„Sfera politicii” – Relația actorilor sociali despre puterea de stat. Științific și teoretic. Procesul de interacțiune dintre politică și economie. Împreună cu statul. Reglarea relaţiilor sociale este determinată de interesele sociale. Procesul de interacțiune dintre politică și morală. Puterea statului, persuasiune, stimulare.

„Geometria prismei” - este dată o prismă dreptunghiulară ABCDA1B1C1D1. Euclid a considerat probabil problema ghidurilor practice de geometrie. Prismă dreaptă - o prismă în care marginea laterală este perpendiculară pe bază. Prismă în geometrie. După proprietatea 2 a volumelor, V=V1+V2, adică V=SABD h+SBDC h=(SABD+SBDC) h. Deci triunghiurile A1B1C1 și ABC sunt egale în trei laturi.

„Volumul unei prisme” - Cum să găsiți volumul unei prisme drepte? Volumul prismei originale este egal cu produsul S · h. Pași de bază în demonstrarea teoremei prismei directe? Aria S a bazei prismei originale. Desenați altitudinea triunghiului ABC. Sarcină. prismă directă. Obiectivele lecției. Conceptul de prismă. Volumul unei prisme drepte. Rezolvarea problemei. Prisma poate fi împărțită în prisme triunghiulare drepte cu înălțimea h.

„Suprafața sferei” - Marte. Mingea este o minge? Minge și sferă. Pământ. Enciclopedie. Susținem echipa noastră de baseball din liceu. Venus. Uranus. Este o minge din poza? Un pic de istorie. Atmosfera. M-am hotarat sa fac o mica cercetare……. Saturn. Ești gata să răspunzi la întrebări?

Poliedre circumscrise unei sfere Se spune că un poliedru este circumscris unei sfere dacă planurile tuturor fețelor sale ating sfera. Se spune că sfera în sine este înscrisă într-un poliedru. Teorema. O sferă poate fi înscrisă într-o prismă dacă și numai dacă la baza ei poate fi înscris un cerc, iar înălțimea prismei este egală cu diametrul acestui cerc. Teorema. Orice piramidă triunghiulară poate fi înscrisă cu o sferă și, în plus, doar una.

Exercițiul 1 Șterge pătratul și desenează două paralelograme reprezentând fețele de sus și de jos ale cubului. Conectați vârfurile lor cu segmente. Obțineți o imagine a unei sfere înscrise într-un cub. Desenați o sferă înscrisă într-un cub, ca în diapozitivul anterior. Pentru a face acest lucru, desenați o elipsă înscrisă într-un paralelogram obținut prin comprimarea unui cerc și a unui pătrat de 4 ori. Marcați polii sferei și punctele tangente ale elipsei și paralelogramului.

Exercițiul 1 Într-o prismă dreptunghiulară este înscrisă o sferă, la baza căreia se află un romb cu latura 1 și unghiul ascuțit de 60 o. Aflați raza sferei și înălțimea prismei. Decizie. Raza sferei este jumătate din înălțimea DG a bazei, adică. Înălțimea prismei este egală cu diametrul sferei, adică.

Exercițiul 4 Sfera este înscrisă într-o prismă dreptunghiulară, la baza căreia se află un patrulater, perimetrul 4 și aria 2. Aflați raza r a sferei înscrise. Decizie. Rețineți că raza sferei este egală cu raza cercului înscris la baza prismei. Să folosim faptul că raza unui cerc înscris într-un poligon este egală cu aria acestui poligon împărțită la jumătatea perimetrului său. Primim

Exercițiul 3 Aflați raza unei sfere înscrise într-o piramidă triunghiulară regulată, a cărei latură de bază este 2, iar unghiurile diedrice de la bază sunt de 60 o. Decizie. Să folosim faptul că centrul sferei înscrise este punctul de intersecție al planurilor bisectoriale ale unghiurilor diedrice de la baza piramidei. Raza sferei OE satisface egalitatea Prin urmare,

Exercițiul 4 Aflați raza unei sfere înscrise într-o piramidă triunghiulară regulată, ale cărei margini laterale sunt egale cu 1, iar unghiurile plate din vârf sunt de 90 o. Răspuns: Decizie. În tetraedrul SABC avem: SD = DE = SE = Din asemănarea triunghiurilor SOF și SDE obținem o ecuație, rezolvând care, găsim

Exercițiul 1 Aflați raza unei sfere înscrise într-o piramidă patruunghiulară obișnuită, ale cărei margini sunt egale cu 1. Să folosim faptul că pentru raza r a unui cerc înscris într-un triunghi are loc formula: r = S / p, unde S este aria, p este semiperimetrul triunghiului. În cazul nostru S = p = Soluție. Raza sferei este egală cu raza cercului înscris în triunghiul SEF, în care SE = SF = EF=1, SG = Prin urmare,

Exercițiul 2 Aflați raza unei sfere înscrise într-o piramidă patruunghiulară obișnuită, a cărei latură de bază este egală cu 1, iar muchia laterală este 2. Să folosim faptul că pentru raza r a unui cerc înscris într-un triunghi, are loc formula: r = S / p, unde S - aria, p este semiperimetrul triunghiului. În cazul nostru S = p = Soluție. Raza sferei este egală cu raza cercului înscris în triunghiul SEF, în care SE = SF = EF=1, SG = Prin urmare,

Exercițiul 3 Aflați raza unei sfere înscrise într-o piramidă patruunghiulară regulată, a cărei latură de bază este 2, iar unghiurile diedrice de la bază sunt de 60 o. Decizie. Să folosim faptul că centrul sferei înscrise este punctul de intersecție al planurilor bisectoriale ale unghiurilor diedrice de la baza piramidei. Raza sferei OG satisface egalitatea Prin urmare,

Exercițiul 4 Sfera unității este înscrisă într-o piramidă patruunghiulară obișnuită, a cărei latură de bază este 4. Aflați înălțimea piramidei. Să profităm de faptul că pentru raza r a unui cerc înscris într-un triunghi are loc formula: r = S/p, unde S este aria, p este semiperimetrul triunghiului. În cazul nostru S = 2h, p = Soluție. Să notăm înălțimea SG a piramidei ca h. Raza sferei este egală cu raza cercului înscris în triunghiul SEF, în care SE = SF = EF=4. Prin urmare, avem o egalitate din care găsim

Exercițiul 1 Aflați raza unei sfere înscrise într-o piramidă hexagonală regulată, în care marginile bazei sunt 1 și marginile laterale sunt 2. Să folosim faptul că pentru raza r a unui cerc înscris într-un triunghi are loc formula : r \u003d S / p, unde S este aria, p este jumătatea perimetrului triunghiului. În cazul nostru, S = p = Prin urmare, Soluție. Raza sferei este egală cu raza cercului înscris în triunghiul SPQ, în care SP = SQ = PQ= SH =

Exercițiul 2 Aflați raza unei sfere înscrise într-o piramidă hexagonală regulată cu marginile bazei egale cu 1 și unghiuri diedrice la bază egale cu 60 o. Decizie. Să folosim faptul că centrul sferei înscrise este punctul de intersecție al planurilor bisectoriale ale unghiurilor diedrice de la baza piramidei. Raza sferei OH satisface egalitatea Prin urmare,
Exercițiu Aflați raza unei sfere înscrise într-un octaedru unitar. Răspuns: Decizie. Raza sferei este egală cu raza cercului înscris în romb SESF, în care SE = SF = EF=1, SO = Atunci înălțimea rombului, coborât de la vârful E, va fi egală cu Raza dorită. raza este egală cu jumătate din înălțime și este egală cu O

Exercițiu Aflați raza unei sfere înscrise într-un icosaedru unitar. Decizie. Folosim faptul că raza OA a sferei circumscrise este egală cu și raza AQ a unui cerc circumscris unui triunghi echilateral cu latura 1 este egală cu teorema lui Pitagora aplicată unui triunghi dreptunghic OAQ, obținem Exercițiu Aflați raza lui o sferă înscrisă într-un dodecaedru unitar. Decizie. Folosim faptul că raza OF a sferei circumscrise este egală cu și raza FQ a unui cerc circumscris unui pentagon echilateral cu latura 1 este egală cu teorema lui Pitagora, aplicată unui triunghi dreptunghic OFQ, obținem

Exercițiul 1 Poate fi înscrisă o sferă într-un tetraedru trunchiat? Decizie. Rețineți că centrul O al unei sfere înscrise într-un tetraedru trunchiat trebuie să coincidă cu centrul unei sfere înscrise într-un tetraedru, care coincide cu centrul unei sfere semiînscrise într-un tetraedru trunchiat. Distantele d 1, d 2 de la punctul O la fetele hexagonale si triunghiulare se calculeaza folosind teorema lui Pitagora: unde R este raza sferei semiinscrise, r 1, r 2 sunt razele cercurilor inscrise in hexagon. și respectiv triunghi. Deoarece r 1 > r 2, atunci d 1 r 2, apoi d 1

Tema „Diferite probleme despre poliedre, un cilindru, un con și o minge” este una dintre cele mai dificile din cursul de geometrie de clasa a XI-a. Înainte de a rezolva probleme geometrice, ei studiază de obicei secțiunile relevante ale teoriei la care se face referire atunci când rezolvă probleme. În manualul lui S. Atanasyan și colab. pe această temă (p. 138) se găsesc doar definițiile unui poliedru circumscris unei sfere, un poliedru înscris într-o sferă, o sferă înscrisă într-un poliedru și o sferă circumscrisă. lângă un poliedru. Recomandările metodologice pentru acest manual (vezi cartea „Studiul geometriei în clasele 10–11” de S.M. Saakyan și V.F. Butuzov, p. 159) spun ce combinații de corpuri sunt luate în considerare la rezolvarea problemelor nr. 629–646 și se atrage atenția. la faptul că „la rezolvarea unei anumite probleme, în primul rând, este necesar să se asigure că elevii au o idee bună despre poziția relativă a corpurilor indicate în condiție”. Urmează rezolvarea problemelor nr. 638 (a) și nr. 640.

Având în vedere toate cele de mai sus, precum și faptul că sarcinile cele mai dificile pentru elevi sunt sarcinile de a combina o minge cu alte corpuri, este necesar să se sistematizeze pozițiile teoretice relevante și să le comunice studenților.

Definiții.

1. O bilă se numește înscrisă într-un poliedru, iar un poliedru se spune că este circumscris în apropierea bilei, dacă suprafața bilei atinge toate fețele poliedrului.

2. O bilă se numește circumscrisă lângă un poliedru, iar un poliedru se numește înscris într-o bilă dacă suprafața bilei trece prin toate vârfurile poliedrului.

3. O minge se numește înscrisă într-un cilindru, un trunchi de con (con), iar un cilindru, un trunchi de con (con) se numește circumscris în apropierea mingii, dacă suprafața mingii atinge bazele (baza) și toate generatoarele a cilindrului, trunchi de con (con).

(Din această definiție rezultă că circumferința cercului mare al mingii poate fi înscrisă în orice secțiune axială a acestor corpuri).

4. O minge se numește circumscrisă lângă un cilindru, trunchi de con (con) dacă cercurile bazelor (cercul bazei și vârful) aparțin suprafeței bilei.

(Din aceasta definitie rezulta ca despre orice sectiune axiala a acestor corpuri se poate descrie circumferinta cercului mai mare al mingii).

Observații generale despre poziția centrului mingii.

1. Centrul unei bile înscrise într-un poliedru se află în punctul de intersecție al planurilor bisectoare ale tuturor unghiurilor diedrice ale poliedrului. Este situat doar în interiorul poliedrului.

2. Centrul unei sfere circumscrise în jurul unui poliedru se află în punctul de intersecție al planurilor perpendiculare pe toate muchiile poliedrului și care trec prin punctele mijlocii ale acestora. Poate fi amplasat în interiorul, la suprafața și în exteriorul poliedrului.

O combinație între o sferă și o prismă.

1. O sferă înscrisă într-o prismă dreaptă.

Teorema 1. O bilă poate fi înscrisă într-o prismă dreaptă dacă și numai dacă la baza prismei poate fi înscris un cerc și înălțimea prismei este egală cu diametrul acestui cerc.

Consecința 1. Centrul unei sfere înscrise într-o prismă dreaptă se află la mijlocul înălțimii prismei trecând prin centrul unui cerc înscris în bază.

Consecința 2. Bila, în special, poate fi înscrisă în linii drepte: triunghiulară, regulată, patruunghiulară (în care sumele laturilor opuse ale bazei sunt egale între ele) cu condiția H = 2r, unde H este înălțimea prismei , r este raza cercului înscris în bază.

2. O sferă descrisă lângă o prismă.

Teorema 2. O sferă poate fi circumscrisă lângă o prismă dacă și numai dacă prisma este dreaptă și un cerc poate fi circumscris lângă baza sa.

Corolarul 1. Centrul unei sfere circumscrise în apropierea unei prisme drepte se află la mijlocul înălțimii prismei trase prin centrul unui cerc circumscris lângă bază.

Consecința 2. O bilă, în special, poate fi descrisă: lângă o prismă triunghiulară dreptunghiulară, lângă o prismă regulată, lângă un paralelipiped dreptunghiular, lângă o prismă patruunghiulară dreptă, în care suma unghiurilor opuse ale bazei este de 180 de grade.

Din manualul lui L.S.Atanasyan pot fi propuse problemele nr. 632, 633, 634, 637 (a), 639 (a, b) pentru combinarea unei bile cu o prismă.

Combinația unei sfere cu o piramidă.

1. Mingea descrisă lângă piramidă.

Teorema 3. O sferă poate fi circumscrisă în apropierea unei piramide dacă și numai dacă un cerc poate fi circumscris lângă baza acesteia.

Consecința 1. Centrul unei sfere circumscrise în jurul unei piramide se află în punctul de intersecție al unei linii perpendiculare pe baza piramidei, care trece prin centrul unui cerc circumscris în apropierea acestei baze și un plan perpendicular pe orice margine laterală trasă prin mijloc. a acestei margini.

Consecința 2. Dacă marginile laterale ale piramidei sunt egale între ele (sau înclinate în mod egal față de planul bazei), atunci o bilă poate fi descrisă lângă o astfel de piramidă. Centrul acestei bile în acest caz se află în punctul de intersecție al înălțimea piramidei (sau continuarea acesteia) cu axa de simetrie a marginii laterale situată în plan marginea laterală și înălțimea.

Consecința 3. O minge, în special, poate fi descrisă: lângă o piramidă triunghiulară, lângă o piramidă obișnuită, lângă o piramidă patruunghiulară, în care suma unghiurilor opuse este de 180 de grade.

2. O minge înscrisă într-o piramidă.

Teorema 4. Dacă fețele laterale ale piramidei sunt înclinate în mod egal față de bază, atunci o sferă poate fi înscrisă într-o astfel de piramidă.

Consecința 1. Centrul unei bile înscrise într-o piramidă, ale cărei fețe laterale sunt înclinate în mod egal față de bază, se află în punctul de intersecție al înălțimii piramidei cu bisectoarea unghiului liniar al oricărui unghi diedric de la baza piramidei, a cărui latură este înălțimea feței laterale desenată din vârful piramidei.

Consecința 2. O minge poate fi înscrisă într-o piramidă obișnuită.

Din manualul lui L.S.Atanasyan, problemele nr. 635, 637 (b), 638, 639 (c), 640, 641 pot fi propuse pentru combinarea unei mingi cu o piramidă.

Combinația unei sfere cu o piramidă trunchiată.

1. O bilă circumscrisă lângă o piramidă trunchiată obișnuită.

Teorema 5. În apropierea oricărei piramide trunchiate obișnuite, poate fi descrisă o sferă. (Această condiție este suficientă, dar nu necesară)

2. O minge înscrisă într-o piramidă trunchiată obișnuită.

Teorema 6. O bilă poate fi înscrisă într-o piramidă trunchiată obișnuită dacă și numai dacă apotema piramidei este egală cu suma apotemelor bazelor.

Există o singură problemă pentru combinarea unei mingi cu o piramidă trunchiată în manualul lui L.S. Atanasyan (nr. 636).

O combinație de minge cu corpuri rotunde.

Teorema 7. În apropierea unui cilindru, pot fi descrise un trunchi de con (circular dreapta), un con, o sferă.

Teorema 8. O sferă poate fi înscrisă într-un cilindru (circular dreapta) dacă și numai dacă cilindrul este echilateral.

Teorema 9. O sferă poate fi înscrisă în orice con (circulare dreapta).

Teorema 10. O bilă poate fi înscrisă într-un trunchi de con (circular dreapta) dacă și numai dacă generatoarea ei este egală cu suma razelor bazelor.

Din manualul lui L.S.Atanasyan pot fi propuse problemele nr. 642, 643, 644, 645, 646 pentru combinarea unei mingi cu corpuri rotunde.

Pentru un studiu mai de succes al materialului acestui subiect, este necesar să includeți sarcini orale în cursul lecțiilor:

1. Muchia cubului este egală cu a. Aflați razele bilelor: înscrise într-un cub și circumscrise în apropierea acestuia. (r = a/2, R = a3).

2. Se poate descrie o sferă (minge) în jurul: a) unui cub; b) un paralelipiped dreptunghiular; c) un paralelipiped înclinat, la baza căruia se află un dreptunghi; d) un paralelipiped drept; e) un paralelipiped înclinat? (a) da; b) da; c) nu; d) nu; e) nu)

3. Este adevărat că o sferă poate fi descrisă lângă orice piramidă triunghiulară? (Da)

4. Este posibil să descriem o sferă în jurul oricărei piramide patrulatere? (Nu, nu aproape de nicio piramidă patruunghiulară)

5. Ce proprietăți trebuie să aibă o piramidă pentru a descrie o sferă din jurul ei? (La baza sa trebuie să existe un poligon, în jurul căruia poate fi descris un cerc)

6. În sferă este înscrisă o piramidă a cărei margine laterală este perpendiculară pe bază. Cum să găsești centrul unei sfere? (Centrul sferei este punctul de intersecție a două locuri geometrice ale punctelor din spațiu. Prima este o perpendiculară trasată pe planul bazei piramidei, prin centrul cercului descris în jurul acesteia. Al doilea este o plan perpendicular pe această margine laterală și tras prin mijloc)

7. În ce condiții poate fi descrisă o sferă lângă o prismă, la baza căreia se află un trapez? (În primul rând, prisma trebuie să fie dreaptă, iar în al doilea rând, trapezul trebuie să fie isoscel, astfel încât să poată fi descris un cerc în jurul său)

8. Ce condiții trebuie să îndeplinească o prismă pentru a descrie o sferă din jurul ei? (Prisma trebuie să fie dreaptă, iar baza sa trebuie să fie un poligon în jurul căruia poate fi circumscris un cerc)

9. O sferă este descrisă lângă o prismă triunghiulară, al cărei centru se află în afara prismei. Ce triunghi este baza prismei? (triunghi obtuz)

10. Este posibil să descriem o sferă lângă o prismă înclinată? (Nu)

11. În ce condiție va fi situat centrul unei sfere circumscrise în jurul unei prisme triunghiulare dreptunghiulare pe una dintre fețele laterale ale prismei? (Baza este un triunghi dreptunghic)

12. Baza piramidei este un trapez isoscel.Proiecția ortogonală a vârfului piramidei pe planul bazei este un punct situat în afara trapezului. Este posibil să descrii o sferă în jurul unui astfel de trapez? (Da, poți. Faptul că proiecția ortogonală a vârfului piramidei este situată în afara bazei acesteia, nu contează. Este important ca la baza piramidei să se afle un trapez isoscel - un poligon în jurul căruia poate fi un cerc. descris)

13. O sferă este descrisă lângă piramida obișnuită. Cum este situat centrul său în raport cu elementele piramidei? (Centrul sferei se află pe o perpendiculară trasată pe planul bazei prin centrul acesteia)

14. În ce condiţie se află centrul unei sfere circumscrise unei prisme triunghiulare dreptunghiulare: a) în interiorul prismei; b) în afara prismei? (La baza prismei: a) un triunghi ascuțit; b) triunghi obtuz)

15. O sferă este descrisă lângă un paralelipiped dreptunghiular ale cărui margini sunt de 1 dm, 2 dm și 2 dm. Calculați raza sferei. (1,5 dm)

16. În ce trunchi de con poate fi înscrisă o sferă? (Într-un trunchi de con, în a cărui secțiune axială poate fi înscris un cerc. Secțiunea axială a conului este un trapez isoscel, suma bazelor sale trebuie să fie egală cu suma laturilor sale laterale. Cu alte cuvinte, pt. un con, suma razelor bazelor trebuie să fie egală cu generatoarea)

17. O sferă este înscrisă într-un trunchi de con. În ce unghi este vizibilă generatria conului din centrul sferei? (90 de grade)

18. Ce proprietate trebuie să aibă o prismă dreaptă pentru a putea înscrie o sferă în ea? (În primul rând, la baza unei prisme drepte trebuie să existe un poligon în care să poată fi înscris un cerc și, în al doilea rând, înălțimea prismei trebuie să fie egală cu diametrul cercului înscris în bază)

19. Dați un exemplu de piramidă în care nu poate fi înscrisă o sferă? (De exemplu, o piramidă patruunghiulară, la baza căreia se află un dreptunghi sau un paralelogram)

20. Un romb se află la baza unei prisme drepte. Poate fi înscrisă o sferă în această prismă? (Nu, nu poți, deoarece în cazul general este imposibil să descrii un cerc lângă un romb)

21. În ce condiție poate fi înscrisă o sferă într-o prismă triunghiulară dreptunghiulară? (Dacă înălțimea prismei este de două ori mai mare decât raza cercului înscris în bază)

22. În ce condiție poate fi înscrisă o sferă într-o piramidă trunchiată patruunghiulară obișnuită? (Dacă secțiunea acestei piramide printr-un plan care trece prin mijlocul laturii bazei perpendicular pe aceasta este un trapez isoscel în care poate fi înscris un cerc)

23. O sferă este înscrisă într-o piramidă trunchiată triunghiulară. În ce punct al piramidei este centrul sferei? (Centrul sferei înscrise în această piramidă se află la intersecția a trei planuri bisectoriale de unghiuri formate de fețele laterale ale piramidei cu baza)

24. Este posibil să descrii o sferă în jurul unui cilindru (circular dreapta)? (Da, poti)

25. Este posibil să descriem o sferă lângă un con, un trunchi de con (cele circulare dreapta)? (Da, poți, în ambele cazuri)

26. Poate fi înscrisă o sferă în orice cilindru? Ce proprietăți trebuie să aibă un cilindru pentru ca o sferă să fie înscrisă în el? (Nu, nu în toată lumea: secțiunea axială a cilindrului trebuie să fie un pătrat)

27. Poate fi înscrisă o sferă în orice con? Cum se determină poziția centrului unei sfere înscrise într-un con? (Da, în oricare. Centrul sferei înscrise se află la intersecția înălțimii conului și bisectoarea unghiului de înclinare a generatricei față de planul bazei)

Autorul consideră că din cele trei lecții care sunt date pentru planificare pe tema „Diferite probleme pentru poliedre, un cilindru, un con și o minge”, este indicat să se ia două lecții pentru rezolvarea problemelor pentru combinarea unei mingi cu alte corpuri. . Nu se recomandă demonstrarea teoremelor date mai sus din cauza timpului insuficient în lecții. Puteți oferi studenților care au abilități suficiente pentru a le dovedi indicând (la latitudinea profesorului) cursul sau planul probei.