Lecție și prezentare pe teme: "Logaritmi naturali. Baza unui logaritm natural. Logaritmul unui număr natural"

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, feedback-ul, sugestiile voastre! Toate materialele sunt verificate de un program antivirus.

Mijloace și simulatoare didactice în magazinul online „Integral” pentru clasa a 11-a
Manual interactiv pentru clasele 9-11 „Trigonometrie”
Manual interactiv pentru clasele 10-11 „Logaritmi”

Ce este logaritmul natural

Băieți, în ultima lecție am învățat un număr nou, special - e. Astăzi vom continua să lucrăm cu acest număr.
Am studiat logaritmii și știm că baza logaritmului poate fi o mulțime de numere care sunt mai mari decât 0. Astăzi vom lua în considerare și logaritmul, care se bazează pe numărul e. Un astfel de logaritm se numește de obicei logaritmul natural. . Are propria sa notație: $\ln(n)$ este logaritmul natural. Această notație este echivalentă cu: $\log_e(n)=\ln(n)$.
Funcțiile exponențiale și logaritmice sunt inverse, atunci logaritmul natural este inversul funcției: $y=e^x$.
Funcțiile inverse sunt simetrice față de dreapta $y=x$.
Să trasăm logaritmul natural prin reprezentarea grafică a funcției exponențiale în raport cu linia dreaptă $y=x$.

Este de remarcat faptul că panta tangentei la graficul funcției $y=e^x$ în punctul (0;1) este de 45°. Atunci panta tangentei la graficul logaritmului natural în punctul (1; 0) va fi, de asemenea, egală cu 45°. Ambele aceste tangente vor fi paralele cu dreapta $y=x$. Să schițăm tangentele:

Proprietățile funcției $y=\ln(x)$

1. $D(f)=(0;+∞)$.
2. Nu este nici par, nici impar.
3. Creșteri pe întregul domeniu de definire.
4. Nelimitat de sus, nu limitat de jos.
5. Nu există valoare maximă, nu există valoare minimă.
6. Continuu.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Convex în sus.
9. Diferențiabil peste tot.

În cursul matematicii superioare se demonstrează că derivata unei funcții inverse este reciproca derivatei funcției date.
Nu are prea mult sens să aprofundăm în demonstrație, să scriem doar formula: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.

Exemplu.
Calculați valoarea derivatei funcției: $y=\ln(2x-7)$ în punctul $x=4$.
Decizie.
În general, funcția noastră este reprezentată de funcția $y=f(kx+m)$, putem calcula derivatele unor astfel de funcții.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
Să calculăm valoarea derivatei în punctul necesar: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Raspuns: 2.

Exemplu.
Desenați o tangentă la graficul funcției $y=ln(x)$ în punctul $x=e$.
Decizie.
Ecuația tangentei la graficul funcției, în punctul $x=a$, ne amintim bine.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Să calculăm secvenţial valorile necesare.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
Ecuația tangentei în punctul $x=e$ este funcția $y=\frac(x)(e)$.
Să reprezentăm grafic logaritmul natural și tangenta.

Exemplu.
Investigați funcția pentru monotonitate și extreme: $y=x^6-6*ln(x)$.
Decizie.
Domeniul funcției $D(y)=(0;+∞)$.
Găsiți derivata funcției date:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
Derivata există pentru tot x din domeniul definiției, atunci nu există puncte critice. Să găsim puncte staționare:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
Punctul $х=-1$ nu aparține domeniului definiției. Atunci avem un punct staționar $х=1$. Aflați intervalele de creștere și descreștere:

Punctul $x=1$ este punctul minim, apoi $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Răspuns: Funcția este în scădere pe segmentul (0;1], funcția este în creștere pe raza $)