Sursa misiunii: Decizia 5346.-13. OGE 2016 Matematică, I.V. Iascenko. 36 de opțiuni.
Sarcina 11.În trapezul ABCD, știm că AB = CD, unghiul BDA = 54° și unghiul BDC = 33°. Găsiți unghiul ABD. Dați răspunsul în grade.
Decizie.
Dat un trapez isoscel cu laturile AB=CD. Deoarece unghiurile de la bazele unui astfel de trapez sunt egale, avem că și . Să găsim valoarea unghiurilor A și D. Din figură se poate observa că unghiul D (și, prin urmare, unghiul A) este egal cu:
Acum luați în considerare triunghiul ABD, în care unghiurile A și BDA sunt cunoscute și, deoarece suma tuturor unghiurilor din triunghi este de 180 de grade, găsim al treilea unghi ABD:
Răspuns: 39.
Sarcina 12. Trei puncte sunt marcate pe hârtie în carouri 1x1: A, B și C. Aflați distanța de la punctul A la linia BC.
Decizie.
Distanța de la punctul A la dreapta BC este normala căzută din punctul A spre latura BC (linia roșie în figură). Lungimea acestei normale este de 3 celule, adică 3 unități.
Răspuns: 3.
Sarcina 13. Care dintre următoarele afirmații sunt corecte?
1) Aria unui triunghi este mai mică decât produsul celor două laturi ale sale.
2) Unghiul înscris într-un cerc este egal cu unghiul central corespunzător bazat pe același arc.
3) Printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată, se poate trasa o dreaptă perpendiculară pe această dreaptă.
Decizie.
1) Adevărat. Aria unui triunghi este egală cu produsul dintre înălțimea și jumătatea bazei triunghiului și toate aceste valori sunt mai mici decât lungimile oricăror două dintre laturile sale.
Teorema 1 (Teorema lui Thales). Liniile paralele taie segmente proporționale pe liniile care le intersectează (Fig. 1).
Definiția 1 . Două triunghiuri (Fig. 2) se numesc similare dacă laturile lor corespunzătoare sunt proporționale.
Teorema 2 (primul semn de asemănare). Dacă unghiul primului triunghi este egal cu unghiul celui de-al doilea triunghi, iar laturile triunghiurilor adiacente acestor unghiuri sunt proporționale, atunci astfel de triunghiuri sunt similare (vezi Fig. 2).
Teorema 3 (al doilea semn de asemănare). Dacă două unghiuri ale unui triunghi sunt egale, respectiv, cu două unghiuri ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt similare (Fig. 3).
Teorema 4 (teorema lui Menelaus). Dacă o dreaptă intersectează laturile AB și BC ale triunghiului ABC în punctele X și respectiv Y, iar continuarea laturii AC este în punctul Z (Fig. 4), atunci
Teorema 5. Să fie trasate înălțimile AA1 și CC1 într-un triunghi unghiular ABC (Fig. 5). Atunci triunghiurile A1 BC1 și ABC sunt similare, iar coeficientul de asemănare este egal cu cos ∠B.
Lema 1. Dacă laturile AC și DF ale triunghiurilor ABC și DEF se află pe aceeași dreaptă sau pe drepte paralele (Fig. 6), atunci
Lema 2. Dacă două triunghiuri au o latură comună AC (Fig. 7), atunci
Lema 3. Dacă triunghiurile ABC și AB1 C1 au un unghi comun A, atunci
Lema 4. Arii triunghiurilor similare sunt legate ca pătratul coeficientului de asemănare.
Demonstrațiile unor teoreme
Demonstrarea teoremei 4
. Desenați o linie prin punctul C paralelă cu dreapta AB până când intersectează linia XZ în punctul K (Fig. 9). Trebuie să dovedim asta
Luați în considerare două perechi de triunghiuri similare:
Înmulțind aceste egalități termen cu termen, obținem: 
Q.E.D.
Demonstrarea teoremei 5. Să demonstrăm asemănarea triunghiurilor A1 BC1 și ABC folosind primul criteriu de asemănare. Deoarece aceste două triunghiuri au un unghi comun B, este suficient să demonstrăm că
Dar acest lucru rezultă din faptul că din triunghiul dreptunghic ABA1, dar din triunghiul dreptunghic CBC1. Pe parcurs se demonstrează și a doua parte a teoremei.
Rezolvarea problemelor
Sarcina 1. Având în vedere un trapez ABCD, și se știe că BC = Ași AD = b. Paralel cu bazele sale BC și AD, este trasată o dreaptă care intersectează latura AB în punctul P, diagonala AC în punctul L, diagonala BD în punctul R și latura CD în punctul Q (Fig. 10). Se știe că PL = LR. Găsiți P.Q.
Decizie. Să demonstrăm mai întâi că PL = RQ. Luați în considerare două perechi de triunghiuri similare: 
Conform teoremei Thales, avem:
Să notăm acum PL = LR = RQ = x și să considerăm din nou două perechi de triunghiuri similare: 
Avem următoarele:
Mijloace,
Răspuns:
Sarcina 2. În triunghiul ABC, unghiul A este de 45° și unghiul C este ascuțit. De la mijlocul N al laturii BC, perpendiculara NM este coborâtă spre latura AC (Fig. 11). Arii triunghiurilor NMC și ABC sunt legate, respectiv, ca 1: 8. Aflați unghiurile triunghiului ABC.
Decizie. Fie BH înălțimea coborâtă de la vârful B la latura AC.
Deoarece NM este linia mediană a triunghiului BHC, atunci S∆BHC = 4S∆NMC .
Dar, conform condiției problemei, S∆ABC = 8S∆NMC .
Prin urmare, S∆ABC = 2S∆BHC , deci S∆ABH = S∆BHC . Deci AH = HC,
de unde ∠CAB = ∠ACB = 45°, ∠ABC = 90°.
Răspuns: ∠CAB = ∠ACB = 45°, ∠ABC = 90°.
Sarcina 3. Având în vedere un triunghi ABC în care unghiul B este egal cu 30°, AB = 4 și BC = 6. Bisectoarea unghiului B intersectează latura AC în punctul D (Fig. 12). Aflați aria triunghiului ABD.
Decizie. Să aplicăm teorema bisectoarei unghiului interior triunghiului ABC:
Mijloace,
Răspuns:
Articolul a fost publicat cu sprijinul companiei World of Flowers. Depozit cu ridicata și cu amănuntul de bunuri de nuntă și ritualuri, flori artificiale în Krasnodar. Accesorii pentru nunta - lumanari, postere, pahare, panglici, invitatii si multe altele. Bunuri rituale - țesături, haine, accesorii. Puteți afla mai multe despre companie, puteți vizualiza catalogul de produse, prețuri și contacte pe site-ul, care se află la: flowersworld.su.
Sarcina 4. Prin mijlocul M al laturii BC a paralelogramului ABCD, a cărui arie este 1, și prin vârful A, se trasează o dreaptă care intersectează diagonala BD în punctul O (Fig. 13). Găsiți aria patrulaterului OMCD.
Decizie. Vom căuta aria patrulaterului OMCD ca diferență dintre ariile triunghiurilor BCD și BOM. Aria triunghiului BCD este egală cu jumătate din aria paralelogramului ABCD și este egală cu Găsiți aria triunghiului BOM. Noi avem:
∆ BOM ∼ ∆ AOD ⇒ 
Mai departe:
Mijloace, 
Răspuns:
Sarcina 5. Un triunghi dreptunghic MNC este înscris într-un triunghi dreptunghic isoscel ABC cu un unghi drept la vârful B, astfel încât unghiul MNC este drept, punctul N se află pe AC și punctul M se află pe latura AB (Fig. 14). În ce raport trebuie să împartă punctul N ipotenuza AC astfel încât aria triunghiului MNC să fie egală cu aria triunghiului ABC?
Decizie. Putem presupune că AB = 1. Notăm AM = x, 0< x < 1, тогда BM = 1 – x,
Noi avem: 
Răspuns:
Sarcina 6. În trapezul ABCD, diagonala AC este perpendiculară pe latura CD, iar diagonala DB este perpendiculară pe latura AB. Prelungirile laturilor AB și DC se intersectează în punctul K, formând un triunghi AKD cu un unghi de 45° la vârful K (Fig. 15). Aria trapezului ABCD este egală cu S. Aflați aria triunghiului AKD.
Decizie. Conform teoremei 5, triunghiul BKC este similar cu triunghiul AKD cu coeficient de similitudine 
Prin urmare, ariile acestor triunghiuri sunt în raport de 1:2, ceea ce înseamnă că aria trapezului ABCD este egală cu aria triunghiului BKC. Prin urmare, aria triunghiului AKD este 2S.
Răspuns: 2S.
Sarcina 7. În triunghiul ABC, punctul K este luat pe latura AB astfel încât AK: KB = 1: 2, iar punctul L este luat pe latura BC astfel încât CL: LB = 2: 1. Fie Q punctul de intersecție al dreptelor AL și CK (Fig. șaisprezece). Aflați aria triunghiului ABC știind că aria triunghiului BQC este 1.
Decizie. Fie AK = x, BL = y. Atunci KB = 2x,
LC = 2y, deci AB = 3x și BC = 3y. Să aplicăm teorema lui Menelaus triunghiului ABL și secantei KQ:
Sarcina 8. Din punctul M, care se află în interiorul triunghiului unghiular ascuțit ABC, perpendicularele sunt coborâte în laturi (Fig. 17). Lungimile laturilor și, respectiv, perpendicularele căzute pe ele sunt egale Ași k, b și m, c și n. Calculați raportul dintre aria triunghiului ABC și aria unui triunghi ale cărui vârfuri sunt bazele perpendicularelor.
Decizie. Introducem notația standard, adică notăm lungimile laturilor triunghiului ABC: BC = A, CA = b, AB = c; unghiuri: ∠BAC = α,
∠ABC = β, ∠ACB = γ. Bazele perpendicularelor coborâte din punctul M spre laturile BC, CA și AB vor fi notate cu D, E și, respectiv, F. Apoi, conform stării problemei, MD = k, ME = m, MF = n. Este evident că unghiul EMF este egal cu π - α, unghiul DMF este egal cu π - β, unghiul DME este egal cu π - γ și punctul M este situat în interiorul triunghiului DEF. Aria triunghiului DEF este:
Aria triunghiului ABC este:
Aflați raportul dintre ariile triunghiurilor DEF și ABC:
Prin urmare, 
Răspuns: 
Sarcina 9. Punctele P și Q sunt situate pe latura BC a triunghiului ABC astfel încât BP: PQ: QC = 1:2:3.
Punctul R împarte latura AC a acestui triunghi în așa fel încât AR: RC = 1: 2 (Fig. 18). Care este raportul dintre aria patrulaterului PQST și aria triunghiului ABC, unde S și T sunt punctele de intersecție ale dreptei BR cu liniile AQ și, respectiv, AP?
Decizie. Se notează BP = x, AR = y; apoi
PQ=2x, QC=3x, RC=2y. Să calculăm ce parte din aria patrulaterului PQST este aria triunghiului APQ și, prin urmare, aria triunghiului ABC. Pentru a face acest lucru, avem nevoie de relații în care punctele S și T împart liniile AQ și, respectiv, AP. Să aplicăm teorema lui Menelaus triunghiului ACQ și secantei SR:
În mod similar, aplicând teorema lui Menelaus triunghiului ACP și secantei TR, obținem:
Mai departe: 
Pe de altă parte, aplicând lema ariei triunghiurilor APQ și ABC, obținem
Răspuns:
Sarcina 10. În triunghiul ABC, lungimea înălțimii BD este egală cu 6, lungimea medianei CE este egală cu 5, distanța de la punctul de intersecție al BD cu CE până la latura AC este egală cu 1 (Fig. 19). Aflați lungimea laturii AB.
Decizie. Fie punctul O punctul de intersecție al dreptelor BD și CE. Distanța de la punctul O până la latura AC (care este egală cu unu) este lungimea segmentului OD. Deci, OD = 1 și OB = 5. Aplicați teorema lui Menelaus triunghiului ABD și secantei OE:
Aplicând acum teorema lui Menelaus triunghiului ACE și secantei OD, obținem că
de unde OE = 2CO și ținând cont de OE + CO = CE = 5
obținem că Aplicăm teorema lui Pitagora triunghiului dreptunghic CDO:
Mijloace, 
În sfârșit, luăm în considerare un triunghi dreptunghic ABD, în care folosim și teorema lui Pitagora:
Răspuns:
Sarcina 11. Punctele C și D se află pe segmentul AB, iar punctul C este între punctele A și D. Punctul M este luat astfel încât dreptele AM și MD să fie perpendiculare, iar liniile CM și MB sunt, de asemenea, perpendiculare (Fig. 20). Găsiți aria triunghiului AMB dacă se știe că unghiul CMD este α, iar ariile triunghiurilor AMD și CMB sunt S1 și, respectiv, S2.
Decizie. Notați ariile triunghiurilor AMB și, respectiv, CMD prin
x și y (x > y). Rețineți că x + y = S1 + S2 . Să arătăm acum că xy = S 1 S 2 sin 2 α. Într-adevăr, 
De asemenea, 
Deoarece ∠AMB = ∠AMC + ∠CMD + ∠DMB =
= 90° – α + α + 90° – α = 180° – α, iar sin ∠AMB =
= sinα. Mijloace:
Astfel numerele x și y sunt rădăcinile ecuației pătratice
t2 – (S1 + S2 )t + S1 S2 sin2 α = 0.
Rădăcina mai mare a acestei ecuații este:
Răspuns: 
Sarcini pentru soluție independentă
C-1.Într-un triunghi ABC a cărui aria este S, se trasează bisectoarea CE și mediana BD, intersectându-se în punctul O. Aflați aria patrulaterului ADOE, știind că BC = A, AC = b.
C-2. Un pătrat este înscris într-un triunghi isoscel ABC, astfel încât două dintre vârfurile sale se află pe baza lui BC, iar celelalte două se află pe laturile triunghiului. Latura unui pătrat este legată de raza unui cerc înscris într-un triunghi, ca
8: 5. Găsiți colțurile triunghiului.
C-3. În paralelogramul ABCD cu laturile AD = 5 și AB = 4, este trasat un segment de dreaptă EF care leagă punctul E al laturii BC cu punctul F al laturii CD. Punctele E și F sunt alese astfel încât
BE: EC = 1: 2, CF: FE = 1: 5. Se știe că punctul de intersecție M al diagonalei AC cu segmentul FE satisface condiția MF: ME = 1: 4. Aflați diagonalele paralelogramului.
C-4. Aria trapezului ABCD este egală cu 6. Fie E punctul de intersecție al prelungirilor laturilor acestui trapez. Prin punctul E și punctul de intersecție al diagonalelor trapezului se trasează o dreaptă care intersectează baza mai mică BC în punctul P, baza mai mare AD - în punctul Q. Punctul F se află pe segmentul EC și EF: FC = EP: EQ = 1: 3.
Găsiți aria triunghiului EPF.
C-5.Într-un triunghi cu unghi ascuțit ABC (unde AB > BC) sunt desenate înălțimile AM și CN, punctul O este centrul cercului circumscris triunghiului ABC. Se știe că mărimea unghiului ABC este β, iar aria patrulaterului NOMB este S. Aflați lungimea laturii AC.
C-6. În triunghiul ABC, punctul K de pe latura AB și punctul M de pe latura AC sunt situate astfel încât relațiile AK: KB = 3: 2 și AM: MC = 4: 5 sunt ținute. În ce raport se află punctul de intersecție al dreptelor KC și BM împart segmentul BM?
C-7. Punctul D este luat în interiorul triunghiului dreptunghic ABC (unghiul B este drept), astfel încât ariile triunghiurilor ABD și BDC sunt de trei, respectiv de patru ori mai mici decât aria triunghiului ABC. Lungimile segmentelor AD și DC sunt egale cu a și, respectiv, c. Aflați lungimea segmentului BD.
S-8. Într-un patrulater convex ABCD pe latura CD, se ia un punct E astfel încât segmentul AE să împartă patrulaterul ABCD într-un romb și un triunghi isoscel, al cărui raport al ariilor este egal cu Aflați valoarea unghiului BAD.
C-9. Înălțimea trapezului ABCD este 7, iar lungimile bazelor AD și BC sunt 8, respectiv 6. Prin punctul E, situat pe latura CD, se trasează o linie BE, care împarte diagonala AC în punctul O în raport cu AO: OC = 3: 2. Aflați triunghiul cu arii OEC.
S-10. Punctele K, L, M împart laturile patrulaterului convex ABCD față de AK: BK = CL: BL = CM: DM = 1: 2. Se știe că raza cercului circumscris triunghiului KLM este egală cu KL = 4, LM = 3 și KM< KL. Найдите площадь четырехугольника ABCD.
S-11. Prelungirile laturilor AD și BC ale unui patrulater convex ABCD se intersectează în punctul M, iar prelungirile laturilor AB și CD se intersectează în punctul O. Segmentul MO este perpendicular pe bisectoarea unghiului AOD. Aflați raportul ariei triunghiurilor AOD și BOC dacă OA = 6, OD = 4, CD = 1.
S-12. În triunghiul ABC, unghiul la vârful A este de 30°, iar înălțimile BD și CE se intersectează în punctul O. Aflați raportul razelor cercurilor circumscrise triunghiurilor DEO și ABC.
S-13. Segmentele care leagă bazele altitudinilor unui triunghi cu unghi ascuțit sunt 5, 12 și 13. Aflați raza cercului circumscris triunghiului.
S-14. Într-un triunghi cu unghi ascuțit ABC, punctul M este luat la înălțimea AD, iar punctul N este luat la înălțimea BP, astfel încât unghiurile BMC și ANC sunt drepte. Distanța dintre punctele M și N este ∠MCN = 30°.
Aflați bisectoarea CL a triunghiului CMN.
S-15. Punctele D, E și F sunt luate pe laturile AB, BC și AC ale triunghiului ABC, respectiv. Segmentele AE și DF trec prin centrul unui cerc înscris în triunghiul ABC, iar liniile DF și BC sunt paralele. Aflați lungimea segmentului BE și perimetrul triunghiului ABC dacă BC = 15, BD = 6, CF = 4.
S-16. În triunghiul ABC, bisectoarea BB" intersectează mediana AA" în punctul O.
Găsiți raportul dintre aria triunghiului BOA" și aria triunghiului AOB" dacă AB:AC = 1:4.
S-17. În triunghiul ABC, punctul D se află pe AC și AD = 2DC. Punctul E se află pe BC. Aria triunghiului ABD este 3, aria triunghiului AED este 1. Segmentele AE și BD se intersectează în punctul O. Aflați raportul dintre ariile triunghiurilor ABO și OED.
S-18. În paralelogramul ABCD, punctele E și F se află respectiv pe laturile AB și BC, M este punctul de intersecție al dreptelor AF și DE, cu AE = 2BE și BF = 3CF. Găsiți raportul AM:MF.
S-19. În dreptunghi ABCD pe laturi
AB și AD, punctele E și, respectiv, F sunt alese astfel încât AE: EB = 3: 1, AF: FD = 1: 2. Aflați EO: OD, unde O este punctul de intersecție al segmentelor DE și CF.
S-20. Punctul N este luat pe latura PQ a triunghiului PQR, iar punctul L este luat pe latura PR și
NQ=LR. Punctul de intersecție al segmentelor QL și NR împarte segmentul QL în raportul m:n, numărând din punctul Q. Aflați raportul PN:PR.
S-21. Punctele A și B sunt luate pe laturile unui unghi ascuțit cu vârful O. Punctul M este luat pe raza OB la distanța 3OA de linia OA, iar punctul N este luat pe raza OA la distanța 3OB de linia OB. Raza cercului circumferitor al triunghiului AOB este 3. Aflați MN.
S-22. Într-un pentagon convex ABCDE, diagonalele BE și CE sunt bisectoarele unghiurilor vârfurilor B și C, respectiv, ∠A = 35°, ∠D = 145°, S∆BCE = 11. Aflați aria pentagonului ABCDE.
S-23. Pe bazele AD și BC ale trapezului ABCD se construiesc pătratele ADEF și BCGH, situate în afara trapezului. Diagonalele trapezului se intersectează în punctul O. Aflați lungimea segmentului AD dacă BC = 2, GO = 7 și GF = 18.
S-24. În triunghiul ABC știm că AB = BC și unghiul BAC este de 45°. Linia MN intersectează latura AC în punctul M și latura BC în punctul N, cu AM = 2MC și ∠NMC = 60°. Găsiți raportul dintre aria triunghiului MNC și aria patrulaterului ABNM.
S-25. În triunghiul ABC, punctul N este luat pe latura AB, iar punctul M este luat pe latura AC. Segmentele CN și BM se intersectează în punctul O, AN: NB = 2: 3,
BO: OM = 5: 2. Găsiți CO: ON.
Trapez la examen. Un nivel de bază de.
Sarcini din banca deschisă de sarcini FIPI.
Sarcina 1.În trapezul ABCD, știm că AB=CD,∠ BDA=54° și ∠ BDC=23°. Găsiți unghiul ABD. Dați răspunsul în grade.
Decizie.În acest trapez, unghiul A DC la baza inferioară este egală cu suma unghiurilor A D V și V DC , este egal cu 54 + 23 = 77 de grade. Deoarece trapezul este isoscel, unghiurile de la baza inferioară sunt egale, iar unghiul BA D este, de asemenea, 77 de grade. Suma unghiurilor VA D și AB D egal cu 180 de grade (unilateral cu linii paralele A D și BC și secante AB). Deci unghiul ABC este egal cu 180 - 77 \u003d 103 grade.
În continuare, folosim egalitatea unghiurilor A D B și D BC (încrucișat cu linii paralele A D și BC și secante B D). Deci unghiul AB D egal cu 103 - 54 \u003d 49 de grade.
Răspuns 49.
Sarcina 2.Bazele unui trapez isoscel sunt 10 și 24, latura este 25. Aflați înălțimea trapezului.
Decizie.În acest trapez, baza superioară BC este 10, cea inferioară A D =24. De la vârfurile B și C coborâm înălțimile la baza inferioară. În dreptunghiul rezultat NVSK NK=BC=10. Triunghiurile ABH și K DC DC ), deci AH \u003d K D =(24-10):2=7. Conform teoremei lui Pitagora, într-un triunghi ABN, pătratul catetei BH este egal cu diferența dintre pătratul ipotenuzei AB și pătratul catetului AN. Adică, VN 2 \u003d 625 - 49 \u003d 576. VN \u003d 24.
Răspuns 24.
Sarcina 3.Într-un trapez isoscel, una dintre baze
este 3 iar celălalt este 7. Înălțimea trapezului este 4. Aflați tangentei unghiului ascuțit al trapezului.
Decizie.În acest trapez, baza superioară BC este 3, cea inferioară A D =7. De la vârfurile B și C coborâm înălțimile la baza inferioară. În dreptunghiul rezultat NVSK NK=BC=3. Triunghiurile ABH și K DC sunt egale (sunt dreptunghiulare, BH = SK, AB = DC ), deci AH \u003d K D =(7-3):2=2. Tangenta unui unghi ascuțit BAN într-un triunghi dreptunghic ABN este egală cu raportul catetului opus BH și catetului adiacent AH, adică 4:2=2.
Răspuns 2.
Sarcina 4.Bazele trapezului sunt 8 și 16, latura laterală, egală cu 6, formează un unghi de 150 ° cu una dintre bazele trapezului. Găsiți aria trapezului.
Decizie.Fiți în trapezul din figura bazei BC \u003d 8, ANUNȚ =16, latura AB=6 și unghiul ABC este de 150 de grade. Știm că aria unui trapez este egală cu produsul dintre jumătate din suma bazelor și înălțimea. Bazele sunt cunoscute. Să găsim înălțimea lui BH. Într-un triunghi dreptunghic ABH, unghiul ABH este 150 - 90 = 60 de grade. Deci unghiul VAN este egal cu 90 - 60 \u003d 30 de grade. Și într-un triunghi dreptunghic, catetul opus unghiului de 30 de grade este egal cu jumătate din ipotenuză. Deci VN=3.
Rămâne de calculat aria trapezului. Jumătate de sumă a bazelor este egală cu (8+16):2=12. Zona este 12*3=36.
Răspuns 36.
Sarcina 5.Într-un trapez dreptunghiularABCD cu temelii soareși DARD injecţie LAANUNȚ Drept, AB=3, soare=CD=5. Găsiți linia mediană a trapezului.
Decizie.Linia mediană a trapezului este jumătate din suma bazelor.În acest trapez, baza superioară BC este 5, cea inferioară A. D necunoscut. De la vârful C coborâm înălțimea la baza inferioară. În dreptunghiul rezultat NVSK AH=BC=5, CH=AB=3. Triunghiul H DC dreptunghiular. După teorema lui Pitagora, pătratul catetei H D egală cu diferența pătratului ipotenuzei DC iar pătratul piciorului CH. Adică N D 2 \u003d 65 -9 \u003d 16. H D \u003d 4. Deci baza inferioară A D =AH+H D =5+4=9. Linia mediană a trapezului este (5+9):2=7.
Răspuns 7.
Sarcina 6.Într-un trapez dreptunghiular, bazele sunt 4 și 7, iar unul dintre unghiuri este de 135°. Găsiți partea mai mică.
Decizie.Să folosim desenul pentru problema anterioară În acest trapez, baza superioară BC este 4, cea inferioară A D=7. Unghiul BC D este egal cu 135 de grade. De la vârful C coborâm înălțimea la baza inferioară. Apoi H D =7-4=3. În triunghiul dreptunghic rezultat H Unghi DC HC D este egal cu 135-90=45 de grade. Deci unghiul H DC de asemenea, 45 de grade. Picioare CH= H D=3.
Răspuns 3.
Sarcini pentru soluție independentă.
- ∠ BDA=40° și ∠ BDC=30°. Găsiți unghiul ABD. Dați răspunsul în grade.
- într-un trapez ABCD se știe că AB=CD, ∠ BDA=45° și ∠ bdc=23°. Găsiți un unghi ABD. Dați răspunsul în grade.
- În trapezul ABCD, știm că AB=CD,∠ BDA=49° și ∠ BDC=31°. Găsiți unghiul ABD. Dați răspunsul în grade.
- Bazele unui trapez isoscel sunt 7 și 13, latura este 5. Aflați înălțimea trapezului.
- Bazele unui trapez isoscel sunt 11 și 21, latura este 13. Aflați înălțimea trapezului.
- Bazele trapezului sunt 10 și 20, latura laterală, egală cu 8, formează un unghi de 150 ° cu una dintre bazele trapezului. Găsiți aria trapezului.
- Într-un trapez isoscel, una dintre baze este 5 și cealaltă este 9. Înălțimea trapezului este 6. Aflați tangentei unghiului ascuțit al trapezului.
- Într-un trapez dreptunghiularABCD cu temelii soareși DARD injecţie LAANUNȚ Drept, AB=8, soare=CD=10. Găsiți linia mediană a trapezului.
- Într-un trapez dreptunghiularABC D cu temelii soare și DAR D injecţie LA ANUNȚ Drept, AB = 15 , soare = CD = 17 . Găsiți linia mediană a trapezului.
- Într-un trapez dreptunghiular, bazele sunt 3 și 5, iar unul dintre unghiuri este de 135°. Găsiți partea mai mică.
