Tabelul de valori ale funcțiilor trigonometrice
Notă. Acest tabel de valori pentru funcțiile trigonometrice folosește semnul √ pentru a desemna rădăcina pătrată. Pentru a desemna o fracție - simbolul „/”.
Vezi si materiale utile:
Pentru determinarea valorii unei funcţii trigonometrice, găsiți-l la intersecția dreptei care indică funcția trigonometrică. De exemplu, un sinus de 30 de grade - căutăm o coloană cu titlul sin (sinus) și găsim intersecția acestei coloane a tabelului cu linia „30 de grade”, la intersecția lor citim rezultatul - unul al doilea. În mod similar, găsim cosinus 60 grade, sinus 60 grade (din nou, la intersecția coloanei sin (sinus) și rândul de 60 de grade, găsim valoarea sin 60 = √3/2), etc. În același mod, se găsesc valorile sinusurilor, cosinusurilor și tangentelor altor unghiuri „populare”.
Sinusul lui pi, cosinusul lui pi, tangenta lui pi și alte unghiuri în radiani
Tabelul de cosinus, sinusuri și tangente de mai jos este, de asemenea, potrivit pentru a afla valoarea funcțiilor trigonometrice al căror argument este dat în radiani. Pentru a face acest lucru, utilizați a doua coloană de valori unghiulare. Datorită acestui fapt, puteți converti valoarea unghiurilor populare de la grade la radiani. De exemplu, să găsim unghiul de 60 de grade în prima linie și să citim valoarea lui în radiani sub el. 60 de grade este egal cu π/3 radiani.
Numărul pi exprimă în mod unic dependența circumferinței unui cerc de măsura gradului unghiului. Deci pi radiani este egal cu 180 de grade.
Orice număr exprimat în termeni de pi (radian) poate fi ușor convertit în grade prin înlocuirea numărului pi (π) cu 180.
Exemple:
1. sine pi.
sin π = sin 180 = 0
astfel, sinusul lui pi este același cu sinusul de 180 de grade și este egal cu zero.
2. cosinus pi.
cos π = cos 180 = -1
astfel, cosinusul lui pi este același cu cosinusul de 180 de grade și este egal cu minus unu.
3. Tangenta pi
tg π = tg 180 = 0
astfel, tangenta lui pi este aceeași cu tangenta de 180 de grade și este egală cu zero.
Tabelul valorilor sinus, cosinus, tangente pentru unghiuri 0 - 360 de grade (valori frecvente)
|
unghiul α (grade) |
unghiul α (prin pi) |
păcat (sinus) |
cos (cosinus) |
tg (tangentă) |
ctg (cotangentă) |
sec (secantă) |
cauză (cosecant) |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
| 15 | π/12 | 2 - √3 | 2 + √3 | ||||
| 30 | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 | √3 | 2/√3 | 2 |
| 45 | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 | √2 | √2 |
| 60 | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 | 1/√3 | 2 | 2/√3 |
| 75 | 5π/12 | 2 + √3 | 2 - √3 | ||||
| 90 | π/2 | 1 | 0 | - | 0 | - | 1 |
| 105 | 7π/12 |
- |
- 2 - √3 | √3 - 2 | |||
| 120 | 2π/3 | √3/2 | -1/2 | -√3 | -√3/3 | ||
| 135 | 3π/4 | √2/2 | -√2/2 | -1 | -1 | -√2 | √2 |
| 150 | 5π/6 | 1/2 | -√3/2 | -√3/3 | -√3 | ||
| 180 | π | 0 | -1 | 0 | - | -1 | - |
| 210 | 7π/6 | -1/2 | -√3/2 | √3/3 | √3 | ||
| 240 | 4π/3 | -√3/2 | -1/2 | √3 | √3/3 | ||
| 270 | 3π/2 | -1 | 0 | - | 0 | - | -1 |
| 360 | 2π | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
Dacă în tabelul de valori ale funcțiilor trigonometrice, în loc de valoarea funcției, este indicată o liniuță (tangentă (tg) 90 de grade, cotangentă (ctg) 180 de grade), atunci pentru o anumită valoare a gradului de măsură a unghiul, funcția nu are o valoare definită. Dacă nu există liniuță, celula este goală, deci nu am introdus încă valoarea dorită. Suntem interesați de ce solicitări vin utilizatorii la noi și completăm tabelul cu noi valori, în ciuda faptului că datele actuale privind valorile cosinusurilor, sinusurilor și tangentelor celor mai comune valori unghiulare sunt suficiente pentru a rezolva cele mai multe Probleme.
Tabelul de valori ale funcțiilor trigonometrice sin, cos, tg pentru cele mai populare unghiuri
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 de grade
(valori numerice „conform tabelelor Bradis”)
| valoarea unghiului α (grade) | valoarea unghiului α în radiani | păcat (sinus) | cos (cosinus) | tg (tangent) | ctg (cotangent) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | ||||
| 15 |
0,2588 |
0,9659
|
0,2679 |
||
| 30 |
0,5000 |
0,5774 |
|||
| 45 |
0,7071 |
||||
|
0,7660 |
|||||
| 60 |
0,8660 |
0,5000
|
1,7321 |
||
|
7π/18 |
Fiecare funcție trigonometrică pentru un unghi dat corespunde unei anumite valori a acestei funcții. Din definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei, este clar că valoarea sinusului unui unghi este ordonata punctului la care trece punctul inițial al cercului unitar după ce s-a rotit prin unghi, valoarea al cosinusului este abscisa acestui punct, valoarea tangentei este raportul dintre ordonată și abscisă, iar valoarea cotangentei este raportul dintre abscisă și ordonată.
Destul de des, la rezolvarea problemelor, devine necesar să se găsească valorile sinusurilor, cosinusurilor, tangentelor și cotangentelor unghiurilor indicate. Pentru unele unghiuri, de exemplu, la 0, 30, 45, 60, 90, ... grade, este posibil să găsiți valorile exacte ale funcțiilor trigonometrice, pentru alte unghiuri, găsirea valorilor exacte este problematică și trebuie să te mulțumești cu valori aproximative.
În acest articol, ne vom da seama ce principii trebuie urmate atunci când se calculează valoarea sinusului, cosinusului, tangentei sau cotangentei. Să le enumerăm în ordine.
Acum să luăm în considerare în detaliu fiecare dintre principiile enumerate pentru calcularea valorilor sinusurilor, cosinusurilor, tangentelor și cotangentelor.
Navigare în pagină.
- Găsirea valorilor sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei prin definiție. Linii de sinusuri, cosinus, tangente și cotangente. Valorile sinusurilor, cosinusurilor, tangentelor și cotangentelor unghiurilor de 30, 45 și 60 de grade. Aplatizare la un unghi de la 0 la 90 de grade. Este suficient să cunoaștem valoarea uneia dintre funcțiile trigonometrice. Găsirea valorilor folosind formule trigonometrice. Ce să faci în alte cazuri?
Găsirea valorilor sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei prin definiție
Pe baza definiției sinusului și cosinusului, puteți găsi valorile sinusului și cosinusului unui unghi dat. Pentru a face acest lucru, trebuie să luați un cerc unitar, să rotiți punctul de pornire A (1, 0) cu un unghi, după care va merge la punctul A1. Atunci coordonatele punctului A1 vor da, respectiv, cosinusul și sinusul unghiului dat. După aceea, se poate calcula tangenta și cotangenta unghiului calculând raporturile ordonatei la abscisă și, respectiv, abscisei la ordonată.
Prin definiție, putem calcula valorile exacte ale sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unghiurilor 0, ±90, ±180, ±270, ±360, ... grade (0, ±p/2, ± p, ±3p/2, ±2p, …radian). Să împărțim aceste unghiuri în patru grupe: 360 z grade (2p z radiani), 90+360 z grade (p/2+2p z radiani), 180+360 z grade (p+2p z radiani) și 270 +360 z grade (3p/2+2p z radiani), unde z este orice număr întreg. Să înfățișăm în figuri unde va fi situat punctul A1, care se obține prin rotirea punctului de plecare A cu aceste unghiuri (dacă este necesar, studiați materialul articolului unghiul de rotație).
Pentru fiecare dintre aceste grupuri de unghiuri, găsim valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei folosind definițiile.
În ceea ce privește celelalte unghiuri decât 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … grade, prin definiție putem găsi doar valori aproximative ale sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei. De exemplu, să găsim sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unghiului -52 de grade.
Să construim.
Conform desenului, constatăm că abscisa punctului A1 este de aproximativ 0,62, iar ordonata este de aproximativ −0,78. Prin urmare, 
și 
. Rămâne să calculăm valorile tangentei și cotangentei, avem 
și 
.
Este clar că cu cât construcțiile sunt realizate mai precis, cu atât mai precis se vor găsi valorile aproximative ale sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi dat. De asemenea, este clar că găsirea valorilor funcțiilor trigonometrice, prin definiție, nu este convenabilă în practică, deoarece este incomod să se realizeze construcțiile descrise.
Începutul paginii
Linii de sinusuri, cosinus, tangente și cotangente
Pe scurt, merită să ne oprim asupra așa-numitelor linii de sinusuri, cosinus, tangente și cotangente. Liniile de sinusuri, cosinus, tangente și cotangente se numesc linii reprezentate împreună cu un cerc unitar, având un punct de referință și egal cu unitatea în sistemul de coordonate dreptunghiular introdus, ele reprezintă în mod clar toate valorile posibile ale sinusurilor, cosinusului, tangentelor. și cotangenți. Le reprezentăm în desenul de mai jos.
Începutul paginii
Valorile sinusurilor, cosinusurilor, tangentelor și cotangentelor unghiurilor de 30, 45 și 60 de grade
Pentru unghiuri de 30, 45 și 60 de grade, se cunosc valorile exacte ale sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei. Ele pot fi obținute din definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei într-un triunghi dreptunghic folosind teorema lui Pitagora.
Pentru a obține valorile funcțiilor trigonometrice pentru unghiuri de 30 și 60 de grade, luați în considerare un triunghi dreptunghic cu aceste unghiuri și luați-l astfel încât lungimea ipotenuzei să fie egală cu unu. Se știe că catetul opus unghiului de 30 de grade este jumătate din ipotenuză, prin urmare, lungimea sa este 1/2. Găsim lungimea celuilalt picior folosind teorema lui Pitagora: 
.
Deoarece sinusul unui unghi este raportul catetului opus față de ipotenuză, atunci 
și 
. La rândul său, cosinusul este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză, atunci 
și 
. Tangenta este raportul dintre piciorul opus și piciorul adiacent, iar cotangenta este raportul dintre piciorul adiacent și piciorul opus, prin urmare, 
și 
, precum și 
și 
.
Rămâne să obțineți valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei pentru un unghi de 45 de grade. Să ne întoarcem la un triunghi dreptunghic cu unghiuri de 45 de grade (va fi isoscel) și o ipotenuză egală cu unu. Apoi, prin teorema lui Pitagora, este ușor de verificat dacă lungimile picioarelor sunt egale. Acum putem calcula valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei ca raport dintre lungimile laturilor corespunzătoare ale triunghiului dreptunghic considerat. Avem și 
.
Valorile obținute ale sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unghiurilor de 30, 45 și 60 de grade vor fi foarte des folosite în rezolvarea diferitelor probleme geometrice și trigonometrice, așa că vă recomandăm să le amintiți. Pentru comoditate, le vom enumera în tabelul cu valorile de bază ale sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei.
Pentru a încheia acest paragraf, vom ilustra valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unghiurilor 30, 45 și 60 folosind cercul și liniile de sinus, cosinus, tangente și cotangente.
Începutul paginii
Aplatizare la un unghi de la 0 la 90 de grade
Imediat, observăm că este convenabil să găsim valorile funcțiilor trigonometrice atunci când unghiul este în intervalul de la 0 la 90 de grade (de la zero la pi în jumătate de radiani). Dacă argumentul funcției trigonometrice, a cărei valoare trebuie să o găsim, depășește limitele de la 0 la 90 de grade, atunci putem folosi întotdeauna formulele de reducere pentru a găsi valoarea funcției trigonometrice, al cărei argument va fi în limitele specificate.
De exemplu, să găsim valoarea sinusului de 210 grade. Reprezentând 210 ca 180+30 sau ca 270−60, formulele de reducere corespunzătoare reduc problema noastră de la găsirea sinusului de 210 grade la găsirea valorii sinusului de 30 de grade sau a cosinusului de 60 de grade.
Să fim de acord pentru viitor atunci când găsim valorile funcțiilor trigonometrice, folosind întotdeauna formulele de reducere, mergeți la unghiuri din intervalul de la 0 la 90 de grade, cu excepția cazului în care, desigur, unghiul este deja în aceste limite.
Începutul paginii
Este suficient să cunoaștem valoarea uneia dintre funcțiile trigonometrice
Identitățile trigonometrice de bază stabilesc relații între sinus, cosinus, tangente și cotangente ale aceluiași unghi. Astfel, cu ajutorul lor, putem folosi valoarea cunoscută a uneia dintre funcțiile trigonometrice pentru a găsi valoarea oricărei alte funcții de același unghi.
Să luăm în considerare un exemplu de soluție.
Determinați care este sinusul unghiului pi cu opt, dacă 
.
Mai întâi, găsiți care este cotangenta acestui unghi: 
Acum folosind formula 
, putem calcula cu ce este egal pătratul sinusului unghiului pi cu opt și, prin urmare, valoarea dorită a sinusului. Noi avem 
Rămâne doar de găsit valoarea sinusului. Deoarece unghiul pi cu opt este unghiul primului sfert de coordonate, atunci sinusul acestui unghi este pozitiv (dacă este necesar, a se vedea secțiunea despre teoria semnelor sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei prin sferturi). Prin urmare, 
.
.
Începutul paginii
Găsirea valorilor folosind formule trigonometrice
În cele două paragrafe anterioare, am început deja să acoperim problema găsirii valorilor sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei folosind formule de trigonometrie. Aici vrem doar să spunem că uneori este posibil să se calculeze valoarea necesară a unei funcții trigonometrice folosind formule trigonometrice și valori cunoscute de sinus, cosinus, tangente și cotangente (de exemplu, pentru unghiuri de 30, 45 și 60 de grade).
De exemplu, folosind formule trigonometrice, calculăm valoarea tangentei unghiului pi cu opt, pe care am folosit-o în paragraful anterior pentru a găsi valoarea sinusului.
Găsiți valoarea.
Folosind formula pentru tangentei unui jumătate de unghi, putem scrie următoarea egalitate 
. Cunoaștem valorile cosinusului unghiului pi cu patru, astfel încât să putem calcula imediat valoarea pătratului tangentei dorite: 
.
Unghiul pi cu opt este unghiul primului sfert de coordonate, deci tangenta acestui unghi este pozitivă. Prin urmare, 
.
.
În prezentarea anterioară a fost prezentată o lecție introductivă de trigonometrie. Elevii s-au familiarizat cu conceptele de sinus, cosinus și tangentă, cum sunt notate, cum să le găsească. A fost considerat un unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic. De asemenea, s-au familiarizat cu identitatea trigonometrică de bază, care formează baza a numeroase formule cu care elevii se vor familiariza puțin mai târziu.
Această lecție sugerează luarea în considerare a anumitor unghiuri: 45, 30 și 60 de grade. Este necesar să le găsiți sinusul, cosinusul și tangenta. Toate aceste trei unghiuri sunt acute. Se presupune că lucrăm cu triunghiuri dreptunghiulare, ca în lecția anterioară.
diapozitivele 1-2 (Subiect de prezentare „Valoarea sinusului, cosinusului și tangentei pentru unghiuri de 30, 45 și 60 de grade”, exemplu)
Primul slide al prezentării „Valoarea sinusului, cosinusului și tangentei pentru unghiuri de 30, 45 și 60 de grade” va arăta elevilor un triunghi dreptunghic, al cărui unghi ascuțit este de 30 de grade. Știind că unul dintre unghiuri este drept, putem calcula cu ușurință valoarea celui de-al treilea unghi. Suma tuturor unghiurilor oricărui triunghi este de 180 de grade. Elevii de clasa a VIII-a ar trebui să știe deja despre această proprietate. Deci, pentru a găsi al treilea unghi necunoscut, este necesar să scădem 120 de grade din 180 și grade, care este suma celorlalte două laturi. Al treilea unghi necunoscut este de 60 de grade. Acest lucru este marcat pe desen.
Autorul notează că raportul catetelor unui triunghi dreptunghic ABC este de jumătate. De unde a luat autorul acest număr? Faptul este că catetul, care se află opus unghiului de 30 de grade, care poate fi văzut în figură, este egal cu jumătate din ipotenuza acestui triunghi. Aceasta este una dintre proprietățile importante ale triunghiurilor dreptunghiulare. Acest raport este sinusul unui unghi de 30 de grade. Astfel, se găsește sinusul unghiului de 30 de grade.
diapozitivele 3-4 (exemplu, tabelul sinusurilor, cosinusurilor, tangentelor)
Acest raport este și cosinusul pentru unghiul adiacent piciorului, adică pentru un unghi de 60 de grade. În plus, pe baza informațiilor obținute în lecția anterioară, puteți calcula tangenta rămasă împărțind sinusul găsit al unui anumit unghi la cosinusul găsit al aceluiași unghi.
Următorul diapozitiv explorează în mod similar sinusul, cosinusul și tangenta unui unghi de 45 de grade. Mai întâi, este găsit al treilea colț necunoscut. Rezultă că unghiurile de la ipotenuză sunt egale, adică triunghiul, pe lângă faptul că este dreptunghiular, este și isoscel. Prin teorema lui Pitagora, exprimăm ipotenuza în termeni de catete. Deoarece sunt egale, după cum sa dovedit, este posibil să înlocuiți un picior cu altul și să obțineți un produs simplu al numărului 2 cu pătratul unuia dintre picioare. Mai departe, autorul scapă de iraționalitate și își exprimă picioare. Astfel, există două picioare. În plus, folosind formulele studiate, puteți găsi sinusul și cosinusul și tangenta unui unghi de 45 de grade.
Ultimul diapozitiv prezintă aceste valori sub forma unui tabel. Este de dorit ca elevii să noteze un tabel pentru ei înșiși dintr-un caiet. Putem spune că este un analog al tabelului înmulțirii, doar trigonometric. Este de dorit ca elevii să știe de unde provin aceste valori și să-și amintească tabelele.
Acest articol a adunat tabele de sinusuri, cosinus, tangente și cotangente. În primul rând, oferim un tabel cu principalele valori ale funcțiilor trigonometrice, adică un tabel cu sinusuri, cosinus, tangente și cotangente ale unghiurilor 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 de grade ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π radian). După aceea, vom oferi un tabel de sinusuri și cosinus, precum și un tabel de tangente și cotangente de V. M. Bradis și vom arăta cum să folosiți aceste tabele atunci când găsiți valorile funcțiilor trigonometrice.
Navigare în pagină.
Tabel de sinusuri, cosinus, tangente și cotangente pentru unghiurile 0, 30, 45, 60, 90, ... grade
Bibliografie.
- Algebră: Proc. pentru 9 celule. medie scoala / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Iluminismul, 1990.- 272 p.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
- Bashmakov M.I. Algebra și începutul analizei: Proc. pentru 10-11 celule. medie şcoală - Ed. a 3-a. - M.: Iluminismul, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
- Algebră iar începutul analizei: Proc. pentru 10-11 celule. educatie generala instituții / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorova.- ed. a XIV-a- M.: Iluminismul, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior scoala, 1984.-351 p., ill.
- Bradis V. M. Tabele matematice din patru cifre: Pentru învățământul general. manual stabilimente. - Ed. a II-a. - M.: Butarda, 1999.- 96 p.: ill. ISBN 5-7107-2667-2
