Sarcina 4.

Una dintre diagonalele unui paralelogram de lungime 4√6 face un unghi de 60° cu baza, iar a doua diagonală face un unghi de 45° cu aceeași bază. Găsiți a doua diagonală.

Decizie.

1. AO = 2√6.

2. Aplicați teorema sinusului triunghiului AOD.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Raspuns: 12.

Sarcina 5.

Pentru un paralelogram cu laturile 5√2 și 7√2, unghiul mai mic dintre diagonale este egal cu unghiul mai mic al paralelogramului. Aflați suma lungimilor diagonalelor.

Decizie.

Fie d 1, d 2 diagonalele paralelogramului, iar unghiul dintre diagonale și unghiul mai mic al paralelogramului fie φ.

1. Să numărăm două diferite
căile din zona sa.

S ABCD \u003d AB AD sin A \u003d 5√2 7√2 sin f,

S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f.

Obținem egalitatea 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f sau

2 5√2 7√2 = d 1 d 2 ;

2. Folosind raportul dintre laturile și diagonalele paralelogramului scriem egalitatea

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 .

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Să facem un sistem:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Înmulțiți a doua ecuație a sistemului cu 2 și adăugați-o la prima.

Se obține (d 1 + d 2) 2 = 576. Prin urmare, Id 1 + d 2 I = 24.

Deoarece d 1, d 2 sunt lungimile diagonalelor paralelogramului, atunci d 1 + d 2 = 24.

Raspuns: 24.

Sarcina 6.

Laturile paralelogramului sunt 4 și 6. Unghiul ascuțit dintre diagonale este de 45 o. Aflați aria paralelogramului.

Decizie.

1. Din triunghiul AOB, folosind teorema cosinusului, scriem relația dintre latura paralelogramului și diagonale.

AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB.

4 2 \u003d (d 1 / 2) 2 + (d 2 / 2) 2 - 2 (d 1 / 2) (d 2 / 2) cos 45 o;

d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64.

2. În mod similar, scriem relația pentru triunghiul AOD.

Luam in calcul asta<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Obținem ecuația d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

3. Avem un sistem
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

Scăzând prima din a doua ecuație, obținem 2d 1 d 2 √2 = 80 sau

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10.

Notă:În această problemă și în cea anterioară, nu este nevoie să rezolvăm complet sistemul, prevăzând că în această problemă avem nevoie de produsul diagonalelor pentru a calcula aria.

Raspuns: 10.

Sarcina 7.

Aria paralelogramului este 96, iar laturile sale sunt 8 și 15. Aflați pătratul diagonalei mai mici.

Decizie.

1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD. Să facem o înlocuire în formulă.

Obținem 96 = 8 15 sin VAD. Prin urmare sin VAD = 4/5.

2. Găsiți ca RĂU. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 RĂU = 1. cos 2 RĂU = 9/25.

În funcție de starea problemei, găsim lungimea diagonalei mai mici. Diagonala BD va fi mai mică dacă unghiul BAD este acut. Atunci cos RĂU = 3 / 5.

3. Din triunghiul ABD, folosind teorema cosinusului, găsim pătratul diagonalei BD.

BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos RĂU.

ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145.

Raspuns: 145.

Aveti vreo intrebare? Nu știi cum să rezolvi o problemă de geometrie?
Pentru a obține ajutorul unui tutore - înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!

site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

Paralelogram este un patrulater ale cărui laturi sunt paralele pe perechi.

În această figură, laturile și unghiurile opuse sunt egale între ele. Diagonalele unui paralelogram se intersectează într-un punct și îl bisectează. Formulele de zonă de paralelogram vă permit să găsiți valoarea prin laturi, înălțime și diagonale. Paralelogramul poate fi reprezentat și în cazuri speciale. Sunt considerate dreptunghi, pătrat și romb.
În primul rând, să luăm în considerare un exemplu de calcul al ariei unui paralelogram în funcție de înălțime și latura în care este coborât.

Acest caz este considerat un clasic și nu necesită investigații suplimentare. Este mai bine să luați în considerare formula pentru calcularea ariei prin două laturi și unghiul dintre ele. Aceeași metodă este utilizată în calcul. Dacă sunt date laturile și unghiul dintre ele, atunci aria se calculează după cum urmează:

Să presupunem că ni se dă un paralelogram cu laturile a = 4 cm, b = 6 cm.Unghiul dintre ele este α = 30°. Să găsim zona:

Aria unui paralelogram în termeni de diagonale

Formula pentru aria unui paralelogram în termeni de diagonale vă permite să găsiți rapid valoarea.
Pentru calcule, aveți nevoie de valoarea unghiului situat între diagonale.

Luați în considerare un exemplu de calcul al ariei unui paralelogram prin diagonale. Să fie dat un paralelogram cu diagonalele D = 7 cm, d = 5 cm.Unghiul dintre ele este α = 30°. Înlocuiți datele din formula:

Un exemplu de calcul al ariei unui paralelogram printr-o diagonală ne-a dat un rezultat excelent - 8,75.

Cunoscând formula pentru aria unui paralelogram în termeni de diagonală, puteți rezolva multe probleme interesante. Să ne uităm la una dintre ele.

Sarcină: Dat un paralelogram cu o suprafață de 92 mp. vezi Punctul F este situat în mijlocul laturii sale BC. Să găsim aria trapezului ADFB, care se va afla în paralelogramul nostru. Pentru început, să desenăm tot ce am primit conform condițiilor.
Să ajungem la soluție:

Conform condițiilor noastre, ah \u003d 92 și, în consecință, aria trapezului va fi egală cu

Derivarea formulei pentru aria unui paralelogram se reduce la construirea unui dreptunghi egal cu un paralelogram dat. Luăm ca bază o latură a paralelogramului, iar perpendiculara trasată din orice punct al laturii opuse dreptei care conține baza se va numi înălțimea paralelogramului. Apoi aria paralelogramului va fi egală cu produsul dintre baza și înălțimea acestuia.

Teorema.Aria unui paralelogram este egală cu produsul bazei sale cu înălțimea sa.

Dovada. Luați în considerare un paralelogram cu aria. Să luăm partea pentru bază și să desenăm înălțimile (Figura 2.3.1). Se cere să se demonstreze că.

Figura 2.3.1

Să demonstrăm mai întâi că aria dreptunghiului este, de asemenea, egală. Un trapez este format dintr-un paralelogram și un triunghi. Pe de altă parte, este format dintr-un dreptunghi NVSK și un triunghi. Dar triunghiurile dreptunghiulare sunt egale ca ipotenuză și unghi ascuțit (ipotenuzele lor sunt egale ca laturi opuse ale unui paralelogram, iar unghiurile 1 și 2 sunt egale ca unghiuri corespunzătoare la intersecția dreptelor secante paralele), deci ariile lor sunt egale. Prin urmare, ariile paralelogramului și ale dreptunghiului sunt, de asemenea, egale, adică aria dreptunghiului este egală. Conform teoremei ariei dreptunghiului, dar de atunci.

Teorema a fost demonstrată.

Exemplul 2.3.1.

Un cerc este înscris într-un romb cu o latură și un unghi ascuțit. Determinați aria unui patrulater ale cărui vârfuri sunt punctele tangente ale cercului cu laturile rombului.

Decizie:

Raza unui cerc înscris într-un romb (Figura 2.3.2), deoarece Cadrilaterul este un dreptunghi, deoarece unghiurile sale se bazează pe diametrul cercului. Zona sa, unde (piciorul întins pe colț),.

Figura 2.3.2

Asa de,

Răspuns:

Exemplul 2.3.2.

Dat un romb ale cărui diagonale sunt de 3 cm și 4 cm. Înălțimile și sunt desenate din vârful unui unghi obtuz Calculați aria patrulaterului

Decizie:

Zona rombului (Figura 2.3.3).

Asa de,

Răspuns:

Exemplul 2.3.3.

Aria unui patrulater este Găsiți aria unui paralelogram ale cărui laturi sunt egale și paralele cu diagonalele patrulaterului.

Decizie:

Deoarece și (Figura 2.3.4), atunci este un paralelogram și, prin urmare,.

Figura 2.3.4

În mod similar, obținem de unde rezultă că.

Răspuns:.

2.4 Aria unui triunghi

Există mai multe formule pentru calcularea ariei unui triunghi. Luați în considerare cele care sunt studiate la școală.

Prima formulă decurge din formula pentru aria unui paralelogram și este oferită studenților sub forma unei teoreme.

Teorema.Aria unui triunghi este jumătate din produsul bazei sale cu înălțimea sa..

Dovada. Fie aria triunghiului. Luați partea bazei triunghiului și trageți înălțimea. Să demonstrăm că:

Figura 2.4.1

Vom completa triunghiul până la un paralelogram, așa cum se arată în figură. Triunghiurile sunt egale în trei laturi (- latura lor comună și ca laturi opuse ale unui paralelogram), deci ariile lor sunt egale. Prin urmare, aria S a triunghiului ABC este egală cu jumătate din aria paralelogramului, adică.

Teorema a fost demonstrată.

Este important să atragem atenția elevilor asupra a două consecințe ale acestei teoreme. Și anume:

Aria unui triunghi dreptunghic este jumătate din produsul catetelor sale.

Dacă înălțimile a două triunghiuri sunt egale, atunci ariile lor sunt legate ca baze.

Aceste două corolare joacă un rol important în rezolvarea diferitelor tipuri de probleme. Pe baza acesteia, demonstrăm o altă teoremă care este utilizată pe scară largă în rezolvarea problemelor.

Teorema. Dacă unghiul unui triunghi este egal cu unghiul altui triunghi, atunci ariile lor sunt legate ca produse ale laturilor care conțin unghiuri egale.

Dovada. Fie și ariile triunghiurilor u ale căror unghiuri și sunt egale.

Figura 2.4.2

Să demonstrăm că: .

Să facem un triunghi. pe triunghi astfel încât vârful să fie aliniat cu vârful, iar laturile se suprapun, respectiv, pe raze.

Figura 2.4.3

Triunghiuri și au o înălțime comună, prin urmare,. Triunghiurile au, de asemenea, o înălțime comună - prin urmare,. Înmulțind egalitățile rezultate, obținem .

Teorema a fost demonstrată.

A doua formulă.Aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul celor două laturi ale sale și sinusul unghiului dintre ele. Există mai multe moduri de a demonstra această formulă și voi folosi una dintre ele.

Dovada. Din geometrie, se știe o teoremă că aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul bazei și înălțimea coborâtă la această bază:

În cazul unui triunghi ascuțit . În cazul unui unghi obtuz. Ho, și prin urmare . Deci, în ambele cazuri. Înlocuind în schimb în formula geometrică aria unui triunghi, obținem formula trigonometrică pentru aria unui triunghi:

Teorema a fost demonstrată.

A treia formulă pentru zona unui triunghi - formula lui Heron, numită după omul de știință grec antic Heron din Alexandria, care a trăit în secolul I d.Hr. Această formulă vă permite să găsiți aria unui triunghi, cunoscându-i laturile. Este convenabil prin faptul că vă permite să nu faceți construcții suplimentare și să nu măsurați unghiuri. Concluzia ei se bazează pe a doua dintre formulele ariei triunghiului pe care le-am luat în considerare și pe teorema cosinusului: și.

Înainte de a trece la implementarea acestui plan, reținem că

În mod similar, avem:

Acum exprimăm cosinusul prin și:

Deoarece orice unghi dintr-un triunghi este mai mare sau mai mic, atunci. Mijloace, .

Acum transformăm separat fiecare dintre factorii din expresia radicală. Noi avem:

Înlocuind această expresie în formula zonei, obținem:

Tema „Zona unui triunghi” este de mare importanță în cursul de matematică școlar. Triunghiul este cea mai simplă dintre formele geometrice. Este un „element structural” al geometriei școlare. Marea majoritate a problemelor geometrice se rezumă la rezolvarea triunghiurilor. Problema găsirii ariei unui n-gon regulat și arbitrar nu face excepție.

Exemplul 2.4.1.

Care este aria unui triunghi isoscel dacă baza și latura lui sunt?

Decizie:

-isoscel,

Figura 2.4.4

Să desenăm pe proprietatea unui triunghi isoscel - mediană și înălțime. Apoi

Conform teoremei lui Pitagora:

Aflarea ariei unui triunghi:

Răspuns:

Exemplul 2.4.2.

Într-un triunghi dreptunghic, bisectoarea unui unghi ascuțit împarte catetul opus în segmente de 4 și 5 cm lungime.Determină aria triunghiului.

Decizie:

Fie (Figura 2.4.5). Apoi (pentru că BD este o bisectoare). Prin urmare avem , adică Mijloace,

Figura 2.4.5

Răspuns:

Exemplul 2.4.3.

Aflați aria unui triunghi isoscel dacă baza lui este egală cu , iar lungimea înălțimii trasate la bază este egală cu lungimea segmentului care leagă punctele de mijloc ale bazei și ale laturii.

Decizie:

După condiție, - linia de mijloc (Figura 2.4.6). Din moment ce wemeem:

sau , de unde,

Înainte de a învăța cum să găsim aria unui paralelogram, trebuie să ne amintim ce este un paralelogram și ce se numește înălțimea acestuia. Un paralelogram este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele pe perechi (se află pe linii paralele). Perpendiculara trasată dintr-un punct arbitrar de pe partea opusă dreptei care conține această latură se numește înălțimea paralelogramului.

Pătratul, dreptunghiul și rombul sunt cazuri speciale de paralelogram.

Aria unui paralelogram este notată cu (S).

Formule pentru a afla aria unui paralelogram

S=a*h, unde a este baza, h este înălțimea care este trasă la bază.

S=a*b*sinα, unde a și b sunt bazele, iar α este unghiul dintre bazele a și b.

S \u003d p * r, unde p este semiperimetrul, r este raza cercului care este înscris în paralelogram.

Aria paralelogramului format din vectorii a și b este egală cu modulul produsului vectorilor dați, și anume:

Luați în considerare exemplul nr. 1: este dat un paralelogram, a cărui latură este de 7 cm și înălțimea de 3 cm. Cum să găsiți aria unui paralelogram, avem nevoie de o formulă pentru rezolvare.

Deci S= 7x3. S=21. Raspuns: 21 cm 2.

Luați în considerare exemplul nr. 2: bazele au 6 și 7 cm, iar unghiul dintre baze este de 60 de grade. Cum să găsiți aria unui paralelogram? Formula folosită pentru a rezolva:

Astfel, mai întâi găsim sinusul unghiului. Sinus 60 \u003d 0,5, respectiv S \u003d 6 * 7 * 0,5 \u003d 21 Răspuns: 21 cm 2.

Sper că aceste exemple vă vor ajuta în rezolvarea problemelor. Și amintiți-vă, principalul lucru este cunoașterea formulelor și atenția