Valorea estimata

Dispersia variabila aleatoare continuă X, ale cărei valori posibile aparțin întregii axe Ox, este determinată de egalitatea:

Atribuirea serviciului. Calculatorul online este conceput pentru a rezolva probleme în care fie densitatea distributiei f(x) sau funcția de distribuție F(x) (vezi exemplu). De obicei, în astfel de sarcini este necesar să se găsească așteptări matematice, abatere standard, reprezentați grafic funcțiile f(x) și F(x).

Instruire. Selectați tipul de date de intrare: densitatea de distribuție f(x) sau funcția de distribuție F(x) .

Având în vedere densitatea distribuției f(x) Având în vedere funcția de distribuție F(x)

Densitatea distribuției f(x) este dată:

Funcția de distribuție F(x) este dată:

O variabilă aleatoare continuă este definită de o densitate de probabilitate
(Legea distribuției Rayleigh - folosită în ingineria radio). Găsiți M(x) , D(x) .

Se numește variabila aleatoare X continuu , dacă funcția sa de distribuție F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue este utilizată pentru a calcula probabilitățile ca o variabilă aleatoare să se încadreze într-un interval dat:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
în plus, pentru o variabilă aleatoare continuă, nu contează dacă limitele sale sunt incluse sau nu în acest interval:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Densitatea de distribuție variabila aleatoare continuă se numește funcție
f(x)=F'(x) , derivată a funcției de distribuție.

Proprietăți de densitate de distribuție

1. Densitatea de distribuție a unei variabile aleatoare este nenegativă (f(x) ≥ 0) pentru toate valorile lui x.
2. Condiție de normalizare:

Sensul geometric al condiției de normalizare: aria de sub curba densității distribuției este egală cu unu.
3. Probabilitatea de a atinge o variabilă aleatoare X în intervalul de la α la β poate fi calculată prin formula

Geometric, probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă X să cadă în intervalul (α, β) este egală cu aria trapezului curbiliniu sub curba densității distribuției bazată pe acest interval.
4. Funcția de distribuție se exprimă în termeni de densitate astfel:

Valoarea densității distribuției în punctul x nu este egală cu probabilitatea de a lua această valoare; pentru o variabilă aleatoare continuă, putem vorbi doar despre probabilitatea de a cădea într-un interval dat. Să (4)

Unde Ași b nu neapărat finit. De exemplu, pentru modulul vectorului viteză al unei molecule de gaz VО situat în întregul interval de valori posibile, de ex. X O [ X,X+ D X] O [ A, b] (5)

Atunci probabilitatea D W(X, D X) lovituri Xîn intervalul (5) este egal cu

Aici N este numărul total de măsurători X, și D n(X, D X) este numărul de rezultate care se încadrează în intervalul (5).

Probabilitatea D W depinde în mod natural de două argumente: X– pozițiile intervalului în interiorul [ A, b] și D X este lungimea sa (se presupune, deși nu este deloc necesar, că D X> 0). De exemplu, probabilitatea de a obține valoarea exactă X, cu alte cuvinte, probabilitatea de a lovi Xîntr-un interval de lungime zero este probabilitatea unui eveniment imposibil și, prin urmare, este egală cu zero: D W(X, 0) = 0

Pe de altă parte, probabilitatea de a obține valoarea X undeva (nu contează unde) în întreg intervalul [ A, b] este probabilitatea unui anumit eveniment (se întâmplă întotdeauna ceva) și, prin urmare, este egală cu unu (se presupune că b > A):D W(A, b – A) = 1.

Fie D X putini. Criteriul micimii suficiente depinde de proprietățile specifice ale sistemului descrise de distribuția de probabilitate D W(X, D X). Daca D X mic, apoi funcția D W(X, D X) poate fi extins într-o serie în puterile lui D X:

Dacă desenăm un grafic de dependență D W(X, D X) din al doilea argument D X, atunci înlocuirea dependenței exacte cu expresia aproximativă (7) înseamnă înlocuirea (într-o zonă mică) a curbei exacte cu o bucată de parabolă (7).

În (7), primul termen este exact egal cu zero, al treilea și următorii termeni, dacă D este suficient de mic, X poate fi omis. Introducerea notației

dă un rezultat important D W(X, D X) » r( X) D X (8)

Relația (8), care este mai precisă, cu cât D este mai mic Xînseamnă că pentru un interval scurt, probabilitatea de a cădea în acest interval este proporțională cu lungimea acestuia.

Încă poți trece de la un D mic, dar definitiv X până la formal infinitezimal dx, cu înlocuirea simultană a lui D W(X, D X) pe dW(X). Apoi egalitatea aproximativă (8) se transformă în cea exactă dW(X) = r( X)· dx(9)

Coeficientul de proporționalitate r( X) are un sens simplu. După cum se poate observa din (8) și (9), r( X) este numeric egală cu probabilitatea de a lovi Xîntr-un interval de unitate de lungime. Prin urmare, unul dintre denumirile funcției r( X) este densitatea distribuției de probabilitate pentru variabilă X.

Funcția r( X) conține toate informațiile despre modul în care probabilitatea dW(X) lovituri Xîn intervalul unei lungimi date dx depinde de locația acestui interval, adică arată cum este distribuită probabilitatea X. Prin urmare, funcția r( X) se numește în mod obișnuit funcție de distribuție a variabilei Xși, astfel, funcția de distribuție pentru acel sistem fizic, de dragul de a descrie spectrul stărilor din care a fost introdusă variabila X. Termenii „densitate de probabilitate” și „funcție de distribuție” sunt folosiți interschimbabil în fizica statistică.

Putem considera o generalizare a definiției probabilității (6) și funcției de distribuție (9) în cazul, de exemplu, a trei variabile. Generalizarea la cazul unui număr arbitrar mare de variabile se realizează exact în același mod.

Fie ca starea unui sistem fizic care variază aleator în timp să fie determinată de valorile a trei variabile X, yși z cu spectru continuu:

X O [ A, b]

y O [ c, d]

z O [ e, f] (10)

Unde A, b,…, f, ca înainte, nu sunt neapărat finite. Variabile X, yși z pot fi, de exemplu, coordonatele centrului de masă al unei molecule de gaz, componentele vectorului său viteză X YU V x, y YU V yși z YU Vz sau impuls etc. Un eveniment este înțeles ca apariția simultană a tuturor celor trei variabile în intervale de lungime D X, D y si D z respectiv, adică:

X O [ X, X+ D X]

y O [ y, y+ D y]

z O [ z, z+ D z] (11)

Probabilitatea unui eveniment (11) poate fi determinată în mod similar cu (6)

cu diferența că acum D n– numărul de măsurători X, yși z, ale căror rezultate satisfac concomitent relaţiile (11). Folosind o extindere în serie similară cu (7) dă

dW(X, y, z) = r( X, y, z)· dx dy dz(13)

unde r( X, y, z) este funcția de distribuție pentru trei variabile simultan X, yși z.

În teoria matematică a probabilității, termenul „funcție de distribuție” este folosit pentru a desemna o cantitate diferită de r( X), și anume: fie x o valoare a unei variabile aleatoare X. Funcția Ф(x), care dă probabilitatea ca X ia o valoare nu mai mare decât x și se numește funcție de distribuție. Funcțiile r și Ф au semnificații diferite, dar sunt legate. Folosind teorema de adunare a probabilității dă (aici A este capătul din stânga al intervalului de valori posibile X (cm. TEORIA PROBABILITĂȚII: , (14) de unde

Folosind relația aproximativă (8) dă D W(X, D X) » r( X) D X.

Compararea cu expresia exactă (15) arată că folosirea (8) este echivalentă cu înlocuirea integralei din (16) cu produsul integrandului r( X) prin lungimea intervalului de integrare D X:

Relația (17) va fi exactă dacă r = const prin urmare, eroarea la înlocuirea (16) cu (17) va fi mică atunci când integrandul se modifică ușor pe lungimea intervalului de integrare D X.

Puteți introduce D x eff este lungimea intervalului pe care funcția de distribuție r( X) se modifică semnificativ, adică printr-o valoare a ordinului funcției în sine, sau a cantității Dr eff ordinul modulo r. Folosind formula Lagrange, putem scrie:

de unde rezultă că D x eff pentru orice funcție r

Funcția de distribuție poate fi considerată „aproape constantă” pe un anumit interval de schimbare a argumentului dacă incrementul acestuia |Dr| pe acest interval, valoarea absolută este mult mai mică decât funcția însăși în punctele acestui interval. Cerință |Dr| eff| ~ r (funcţia de distribuţie r і 0) dă

D X x eff (20)

lungimea intervalului de integrare trebuie să fie mică în comparaţie cu cea pe care integrandul se modifică semnificativ. Ilustrația este fig. unu.

Integrala din partea stângă a (17) este egală cu aria de sub curbă. Produsul din partea dreaptă a (17) este zona umbrită din Fig. 1 coloană. Criteriul pentru micșorarea diferenței dintre zonele corespunzătoare este îndeplinirea inegalității (20). Acest lucru poate fi verificat prin substituirea în integrală (17) a primilor termeni ai expansiunii funcției r( X) într-o serie în puteri

Cerința ca corecția (al doilea termen din partea dreaptă a lui (21) să fie comparat cu primul să fie mică dă inegalitatea (20) cu D x eff din (19).

Exemple ale unui număr de funcții de distribuție care joacă un rol important în fizica statistică.

Distribuția Maxwell pentru proiecția vectorului viteză al unei molecule pe o direcție dată (de exemplu, aceasta este direcția axei BOU).

Aici m este masa unei molecule de gaz, T- temperatura acestuia k este constanta Boltzmann.

Distribuția Maxwell pentru modulul vectorului viteză:

Distribuția Maxwell pentru energia mișcării de translație a moleculelor e = mV 2/2

Distribuția Boltzmann, mai exact, așa-numita formulă barometrică, care determină distribuția concentrației de molecule sau a presiunii aerului în înălțime h de la un „nivel zero” în ipoteza că temperatura aerului nu depinde de înălțime (model de atmosferă izotermă). De fapt, temperatura din straturile inferioare ale atmosferei scade considerabil odată cu creșterea altitudinii.

Pentru a găsi funcțiile de distribuție ale variabilelor aleatoare și variabilele acestora, este necesar să se studieze toate trăsăturile acestui domeniu de cunoaștere. Există mai multe metode diferite pentru a găsi valorile în cauză, inclusiv schimbarea unei variabile și generarea unui moment. Distribuția este un concept bazat pe elemente precum dispersia, variațiile. Cu toate acestea, ele caracterizează doar gradul de împrăștiere.

Funcțiile mai importante ale variabilelor aleatoare sunt cele care sunt legate și independente și distribuite egal. De exemplu, dacă X1 este greutatea unui individ selectat aleatoriu dintr-o populație de bărbați, X2 este greutatea altuia, ... și Xn este ponderea unei alte persoane din populația masculină, atunci trebuie să știm cum este funcția aleatoare X este distribuită. În acest caz, se aplică teorema clasică numită teorema limită centrală. Ne permite să arătăm că pentru n mare funcția urmează distribuții standard.

Funcțiile unei variabile aleatoare

Teorema limită centrală este concepută pentru a aproxima valorile discrete în cauză, cum ar fi binom și Poisson. Funcțiile de distribuție ale variabilelor aleatoare sunt luate în considerare, în primul rând, pe valori simple ale unei variabile. De exemplu, dacă X este o variabilă aleatoare continuă având propria sa distribuție de probabilitate. În acest caz, explorăm cum să găsim funcția de densitate a lui Y folosind două abordări diferite, și anume metoda funcției de distribuție și modificarea variabilei. În primul rând, sunt luate în considerare doar valorile unu-la-unu. Apoi trebuie să modificați tehnica schimbării variabilei pentru a găsi probabilitatea acesteia. În cele din urmă, trebuie să înveți cum distribuția cumulativă poate ajuta la modelarea numerelor aleatoare care urmează anumite modele secvențiale.

Metoda de distribuire a valorilor considerate

Metoda funcției de distribuție a probabilității a unei variabile aleatoare este aplicabilă pentru a găsi densitatea acesteia. Când se utilizează această metodă, se calculează o valoare cumulativă. Apoi, prin diferențierea acestuia, puteți obține densitatea de probabilitate. Acum că avem metoda funcției de distribuție, ne putem uita la câteva exemple. Fie X o variabilă aleatoare continuă cu o anumită densitate de probabilitate.

Care este funcția de densitate de probabilitate a lui x2? Dacă vă uitați la sau reprezentați grafic funcția (sus și dreapta) y \u003d x2, puteți observa că este un X crescător și 0

În ultimul exemplu, s-a folosit mare grijă pentru a indexa funcțiile cumulative și densitatea de probabilitate fie cu X, fie cu Y pentru a indica cărei variabile aleatoare îi aparțin. De exemplu, când găsim funcția de distribuție cumulativă Y, avem X. Dacă trebuie să găsiți o variabilă aleatoare X și densitatea acesteia, atunci trebuie doar să o diferențiați.

Tehnica de schimbare a variabilelor

Fie X o variabilă aleatoare continuă dată de o funcție de distribuție cu numitor comun f(x). În acest caz, dacă puneți valoarea lui y în X = v (Y), atunci obțineți valoarea lui x, de exemplu v (y). Acum, trebuie să obținem funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue Y. În cazul în care prima și a doua egalitate au loc din definiția Y cumulativ. A treia egalitate este valabilă deoarece partea funcției pentru care u (X) ≤ y este de asemenea adevărat că X ≤ v (Y ). Și aceasta din urmă se face pentru a determina probabilitatea într-o variabilă aleatoare continuă X. Acum trebuie să luăm derivata lui FY (y), funcția de distribuție cumulată a lui Y, pentru a obține densitatea de probabilitate a lui Y.

Generalizare pentru funcția reduce

Fie X o variabilă aleatoare continuă cu f(x) comun definit peste c1

Pentru a rezolva această problemă, pot fi colectate date cantitative și poate fi utilizată o funcție empirică de distribuție cumulativă. Cu aceste informații și apelând la ele, trebuie să combinați eșantioane de mijloace, abateri standard, date media și așa mai departe.

În mod similar, chiar și un model probabilistic destul de simplu poate avea un număr mare de rezultate. De exemplu, dacă arunci o monedă de 332 de ori. Atunci numărul de rezultate obținute din flip-uri este mai mare decât cel al Google (10100) - un număr, dar nu mai puțin de 100 de chintilioane de ori mai mare decât particulele elementare din universul cunoscut. Nu mă interesează o analiză care să ofere un răspuns la fiecare rezultat posibil. Ar fi nevoie de un concept mai simplu, cum ar fi numărul de capete sau cea mai lungă cursă a cozilor. Pentru a se concentra asupra problemelor de interes, se acceptă un anumit rezultat. Definiția în acest caz este următoarea: o variabilă aleatorie este o funcție reală cu un spațiu de probabilitate.

Domeniul S al unei variabile aleatoare este uneori numit spațiu de stări. Astfel, dacă X este valoarea în cauză, atunci deci N = X2, exp ↵X, X2 + 1, tan2 X, bXc și așa mai departe. Ultimul dintre acestea, rotunjind X la cel mai apropiat număr întreg, se numește funcția de etaj.

Funcții de distribuție

Odată ce funcția de distribuție de interes pentru variabila aleatoare x este determinată, întrebarea devine de obicei: „Care sunt șansele ca X să cadă într-un subset al valorilor lui B?”. De exemplu, B = (numere impare), B = (mai mare decât 1) sau B = (între 2 și 7) pentru a indica acele rezultate care au X, valoarea variabilei aleatoare, în submulțimea A. Deci, în cele de mai sus De exemplu, puteți descrie evenimentele după cum urmează.

(X este un număr impar), (X este mai mare decât 1) = (X > 1), (X este între 2 și 7) = (2

Variabile aleatoare și funcții de distribuție

Astfel, este posibil să se calculeze probabilitatea ca funcția de distribuție a unei variabile aleatoare x să ia valori în interval prin scădere. Trebuie luată în considerare includerea sau excluderea efectelor.

Vom numi o variabilă aleatoare discretă dacă are un spațiu de stări finit sau numărabil infinit. Astfel, X este numărul de capete de la trei aruncări independente ale unei monede părtinitoare care crește cu probabilitatea p. Trebuie să găsim funcția de distribuție cumulată a unei variabile aleatoare discrete FX pentru X. Fie X numărul de vârfuri dintr-o colecție de trei cărți. Apoi Y = X3 prin FX. FX începe la 0, se termină la 1 și nu scade pe măsură ce valorile x cresc. Funcția de distribuție FX cumulativă a unei variabile aleatoare discrete X este constantă, cu excepția sărituri. Când săriți, FX-ul este continuu. Este posibil să se demonstreze afirmația despre continuitatea corectă a funcției de distribuție din proprietatea probabilității folosind definiția. Sună așa: o variabilă aleatorie constantă are un FX cumulativ care este diferențiabil.

Pentru a arăta cum se poate întâmpla acest lucru, putem da un exemplu: o țintă cu o rază de unitate. Probabil. dartul este distribuit uniform pe zona specificată. Pentru unele λ> 0. Astfel, funcțiile de distribuție ale variabilelor aleatoare continue cresc fără probleme. FX are proprietățile unei funcții de distribuție.

Un bărbat așteaptă la o stație de autobuz până sosește autobuzul. După ce a hotărât singur că va refuza când așteptarea ajunge la 20 de minute. Aici este necesar să se găsească funcția de distribuție cumulativă pentru T. Ora în care o persoană va fi în continuare la stația de autobuz sau nu va pleca. În ciuda faptului că funcția de distribuție cumulativă este definită pentru fiecare variabilă aleatoare. Totuși, se vor folosi destul de des și alte caracteristici: masa pentru o variabilă discretă și funcția de densitate de distribuție a unei variabile aleatoare. De obicei, valoarea este scoasă prin una dintre aceste două valori.

Funcții în vrac

Aceste valori sunt considerate de următoarele proprietăți, care au un caracter general (de masă). Primul se bazează pe faptul că probabilitățile nu sunt negative. Al doilea decurge din observația că mulțimea pentru tot x=2S, spațiul stărilor pentru X, formează o partiție a libertății probabilistice a lui X. Exemplu: aruncarea unei monede părtinitoare ale cărei rezultate sunt independente. Puteți continua să efectuați anumite acțiuni până când obțineți o aruncare de cap. Fie X o variabilă aleatoare care dă numărul de cozi din fața primului cap. Și p indică probabilitatea în orice acțiune dată.

Deci, funcția de probabilitate de masă are următoarele caracteristici. Deoarece termenii formează o secvență numerică, X se numește o variabilă aleatorie geometrică. Schema geometrică c, cr, cr2,. , crn are o sumă. Și, prin urmare, sn are o limită ca n 1. În acest caz, suma infinită este limita.

Funcția de masă de mai sus formează o secvență geometrică cu un raport. Prin urmare, numerele naturale a și b. Diferența de valori în funcția de distribuție este egală cu valoarea funcției de masă.

Valorile densității luate în considerare au următoarea definiție: X este o variabilă aleatoare a cărei distribuție FX are o derivată. FX care satisface Z xFX (x) = fX (t) dt-1 se numește funcție de densitate de probabilitate. Și X se numește o variabilă aleatoare continuă. În teorema fundamentală a calculului, funcția de densitate este derivata distribuției. Puteți calcula probabilități calculând integrale definite.

Deoarece datele sunt colectate din observații multiple, trebuie luate în considerare mai mult de o variabilă aleatoare la un moment dat pentru a modela procedurile experimentale. Prin urmare, setul acestor valori și distribuția lor comună pentru cele două variabile X1 și X2 înseamnă vizualizarea evenimentelor. Pentru variabile aleatoare discrete, sunt definite funcții de masă probabilistice comune. Pentru cele continue se consideră fX1, X2, unde densitatea de probabilitate comună este satisfăcută.

Variabile aleatoare independente

Două variabile aleatoare X1 și X2 sunt independente dacă oricare două evenimente asociate cu ele sunt aceleași. În cuvinte, probabilitatea ca două evenimente (X1 2 B1) și (X2 2 B2) să aibă loc în același timp, y, este egală cu produsul variabilelor de mai sus, ca fiecare dintre ele să se producă individual. Pentru variabile aleatoare discrete independente, există o funcție de masă probabilistică comună, care este produsul volumului limitator al ionilor. Pentru variabile aleatoare continue care sunt independente, funcția de densitate de probabilitate comună este produsul valorilor densității marginale. În cele din urmă, sunt luate în considerare n observații independente x1, x2. , xn care rezultă dintr-o funcție de densitate sau masă necunoscută f. De exemplu, un parametru necunoscut în funcții pentru o variabilă aleatorie exponențială care descrie timpul de așteptare pentru un autobuz.

Simularea variabilelor aleatoare

Scopul principal al acestui domeniu teoretic este de a oferi instrumentele necesare dezvoltării procedurilor inferențiale bazate pe principii solide ale științei statistice. Astfel, un caz de utilizare foarte important pentru software este capacitatea de a genera pseudodate pentru a imita informațiile reale. Acest lucru face posibilă testarea și îmbunătățirea metodelor de analiză înainte de a fi nevoie să le utilizeze în baze de date reale. Acest lucru este necesar pentru a explora proprietățile datelor prin modelare. Pentru multe familii de variabile aleatoare utilizate în mod obișnuit, R oferă comenzi pentru generarea lor. Pentru alte circumstanțe, vor fi necesare metode de modelare a unei secvențe de variabile aleatoare independente care au o distribuție comună.

Variabile aleatoare discrete și comandă eșantion. Comanda eșantion este folosită pentru a crea eșantioane aleatoare simple și stratificate. Ca rezultat, dacă este introdusă o secvență x, sample(x, 40) selectează 40 de înregistrări din x astfel încât toate opțiunile de dimensiunea 40 să aibă aceeași probabilitate. Aceasta folosește comanda implicită R pentru preluare fără înlocuire. Poate fi folosit și pentru a modela variabile aleatoare discrete. Pentru a face acest lucru, trebuie să furnizați un spațiu de stare în vectorul x și funcția de masă f. Un apel de înlocuire = TRUE indică faptul că eșantionarea are loc odată cu înlocuirea. Apoi, pentru a da un eșantion de n variabile aleatoare independente având o funcție comună de masă f, se folosește eșantionul (x, n, înlocuiți = TRUE, prob = f).

Se determină că 1 este cea mai mică valoare reprezentată, iar 4 este cea mai mare dintre toate. Dacă comanda prob = f este omisă, atunci eșantionul va eșantiona uniform din valorile din vectorul x. Puteți verifica simularea față de funcția de masă care a generat datele uitându-vă la semnul dublu egal, ==. Și recalculând observațiile care iau toate valorile posibile pentru x. Puteți face o masă. Repetați acest lucru pentru 1000 și comparați simularea cu funcția de masă corespunzătoare.

Ilustrarea transformării probabilității

Mai întâi, simulați funcțiile de distribuție omogene ale variabilelor aleatoare u1, u2,. , un pe interval . Aproximativ 10% din numere ar trebui să fie în . Aceasta corespunde cu 10% simulări pe intervalul pentru o variabilă aleatoare cu funcția de distribuție FX afișată. În mod similar, aproximativ 10% dintre numerele aleatoare ar trebui să fie în intervalul . Aceasta corespunde cu 10% simulări pe intervalul variabil aleator cu funcția de distribuție FX. Aceste valori pe axa x pot fi obținute luând inversul din FX. Dacă X este o variabilă aleatoare continuă cu densitatea fX pozitivă peste tot în domeniul său, atunci funcția de distribuție este strict crescătoare. În acest caz, FX are o funcție inversă FX-1 cunoscută sub numele de funcție cuantilă. FX (x) u numai când x FX-1 (u). Transformarea probabilității rezultă din analiza variabilei aleatoare U = FX(X).

FX are un interval de la 0 la 1. Nu poate lua valori sub 0 sau peste 1. Pentru valorile lui u între 0 și 1. Dacă U poate fi modelat, atunci este necesar să se simuleze o variabilă aleatoare cu distribuție FX printr-o funcție cuantilă. Luați derivata pentru a vedea că densitatea u variază în intervalul 1. Deoarece variabila aleatoare U are o densitate constantă pe intervalul valorilor sale posibile, se numește uniformă pe interval. Este modelat în R cu comanda runif. Identitatea se numește transformare probabilistică. Puteți vedea cum funcționează în exemplul de bord de săgeți. X între 0 și 1, funcția de distribuție u = FX(x) = x2 și, prin urmare, funcția cuantilă x = FX-1(u). Este posibil să se modeleze observații independente ale distanței de la centrul barei de săgeți, generând în același timp variabile aleatoare uniforme U1, U2,. , Un. Funcția de distribuție și funcția empirică se bazează pe 100 de simulări ale distribuției unei plăci de săgeți. Pentru o variabilă aleatorie exponențială, se presupune că u = FX (x) = 1 - exp (- x) și, prin urmare, x = - 1 ln (1 - u). Uneori, logica constă din declarații echivalente. În acest caz, trebuie să concatenați cele două părți ale argumentului. Identitatea intersecției este similară pentru toate cele 2 (S i i) S, în loc de o anumită valoare. Uniunea Ci este egală cu spațiul de stări S și fiecare pereche se exclude reciproc. Deoarece Bi - este împărțit în trei axiome. Fiecare verificare se bazează pe probabilitatea corespunzătoare P. Pentru orice subset. Utilizarea unei identități pentru a vă asigura că răspunsul nu depinde de faptul dacă punctele finale ale intervalului sunt incluse.

Funcția exponențială și variabilele acesteia

Pentru fiecare rezultat din toate evenimentele, se utilizează în cele din urmă a doua proprietate a continuității probabilităților, care este considerată axiomatică. Legea distribuției funcției unei variabile aleatoare arată aici că fiecare are soluția și răspunsul său.

Funcția de distribuție a probabilității a unei variabile aleatoare și proprietățile acesteia.

Luați în considerare funcția F(x), definită pe toată axa numerică astfel: pentru fiecare X sens F(x) este egală cu probabilitatea ca o variabilă aleatoare discretă să ia o valoare mai mică decât X, adică

(18)

Această funcție este numită funcția de distribuție a probabilității sau pe scurt, functie de distributie.

Exemplul 1 Găsiți funcția de distribuție a variabilei aleatoare din exemplul 1, elementul 1.

Decizie: Este clar că dacă , atunci F(x)=0, deoarece nu ia valori mai mici de unu. Daca atunci ; daca atunci . Dar evenimentul<3 в данном случае является суммой двух несовместных событий: =1 и =2. Следовательно,

Deci pentru noi avem F(x)=1/3. Valorile funcției în intervale și sunt calculate în mod similar. În fine, dacă x>6 apoi F(x)=1, deoarece în acest caz orice valoare posibilă (1, 2, 3, 4, 5, 6) mai puțin decât X. Graficul funcției F(x) prezentată în fig. 4.

Exemplul 2 Găsiți funcția de distribuție a variabilei aleatoare din exemplul 2, elementul 1.

Decizie: Este evident că

Programa F(x) prezentată în fig. cinci.

Cunoașterea funcției de distribuție F(x), este ușor de găsit probabilitatea ca o variabilă aleatoare să satisfacă inegalitățile .
Luați în considerare evenimentul că o variabilă aleatoare ia o valoare mai mică decât . Acest eveniment se descompune în suma a două evenimente incompatibile: 1) variabila aleatoare ia valori mai mici decât , i.e. ; 2) variabila aleatoare ia valori care satisfac inegalitățile. Folosind axioma de adunare, obținem

Dar prin definiția funcției de distribuție F(x)[cm. formula (18)], avem , ; prin urmare,

(19)

Prin urmare, probabilitatea ca o variabilă aleatoare discretă să cadă într-un interval este egală cu incrementul funcției de distribuție pe acest interval.

Luați în considerare principalele proprietăți ale funcției de distribuție.
1°. Funcția de distribuție este nedescrescătoare.
Într-adevăr, să< . Так как вероятность любого события неотрицательна, то . Prin urmare, din formula (19) rezultă că , adică .

2°. Valorile funcției de distribuție satisfac inegalitățile .
Această proprietate provine din faptul că F(x) definită ca probabilitate [cf. formula (18)]. Este clar că * și .

3°. Probabilitatea ca o variabilă aleatorie discretă să ia una dintre valorile posibile xi este egală cu saltul în funcția de distribuție în punctul xi.
Într-adevăr, să xi- valoarea luată de variabila aleatoare discretă, și . Presupunând în formula (19) , , obținem

Acestea. sens p(xi) este egal cu saltul funcției ** xi. Această proprietate este ilustrată clar în Fig. 4 și fig. cinci.

*Aici și în cele ce urmează se introduc următoarele notații: , .
** Se poate arăta că F(xi)=F(xi-0), adică care este functia F(x) lăsat continuu într-un punct xi.

3. Variabile aleatoare continue.

Pe lângă variabilele aleatoare discrete, ale căror posibile valori formează o succesiune finită sau infinită de numere care nu umple complet niciun interval, există adesea variabile aleatoare ale căror valori posibile formează un anumit interval. Un exemplu de astfel de variabilă aleatoare este abaterea de la valoarea nominală a unei anumite dimensiuni a unei piese cu un proces tehnologic bine stabilit. Acest tip de variabile aleatoare nu pot fi specificate folosind legea distribuției probabilităților p(x). Cu toate acestea, ele pot fi specificate folosind funcția de distribuție a probabilității F(x). Această funcție este definită exact în același mod ca și în cazul unei variabile aleatoare discrete:

Astfel, și aici funcția F(x) definit pe axa numerelor întregi și valoarea acestuia în punct X este egală cu probabilitatea ca variabila aleatoare să ia o valoare mai mică decât X.
Formula (19) și proprietățile 1° și 2° sunt valabile pentru funcția de distribuție a oricărei variabile aleatoare. Dovada se realizează în mod similar în cazul unei mărimi discrete.
Se numește variabila aleatoare continuu, dacă pentru aceasta există o funcție nenegativă pe bucăți-continuă* care satisface pentru orice valoare X egalitate

Pe baza semnificației geometrice a integralei ca zonă, putem spune că probabilitatea de îndeplinire a inegalităților este egală cu aria unui trapez curbiliniu cu bază. delimitat deasupra de o curbă (Fig. 6).

Din , și pe baza formulei (22)

Rețineți că pentru o variabilă aleatoare continuă, funcția de distribuție F(x) continuu in orice punct X, unde funcția este continuă. Aceasta rezultă din faptul că F(x) este diferențiabilă în aceste puncte.
Pe baza formulei (23), presupunând x 1 =x, , noi avem

Datorita continuitatii functiei F(x)înţelegem asta

Prin urmare

Prin urmare, probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă să poată lua orice valoare a lui x este zero.
De aici rezultă că evenimentele constând în îndeplinirea fiecăreia dintre inegalităţi

Au aceeași probabilitate, adică.

Într-adevăr, de exemplu,

La fel de

Cometariu. După cum știm, dacă un eveniment este imposibil, atunci probabilitatea să apară este zero. În definiția clasică a probabilității, atunci când numărul rezultatelor testului este finit, are loc și propoziția inversă: dacă probabilitatea unui eveniment este zero, atunci evenimentul este imposibil, deoarece în acest caz niciunul dintre rezultatele testului nu îl favorizează. În cazul unei variabile aleatoare continue, numărul valorilor sale posibile este infinit. Probabilitatea ca această valoare să capete orice valoare anume x 1 după cum am văzut, este egal cu zero. Cu toate acestea, nu rezultă din aceasta că acest eveniment este imposibil, deoarece în urma testului, variabila aleatoare poate, în special, să capete valoarea x 1. Prin urmare, în cazul unei variabile aleatoare continue, este logic să vorbim despre probabilitatea ca variabila aleatoare să cadă în interval, și nu despre probabilitatea ca aceasta să capete o anumită valoare.
Deci, de exemplu, în fabricarea unei role, nu ne interesează probabilitatea ca diametrul acestuia să fie egal cu valoarea nominală. Pentru noi este importantă probabilitatea ca diametrul rolei să nu iasă din toleranță.

Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare X este funcția F(x), exprimând pentru fiecare x probabilitatea ca variabila aleatoare X să ia valoarea, x mai mic

Exemplul 2.5. Având în vedere o serie de distribuție a unei variabile aleatoare

Găsiți și descrieți grafic funcția sa de distribuție. Decizie. Conform definiţiei

F(jc) = 0 pentru X X

F(x) = 0,4 + 0,1 = 0,5 la 4 F(x) = 0,5 + 0,5 = 1 la X > 5.

Deci (vezi Fig. 2.1):

Proprietățile funcției de distribuție:

1. Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare este o funcție nenegativă cuprinsă între zero și unu:

2. Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare este o funcție nedescrescătoare pe toată axa numerelor, adică. la X 2 >x

3. La minus infinit, funcția de distribuție este egală cu zero, la plus infinit, este egală cu unu, i.e.

4. Probabilitatea de a atinge o variabilă aleatoare Xîn interval este egală cu integrala definită a densității sale de probabilitate variind de la A inainte de b(vezi Fig. 2.2), adică

Orez. 2.2

3. Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue (vezi Fig. 2.3) poate fi exprimată în termeni de densitate de probabilitate folosind formula:

F(x)= Jp(*)*. (2,10)

4. Integrala improprie în limite infinite ale densității de probabilitate a unei variabile aleatoare continue este egală cu unu:

Proprietăţi geometrice / şi 4 densitățile de probabilitate înseamnă că graficul său este curba de distributie - nu se află sub axa x, și aria totală a figurii, curba de distribuție limitată și axa x, este egal cu unu.

Pentru o variabilă aleatoare continuă X valorea estimata M(X) si varianta D(X) sunt determinate de formulele:

(dacă integrala converge absolut); sau

(dacă integralele reduse converg).

Alături de caracteristicile numerice menționate mai sus, conceptul de cuantile și puncte procentuale este folosit pentru a descrie o variabilă aleatorie.

cuantila de nivel q(sau q-quantila) este o astfel de valoarex qvariabilă aleatorie, la care funcția sa de distribuție ia valoarea, egal cu q, adică

• 100Punctul q%-ou este cuantila X~ q .
• ? Exemplul 2.8.

Conform exemplului 2.6 găsiți cuantila xqj și 30% punct variabil aleatoriu X.

Decizie. Prin definiție (2.16) F(xo t3)= 0.3, adică.

~Y~ = 0,3, de unde cuantila x 0 3 = 0,6. 30% punct variabil aleatoriu X, sau cuantila Х)_о,з = xoj» se găsește în mod similar din ecuația ^ = 0,7. de unde *,= 1,4. ?

Printre caracteristicile numerice ale unei variabile aleatorii se numără iniţială v* și central R* momente de ordinul k, determinat pentru variabile aleatoare discrete și continue prin formulele: