Lăsați dreapta să treacă prin punctele M 1 (x 1; y 1) și M 2 (x 2; y 2). Ecuația unei drepte care trece prin punctul M 1 are forma y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10,6)

Unde k - coeficient încă necunoscut.

Deoarece linia dreaptă trece prin punctul M 2 (x 2 y 2), atunci coordonatele acestui punct trebuie să îndeplinească ecuația (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2 -x 1).

De aici găsim Înlocuirea valorii găsite k în ecuația (10.6), obținem ecuația unei drepte care trece prin punctele M 1 și M 2:

Se presupune că în această ecuație x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Dacă x 1 \u003d x 2, atunci linia dreaptă care trece prin punctele M 1 (x 1, y I) și M 2 (x 2, y 2) este paralelă cu axa y. Ecuația sa este x = x 1 .

Dacă y 2 \u003d y I, atunci ecuația dreptei poate fi scrisă ca y \u003d y 1, linia dreaptă M 1 M 2 este paralelă cu axa x.

Ecuația unei drepte în segmente

Fie ca linia dreaptă să intersecteze axa Ox în punctul M 1 (a; 0) și axa Oy - în punctul M 2 (0; b). Ecuația va lua forma:
acestea.
. Această ecuație se numește ecuaţia unei drepte în segmente, deoarece numerele a și b indică ce segmente le decupează linia dreaptă pe axele de coordonate.

Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat perpendicular pe un vector dat

Să găsim ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat Mo (x O; y o) perpendicular pe un vector dat diferit de zero n = (A; B).

Luați un punct arbitrar M(x; y) pe linie dreaptă și luați în considerare vectorul M 0 M (x - x 0; y - y o) (vezi Fig. 1). Deoarece vectorii n și M o M sunt perpendiculari, produsul lor scalar este egal cu zero: adică,

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Ecuația (10.8) se numește ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat perpendicular pe un vector dat .

Vectorul n = (A; B) perpendicular pe dreapta se numește normal vector normal al acestei linii .

Ecuația (10.8) poate fi rescrisă ca Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

unde A și B sunt coordonatele vectorului normal, C \u003d -Ax o - Vu o - membru liber. Ecuația (10.9) este ecuația generală a unei drepte(vezi Fig.2).

Fig.1 Fig.2

Ecuații canonice ale dreptei

,

Unde
sunt coordonatele punctului prin care trece linia și
- vector de direcție.

Curbe de ordinul doi Cerc

Un cerc este mulțimea tuturor punctelor unui plan echidistante de un punct dat, care se numește centru.

Ecuația canonică a unui cerc de rază R centrat pe un punct
:

În special, dacă centrul mizei coincide cu originea, atunci ecuația va arăta astfel:

Elipsă

O elipsă este un set de puncte dintr-un plan, suma distanțelor de la fiecare dintre ele la două puncte date. și , care se numesc focare, este o valoare constantă
, mai mare decât distanța dintre focare
.

Ecuația canonică a unei elipse ale cărei focare se află pe axa Ox și a cărei origine este la mijlocul dintre focare are forma
G de A lungimea semiaxei majore; b este lungimea semiaxei minore (Fig. 2).

Ecuația unei drepte pe un plan.
Vectorul direcție este drept. Vector normal

O linie dreaptă pe un plan este una dintre cele mai simple forme geometrice, cunoscute pentru tine încă din clasele elementare, iar astăzi vom învăța cum să o rezolvăm folosind metodele geometriei analitice. Pentru a stăpâni materialul, este necesar să poți construi o linie dreaptă; cunoașteți ce ecuație definește o dreaptă, în special o dreaptă care trece prin origine și drepte paralele cu axele de coordonate. Aceste informații pot fi găsite în manual. Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare, l-am creat pentru matan, dar secțiunea privind funcția liniară s-a dovedit a fi foarte reușită și detaliată. Prin urmare, dragi ceainice, mai întâi încălziți-vă acolo. În plus, trebuie să aveți cunoștințe de bază vectoriîn caz contrar, înțelegerea materialului va fi incompletă.

În această lecție, vom analiza modalități prin care puteți scrie ecuația unei linii drepte într-un plan. Recomand să nu neglijăm exemplele practice (chiar dacă mi se pare foarte simplu), întrucât le voi furniza fapte elementare și importante, metode tehnice care vor fi necesare în viitor, inclusiv în alte secțiuni de matematică superioară.

• Cum se scrie ecuația unei drepte cu pantă?
• Cum ?
• Cum se găsește vectorul direcției prin ecuația generală a unei linii drepte?
• Cum se scrie o ecuație a unei drepte având în vedere un punct și un vector normal?

si incepem:

Ecuația dreptei cu panta

Cunoscuta formă „școală” a ecuației unei linii drepte se numește ecuația unei drepte cu pantă. De exemplu, dacă o dreaptă este dată de ecuație, atunci panta ei: . Luați în considerare semnificația geometrică a acestui coeficient și modul în care valoarea acestuia afectează locația liniei:

În cursul geometriei se demonstrează că panta dreptei este tangenta unui unghiîntre direcția pozitivă a axeiși linia dată: , iar colțul este „desurubat” în sens invers acelor de ceasornic.

Pentru a nu aglomera desenul, am desenat unghiuri doar pentru două linii drepte. Luați în considerare linia dreaptă „roșie” și panta acesteia. Conform celor de mai sus: (unghiul „alfa” este indicat printr-un arc verde). Pentru linia dreaptă „albastră” cu panta, egalitatea este adevărată (unghiul „beta” este indicat de arcul maro). Și dacă tangenta unghiului este cunoscută, atunci, dacă este necesar, este ușor de găsit și colțul folosind funcția inversă – arc tangentă. După cum se spune, un tabel trigonometric sau un calculator în mână. Prin urmare, panta caracterizează gradul de înclinare a dreptei faţă de axa x.

În acest caz, sunt posibile următoarele cazuri:

1) Dacă panta este negativă: , atunci linia, aproximativ vorbind, merge de sus în jos. Exemple sunt liniile drepte „albastre” și „crimson” din desen.

2) Dacă panta este pozitivă: , atunci linia merge de jos în sus. Exemplele sunt liniile drepte „negre” și „roșii” din desen.

3) Dacă panta este egală cu zero: , atunci ecuația ia forma , iar dreapta corespunzătoare este paralelă cu axa. Un exemplu este linia „galbenă”.

4) Pentru o familie de drepte paralele cu axa (nu există niciun exemplu în desen, cu excepția axei în sine), panta nu exista (tangenta de 90 de grade nu este definita).

Cu cât panta modulo este mai mare, cu atât graficul cu linii este mai abrupt.

De exemplu, luați în considerare două linii drepte. Aici, deci linia dreaptă are o pantă mai abruptă. Vă reamintesc că modulul vă permite să ignorați semnul, ne interesează doar valori absolute coeficienți unghiulari.

La rândul său, o linie dreaptă este mai abruptă decât liniile drepte. .

Viceversa: cu cât panta modulo este mai mică, cu atât linia dreaptă este mai plată.

Pentru linii drepte inegalitatea este adevărată, astfel, linia dreaptă este mai mult decât un baldachin. Tobogan pentru copii, pentru a nu planta vânătăi și umflături.

De ce este nevoie de asta?

Prelungiți-vă chinul Cunoașterea faptelor de mai sus vă permite să vă vedeți imediat greșelile, în special erorile la trasarea graficelor - dacă desenul s-a dovedit „în mod clar că ceva nu este în regulă”. Este de dorit ca tu pe loc era clar că, de exemplu, o linie dreaptă este foarte abruptă și merge de jos în sus, iar o linie dreaptă este foarte plată, aproape de axă și merge de sus în jos.

În problemele geometrice apar adesea mai multe linii drepte, așa că este convenabil să le notăm cumva.

Notaţie: liniile drepte sunt indicate prin litere mici latine: . O opțiune populară este desemnarea aceleiași litere cu indice naturale. De exemplu, cele cinci linii pe care tocmai le-am luat în considerare pot fi notate cu .

Deoarece orice linie dreaptă este determinată în mod unic de două puncte, ea poate fi notată prin următoarele puncte: etc. Notația implică destul de evident că punctele aparțin dreptei.

E timpul să te relaxezi puțin:

Cum se scrie ecuația unei drepte cu pantă?

Dacă se cunoaște un punct care aparține unei anumite drepte și panta acestei drepte, atunci ecuația acestei drepte este exprimată prin formula:

Exemplul 1

Compuneți ecuația unei drepte cu pantă dacă se știe că punctul aparține acestei drepte.

Decizie: Vom compune ecuația unei drepte după formula . În acest caz:

Răspuns:

Examinare efectuate elementar. În primul rând, ne uităm la ecuația rezultată și ne asigurăm că panta noastră este la locul ei. În al doilea rând, coordonatele punctului trebuie să satisfacă ecuația dată. Să le conectăm în ecuație:

Se obține egalitatea corectă, ceea ce înseamnă că punctul satisface ecuația rezultată.

Concluzie: Ecuația găsită corect.

Un exemplu mai complicat pentru o soluție do-it-yourself:

Exemplul 2

Scrieți ecuația unei drepte dacă se știe că unghiul ei de înclinare față de direcția pozitivă a axei este , iar punctul aparține acestei drepte.

Dacă aveți dificultăți, recitiți materialul teoretic. Mai precis, mai practic, îmi lipsesc multe dovezi.

A sunat ultimul clopoțel, balul de absolvire s-a stins, iar în spatele porților școlii noastre natale, de fapt, ne așteaptă geometria analitică. Glumele s-au terminat... Poate abia a inceput =)

În mod nostalgic, fluturăm mânerul către familiar și ne familiarizăm cu ecuația generală a unei linii drepte. Deoarece în geometria analitică tocmai aceasta este utilizată:

Ecuația generală a unei drepte are forma: , unde sunt niște numere. În același timp, coeficienții simultan nu sunt egale cu zero, deoarece ecuația își pierde sensul.

Să ne îmbrăcăm într-un costum și să legăm o ecuație cu o pantă. Mai întâi, mutăm toți termenii în partea stângă:

Termenul cu „x” trebuie pus pe primul loc:

În principiu, ecuația are deja forma , dar conform regulilor de etichetă matematică, coeficientul primului termen (în acest caz ) trebuie să fie pozitiv. Schimbarea semnelor:

Amintiți-vă această caracteristică tehnică! Facem primul coeficient (cel mai adesea) pozitiv!

În geometria analitică, ecuația unei linii drepte va fi aproape întotdeauna dată într-o formă generală. Ei bine, dacă este necesar, este ușor să o aduceți la o formă „școală” cu o pantă (cu excepția liniilor drepte paralele cu axa y).

Să ne întrebăm ce destulștii să construiești o linie dreaptă? Două puncte. Dar despre acest caz din copilărie mai târziu, acum se lipește cu regula săgeților. Fiecare linie dreaptă are o pantă bine definită, la care este ușor de „adaptat” vector.

Un vector care este paralel cu o dreaptă se numește vector de direcție al acelei drepte.. Evident, orice linie dreaptă are infinit de vectori de direcție și toți vor fi coliniari (co-direcționați sau nu - nu contează).

Voi nota vectorul de direcție astfel: .

Dar un vector nu este suficient pentru a construi o linie dreaptă, vectorul este liber și nu este atașat la niciun punct al planului. Prin urmare, în plus, este necesar să cunoașteți un punct care aparține liniei.

Cum se scrie o ecuație a unei linii drepte având în vedere un punct și un vector de direcție?

Dacă un anumit punct aparținând dreptei și vectorul de direcție al acestei linii sunt cunoscute, atunci ecuația acestei linii poate fi compilată cu formula:

Uneori se numește ecuația canonică a dreptei .

Ce să faci când una dintre coordonate este zero, vom analiza mai jos exemple practice. Apropo, rețineți - ambele deodată coordonatele nu pot fi zero, deoarece vectorul zero nu specifică o direcție specifică.

Exemplul 3

Scrieți o ecuație a unei drepte având în vedere un punct și un vector de direcție

Decizie: Vom compune ecuația unei drepte după formula. În acest caz:

Folosind proprietățile proporției, scăpăm de fracții:

Și aducem ecuația într-o formă generală:

Răspuns:

Desenarea unor astfel de exemple, de regulă, nu este necesară, dar de dragul înțelegerii:

În desen, vedem punctul de plecare, vectorul de direcție inițial (poate fi amânat din orice punct al planului) și linia construită. Apropo, în multe cazuri, construcția unei linii drepte se realizează cel mai convenabil folosind ecuația pantei. Ecuația noastră este ușor de convertit în formă și fără probleme mai ridicați un punct pentru a construi o linie dreaptă.

După cum sa menționat la începutul secțiunii, o linie are infiniti vectori de direcție și toți sunt coliniari. De exemplu, am desenat trei astfel de vectori: . Indiferent de vectorul de direcție pe care îl alegem, rezultatul va fi întotdeauna aceeași ecuație de linie dreaptă.

Să compunem ecuația unei drepte printr-un punct și un vector de direcție:

Defalcarea proporției:

Împărțiți ambele părți la -2 și obțineți ecuația familiară:

Cei care doresc pot testa în mod similar vectorii sau orice alt vector coliniar.

Acum să rezolvăm problema inversă:

Cum se găsește vectorul direcției prin ecuația generală a unei linii drepte?

Foarte simplu:

Dacă o linie dreaptă este dată de o ecuație generală într-un sistem de coordonate dreptunghiular, atunci vectorul este vectorul de direcție al acestei drepte.

Exemple de găsire a vectorilor de direcție ai liniilor drepte:

Declarația ne permite să găsim un singur vector de direcție dintr-o mulțime infinită, dar nu avem nevoie de mai mult. Deși în unele cazuri este recomandabil să se reducă coordonatele vectorilor de direcție:

Deci, ecuația specifică o linie dreaptă care este paralelă cu axa, iar coordonatele vectorului de direcție rezultat sunt împărțite convenabil la -2, obținând exact vectorul de bază ca vector de direcție. Logic.

În mod similar, ecuația definește o linie dreaptă paralelă cu axa și împărțind coordonatele vectorului la 5, obținem ort ca vector de direcție.

Acum hai să executăm verifica exemplul 3. Exemplul a crescut, așa că vă reamintesc că în el am alcătuit ecuația unei drepte folosind un vector punct și un vector de direcție

În primul rând, conform ecuației unei drepte, restabilim vectorul ei de direcție: - totul este în regulă, avem vectorul original (în unele cazuri, acesta se poate dovedi a fi coliniar cu vectorul original, iar acest lucru este de obicei ușor de văzut prin proporționalitatea coordonatelor corespunzătoare).

În al doilea rând, coordonatele punctului trebuie sa satisfaca ecuatia . Le substituim în ecuația:

S-a obținut egalitatea corectă, de care suntem foarte mulțumiți.

Concluzie: Lucrul finalizat corect.

Exemplul 4

Scrieți o ecuație a unei drepte având în vedere un punct și un vector de direcție

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Soluție și răspuns la sfârșitul lecției. Este foarte de dorit să se efectueze o verificare conform algoritmului luat în considerare. Încercați să verificați întotdeauna (dacă este posibil) un draft. Este o prostie sa faci greseli acolo unde pot fi evitate 100%.

În cazul în care una dintre coordonatele vectorului de direcție este zero, este foarte simplu de făcut:

Exemplul 5

Decizie: Formula este invalidă deoarece numitorul din partea dreaptă este zero. Există o ieșire! Folosind proprietățile proporției, rescriem formula sub forma , iar restul s-a rostogolit de-a lungul unui șanț adânc:

Răspuns:

Examinare:

1) Restabiliți vectorul direcție al dreptei:
– vectorul rezultat este coliniar cu vectorul de direcție original.

2) Înlocuiți coordonatele punctului din ecuație:

Se obține egalitatea corectă

Concluzie: lucrare finalizată corect

Apare întrebarea, de ce să vă deranjați cu formula dacă există o versiune universală care va funcționa oricum? Există două motive. În primul rând, formula fracțională mult mai bine de reținut. Și în al doilea rând, dezavantajul formulei universale este că risc semnificativ crescut de confuzie la înlocuirea coordonatelor.

Exemplul 6

Compuneți ecuația unei drepte având în vedere un punct și un vector de direcție.

Acesta este un exemplu de do-it-yourself.

Să revenim la cele două puncte omniprezente:

Cum se scrie ecuația unei linii drepte având în vedere două puncte?

Dacă se cunosc două puncte, atunci ecuația unei drepte care trece prin aceste puncte poate fi compilată folosind formula:

De fapt, acesta este un fel de formulă și iată de ce: dacă se cunosc două puncte, atunci vectorul va fi vectorul de direcție al acestei linii. La lecție Vectori pentru manechine am considerat cea mai simplă problemă - cum să găsim coordonatele unui vector din două puncte. Conform acestei probleme, coordonatele vectorului de direcție:

Notă : punctele pot fi „schimbate” și utilizați formula . O astfel de decizie ar fi egală.

Exemplul 7

Scrieți ecuația unei drepte din două puncte .

Decizie: Folosiți formula:

Pieptănăm numitorii:

Și amestecați puntea:

Acum este convenabil să scapi de numerele fracționale. În acest caz, trebuie să înmulțiți ambele părți cu 6:

Deschideți parantezele și aduceți-vă în minte ecuația:

Răspuns:

Examinare este evident - coordonatele punctelor inițiale trebuie să satisfacă ecuația rezultată:

1) Înlocuiți coordonatele punctului:

Adevărata egalitate.

2) Înlocuiți coordonatele punctului:

Adevărata egalitate.

Concluzie: ecuația dreptei este corectă.

În cazul în care un cel puțin unul de puncte nu satisface ecuația, căutați o eroare.

Este de remarcat faptul că verificarea grafică în acest caz este dificilă, deoarece pentru a construi o linie și a vedea dacă punctele îi aparțin , nu asa de usor.

Voi nota câteva puncte tehnice ale soluției. Poate că în această problemă este mai avantajos să folosiți formula oglindă și, pentru aceleași puncte faceți o ecuație:

Sunt mai puține fracții. Dacă doriți, puteți finaliza soluția până la capăt, rezultatul ar trebui să fie aceeași ecuație.

Al doilea punct este să vă uitați la răspunsul final și să vedeți dacă poate fi simplificat în continuare? De exemplu, dacă se obține o ecuație, atunci este indicat să o reduceți cu două: - ecuația va stabili aceeași linie dreaptă. Cu toate acestea, acesta este deja un subiect de conversație aranjarea reciprocă a liniilor drepte.

După ce a primit un răspuns în Exemplul 7, pentru orice eventualitate, am verificat dacă TOȚI coeficienții ecuației sunt divizibili cu 2, 3 sau 7. Deși, cel mai adesea astfel de reduceri se fac în timpul soluției.

Exemplul 8

Scrieți ecuația unei drepte care trece prin puncte .

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă, care vă va permite doar să înțelegeți și să elaborați mai bine tehnica de calcul.

Similar cu paragraful anterior: dacă în formulă unul dintre numitori (coordonata vectorului de direcție) dispare, apoi îl rescriem ca . Și din nou, observă cât de stânjenită și confuză a început să arate. Nu văd prea mult rost să dau exemple practice, deoarece am rezolvat deja o astfel de problemă (vezi nr. 5, 6).

Vector normal în linie dreaptă (vector normal)

Ce este normal? În termeni simpli, o normală este o perpendiculară. Adică, vectorul normal al unei linii este perpendicular pe dreapta dată. Este evident că orice linie dreaptă are un număr infinit de ei (precum și vectori de direcție), iar toți vectorii normali ai dreptei vor fi coliniari (codirecționali sau nu - nu contează).

Tratarea cu ele va fi chiar mai ușoară decât cu vectorii de direcție:

Dacă o linie dreaptă este dată de o ecuație generală într-un sistem de coordonate dreptunghiular, atunci vectorul este vectorul normal al acestei drepte.

Dacă coordonatele vectorului de direcție trebuie să fie „trase” cu atenție din ecuație, atunci coordonatele vectorului normal pot fi pur și simplu „eliminate”.

Vectorul normal este întotdeauna ortogonal cu vectorul de direcție al dreptei. Vom verifica ortogonalitatea acestor vectori folosind produs punctual:

Voi da exemple cu aceleași ecuații ca și pentru vectorul de direcție:

Este posibil să scriem o ecuație a unei drepte, cunoscând un punct și un vector normal? Se simte ca e posibil. Dacă vectorul normal este cunoscut, atunci direcția celei mai drepte este, de asemenea, determinată în mod unic - aceasta este o „structură rigidă” cu un unghi de 90 de grade.

Cum se scrie o ecuație a unei drepte având în vedere un punct și un vector normal?

Dacă se cunoaște un punct aparținând dreptei și vectorul normal al acestei linii, atunci ecuația acestei linii este exprimată prin formula:

Aici totul a mers fără fracțiuni și alte surprize. Acesta este vectorul nostru normal. Iubesc. Si respect =)

Exemplul 9

Compuneți ecuația unei drepte având în vedere un punct și un vector normal. Găsiți vectorul direcție al dreptei.

Decizie: Folosiți formula:

Se obține ecuația generală a dreptei, să verificăm:

1) „Eliminați” coordonatele vectorului normal din ecuație: - da, într-adevăr, vectorul original este obținut din condiție (sau vectorul ar trebui să fie coliniar cu vectorul original).

2) Verificați dacă punctul satisface ecuația:

Adevărata egalitate.

După ce suntem convinși că ecuația este corectă, vom finaliza a doua parte, mai ușoară, a sarcinii. Scoatem vectorul direcție al dreptei:

Răspuns:

În desen, situația este următoarea:

În scopul instruirii, o sarcină similară pentru o soluție independentă:

Exemplul 10

Compuneți ecuația unei drepte având în vedere un punct și un vector normal. Găsiți vectorul direcție al dreptei.

Secțiunea finală a lecției va fi dedicată unor tipuri de ecuații mai puțin comune, dar și importante ale unei linii drepte într-un plan

Ecuația unei drepte în segmente.
Ecuația unei drepte în formă parametrică

Ecuația unei linii drepte în segmente are forma , unde sunt constante nenule. Unele tipuri de ecuații nu pot fi reprezentate în această formă, de exemplu, proporționalitatea directă (deoarece termenul liber este zero și nu există nicio modalitate de a obține unul în partea dreaptă).

Acesta este, la figurat vorbind, un tip „tehnic” de ecuație. Sarcina obișnuită este de a reprezenta ecuația generală a unei linii drepte ca o ecuație a unei linii drepte în segmente. De ce este convenabil? Ecuația unei drepte în segmente vă permite să găsiți rapid punctele de intersecție ale unei drepte cu axe de coordonate, ceea ce este foarte important în unele probleme de matematică superioară.

Aflați punctul de intersecție al dreptei cu axa. Resetăm „y”, iar ecuația ia forma . Punctul dorit se obtine automat: .

La fel si cu axa este punctul în care linia intersectează axa y.

În acest articol, vom lua în considerare ecuația generală a unei drepte într-un plan. Să dăm exemple de construcție a ecuației generale a unei drepte dacă sunt cunoscute două puncte ale acestei drepte sau dacă se cunosc un punct și vectorul normal al acestei drepte. Să prezentăm metode de transformare a unei ecuații în formă generală în forme canonice și parametrice.

Să fie dat un sistem de coordonate cartezian dreptunghiular arbitrar Oxy. Luați în considerare o ecuație de gradul întâi sau o ecuație liniară:

Ax+By+C=0,

(1)

Unde A, B, C sunt niște constante și cel puțin unul dintre elemente Ași B diferit de zero.

Vom arăta că o ecuație liniară în plan definește o dreaptă. Să demonstrăm următoarea teoremă.

Teorema 1. Într-un sistem de coordonate dreptunghiular cartezian arbitrar pe un plan, fiecare dreaptă poate fi dată printr-o ecuație liniară. În schimb, fiecare ecuație liniară (1) dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular cartezian arbitrar pe plan definește o linie dreaptă.

Dovada. Este suficient să demonstrăm că linia L este determinată de o ecuație liniară pentru orice sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare, deoarece atunci va fi determinată de o ecuație liniară și pentru orice alegere de sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare.

Să fie dată o linie dreaptă pe plan L. Alegem un sistem de coordonate astfel încât axa Bou aliniat cu linia L, și axa Oi era perpendicular pe acesta. Apoi ecuația dreptei L va lua următoarea formă:

y=0.

(2)

Toate punctele de pe o linie L va satisface ecuația liniară (2), iar toate punctele din afara acestei linii drepte nu vor satisface ecuația (2). Se demonstrează prima parte a teoremei.

Să fie dat un sistem de coordonate dreptunghiular cartezian și să fie dată ecuația liniară (1), unde cel puțin unul dintre elemente Ași B diferit de zero. Găsiți locul punctelor ale căror coordonate satisfac ecuația (1). Deoarece cel puţin unul dintre coeficienţi Ași B este diferită de zero, atunci ecuația (1) are cel puțin o soluție M(X 0 ,y 0). (De exemplu, când A≠0, punct M 0 (−C/A, 0) aparține locului de puncte dat). Substituind aceste coordonate în (1) obținem identitatea

Topor 0 +De 0 +C=0.

(3)

Să scădem identitatea (3) din (1):

A(X−X 0)+B(y−y 0)=0.

(4)

Evident, ecuația (4) este echivalentă cu ecuația (1). Prin urmare, este suficient să demonstrăm că (4) definește o linie.

Deoarece luăm în considerare un sistem de coordonate dreptunghiular cartezian, din egalitatea (4) rezultă că vectorul cu componente ( x−x 0 , y−y 0 ) este ortogonală cu vectorul n cu coordonate ( A,B}.

Luați în considerare o linie L trecând prin punct M 0 (X 0 , y 0) și perpendicular pe vector n(Fig.1). Lasă punctul M(X,y) aparține liniei L. Apoi vectorul cu coordonatele x−x 0 , y−y 0 perpendiculară nși ecuația (4) este satisfăcută (produsul scalar al vectorilor nși este egal cu zero). În schimb, dacă punctul M(X,y) nu se află pe o linie L, apoi vectorul cu coordonatele x−x 0 , y−y 0 nu este ortogonal cu vectorul n iar ecuația (4) nu este satisfăcută. Teorema a fost demonstrată.

Dovada. Deoarece liniile (5) și (6) definesc aceeași linie, vectorii normali n 1 ={A 1 ,B 1) și n 2 ={A 2 ,B 2) sunt coliniare. Din moment ce vectorii n 1 ≠0, n 2 ≠ 0, atunci există un număr λ , ce n 2 =n 1 λ . Prin urmare avem: A 2 =A 1 λ , B 2 =B 1 λ . Să demonstrăm asta C 2 =C 1 λ . Este evident că liniile care coincid au un punct comun M 0 (X 0 , y 0). Înmulțirea ecuației (5) cu λ și scăzând ecuația (6) din ea obținem:

Deoarece primele două egalități din expresiile (7) sunt satisfăcute, atunci C 1 λ −C 2=0. Acestea. C 2 =C 1 λ . Remarca a fost dovedită.

Rețineți că ecuația (4) definește ecuația unei drepte care trece prin punct M 0 (X 0 , y 0) și având un vector normal n={A,B). Prin urmare, dacă vectorul normal al dreptei și punctul aparținând acestei drepte sunt cunoscute, atunci ecuația generală a dreptei poate fi construită folosind ecuația (4).

Exemplul 1. O dreaptă trece printr-un punct M=(4,−1) și are un vector normal n=(3, 5). Construiți ecuația generală a unei drepte.

Decizie. Noi avem: X 0 =4, y 0 =−1, A=3, B=5. Pentru a construi ecuația generală a unei linii drepte, înlocuim aceste valori în ecuația (4):

Răspuns:

Vector paralel cu linia Lși, prin urmare, este perpendicular pe vectorul normal al dreptei L. Să construim un vector linie normal L, dat fiind că produsul scalar al vectorilor nși este egal cu zero. Putem scrie, de exemplu, n={1,−3}.

Pentru a construi ecuația generală a unei linii drepte, folosim formula (4). Să substituim în (4) coordonatele punctului M 1 (putem lua și coordonatele punctului M 2) și vectorul normal n:

Înlocuirea coordonatelor punctului M 1 și M 2 în (9) ne putem asigura că dreapta dată de ecuația (9) trece prin aceste puncte.

Răspuns:

Scădeți (10) din (1):

Am obținut ecuația canonică a unei drepte. Vector q={−B, A) este vectorul de direcție al dreptei (12).

Vezi transformarea inversă.

Exemplul 3. O dreaptă într-un plan este reprezentată de următoarea ecuație generală:

Mutați al doilea termen la dreapta și împărțiți ambele părți ale ecuației la 2 5.

Linia care trece prin punctul K(x 0; y 0) și paralelă cu dreapta y = kx + a se găsește prin formula:

y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)

Unde k este panta dreptei.

Formula alternativa:
Linia care trece prin punctul M 1 (x 1 ; y 1) si paralela cu dreapta Ax+By+C=0 este reprezentata prin ecuatie

A(x-x1)+B(y-y1)=0. (2)

Scrieți ecuația unei drepte care trece prin punctul K( ;) paralel cu dreapta y = x + .

Exemplul #1. Compuneți ecuația unei drepte care trece prin punctul M 0 (-2.1) și în același timp:
a) paralel cu dreapta 2x+3y -7 = 0;
b) perpendicular pe dreapta 2x+3y -7 = 0.
Decizie . Să reprezentăm ecuația pantei ca y = kx + a . Pentru a face acest lucru, vom transfera toate valorile cu excepția y în partea dreaptă: 3y = -2x + 7 . Apoi împărțim partea dreaptă cu coeficientul 3 . Se obține: y = -2/3x + 7/3
Aflați ecuația NK care trece prin punctul K(-2;1) paralel cu dreapta y = -2 / 3 x + 7 / 3
Înlocuind x 0 \u003d -2, k \u003d -2 / 3, y 0 \u003d 1 obținem:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
sau
y = -2 / 3 x - 1 / 3 sau 3y + 2x +1 = 0

Exemplul #2. Scrieți ecuația unei drepte paralele cu dreapta 2x + 5y = 0 și formând împreună cu axele de coordonate un triunghi a cărui aria este 5.
Decizie . Deoarece liniile sunt paralele, ecuația dreptei dorite este 2x + 5y + C = 0. Aria unui triunghi dreptunghic, unde a și b sunt catetele sale. Găsiți punctele de intersecție ale dreptei dorite cu axele de coordonate:
;
.
Deci, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Înlocuiți în formula pentru suprafață: . Obținem două soluții: 2x + 5y + 10 = 0 și 2x + 5y - 10 = 0 .

Exemplul #3. Scrieți ecuația dreptei care trece prin punctul (-2; 5) și dreapta paralelă 5x-7y-4=0 .
Decizie. Această linie dreaptă poate fi reprezentată prin ecuația y = 5/7 x – 4/7 (aici a = 5/7). Ecuația dreptei dorite este y - 5 = 5 / 7 (x - (-2)), adică. 7(y-5)=5(x+2) sau 5x-7y+45=0.

Exemplul #4. Rezolvând exemplul 3 (A=5, B=-7) folosind formula (2), găsim 5(x+2)-7(y-5)=0.

Exemplul numărul 5. Scrieți ecuația unei drepte care trece prin punctul (-2;5) și a unei drepte paralele 7x+10=0.
Decizie. Aici A=7, B=0. Formula (2) dă 7(x+2)=0, adică. x+2=0. Formula (1) nu este aplicabilă, deoarece această ecuație nu poate fi rezolvată în raport cu y (această linie dreaptă este paralelă cu axa y).

Ecuația generală a unei drepte:

Cazuri particulare ale ecuației generale a unei linii drepte:

si daca C= 0, ecuația (2) va avea forma

Topor + De = 0,

iar linia dreaptă definită de această ecuație trece prin origine, deoarece coordonatele originii X = 0, y= 0 satisface această ecuație.

b) Dacă în ecuația generală a dreptei (2) B= 0, atunci ecuația ia forma

Topor + Cu= 0 sau .

Ecuația nu conține o variabilă y, iar linia dreaptă definită de această ecuație este paralelă cu axa Oi.

c) Dacă în ecuația generală a dreptei (2) A= 0, atunci această ecuație ia forma

De + Cu= 0 sau ;

ecuația nu conține o variabilă X, iar linia dreaptă definită de aceasta este paralelă cu axa Bou.

Trebuie reținut: dacă o linie dreaptă este paralelă cu orice axă de coordonate, atunci ecuația sa nu conține un termen care să conțină o coordonată cu același nume cu această axă.

d) Când C= 0 și A= 0 ecuația (2) ia forma De= 0, sau y = 0.

Aceasta este ecuația axei Bou.

e) Când C= 0 și B= 0 ecuația (2) poate fi scrisă sub forma Topor= 0 sau X = 0.

Aceasta este ecuația axei Oi.

Dispunerea reciprocă a liniilor drepte pe un plan. Unghiul dintre liniile unui plan. Starea liniilor paralele. Condiția de perpendicularitate a liniilor.

l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

S 2 S 1 Vectorii S 1 și S 2 se numesc ghidaje pentru liniile lor.

Unghiul dintre liniile l 1 și l 2 este determinat de unghiul dintre vectorii de direcție.
Teorema 1: unghiul cos între l 1 și l 2 \u003d cos (l 1; l 2) \u003d

Teorema 2: Pentru ca 2 linii să fie egale, este necesar și suficient:

Teorema 3: astfel încât 2 drepte să fie perpendiculare este necesar și suficient:

L 1 l 2 ó A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0

Ecuația generală a planului și cazurile sale speciale. Ecuația unui plan în segmente.

Ecuația planului general:

Ax + By + Cz + D = 0

Cazuri speciale:

1. D=0 Ax+By+Cz = 0 - planul trece prin origine

2. С=0 Ax+By+D = 0 – plan || oz

3. В=0 Ax+Cz+d = 0 – plan || OY

4. A=0 By+Cz+D = 0 – plan || BOU

5. A=0 si D=0 By+Cz = 0 - planul trece prin OX

6. B=0 si D=0 Ax+Cz = 0 - planul trece prin OY

7. C=0 și D=0 Ax+By = 0 - planul trece prin OZ

Dispunerea reciprocă a planurilor și liniilor drepte în spațiu:

1. Unghiul dintre liniile din spațiu este unghiul dintre vectorii lor de direcție.

Cos (l1; l2) = cos(S1; S2) = =

2. Unghiul dintre plane se determină prin unghiul dintre vectorii lor normali.

Cos (l1; l2) = cos(N1; N2) = =

3. Cosinusul unghiului dintre o dreaptă și un plan poate fi găsit prin sinul unghiului dintre vectorul direcție al dreptei și vectorul normal al planului.

4. 2 rânduri || în spațiu când lor || ghiduri vectoriale

5. 2 avioane || când || vectori normali

6. În mod similar se introduc conceptele de perpendicularitate a dreptelor și planelor.

Întrebarea #14

Diverse tipuri de ecuații ale unei drepte pe un plan (ecuația unei drepte în segmente, cu o pantă etc.)

Ecuația unei drepte în segmente:
Să presupunem că în ecuația generală a unei drepte:

1. C \u003d 0 Ah + Wu \u003d 0 - linia dreaptă trece prin origine.

2. a \u003d 0 Wu + C \u003d 0 y \u003d

3. în \u003d 0 Ax + C \u003d 0 x \u003d

4. v \u003d C \u003d 0 Ax \u003d 0 x \u003d 0

5. a \u003d C \u003d 0 Wu \u003d 0 y \u003d 0

Ecuația unei drepte cu pantă:

Orice linie dreaptă care nu este egală cu axa y (B nu = 0) poate fi scrisă în cele ce urmează. formă:

k = tgα α este unghiul dintre linia dreaptă și dreapta direcționată pozitiv ОХ

b - punctul de intersecție al dreptei cu axa OS

Doc-in:

Ax+By+C = 0

Wu \u003d -Ax-C |: B

Ecuația unei drepte pe două puncte:

Întrebarea #16

Limita finită a unei funcții într-un punct și pentru x→∞

Limită finală în punctul x 0:

Numărul A se numește limita funcției y \u003d f (x) pentru x → x 0, dacă pentru orice E > 0 există b > 0 astfel încât pentru x ≠ x 0, satisfăcând inegalitatea |x - x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

Limita se notează: = A

Limită finală în punctul +∞:

Numărul A se numește limita funcției y = f(x) pentru x → + ∞ , dacă pentru orice E > 0 există C > 0 astfel încât pentru x > C inegalitatea |f(x) - A|< Е

Limita se notează: = A

Limită finală în punctul -∞:

Numărul A se numește limita funcției y = f(x) pentru x→-∞, dacă pentru orice E< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е