Cel mai mic numitor comun este folosit pentru a simplifica această ecuație. Această metodă este folosită atunci când nu puteți scrie ecuația dată cu o expresie rațională de fiecare parte a ecuației (și folosiți metoda înmulțirii încrucișate). Această metodă este folosită atunci când vi se oferă o ecuație rațională cu 3 sau mai multe fracții (în cazul a două fracții, înmulțirea încrucișată este mai bună).
Găsiți cel mai mic numitor comun al fracțiilor (sau cel mai mic multiplu comun). NOZ este cel mai mic număr care este divizibil egal cu fiecare numitor.
- Uneori, NOZ este un număr evident. De exemplu, dacă ecuația este dată: x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6, atunci este evident că cel mai mic multiplu comun al numerelor 3, 2 și 6 va fi 6.
- Dacă NOD-ul nu este evident, notați multiplii celui mai mare numitor și găsiți printre ei unul care este un multiplu al celorlalți numitori. Puteți găsi adesea NOD prin simpla înmulțire a doi numitori împreună. De exemplu, dacă este dată ecuația x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, atunci NOZ = 8*9 = 72.
- Dacă unul sau mai mulți numitori conțin o variabilă, atunci procesul este ceva mai complicat (dar nu imposibil). În acest caz, NOZ este o expresie (care conține o variabilă) care este divizibilă cu fiecare numitor. De exemplu, în ecuația 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), deoarece această expresie este divizibilă cu fiecare numitor: 3x(x-1)/(x -1) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).
Înmulțiți atât numărătorul, cât și numitorul fiecărei fracții cu un număr egal cu rezultatul împărțirii NOZ la numitorul corespunzător fiecărei fracții. Deoarece înmulțiți atât numărătorul, cât și numitorul cu același număr, înmulțiți efectiv o fracție cu 1 (de exemplu, 2/2 = 1 sau 3/3 = 1).
- Deci, în exemplul nostru, înmulțiți x/3 cu 2/2 pentru a obține 2x/6 și înmulțiți 1/2 cu 3/3 pentru a obține 3/6 (3x + 1/6 nu trebuie înmulțit deoarece numitorul este 6).
- Procedați în mod similar când variabila este la numitor. În al doilea exemplu NOZ = 3x(x-1), deci 5/(x-1) ori (3x)/(3x) este 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x ori 3(x-1)/3(x-1) pentru a obține 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) înmulțiți cu (x-1)/(x-1) și obțineți 2(x-1)/3x(x-1).
Găsiți x. Acum că ați redus fracțiile la un numitor comun, puteți scăpa de numitor. Pentru a face acest lucru, înmulțiți fiecare parte a ecuației cu un numitor comun. Apoi rezolvați ecuația rezultată, adică găsiți „x”. Pentru a face acest lucru, izolați variabila pe o parte a ecuației.
- În exemplul nostru: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Puteți adăuga 2 fracții cu același numitor, așa că scrieți ecuația ca: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 6 și scăpați de numitori: 2x+3 = 3x +1. Rezolvați și obțineți x = 2.
- În al doilea exemplu (cu o variabilă la numitor), ecuația arată ca (după reducerea la un numitor comun): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). Înmulțind ambele părți ale ecuației cu NOZ, scapi de numitor și obținem: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), sau 15x = 3x - 3 + 2x -2, sau 15x = x - 5 Rezolvați și obțineți: x = -5/14.
Utilizarea ecuațiilor este larg răspândită în viața noastră. Ele sunt folosite în multe calcule, construcție de structuri și chiar sport. Ecuațiile au fost folosite de om din cele mai vechi timpuri și de atunci utilizarea lor a crescut. În clasa a V-a, elevii la matematică studiază destul de multe subiecte noi, dintre care una va fi ecuațiile fracționale. Pentru mulți, acesta este un subiect destul de complicat pe care părinții ar trebui să-și ajute copiii să înțeleagă, iar dacă părinții au uitat de matematică, ei pot folosi oricând programe online care rezolvă ecuații. Deci, cu un exemplu, puteți înțelege rapid algoritmul de rezolvare a ecuațiilor cu fracții și puteți ajuta copilul.
Mai jos, pentru claritate, vom rezolva o ecuație liniară fracțională simplă de următoarea formă:
\[\frac(x-2)(3) - \frac(3x)(2)=5\]
Pentru a rezolva acest tip de ecuație, este necesar să determinați NOZ și să înmulțiți părțile stânga și dreaptă ale ecuației cu acesta:
\[\frac(x-2)(3) - \frac(3x)(2)=5\]
Acest lucru ne va oferi o ecuație liniară simplă, deoarece numitorul comun, precum și numitorul fiecărui termen fracționar, se anulează:
Să mutăm termenii din necunoscut în partea stângă:
Să împărțim părțile din stânga și din dreapta la -7:
Din rezultatul obținut se poate distinge o parte întreagă, care va fi rezultatul final al rezolvării acestei ecuații fracționale:
Unde pot rezolva online ecuația cu fracții?
Puteți rezolva ecuația pe site-ul nostru https: // site-ul. Rezolvatorul online gratuit vă va permite să rezolvați o ecuație online de orice complexitate în câteva secunde. Tot ce trebuie să faceți este să vă introduceți datele în soluție. De asemenea, puteți viziona instrucțiunile video și puteți afla cum să rezolvați ecuația pe site-ul nostru. Și dacă aveți întrebări, le puteți adresa în grupul nostru Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Alătură-te grupului nostru, suntem mereu bucuroși să te ajutăm.
Continuăm să vorbim despre rezolvarea ecuatiilor. În acest articol, ne vom concentra asupra ecuații raționaleși principii pentru rezolvarea ecuațiilor raționale cu o variabilă. În primul rând, să ne dăm seama ce fel de ecuații sunt numite raționale, să dăm o definiție a ecuațiilor raționale întregi și a ecuațiilor raționale fracționale și să dăm exemple. În plus, vom obține algoritmi pentru rezolvarea ecuațiilor raționale și, desigur, vom lua în considerare soluțiile exemplelor tipice cu toate explicațiile necesare.
Navigare în pagină.
Pe baza definițiilor sunate, dăm câteva exemple de ecuații raționale. De exemplu, x=1 , 2 x−12 x 2 y z 3 =0 , , sunt toate ecuații raționale.
Din exemplele prezentate, se poate observa că ecuațiile raționale, precum și ecuațiile de alte tipuri, pot fi fie cu o variabilă, fie cu două, trei etc. variabile. În paragrafele următoare, vom vorbi despre rezolvarea ecuațiilor raționale într-o variabilă. Rezolvarea ecuațiilor cu două variabile iar numărul lor mare merită o atenție deosebită.
Pe lângă împărțirea ecuațiilor raționale la numărul de variabile necunoscute, ele sunt, de asemenea, împărțite în întregi și fracționale. Să dăm definițiile corespunzătoare.
Definiție.
Ecuația rațională se numește întreg, dacă ambele părți din stânga și din dreapta sunt expresii raționale întregi.
Definiție.
Dacă cel puțin una dintre părțile unei ecuații raționale este o expresie fracțională, atunci o astfel de ecuație se numește fracționat rațional(sau rațional fracțional).
Este clar că ecuațiile întregi nu conțin împărțirea printr-o variabilă; dimpotrivă, ecuațiile raționale fracționale conțin în mod necesar împărțirea printr-o variabilă (sau o variabilă în numitor). Deci 3 x+2=0 și (x+y) (3 x 2 −1)+x=−y+0,5 sunt ecuații raționale întregi, ambele părți sunt expresii întregi. A și x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 sunt exemple de ecuații raționale fracționale.
Încheind acest paragraf, să acordăm atenție faptului că ecuațiile liniare și ecuațiile pătratice cunoscute până în acest moment sunt ecuații raționale întregi.
Rezolvarea ecuațiilor întregi
Una dintre principalele abordări pentru rezolvarea ecuațiilor întregi este reducerea lor la echivalent ecuații algebrice. Acest lucru se poate realiza întotdeauna prin efectuarea următoarelor transformări echivalente ale ecuației:
- mai întâi, expresia din partea dreaptă a ecuației întregi originale este transferată în partea stângă cu semnul opus pentru a obține zero în partea dreaptă;
- după aceea, în partea stângă a ecuației, forma standard rezultată.
Rezultatul este o ecuație algebrică care este echivalentă cu întreaga ecuație originală. Deci, în cazurile cele mai simple, soluția ecuațiilor întregi se reduce la soluția ecuațiilor liniare sau pătratice, iar în cazul general - la soluția unei ecuații algebrice de gradul n. Pentru claritate, să analizăm soluția exemplului.
Exemplu.
Găsiți rădăcinile întregii ecuații 3 (x+1) (x−3)=x (2 x−1)−3.
Decizie.
Să reducem soluția întregii ecuații la soluția unei ecuații algebrice echivalente. Pentru a face acest lucru, în primul rând, transferăm expresia din partea dreaptă în stânga, ca urmare ajungem la ecuație 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3=0. Și, în al doilea rând, transformăm expresia formată în partea stângă într-un polinom al formei standard făcând ceea ce este necesar: 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Astfel, soluția ecuației întregi inițiale se reduce la soluția ecuației pătratice x 2 −5·x−6=0 .
Calculați discriminantul acestuia D=(−5) 2 −4 1 (−6)=25+24=49, este pozitiv, ceea ce înseamnă că ecuația are două rădăcini reale, pe care le găsim prin formula rădăcinilor ecuației pătratice:
Pentru a fi complet sigur, hai să facem verificarea rădăcinilor găsite ale ecuației. În primul rând, verificăm rădăcina 6, înlocuim-o în loc de variabila x din ecuația întregă originală: 3 (6+1) (6−3)=6 (2 6−1)−3, care este același, 63=63 . Aceasta este o ecuație numerică validă, deci x=6 este într-adevăr rădăcina ecuației. Acum verificăm rădăcina −1 , avem 3 (−1+1) (−1−3)=(−1) (2 (−1)−1)−3, de unde, 0=0 . Pentru x=−1, ecuația originală s-a transformat și într-o egalitate numerică adevărată, prin urmare, x=−1 este și rădăcina ecuației.
Răspuns:
6 , −1 .
Aici trebuie remarcat, de asemenea, că termenul „putere a unei întregi ecuații” este asociat cu reprezentarea unei întregi ecuații sub forma unei ecuații algebrice. Dăm definiția corespunzătoare:
Definiție.
Gradul întregii ecuații numiți gradul unei ecuații algebrice echivalent cu acesta.
Conform acestei definiții, întreaga ecuație din exemplul precedent are gradul doi.
Pe aceasta s-ar putea termina cu rezolvarea unor ecuații raționale întregi, dacă nu pentru una, dar .... După cum se știe, soluția ecuațiilor algebrice de grad mai mare decât al doilea este asociată cu dificultăți semnificative, iar pentru ecuațiile de grad mai mare decât a patra, nu există deloc formule generale pentru rădăcini. Prin urmare, pentru a rezolva ecuații întregi de gradul al treilea, al patrulea și superior, de multe ori trebuie să recurgem la alte metode de rezolvare.
În astfel de cazuri, uneori abordarea de a rezolva ecuații raționale întregi pe baza metoda factorizării. În același timp, se urmărește următorul algoritm:
- mai întâi caută să aibă zero în partea dreaptă a ecuației, pentru aceasta transferă expresia din partea dreaptă a întregii ecuații la stânga;
- apoi, expresia rezultată din partea stângă este prezentată ca un produs al mai multor factori, ceea ce vă permite să mergeți la un set de mai multe ecuații mai simple.
Algoritmul de mai sus pentru rezolvarea întregii ecuații prin factorizare necesită o explicație detaliată folosind un exemplu.
Exemplu.
Rezolvați întreaga ecuație (x 2 −1) (x 2 −10 x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .
Decizie.
Mai întâi, ca de obicei, transferăm expresia din partea dreaptă în partea stângă a ecuației, fără a uita să schimbăm semnul, obținem (x 2 −1) (x 2 −10 x+13) − 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . Este destul de evident aici că nu este recomandabil să transformați partea stângă a ecuației rezultate într-un polinom de forma standard, deoarece aceasta va da o ecuație algebrică de gradul al patrulea al formei. x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, a cărui soluție este dificilă.
Pe de altă parte, este evident că x 2 −10·x+13 poate fi găsit în partea stângă a ecuației rezultate, reprezentând-o astfel ca un produs. Noi avem (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. Ecuația rezultată este echivalentă cu întreaga ecuație originală și, la rândul său, poate fi înlocuită cu un set de două ecuații pătratice x 2 −10·x+13=0 și x 2 −2·x−1=0 . Găsirea rădăcinilor lor folosind formulele rădăcinilor cunoscute prin discriminant nu este dificilă, rădăcinile sunt egale. Ele sunt rădăcinile dorite ale ecuației originale.
Răspuns:
De asemenea, este util pentru rezolvarea ecuațiilor raționale întregi. metoda de introducere a unei noi variabile. În unele cazuri, permite trecerea la ecuații al căror grad este mai mic decât gradul ecuației întregi originale.
Exemplu.
Găsiți rădăcinile reale ale unei ecuații raționale (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).
Decizie.
Reducerea acestei ecuații raționale la o ecuație algebrică este, ca să spunem ușor, o idee nu foarte bună, deoarece în acest caz vom ajunge la necesitatea de a rezolva o ecuație de gradul al patrulea care nu are rădăcini raționale. Prin urmare, va trebui să cauți o altă soluție.
Este ușor de observat aici că puteți introduce o nouă variabilă y și puteți înlocui expresia x 2 +3 x cu ea. O astfel de înlocuire ne conduce la întreaga ecuație (y+1) 2 +10=−2 (y−4) , care, după transferarea expresiei −2 (y−4) în partea stângă și transformarea ulterioară a expresiei formate acolo, se reduce la ecuația y 2 +4 y+3=0 . Rădăcinile acestei ecuații y=−1 și y=−3 sunt ușor de găsit, de exemplu, ele pot fi găsite pe baza teoremei inverse a teoremei lui Vieta.
Acum să trecem la a doua parte a metodei de introducere a unei noi variabile, adică la efectuarea unei substituții inverse. După efectuarea substituției inverse, obținem două ecuații x 2 +3 x=−1 și x 2 +3 x=−3 , care pot fi rescrise ca x 2 +3 x+1=0 și x 2 +3 x+3 =0 . După formula rădăcinilor ecuației pătratice, găsim rădăcinile primei ecuații. Și a doua ecuație pătratică nu are rădăcini reale, deoarece discriminantul ei este negativ (D=3 2 −4 3=9−12=−3 ).
Răspuns:
În general, atunci când avem de-a face cu ecuații întregi de grade înalte, trebuie să fim întotdeauna gata să căutăm o metodă non-standard sau o tehnică artificială pentru rezolvarea lor.
Rezolvarea ecuațiilor fracționale raționale
În primul rând, va fi util să înțelegem cum să rezolvăm ecuații fracționale raționale de forma , unde p(x) și q(x) sunt expresii întregi raționale. Și apoi vom arăta cum să reducem soluția ecuațiilor raționale fracționale rămase la soluția ecuațiilor de forma indicată.
Una dintre abordările de rezolvare a ecuației se bazează pe următoarea afirmație: fracția numerică u / v, unde v este un număr diferit de zero (altfel vom întâlni , care nu este definit), este zero dacă și numai dacă numărătorul său este zero, atunci este, dacă și numai dacă u=0 . În virtutea acestei afirmații, soluția ecuației se reduce la îndeplinirea a două condiții p(x)=0 și q(x)≠0 .
Această concluzie este în concordanță cu următoarele algoritm pentru rezolvarea unei ecuații raționale fracționale. Pentru a rezolva o ecuație rațională fracțională de forma
- rezolvați întreaga ecuație rațională p(x)=0 ;
- și verificați dacă condiția q(x)≠0 este îndeplinită pentru fiecare rădăcină găsită, în timp ce
- dacă este adevărată, atunci această rădăcină este rădăcina ecuației originale;
- dacă nu, atunci această rădăcină este străină, adică nu este rădăcina ecuației originale.
Să analizăm un exemplu de utilizare a algoritmului vocal atunci când rezolvăm o ecuație rațională fracțională.
Exemplu.
Găsiți rădăcinile ecuației.
Decizie.
Aceasta este o ecuație fracțională rațională de forma , unde p(x)=3 x−2 , q(x)=5 x 2 −2=0 .
Conform algoritmului de rezolvare a ecuațiilor raționale fracționale de acest fel, trebuie mai întâi să rezolvăm ecuația 3·x−2=0 . Aceasta este o ecuație liniară a cărei rădăcină este x=2/3 .
Rămâne să verificăm această rădăcină, adică să verificăm dacă îndeplinește condiția 5·x 2 −2≠0 . Inlocuim numarul 2/3 in loc de x in expresia 5 x 2 −2, obtinem . Condiția este îndeplinită, deci x=2/3 este rădăcina ecuației inițiale.
Răspuns:
2/3 .
Soluția unei ecuații raționale fracționale poate fi abordată dintr-o poziție ușor diferită. Această ecuație este echivalentă cu întreaga ecuație p(x)=0 pe variabila x a ecuației inițiale. Adică poți urmări asta algoritm pentru rezolvarea unei ecuații raționale fracționale :
- se rezolva ecuatia p(x)=0 ;
- găsiți variabila ODZ x ;
- luați rădăcinile care aparțin regiunii valorilor admisibile - sunt rădăcinile dorite ale ecuației raționale fracționale originale.
De exemplu, să rezolvăm o ecuație rațională fracțională folosind acest algoritm.
Exemplu.
Rezolvați ecuația.
Decizie.
Mai întâi, rezolvăm ecuația pătratică x 2 −2·x−11=0 . Rădăcinile sale pot fi calculate folosind formula rădăcinii pentru un al doilea coeficient chiar, avem D 1 =(−1) 2 −1 (−11)=12, și .
În al doilea rând, găsim ODZ a variabilei x pentru ecuația originală. Este format din toate numerele pentru care x 2 +3 x≠0 , care este același x (x+3)≠0 , de unde x≠0 , x≠−3 .
Rămâne de verificat dacă rădăcinile găsite la primul pas sunt incluse în ODZ. Evident ca da. Prin urmare, ecuația originală rațională fracțională are două rădăcini.
Răspuns:
Rețineți că această abordare este mai profitabilă decât prima dacă ODZ este ușor de găsit și este mai ales benefică dacă rădăcinile ecuației p(x)=0 sunt iraționale, de exemplu, , sau raționale, dar cu o valoare destul de mare. numărător și/sau numitor, de exemplu, 127/1101 și -31/59 . Acest lucru se datorează faptului că, în astfel de cazuri, verificarea condiției q(x)≠0 va necesita eforturi de calcul semnificative și este mai ușor să excludeți rădăcinile străine din ODZ.
În alte cazuri, la rezolvarea ecuației, mai ales când rădăcinile ecuației p(x)=0 sunt numere întregi, este mai avantajos să se folosească primul algoritm de mai sus. Adică, este recomandabil să găsiți imediat rădăcinile întregii ecuații p(x)=0 și apoi să verificați dacă condiția q(x)≠0 este îndeplinită pentru ele și să nu găsiți ODZ și apoi să rezolvați ecuația p(x)=0 pe acest ODZ. Acest lucru se datorează faptului că în astfel de cazuri este de obicei mai ușor să faceți o verificare decât să găsiți ODZ.
Luați în considerare soluția a două exemple pentru a ilustra nuanțele stipulate.
Exemplu.
Găsiți rădăcinile ecuației.
Decizie.
Mai întâi găsim rădăcinile întregii ecuații (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, compilat folosind numărătorul fracției. Partea stângă a acestei ecuații este un produs, iar partea dreaptă este zero, prin urmare, conform metodei de rezolvare a ecuațiilor prin factorizare, această ecuație este echivalentă cu mulțimea de patru ecuații 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . Trei dintre aceste ecuații sunt liniare și una pătratică, le putem rezolva. Din prima ecuație găsim x=1/2, din a doua - x=6, din a treia - x=7, x=−2, din a patra - x=−1.
Cu rădăcinile găsite, este destul de ușor să le verificați pentru a vedea dacă numitorul fracției din partea stângă a ecuației inițiale nu dispare și nu este atât de ușor să determinați ODZ, deoarece aceasta va trebui să rezolve o ecuația algebrică de gradul cinci. Prin urmare, vom refuza să găsim ODZ în favoarea verificării rădăcinilor. Pentru a face acest lucru, le înlocuim pe rând în loc de variabila x din expresie x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, obținut după înlocuire și comparați-le cu zero: (1/2) 5 −15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 −13 (1/2) 2 +26 (1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112=
122+1/32≠0
;
6 5 −15 6 4 +57 6 3 −13 6 2 +26 6+112= 448≠0
;
7 5 −15 7 4 +57 7 3 −13 7 2 +26 7+112=0;
(−2) 5 −15 (−2) 4 +57 (−2) 3 −13 (−2) 2 + 26 (−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15 (−1) 4 +57 (−1) 3 −13 (−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .
Astfel, 1/2, 6 și -2 sunt rădăcinile dorite ale ecuației raționale fracționale originale, iar 7 și -1 sunt rădăcini străine.
Răspuns:
1/2 , 6 , −2 .
Exemplu.
Aflați rădăcinile unei ecuații raționale fracționale.
Decizie.
Mai întâi găsim rădăcinile ecuației (5x2 −7x−1)(x−2)=0. Această ecuație este echivalentă cu o mulțime de două ecuații: pătratul 5·x 2 −7·x−1=0 și liniarul x−2=0 . După formula rădăcinilor ecuației pătratice, găsim două rădăcini, iar din a doua ecuație avem x=2.
Verificarea dacă numitorul nu dispare la valorile găsite ale lui x este destul de neplăcută. Și pentru a determina intervalul de valori acceptabile ale variabilei x în ecuația originală este destul de simplu. Prin urmare, vom acționa prin intermediul ODZ.
În cazul nostru, ODZ a variabilei x a ecuației raționale fracționale originale este alcătuită din toate numerele, cu excepția celor pentru care condiția x 2 +5·x−14=0 este îndeplinită. Rădăcinile acestei ecuații pătratice sunt x=−7 și x=2, din care concluzionăm despre ODZ: este alcătuită din tot x astfel încât .
Rămâne de verificat dacă rădăcinile găsite și x=2 aparțin regiunii valorilor admisibile. Rădăcinile - aparțin, prin urmare, sunt rădăcinile ecuației originale, iar x=2 nu aparține, prin urmare, este o rădăcină străină.
Răspuns:
De asemenea, va fi util să ne oprim separat asupra cazurilor în care un număr se află la numărător într-o ecuație rațională fracțională de formă, adică atunci când p (x) este reprezentat de un număr. în care
- dacă acest număr este diferit de zero, atunci ecuația nu are rădăcini, deoarece fracția este zero dacă și numai dacă numărătorul ei este zero;
- dacă acest număr este zero, atunci rădăcina ecuației este orice număr din ODZ.
Exemplu.
Decizie.
Deoarece există un număr diferit de zero în numărătorul fracției din partea stângă a ecuației, pentru nu x valoarea acestei fracții poate fi egală cu zero. Prin urmare, această ecuație nu are rădăcini.
Răspuns:
fara radacini.
Exemplu.
Rezolvați ecuația.
Decizie.
Numătorul fracției din partea stângă a acestei ecuații raționale fracționale este zero, deci valoarea acestei fracții este zero pentru orice x pentru care are sens. Cu alte cuvinte, soluția acestei ecuații este orice valoare a lui x din DPV a acestei variabile.
Rămâne de determinat acest interval de valori acceptabile. Include toate astfel de valori x pentru care x 4 +5 x 3 ≠0. Soluțiile ecuației x 4 +5 x 3 \u003d 0 sunt 0 și -5, deoarece această ecuație este echivalentă cu ecuația x 3 (x + 5) \u003d 0 și, la rândul său, este echivalentă cu combinația a două ecuații x 3 \u003d 0 și x +5=0 , de unde sunt vizibile aceste rădăcini. Prin urmare, intervalul dorit de valori acceptabile este orice x, cu excepția x=0 și x=−5.
Astfel, o ecuație rațională fracționară are infinit de soluții, care sunt orice numere, cu excepția zero și minus cinci.
Răspuns:
În cele din urmă, este timpul să vorbim despre rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale arbitrare. Ele pot fi scrise ca r(x)=s(x) , unde r(x) și s(x) sunt expresii raționale și cel puțin una dintre ele este fracțională. Privind în perspectivă, spunem că soluția lor se reduce la rezolvarea ecuațiilor de formă deja familiară nouă.
Se știe că transferul unui termen dintr-o parte a ecuației în alta cu semnul opus duce la o ecuație echivalentă, deci ecuația r(x)=s(x) este echivalentă cu ecuația r(x)−s (x)=0.
De asemenea, știm că oricare poate fi identic egal cu această expresie. Astfel, putem transforma întotdeauna expresia rațională din partea stângă a ecuației r(x)−s(x)=0 într-o fracție rațională identic egală de forma .
Deci trecem de la ecuația rațională fracțională inițială r(x)=s(x) la ecuația , iar soluția ei, așa cum am aflat mai sus, se reduce la rezolvarea ecuației p(x)=0 .
Dar aici este necesar să se țină seama de faptul că la înlocuirea r(x)−s(x)=0 cu , și apoi cu p(x)=0 , intervalul de valori admisibile ale variabilei x se poate extinde .
Prin urmare, ecuația inițială r(x)=s(x) și ecuația p(x)=0, la care am ajuns, pot să nu fie echivalente, iar rezolvând ecuația p(x)=0, putem obține rădăcini care vor fi rădăcini străine ale ecuației originale r(x)=s(x) . Este posibil să se identifice și să nu includă rădăcini străine în răspuns, fie prin efectuarea unei verificări, fie verificând dacă acestea aparțin ODZ a ecuației inițiale.
Rezum aceste informații în algoritm pentru rezolvarea unei ecuații raționale fracționale r(x)=s(x). Pentru a rezolva ecuația rațională fracțională r(x)=s(x) , trebuie
- Obțineți zero în dreapta mutând expresia din partea dreaptă cu semnul opus.
- Efectuați acțiuni cu fracții și polinoame din partea stângă a ecuației, transformând-o într-o fracție rațională a formei.
- Rezolvați ecuația p(x)=0 .
- Identificați și excludeți rădăcinile străine, ceea ce se face prin substituirea lor în ecuația originală sau prin verificarea apartenenței lor la ODZ a ecuației originale.
Pentru o mai mare claritate, vom arăta întregul lanț de rezolvare a ecuațiilor raționale fracționale:
.
Să parcurgem soluțiile mai multor exemple cu o explicație detaliată a soluției pentru a clarifica blocul de informații dat.
Exemplu.
Rezolvați o ecuație rațională fracțională.
Decizie.
Vom acționa în conformitate cu algoritmul de soluție tocmai obținut. Și mai întâi transferăm termenii din partea dreaptă a ecuației în partea stângă, ca rezultat trecem la ecuația .
În al doilea pas, trebuie să convertim expresia rațională fracțională din partea stângă a ecuației rezultate în forma unei fracții. Pentru a face acest lucru, efectuăm reducerea fracțiilor raționale la un numitor comun și simplificăm expresia rezultată: . Așa că ajungem la ecuație.
În pasul următor, trebuie să rezolvăm ecuația −2·x−1=0 . Aflați x=−1/2 .
Rămâne de verificat dacă numărul găsit −1/2 este o rădăcină străină a ecuației originale. Pentru a face acest lucru, puteți verifica sau găsi variabila ODZ x a ecuației originale. Să demonstrăm ambele abordări.
Să începem cu o verificare. Înlocuim numărul −1/2 în loc de variabila x în ecuația originală, obținem , care este același, −1=−1. Substituția dă egalitatea numerică corectă, prin urmare, x=−1/2 este rădăcina ecuației originale.
Acum vom arăta cum se realizează ultimul pas al algoritmului prin ODZ. Gama de valori admisibile ale ecuației originale este mulțimea tuturor numerelor, cu excepția −1 și 0 (când x=−1 și x=0, numitorii fracțiilor dispar). Rădăcina x=−1/2 găsită la pasul anterior aparține ODZ, prin urmare, x=−1/2 este rădăcina ecuației inițiale.
Răspuns:
−1/2 .
Să luăm în considerare un alt exemplu.
Exemplu.
Găsiți rădăcinile ecuației.
Decizie.
Trebuie să rezolvăm o ecuație fracțională rațională, să parcurgem toți pașii algoritmului.
Mai întâi, transferăm termenul din partea dreaptă în stânga, obținem .
În al doilea rând, transformăm expresia formată în partea stângă: . Ca rezultat, ajungem la ecuația x=0 .
Rădăcina sa este evidentă - este zero.
La al patrulea pas, rămâne să aflăm dacă rădăcina găsită nu este una exterioară pentru ecuația rațională fracționară originală. Când este substituită în ecuația originală, se obține expresia. Evident, nu are sens, deoarece conține împărțirea la zero. De unde concluzionăm că 0 este o rădăcină străină. Prin urmare, ecuația originală nu are rădăcini.
7 , ceea ce duce la ecuația . Din aceasta putem concluziona că expresia din numitorul laturii stângi trebuie să fie egală cu din partea dreaptă, adică . Acum scădem din ambele părți ale tripluului: . Prin analogie, de unde și mai departe.
Verificarea arată că ambele rădăcini găsite sunt rădăcinile ecuației raționale fracționale originale.
Răspuns:
Bibliografie.
- Algebră: manual pentru 8 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovich A. G. Algebră. clasa a 8-a. La 14:00 Partea 1. Un manual pentru studenții instituțiilor de învățământ / A. G. Mordkovich. - Ed. a XI-a, șters. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Algebră: Clasa a 9-a: manual. pentru invatamantul general instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educație, 2009. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-021134-5.
„Rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale”
Obiectivele lecției:
Tutorial:
- formarea conceptului de ecuații raționale fracționale; să ia în considerare diverse modalități de rezolvare a ecuațiilor raționale fracționale; luați în considerare un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale, inclusiv condiția ca fracția să fie egală cu zero; să predea soluția ecuațiilor raționale fracționale conform algoritmului; verificarea nivelului de asimilare a temei prin efectuarea de lucrări de testare.
În curs de dezvoltare:
- dezvoltarea capacităţii de a opera corect cu cunoştinţele dobândite, de a gândi logic; dezvoltarea abilităților intelectuale și a operațiilor mentale - analiză, sinteză, comparație și generalizare; dezvoltarea inițiativei, capacitatea de a lua decizii, nu de a se opri aici; dezvoltarea gândirii critice; dezvoltarea abilităților de cercetare.
Hrănirea:
- educarea interesului cognitiv în materie; educația independenței în rezolvarea problemelor educaționale; educarea voinței și perseverenței pentru a obține rezultatele finale.
Tipul de lecție: lectie - explicarea materialului nou.
În timpul orelor
1. Moment organizatoric.
Buna baieti! Ecuațiile sunt scrise pe tablă, priviți-le cu atenție. Puteți rezolva toate aceste ecuații? Care nu sunt și de ce?
Ecuațiile în care părțile stânga și dreaptă sunt expresii raționale fracționale se numesc ecuații raționale fracționale. Ce crezi că vom studia astăzi la lecție? Formulați subiectul lecției. Deci, deschidem caiete și notăm subiectul lecției „Rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale”.
2. Actualizarea cunoștințelor. Sondaj frontal, lucru oral cu clasa.
Și acum vom repeta principalul material teoretic de care avem nevoie pentru a studia un subiect nou. Te rugăm să răspunzi la următoarele întrebări:
1. Ce este o ecuație? ( Egalitatea cu o variabilă sau variabile.)
2. Cum se numește ecuația #1? ( Liniar.) Metoda de rezolvare a ecuatiilor liniare. ( Mutați totul cu necunoscutul în partea stângă a ecuației, toate numerele la dreapta. Aduceți condiții asemănătoare. Găsiți multiplicatorul necunoscut).
3. Cum se numește ecuația #3? ( Pătrat.) Metode de rezolvare a ecuaţiilor pătratice. ( Selectarea pătratului complet, prin formule, folosind teorema Vieta și consecințele acesteia.)
4. Ce este o proporție? ( Egalitatea a două relații.) Principala proprietate a proporției. ( Dacă proporția este adevărată, atunci produsul termenilor săi extremi este egal cu produsul termenilor medii.)
5. Ce proprietăți sunt folosite în rezolvarea ecuațiilor? ( 1. Dacă în ecuație transferăm termenul dintr-o parte în alta, schimbându-i semnul, atunci obținem o ecuație echivalentă cu cea dată. 2. Dacă ambele părți ale ecuației sunt înmulțite sau împărțite cu același număr diferit de zero, atunci se va obține o ecuație care este echivalentă cu numărul dat.)
6. Când este o fracție egală cu zero? ( O fracție este zero când numărătorul este zero și numitorul este diferit de zero.)
3. Explicarea materialului nou.
Rezolvați ecuația nr. 2 în caiete și pe tablă.
Răspuns: 10.
Ce ecuație rațională fracțională poți încerca să rezolvi folosind proprietatea de bază a proporției? (Nr. 5).
(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)
x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6
x2-6x-x2-5x = 6-8
Rezolvați ecuația nr. 4 în caiete și pe tablă.
Răspuns: 1,5.
Ce ecuație rațională fracțională poți încerca să rezolvi înmulțind ambele părți ale ecuației cu numitorul? (Nr. 6).
D=1>0, x1=3, x2=4.
Răspuns: 3;4.
Acum încercați să rezolvați ecuația #7 într-unul din moduri.
(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5) |
|
||
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0 | |||
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0 | x2-2x-5-x-5=0 |
||
x(x-5)(x2-3x-10)=0 | |||
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0 | |||
x1=0 x2=5 D=49 | |||
Răspuns: 0;5;-2. | Răspuns: 5;-2. |
Explicați de ce s-a întâmplat asta? De ce sunt trei rădăcini într-un caz și două în celălalt? Ce numere sunt rădăcinile acestei ecuații raționale fracționale?
Până acum, elevii nu au întâlnit conceptul de rădăcină străină, le este într-adevăr foarte greu să înțeleagă de ce s-a întâmplat acest lucru. Dacă nimeni din clasă nu poate da o explicație clară a acestei situații, atunci profesorul pune întrebări de conducere.
- Cum diferă ecuațiile nr. 2 și 4 de ecuațiile nr. 5,6,7? ( În ecuațiile nr. 2 și 4 la numitorul numărului, nr. 5-7 - expresii cu o variabilă.) Care este rădăcina ecuației? ( Valoarea variabilei la care ecuația devine o egalitate adevărată.) Cum să aflați dacă numărul este rădăcina ecuației? ( Faceți o verificare.)
Când fac un test, unii elevi observă că trebuie să împartă la zero. Ei concluzionează că numerele 0 și 5 nu sunt rădăcinile acestei ecuații. Apare întrebarea: există o modalitate de a rezolva ecuații raționale fracționale care să elimine această eroare? Da, această metodă se bazează pe condiția ca fracția să fie egală cu zero.
x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.
Dacă x=5, atunci x(x-5)=0, deci 5 este o rădăcină străină.
Dacă x=-2, atunci x(x-5)≠0.
Răspuns: -2.
Să încercăm să formulăm un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale în acest fel. Copiii înșiși formulează algoritmul.
Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale:
1. Mutați totul în partea stângă.
2. Aduceți fracțiile la un numitor comun.
3. Faceți un sistem: fracția este egală cu zero când numărătorul este egal cu zero, iar numitorul nu este egal cu zero.
4. Rezolvați ecuația.
5. Verificați inegalitatea pentru a exclude rădăcinile străine.
6. Notează răspunsul.
Discuție: cum se formalizează soluția dacă se folosește proprietatea de bază a proporției și înmulțirea ambelor părți ale ecuației cu un numitor comun. (Suplimentați soluția: excludeți din rădăcinile sale pe cele care transformă numitorul comun la zero).
4. Înțelegerea primară a materialului nou.
Lucrați în perechi. Elevii aleg cum să rezolve singuri ecuația, în funcție de tipul de ecuație. Sarcini din manualul „Algebra 8”, 2007: Nr. 000 (b, c, i); Nr. 000 (a, e, g). Profesorul controlează îndeplinirea sarcinii, răspunde la întrebările care au apărut și oferă asistență elevilor cu performanțe slabe. Autotest: Răspunsurile sunt scrise pe tablă.
b) 2 este o rădăcină străină. Răspuns: 3.
c) 2 este o rădăcină străină. Răspuns: 1.5.
a) Răspuns: -12,5.
g) Răspuns: 1; 1.5.
5. Declarație de teme.
2. Învață algoritmul de rezolvare a ecuațiilor raționale fracționale.
3. Rezolvați în caietele Nr. 000 (a, d, e); Nr. 000 (g, h).
4. Încercați să rezolvați nr. 000(a) (opțional).
6. Îndeplinirea sarcinii de control pe tema studiată.
Lucrarea se face pe foi.
Exemplu de job:
A) Care dintre ecuații sunt raționale fracționale?
B) O fracție este zero când numărătorul este ______________________ iar numitorul este _______________________.
Î) Este numărul -3 rădăcina ecuației #6?
D) Rezolvați ecuația nr. 7.
Criterii de evaluare a sarcinilor:
- „5” este dat dacă elevul a finalizat corect mai mult de 90% din sarcină. „4” - 75% -89% „3” - 50% -74% „2” i se acordă elevului care a finalizat mai puțin de 50% din sarcină. Nota 2 nu este trecută în jurnal, 3 este opțional.
7. Reflecție.
Pe pliantele cu muncă independentă, puneți:
- 1 - dacă lecția a fost interesantă și de înțeles pentru tine; 2 - interesant, dar nu clar; 3 - nu este interesant, dar de înțeles; 4 - nu este interesant, nu este clar.
8. Rezumând lecția.
Așadar, astăzi, în lecție, ne-am familiarizat cu ecuațiile raționale fracționale, am învățat cum să rezolvăm aceste ecuații în diferite moduri, ne-am testat cunoștințele cu ajutorul muncii independente educaționale. Rezultatele muncii independente le vei afla in urmatoarea lectie, acasa vei avea ocazia sa consolidezi cunostintele acumulate.
Ce metodă de rezolvare a ecuațiilor raționale fracționale, după părerea dvs., este mai ușoară, mai accesibilă, mai rațională? Indiferent de metoda de rezolvare a ecuațiilor raționale fracționale, ce nu trebuie uitat? Care este „smecheria” ecuațiilor raționale fracționale?
Vă mulțumesc tuturor, lecția s-a terminat.
