Un punct este un obiect abstract care nu are caracteristici de măsurare: fără înălțime, fără lungime, fără rază. În cadrul sarcinii, doar locația acesteia este importantă
Punctul este indicat printr-un număr sau o literă latină majusculă (mare). Mai multe puncte - numere diferite sau litere diferite pentru a putea fi distinse
punctul A, punctul B, punctul C
A B Cpunctul 1, punctul 2, punctul 3
1 2 3Puteți desena trei puncte „A” pe o bucată de hârtie și puteți invita copilul să tragă o linie prin cele două puncte „A”. Dar cum să înțelegi prin care? A A A
O linie este un set de puncte. Ea măsoară doar lungimea. Nu are latime sau grosime.
Indicat prin litere latine mici (mici).
linia a, linia b, linia c
a b cLinia ar putea fi
- închis dacă începutul și sfârșitul lui sunt în același punct,
- deschis dacă începutul și sfârșitul lui nu sunt conectate
linii închise
linii deschise
Ai plecat din apartament, ai cumpărat pâine din magazin și te-ai întors înapoi în apartament. Ce linie ai primit? Așa e, închis. Te-ai întors la punctul de plecare. Ai ieșit din apartament, ai cumpărat pâine din magazin, ai intrat în intrare și ai vorbit cu vecinul tău. Ce linie ai primit? Deschis. Nu te-ai întors la punctul de plecare. Ai plecat din apartament, ai cumpărat pâine din magazin. Ce linie ai primit? Deschis. Nu te-ai întors la punctul de plecare.- auto-intersectându-se
- fără autointersecții
linii de auto-intersectare
linii fără auto-intersecții
- Drept
- linie frântă
- strâmb
linii drepte
linii întrerupte
linii curbe
O linie dreaptă este o linie care nu se curbează, nu are nici început, nici sfârșit, poate fi prelungită la nesfârșit în ambele direcții
Chiar și atunci când o mică secțiune a unei linii drepte este vizibilă, se presupune că aceasta continuă la nesfârșit în ambele direcții.
Se notează printr-o literă latină mică (mică). Sau două litere latine majuscule (mari) - puncte situate pe o linie dreaptă
linie dreaptă a
Alinie dreaptă AB
B Aliniile drepte pot fi
- intersectându-se dacă au un punct comun. Două linii se pot intersecta doar într-un punct.
- perpendiculare dacă se intersectează în unghi drept (90°).
- paralele, dacă nu se intersectează, nu au un punct comun.
linii paralele
linii de intersectare
linii perpendiculare
O rază este o parte a unei linii drepte care are un început, dar fără sfârșit, poate fi extinsă la nesfârșit într-o singură direcție
Punctul de plecare pentru fasciculul de lumină din imagine este soarele.
soare
Punctul împarte linia în două părți - două raze A A
Fasciculul este indicat printr-o literă latină mică (mică). Sau două litere mari majuscule (mari) latine, unde prima este punctul de la care începe fasciculul, iar a doua este punctul aflat pe fascicul
fascicul a
Afascicul AB
B AGrinzile se potrivesc dacă
- situat pe aceeași linie dreaptă
- începe la un moment dat
- îndreptat într-o parte
razele AB și AC coincid
razele CB și CA coincid
C B AUn segment este o parte a unei linii drepte care este delimitată de două puncte, adică are atât un început, cât și un sfârșit, ceea ce înseamnă că lungimea sa poate fi măsurată. Lungimea unui segment este distanța dintre punctele sale de început și de sfârșit.
Orice număr de linii pot fi trase printr-un punct, inclusiv linii drepte.
Prin două puncte - număr nelimitat de curbe, dar o singură linie dreaptă
linii curbe care trec prin două puncte
B Alinie dreaptă AB
B AO bucată a fost „tăiată” din linie dreaptă și a rămas un segment. Din exemplul de mai sus, puteți vedea că lungimea sa este cea mai scurtă distanță dintre două puncte. ✂ B A ✂
Un segment este notat cu două litere latine majuscule (mari), unde prima este punctul de la care începe segmentul, iar a doua este punctul de la care se termină segmentul.
segmentul AB
B ASarcină: unde este linia, raza, segmentul, curba?
O linie întreruptă este o linie formată din segmente conectate succesiv, care nu la un unghi de 180°
Un segment lung a fost „rupt” în mai multe segmente scurte.
Legăturile unei polilinii (asemănătoare cu legăturile unui lanț) sunt segmentele care alcătuiesc polilinia. Legăturile adiacente sunt legături în care sfârșitul unei legături este începutul altuia. Legăturile adiacente nu trebuie să se afle pe aceeași linie dreaptă.
Vârfurile poliliniei (asemănătoare cu vârfurile munților) sunt punctul de la care începe polilinia, punctele în care sunt conectate segmentele care formează polilinia, punctul în care se termină polilinia.
O polilinie se notează prin listarea tuturor vârfurilor sale.
linie întreruptă ABCDE
vârful poliliniei A, vârful poliliniei B, vârful poliliniei C, vârful poliliniei D, vârful poliliniei E
legătura liniei întrerupte AB, legătura liniei întrerupte BC, legătura liniei întrerupte CD, legătura liniei întrerupte DE
legătura AB și legătura BC sunt adiacente
linkul BC și linkul CD sunt adiacente
link CD și link DE sunt adiacente
A B C D E 64 62 127 52Lungimea unei polilinii este suma lungimilor legăturilor sale: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305
Sarcină: care linie întreruptă este mai lungă, A care are mai multe vârfuri? La prima linie, toate verigile sunt de aceeași lungime și anume 13 cm. A doua linie are toate legăturile de aceeași lungime, și anume 49 cm. A treia linie are toate legăturile de aceeași lungime și anume 41 cm.
Un poligon este o polilinie închisă
Laturile poligonului (vă vor ajuta să vă amintiți expresiile: „du-te în toate cele patru laturi”, „aleargă spre casă”, „pe ce parte a mesei te vei așeza?”) sunt verigile liniei întrerupte. Laturile adiacente ale unui poligon sunt legături adiacente ale unei linii întrerupte.
Vârfurile poligonului sunt vârfurile poliliniei. Vârfurile învecinate sunt punctele finale ale unei laturi ale poligonului.
Un poligon este notat prin listarea tuturor vârfurilor sale.
polilinie închisă fără autointersecție, ABCDEF
poligon ABCDEF
poligon vârf A, poligon vârf B, poligon vârf C, poligon vârf D, poligon vârf E, poligon vârf F
vârful A și vârful B sunt adiacente
vârful B și vârful C sunt adiacente
vârful C și vârful D sunt adiacente
vârful D și vârful E sunt adiacente
vârful E și vârful F sunt adiacente
vârful F și vârful A sunt adiacente
latura poligonului AB, latura poligonului BC, latura poligonului CD, latura poligonului DE, latura poligonului EF
latura AB și latura BC sunt adiacente
partea BC și partea CD sunt adiacente
partea CD și partea DE sunt adiacente
latura DE și latura EF sunt adiacente
partea EF și partea FA sunt adiacente
A B C D E F 120 60 58 122 98 141Perimetrul unui poligon este lungimea poliliniei: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599
Un poligon cu trei vârfuri se numește triunghi, cu patru - un patrulater, cu cinci - un pentagon și așa mai departe.
Ne vom uita la fiecare dintre subiecte, iar la final vor fi teste pe subiecte.
Punct în matematică
Care este un punct în matematică? Un punct matematic nu are dimensiuni și este indicat cu majuscule latine: A, B, C, D, F etc.
În figură, puteți vedea imaginea punctelor A, B, C, D, F, E, M, T, S.
Segment în matematică
Ce este un segment în matematică? În lecțiile de matematică, puteți auzi următoarea explicație: un segment matematic are o lungime și se termină. Un segment în matematică este un set de toate punctele situate pe o linie dreaptă între capetele unui segment. Capetele segmentului sunt două puncte de limită.
În figură vedem următoarele: segmente ,,, și , precum și două puncte B și S.
Linii drepte în matematică
Ce este o linie dreaptă în matematică? Definiția unei drepte în matematică: o linie dreaptă nu are capete și poate continua în ambele direcții până la infinit. O linie dreaptă în matematică este notă cu oricare două puncte de pe o linie dreaptă. Pentru a explica unui elev conceptul de linie dreaptă, putem spune că o dreaptă este un segment care nu are două capete.
Figura prezintă două linii drepte: CD și EF.
Ray la matematică
Ce este o rază? Definiția unei raze în matematică: O rază este o parte a unei linii care are un început și fără sfârșit. Numele fasciculului conține două litere, de exemplu, DC. Mai mult, prima literă indică întotdeauna punctul de început al fasciculului, așa că nu puteți schimba literele.
În figura sunt prezentate grinzile: DC, KC, EF, MT, MS. Grinzile KC și KD - o grindă, pentru că au o origine comună.
Linia numerică la matematică
Definiția unei drepte numerice în matematică: O linie ale cărei puncte marchează numere se numește dreptă numerică.
Figura prezintă o linie numerică, precum și o rază OD și ED
Cursul foloseste limbaj geometric, alcătuită din notații și simboluri adoptate la cursul de matematică (în special, la noul curs de geometrie din liceu).
Întreaga varietate de denumiri și simboluri, precum și conexiunile dintre ele, pot fi împărțite în două grupuri:
grupa I - denumirile figurilor geometrice și relațiile dintre acestea;
grupa a II-a desemnări ale operaţiilor logice, constituind baza sintactică a limbajului geometric.
Următoarea este o listă completă a simbolurilor matematice utilizate în acest curs. O atenție deosebită este acordată simbolurilor care sunt folosite pentru a desemna proiecțiile formelor geometrice.
Grupa I
SIMBOLULE DEsemnate FIGURI GEOMETRICE ȘI RELAȚII DINTRE ELE
A. Desemnarea formelor geometrice
1. Figura geometrică se notează - F.
2. Punctele sunt indicate cu majuscule ale alfabetului latin sau cu cifre arabe:
A, B, C, D, ... , L, M, N, ...
1,2,3,4,...,12,13,14,...
3. Liniile situate în mod arbitrar în raport cu planurile de proiecție sunt indicate prin litere mici ale alfabetului latin:
a, b, c, d, ... , l, m, n, ...
Sunt indicate linii de nivel: h - orizontală; f- frontal.
Următoarea notație este folosită și pentru linii drepte:
(AB) - o linie dreaptă care trece prin punctele A și B;
[AB) - o rază cu începutul în punctul A;
[AB] - un segment de linie dreaptă delimitat de punctele A și B.
4. Suprafețele sunt notate cu litere mici ale alfabetului grecesc:
α, β, γ, δ,...,ζ,η,ν,...
Pentru a sublinia modul în care este definită suprafața, ar trebui să specificați elementele geometrice prin care este definită, de exemplu:
α(a || b) - planul α este determinat de drepte paralele a și b;
β(d 1 d 2 gα) - suprafața β este determinată de ghidajele d 1 și d 2 , generatoarea g și planul de paralelism α.
5. Unghiurile sunt indicate:
∠ABC - unghi cu vârful în punctul B, precum și ∠α°, ∠β°, ... , ∠φ°, ...
6. Unghiar: valoarea (măsura gradului) este indicată de semnul, care este plasat deasupra unghiului:
Valoarea unghiului ABC;
Valoarea unghiului φ.
Un unghi drept este marcat cu un pătrat cu un punct în interior
7. Distanțele dintre figurile geometrice sunt indicate prin două segmente verticale - ||.
De exemplu:
|AB| - distanta dintre punctele A si B (lungimea segmentului AB);
|Aa| - distanta de la punctul A la linia a;
|Aα| - distante de la punctul A la suprafata α;
|ab| - distanta dintre liniile a si b;
|αβ| distanța dintre suprafețele α și β.
8. Pentru planurile de proiecție se acceptă următoarele denumiri: π 1 și π 2, unde π 1 este planul orizontal de proiecție;
π 2 -planul friuntal al proiecțiilor.
La înlocuirea planurilor de proiecție sau introducerea de noi planuri, acestea din urmă denotă π 3, π 4 etc.
9. Axele de proiecție se notează: x, y, z, unde x este axa x; y este axa y; z - aplica axa.
Linia constantă a diagramei Monge se notează cu k.
10. Proiecțiile de puncte, linii, suprafețe, orice figură geometrică sunt indicate prin aceleași litere (sau numere) ca și originalul, cu adăugarea unui superscript corespunzător planului de proiecție pe care au fost obținute:
A", B", C", D", ... , L", M", N", proiecții orizontale ale punctelor; A", B", C", D", ... , L", M " , N", ... proiecții frontale ale punctelor; a" , b" , c" , d" , ... , l", m" , n" , - proiecții orizontale ale liniilor; a" ,b" , c" , d" , ... , l" , m " , n" , ... proiecții frontale ale liniilor; α", β", γ", δ",...,ζ",η",ν",... proiecții orizontale ale suprafețelor; α", β", γ", δ",...,ζ " ,η",ν",... proiecții frontale ale suprafețelor.
11. Urmele de planuri (suprafețe) sunt indicate prin aceleași litere ca orizontală sau frontală, cu adăugarea unui indice 0α, subliniind că aceste drepte se află în planul de proiecție și aparțin planului (suprafaței) α.
Deci: h 0α - urma orizontală a planului (suprafaței) α;
f 0α - urma frontală a planului (suprafaței) α.
12. Urmele de linii drepte (linii) sunt indicate cu majuscule care încep cuvinte care definesc numele (în transcriere latină) planului de proiecție pe care linia îl traversează, cu un indice care indică apartenența la linie.
De exemplu: H a - urmă orizontală a unei drepte (linie) a;
F a - urmă frontală a unei drepte (linii) a.
13. Secvența de puncte, linii (a oricărei figuri) este marcată cu indicele 1,2,3,..., n:
A 1, A 2, A 3,..., A n;
a 1 , a 2 , a 3 ,...,a n ;
a 1 , a 2 , a 3 ,...,a n ;
F 1 , F 2 , F 3 ,..., F n etc.
Proiecția auxiliară a punctului, obținută ca urmare a transformării pentru obținerea valorii reale a figurii geometrice, se notează cu aceeași literă cu indicele 0:
A 0 , B 0 , C 0 , D 0 , ...
Proiecții axonometrice
14. Proiecțiile axonometrice ale punctelor, liniilor, suprafețelor sunt indicate prin aceleași litere ca natura, cu adăugarea superscriptului 0:
A 0, B 0, C 0, D 0, ...
1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , ...
a 0 , b 0 , c 0 , d 0 , ...
α 0 , β 0 , γ 0 , δ 0 , ...
15. Proiecțiile secundare sunt indicate prin adăugarea unui superscript 1:
A 1 0 , B 1 0 , C 1 0 , D 1 0 , ...
1 1 0 , 2 1 0 , 3 1 0 , 4 1 0 , ...
a 1 0 , b 1 0 , c 1 0 , d 1 0 , ...
α 1 0 , β 1 0 , γ 1 0 , δ 1 0 , ...
Pentru a facilita citirea desenelor din manual, în proiectarea materialului ilustrativ au fost folosite mai multe culori, fiecare având o anumită semnificație semantică: liniile negre (punctele) indică datele inițiale; culoarea verde este folosită pentru liniile construcțiilor grafice auxiliare; liniile roșii (punctele) arată rezultatele construcțiilor sau acele elemente geometrice cărora ar trebui să se acorde o atenție deosebită.
| Nu. | Desemnare | Conţinut | Exemplu de notație simbolică |
|---|---|---|---|
| 1 | ≡ | Meci | (AB) ≡ (CD) - o linie dreaptă care trece prin punctele A și B, coincide cu dreapta care trece prin punctele C și D |
| 2 | ≅ | congruente | ∠ABC≅∠MNK - unghiul ABC este congruent cu unghiul MNK |
| 3 | ∼ | Similar | ΔABS∼ΔMNK - triunghiurile ABC și MNK sunt similare |
| 4 | || | Paralel | α||β - planul α este paralel cu planul β |
| 5 | ⊥ | Perpendicular | a⊥b - dreptele a și b sunt perpendiculare |
| 6 | se încrucișează | cu d - liniile c și d se intersectează | |
| 7 | Tangente | t l - linia t este tangentă la dreapta l. βα - plan β tangent la suprafața α |
|
| 8 | → | Sunt afișate | F 1 → F 2 - figura F 1 este mapată pe figura F 2 |
| 9 | S | centru de proiecție. Dacă centrul de proiecție nu este un punct adecvat, poziția sa este indicată de o săgeată, indicând direcția de proiecție | - |
| 10 | s | Direcția de proiecție | - |
| 11 | P | Proiecție paralelă | p s α Proiecție paralelă - proiecție paralelă la planul α pe direcția s |
| Nu. | Desemnare | Conţinut | Exemplu de notație simbolică | Un exemplu de notație simbolică în geometrie |
|---|---|---|---|---|
| 1 | M,N | seturi | - | - |
| 2 | A,B,C,... | Set elemente | - | - |
| 3 | { ... } | Este format din... | F(A, B, C,...) | Ф(A, B, C,...) - figura Ф constă din punctele A, B, C, ... |
| 4 | ∅ | Set gol | L - ∅ - mulțimea L este goală (nu conține elemente) | - |
| 5 | ∈ | Aparține, este un element | 2∈N (unde N este mulțimea numerelor naturale) - numărul 2 aparține mulțimii N | A ∈ a - punctul A aparține dreptei a (punctul A se află pe linia a) |
| 6 | ⊂ | Include, conține | N⊂M - mulțimea N este o parte (submulțime) a mulțimii M din toate numerele raționale | a⊂α - linia a aparține planului α (înțeles în sensul: multimea de puncte a dreptei a este o submultime a punctelor planului α) |
| 7 | ∪ | Uniune | C \u003d A U B - mulțimea C este o unire de mulțimi A și B; (1, 2. 3, 4.5) = (1.2.3)∪(4.5) | ABCD = ∪ [BC] ∪ - linie întreruptă, ABCD este unirea segmentelor [AB], [BC], |
| 8 | ∩ | Intersectia multora | М=К∩L - mulțimea М este intersecția mulțimilor К și L (contine elemente apartinand atat multimii K cat si multimii L). M ∩ N = ∅- intersecția mulțimilor M și N este mulțimea goală (mulțimile M și N nu au elemente comune) | a = α ∩ β - linia a este intersecția planele α și β și ∩ b = ∅ - liniile a și b nu se intersectează (nu au puncte comune) |
| Nu. | Desemnare | Conţinut | Exemplu de notație simbolică |
|---|---|---|---|
| 1 | ∧ | conjuncție de propoziții; corespunde uniunii „și”. Propoziția (p∧q) este adevărată dacă și numai dacă p și q sunt ambele adevărate | α∩β = ( K:K∈α∧K∈β) Intersecția suprafețelor α și β este o mulțime de puncte (linie), constând din toate acele și numai acele puncte K care aparțin atât suprafeței α cât și suprafeței β |
| 2 | ∨ | Disjuncția propozițiilor; corespunde uniunii „sau”. Propoziție (p∨q) adevărat atunci când cel puțin una dintre propozițiile p sau q este adevărată (adică fie p sau q sau ambele). | - |
| 3 | ⇒ | Implicația este o consecință logică. Propoziția p⇒q înseamnă: „dacă p, atunci q” | (a||c∧b||c)⇒a||b. Dacă două linii sunt paralele cu o a treia, atunci sunt paralele între ele. |
| 4 | ⇔ | Propoziția (p⇔q) se înțelege în sensul: „dacă p, atunci q; dacă q, atunci p” | А∈α⇔А∈l⊂α. Un punct aparține unui plan dacă aparține unei drepte care aparține acelui plan. Este adevărat și invers: dacă un punct aparține unei drepte, aparținând planului, atunci aparține și planului însuși. |
| 5 | ∀ | Cuantificatorul general spune: pentru toată lumea, pentru toată lumea, pentru oricine. Expresia ∀(x)P(x) înseamnă: „pentru orice x: proprietate P(x)” | ∀(ΔABC)( = 180°) Pentru orice (pentru orice) triunghi, suma valorilor unghiurilor sale la vârfuri este de 180° |
| 6 | ∃ | Cuantificatorul existențial spune: există. Expresia ∃(x)P(x) înseamnă: „există x care are proprietatea P(x)” | (∀α)(∃a). Pentru orice plan α, există o dreaptă a care nu aparține planului α și paralel cu planul α |
| 7 | ∃1 | Cuantificatorul unicității existenței, se citește: există un unic (-th, -th)... Expresia ∃1(x)(Px) înseamnă: „există un (doar unul) x unic, având proprietatea Rx" | (∀ A, B)(A≠B)(∃1a)(a∋A, B) Pentru oricare două puncte diferite A și B, există o dreaptă unică a, trecând prin aceste puncte. |
| 8 | (px) | Negația afirmației P(x) | ab(∃α )(α⊃а, b). Dacă liniile a și b se intersectează, atunci nu există niciun plan a care le conține |
| 9 | \ | Semn negativ | ≠ - segmentul [AB] nu este egal cu segmentul .a?b - dreapta a nu este paralelă cu dreapta b |
Pagina 1 din 3
§unu. întrebări de testare
Întrebare 1.
Dați exemple de forme geometrice.
Răspuns. Exemple de forme geometrice: triunghi, pătrat, cerc.
Intrebarea 2. Numiți formele geometrice de bază din plan.
Răspuns. Principalele figuri geometrice de pe plan sunt punctul și linia.
Întrebarea 3. Cum sunt definite punctele și liniile?
Răspuns. Punctele sunt indicate cu majuscule latine: A, B, C, D, .... Liniile drepte sunt notate cu litere latine mici: a, b, c, d, ....
O linie poate fi notata cu doua puncte situate pe ea. De exemplu, linia a din figura 4 ar putea fi etichetată AC, iar linia b ar putea fi etichetată BC.
Întrebarea 4. Formulați proprietățile de bază ale apartenenței punctelor și liniilor.
Răspuns. Indiferent de linie, există puncte care aparțin acestei linii și puncte care nu îi aparțin.
Prin oricare două puncte poți trage o linie și doar una.
Întrebarea 5. Explicați ce este un segment cu capete în puncte date.
Răspuns. Un segment este o parte a unei linii drepte care constă din toate punctele acestei linii drepte care se află între două puncte date ale acesteia. Aceste puncte se numesc capetele segmentului. Un segment este indicat prin indicarea capetelor sale. Când spun sau scriu: „segment AB”, înseamnă un segment cu capete în punctele A și B.
Întrebarea 6. Formulați proprietatea principală a locației punctelor pe o dreaptă.
Răspuns. Dintre cele trei puncte de pe o linie, unul și doar unul se află între celelalte două.
Întrebarea 7. Formulați principalele proprietăți ale segmentelor de măsurare.
Răspuns. Fiecare segment are o anumită lungime mai mare decât zero. Lungimea unui segment este egală cu suma lungimilor părților în care este împărțit la oricare dintre punctele sale.
Întrebarea 8. Care este distanța dintre două puncte date?
Răspuns. Lungimea segmentului AB se numește distanța dintre punctele A și B.
Întrebarea 9. Care sunt proprietățile împărțirii unui plan în două semiplane?
Răspuns.Împărțirea unui plan în două semiplane are următoarea proprietate. Dacă capetele oricărui segment aparțin aceluiași semiplan, atunci segmentul nu intersectează dreapta. Dacă capetele unui segment aparțin unor semiplane diferite, atunci segmentul intersectează linia.
