al cărui pătrat este egal cu produsul numerelor date. De exemplu, media geometrică a lui 25 și 4 este 10 deoarece 10 2 = 25 4 .

97. Media aritmetică. Media aritmetică a mai multor numere date este câtul împărțirii sumei acestor numere la numărul lor. De exemplu, media aritmetică a 4 numere: 10, -2, -8 și 12 este:

Media aritmetică are proprietatea că dacă, la adunarea acestor numere, înlocuim fiecare dintre ele cu media aritmetică, atunci suma nu se va modifica din această înlocuire. Astfel, suma numerelor 10, -2, -8 și 12 este egală cu 12, iar suma 3+3+3+3 este de asemenea egală cu 12. Să presupunem, de exemplu, că productivitatea fabricii în timpul primele patru luni ale anului curent, comparativ cu productivitatea sa din decembrie a anului precedent, au crescut: în ianuarie cu 10 °/o, în februarie cu -2%, în martie cu -8% (ceea ce înseamnă că productivitatea a scăzut în ultimele 2 luni) și în aprilie cu + 12%. Apoi putem spune că creșterea medie a productivității în aceste 4 luni este de 3% pe lună. Acest lucru trebuie înțeles în așa fel încât productivitatea fabricii pentru toate cele 4 luni s-a dovedit a fi aceeași pe care ar fi dacă ar crește în fiecare lună la fel, și anume cu 3% (față de productivitatea din decembrie). Într-un sens similar, se vorbește adesea despre venitul mediu, viteza medie de deplasare, densitatea medie a populației etc. În toate astfel de expresii, se presupune că vorbim despre media aritmetică.

98. Proporții derivate. Din orice proporție, pe lângă permutarea termenilor, puteți obține și alte proporții, numite derivate. Să subliniem două dintre ele.

Dacă fiecare dintre rapoartele egale care alcătuiesc proporția este mărită sau micșorată cu 1, atunci egalitatea dintre rapoarte, evident, nu va fi încălcată. Prin urmare, dacă

Aducând 1 la un numitor comun cu fracția căreia i se aplică sau din care i se scade, obținem:

Putem exprima cele două proporții derivate pe care le-am derivat după cum urmează: în orice proporție, suma sau diferența termenilor din prima relație este legată de termenul următor al acestei relații în același mod în care suma sau diferența termenilor din a doua relație este legată de termenul următor al acestei relații.

Împărțim egalitatea (1) și (2) la această egalitate A /b=c/ d apoi numitorii b și d scade și obținem încă două proporții derivate:

care poate fi exprimat astfel: suma sau diferența membrilor primei relații este legată de membrul anterior al acestei relații în același mod în care suma sau diferența membrilor din a doua relație este legată de membrul anterior al acestei relații.

Împărțind termen cu termen egalitate (1) la egalitate (2), găsim și următoarea proporție derivată:

care poate fi exprimat astfel: suma termenilor din prima relație este legată de diferența lor în același mod în care suma termenilor din a doua relație este legată de diferența lor.

Rearanjand termenii de mijloc în două proporții derivate, obținem alte proporții derivate care sunt utile de remarcat:

99. Proprietatea raporturilor de egalitate. Să luăm mai multe relații egale, de exemplu, cum ar fi:

30 / 10 = 6 / 2 = 15 / 5 (fiecare raport = 3).

Să adăugăm toți termenii anteriori unul la altul și toți termenii următori unul la altul și să vedem care este raportul acestor două sume. Suma celor anterioare este: 30 + 6 + 15 = 51; suma următoarelor: 10 + 2 + 5 = 17. Vedem că raportul dintre prima sumă și a doua este egal cu același număr 3, care este egal cu aceste rapoarte, deci putem scrie:

Pentru a arăta că această proprietate este comună, să luăm mai multe relații egale în formă literală:

Deoarece termenul anterior este egal cu termenul următor înmulțit cu raportul, atunci

a = bq, c = dq, e = fq , . . .

și, prin urmare a + c + e + . . . = bq + dq + fq + . . .

adică a + c + e. . . =q(b + d + f +...)

Împărțiți ambele părți ale acestei egalități la suma b + d + f + . . .

prin urmare:

Prin urmare, dacă mai multe rapoarte sunt egale între ele, atunci suma tuturor membrilor lor anteriori este raportată la suma tuturor celor ulterioare, deoarece oricare dintre cele precedente este legată de cel următor.

Deoarece fiecare proporție constă din două rapoarte egale, această proprietate aparține și proporției.

100. Aplicare aritmetică.(Diviziunea proporțională.) Fie ca numărul 60 să fie împărțit în trei părți proporțional cu numerele b, 7 și 8. Acest lucru ar trebui înțeles în așa fel încât este necesar să se împartă 60 în astfel de trei părți. X y și z , la X deci tratat 5 ca la se referă la 7 și cum z se referă la 8, adică la

X / 5 = y / 7 = z / 8

Aplicând proprietățile rapoartelor egale, găsim:

Dar x + y + z = 60

De aici găsim:

101. Aplicație geometrică. Fie două poligoane similare și laturile unuia fie a, b, c, d, ..., și similare, părți ale celeilalte a", b", c", d", ... Apoi

A / A" = b / b" = c / c" = d / d" = ...

adică perimetrele poligoanelor similare sunt legate ca laturi similare .

Cometariu. Proporțiile derivate și proprietatea rapoartelor egale pot fi uneori folosite pentru a rezolva rapid o ecuație dată ca proporție. Să dăm exemple.

Să facem o proporție derivată: suma membrilor primei relații se raportează la membrul următor al aceleiași relații în același mod ca. . .

Atunci obținem:

3 /x=47/ 7

Unde

X = 21 / 47

Să facem o proporție derivată: suma membrilor primei relații se raportează la diferența lor în același mod ca. . . Atunci obținem:

Să facem o nouă proporție: suma celor anterioare se raportează la suma celor ulterioare în același mod ca. . . :

Acum să facem o proporție derivată: suma termenilor primei relații se referă la termenul următor al acestei relații în același mod ca. . . :

Capitolul opt.

Dependență proporțională (directă și inversă).

102. Dependenţa proporţională. Toată lumea știe din experiență că, dacă volumul de apă crește (sau scade) în orice raport, atunci greutatea sa va crește (sau scade) în același raport. De exemplu, 1 litru de apă cântărește 1 kg, 2 litri de apă cântăresc 2 kg, 2 1/2 litri de apă cântăresc 2 1/2 kg etc. (presupunând, desigur, că toate celelalte condiții care afectează greutatea apei rămân neschimbate; de ​​exemplu, apa este luată la fel de curată, la aceeași temperatură etc.). Această relație dintre volumul de apă și greutatea acesteia se numește proporţional dependenta. În general, dacă spunem că două mărimi sunt proporționale una cu cealaltă (sau proporționale una cu cealaltă), atunci aceasta înseamnă că odată cu creșterea (sau scăderea) unuia dintre ele într-o anumită privință, și celălalt crește (sau scade) in acelasi fel . Astfel, valoarea unei mărfuri vândute la greutate este proporțională cu greutatea acesteia; salariile lucrătorilor sunt proporționale cu numărul acestora (în aceleași alte condiții); valoarea unei fracții este proporțională cu numărătorul acesteia (cu numitor constant); aria unui dreptunghi este proporțională cu baza sa cu o înălțime constantă și proporțională cu înălțimea sa cu o bază constantă etc.

103. Exprimarea dependenței proporționale printr-o formulă. Să presupunem că rezolvăm următoarea problemă:

Un tren de cale ferată, care se deplasează cu o rată uniformă, parcurge 30 km la fiecare oră. În ce spațiu va trece acest tren A ore ( A poate fi întreg sau fracționar)?

Lăsa să intre A ore în care va trece trenul X km.

Aranjați datele și întrebarea problemei după cum urmează:

30 km sunt parcursi in 1 ora;

în A ora " X km.

Cu mișcare uniformă, spațiul parcurs într-un anumit timp este proporțional cu acest timp. Asa de X ar trebui să fie mai mult sau mai puțin de 30 și de câte ori A mai mult sau mai puțin decât 1. Deci, putem scrie proporția:

X : 30 = A : 1 ,

X = 30A .

Am obținut astfel o formulă prin care putem calcula spațiul parcurs în orice număr A ore. De exemplu, la ora 2 se vor parcurge 30 km 2, la 3 1/2 ore 30 km 3 1/2. in 3/4 ore 30 km 3/4. Deci, în formula derivată, numerele X și A vor exista variabile (corespunzând între ele), în timp ce numărul 30 este constant (adică spațiul parcurs de tren în 1 oră, adică viteza de deplasare).

Din probleme precum cea prezentată acum, vedem că dacă două mărimi sunt proporționale, atunci valoarea numerică a uneia dintre ele este egală cu un număr constant înmulțit cu valoarea numerică corespunzătoare a celeilalte mărimi.

În schimb, dacă relația dintre oricare două variabile, pe care le notăm la și X , se exprimă printr-o formulă de formă y = kx , Unde k există un număr constant pentru aceste cantități, atunci astfel de cantități sunt proporționale, deoarece din această formulă se poate observa că odată cu creșterea (sau scăderea) valorii X altă valoare la de asemenea crește (sau scade) și, mai mult, în același raport. De exemplu, după cum se știe din geometrie, lungimea Cu raza cercului R exprimat prin formula:

C = 6,28R (C = 2πR),

în care Rși C- variabile și 6,28 - număr constant; atunci putem concluziona că circumferința unui cerc este proporțională cu raza acestuia.

Se numește un număr constant inclus ca factor în astfel de formule coeficient de proporționalitate acele variabile la care se referă formula.

104. Proporție inversă. Se întâmplă uneori ca două variabile să depindă una de alta astfel încât odată cu creșterea uneia dintre ele și cealaltă să scadă și, în plus, să scadă în același raport în care crește prima. Astfel de cantități sunt numite invers proporțională(și cantitățile care sunt pur și simplu proporționale sunt uneori numite direct proporționale). De exemplu, numărul de ore în care un tren de cale ferată călătorește tot drumul de la Moscova la Leningrad este invers proporțional cu viteza medie a acestui tren, deoarece cu o creștere a vitezei de 1 1/2 ori, de 2 ori ... , în general, la un anumit raport, numărul de ore în care trenul va parcurge distanța de la Moscova la Leningrad va scădea de 1 1 / 2 ori, de 2 ori ..., în general, în același raport în care viteza a crescut. În mod similar, greutatea unei mărfuri care poate fi cumpărată cu o anumită sumă de bani, de exemplu, pentru 100 de ruble, este invers proporțională cu prețul unui kilogram din această marfă; timpul în care lucrătorii prestează munca care le este atribuită este invers proporțional cu numărul acestor lucrători (desigur, cu condiția ca toți lucrătorii să lucreze la fel de bine); valoarea unei fracții este invers proporțională cu numitorul acesteia (cu numărător constant) etc.

Cometariu. Pentru ca două mărimi care depind una de cealaltă să fie proporționale (direct sau invers), nu este suficient să avem doar semnul că cu creșterea unei mărimi crește și cealaltă (pentru proporționalitate directă), sau că cu o creștere. într-o cantitate cealaltă scade (pentru proporţionalitate inversă). ). De exemplu, dacă orice termen crește, atunci și suma crește; dar ar fi greșit să spunem că suma este proporțională cu termenul, pentru că dacă creștem termenul, să-l punem de 3 ori, atunci suma, deși va crește, dar nu de 3 ori. În mod asemănător, este imposibil, de exemplu, să spunem că diferența este invers proporțională cu subtraend, deoarece dacă subtraend crește, să o punem de 2 ori, atunci diferența, deși scade, dar nu de 2 ori. Este necesar ca creșterea sau scăderea ambelor valori să aibă loc în același număr de ori (în același raport).

105. Exprimarea proporționalității inverse prin formulă. Să presupunem că rezolvăm o problemă: un lucrător poate lucra în 12 zile; în câte zile vor face aceeași muncă A muncitorii?

Notați numărul dorit cu literă X și aranjați pentru claritate datele și întrebarea problemei, după cum urmează:

1 muncitor face treaba in 12 zile

A muncitorii efectuează „„ X zile.

Evident, numărul de zile necesare pentru a face aceeași muncă este invers proporțional cu numărul de muncitori. Asa de ( X trebuie să fie mai mic de 12 și de câte ori A mai mare decât 1 (cu alte cuvinte, ce oră este cu 1 mai mică decât A ). Deci relația X :12 nu ar trebui să fie egal cu un raport A:1, așa cum ar fi cu o relație direct proporțională, iar raportul invers este 1: A . Deci putem scrie proporția:

X :12 = 1: A

X = 12 / A .

Cu această formulă putem afla numărul de zile X necesare pentru efectuarea acestei lucrări, pentru orice număr A muncitorii; de exemplu, 2 muncitori vor termina munca în 12/2 zile, 3 muncitori în 12/3 zile etc. Prin urmare, cifrele X și A in aceasta formula sunt variabile, iar numarul 12 este constant, adica cate zile este lucrata de catre un singur muncitor.

Din probleme precum cea tocmai rezolvată, putem vedea asta dacă oricare două mărimi (pe care le vom nota cu literele x și y) sunt invers proporționale, atunci valoarea numerică a uneia dintre ele este egală cu un număr constant (să-l notăm k) împărțit la valoarea corespunzătoare a celeilalte mărimi , adică y= k / X , dacă la și X reprezintă valorile corespunzătoare acestor cantități.

Din moment ce formula y= k / X poate fi reprezentat astfel: xy = k , atunci relația dintre mărimile invers proporționale poate fi exprimată în alt mod: dacă două mărimi sunt invers proporționale, atunci produsul a două valori numerice corespunzătoare ale acestor mărimi este egal cu un număr constant.

În schimb, dacă relația dintre două variabile este exprimată prin formula:

y= k / X sau xy = k .

Unde k este un număr constant, atunci aceste mărimi sunt invers proporționale, deoarece se poate observa din formula că dacă mărimea X crește de câteva ori, atunci la scade cu aceeasi cantitate.

De exemplu, din fizică se știe că, la o temperatură constantă, produsul dintre volumul V al unei mase date de gaz și elasticitatea sa h este o valoare constantă; aceasta, cu alte cuvinte, înseamnă că elasticitatea unei mase date de gaz este invers proporțională cu volumul acesteia (la aceeași temperatură).

Cometariu. Egalitate y= k / X poate fi scris diferit, astfel:

y = k 1 / X

În această formă, exprimă că cantitatea la direct proporțional cu fracția 1 / X . Deci, dacă numărul la invers proporțional cu numărul X , atunci se mai poate spune că numărul la direct proporțională cu reciproca numărului X , adică 1 / X .

Printre diferitele expresii care sunt luate în considerare în algebră, sumele de monomii ocupă un loc important. Iată exemple de astfel de expresii:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Suma monomiilor se numește polinom. Termenii dintr-un polinom sunt numiți membri ai polinomului. Mononoamele sunt denumite și polinoame, considerând un monom ca un polinom format dintr-un membru.

De exemplu, polinom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
poate fi simplificat.

Reprezentăm toți termenii ca monomii ale formei standard:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Dăm termeni similari în polinomul rezultat:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Rezultatul este un polinom, toți membrii căruia sunt monomii ale formei standard, iar printre ele nu există altele similare. Astfel de polinoame se numesc polinoame de formă standard.

In spate gradul polinom forma standard ia cea mai mare dintre puterile membrilor săi. Deci, binomul \(12a^2b - 7b \) are al treilea grad, iar trinomul \(2b^2 -7b + 6 \) are al doilea.

De obicei, termenii polinoamelor de formă standard care conțin o variabilă sunt aranjați în ordinea descrescătoare a exponenților ei. De exemplu:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Suma mai multor polinoame poate fi convertită (simplificată) într-o formă standard de polinom.

Uneori, membrii unui polinom trebuie împărțiți în grupuri, încadrând fiecare grup între paranteze. Deoarece parantezele sunt opusul parantezelor, este ușor de formulat reguli de deschidere a parantezelor:

Dacă semnul + este plasat înaintea parantezelor, atunci termenii încadrați între paranteze se scriu cu aceleași semne.

Dacă un semn „-” este plasat în fața parantezelor, atunci termenii cuprinsi între paranteze sunt scrise cu semne opuse.

Transformarea (simplificarea) a produsului dintre un monom și un polinom

Folosind proprietatea distributivă a înmulțirii, se poate transforma (simplifica) produsul dintre un monom și un polinom într-un polinom. De exemplu:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Produsul unui monom și al unui polinom este identic egal cu suma produselor acestui monom și a fiecăruia dintre termenii polinomului.

Acest rezultat este de obicei formulat ca o regulă.

Pentru a înmulți un monom cu un polinom, trebuie să înmulțim acest monom cu fiecare dintre termenii polinomului.

Am folosit în mod repetat această regulă pentru înmulțirea cu o sumă.

Produsul polinoamelor. Transformarea (simplificarea) produsului a două polinoame

În general, produsul a două polinoame este identic egal cu suma produsului fiecărui termen al unui polinom și al fiecărui termen al celuilalt.

Utilizați de obicei următoarea regulă.

Pentru a înmulți un polinom cu un polinom, trebuie să înmulțiți fiecare termen al unui polinom cu fiecare termen al celuilalt și să adăugați produsele rezultate.

Formule de înmulțire prescurtate. Sumă, diferență și pătrate diferențe

Unele expresii din transformările algebrice trebuie tratate mai des decât altele. Poate că cele mai comune expresii sunt \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) și \(a^2 - b^2 \), adică pătratul sumei, pătratul diferenței și pătratul diferenței. Ați observat că numele acestor expresii par a fi incomplete, deci, de exemplu, \((a + b)^2 \) este, desigur, nu doar pătratul sumei, ci pătratul sumei lui a și b. Cu toate acestea, pătratul sumei lui a și b nu este atât de comun, de regulă, în loc de literele a și b, conține expresii diverse, uneori destul de complexe.

Expresiile \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) sunt ușor de convertit (simplificat) în polinoame de forma standard, de fapt, ați întâlnit deja o astfel de sarcină atunci când înmulțiți polinoame :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Identitățile rezultate sunt utile de reținut și aplicate fără calcule intermediare. Formulări verbale scurte ajută acest lucru.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - pătratul sumei este egal cu suma pătratelor și a produsului dublu.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - pătratul diferenței este suma pătratelor fără a dubla produsul.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - diferența de pătrate este egală cu produsul dintre diferență și suma.

Aceste trei identități permit transformărilor să înlocuiască părțile din stânga cu cele din dreapta și invers - părțile din dreapta cu cele din stânga. Cel mai dificil lucru în acest caz este să vedeți expresiile corespunzătoare și să înțelegeți ce variabilele a și b sunt înlocuite în ele. Să ne uităm la câteva exemple de utilizare a formulelor de înmulțire abreviate.

Primul nivel

Conversia expresiei. Teoria detaliată (2019)

Conversia expresiei

Adesea auzim această frază neplăcută: „simplificați expresia”. De obicei, în acest caz, avem un fel de monstru ca acesta:

„Da, mult mai ușor”, spunem noi, dar un astfel de răspuns de obicei nu funcționează.

Acum vă voi învăța să nu vă fie frică de astfel de sarcini. Mai mult, la sfârșitul lecției, tu însuți vei simplifica acest exemplu la un număr (doar!) obișnuit (da, la naiba cu aceste litere).

Dar înainte de a începe această lecție, trebuie să fiți capabil să gestionați fracțiile și polinoamele factorizați. Prin urmare, mai întâi, dacă nu ați făcut acest lucru înainte, asigurați-vă că stăpâniți subiectele „” și „”.

Citit? Dacă da, atunci ești gata.

Operații de simplificare de bază

Acum vom analiza principalele tehnici care sunt folosite pentru simplificarea expresiilor.

Cel mai simplu dintre ele este

1. Aducerea asemănătoare

Ce sunt asemănătoare? Ai trecut prin asta în clasa a VII-a, când literele au apărut pentru prima dată la matematică în loc de cifre. Asemănători sunt termenii (monoamele) cu aceeași parte de literă. De exemplu, în suma, termenii similari sunt și.

Amintit?

A aduce termeni asemănători înseamnă a adăuga mai mulți termeni similari unul altuia și a obține un singur termen.

Dar cum putem pune litere împreună? - tu intrebi.

Acest lucru este foarte ușor de înțeles dacă vă imaginați că literele sunt un fel de obiecte. De exemplu, scrisoarea este un scaun. Atunci care este expresia? Două scaune plus trei scaune, cât va fi? Așa e, scaune: .

Acum încearcă această expresie:

Pentru a nu te confunda, lasă litere diferite să denotă obiecte diferite. De exemplu, - acesta este (ca de obicei) un scaun și - aceasta este o masă. Apoi:

scaune mese scaune mese scaune scaune mese

Se numesc numerele cu care se înmulțesc literele din astfel de termeni coeficienți. De exemplu, în monom coeficientul este egal. Și el este egal.

Deci, regula pentru a aduce similare:

Exemple:

Aduceți similare:

Raspunsuri:

2. (și sunt asemănătoare, întrucât, deci, acești termeni au aceeași parte de literă).

2. Factorizarea

Aceasta este de obicei partea cea mai importantă în simplificarea expresiilor. După ce ai dat altele asemănătoare, de cele mai multe ori expresia rezultată trebuie factorizată, adică prezentată ca produs. Acest lucru este deosebit de important în fracții: la urma urmei, pentru a reduce o fracție, numărătorul și numitorul trebuie reprezentate ca un produs.

Ați trecut prin metodele detaliate de factorizare a expresiilor din subiectul „”, așa că aici trebuie doar să vă amintiți ce ați învățat. Pentru a face acest lucru, rezolvați câteva exemple(de luat în calcul):

Solutii:

3. Reducerea fracțiilor.

Ei bine, ce poate fi mai frumos decât să tai o parte din numărător și numitor și să le arunci din viața ta?

Aceasta este frumusețea abrevierilor.

E simplu:

Dacă numărătorul și numitorul conțin aceiași factori, ei pot fi redusi, adică îndepărtați din fracție.

Această regulă rezultă din proprietatea de bază a unei fracții:

Adică, esența operației de reducere este aceea Împărțim numărătorul și numitorul unei fracții la același număr (sau la aceeași expresie).

Pentru a reduce o fracție, aveți nevoie de:

1) numărătorul și numitorul factorizați

2) dacă numărătorul și numitorul conțin factori comuni, acestea pot fi șterse.

Principiul, cred, este clar?

Aș dori să vă atrag atenția asupra unei greșeli tipice de abreviere. Deși acest subiect este simplu, mulți oameni fac totul greșit, fără să-și dea seama de asta a tăia- inseamna divide numărător și numitor cu același număr.

Fără abrevieri dacă numărătorul sau numitorul este suma.

De exemplu: trebuie să simplificați.

Unii fac asta: ceea ce este absolut greșit.

Un alt exemplu: reduce.

„Cel mai inteligent” va face asta:.

Spune-mi ce e în neregulă aici? S-ar părea: - acesta este un multiplicator, așa că puteți reduce.

Dar nu: - acesta este un factor de un singur termen în numărător, dar numărătorul în sine în ansamblu nu este descompus în factori.

Iată un alt exemplu: .

Această expresie este descompusă în factori, ceea ce înseamnă că puteți reduce, adică împărțiți numărătorul și numitorul cu, apoi cu:

Puteți împărți imediat la:

Pentru a evita astfel de greșeli, amintiți-vă o modalitate ușoară de a determina dacă o expresie este luată în considerare:

Operația aritmetică care se efectuează ultima la calcularea valorii expresiei este „principală”. Adică dacă înlocuiți câteva (orice) numere în loc de litere și încercați să calculați valoarea expresiei, atunci dacă ultima acțiune este înmulțirea, atunci avem un produs (expresia este descompusă în factori). Dacă ultima acțiune este adunarea sau scăderea, aceasta înseamnă că expresia nu este factorizată (și, prin urmare, nu poate fi redusă).

Pentru a o remedia, rezolvați singur câteva exemple:

Raspunsuri:

1. Sper că nu te-ai grăbit imediat să tai și? Încă nu a fost suficient să „reducem” unități ca aceasta:

Primul pas ar trebui să fie factorizarea:

4. Adunarea și scăderea fracțiilor. Aducerea fracțiilor la un numitor comun.

Adunarea și scăderea fracțiilor obișnuite este o operație binecunoscută: căutăm un numitor comun, înmulțim fiecare fracție cu factorul lipsă și adunăm/scădem numărătorii. Să ne amintim:

Raspunsuri:

1. Numitorii și sunt coprime, adică nu au factori comuni. Prin urmare, LCM a acestor numere este egal cu produsul lor. Acesta va fi numitorul comun:

2. Aici numitorul comun este:

3. Aici, în primul rând, transformăm fracțiile mixte în fracțiuni improprii și apoi - conform schemei obișnuite:

Este cu totul altă problemă dacă fracțiile conțin litere, de exemplu:

Să începem simplu:

a) Numitorii nu conțin litere

Aici totul este la fel ca în cazul fracțiilor numerice obișnuite: găsim un numitor comun, înmulțim fiecare fracție cu factorul care lipsește și adunăm/scădem numărătorii:

acum, la numărător, puteți aduce altele similare, dacă există, și le puteți factoriza:

Incearca-l tu insuti:

b) Numitorii conțin litere

Să ne amintim principiul găsirii unui numitor comun fără litere:

În primul rând, determinăm factorii comuni;

Apoi scriem toți factorii comuni o dată;

și înmulțiți-le cu toți ceilalți factori, nu cu cei comuni.

Pentru a determina factorii comuni ai numitorilor, mai întâi îi descompunem în factori simpli:

Subliniem factorii comuni:

Acum scriem factorii comuni o dată și adăugăm la ei toți factorii necomuni (nu subliniați):

Acesta este numitorul comun.

Să revenim la scrisori. Numitorii sunt dați exact în același mod:

Descompunem numitorii în factori;

determina multiplicatori comuni (identici);

scrie toți factorii comuni o dată;

Le înmulțim cu toți ceilalți factori, nu cu cei comuni.

Deci, in ordine:

1) descompuneți numitorii în factori:

2) determinați factorii comuni (identici):

3) scrieți toți factorii comuni o dată și înmulțiți-i cu toți ceilalți factori (nesubliniați):

Deci numitorul comun este aici. Prima fracție trebuie înmulțită cu, a doua - cu:

Apropo, există un truc:

De exemplu: .

Vedem aceiași factori în numitori, doar toți cu indicatori diferiți. Numitorul comun va fi:

in masura

in masura

in masura

în grad.

Să complicăm sarcina:

Cum se face ca fracțiile să aibă același numitor?

Să ne amintim proprietatea de bază a unei fracții:

Nicăieri nu se spune că același număr poate fi scăzut (sau adunat) de la numărătorul și numitorul unei fracții. Pentru că nu este adevărat!

Vedeți singur: luați orice fracție, de exemplu, și adăugați un număr la numărător și numitor, de exemplu, . Ce s-a învățat?

Deci, o altă regulă de neclintit:

Când aduceți fracții la un numitor comun, folosiți numai operația de înmulțire!

Dar ce trebuie să înmulți pentru a obține?

Aici și înmulțiți. Și înmulțiți cu:

Expresiile care nu pot fi factorizate vor fi numite „factori elementari”. De exemplu, este un factor elementar. - de asemenea. Dar - nu: se descompune în factori.

Ce zici de exprimare? Este elementar?

Nu, deoarece poate fi factorizat:

(ați citit deja despre factorizare în subiectul „”).

Deci, factorii elementari în care descompuneți o expresie cu litere sunt un analog al factorilor simpli în care descompuneți numerele. Și vom face același lucru cu ei.

Vedem că ambii numitori au un factor. Va merge la numitorul comun în putere (rețineți de ce?).

Multiplicatorul este elementar și nu îl au în comun, ceea ce înseamnă că prima fracție va trebui pur și simplu înmulțită cu ea:

Alt exemplu:

Decizie:

Înainte de a înmulți acești numitori într-o panică, trebuie să te gândești cum să-i factorizezi? Ambele reprezintă:

Amenda! Apoi:

Alt exemplu:

Decizie:

Ca de obicei, factorizăm numitorii. În primul numitor, pur și simplu îl punem între paranteze; în al doilea - diferența de pătrate:

S-ar părea că nu există factori comuni. Dar dacă te uiți cu atenție, sunt deja atât de asemănătoare... Și adevărul este:

Deci hai sa scriem:

Adică, s-a dovedit așa: în paranteză, am schimbat termenii și, în același timp, semnul din fața fracției s-a schimbat la opus. Ia notă, va trebui să faci asta des.

Acum aducem la un numitor comun:

Am înţeles? Acum să verificăm.

Sarcini pentru soluție independentă:

Raspunsuri:

Aici trebuie să ne amintim încă un lucru - diferența de cuburi:

Vă rugăm să rețineți că numitorul celei de-a doua fracții nu conține formula „pătratul sumei”! Pătratul sumei ar arăta astfel:

A este așa-numitul pătrat incomplet al sumei: al doilea termen din acesta este produsul dintre primul și ultimul, și nu produsul lor dublat. Pătratul incomplet al sumei este unul dintre factorii de extindere a diferenței de cuburi:

Ce se întâmplă dacă există deja trei fracții?

Da, la fel! În primul rând, ne vom asigura că numărul maxim de factori în numitori este același:

Atenție: dacă schimbați semnele dintr-o paranteză, semnul din fața fracției se schimbă în opus. Când schimbăm semnele din a doua paranteză, semnul din fața fracției este inversat din nou. Drept urmare, el (semnul din fața fracției) nu s-a schimbat.

Scriem primul numitor în întregime în numitorul comun, apoi adăugăm la el toți factorii care nu au fost încă scriși, din al doilea și apoi din al treilea (și așa mai departe, dacă sunt mai multe fracții). Adică merge așa:

Hmm... Cu fracții, este clar ce să faci. Dar ce zici de cei doi?

Este simplu: știi cum să adunăm fracții, nu? Deci, trebuie să vă asigurați că zeul devine o fracțiune! Amintiți-vă: o fracție este o operație de împărțire (numărătorul este împărțit la numitor, în cazul în care ați uitat brusc). Și nu este nimic mai ușor decât împărțirea unui număr la. În acest caz, numărul în sine nu se va schimba, ci se va transforma într-o fracție:

Exact ce este nevoie!

5. Înmulțirea și împărțirea fracțiilor.

Ei bine, partea cea mai grea s-a terminat. Și în fața noastră este cel mai simplu, dar în același timp cel mai important:

Procedură

Care este procedura de calcul a unei expresii numerice? Amintiți-vă, având în vedere valoarea unei astfel de expresii:

ai numarat?

Ar trebui să funcționeze.

Deci, vă reamintesc.

Primul pas este să calculezi gradul.

Al doilea este înmulțirea și împărțirea. Dacă există mai multe înmulțiri și împărțiri în același timp, le puteți face în orice ordine.

Și, în sfârșit, facem adunarea și scăderea. Din nou, în orice ordine.

Dar: expresia dintre paranteze este evaluată în dezordine!

Dacă mai multe paranteze sunt înmulțite sau împărțite între ele, mai întâi evaluăm expresia din fiecare dintre paranteze, apoi le înmulțim sau le împărțim.

Ce se întâmplă dacă există și alte paranteze între paranteze? Ei bine, să ne gândim: o expresie este scrisă între paranteze. Care este primul lucru de făcut atunci când evaluezi o expresie? Așa e, calculează paranteze. Ei bine, ne-am dat seama: mai întâi calculăm parantezele interioare, apoi totul.

Deci, ordinea acțiunilor pentru expresia de mai sus este următoarea (acțiunea curentă este evidențiată cu roșu, adică acțiunea pe care o efectuez chiar acum):

Bine, totul este simplu.

Dar asta nu este același lucru cu o expresie cu litere, nu-i așa?

Nu, e la fel! Numai în loc de operații aritmetice este necesar să se facă operații algebrice, adică operațiile descrise în secțiunea anterioară: aducând similare, adunarea fracțiilor, reducerea fracțiilor și așa mai departe. Singura diferență va fi acțiunea de factorizare a polinoamelor (o folosim adesea când lucrăm cu fracții). Cel mai adesea, pentru factorizare, trebuie să utilizați i sau pur și simplu să scoateți factorul comun din paranteze.

De obicei, scopul nostru este de a reprezenta o expresie ca produs sau coeficient.

De exemplu:

Să simplificăm expresia.

1) Mai întâi simplificăm expresia dintre paranteze. Acolo avem diferența de fracții, iar scopul nostru este să o reprezentăm ca produs sau coeficient. Deci, aducem fracțiile la un numitor comun și adăugăm:

Este imposibil să simplificați mai mult această expresie, toți factorii de aici sunt elementari (mai vă amintiți ce înseamnă asta?).

2) obținem:

Înmulțirea fracțiilor: ce ar putea fi mai ușor.

3) Acum puteți scurta:

Asta e. Nimic complicat, nu?

Alt exemplu:

Simplificați expresia.

Mai întâi, încercați să o rezolvați singur și abia apoi uitați-vă la soluție.

În primul rând, să definim procedura. Mai întâi, să adăugăm fracțiile dintre paranteze, în loc de două fracții, se va dovedi una. Apoi vom face împărțirea fracțiilor. Ei bine, adăugăm rezultatul cu ultima fracție. Voi numerota schematic pașii:

Acum voi arăta întregul proces, colorând acțiunea curentă cu roșu:

În cele din urmă, vă voi oferi două sfaturi utile:

1. Daca sunt asemanatoare, acestea trebuie aduse imediat. In orice moment avem altele asemanatoare, este indicat sa le aducem imediat.

2. Același lucru este valabil și pentru fracțiile reducătoare: de îndată ce apare o oportunitate de reducere, aceasta trebuie folosită. Excepție fac fracțiile pe care le adunați sau scădeți: dacă acum au aceiași numitori, atunci reducerea ar trebui lăsată pentru mai târziu.

Iată câteva sarcini pe care le puteți rezolva singur:

Și a promis chiar de la început:

Soluții (pe scurt):

Dacă ați făcut față cel puțin primelor trei exemple, atunci, luați în considerare, ați stăpânit subiectul.

Acum, la învățare!

CONVERSIUNEA EXPRESIILOR. REZUMAT ȘI FORMULA DE BAZĂ

Operatii de simplificare de baza:

• Aducerea asemănătoare: pentru a adăuga (reduce) termeni similari, trebuie să adăugați coeficienții acestora și să atribuiți partea de litere.
• Factorizare: scoaterea din paranteze a factorului comun, aplicarea etc.
• Reducerea fracțiilor: numărătorul și numitorul unei fracții pot fi înmulțite sau împărțite cu același număr diferit de zero, din care valoarea fracției nu se modifică.
  1) numărătorul și numitorul factorizați
  2) dacă există factori comuni la numărător și numitor, aceștia pot fi tăiați.

  IMPORTANT: numai multiplicatorii pot fi redusi!

• Adunarea și scăderea fracțiilor:
  ;
• Înmulțirea și împărțirea fracțiilor:
  ;