Cursul 6

matrici

6.1. Noțiuni de bază

Definiția 1.O matrice este un tabel dreptunghiular de numere.

Parantezele sau liniile verticale duble sunt folosite pentru a desemna o matrice:

Numerele care alcătuiesc o matrice se numesc ei elemente, element matrici situat în ea -a linia și -a coloană.

Numerele și (numărul de rânduri și coloane ale unei matrice) se numesc ordinele acesteia.

Ei spun si asta - dimensiunea matricei
.

În cazul în care un
, matrice numit pătrat.

Pentru notație scurtă, se folosește și notația
(sau
) și apoi se indică în ce măsură și , De exemplu,
,
,
. (Intrarea se citește astfel: matrice cu elemente ,modificări de la inainte de ,- de la inainte de .)

Dintre matricele pătrate, notăm matrici diagonale, pentru care toate elementele cu indici inegali (
) sunt egale cu zero:

.

Vom spune că elementele
situat pe diagonala principală.

Matrice de vedere diagonală

numit singur matrice.

În cele ce urmează, vor exista matrici de formă

și
,

care se numesc triunghiular matrici, precum și matrici formate dintr-o coloană:

si o linie:

(matrice-coloană și matrice-rând).

Se numește o matrice în care toate elementele sunt egale cu zero nul.

6.2. Determinanții de ordine n

Fie o matrice pătrată de ordine :

. (6.1)

Să creăm tot felul de lucruri elemente de matrice situate pe diferite rânduri și coloane diferite, i.e. produse de forma

. (6.2)

Numărul de produse de forma (6.2) este (acceptăm acest fapt fără dovezi).

Vom considera toate aceste produse drept membri ai determinantului comenzii corespunzător matricei (6.1).

Cei doi indici ai factorilor din (6.2) constituie o permutare a primilor numere naturale
.

Ei spun numerele și într-o permutare sunt inversiune, dacă
, iar în permutare situat înainte .

Exemplul 1Într-o permutare a șase numere,
, numere și ,și ,și ,și ,și constituie inversiuni.

Se numește permutarea chiar, dacă numărul de inversiuni din acesta este par și ciudat dacă numărul de inversiuni din acesta este impar.

Exemplul 2 permutare
- ciudat și permutare
- chiar ( inversiuni).

Definiția 2.Determinant al ordinii ,corespunzătoare matricei(6.1), se numește suma algebrică membrii,compusă după cum urmează:termenii determinantului sunt toți produse posibile elemente de matrice,luat câte unul din fiecare rând și fiecare coloană,unde termenul este luat cu semnul"+",dacă setul de al doilea indici este o permutare uniformă a numerelor
,si cu semn"–",dacă ciudat.

Determinantul matricei (6.1) se notează după cum urmează:

.

Cometariu. Definiția 2 pentru
și
conduce la deja familiari determinanți de ordinul 2 și 3:

,

transpunereîn jurul diagonalei principale a matricei se numeste trecerea la matrice
, pentru care rândurile matricei sunt coloane și coloanele sunt rânduri:

.

Vom spune că determinantul
obţinut prin transpunerea determinantului .

Proprietăți ale determinantului de ordin n:

1.
(determinantul nu se modifică la transpunerea în jurul diagonalei principale).

2. Dacă unul dintre rândurile determinantului este format din zerouri, determinantul este egal cu zero.

3. Din permutarea a două șiruri, determinantul schimbă doar semnul.

4. Determinantul care conține două șiruri identice este egal cu zero.

5. Dacă toate elementele unui rând al determinantului sunt înmulțite cu un număr , determinantul se înmulțește cu .

6. Determinantul care conține două rânduri proporționale este egal cu zero.

7. Dacă toate elementele -rândul al determinantului este prezentat ca o sumă
, atunci determinantul este egal cu suma a doi determinanți pentru care toate rândurile cu excepția -th, sunt aceleași ca în determinantul original și -rândul dintr-un singur determinant este format din , iar în celălalt - din .

Definiția 3.--lea rând al determinantului se numește o combinație liniară a rândurilor rămase,daca asa,că prin înmulţire -a linia pe ,și apoi adunând toate rândurile,în afară de al,primim -a linia.

8. Dacă unul dintre rândurile determinantului este o combinație liniară a restului rândurilor sale, determinantul este egal cu zero.

9. Determinantul nu se modifică dacă elementele uneia dintre liniile sale se adaugă elementelor corespunzătoare ale altuia, înmulțite cu același număr.

Cometariu. Am formulat proprietățile determinantului pentru șiruri. Datorita proprietatii 1 (
) sunt valabile și pentru coloane.

Toate proprietățile de mai sus au fost dovedite în clase practice pentru
; pentru arbitrar acceptă-le fără dovezi.

Dacă în determinant Ordin selectați elementul și tăiați coloana și rândul la a căror intersecție se află , rândurile și coloanele rămase formează determinantul ordinii
, Care e numit minor determinant corespunzător elementului .

Exemplul 3În determinant

element minor
este determinantul
.

Definiția 4.Adunarea algebrică element determinant numit minorul lui,înmulțit cu
,Unde - numărul liniei, - numărul coloanei,în care se află elementul selectat .

Exemplul 4În determinant

adunare algebrică
.

Teorema 1 (despre extinderea șirurilor).Determinantul este egal cu suma produselor tuturor elementelor oricărui rând și a complementelor lor algebrice.

Teorema 1 ne permite să reducem calculul determinantului de ordine la calcul determinanții de ordine
.

Exemplul 5. Calculați determinantul de ordinul al patrulea:

.

Să folosim teorema 1 și să extindem determinantul pe a 4-a linie:

Cometariu. Se poate simplifica mai întâi determinantul folosind proprietatea 9, apoi se poate folosi Teorema 1. Apoi se calculează determinantul ordinului se reduce la calcul doar unul determinant de ordine
.

Exemplul 6 calculati

.

Să adăugăm prima coloană la a doua și prima coloană înmulțită cu (
), la a treia, ca rezultat obținem

.

Acum aplicăm teorema 1 și extindem pe ultima linie:

,

calculul determinantului de ordinul 4 a fost redus la calculul unui singur determinant de ordinul 3.

,

calculul determinantului de ordinul trei s-a redus la calculul unui singur determinant de ordinul doi.

Exemplul 7 Calculați determinantul de ordine :

.

Adăugăm prima linie la a doua, a treia și așa mai departe. -a linia. Vino la determinant

.

Se obține un determinant triunghiular.

Aplicabil
ori Teorema 1 (se extinde în prima coloană) și se obține

.

Cometariu. Determinantul triunghiular este egal cu produsul elementelor diagonalei principale.

6.3. Operații de bază pe matrice

Definiția 5.Două matrice
,
,
,și
,
,
,va fi numit egal dacă
.

Scurtă intrare:
.

Astfel, două matrici sunt considerate egale dacă au aceleași ordine și elementele lor corespunzătoare sunt egale.

Definiția 6.Suma a două matrice
,
,
,și
,
,
,se numește o astfel de matrice
,
,
,ce
.

Cu alte cuvinte, pot fi adăugate numai matrice de aceleași ordine, iar adăugarea se realizează element cu element.

Exemplul 8 Găsiți suma matricelor

și
.

În conformitate cu Definiția 6, găsim

.

Regula de adunare a matricei se aplică sumei oricărui număr finit de termeni.

Definiția 7.Produs Matrix
,
,
,la un număr real se numește o astfel de matrice
,
,
,pentru care
.

Cu alte cuvinte, pentru a înmulți o matrice cu un număr, trebuie să-i înmulțiți toate elementele cu acest număr și să lăsați produsele rezultate în locurile lor originale.

Exemplul 9 Găsiți o combinație liniară
matrici

și
.

Folosind Definiția 7, obținem

,
,

.

Proprietățile operațiilor de adunare a matricei

și înmulțirea cu un număr:

1. Adunarea este comutativă:
.

2. Adunarea este asociativă:.

3. Există o matrice zero
, îndeplinind condiția
pentru toți DAR.

4. Pentru orice matrice DAR există o matrice opusă LA, îndeplinind condiția
.

Pentru orice matrice DARși LAși orice numere reale
au loc egalități:

5.
.

6.
.

7.
.

8.
.

Verificați proprietatea 1. Indicați
,
. Lasa
,

,
. Noi avem

și întrucât egalitatea este dovedită pentru un element arbitrar, în conformitate cu Definiția 5
. Proprietatea 1 este dovedită.

Proprietatea 2 este demonstrată în mod similar.

Ca matrice luați matricea de ordine
, ale căror elemente sunt egale cu zero.

Fiind pliat cu orice matrice după regula dată în Definiția 6, avem matricea nu se schimbă, iar proprietatea 3 este adevărată.

Să verificăm proprietatea 4. Let
. Sa punem
. Apoi
, prin urmare proprietatea 4 este adevărată.

Omitem verificarea proprietăților 5 - 8.

Definiția 8.Produs Matrix
,
,
,la matrice
,
,
,numită matrice
,
,
,cu elemente
.

Scurtă intrare:
.

Exemplul 10 Găsiți produsul matricelor

și
.

În conformitate cu Definiția 8, găsim

Exemplul 11.Înmulțiți matrice

și
.

Observație 1. Numărul de elemente dintr-un rând de matrice este egal cu numărul de elemente din coloana matricei (numărul de coloane ale matricei este egal cu numărul de rânduri ale matricei ).

Observația 2. În matrice
tot atâtea rânduri cât în ​​matrice , și există tot atâtea coloane ca în .

Observația 3. In general vorbind,
(înmulțirea cu matrice este necomutativă).

Pentru a justifica observația 3, este suficient să dăm cel puțin un exemplu.

Exemplul 12.Înmulțiți în ordinea inversă a matricelor și din exemplul 10.

deci in general
.

Rețineți că într-un anumit caz egalitatea
eventual.

matrici și , pentru care egalitatea
, sunt numite permutare, sau naveta.

Exerciții.

1. Găsiți toate matricele care fac naveta cu cea dată:

A)
; b)
.

2. Găsiți toate matricele de ordinul doi, ale căror pătrate sunt egale cu matricea zero.

3. Demonstrează că
.

Proprietăți de multiplicare a matricei:

Înmulțirea este distributivă.

Al doilea ordin este un număr egal cu diferența dintre produsul numerelor care formează diagonala principală și produsul numerelor de pe diagonala secundară, puteți găsi următoarele denumiri ale determinantului: ; ; ; detA(determinant).

.

Exemplu:
.

Determinantul unei matrice de ordinul al treilea se numeste un numar sau o expresie matematica, calculata dupa regula urmatoare

Cea mai simplă modalitate de a calcula determinantul de ordinul trei este să adăugați determinantul primelor două rânduri de jos.

În tabelul format al numerelor se înmulțesc elementele care stau pe diagonala principală și pe diagonalele paralele cu cea principală, semnul rezultatului produsului nu se modifică. Următoarea etapă a calculelor este o înmulțire similară a elementelor pe diagonala secundară și pe cele paralele cu aceasta. Semnele rezultatelor produsului sunt inversate. Apoi adăugați cei șase termeni rezultați.

Exemplu:

Descompunerea determinantului de elementele unui rând (coloană).

Minor M ij element şi ij matrice pătrată DAR numit determinant, compus din elementele matricei DAR, rămânând după ștergere eu- oh linie și j-a coloană.

De exemplu, un minor la un element un 21 matrici de ordinul trei
va fi un determinant
.

Vom spune că elementul şi ij ocupă o poziţie egală dacă i+j(suma numerelor rândurilor și coloanelor la intersecția cărora se află acest element) - un număr par, un loc impar, dacă i+j- numar impar.

Adunarea algebrică Și ij element şi ij matrice pătrată DAR numită expresie (sau valoarea minorului corespunzător, luată cu semnul „+” dacă elementul matricei ocupă un loc par și cu semnul „-” dacă elementul ocupă un loc impar).

Exemplu:

un 23= 4;

- complement algebric al unui element un 22= 1.

teorema lui Laplace. Determinantul este egal cu suma produselor elementelor unui rând (coloană) și adunărilor algebrice corespunzătoare.

Să ilustrăm cu exemplul unui determinant de ordinul trei. Puteți calcula determinantul de ordinul al treilea extinzând pe primul rând după cum urmează

În mod similar, puteți calcula determinantul de ordinul trei prin extinderea pe orice rând sau coloană. Este convenabil să extindeți determinantul de-a lungul rândului (sau coloanei) care conține mai multe zerouri.

Exemplu:

Astfel, calculul determinantului de ordinul 3 se reduce la calculul a 3 determinanți de ordinul doi. În cazul general, se poate calcula determinantul unei matrice pătrate n-a ordinul, reducându-l la calcul n determinanti ( n-1)-a ordine

Cometariu. Nu există modalități simple de calculare a determinanților de ordin superior, similare cu metodele de calculare a determinanților de ordinul 2 și 3. Prin urmare, numai metoda de descompunere poate fi utilizată pentru a calcula determinanții de peste ordinul trei.

Exemplu. Calculați determinantul de ordinul al patrulea.

Extindeți determinantul cu elementele celui de-al treilea rând

Proprietățile determinanților:

1. Determinantul nu se va schimba dacă rândurile sale sunt înlocuite cu coloane și invers.

2. La permutarea a două rânduri (coloane) adiacente, determinantul își schimbă semnul în opus.

3. Determinantul cu două rânduri (coloane) identice este 0.

4. Factorul comun al tuturor elementelor unui rând (coloană) al determinantului poate fi scos din semnul determinantului.

5. Determinantul nu se va schimba dacă elementele corespunzătoare oricărei alte coloane (rânduri) înmulțite cu un număr sunt adăugate elementelor uneia dintre coloanele (rândurile) ale acesteia.

Determinanți ai ordinului al patrulea și superior se poate calcula după scheme simplificate, care constau în extinderea prin elemente de rânduri sau coloane sau reducerea la o formă triunghiulară. Ambele metode vor fi discutate pentru claritate. Matrice de ordinul 4.

Metoda de descompunere pe rând sau coloane

Vom lua în considerare primul exemplu cu explicații detaliate ale tuturor acțiunilor intermediare.

Exemplul 1 Calculați determinantul prin metoda expansiunii.

Decizie. Pentru a simplifica calculele, extindem determinantul de ordinul al patrulea în ceea ce privește elementele primului rând (conține un element zero). Ele se formează prin înmulțirea elementelor prin adunările corespunzătoare (ștergerile rândurilor și coloanelor se formează la intersecția elementului pentru care sunt calculate - evidențiate cu roșu)

Ca urmare, calculele se vor reduce la găsirea a trei determinanți de ordinul trei, pe care îi găsim prin regula triunghiurilor

Valorile găsite sunt înlocuite în determinantul de ieșire

Rezultatul este ușor de verificat cu un calculator matrice YukhymCALC. Pentru a face acest lucru, selectați elementul Matrix-Matrix Determinant din calculator, setați dimensiunea matricei la 4 * 4.

Rezultatele sunt aceleași, deci calculele sunt corecte.

Exemplul 2 Calculați determinantul unei matrici de ordinul al patrulea.

Ca și în sarcina anterioară, vom efectua calcule prin metoda de descompunere. Pentru a face acest lucru, selectați elementele primei coloane. Simplificat, determinantul poate fi dat prin suma a patru determinanți de ordinul trei sub formă

Calculele nu sunt prea complicate, principalul lucru este să nu se confunde cu semnele și triunghiurile. Înlocuim valorile găsite în determinantul principal și rezumăm

Este egal cu suma produselor elementelor unui rând sau coloană și a complementelor lor algebrice, i.e. , unde i 0 este fix.
Expresia (*) se numește descompunerea determinantului D în funcție de elementele rândului cu numărul i 0 .

Atribuirea serviciului. Acest serviciu este conceput pentru a găsi online determinantul matricei cu execuția întregii soluții în format Word. În plus, un șablon de soluție este creat în Excel.

Instruire. Selectați dimensiunea matricei, faceți clic pe Următorul.

Dimensiunea matricei 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Există două moduri de a calcula determinantul: a-prioriuși descompunere pe rând sau coloană. Dacă doriți să găsiți determinantul creând zerouri într-unul dintre rânduri sau coloane, atunci puteți utiliza acest calculator.

Algoritm pentru găsirea determinantului

1. Pentru matrice de ordin n=2, determinantul se calculează prin formula: Δ=a 11 *a 22 -a 12 *a 21
2. Pentru matrice de ordinul n=3, determinantul se calculează prin adunări algebrice sau metoda Sarrus.
3. O matrice cu dimensiunea mai mare de trei este descompusă în adunări algebrice, pentru care se calculează determinanții lor (minori). De exemplu, determinant matricei de ordinul 4 se găsește prin extindere în rânduri sau coloane (vezi exemplu).

Pentru a calcula determinantul care conține funcțiile din matrice, se folosesc metode standard. De exemplu, calculați determinantul unei matrice de ordinul 3:

Să folosim prima linie de extindere.
Δ = sin(x)× + 1× = 2sin(x)cos(x)-2cos(x) = sin(2x)-2cos(x)

Metode de calcul al determinanților

Găsirea determinantului prin adunări algebrice este o metodă comună. Versiunea sa simplificată este calculul determinantului prin regula Sarrus. Cu toate acestea, cu o dimensiune mare a matricei, sunt utilizate următoarele metode:

1. calculul determinantului prin reducerea ordinului
2. calculul determinantului prin metoda gaussiană (prin reducerea matricei la o formă triunghiulară).

În Excel, pentru a calcula determinantul, se folosește funcția = MOPRED (gamă de celule).

Utilizarea aplicată a determinanților

Determinanții se calculează, de regulă, pentru un anumit sistem, dat sub forma unei matrice pătrate. Luați în considerare unele tipuri de sarcini găsirea determinantului matriceal. Uneori este necesar să se găsească un parametru necunoscut a pentru care determinantul ar fi egal cu zero. Pentru a face acest lucru, este necesar să se întocmească o ecuație pentru determinant (de exemplu, conform regula triunghiului) și, echivalându-l cu 0 , se calculează parametrul a .
descompunere pe coloane (pe prima coloană):
Minor pentru (1,1): ștergeți primul rând și prima coloană din matrice.
Să găsim determinantul pentru acest minor. ∆ 1,1 \u003d (2 (-2) -2 1) \u003d -6.

Să determinăm minorul pentru (2,1): pentru a face acest lucru, ștergem al doilea rând și prima coloană din matrice.

Să găsim determinantul pentru acest minor. ∆ 2,1 = (0 (-2)-2 (-2)) = 4 . Minor pentru (3,1): ștergeți al 3-lea rând și prima coloană din matrice.
Să găsim determinantul pentru acest minor. ∆ 3,1 = (0 1-2 (-2)) = 4
Principalul determinant este: ∆ = (1 (-6)-3 4+1 4) = -14

Să găsim determinantul folosind expansiunea pe rânduri (de primul rând):
Minor pentru (1,1): ștergeți primul rând și prima coloană din matrice.

Să găsim determinantul pentru acest minor. ∆ 1,1 \u003d (2 (-2) -2 1) \u003d -6. Minor pentru (1,2): ștergeți primul rând și a doua coloană din matrice. Să calculăm determinantul pentru acest minor. ∆ 1,2 \u003d (3 (-2) -1 1) \u003d -7. Și pentru a găsi minorul pentru (1,3) ștergem primul rând și a treia coloană din matrice. Să găsim determinantul pentru acest minor. ∆ 1,3 = (3 2-1 2) = 4
Găsim determinantul principal: ∆ \u003d (1 (-6) -0 (-7) + (-2 4)) \u003d -14

Conceptul de determinant este unul dintre cele mai importante în cursul algebrei liniare. Acest concept este inerent NUMAI MATRICE PĂTRATE, iar acest articol este dedicat acestui concept. Aici vom vorbi despre determinanții matricilor ale căror elemente sunt numere reale (sau complexe). În acest caz, determinantul este un număr real (sau complex). Toate prezentările ulterioare vor fi un răspuns la întrebările despre cum se calculează determinantul și ce proprietăți are acesta.

În primul rând, dăm definiția determinantului unei matrice pătrate de ordinul n cu n ca sumă a produselor permutărilor elementelor matricei. Pe baza acestei definiții, scriem formule pentru calcularea determinanților matricelor de ordinul întâi, al doilea și al treilea și analizăm în detaliu soluțiile mai multor exemple.

În continuare, ne întoarcem la proprietățile determinantului, pe care le vom formula sub formă de teoreme fără demonstrație. Aici se va obține o metodă de calculare a determinantului prin extinderea acestuia peste elementele unui rând sau coloană. Această metodă reduce calculul determinantului unei matrici de ordin n cu n la calculul determinanților matricelor de ordin 3 cu 3 sau mai puțin. Asigurați-vă că arătați soluții pentru mai multe exemple.

În concluzie, să ne oprim asupra calculului determinantului prin metoda Gauss. Această metodă este bună pentru a găsi determinanți ai matricelor de ordin mai mare de 3 cu 3, deoarece necesită mai puțin efort de calcul. Vom analiza și soluția de exemple.

Navigare în pagină.

Definiția matricei determinant, calculul matricei determinant prin definiție.

Reamintim câteva concepte auxiliare.

Definiție.

Permutarea ordinului n se numeste multime ordonata de numere, formata din n elemente.

Pentru o mulțime care conține n elemente, există n! (n factorial) de permutări de ordinul n. Permutările diferă între ele numai în ordinea elementelor.

De exemplu, să considerăm o mulțime formată din trei numere: . Notăm toate permutările (sunt șase în total, deoarece ):

Definiție.

Inversarea într-o permutare a ordinului n este numită orice pereche de indici p și q, pentru care elementul p al permutației este mai mare decât q-lea.

În exemplul anterior, inversul permutației 4 , 9 , 7 este p=2 , q=3 , deoarece al doilea element al permutației este 9 și este mai mare decât al treilea element, care este 7 . Inversul permutației 9 , 7 , 4 va fi trei perechi: p=1 , q=2 (9>7 ); p=1, q=3 (9>4) şi p=2, q=3 (7>4).

Vom fi mai interesați de numărul de inversiuni într-o permutare, mai degrabă decât de inversarea în sine.

Fie o matrice pătrată de ordin n de n peste câmpul numerelor reale (sau complexe). Fie mulțimea tuturor permutărilor de ordin n ale mulțimii. Setul contine n! permutări. Să notăm a k-a permutare a mulțimii ca , iar numărul de inversiuni în a k-a permutare ca .

Definiție.

Determinant de matriceȘi există un număr egal cu .

Să descriem această formulă în cuvinte. Determinantul unei matrici pătrate de ordinul n de n este suma care conține n! termeni. Fiecare termen este un produs al n elemente ale matricei și fiecare produs conține un element din fiecare rând și din fiecare coloană a matricei A. Un coeficient (-1) apare înaintea termenului k-lea dacă elementele matricei A din produs sunt ordonate după numărul de rând, iar numărul de inversiuni în k-a permutare a mulțimii de numere de coloane este impar.

Determinantul unei matrice A este de obicei notat ca și det(A) este, de asemenea, utilizat. De asemenea, puteți auzi că determinantul se numește determinant.

Asa de, .

Aceasta arată că determinantul matricei de ordinul întâi este elementul acestei matrice.

Calcularea determinantului unei matrice pătrate de ordinul doi - Formula și exemplu.

cam 2 pe 2 în general.

În acest caz n=2, deci n!=2!=2.

.

Noi avem

Astfel, am obținut o formulă de calcul a determinantului unei matrice de ordinul 2 cu 2, are forma .

Exemplu.

Ordin.

Decizie.

În exemplul nostru. Aplicam formula rezultata :

Calculul determinantului unei matrice pătrate de ordinul trei - formulă și exemplu.

Să găsim determinantul unei matrice pătrate cam 3 pe 3 în general.

În acest caz n=3 , deci n!=3!=6 .

Să aranjam sub forma unui tabel datele necesare pentru aplicarea formulei .

Noi avem

Astfel, am obtinut o formula de calcul a determinantului unei matrice de ordin 3 cu 3, are forma

În mod similar, se pot obține formule pentru calcularea determinanților matricilor de ordinul 4 cu 4, 5 cu 5 și mai mari. Vor arăta foarte voluminoase.

Exemplu.

Calculați determinantul matricei pătrate cam 3 pe 3.

Decizie.

În exemplul nostru

Aplicăm formula rezultată pentru a calcula determinantul unei matrice de ordinul trei:

Formulele pentru calcularea determinanților matricilor pătrate de ordinul doi și trei sunt foarte des folosite, așa că vă recomandăm să le amintiți.

Proprietăți ale unui determinant de matrice, calculul unui determinant de matrice folosind proprietăți.

Pe baza definiției de mai sus, următoarele sunt adevărate. proprietățile determinante ale matricei.

Determinantul matricei A este egal cu determinantul matricei transpuse A T , adică .

Exemplu.

Asigurați-vă că determinantul matricei este egală cu determinantul matricei transpuse.

Decizie.

Să folosim formula pentru a calcula determinantul unei matrici de ordinul 3 cu 3:



Transpunem matricea A:


Calculați determinantul matricei transpuse:



Într-adevăr, determinantul matricei transpuse este egal cu determinantul matricei originale.

Dacă într-o matrice pătrată toate elementele cel puțin unuia dintre rânduri (una dintre coloane) sunt zero, determinantul unei astfel de matrice este egal cu zero.

Exemplu.

Verificați dacă determinantul matricei ordinul 3 cu 3 este zero.

Decizie.




Într-adevăr, determinantul unei matrice cu o coloană zero este zero.

Dacă schimbați oricare două rânduri (coloane) într-o matrice pătrată, atunci determinantul matricei rezultate va fi opus celui original (adică semnul se va schimba).

Exemplu.

Date două matrice pătrate de ordinul 3 cu 3 și . Arătați că determinanții lor sunt opuși.

Decizie.

Matrice B se obține din matricea A prin înlocuirea celui de-al treilea rând cu primul și primul cu al treilea. În funcție de proprietatea considerată, determinanții unor astfel de matrici trebuie să difere ca semn. Să verificăm acest lucru calculând determinanții folosind o formulă binecunoscută.



Într-adevăr, .

Dacă cel puțin două rânduri (două coloane) sunt aceleași într-o matrice pătrată, atunci determinantul său este egal cu zero.

Exemplu.

Să se arate că determinantul matricei este egal cu zero.

Decizie.

În această matrice, a doua și a treia coloană sunt aceleași, deci, conform proprietății considerate, determinantul acesteia trebuie să fie egal cu zero. Hai să verificăm.



De fapt, determinantul unei matrice cu două coloane identice este zero.

Dacă într-o matrice pătrată toate elementele oricărui rând (coloană) sunt înmulțite cu un număr k, atunci determinantul matricei rezultate va fi egal cu determinantul matricei originale, înmulțit cu k. De exemplu,



Exemplu.

Demonstrați că determinantul matricei este egal cu de trei ori determinantul matricei .

Decizie.

Elementele primei coloane a matricei B se obțin din elementele corespunzătoare ale primei coloane a matricei A prin înmulțirea cu 3. Atunci, în virtutea proprietății considerate, egalitatea ar trebui să se mențină. Să verificăm acest lucru calculând determinanții matricelor A și B.



Prin urmare, , ceea ce trebuia demonstrat.

NOTĂ.

Nu confundați sau confundați conceptele de matrice și determinant! Proprietatea considerată a determinantului unei matrice și operația de înmulțire a unei matrice cu un număr sunt departe de același lucru.
, dar .

Dacă toate elementele oricărui rând (coloană) a unei matrici pătrate sunt suma a s termeni (s este un număr natural mai mare decât unu), atunci determinantul unei astfel de matrice va fi egal cu suma celor s determinanți ai matricelor obținute din cel original, dacă ca elemente ale rândului (coloanei) lasă câte un termen. De exemplu,


Exemplu.

Demonstrați că determinantul unei matrici este egal cu suma determinanților matricelor .

Decizie.

În exemplul nostru , prin urmare, datorită proprietății considerate a determinantului matricei, egalitatea . O verificăm calculând determinanții corespunzători ai matricelor de ordin 2 cu 2 folosind formula .


Din rezultatele obținute se poate observa că . Aceasta completează dovada.

Dacă adăugăm elementele corespunzătoare dintr-un alt rând (coloană) înmulțite cu un număr arbitrar k la elementele unui anumit rând (coloană) al matricei, atunci determinantul matricei rezultate va fi egal cu determinantul matricei originale.

Exemplu.

Asigurați-vă că dacă elementele coloanei a treia a matricei se adună elementele corespunzătoare din a doua coloană a acestei matrice, înmulțite cu (-2), și se adună elementele corespunzătoare din prima coloană a matricei, înmulțite cu un număr real arbitrar, apoi determinantul matricei rezultate va fi egal cu determinantul matricei originale.

Decizie.

Dacă pornim de la proprietatea considerată a determinantului, atunci determinantul matricei obținut după toate transformările indicate în problemă va fi egal cu determinantul matricei A.

Mai întâi, calculăm determinantul matricei originale A:



Acum să efectuăm transformările necesare ale matricei A.

Să adăugăm la elementele coloanei a treia a matricei elementele corespunzătoare ale coloanei a doua a matricei, înmulțindu-le anterior cu (-2) . După aceea, matricea va arăta astfel:


La elementele coloanei a treia a matricei rezultate, adăugăm elementele corespunzătoare din prima coloană, înmulțite cu:


Calculați determinantul matricei rezultate și asigurați-vă că este egal cu determinantul matricei A, adică -24:



Determinantul unei matrice pătrate este suma produselor elementelor oricărui rând (coloană) după lor. adunări algebrice.



Iată complementul algebric al elementului de matrice , .

Această proprietate permite calcularea determinanților matricelor de ordine mai mari de 3 cu 3 prin reducerea acestora la suma mai multor determinanți ai matricelor de ordine cu una mai mică. Cu alte cuvinte, aceasta este o formulă recurentă pentru calcularea determinantului unei matrice pătrate de orice ordin. Vă recomandăm să-l amintiți datorită aplicabilității sale destul de frecvente.

Să ne uităm la câteva exemple.

Exemplu.

comandă 4 cu 4, extinzându-l

• prin elemente de pe al 3-lea rând,
• de elementele coloanei a 2-a.

Decizie.

Folosim formula pentru extinderea determinantului cu elementele din al 3-lea rând



Noi avem



Deci problema găsirii determinantului unei matrici de ordin 4 cu 4 a fost redusă la calculul a trei determinanți ai matricelor de ordin 3 cu 3:



Inlocuind valorile obtinute ajungem la rezultatul:


Folosim formula pentru extinderea determinantului cu elementele coloanei a 2-a


și acționăm în același mod.

Nu vom descrie în detaliu calculul determinanților matricilor de ordinul trei.



Exemplu.

Calculați determinantul matricei cam 4 pe 4.

Decizie.

Puteți descompune determinantul matricei în elemente ale oricărei coloane sau ale oricărei rânduri, dar este mai benefic să alegeți rândul sau coloana care conține cel mai mare număr de elemente zero, deoarece acest lucru va ajuta la evitarea calculelor inutile. Să extindem determinantul cu elementele primului rând:



Calculăm determinanții obținuți ai matricelor de ordin 3 cu 3 după formula cunoscută nouă:



Inlocuim rezultatele si obtinem valoarea dorita


Exemplu.

Calculați determinantul matricei cam 5 pe 5.

Decizie.

Al patrulea rând al matricei are cel mai mare număr de zero elemente dintre toate rândurile și coloanele, așa că este recomandabil să extindem determinantul matricei tocmai cu elementele din al patrulea rând, deoarece în acest caz avem nevoie de mai puține calcule.



Determinanții obținuți ai matricelor de ordinul 4 cu 4 au fost găsiți în exemplele anterioare, așa că vom folosi rezultatele gata făcute:



Exemplu.

Calculați determinantul matricei cam 7 pe 7.

Decizie.

Nu ar trebui să vă grăbiți imediat să descompuneți determinantul prin elementele oricărui rând sau coloană. Dacă te uiți atent la matrice, vei observa că elementele celui de-al șaselea rând al matricei pot fi obținute prin înmulțirea cu două a elementelor corespunzătoare din al doilea rând. Adică, dacă adăugăm elementele corespunzătoare ale celui de-al doilea rând înmulțite cu (-2) la elementele celui de-al șaselea rând, atunci determinantul nu se va modifica datorită proprietății a șaptea, iar al șaselea rând al matricei rezultate va consta din zerouri. Determinantul unei astfel de matrice este egal cu zero prin a doua proprietate.

Răspuns:

Trebuie remarcat faptul că proprietatea luată în considerare permite calcularea determinanților matricilor de orice ordin, totuși, trebuie efectuate o mulțime de operații de calcul. În cele mai multe cazuri, este mai avantajos să găsim determinantul matricelor de ordin mai mare decât a treia prin metoda Gauss, pe care o vom considera mai jos.

Suma produselor elementelor oricărui rând (coloană) a unei matrice pătrate și a complementelor algebrice ale elementelor corespunzătoare dintr-un alt rând (coloană) este egală cu zero.


Exemplu.

Să se arate că suma produselor elementelor coloanei a treia a matricei pe complementele algebrice ale elementelor corespunzătoare primei coloane este egală cu zero.

Decizie.




Determinantul produsului matricelor pătrate de același ordin este egal cu produsul determinanților lor, adică , unde m este un număr natural mai mare decât unu, A k , k=1,2,…,m sunt matrici pătrate de același ordin.

Exemplu.

Asigurați-vă că determinantul produsului a două matrici și este egal cu produsul determinanților lor.

Decizie.

Să găsim mai întâi produsul determinanților matricelor A și B:


Acum să efectuăm înmulțirea matricei și să calculăm determinantul matricei rezultate:



Prin urmare, , care urma să fie arătat.

Calculul determinantului matricei prin metoda Gauss.

Să descriem esența acestei metode. Folosind transformări elementare, matricea A este redusă la o astfel de formă încât în ​​prima coloană toate elementele, cu excepția lui, devin zero (acest lucru este întotdeauna posibil dacă determinantul matricei A este diferit de zero). Vom descrie această procedură puțin mai târziu, dar acum vom explica de ce se face acest lucru. Se obțin elemente zero pentru a obține cea mai simplă expansiune a determinantului peste elementele primei coloane. După o astfel de transformare a matricei A, ținând cont de a opta proprietate și , obținem

Unde - ordinul minor (n-1)., obținut din matricea A prin ștergerea elementelor primului rând și primei sale coloane.

Cu matricea căreia îi corespunde minorul se face aceeași procedură de obținere a zero elemente în prima coloană. Și tot așa până la calculul final al determinantului.

Acum rămâne să răspundem la întrebarea: „Cum să obțineți elemente nule în prima coloană”?

Să descriem algoritmul acțiunilor.

Dacă , atunci elementele primului rând al matricei se adaugă elementelor corespunzătoare ale rândului k, în care . (Dacă, fără excepție, toate elementele primei coloane a matricei A sunt zero, atunci determinantul său este egal cu zero prin a doua proprietate și nu este necesară nicio metodă Gaussiană). După o astfel de transformare, elementul „nou” va fi diferit de zero. Determinantul matricei „noii” va fi egal cu determinantul matricei originale datorită celei de-a șaptea proprietăți.

Acum avem o matrice care are . Când la elementele din al doilea rând, adăugăm elementele corespunzătoare din primul rând, înmulțite cu , la elementele celui de-al treilea rând, elementele corespunzătoare din primul rând, înmulțite cu . etc. În concluzie, la elementele din al n-lea rând, adăugăm elementele corespunzătoare din primul rând, înmulțite cu . Deci se va obține matricea transformată A, toate elementele primei coloane din care, cu excepția , vor fi zero. Determinantul matricei rezultate va fi egal cu determinantul matricei originale datorită proprietății a șaptea.

Să analizăm metoda atunci când rezolvăm un exemplu, astfel încât să fie mai clar.

Exemplu.

Calculați determinantul unei matrici de ordinul 5 cu 5 .

Decizie.

Să folosim metoda Gauss. Să transformăm matricea A astfel încât toate elementele primei ei coloane, cu excepția , să devină zero.

Deoarece elementul este inițial , atunci adăugăm la elementele primului rând al matricei elementele corespunzătoare, de exemplu, al doilea rând, deoarece:

Semnul „~” înseamnă echivalență.

Acum adăugăm elementelor din al doilea rând elementele corespunzătoare din primul rând, înmulțite cu , la elementele din al treilea rând - elementele corespunzătoare din primul rând, înmulțite cu și procedați în mod similar până la a șasea linie:

Primim

cu matrice efectuăm aceeași procedură pentru obținerea zero elemente în prima coloană:

Prin urmare,

Acum efectuăm transformări cu matricea :

Cometariu.

La o anumită etapă a transformării matricei prin metoda Gauss, poate apărea o situație când toate elementele ultimelor câteva rânduri ale matricei devin zero. Acesta va vorbi despre egalitatea determinantului cu zero.

Rezuma.

Determinantul unei matrice pătrate ale cărei elemente sunt numere este un număr. Am luat în considerare trei moduri de a calcula determinantul:

1. prin suma produselor de combinații de elemente ale matricei;
2. prin extinderea determinantului de către elementele rândului sau coloanei matricei;
3. metoda de reducere a matricei la cea triunghiulară superioară (prin metoda Gauss).

Au fost obținute formule pentru calcularea determinanților matricilor de ordinul 2 cu 2 și 3 cu 3 .

Am analizat proprietățile determinantului matricei. Unele dintre ele vă permit să înțelegeți rapid că determinantul este zero.

La calcularea determinanților matricelor de ordin mai mare de 3 cu 3, se recomandă utilizarea metodei Gauss: efectuați transformări elementare ale matricei și aduceți-o la cea triunghiulară superioară. Determinantul unei astfel de matrice este egal cu produsul tuturor elementelor de pe diagonala principală.