Textul lucrării este plasat fără imagini și formule.
Versiunea completă a lucrării este disponibilă în fila „Fișiere de locuri de muncă” în format PDF

Introducere

Transformarea graficelor unei funcții este unul dintre conceptele matematice de bază legate direct de activitățile practice. Transformarea graficelor de funcții se întâlnește pentru prima dată la algebră clasa a 9-a la studierea temei „Funcția cadranică”. Funcția pătratică este introdusă și studiată în strânsă legătură cu ecuațiile și inegalitățile pătratice. De asemenea, multe concepte matematice sunt luate în considerare prin metode grafice, de exemplu, în clasele 10-11, studiul unei funcții face posibilă găsirea domeniului de definire și domeniul de aplicare al funcției, zonele de scădere sau creștere, asimptote, intervale de semn constant etc. Această întrebare importantă este depusă și la GIA. Rezultă că construirea și transformarea graficelor de funcții este una dintre sarcinile principale ale predării matematicii la școală.

Cu toate acestea, pentru a reprezenta multe funcții, pot fi utilizate o serie de metode pentru a facilita construcția. Cele de mai sus definesc relevanţă teme de cercetare.

Obiect de studiu este studiul transformării graficelor în matematica școlară.

Subiect de studiu - procesul de construire și transformare a graficelor de funcții într-o școală secundară.

intrebare problematica: este posibil să construim un grafic al unei funcții necunoscute, având deprinderea de a transforma grafice ale funcțiilor elementare?

Ţintă: trasarea unei funcții într-o situație necunoscută.

Sarcini:

1. Analizați materialul educațional privind problema studiată. 2. Identificați scheme de transformare a graficelor de funcții într-un curs de matematică școlar. 3. Selectați cele mai eficiente metode și instrumente pentru construirea și convertirea graficelor de funcții. 4. Să fie capabil să aplice această teorie în rezolvarea problemelor.

Cunoștințe, abilități și abilități de bază necesare:

Determinați valoarea funcției după valoarea argumentului în diverse moduri de specificare a funcției;

Construiți grafice ale funcțiilor studiate;

Descrieți comportamentul și proprietățile funcțiilor din grafic și, în cele mai simple cazuri, din formulă, găsiți cele mai mari și cele mai mici valori din graficul funcției;

Descrieri cu ajutorul funcțiilor diferitelor dependențe, reprezentarea lor grafică, interpretarea graficelor.

Parte principală

Partea teoretică

Ca grafic inițial al funcției y = f(x), voi alege o funcție pătratică y=x 2 . Voi lua în considerare cazuri de transformare a acestui grafic asociate cu modificări ale formulei care definește această funcție și voi trage concluzii pentru orice funcție.

1. Funcția y = f(x) + a

În noua formulă, valorile funcției (coordonatele punctelor din grafic) sunt modificate cu numărul a, în comparație cu valoarea funcției „veche”. Aceasta duce la o translație paralelă a graficului funcției de-a lungul axei OY:

sus dacă a > 0; jos dacă a< 0.

CONCLUZIE

Astfel, graficul funcției y=f(x)+a se obține din graficul funcției y=f(x) prin translație paralelă de-a lungul axei y cu unități în sus dacă a > 0 și prin a unități în jos dacă a< 0.

2. Funcția y = f(x-a),

În noua formulă, valorile argumentului (abscisele punctelor din grafic) sunt modificate cu numărul a, în comparație cu valoarea argumentului „veche”. Aceasta duce la un transfer paralel al graficului funcției de-a lungul axei OX: la dreapta dacă a< 0, влево, если a >0.

CONCLUZIE

Deci graficul funcției y= f(x - a) se obține din graficul funcției y=f(x) prin translație paralelă de-a lungul axei absciselor cu a unități la stânga dacă a > 0 și cu a unități la dreapta dacă a< 0.

3. Funcția y = k f(x), unde k > 0 și k ≠ 1

În noua formulă, valorile funcției (coordonatele punctelor graficului) se schimbă de k ori în comparație cu valoarea funcției „veche”. Aceasta duce la: 1) „întindere” de la punctul (0; 0) de-a lungul axei OY de k ori, dacă k > 1, 2) „compresie” până la punctul (0; 0) de-a lungul axei OY cu un factor de 0, dacă 0< k < 1.

CONCLUZIE

Prin urmare: pentru a construi un grafic al funcției y = kf(x), unde k > 0 și k ≠ 1, trebuie să înmulțiți ordonatele punctelor din graficul dat al funcției y = f(x) cu k. O astfel de transformare se numește întindere din punctul (0; 0) de-a lungul axei OY de k ori dacă k > 1; contracție la punctul (0; 0) de-a lungul axei OY cu un factor dacă 0< k < 1.

4. Funcția y = f(kx), unde k > 0 și k ≠ 1

În noua formulă, valorile argumentului (abscisele punctelor graficului) se schimbă de k ori în comparație cu valoarea „veche” a argumentului. Aceasta duce la: 1) „întindere” din punctul (0; 0) de-a lungul axei OX de 1/k ori dacă 0< k < 1; 2) «сжатию» к точке (0; 0) вдоль оси OX. в k раз, если k > 1.

CONCLUZIE

Și așa: pentru a construi un grafic al funcției y = f(kx), unde k > 0 și k ≠ 1, trebuie să înmulțiți abscisele punctelor din graficul dat al funcției y=f(x) cu k . O astfel de transformare se numește întindere din punctul (0; 0) de-a lungul axei OX de 1/k ori dacă 0< k < 1, сжатием к точке (0; 0) вдоль оси OX. в k раз, если k > 1.

5. Funcția y = - f (x).

În această formulă, valorile funcției (coordonatele punctelor din grafic) sunt inversate. Această modificare are ca rezultat o afișare simetrică a graficului original al funcției în jurul axei x.

CONCLUZIE

Pentru a construi un grafic al funcției y = - f (x), aveți nevoie de un grafic al funcției y = f (x)

reflectă simetric în jurul axei OX. O astfel de transformare se numește transformare de simetrie în jurul axei OX.

6. Funcția y = f (-x).

În această formulă, valorile argumentului (abscisele punctelor din grafic) sunt inversate. Această modificare are ca rezultat o afișare simetrică a graficului funcției originale în raport cu axa OY.

Un exemplu pentru funcția y \u003d - x², această transformare nu este vizibilă, deoarece această funcție este pară și graficul nu se schimbă după transformare. Această transformare este vizibilă atunci când funcția este impară și când nici par, nici impar.

7. Funcția y = |f(x)|.

În noua formulă, valorile funcției (coordonatele punctelor din grafic) sunt sub semnul modulului. Aceasta duce la dispariția unor părți din graficul funcției inițiale cu ordonate negative (adică cele situate în semiplanul inferior față de axa Ox) și o afișare simetrică a acestor părți în raport cu axa Ox.

8. Funcția y= f (|x|).

În noua formulă, valorile argumentului (abscisele punctelor din grafic) sunt sub semnul modulului. Acest lucru duce la dispariția unor părți din graficul funcției inițiale cu abscise negative (adică cele situate în semiplanul stâng față de axa OY) și înlocuirea lor cu părți din graficul original care sunt simetrice față de OY. axă.

Partea practică

Luați în considerare câteva exemple de aplicare a teoriei de mai sus.

EXEMPLUL 1.

Decizie. Să transformăm această formulă:

1) Să construim un grafic al funcției

EXEMPLUL 2.

Trasează funcția dată de formulă

Decizie. Transformăm această formulă evidențiind pătratul binomului din acest trinom pătrat:

1) Să construim un grafic al funcției

2) Efectuați un transfer paralel al graficului construit la vector

EXEMPLUL 3.

SARCINA DE LA UTILIZARE Trasarea unei funcții pe bucăți

Graficul funcției Graficul funcției y=|2(x-3)2-2|; unu

Transformare grafică a funcției

În acest articol, vă voi prezenta transformările liniare ale graficelor de funcții și vă voi arăta cum să utilizați aceste transformări dintr-un grafic de funcție pentru a obține un grafic de funcție.

O transformare liniară a unei funcții este o transformare a funcției în sine și/sau a argumentului acesteia la formă , precum și o transformare care conține modulul argumentului și/sau funcții.

Următoarele acțiuni cauzează cele mai mari dificultăți în trasarea graficelor folosind transformări liniare:

1. Izolarea funcției de bază, de fapt, graficul căruia îl transformăm.
2. Definiții ale ordinii transformărilor.

Și Tocmai asupra acestor puncte ne vom opri mai detaliat.

Să aruncăm o privire mai atentă asupra funcției

Se bazează pe o funcție. Să o sunăm functie de bază.

La trasarea unei funcții facem transformări ale graficului funcției de bază .

Dacă ar fi să transformăm funcția în aceeași ordine în care s-a găsit valoarea lui pentru o anumită valoare a argumentului, atunci

Să luăm în considerare ce tipuri de transformări liniare de argument și funcții există și cum să le efectuăm.

Transformări de argument.

1. f(x) f(x+b)

1. Construim un grafic al unei funcții

2. Deplasăm graficul funcției de-a lungul axei OX cu |b| unitati

• stânga dacă b>0
• corect dacă b<0

Să diagramăm funcția

1. Graficăm funcția

2. Deplasați-l cu 2 unități la dreapta:

2. f(x) f(kx)

1. Construim un grafic al unei funcții

2. Împărțiți abscisele punctelor din grafic cu k, lăsați ordonatele punctelor neschimbate.

Să diagramăm funcția.

1. Graficăm funcția

2. Împărțiți toate abscisele punctelor graficului cu 2, lăsați ordonatele neschimbate:

3. f(x) f(-x)

1. Construim un grafic al unei funcții

2. Îl afișăm simetric față de axa OY.

Să diagramăm funcția.

1. Graficăm funcția

2. Îl afișăm simetric față de axa OY:

4. f(x) f(|x|)

1. Graficăm funcția

2. Stergem partea de grafic situata in stanga axei OY, partea de grafic situata in dreapta axei OY O completam simetric fata de axa OY:

Graficul funcției arată astfel:

Să diagramăm funcția

1. Construim un grafic de funcții (acesta este un grafic de funcție deplasat de-a lungul axei OX cu 2 unități la stânga):

2. O parte a graficului situată în stânga OY (x<0) стираем:

3. Partea graficului situată în dreapta axei OY (x>0) se completează simetric față de axa OY:

Important! Cele două reguli principale pentru conversia argumentelor.

1. Toate transformările argumentelor sunt efectuate de-a lungul axei OX

2. Toate transformările argumentului sunt efectuate „invers” și „în ordine inversă”.

De exemplu, într-o funcție, succesiunea transformărilor argumentelor este următoarea:

1. Luăm modulul din x.

2. Adăugați numărul 2 la modulo x.

Dar am făcut graficul în ordine inversă:

Mai întâi, am efectuat transformarea 2. - am deplasat graficul cu 2 unități la stânga (adică abscisele punctelor au fost reduse cu 2, ca și cum „invers”)

Apoi am efectuat transformarea f(x) f(|x|).

Pe scurt, succesiunea transformărilor este scrisă după cum urmează:

Acum să vorbim despre transformarea funcției . Se fac transformări

1. De-a lungul axei OY.

2. În aceeași succesiune în care sunt efectuate acțiunile.

Acestea sunt transformarile:

1. f(x)f(x)+D

2. Deplasați-l de-a lungul axei OY cu |D| unitati

• sus dacă D>0
• jos dacă D<0

Să diagramăm funcția

1. Graficăm funcția

2. Deplasați-l de-a lungul axei OY cu 2 unități în sus:

2. f(x)Af(x)

1. Reprezentăm grafic funcția y=f(x)

2. Înmulțim ordonatele tuturor punctelor graficului cu A, lăsăm abscisele neschimbate.

Să diagramăm funcția

1. Reprezentați grafic funcția

2. Înmulțim ordonatele tuturor punctelor graficului cu 2:

3.f(x)-f(x)

1. Reprezentăm grafic funcția y=f(x)

Să diagramăm funcția.

1. Construim un grafic al funcției.

2. Îl afișăm simetric față de axa OX.

4. f(x)|f(x)|

1. Reprezentăm grafic funcția y=f(x)

2. Partea graficului situată deasupra axei OX este lăsată neschimbată, partea din grafic situată sub axa OX este afișată simetric față de această axă.

Să diagramăm funcția

1. Construim un grafic al funcției. Se obține prin deplasarea graficului funcției de-a lungul axei OY cu 2 unități în jos:

2. Acum vom afișa partea diagramei situată sub axa OX simetric față de această axă:

Și ultima transformare, care, strict vorbind, nu poate fi numită transformare de funcție, deoarece rezultatul acestei transformări nu mai este o funcție:

|y|=f(x)

1. Reprezentăm grafic funcția y=f(x)

2. Stergem partea de grafic situata sub axa OX, apoi completam partea de grafic situata deasupra axei OX simetric fata de aceasta axa.

Să construim un grafic al ecuației

1. Construim un grafic al funcției:

2. Ștergem partea din grafic situată sub axa OX:

3. Partea graficului situată deasupra axei OX se completează simetric față de această axă.

Și, în final, vă sugerez să urmăriți LECȚIA VIDEO în care vă arăt un algoritm pas cu pas pentru trasarea unui grafic al funcției

Graficul acestei funcții arată astfel:

Transfer paralel.

TRANSFER DE-A lungul AXEI Y

f(x) => f(x) - b
Să fie necesar să se traseze funcția y \u003d f (x) - b. Este ușor de observat că ordonatele acestui grafic pentru toate valorile lui x pe |b| unități mai mici decât ordonatele corespunzătoare ale graficului funcțiilor y = f(x) pentru b>0 și |b| mai multe unități - la b 0 sau în sus la b Pentru a reprezenta grafic funcția y + b = f(x), reprezentați grafic funcția y = f(x) și mutați axa x în |b| unități în sus pentru b>0 sau cu |b| unități în jos la b

TRANSFER DE-A lungul AXEI X

f(x) => f(x + a)
Fie necesară reprezentarea grafică a funcției y = f(x + a). Considerăm o funcție y = f(x), care la un moment dat x = x1 ia valoarea y1 = f(x1). În mod evident, funcția y = f(x + a) va lua aceeași valoare în punctul x2, a cărui coordonată este determinată din egalitatea x2 + a = x1, adică. x2 = x1 - a, iar egalitatea luată în considerare este valabilă pentru totalitatea tuturor valorilor din domeniul funcției. Prin urmare, graficul funcției y = f(x + a) poate fi obținut prin deplasarea paralelă a graficului funcției y = f(x) de-a lungul axei x la stânga cu |a| cele pentru a > 0 sau la dreapta de |a| unități pentru a Pentru a reprezenta grafic funcția y = f(x + a), reprezentați grafic funcția y = f(x) și mutați axa y în |a| unități la dreapta pentru a>0 sau |a| unități la stânga pentru a

Exemple:

1.y=f(x+a)

2.y=f(x)+b

Reflecţie.

GRAFICUL O FUNCȚIE A VEDERII Y = F(-X)

f(x) => f(-x)
Evident, funcțiile y = f(-x) și y = f(x) iau valori egale în puncte ale căror abscise sunt egale în valoare absolută, dar opuse în semn. Cu alte cuvinte, ordonatele graficului funcției y = f(-x) în regiunea valorilor pozitive (negative) ale lui x vor fi egale cu ordonatele graficului funcției y = f(x) cu valori negative (pozitive) x corespunzătoare în valoare absolută. Astfel, obținem următoarea regulă.
Pentru a reprezenta grafic funcția y = f(-x), ar trebui să reprezentați funcția y = f(x) și să o reflectați de-a lungul axei y. Graficul rezultat este graficul funcției y = f(-x)

GRAFICUL O FUNCȚIE A VEDERII Y = - F(X)

f(x) => - f(x)
Ordonatele graficului funcției y = - f(x) pentru toate valorile argumentului sunt egale în valoare absolută, dar în semn opus ordonatelor graficului funcției y = f(x) pentru aceleași valori ale argumentului. Astfel, obținem următoarea regulă.
Pentru a reprezenta grafic funcția y = - f(x), ar trebui să reprezentați funcția y = f(x) și să o reflectați în jurul axei x.

Exemple:

1.y=-f(x)

2.y=f(-x)

3.y=-f(-x)

Deformare.

DEFORMAREA GRAFULUI DE-A lungul AXEI Y

f(x) => kf(x)
Luați în considerare o funcție de forma y = k f(x), unde k > 0. Este ușor de observat că pentru valori egale ale argumentului, ordonatele graficului acestei funcții vor fi de k ori mai mari decât ordonatele lui graficul funcției y = f(x) pentru k > 1 sau de 1/k ori mai mic decât ordonatele graficului funcției y = f(x) pentru k ) sau micșorați ordonatele acesteia de 1/k ori pentru k
k > 1- întinderea de pe axa Bou
0 - compresie pe axa OX

DEFORMAREA GRAFICULUI DE-A lungul AXEI X

f(x) => f(kx)
Fie necesară reprezentarea grafică a funcției y = f(kx), unde k>0. Considerăm o funcție y = f(x), care ia valoarea y1 = f(x1) într-un punct arbitrar x = x1. În mod evident, funcția y = f(kx) ia aceeași valoare în punctul x = x2, a cărui coordonată este determinată de egalitatea x1 = kx2, iar această egalitate este valabilă pentru totalitatea tuturor valorilor lui x din domeniul functiei. În consecință, graficul funcției y = f(kx) este comprimat (pentru k 1) de-a lungul axei absciselor în raport cu graficul funcției y = f(x). Astfel, obținem regula.
Pentru a reprezenta grafic funcția y = f(kx), reprezentați grafic funcția y = f(x) și reduceți abscisele acesteia de k ori pentru k>1 (comprimați graficul de-a lungul axei absciselor) sau creșteți abscisele sale de 1/k ori pentru k
k > 1- compresie pe axa Oy
0 - întinderea de pe axa OY

Lucrarea a fost realizată de Alexander Chichkanov, Dmitri Leonov sub supravegherea Tkach T.V., Vyazovov S.M., Ostroverkhova I.V.
©2014

Inapoi inainte

Atenţie! Previzualizarea slide-ului are doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte întreaga amploare a prezentării. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Scopul lecției: Determinați modelele de transformare ale graficelor de funcții.

Sarcini:

Educational:

• Să-i învețe pe elevi să construiască grafice de funcții prin transformarea graficului unei anumite funcții, folosind translație paralelă, compresie (întindere), diferite tipuri de simetrie.

Educational:

• A educa calitățile personale ale elevilor (capacitatea de a asculta), bunăvoința față de ceilalți, atenția, acuratețea, disciplina, capacitatea de a lucra în grup.
• Creșteți interesul față de subiect și nevoia de a dobândi cunoștințe.

În curs de dezvoltare:

• Pentru a dezvolta imaginația spațială și gândirea logică a elevilor, capacitatea de a naviga rapid într-un mediu; dezvolta inteligența, inventivitatea, antrenează memoria.

Echipament:

• Instalare multimedia: calculator, proiector.

Literatură:

1. Bashmakov, M.I. Matematică [Text]: manual pentru instituții timpurii. și avg. prof. educație / M. I. Bashmakov.- ed. a 5-a, corectată. - M.: Centrul de Editură „Academia”, 2012. - 256 p.
2. Bashmakov, M. I. Matematică. Cartea cu probleme [Text]: manual. indemnizatie pentru educatie. instituţii la început și avg. prof. Educație / M. I. Bashmakov.- M .: Centrul de editură „Academie”, 2012. - 416 p.

Planul lecției:

1. Moment organizatoric (3 min).
2. Actualizarea cunoștințelor (7 min).
3. Explicarea materialului nou (20 min).
4. Consolidarea materialului nou (10 min).
5. Rezumatul lecției (3 min).
6. Tema pentru acasă (2 min).

În timpul orelor

1. Org. moment (3 min).

Verificarea celor prezenti.

Mesaj despre scopul lecției.

Principalele proprietăți ale funcțiilor ca dependențe între variabile nu ar trebui să se schimbe semnificativ atunci când se modifică metoda de măsurare a acestor mărimi, adică atunci când scara de măsurare și punctul de referință se modifică. Cu toate acestea, datorită unei alegeri mai raționale a metodei de măsurare a variabilelor, este de obicei posibilă simplificarea notării relației dintre ele, pentru a aduce această notație într-o formă standard. În limbajul geometric, schimbarea modului în care sunt măsurate mărimile înseamnă câteva transformări simple ale graficelor, pe care le vom studia acum.

2. Actualizarea cunoștințelor (7 min).

Înainte de a vorbi despre transformările grafice, să repetăm ​​materialul acoperit.

munca orală. (Diapozitivul 2).

Funcții date:

3. Descrieți graficele funcției: , , , .

3. Explicarea materialului nou (20 min).

Cele mai simple transformări ale graficelor sunt translația lor paralelă, compresia (întinderea) și unele tipuri de simetrie. Unele transformări sunt prezentate în tabel (Anexa 1), (Diapozitivul 3).

Lucru de grup.

Fiecare grup trasează funcțiile date și prezintă rezultatul pentru discuție.

Funcţie	Transformare grafică a funcției	Exemple de funcții	Slide
	OU pe DAR unităţi în sus dacă A>0, iar pe |A| unități în jos dacă DAR<0.	,	(Diapozitivul 4)
	Translație paralelă de-a lungul axei Oh pe A unităţi la dreapta dacă A>0 și pe - A unităţi la stânga dacă A<0.	,	(Diapozitivul 5)