Deci, servicii pentru rezolvarea matricelor online:

Serviciul Matrix vă permite să efectuați transformări elementare ale matricelor.
Dacă aveți o sarcină pentru a efectua o transformare mai complexă, atunci acest serviciu ar trebui să fie folosit ca constructor.

Exemplu. Date matrice Ași B, trebuie să găsesc C = A -1 * B + B T ,

1. Ar trebui mai întâi să găsești matrice inversăA1 = A-1 , folosind serviciul de găsire a matricei inverse ;
2. Mai departe, după găsirea matricei A1 Fă-o înmulțirea matricealăA2 = A1 * B, folosind serviciul pentru multiplicarea matricei;
3. S-o facem transpunerea matriceiA3 = B T (serviciu de găsire a matricei transpuse);
4. Și ultimul - găsiți suma matricelor Cu = A2 + A3(serviciu de calcul al sumei matricelor) - și obținem un răspuns cu cea mai detaliată soluție!;

Produsul matricelor

Acesta este un serviciu online doi pasi:

• Introduceți prima matrice de factori A
• Introduceți al doilea factor de matrice sau vector coloană B

Înmulțirea unei matrice cu un vector

Înmulțirea unei matrice cu un vector poate fi găsită folosind serviciul Înmulțirea matricei
(Primul factor va fi matricea dată, al doilea factor va fi coloana formată din elementele vectorului dat)

Acesta este un serviciu online doi pasi:

• Introduceți matricea A, pentru care trebuie să găsiți matricea inversă
• Obțineți un răspuns cu o soluție detaliată pentru găsirea matricei inverse

Determinant de matrice

Acesta este un serviciu online un pas:

• Introduceți matricea A, pentru care trebuie să găsiți determinantul matricei

Transpunerea matricei

Aici puteți urma algoritmul de transpunere a matricei și puteți afla cum să rezolvați singur astfel de probleme.
Acesta este un serviciu online un pas:

• Introduceți matricea A, care trebuie transpus

Rangul matricei

Acesta este un serviciu online un pas:

• Introduceți matricea A, pentru care trebuie să găsiți rangul

Valori proprii matrice și vectori proprii matrice

Acesta este un serviciu online un pas:

• Introduceți matricea A, pentru care trebuie să găsiți vectori proprii și valori proprii (valori proprii)

Exponentiarea matricei

Acesta este un serviciu online doi pasi:

• Introduceți matricea A, care va fi ridicat la putere
• Introduceți un număr întreg q- grad

Atribuirea serviciului. Calculatorul matriceal este destinat rezolvării sistemelor de ecuații liniare într-un mod matricial (vezi un exemplu de rezolvare a unor probleme similare).

Instruire. Pentru o soluție online, trebuie să selectați tipul de ecuație și să setați dimensiunea matricelor corespunzătoare.

Tip de ecuație: A X = B X A = B A X B = C
Dimensiunea matricei A
Dimensiunea matricei B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Dimensiunea matricei C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

unde A, B, C sunt date matrice, X este matricea dorită. Ecuațiile matriceale de forma (1), (2) și (3) se rezolvă prin matricea inversă A -1 . Dacă este dată expresia A X - B = C, atunci este necesar să adăugați mai întâi matricele C + B și să găsiți o soluție pentru expresia A X = D , unde D = C + B (). Dacă este dată expresia A*X = B 2, atunci matricea B trebuie mai întâi să fie pătrat. De asemenea, este recomandat să vă familiarizați cu operațiile de bază pe matrice.

Exemplul #1. Exercițiu. Găsiți o soluție pentru o ecuație matriceală
Decizie. Denota:
Atunci ecuația matriceală se va scrie sub forma: A·X·B = C.
Determinantul matricei A este detA=-1
Deoarece A este o matrice nesingulară, există o matrice inversă A -1 . Înmulțiți ambele părți ale ecuației din stânga cu A -1: Înmulțiți ambele părți ale acestei ecuații din stânga cu A -1 și din dreapta cu B -1: A -1 A X B B -1 = A -1 C B -1 . Deoarece A A -1 = B B -1 = E și E X = X E = X, atunci X = A -1 C B -1

Matricea inversă A -1:
Aflați matricea inversă B -1 .
Transpune matricea B T:
Matricea inversă B -1:
Căutăm matricea X prin formula: X = A -1 C B -1

Răspuns:

Exemplul #2. Exercițiu. Rezolvați ecuația matriceală
Decizie. Denota:
Apoi ecuația matriceală se va scrie sub forma: A X = B.
Determinantul matricei A este detA=0
Deoarece A este o matrice degenerată (determinantul este 0), prin urmare, ecuația nu are soluție.

Exemplul #3. Exercițiu. Găsiți o soluție pentru o ecuație matriceală
Decizie. Denota:
Atunci ecuația matriceală se va scrie sub forma: X·A = B.
Determinantul matricei A este detA=-60
Deoarece A este o matrice nesingulară, există o matrice inversă A -1 . Înmulțiți în dreapta ambele părți ale ecuației cu A -1: X A A -1 = B A -1 , din care aflăm că X = B A -1
Aflați matricea inversă A -1 .
Matricea transpusă A T:
Matricea inversă A -1:
Căutăm matricea X prin formula: X = B A -1


Răspuns: >

Matrice inversă- asa matrice A −1 , atunci când este înmulțit cu care, matricea originală A dă drept rezultat matrice de identitate E:

matrice pătrată este inversabilă dacă și numai dacă este nedegenerată, adică sa determinant nu este egal cu zero. Pentru matrici nepătrate și matrici degenerate matrice inversă nu există. Cu toate acestea, este posibil să se generalizeze acest concept și să se introducă matrici pseudoinverse, similar cu inversele în multe proprietăți.

Rezolvarea ecuațiilor matriceale

Ecuațiile matriceale pot arăta astfel:

AX = B, XA = B, AXB = C,

unde A, B, C sunt date matrice, X este matricea dorită.

Ecuațiile matriceale se rezolvă prin înmulțirea ecuației cu matrici inverse.

De exemplu, pentru a găsi matricea dintr-o ecuație, trebuie să înmulțiți această ecuație cu din stânga.

Prin urmare, pentru a găsi o soluție la ecuație, trebuie să găsiți matricea inversă și să o înmulțiți cu matricea din partea dreaptă a ecuației.

Alte ecuații se rezolvă în mod similar.

Exemplul 2

Rezolvați ecuația AX = B dacă

Decizie: Deoarece inversul matricei este egal (vezi exemplul 1)

Spații liniare

Definirea spațiului liniar

Lasa V- o mulțime nevidă (vom numi elementele sale vectori și vom nota ...), în care se stabilesc regulile:

1) oricare două elemente corespund celui de-al treilea element numit suma elementelor (funcționare internă);

2) fiecăruia îi corespunde un anumit element (funcționare externă).

O multime de V se numește spațiu liniar real (vector) dacă sunt valabile următoarele axiome:

eu.

III. (element zero, astfel încât ).

IV. (element opus elementului ), astfel încât

v.

VIII. Un spațiu liniar complex este definit în mod similar (în loc de R considerată C).

Subspațiul spațiului liniar

Mulțimea se numește subspațiu al spațiului liniar V, dacă:

1)

Sistem vectorial spațial liniar L forme bază în L dacă acest sistem de vectori este ordonat, liniar independent și orice vector din L se exprimă liniar în termeni de vectori ai sistemului.

Cu alte cuvinte, un sistem ordonat liniar independent de vectori e 1 , ..., e n formează baza L dacă vreun vector X din L poate fi prezentat sub formă

X= C 1 e 1 +C 2 e 2 + ... + C n · e n .

Baza poate fi definită diferit.

Orice sistem ordonat liniar independent e 1 , ..., e n vectori n- spațiu liniar dimensional L n formează baza acestui spațiu.

În măsura în care n, dimensiunea spațială L n este numărul maxim de vectori spațiali liniar independenți, apoi sistemul de vectori X,e 1 , ..., e n dependent liniar și, prin urmare, de vector X exprimată liniar în termeni de vectori e 1 , ..., e n :

X = X unu · e 1 + X 2 e 2 + ...+ X n · e n .

O astfel de descompunere a unui vector în termeni de bază numai.

Teorema 1. (Cu privire la numărul de vectori în sisteme liniar independente și generatoare de vectori.) Numărul de vectori din orice sistem liniar independent de vectori nu depășește numărul de vectori din orice sistem generator de vectori ai aceluiași vector spaţiu.

Dovada. Fie un sistem arbitrar liniar independent de vectori un sistem generator arbitrar. Să presupunem că.

pentru că sistem generator, atunci reprezintă orice vector al spațiului, inclusiv vectorul . Să-l adăugăm la acest sistem. Obținem un sistem de vectori liniar dependent și generator: . Apoi, există un vector al acestui sistem care este exprimat liniar în termenii vectorilor anteriori ai acestui sistem și, în virtutea lemei, poate fi eliminat din sistem, iar sistemul de vectori rămas va fi în continuare generator.

Renumerotăm sistemul de vectori rămas: . pentru că acest sistem este generator, apoi reprezintă un vector și, prin atașarea acestuia la acest sistem, obținem din nou un sistem liniar dependent și generator: .

Apoi totul se repetă. Există un vector în acest sistem, care este exprimat liniar în termenii celor anterioare, și nu poate fi un vector, deoarece sistemul original este liniar independent iar vectorul nu este exprimat liniar în termeni de vector. Deci poate fi doar unul dintre vectori. Scotându-l din sistem, obținem, după renumerotare, sistemul care va fi sistemul generator. Continuând acest proces, după pași obținem un sistem generator de vectori: , unde , deoarece conform presupunerii noastre. Aceasta înseamnă că acest sistem, ca generator, reprezintă și vectorul , ceea ce contrazice condiția de independență liniară a sistemului .

Teorema 1 este demonstrată.

Teorema 2. (Despre numărul de vectori dintr-o bază.) În orice bază a unui vector spaţiu conţine acelaşi număr de vectori.

Dovada. Fie și două baze ale spațiului vectorial arbitrar. Orice bază este un sistem de vectori liniar independent și generator.

pentru că primul sistem este liniar independent, iar al doilea este generator, apoi, prin Teorema 1, .

În mod similar, al doilea sistem este liniar independent, iar primul este generator, apoi . De aici rezultă că , p.t.d.

Teorema 2 este demonstrată.

Acest teorema ne permite să introducem următoarea definiţie.

Definiție. Dimensiunea unui spațiu vectorial V peste un câmp K este numărul de vectori din baza acestuia.

Denumire: sau .

Coordonatele vectoriale sunt coeficienții singurului posibil combinație liniară de bază vectoriîn cele selectate sistem de coordonate egal cu vectorul dat.

O matrice este un obiect matematic scris ca un tabel dreptunghiular de numere și care permite operații algebrice (adunare, scădere, înmulțire etc.) între aceasta și alte obiecte similare. Regulile de efectuare a operațiunilor pe matrice sunt realizate după cum urmează:

pentru a face convenabil scrierea sistemelor de ecuații liniare. De obicei, matricea este indicată cu litera majusculă a alfabetului latin și se distinge prin paranteze rotunde „(...)” (se găsește și

evidențierea cu paranteze drepte „[…]”, linii drepte duble „||…||”) Iar numerele care alcătuiesc matricea (elementele matricei) sunt notate cu aceeași literă ca și matricea în sine, dar mici. fiecare element de matrice are 2 indice (a ij ) - primul „i” reprezintă

numărul rândului în care se află elementul, iar al doilea „j” este numărul coloanei.

Operații cu matrice

Înmulțirea unei matrice A cu un număr

B , ale cărui elemente se obțin prin înmulțirea fiecărui element al matricei A cu acest număr, adică fiecare element al matricei B este

b ij = λ a ij

Adăugarea matricei A

elementul matricei C este

c ij= a ij+ b ij

Scăderea matricei A

c ij= a ij- b ij

A+Θ=A

Înmulțirea matricei(notație: AB , rar cu semn de înmulțire) - există o operație de calcul a matricei C , ale cărei elemente sunt egale cu suma produselor elementelor din rândul corespunzător al primului factor și coloana celui de-al doilea.

c ij= ∑ a ikb kj

Primul multiplicator trebuie să aibă atâtea coloane câte rânduri există în al doilea. Dacă matricea A are dimensiunea, B -, atunci dimensiunea produsului lor AB = C

există . Înmulțirea prin matrice nu este comutativă. Acest lucru se poate vedea cel puțin din faptul că, dacă matricele nu sunt pătrate, atunci puteți doar să înmulțiți una cu alta, dar nu și invers. Pentru

matrici pătrate, rezultatul înmulțirii depinde de ordinea factorilor.

Numai matricele pătrate pot fi ridicate la o putere.

Matrice de identitate

Pentru matrice pătrată, există matrice de identitate E astfel încât orice înmulțire

matricea de pe ea nu afectează rezultatul, și anume

EA=AE=A

Matricea de identitate are unități numai în

diagonale, celelalte elemente sunt egale cu zero

Pentru unele matrice pătrate se pot găsi așa-numitelematrice inversă.

Matricea inversă A - 1 este astfel încât dacă înmulțiți matricea cu ea, obțineți matricea de identitate

AA - 1 = E

Matricea inversă nu există întotdeauna. Se numesc matrice pentru care există inversul

nedegenerat, și pentru care nu este - degenerat. O matrice este nedegenerată dacă toate rândurile (coloanele) ei sunt liniar independente ca vectori. Număr maxim de rânduri liniar independente

(coloane) se numește rangul matricei. Determinantul (determinantul) unei matrice este o funcțională liniară simetrică normalizată pe rândurile unei matrice. Matrice

este degenerată dacă și numai dacă determinantul său este zero.

Proprietățile matricei

1. A + (B + C ) = (A + B ) + C

2.A+B=B+A

3. A (BC ) = (AB )C

4.A(B+C)=AB+AC

5. (B+ C) A= BA+ CA

9. Matricea simetrică A este definit pozitiv (A > 0) dacă valorile tuturor unghiurilor sale principale minore A k > 0

10. Matricea simetrică A este definit negativ (A< 0), если матрица (−A )

este pozitiv-definită, adică dacă pentru orice k minorul principal de ordinul k-lea A k are semnul (− 1)k

Sisteme de ecuații liniare

Un sistem de m ecuații cu n necunoscute

a11 x1 +a12 x2 +…+a1n xn =b1 a21 x1 +a22 x2 +…+a2n xn =b2

am x1 +am x2 +…+am xn =bm

poate fi reprezentat sub formă de matrice

și atunci întregul sistem poate fi scris astfel: AX =B

Operații cu matrice

Fie a ij elemente ale matricei A , iar b ij matrice B .

Înmulțirea unei matrice A cu un numărλ (notația: λA ) înseamnă a construi o matrice

B , ale cărui elemente se obțin prin înmulțirea fiecărui element al matricei A cu acest număr, adică fiecare element al matricei B este b ij = λa ij

Să scriem matricea A

Înmulțiți primul element al matricei A cu 2

Adăugarea matricei A+ B este operația de găsire a unei matrici C , ale cărei elemente sunt egale în suma perechi a tuturor elementelor corespunzătoare ale matricelor A și B , adică fiecare

elementul matricei C este

c ij= a ij+ b ij

А+В Să scriem matricele А și В

Efectuați adăugarea primelor elemente ale matricelor

Întindeți valorile, mai întâi pe orizontală și apoi pe verticală (puteți și invers)

Scăderea matricei A− B se definește asemănător cu adunarea, este operația de găsire a unei matrice C ale cărei elemente

c ij= a ij- b ij

Adunarea și scăderea sunt permise numai pentru matrice de aceeași dimensiune.

Există o matrice zero Θ astfel încât adăugarea acesteia la o altă matrice A nu schimbă A, adică.

A+Θ=A

Toate elementele matricei zero sunt egale cu zero.

Acest subiect este unul dintre cele mai urâte printre studenți. Mai rău, probabil, doar factori determinanți.

Trucul este că însuși conceptul de element invers (și acum nu vorbesc doar despre matrice) ne trimite la operația de înmulțire. Chiar și în programa școlară, înmulțirea este considerată o operație complexă, iar înmulțirea matriceală este în general o temă separată, căreia am un paragraf întreg și o lecție video dedicată acesteia.

Astăzi nu vom intra în detaliile calculelor matriceale. Nu uitați: cum sunt notate matricele, cum sunt înmulțite și ce rezultă din aceasta.

Recenzie: Înmulțirea matricelor

În primul rând, să cădem de acord asupra notării. O matrice $A$ de dimensiunea $\left[ m\times n \right]$ este pur și simplu un tabel de numere cu exact $m$ rânduri și $n$ coloane:

\=\underbrace(\left[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\end(matrice) \right])_(n)\]

Pentru a nu confunda accidental rândurile și coloanele pe alocuri (credeți-mă, la examen puteți confunda unul cu doi - ce putem spune despre unele rânduri de acolo), aruncați o privire la imagine:

Determinarea indicilor pentru celulele matriceale

Ce se întâmplă? Dacă plasăm sistemul de coordonate standard $OXY$ în colțul din stânga sus și direcționăm axele astfel încât să acopere întreaga matrice, atunci fiecare celulă a acestei matrice poate fi asociată în mod unic cu coordonatele $\left(x;y \right) $ - acesta va fi numărul rândului și numărul coloanei.

De ce sistemul de coordonate este plasat exact în colțul din stânga sus? Da, pentru că de acolo începem să citim orice texte. Este foarte ușor de reținut.

De ce axa $x$ este îndreptată în jos și nu spre dreapta? Din nou, totul este simplu: luați sistemul de coordonate standard (axa $x$ merge la dreapta, axa $y$ merge în sus) și rotiți-l astfel încât să încapă matricea. Aceasta este o rotație de 90 de grade în sensul acelor de ceasornic - rezultatul îl vedem în imagine.

În general, ne-am dat seama cum să determinăm indicii elementelor matricei. Acum să ne ocupăm de înmulțire.

Definiție. Matricele $A=\left[ m\times n \right]$ și $B=\left[ n\times k \right]$, când numărul de coloane din prima se potrivește cu numărul de rânduri din a doua, sunt numite consistente.

Este în ordinea aceea. Se poate fi ambiguu și se poate spune că matricele $A$ și $B$ formează o pereche ordonată $\left(A;B \right)$: dacă sunt consistente în această ordine, atunci nu este deloc necesar ca $B $ și $A$, acelea. perechea $\left(B;A \right)$ este de asemenea consistentă.

Numai matricele consistente pot fi multiplicate.

Definiție. Produsul matricelor consistente $A=\left[ m\times n \right]$ și $B=\left[ n\times k \right]$ este noua matrice $C=\left[ m\times k \right ]$ , ale căror elemente $((c)_(ij))$ se calculează prin formula:

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

Cu alte cuvinte: pentru a obține elementul $((c)_(ij))$ al matricei $C=A\cdot B$, trebuie să luați $i$-rândul primei matrice, $j$ -a coloană a celei de-a doua matrice și apoi înmulțiți elementele din acest rând și coloană. Adunați rezultatele.

Da, aceasta este o definiție dură. Din aceasta decurg imediat mai multe fapte:

1. Înmulțirea prin matrice este, în general, necomutativă: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
2. Totuși, înmulțirea este asociativă: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
3. Și chiar distributiv: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
4. Și din nou distributiv: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

Distributivitatea înmulțirii a trebuit să fie descrisă separat pentru suma multiplicatorului din stânga și din dreapta doar din cauza necomutativității operației de înmulțire.

Dacă, totuși, se dovedește că $A\cdot B=B\cdot A$, astfel de matrici se numesc permutabile.

Printre toate matricele care sunt înmulțite cu ceva acolo, există unele speciale - cele care, atunci când sunt înmulțite cu orice matrice $A$, dau din nou $A$:

Definiție. O matrice $E$ se numește identitate dacă $A\cdot E=A$ sau $E\cdot A=A$. În cazul unei matrice pătrate $A$ putem scrie:

Matricea de identitate este un invitat frecvent în rezolvarea ecuațiilor matriceale. Și, în general, un invitat frecvent în lumea matricelor. :)

Și din cauza acestui $E$, cineva a venit cu tot jocul care va fi scris în continuare.

Ce este o matrice inversă

Deoarece înmulțirea matricei este o operație care necesită foarte mult timp (trebuie să înmulțiți o grămadă de rânduri și coloane), conceptul de matrice inversă nu este, de asemenea, cel mai banal. Și are nevoie de niște explicații.

Definiție cheie

Ei bine, este timpul să cunoaștem adevărul.

Definiție. Matricea $B$ se numește inversul matricei $A$ dacă

Matricea inversă este notată cu $((A)^(-1))$ (a nu se confunda cu gradul!), așa că definiția poate fi rescrisă astfel:

S-ar părea că totul este extrem de simplu și clar. Dar atunci când se analizează o astfel de definiție, apar imediat câteva întrebări:

1. Există întotdeauna o matrice inversă? Și dacă nu întotdeauna, atunci cum să determinați: când există și când nu există?
2. Și cine a spus că o astfel de matrice este exact una? Ce se întâmplă dacă pentru o matrice originală $A$ există o mulțime întreagă de inverse?
3. Cum arată toate aceste „reversuri”? Și cum le numeri de fapt?

În ceea ce privește algoritmii de calcul - vom vorbi despre asta puțin mai târziu. Dar la restul întrebărilor vom răspunde chiar acum. Să le aranjam sub formă de aserțiuni-leme separate.

Proprietăți de bază

Să începem cu cum ar trebui să arate matricea $A$ pentru ca aceasta să aibă $((A)^(-1))$. Acum ne vom asigura că ambele matrice trebuie să fie pătrate și de aceeași dimensiune: $\left[ n\times n \right]$.

Lema 1. Având în vedere o matrice $A$ și inversul ei $((A)^(-1))$. Atunci ambele aceste matrici sunt pătrate și au aceeași ordine $n$.

Dovada. Totul este simplu. Fie matricea $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$. Deoarece produsul $A\cdot ((A)^(-1))=E$ există prin definiție, matricele $A$ și $((A)^(-1))$ sunt consistente în această ordine:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( alinia)\]

Aceasta este o consecință directă a algoritmului de multiplicare a matricei: coeficienții $n$ și $a$ sunt „tranzit” și trebuie să fie egali.

În același timp, se definește și înmulțirea inversă: $((A)^(-1))\cdot A=E$, deci matricele $((A)^(-1))$ și $A$ sunt de asemenea, consecvent în această ordine:

\[\begin(align) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( alinia)\]

Astfel, fără pierderea generalității, putem presupune că $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$. Cu toate acestea, conform definiției lui $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$, deci dimensiunile matricelor sunt exact aceleași:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(align)\]

Așadar, se dovedește că toate cele trei matrici - $A$, $((A)^(-1))$ și $E$ - au dimensiunea $\left[ n\times n \right]$. Lema este dovedită.

Ei bine, asta e deja bine. Vedem că numai matricele pătrate sunt inversabile. Acum să ne asigurăm că matricea inversă este întotdeauna aceeași.

Lema 2. Având în vedere o matrice $A$ și inversul ei $((A)^(-1))$. Atunci această matrice inversă este unică.

Dovada. Să începem de la opus: să fie matricea $A$ să aibă cel puțin două instanțe de inversă — $B$ și $C$. Atunci, conform definiției, următoarele egalități sunt adevărate:

\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end(align)\]

Din lema 1 concluzionăm că toate cele patru matrice $A$, $B$, $C$ și $E$ sunt pătrate de aceeași ordine: $\left[ n\times n \right]$. Prin urmare, produsul este definit:

Deoarece înmulțirea matriceală este asociativă (dar nu comutativă!), putem scrie:

\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Rightarrow B=C. \\ \end(align)\]

Avem singura opțiune posibilă: două copii ale matricei inverse sunt egale. Lema este dovedită.

Raționamentul de mai sus repetă aproape textual demonstrația unicității elementului invers pentru toate numerele reale $b\ne 0$. Singura adăugare semnificativă este luarea în considerare a dimensiunii matricelor.

Cu toate acestea, încă nu știm nimic despre dacă vreo matrice pătrată este inversabilă. Aici determinantul ne vine în ajutor - aceasta este o caracteristică cheie pentru toate matricele pătrate.

Lema 3. Dată o matrice $A$. Dacă matricea $((A)^(-1))$ inversă cu aceasta există, atunci determinantul matricei originale este diferit de zero:

\[\stanga| A \dreapta|\ne 0\]

Dovada. Știm deja că $A$ și $((A)^(-1))$ sunt matrici pătrate de dimensiunea $\left[ n\times n \right]$. Prin urmare, pentru fiecare dintre ele este posibil să se calculeze determinantul: $\left| A \right|$ și $\left| ((A)^(-1)) \dreapta|$. Totuși, determinantul produsului este egal cu produsul determinanților:

\[\stanga| A\cdot B \right|=\left| A \right|\cdot \left| B \right|\Rightarrow \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \dreapta|\]

Dar conform definiției lui $A\cdot ((A)^(-1))=E$, iar determinantul lui $E$ este întotdeauna egal cu 1, deci

\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| E\dreapta|; \\ & \left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \right|=1. \\ \end(align)\]

Produsul a două numere este egal cu unul numai dacă fiecare dintre aceste numere este diferit de zero:

\[\stanga| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \dreapta|\ne 0.\]

Deci, se dovedește că $\left| A \dreapta|\ne 0$. Lema este dovedită.

De fapt, această cerință este destul de logică. Acum vom analiza algoritmul de găsire a matricei inverse - și va deveni complet clar de ce, în principiu, nu poate exista nicio matrice inversă cu un determinant zero.

Dar mai întâi, să formulăm o definiție „auxiliară”:

Definiție. O matrice degenerată este o matrice pătrată de dimensiunea $\left[ n\times n \right]$ al cărei determinant este zero.

Astfel, putem afirma că orice matrice inversabilă este nedegenerată.

Cum se află matricea inversă

Acum vom lua în considerare un algoritm universal pentru găsirea matricilor inverse. În general, există doi algoritmi general acceptați și îl vom lua în considerare și pe al doilea astăzi.

Cea care va fi luată în considerare acum este foarte eficientă pentru matrice de dimensiune $\left[ 2\times 2 \right]$ și - parțial - de dimensiune $\left[ 3\times 3 \right]$. Dar pornind de la dimensiunea $\left[ 4\times 4 \right]$ este mai bine să nu-l folosești. De ce - acum vei înțelege totul.

Adunări algebrice

Pregateste-te. Acum va fi durere. Nu, nu-ți face griji: o asistentă frumoasă în fustă, ciorapi cu dantelă nu vin la tine și nu-ți vor face o injecție în fese. Totul este mult mai prozaic: adăugările algebrice și Majestatea Sa „Matricea Unirii” vin la tine.

Să începem cu cea principală. Să fie o matrice pătrată de mărimea $A=\left[ n\times n \right]$ ale cărei elemente sunt numite $((a)_(ij))$. Apoi, pentru fiecare astfel de element, se poate defini un complement algebric:

Definiție. Complement algebric $((A)_(ij))$ la elementul $((a)_(ij))$ din $i$-lea rând și $j$-a coloană a matricei $A=\left [ n \times n \right]$ este o construcție a formei

\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

Unde $M_(ij)^(*)$ este determinantul matricei obținute din $A$ original prin ștergerea aceluiași $i$-lea rând și $j$-a coloană.

Din nou. Complementul algebric al elementului de matrice cu coordonatele $\left(i;j \right)$ se notează $((A)_(ij))$ și se calculează conform schemei:

1. În primul rând, ștergem $i$-rândul și $j$-a coloană din matricea originală. Obținem o nouă matrice pătrată și notăm determinantul ei ca $M_(ij)^(*)$.
2. Apoi înmulțim acest determinant cu $((\left(-1 \right))^(i+j))$ - la început această expresie poate părea uimitoare, dar de fapt doar aflăm semnul din fața lui $ M_(ij)^(*) $.
3. Numărăm - obținem un anumit număr. Acestea. adunarea algebrică este doar un număr, nu o matrice nouă și așa mai departe.

Matricea $M_(ij)^(*)$ însăși este numită minoră complementară elementului $((a)_(ij))$. Și în acest sens, definiția de mai sus a unui complement algebric este un caz special al unei definiții mai complexe – cea pe care am considerat-o în lecția despre determinant.

Notă importantă. De fapt, în matematica „adulților”, adunările algebrice sunt definite după cum urmează:

1. Luăm $k$ rânduri și $k$ coloane într-o matrice pătrată. La intersecția lor, obținem o matrice de dimensiunea $\left[ k\times k \right]$ — determinantul său se numește minor de ordinul $k$ și este notat cu $((M)_(k))$.
2. Apoi tăiem aceste $k$ rânduri și $k$ coloane „selectate”. Din nou, obținem o matrice pătrată - determinantul său se numește minor complementar și este notat cu $M_(k)^(*)$.
3. Înmulțiți $M_(k)^(*)$ cu $((\left(-1 \right))^(t))$, unde $t$ este (atenție acum!) suma numerelor tuturor rândurilor selectate si coloane. Aceasta va fi adunarea algebrică.

Aruncă o privire la al treilea pas: există de fapt o sumă de termeni de 2k$! Alt lucru este că pentru $k=1$ obținem doar 2 termeni - aceștia vor fi aceiași $i+j$ - „coordonatele” elementului $((a)_(ij))$, pentru care suntem căutând un complement algebric.

Deci astăzi folosim o definiție ușor simplificată. Dar după cum vom vedea mai târziu, va fi mai mult decât suficient. Mult mai important este următorul:

Definiție. Matricea de unire $S$ cu matricea pătrată $A=\left[ n\times n \right]$ este o nouă matrice de dimensiune $\left[ n\times n \right]$, care se obține din $A$ prin înlocuirea $(( a)_(ij))$ cu complemente algebrice $((A)_(ij))$:

\\Rightarrow S=\left[ \begin(matrix) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\end(matrice) \right]\]

Primul gând care apare în momentul realizării acestei definiții este „asta trebuie să numeri în total!” Relaxează-te: trebuie să numeri, dar nu atât. :)

Ei bine, toate acestea sunt foarte frumoase, dar de ce este necesar? Dar de ce.

Teorema principală

Să ne întoarcem puțin. Amintiți-vă, lema 3 a afirmat că o matrice inversabilă $A$ este întotdeauna nesingulară (adică determinantul său este diferit de zero: $\left| A \right|\ne 0$).

Deci, invers este de asemenea adevărat: dacă matricea $A$ nu este degenerată, atunci este întotdeauna inversabilă. Și există chiar și o schemă de căutare $((A)^(-1))$. Verifică:

Teorema matricei inverse. Fie dată o matrice pătrată $A=\left[ n\times n \right]$, iar determinantul ei este diferit de zero: $\left| A \dreapta|\ne 0$. Atunci matricea inversă $((A)^(-1))$ există și se calculează prin formula:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]

Și acum - la fel, dar cu un scris de mână lizibil. Pentru a găsi matricea inversă, aveți nevoie de:

1. Calculați determinantul $\left| A \right|$ și asigurați-vă că este diferit de zero.
2. Compilați matricea de unire $S$, adică. numărați 100500 de adunări algebrice $((A)_(ij))$ și puneți-le în loc $((a)_(ij))$.
3. Transpuneți această matrice $S$ și apoi înmulțiți-o cu un număr $q=(1)/(\left| A \right|)\;$.

Si asta e! Se găsește matricea inversă $((A)^(-1))$. Să ne uităm la exemple:

\[\left[ \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right]\]

Decizie. Să verificăm reversibilitatea. Să calculăm determinantul:

\[\stanga| A \right|=\stânga| \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

Determinantul este diferit de zero. Deci matricea este inversabilă. Să creăm o matrice de unire:

Să calculăm adunările algebrice:

\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2\right|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5\right|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \right|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3\right|=3. \\ \end(align)\]

Atenție: determinanți |2|, |5|, |1| și |3| sunt determinanții matricilor de dimensiune $\left[ 1\times 1 \right]$, nu module. Acestea. dacă au existat numere negative în determinanți, nu este necesar să se elimine „minus”.

În total, matricea noastră de uniuni arată astfel:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(array) \right])^(T))=\left[ \begin (matrice)(*(35)(r)) 2 și -1 \\ -5 și 3 \\\end(matrice) \right]\]

Asta e. Problema rezolvata.

Răspuns. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]$

Sarcină. Aflați matricea inversă:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \]

Decizie. Din nou, luăm în considerare determinantul:

\[\begin(align) & \left| \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right|=\begin(matrix ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(matrix)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]

Determinantul este diferit de zero - matricea este inversabilă. Dar acum va fi cel mai mic: trebuie să numeri până la 9 (nouă, la naiba!) adunări algebrice. Și fiecare dintre ele va conține calificativul $\left[ 2\times 2 \right]$. A zburat:

\[\begin(matrix) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrix) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(matrix) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(matrix) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \begin(matrix) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(matrix) \right|=2; \\ \end(matrice)\]

Pe scurt, matricea de unire va arăta astfel:

Prin urmare, matricea inversă va fi:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matrix) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\end(matrix) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \ 2 & 1 & -2 \\\end(matrice) \right]\]

Ei bine, asta-i tot. Iată răspunsul.

Răspuns. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \right ]$

După cum puteți vedea, la sfârșitul fiecărui exemplu, am efectuat o verificare. În acest sens, o notă importantă:

Nu fi lene să verifici. Înmulțiți matricea originală cu inversul găsit - ar trebui să obțineți $E$.

Este mult mai ușor și mai rapid să efectuați această verificare decât să căutați o eroare în calculele ulterioare, când, de exemplu, rezolvați o ecuație matriceală.

Mod alternativ

Așa cum am spus, teorema matricei inverse funcționează bine pentru dimensiunile $\left[ 2\times 2 \right]$ și $\left[ 3\times 3 \right]$ (în acest din urmă caz, nu este atât de „mare” mai).”), dar pentru matrice mari, începe tristețea.

Dar nu vă faceți griji: există un algoritm alternativ care poate fi folosit pentru a găsi calm inversul chiar și pentru matricea $\left[ 10\times 10 \right]$. Dar, așa cum se întâmplă adesea, pentru a lua în considerare acest algoritm, avem nevoie de puțin fundal teoretic.

Transformări elementare

Printre diferitele transformări ale matricei, există câteva speciale - ele sunt numite elementare. Există exact trei astfel de transformări:

1. Multiplicare. Puteți lua $i$-al-lea rând (coloana) și îl puteți înmulți cu orice număr $k\ne 0$;
2. Plus. Adăugați la $i$--lea rând (coloană) orice alt $j$--lea rând (coloană) înmulțit cu orice număr $k\ne 0$ (desigur, $k=0$ este de asemenea posibil, dar care este rostul de asta? ?Nimic nu se va schimba totusi).
3. Permutare. Luați rândurile (coloanele) $i$-th și $j$-th și schimbați-le.

De ce aceste transformări sunt numite elementare (pentru matrice mari nu arată atât de elementar) și de ce sunt doar trei dintre ele - aceste întrebări depășesc scopul lecției de astăzi. Prin urmare, nu vom intra în detalii.

Un alt lucru este important: trebuie să realizăm toate aceste perversiuni pe matricea asociată. Da, da, ai auzit bine. Acum va mai exista o definiție - ultima din lecția de astăzi.

Matrice atașată

Cu siguranță la școală ai rezolvat sisteme de ecuații folosind metoda adunării. Ei bine, scădeți altul dintr-o linie, înmulțiți o linie cu un număr - asta-i tot.

Deci: acum totul va fi la fel, dar deja „în mod adult”. Gata?

Definiție. Fie date matricea $A=\left[ n\times n \right]$ și matricea de identitate $E$ de aceeași dimensiune $n$. Apoi matricea asociată $\left[ A\left| E\ dreapta. \right]$ este o nouă matrice $\left[ n\time 2n \right]$ care arată astfel:

\[\left[ A\left| E\ dreapta. \right]=\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(matrice) \right]\]

Pe scurt, luăm matricea $A$, în dreapta îi atribuim matricea de identitate $E$ de mărimea cerută, le separăm cu o bară verticală pentru frumusețe - aici o aveți pe cea atașată. :)

Care e siretlicul? Și iată ce:

Teorema. Fie matricea $A$ să fie inversabilă. Se consideră matricea adjunctă $\left[ A\left| E\ dreapta. \dreapta]$. Dacă utilizați transformări elementare de șiruri aduceți-l la forma $\left[ E\left| Luminos. \right]$, adică prin înmulțirea, scăderea și rearanjarea rândurilor pentru a obține matricea $E$ din dreapta din $A$, apoi matricea $B$ obținută în stânga este inversul lui $A$:

\[\left[ A\left| E\ dreapta. \right]\la \left[ E\left| Luminos. \right]\Rightarrow B=((A)^(-1))\]

Este atat de simplu! Pe scurt, algoritmul pentru găsirea matricei inverse arată astfel:

1. Scrieți matricea asociată $\left[ A\left| E\ dreapta. \dreapta]$;
2. Efectuați conversii elementare de șiruri până când dreapta în loc de $A$ apare $E$;
3. Desigur, ceva va apărea și în stânga - o anumită matrice $B$. Acesta va fi invers;
4. PROFIT! :)

Desigur, mult mai ușor de spus decât de făcut. Deci, să ne uităm la câteva exemple: pentru dimensiunile $\left[ 3\times 3 \right]$ și $\left[ 4\times 4 \right]$.

Sarcină. Aflați matricea inversă:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\ ]

Decizie. Compunem matricea atașată:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 și 1 \\\end(matrice) \right]\]

Deoarece ultima coloană a matricei originale este umplută cu unele, scădeți primul rând din rest:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(matrice) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\end(matrice)\to \\ & \to \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(matrice) \right] \\ \end(align)\]

Nu mai există unități, cu excepția primei linii. Dar nu o atingem, altfel unitățile proaspăt eliminate vor începe să se „înmulțească” în a treia coloană.

Dar putem scădea a doua linie de două ori din ultima - obținem o unitate în colțul din stânga jos:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(matrice) \right]\begin(matrix) \ \\ \downarrow \\ -2 \\\end(matrice)\to \\ & \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(matrice) \right] \\ \end(align)\]

Acum putem scădea ultimul rând din primul și de două ori din al doilea - în acest fel vom „reduce la zero” prima coloană:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(matrice) \right]\begin(matrix) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrice)\to \\ & \ la \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(matrice) \right] \\ \end(align)\]

Înmulțiți al doilea rând cu −1 și apoi scădeți-l de 6 ori din primul și adăugați 1 dată la ultimul:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \ \\\end(matrice)\la \\ & \la \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) -6 \\ \updownarrow \\ +1 \\\end (matrice)\la \\ & \la \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\end(matrice) \right] \\ \end(align)\]

Rămâne doar să schimbați liniile 1 și 3:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 și 32 și -13 \\\end(matrice) \right]\]

Gata! În dreapta este matricea inversă necesară.

Răspuns. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(array) \right ]$

Sarcină. Aflați matricea inversă:

\[\left[ \begin(matrix) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\end(matrice) \dreapta]\]

Decizie. Din nou îl compunem pe cel atașat:

\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(matrice) \right]\]

Să împrumutăm puțin, să ne îngrijorăm cât de mult trebuie să numărăm acum... și să începem să numărăm. Pentru început, „reducem la zero” prima coloană scăzând rândul 1 din rândurile 2 și 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(matrice) \right] \\ \end(align)\]

Observăm prea multe „minusuri” în rândurile 2-4. Înmulțiți toate cele trei rânduri cu -1 și apoi ardeți a treia coloană scăzând rândul 3 din rest:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(matrice) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\end(matrice)\la \\ & \la \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & ​​​​1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end (matrice) \right]\begin(matrix) -2 \\ -1 \\ \updownarrow \\ -2 \\\end(matrice)\to \\ & \to \left[ \begin(array)( rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(matrice) \right] \\ \end(align)\]

Acum este timpul să „prăjim” ultima coloană a matricei originale: scădeți rândul 4 din rest:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array ) \right]\begin(matrix) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(matrice) \right] \\ \end(align)\]

Rola finală: „arzi” a doua coloană scăzând rândul 2 din rândul 1 și 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end( matrice) \right]\begin(matrix) 6 \\ \updownarrow \\ -5 \\ \ \\\end(matrice)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(matrice) \right] \\ \end(align)\]

Și din nou, matricea de identitate în stânga, deci inversă în dreapta. :)

Răspuns. $\left[ \begin(matrix) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\end(matrice) \right]$