Derivatul unei funcții este unul dintre cele mai dificile subiecte din programa școlară. Nu fiecare absolvent va răspunde la întrebarea ce este un derivat.

Acest articol explică simplu și clar ce este un derivat și de ce este necesar.. Nu ne vom strădui acum pentru rigoarea matematică a prezentării. Cel mai important lucru este să înțelegeți sensul.

Să ne amintim definiția:

Derivata este rata de schimbare a functiei.

Figura prezintă grafice a trei funcții. Care crezi că crește cel mai repede?

Răspunsul este evident - al treilea. Are cea mai mare rată de schimbare, adică cea mai mare derivată.

Iată un alt exemplu.

Kostya, Grisha și Matvey au primit locuri de muncă în același timp. Să vedem cum s-au schimbat veniturile lor în cursul anului:

Puteți vedea totul pe diagramă imediat, nu? Venitul lui Kostya s-a dublat de peste șase luni. Și veniturile lui Grisha au crescut, dar doar puțin. Și venitul lui Matthew a scăzut la zero. Condițiile de pornire sunt aceleași, dar rata de modificare a funcției, adică. derivat, - diferit. În ceea ce privește Matvey, derivatul venitului său este în general negativ.

Intuitiv, putem estima cu ușurință rata de schimbare a unei funcții. Dar cum o facem?

Ceea ce ne uităm cu adevărat este cât de abrupt urcă (sau jos) graficul funcției. Cu alte cuvinte, cât de repede se schimbă y cu x. Evident, aceeași funcție în puncte diferite poate avea o valoare diferită a derivatei - adică se poate schimba mai repede sau mai lent.

Derivata unei functii se noteaza cu .

Să arătăm cum să găsiți folosind graficul.

Este desenat un grafic al unei funcții. Luați un punct pe el cu o abscisă. Desenați o tangentă la graficul funcției în acest punct. Vrem să evaluăm cât de abrupt crește graficul funcției. O valoare la îndemână pentru aceasta este tangenta pantei tangentei.

Derivata unei functii intr-un punct este egala cu tangenta pantei tangentei trasata la graficul functiei in acel punct.

Vă rugăm să rețineți - ca unghi de înclinare al tangentei, luăm unghiul dintre tangentă și direcția pozitivă a axei.

Uneori, elevii întreabă care este tangenta la graficul unei funcții. Aceasta este o linie dreaptă care are singurul punct comun cu graficul din această secțiune, în plus, așa cum se arată în figura noastră. Arată ca o tangentă la un cerc.

Sa gasim . Ne amintim că tangenta unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este egală cu raportul catetului opus față de cel alăturat. Din triunghi:

Am găsit derivata folosind graficul fără să știm măcar formula funcției. Astfel de sarcini se găsesc adesea la examenul de matematică sub numărul.

Există o altă corelație importantă. Amintiți-vă că linia dreaptă este dată de ecuație

Mărimea din această ecuație se numește panta unei drepte. Este egală cu tangenta unghiului de înclinare a dreptei la axă.

.

Înțelegem asta

Să ne amintim această formulă. Exprimă semnificația geometrică a derivatei.

Derivata unei functii intr-un punct este egala cu panta tangentei trasate la graficul functiei in acel punct.

Cu alte cuvinte, derivata este egală cu tangentei pantei tangentei.

Am spus deja că aceeași funcție poate avea derivate diferite în puncte diferite. Să vedem cum este legată derivata de comportamentul funcției.

Să desenăm un grafic al unei funcții. Lăsați această funcție să crească în unele zone și să scadă în altele și în ritmuri diferite. Și lasă această funcție să aibă puncte maxime și minime.

La un moment dat, funcția crește. Tangenta la grafic, desenată în punct, formează un unghi ascuțit cu direcția pozitivă a axei. Deci derivata este pozitivă la punct.

În acel moment, funcția noastră este în scădere. Tangenta în acest punct formează un unghi obtuz cu direcția pozitivă a axei. Deoarece tangenta unui unghi obtuz este negativă, derivata din punct este negativă.

Iată ce se întâmplă:

Dacă o funcție este în creștere, derivata ei este pozitivă.

Dacă scade, derivata sa este negativă.

Și ce se va întâmpla la punctele maxime și minime? Vedem că la (punctul maxim) și (punctul minim) tangenta este orizontală. Prin urmare, tangenta pantei tangentei în aceste puncte este zero, iar derivata este, de asemenea, zero.

Punctul este punctul maxim. În acest moment, creșterea funcției este înlocuită cu o scădere. În consecință, semnul derivatei se schimbă în punctul de la „plus” la „minus”.

În punctul - punctul minim - derivata este, de asemenea, egală cu zero, dar semnul său se schimbă de la „minus” la „plus”.

Concluzie: cu ajutorul derivatei, puteți afla tot ce ne interesează despre comportamentul funcției.

Dacă derivata este pozitivă, atunci funcția este în creștere.

Dacă derivata este negativă, atunci funcția este descrescătoare.

În punctul maxim, derivata este zero și își schimbă semnul din plus în minus.

La punctul minim, derivata este, de asemenea, zero și își schimbă semnul din minus în plus.

Scriem aceste constatări sub forma unui tabel:

	crește	punct maxim	in scadere	punct minim	crește
+	0	-	0	+

Să facem două mici precizări. Veți avea nevoie de unul dintre ele când rezolvați problemele de examen. Un altul - în primul an, cu un studiu mai serios al funcțiilor și derivatelor.

Este posibil un caz când derivata unei funcții la un punct este egală cu zero, dar funcția nu are nici un maxim, nici un minim în acest punct. Acest așa-zis :

Într-un punct, tangenta la grafic este orizontală, iar derivata este zero. Cu toate acestea, înainte de punct funcția a crescut - și după punct continuă să crească. Semnul derivatului nu se schimbă - a rămas pozitiv așa cum a fost.

De asemenea, se întâmplă ca în punctul de maxim sau minim, derivata să nu existe. Pe grafic, aceasta corespunde unei ruperi ascuțite, când este imposibil să desenați o tangentă într-un punct dat.

Dar cum să găsim derivata dacă funcția este dată nu de un grafic, ci de o formulă? În acest caz, se aplică

Calcul derivat este una dintre cele mai importante operații din calculul diferențial. Mai jos este un tabel pentru găsirea derivatelor funcțiilor simple. Pentru reguli de diferențiere mai complexe, consultați alte lecții:

• Tabel de derivate ale funcțiilor exponențiale și logaritmice

Utilizați formulele date ca valori de referință. Ele vor ajuta la rezolvarea ecuațiilor și problemelor diferențiale. În imagine, în tabelul de derivate ale funcțiilor simple, există o „foaie de cheat” a principalelor cazuri de găsire a derivatului într-o formă care este de înțeles pentru utilizare, alături sunt explicații pentru fiecare caz.

Derivate ale funcțiilor simple

1. Derivata unui număr este zero
с´ = 0
Exemplu:
5' = 0

Explicaţie:
Derivata arată rata la care valoarea funcției se schimbă atunci când argumentul se schimbă. Deoarece numărul nu se modifică în niciun fel în nicio condiție, rata modificării sale este întotdeauna zero.

2. Derivată a unei variabile egal cu unu
x' = 1

Explicaţie:
Cu fiecare creștere a argumentului (x) cu unu, valoarea funcției (rezultatul calculului) crește cu aceeași valoare. Astfel, rata de modificare a valorii funcției y = x este exact egală cu rata de modificare a valorii argumentului.

3. Derivata unei variabile si a unui factor este egala cu acest factor
сx´ = с
Exemplu:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Explicaţie:
În acest caz, de fiecare dată argumentul funcției ( X) valoarea lui (y) crește în cu o singura data. Astfel, rata de modificare a valorii funcției în raport cu rata de modificare a argumentului este exact egală cu valoarea cu.

De unde rezultă că
(cx + b)" = c
adică diferența funcției liniare y=kx+b este egală cu panta dreptei (k).

4. Modul derivată a unei variabile este egal cu coeficientul acestei variabile la modulul acesteia
|x|"= x / |x| cu condiția ca x ≠ 0
Explicaţie:
Deoarece derivata variabilei (vezi formula 2) este egală cu unu, derivata modulului diferă doar prin aceea că valoarea ratei de modificare a funcției se schimbă în sens opus la trecerea punctului de origine (încercați să desenați un grafic a funcției y = |x| și vedeți singur. Aceasta este exact valoarea și returnează expresia x / |x| Când x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - unu. Adică, cu valori negative ale variabilei x, cu fiecare creștere a modificării argumentului, valoarea funcției scade cu exact aceeași valoare, iar cu valori pozitive, dimpotrivă, crește, dar exact cu aceeași valoare.

5. Derivată de putere a unei variabile este egal cu produsul dintre numărul acestei puteri și variabila din putere, redus cu unu
(x c)"= cx c-1, cu condiția ca x c și cx c-1 să fie definite și c ≠ 0
Exemplu:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Pentru a memora formula:
Luați exponentul variabilei „în jos” ca multiplicator și apoi micșorați exponentul însuși cu unul. De exemplu, pentru x 2 - doi a fost înainte de x, iar apoi puterea redusă (2-1 = 1) ne-a dat doar 2x. Același lucru s-a întâmplat și pentru x 3 - coborâm triplul, îl reducem cu unul și în loc de cub avem un pătrat, adică 3x 2 . Puțin „neștiințific”, dar foarte ușor de reținut.

6.Derivată de fracție 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Exemplu:
Deoarece o fracție poate fi reprezentată ca ridicând la o putere negativă
(1/x)" = (x -1)" , atunci puteți aplica formula din regula 5 din tabelul derivatelor
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. Derivată de fracție cu o variabilă de grad arbitrarîn numitor
(1/x c)" = - c/x c+1
Exemplu:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. derivat de rădăcină(derivată a variabilei sub rădăcină pătrată)
(√x)" = 1 / (2√x) sau 1/2 x -1/2
Exemplu:
(√x)" = (x 1/2)" astfel încât să puteți aplica formula de la regula 5
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)

9. Derivată a unei variabile sub o rădăcină a unui grad arbitrar
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)

Procesul de găsire a derivatei unei funcții se numește diferenţiere. Derivata trebuie găsită într-o serie de probleme în cursul analizei matematice. De exemplu, atunci când găsiți puncte extreme și puncte de inflexiune ale unui grafic al funcției.

Cum să găsești?

Pentru a găsi derivata unei funcții, trebuie să cunoașteți tabelul de derivate ale funcțiilor elementare și să aplicați regulile de bază de diferențiere:

1. Scotând constanta din semnul derivatei: $$ (Cu)" = C(u)" $$
2. Derivată a sumei/diferenței de funcții: $$ (u \pm v)" = (u)" \pm (v)" $$
3. Derivată a produsului a două funcții: $$ (u \cdot v)" = u"v + uv" $$
4. Derivată de fracție : $$ \bigg (\frac(u)(v) \bigg)" = \frac(u"v - uv")(v^2) $$
5. Derivată funcție compusă : $$ (f(g(x)))" = f"(g(x)) \cdot g"(x) $$

Exemple de soluții

Exemplul 1

Aflați derivata funcției $ y = x^3 - 2x^2 + 7x - 1 $

Decizie

Derivata sumei/diferenței de funcții este egală cu suma/diferenței derivatelor: $$ y" = (x^3 - 2x^2 + 7x - 1)" = (x^3)" - (2x^2)" + (7x)" - (1)" = $$ Folosind regula derivativă a funcției de putere $ (x^p)" = px^(p-1) $ avem: $$ y" = 3x^(3-1) - 2 \cdot 2 x^(2-1) + 7 - 0 = 3x^2 - 4x + 7 $$ S-a mai ținut cont de faptul că derivata constantei este egală cu zero. Dacă nu vă puteți rezolva problema, trimiteți-ne-o. Vă vom oferi o soluție detaliată. Veți putea să vă familiarizați cu progresul calculului și să adunați informații. Acest lucru vă va ajuta să obțineți un credit de la profesor în timp util!

Răspuns

$$ y" = 3x^2 - 4x + 7 $$

Calculul derivatului se găsește adesea în atribuțiile USE. Această pagină conține o listă de formule pentru găsirea derivatelor.

Reguli de diferențiere

1. (k⋅f(x))′=k⋅f′(x).
2. (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
3. (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
4. Derivată a unei funcții complexe. Dacă y=F(u) și u=u(x), atunci funcția y=f(x)=F(u(x)) se numește o funcție complexă a lui x. Este egal cu y′(x)=Fu′⋅ ux′.
5. Derivată a unei funcții implicite. Funcția y=f(x) se numește funcție implicită dată de relația F(x,y)=0 dacă F(x,f(x))≡0.
6. Derivată a funcției inverse. Dacă g(f(x))=x, atunci funcția g(x) se numește funcție inversă pentru funcția y=f(x).
7. Derivată a unei funcții date parametric. Fie x și y date ca funcții ale variabilei t: x=x(t), y=y(t). Se spune că y=y(x) este o funcție definită parametric pe intervalul x∈ (a;b) dacă pe acest interval ecuația x=x(t) poate fi exprimată ca t=t(x) și funcția y=y(t(x))=y(x).
8. Derivată a funcției exponențiale. Se găsește ducând logaritmul la baza logaritmului natural.

Vă sfătuim să salvați linkul, deoarece acest tabel poate fi necesar de mai multe ori.

Demonstrarea și derivarea formulelor pentru derivata exponențialului (e la puterea lui x) și a funcției exponențiale (a la puterea lui x). Exemple de calculare a derivatelor lui e^2x, e^3x și e^nx. Formule pentru derivate de ordin superior.

Conţinut

Vezi si: Funcție exponențială - proprietăți, formule, grafic
Exponent, e la puterea lui x - proprietăți, formule, grafic

Formule de bază

Derivata exponentului este egală cu exponentul însuși (derivata lui e la puterea lui x este egală cu e la puterea lui x):
(1) (e x )′ = e x.

Derivata unei funcții exponențiale cu o bază de gradul a este egală cu funcția însăși, înmulțită cu logaritmul natural al lui a:
(2) .

Exponentul este o funcție exponențială a cărei bază de exponent este egală cu numărul e, care este următoarea limită:
.
Aici poate fi fie un număr natural, fie un număr real. În continuare, derivăm formula (1) pentru derivata exponentului.

Derivarea formulei pentru derivata exponentului

Luați în considerare exponentul, e la puterea lui x:
y = e x .
Această funcție este definită pentru toți. Să găsim derivata ei în raport cu x . Prin definiție, derivata este următoarea limită:
(3) .

Să transformăm această expresie pentru a o reduce la proprietăți și reguli matematice cunoscute. Pentru aceasta avem nevoie de următoarele fapte:
DAR) Proprietatea exponentului:
(4) ;
B) Proprietatea logaritmului:
(5) ;
LA) Continuitatea logaritmului și proprietatea limitelor pentru o funcție continuă:
(6) .
Iată o funcție care are o limită și această limită este pozitivă.
G) Semnificația celei de-a doua limite minunate:
(7) .

Aplicam aceste fapte la limita noastra (3). Folosim proprietatea (4):
;
.

Să facem o înlocuire. Apoi ; .
Datorită continuității exponentului,
.
Prin urmare, la , . Ca rezultat, obținem:
.

Să facem o înlocuire. Apoi . La , . Și avem:
.

Aplicam proprietatea logaritmului (5):
. Apoi
.

Să aplicăm proprietatea (6). Deoarece există o limită pozitivă și logaritmul este continuu, atunci:
.
Aici am folosit și a doua limită remarcabilă (7). Apoi
.

Astfel, am obținut formula (1) pentru derivata exponentului.

Derivarea formulei pentru derivata funcției exponențiale

Acum derivăm formula (2) pentru derivata funcției exponențiale cu o bază de gradul a. Noi credem că și . Apoi funcția exponențială
(8)
Definit pentru toată lumea.

Să transformăm formula (8). Pentru a face acest lucru, folosim proprietățile funcției exponențiale și logaritmul.
;
.
Deci, am transformat formula (8) în următoarea formă:
.

Derivate de ordin superior ale lui e la puterea lui x

Acum să găsim derivate de ordin superior. Să ne uităm mai întâi la exponent:
(14) .
(1) .

Vedem că derivata funcției (14) este egală cu funcția (14) însăși. Diferențiând (1), obținem derivate de ordinul doi și trei:
;
.

Aceasta arată că derivata de ordinul n-lea este, de asemenea, egală cu funcția originală:
.

Derivate de ordin superior ale funcției exponențiale

Acum considerăm o funcție exponențială cu o bază de grad a:
.
Am găsit derivata sa de ordinul întâi:
(15) .

Diferențiând (15), obținem derivate de ordinul doi și trei:
;
.

Vedem că fiecare diferențiere duce la înmulțirea funcției originale cu . Prin urmare, derivata a n-a are următoarea formă:
.

Vezi si: