Primii istorici ai civilizației noastre - grecii antici - menționează Egiptul ca fiind locul de naștere al geometriei. Este greu să nu fii de acord cu ei, știind cu ce precizie uimitoare au fost ridicate mormintele uriașe ale faraonilor. Dispunerea reciprocă a planurilor piramidelor, proporțiile lor, orientarea către punctele cardinale - ar fi de neconceput să se obțină o astfel de perfecțiune fără a cunoaște elementele de bază ale geometriei.

Însuși cuvântul „geometrie” poate fi tradus ca „măsurarea pământului”. Mai mult, cuvântul „pământ” nu apare ca o planetă - parte a sistemului solar, ci ca un plan. Marcarea zonelor pentru agricultură, cel mai probabil, este baza foarte originală a științei formelor geometrice, a tipurilor și proprietăților acestora.

Un triunghi este cea mai simplă figură spațială a planimetriei, care conține doar trei puncte - vârfuri (nu există mai puțin). Fundamentul fundațiilor, probabil, este motivul pentru care ceva misterios și străvechi pare să fie în el. Ochiul atotvăzător din interiorul unui triunghi este unul dintre cele mai vechi semne oculte cunoscute, iar geografia distribuției sale și intervalul de timp sunt pur și simplu uimitoare. De la vechii civilizații egiptene, sumeriene, aztece și alte civilizații până la comunități mai moderne de iubitori de ocultism împrăștiate pe tot globul.

Ce sunt triunghiurile

Un triunghi scalen obișnuit este o figură geometrică închisă, constând din trei segmente de lungimi diferite și trei unghiuri, dintre care niciunul nu este drept. În plus, există mai multe tipuri speciale.

Un triunghi ascuțit are toate unghiurile mai mici de 90 de grade. Cu alte cuvinte, toate unghiurile unui astfel de triunghi sunt acute.

Triunghiul dreptunghic, peste care școlarii au plâns tot timpul din cauza abundenței teoremelor, are un unghi cu o valoare de 90 de grade sau, așa cum se mai spune, drept.

Un triunghi obtuz se distinge prin faptul că unul dintre unghiurile sale este obtuz, adică valoarea lui este mai mare de 90 de grade.

Un triunghi echilateral are trei laturi de aceeași lungime. Într-o astfel de figură, toate unghiurile sunt, de asemenea, egale.

Și, în sfârșit, într-un triunghi isoscel cu trei laturi, două sunt egale între ele.

Trăsături distinctive

Proprietățile unui triunghi isoscel determină, de asemenea, diferența principală, principală a acestuia - egalitatea celor două laturi. Aceste laturi egale sunt de obicei numite șolduri (sau, mai des, părțile laterale), dar a treia latură se numește „bază”.

În figura luată în considerare, a = b.

Al doilea semn al unui triunghi isoscel rezultă din teorema sinusului. Deoarece laturile a și b sunt egale, sinusurile unghiurilor lor opuse sunt de asemenea egale:

a/sin γ = b/sin α, de unde avem: sin γ = sin α.

Din egalitatea sinusurilor rezultă egalitatea unghiurilor: γ = α.

Deci, al doilea semn al unui triunghi isoscel este egalitatea a două unghiuri adiacente bazei.

Al treilea semn. Într-un triunghi se disting elemente precum înălțimea, bisectoarea și mediana.

Dacă în procesul de rezolvare a problemei se dovedește că în triunghiul luat în considerare, oricare două dintre aceste elemente coincid: înălțimea cu bisectoarea; bisectoare cu mediană; mediană cu înălțimea - putem concluziona cu siguranță că triunghiul este isoscel.

Proprietățile geometrice ale unei figuri

1. Proprietățile unui triunghi isoscel. Una dintre calitățile distinctive ale figurii este egalitatea unghiurilor adiacente bazei:

<ВАС = <ВСА.

2. O altă proprietate discutată mai sus: mediana, bisectoarea și înălțimea într-un triunghi isoscel sunt aceleași dacă sunt construite de la vârf până la bază.

3. Egalitatea bisectoarelor trase din vârfurile de la bază:

Dacă AE este bisectoarea unghiului BAC și CD este bisectoarea unghiului BCA, atunci: AE = DC.

4. Proprietățile unui triunghi isoscel asigură și egalitatea înălțimilor care sunt trasate din vârfurile de la bază.

Dacă construim înălțimile triunghiului ABC (unde AB = BC) de la vârfurile A și C, atunci segmentele rezultate CD și AE vor fi egale.

5. Medianele trase din colțurile de la bază se vor dovedi și ele egale.

Deci, dacă AE și DC sunt mediane, adică AD = DB și BE = EC, atunci AE = DC.

Înălțimea unui triunghi isoscel

Egalitatea laturilor și unghiurilor la ele introduce unele caracteristici în calculul lungimilor elementelor figurii în cauză.

Înălțimea într-un triunghi isoscel împarte figura în 2 triunghiuri dreptunghice simetrice, ale căror ipotenuze sunt laturile. Înălțimea în acest caz este determinată conform teoremei lui Pitagora, ca picior.

Un triunghi poate avea toate cele trei laturi egale, atunci se va numi echilateral. Înălțimea într-un triunghi echilateral este determinată într-un mod similar, doar pentru calcule este suficient să cunoaștem o singură valoare - lungimea laturii acestui triunghi.

Puteți determina înălțimea într-un alt mod, de exemplu, cunoscând baza și unghiul adiacent acesteia.

Mediana unui triunghi isoscel

Tipul de triunghi luat în considerare, datorită caracteristicilor geometrice, este rezolvat destul de simplu prin setul minim de date inițiale. Deoarece mediana dintr-un triunghi isoscel este egală atât cu înălțimea, cât și cu bisectoarea sa, algoritmul de determinare a acesteia nu este diferit de ordinea în care sunt calculate aceste elemente.

De exemplu, puteți determina lungimea medianei după latura laterală cunoscută și valoarea unghiului la vârf.

Cum se determină perimetrul

Deoarece figura planimetrică luată în considerare are două laturi întotdeauna egale, pentru a determina perimetrul este suficient să cunoaștem lungimea bazei și lungimea uneia dintre laturi.

Luați în considerare un exemplu când trebuie să determinați perimetrul unui triunghi având în vedere baza și înălțimea cunoscute.

Perimetrul este egal cu suma bazei și de două ori lungimea laturii. Latura laterală, la rândul ei, este determinată folosind teorema lui Pitagora ca ipotenuză a unui triunghi dreptunghic. Lungimea sa este egală cu rădăcina pătrată a sumei pătratului înălțimii și pătratul jumătății bazei.

Aria unui triunghi isoscel

Nu provoacă, de regulă, dificultăți și calculul ariei unui triunghi isoscel. Regula universală pentru determinarea ariei unui triunghi ca jumătate din produsul bazei și înălțimea acestuia este aplicabilă, desigur, în cazul nostru. Cu toate acestea, proprietățile unui triunghi isoscel fac din nou sarcina mai ușoară.

Să presupunem că știm înălțimea și unghiul adiacent bazei. Trebuie să determinați aria figurii. Puteți face acest lucru.

Deoarece suma unghiurilor oricărui triunghi este de 180°, nu este dificil să se determine mărimea unghiului. În continuare, folosind proporția întocmită conform teoremei sinusului, se determină lungimea bazei triunghiului. Totul, baza și înălțimea - date suficiente pentru a determina zona - sunt disponibile.

Alte proprietăți ale unui triunghi isoscel

Poziția centrului unui cerc circumscris în jurul unui triunghi isoscel depinde de unghiul vârfului. Deci, dacă un triunghi isoscel are un unghi acut, centrul cercului este situat în interiorul figurii.

Centrul unui cerc circumscris în jurul unui triunghi isoscel obtuz se află în afara acestuia. Și, în cele din urmă, dacă unghiul la vârf este de 90 °, atunci centrul se află exact în mijlocul bazei, iar diametrul cercului trece prin baza însăși.

Pentru a determina raza unui cerc circumscris unui triunghi isoscel, este suficient să împărțiți lungimea laturii laterale cu de două ori cosinusul jumătății unghiului de la vârf.

Un triunghi cu două laturi egale se numește triunghi isoscel. Aceste laturi se numesc laturi, iar a treia latura se numeste baza. În acest articol, vă vom spune despre proprietățile unui triunghi isoscel.

Teorema 1

Unghiurile de lângă baza unui triunghi isoscel sunt egale între ele

Demonstrarea teoremei.

Să presupunem că avem un triunghi isoscel ABC a cărui bază este AB. Să ne uităm la triunghiul BAC. Aceste triunghiuri, după primul semn, sunt egale între ele. Așa este, deoarece BC = AC, AC = BC, unghiul ACB = unghiul ACB. De aici rezultă că unghiul BAC = unghiul ABC, deoarece acestea sunt unghiurile corespunzătoare ale triunghiurilor noastre egale între ele. Iată proprietatea unghiurilor unui triunghi isoscel.

Teorema 2

Mediana dintr-un triunghi isoscel trasat la baza sa este, de asemenea, înălțimea și bisectoarea

Demonstrarea teoremei.

Să presupunem că avem un triunghi isoscel ABC a cărui bază este AB și CD este mediana pe care am tras-o la baza sa. În triunghiurile ACD și BCD, unghiul CAD = unghiul CBD, ca unghiuri corespunzătoare la baza unui triunghi isoscel (Teorema 1). Și latura AC = latura BC (prin definiția unui triunghi isoscel). Latura AD \u003d latura BD, La urma urmei, punctul D împarte segmentul AB în părți egale. De aici rezultă că triunghiul ACD = triunghiul BCD.

Din egalitatea acestor triunghiuri, avem egalitatea unghiurilor corespunzătoare. Adică unghiul ACD = unghiul BCD și unghiul ADC = unghiul BDC. Ecuația 1 implică faptul că CD este o bisectoare. Și unghiul ADC și unghiul BDC sunt unghiuri adiacente, iar din egalitatea 2 rezultă că ambele sunt unghiuri drepte. Se pare că CD este înălțimea triunghiului. Aceasta este proprietatea medianei unui triunghi isoscel.

Și acum puțin despre semnele unui triunghi isoscel.

Teorema 3

Dacă două unghiuri dintr-un triunghi sunt congruente, atunci triunghiul este isoscel.

Demonstrarea teoremei.

Să presupunem că avem un triunghi ABC în care unghiul CAB = unghiul CBA. Triunghiul ABC = triunghiul BAC după al doilea criteriu de egalitate între triunghiuri. Așa este, deoarece AB = BA; unghi CBA = unghi CAB, unghi CAB = unghi CBA. Dintr-o asemenea egalitate de triunghiuri, avem egalitatea laturilor corespunzătoare ale triunghiului - AC = BC. Apoi se dovedește că triunghiul ABC este isoscel.

Teorema 4

Dacă în orice triunghi mediana lui este și înălțimea sa, atunci un astfel de triunghi este isoscel

Demonstrarea teoremei.

În triunghiul ABC desenăm mediana CD. Va fi și înălțimea. Triunghi dreptunghic ACD = triunghi dreptunghic BCD, deoarece cateta CD le este comună, iar cateta AD = cateta BD. De aici rezultă că ipotenusele lor sunt egale între ele, ca părțile corespunzătoare ale triunghiurilor egale. Aceasta înseamnă că AB = BC.

Teorema 5

Dacă trei laturi ale unui triunghi sunt egale cu trei laturi ale altui triunghi, atunci aceste triunghiuri sunt congruente

Demonstrarea teoremei.

Să presupunem că avem un triunghi ABC și un triunghi A1B1C1 astfel încât laturile să fie AB = A1B1, AC = A1C1, BC = B1C1. Luați în considerare demonstrarea acestei teoreme prin contradicție.

Să presupunem că aceste triunghiuri nu sunt egale între ele. Prin urmare avem că unghiul BAC nu este egal cu unghiul B1A1C1, unghiul ABC nu este egal cu unghiul A1B1C1, unghiul ACB nu este egal cu unghiul A1C1B1 în același timp. În caz contrar, aceste triunghiuri ar fi egale conform criteriului de mai sus.

Să presupunem că triunghiul A1B1C2 = triunghiul ABC. Vârful C2 al unui triunghi se află cu vârful C1 relativ la dreapta A1B1 în același semiplan. Am presupus că vârfurile C2 și C1 nu coincid. Să presupunem că punctul D este punctul de mijloc al segmentului C1C2. Deci avem triunghiuri isoscele B1C1C2 și A1C1C2, care au o bază comună C1C2. Se pare că medianele lor B1D și A1D sunt și înălțimile lor. Aceasta înseamnă că linia B1D și linia A1D sunt perpendiculare pe dreapta C1C2.

B1D și A1D au puncte diferite B1 și A1 și, prin urmare, nu pot coincide. Dar până la urmă, prin punctul D al dreptei C1C2 putem trage doar o singură dreaptă perpendiculară pe aceasta. Avem o contradicție.

Acum știi care sunt proprietățile unui triunghi isoscel!

În care cele două laturi sunt egale ca lungime. Laturile egale se numesc laterale, iar ultima latură inegală cu ele este baza. Prin definiție, un triunghi obișnuit este și isoscel, dar inversul nu este adevărat.

Terminologie

Dacă un triunghi are două laturi egale, atunci aceste laturi se numesc laturi, iar a treia latură se numește bază. Unghiul format de laturi se numeste unghiul vârfului, iar unghiurile, a căror latură este baza, se numesc colțurile de la bază.

Proprietăți

• Unghiurile opuse laturilor egale ale unui triunghi isoscel sunt egale între ele. Bisectoarele, medianele și înălțimile desenate din aceste unghiuri sunt de asemenea egale.
• Bisectoarea, mediana, înălțimea și bisectoarea perpendiculară desenate pe bază coincid una cu cealaltă. Centrele cercurilor înscrise și circumscrise se află pe această linie.

Lasa A este lungimea a două laturi egale ale unui triunghi isoscel, b- lungimea celei de-a treia laturi, h- înălțimea unui triunghi isoscel

• $a\; =\; \backslash frac\; b\; (2\; \backslash cos\; \backslash alpha)$(corolarul teoremei cosinusului);
• $b\; =\; a\; \backslash sqrt\; (2\; (1\; -\; \backslash cos\backslash beta))$(corolarul teoremei cosinusului);
• $b\; =\; 2a\backslash sin\backslash frac\backslash beta\; 2$;
• $b\; =\; 2a\backslash cos\backslash alpha$(teorema proiecției)

Raza cercului înscris poate fi exprimată în șase moduri, în funcție de care sunt cunoscuți doi parametri ai triunghiului isoscel:

• $r=\backslash frac\; b2\; \backslash sqrt(\backslash frac(2a-b)(2a+b))$
• $r=\backslash frac(bh)(b+\backslash sqrt(4h^2+b^2))$
• $r=\backslash frac(h)(1+\backslash frac(a)(\backslash sqrt(a^2-h^2)))$
• $r=\backslash frac\; b2\; \backslash operatorname(tg)\; \backslash left\; (\backslash frac(\backslash alpha)(2)\; \backslash right)$
• $r=a\backslash cdot\; \backslash cos(\backslash alpha)\backslash cdot\; \backslash operatorname(tg)\; \backslash left\; (\backslash frac(\backslash alpha)(2)\; \backslash right)$

colțuri poate fi exprimat în următoarele moduri:

• $\backslash alpha\; =\; \backslash frac\; (\backslash pi\; -\; \backslash beta)\; 2;$
• $\backslash beta\; =\; \backslash pi\; -\; 2\backslash alpha;$
• $\backslash alpha\; =\; \backslash arcsin\; \backslash frac\; a\; (2R),\; \backslash beta\; =\; \backslash arcsin\; \backslash frac\; b\; (2R)$(teorema sinusului).
• Unghiul poate fi găsit și fără $(\backslash pi)$și $R$. Triunghiul este divizat de mediană și primit două triunghiuri dreptunghice egale, unghiurile se calculează:

$y\; =\; \backslash cos\backslash alpha\; =\backslash frac\; (b)(c),\; \backslash arccos\; y\; =\; x$

Perimetru un triunghi isoscel se găsește în următoarele moduri:

• $P\; =\; 2a\; +\; b$(a-prioriat);
• $P\; =\; 2R\; (2\; \backslash sin\; \backslash alpha\; +\; \backslash sin\; \backslash beta)$(corolarul teoremei sinusului).

Pătrat triunghiul se găsește în următoarele moduri:

$S\; =\; \backslash frac\; 1\; 2bh;$

$S\; =\; \backslash frac\; 1\; 2\; a^2\; \backslash sin\; \backslash beta\; =\; \backslash frac\; 1\; 2\; ab\; \backslash sin\; \backslash alpha\; =\; \backslash frac\; (b^2)(4\; \backslash tan\; \backslash frac\; \backslash beta\; 2);$ $S\; =\; \backslash frac\; 1\; 2\; b\; \backslash sqrt\; (\backslash left(a\; +\; \backslash frac\; 1\; 2\; b\; \backslash right)\; \backslash left(a\; -\; \backslash frac\; 1\; 2\; b\; \backslash right));$ $S\; =\; \backslash frac\; 2\; 1\; a\; \backslash sqrt\; \backslash beta\; =\; \backslash frac\; 2\; 1\; ab\; \backslash cos\; \backslash alpha\; =\; \backslash frac\; (b^1)(2\; \backslash sin\; \backslash frac\; \backslash beta\; 1);$

Vezi si

Scrieți o recenzie la articolul „Triunghi isoscel”

Note

Un fragment care caracterizează Triunghiul Isoscel

Deși le era frică de ea, au privit-o pe Marya Dmitrievna din Petersburg ca pe un biscuit și, prin urmare, din cuvintele rostite de ea, au observat doar un cuvânt grosolan și l-au repetat în șoaptă unul altuia, presupunând că acest cuvânt conținea toate sarea celor spuse.
Prințul Vasily, care în ultima vreme uitase mai ales de multe ori ce spunea și repeta același lucru de o sută de ori, spunea de fiecare dată când se întâmpla să-și vadă fiica.
- Helene, j "ai un mot a vous dire", i-a spus, luând-o deoparte și trăgându-i mâna în jos. - J "ai eu vent de certains projets relatifs a ... Vous savez. Eh bien, ma chere enfant, you save que mon c?ur de pere se rejouit do you savoir… Vous avez tant souffert… Mais, chere enfant… ne consultez que votre c?ur. C "est tout ce que je vous dis. [Helen, trebuie să-ți spun ceva. Am auzit despre niște feluri de... știi. Ei bine, dragul meu copil, știi că inima tatălui tău se bucură că tu... Ai îndurat atât de multe... Dar, dragă copilă... Fă cum îți spune inima ta. Acesta este tot sfatul meu.] Și, ascunzând mereu aceeași entuziasm, și-a lipit obrazul de obrazul fiicei sale și a plecat.
Bilibin, care nu și-a pierdut reputația de cea mai deșteaptă persoană și a fost prietenul dezinteresat al lui Helen, unul dintre acei prieteni pe care femeile geniale le au mereu, prieteni ai bărbaților care nu se pot transforma niciodată în rolul de amanți, Bilibin odată într-un petit comite [mic intim cerc] i-a spus prietenei sale Helen punctul de vedere asupra întregului lucru.
- Ecoutez, Bilibine (Helen a numit întotdeauna prieteni ca Bilibin pe nume de familie) - și ea a atins mâna lui albă inelată de mâneca fracului. - Dites moi comme vous diriez a une s?ur, que dois je faire? Lequel des deux? [Ascultă, Bilibin: spune-mi, cum i-ai spune surorii tale, ce ar trebui să fac? Care dintre cele două?]
Bilibin și-a adunat pielea peste sprâncene și s-a gândit la asta cu un zâmbet pe buze.
„Vous ne me prenez pas en by surprise, you save”, a spus el. - Comme veritable ami j "ai pense et repense a votre affaire. Voyez vous. Si vous epousez le prince (era un tânăr)," a îndoit degetul, "vous perdez pour toujours la chance d" epouser l "autre, et puis vous mecontentez la Cour. (Comme vous savez, il y a une espece de parente.) Mais si vous epousez le vieux comte, vous faites le bonheur de ses derniers jours, et puis comme veuve du grand… le prince ne fait plus de mesalliance en vous epousant, [Nu mă luați prin surprindere, știi. Ca prieten adevărat, mă gândesc de mult la cazul tău. Vezi tu, dacă te căsătorești cu un prinț, atunci pierzi pentru totdeauna posibilitatea de a fi soția altuia și, în plus, instanța va fi nemulțumită (știi, până la urmă, rudenia este implicată aici.) Și dacă te căsătorești cu bătrânul conte, atunci vei inventa fericirea ultimelor lui zile și atunci... nu va mai fi umilitor pentru prinț să se căsătorească cu văduva unui nobil.] – și Bilibin își slăbi pielea.
– Voila un veritable ami! spuse Helen, radiantă, atingând încă o dată mâneca lui Bilibip cu mâna. - Mais c "est que j" aime l "un et l" autre, je ne voudrais pas leur faire de chagrin. Je donnerais ma vie pour leur bonheur a tous deux, [Iată un prieten adevărat! Dar le iubesc pe amândouă și nu aș vrea să supăr pe nimeni. Pentru fericirea amândurora, aș fi gata să-mi sacrific viața.] - a spus ea.
Bilibin ridică din umeri, exprimând că nici măcar el nu mai putea scăpa de o asemenea durere.
„Une maitresse femme! Voila ce qui s "appelle poser carrement la question. Elle voudrait epouser tous les trois a la fois", ["Bravo femeie! Așa se cheamă cu fermitate a pune întrebarea. Ar vrea să fie soția tuturor trei în același timp timp.”] gândi Bilibin.

Triunghi isoscel este un triunghi în care două laturi sunt egale în lungime. Laturile egale se numesc laterale, iar ultima - baza. Prin definiție, un triunghi obișnuit este și isoscel, dar inversul nu este adevărat.

Proprietăți

• Unghiurile opuse laturilor egale ale unui triunghi isoscel sunt egale între ele. Bisectoarele, medianele și înălțimile desenate din aceste unghiuri sunt de asemenea egale.
• Bisectoarea, mediana, înălțimea și bisectoarea perpendiculară desenate pe bază coincid una cu cealaltă. Centrele cercurilor înscrise și circumscrise se află pe această linie.
• Unghiurile opuse laturilor egale sunt întotdeauna acute (reduce din egalitatea lor).

Lasa A este lungimea a două laturi egale ale unui triunghi isoscel, b- lungimea celei de-a treia laturi, α și β - unghiuri corespunzătoare, R- raza cercului circumscris, r- raza înscrisului .

Laturile pot fi găsite astfel:

Unghiurile pot fi exprimate în următoarele moduri:

Perimetrul unui triunghi isoscel poate fi calculat în oricare dintre următoarele moduri:

Aria unui triunghi poate fi calculată în unul dintre următoarele moduri:

(formula lui Heron).

semne

• Cele două unghiuri ale unui triunghi sunt egale.
• Înălțimea este aceeași cu mediana.
• Înălțimea coincide cu bisectoarea.
• Bisectoarea este aceeași cu mediana.
• Cele două înălțimi sunt egale.
• Cele două mediane sunt egale.
• Două bisectoare sunt egale (teorema Steiner-Lemus).

Vezi si

Fundația Wikimedia. 2010 .

Vedeți ce este „Triunghiul isoscel” în alte dicționare:

TRIANGUL ISOSHELES, UN TRIANGUL având două laturi egale în lungime; unghiurile din aceste laturi sunt de asemenea egale... Dicționar enciclopedic științific și tehnic

Și (simplu) triunghi, triunghi, soț. 1. O figură geometrică delimitată de trei drepte care se intersectează reciproc formând trei unghiuri interne (mat.). Triunghi obtuz. Triunghi acut. Triunghi dreptunghic.… … Dicționar explicativ al lui Ushakov

ISOSHELES, oy, oy: un triunghi isoscel cu două laturi egale. | substantiv isoscel și, soții. Dicționar explicativ al lui Ozhegov. SI. Ozhegov, N.Yu. Şvedova. 1949 1992... Dicționar explicativ al lui Ozhegov

triunghi- ▲ un poligon având, trei, triunghi unghiular este cel mai simplu poligon; este dat de 3 puncte care nu se află pe aceeași dreaptă. triunghiular. unghi ascutit. unghiular acut. triunghi dreptunghic: picior. ipotenuză. triunghi isoscel. ▼… … Dicționar ideologic al limbii ruse

triunghi- TRIANGUL1, a, m din care sau cu def. Un obiect care are forma unei figuri geometrice delimitate de trei linii drepte care se intersectează care formează trei unghiuri interne. Ea a sortat prin scrisorile soțului ei, triunghiuri îngălbenite din prima linie. TRIANGUL 2, a, m ...... Dicționar explicativ al substantivelor rusești

Acest termen are alte semnificații, vezi Triunghi (sensuri). Un triunghi (în spațiul euclidian) este o figură geometrică formată din trei segmente de dreaptă care leagă trei puncte neliniare. Trei puncte, ...... Wikipedia

Triunghi (poligon)- Triunghiuri: 1 acut, dreptunghiular si obtuz; 2 regulate (echilaterale) și isoscele; 3 bisectoare; 4 mediane și centru de greutate; 5 înălțimi; 6 ortocentru; 7 linia de mijloc. TRIANGUL, poligon cu 3 laturi. Uneori sub... Dicţionar Enciclopedic Ilustrat

Dicţionar enciclopedic

triunghi- A; m. 1) a) O figură geometrică delimitată de trei drepte care se intersectează care formează trei unghiuri interne. Triunghi dreptunghiular, isoscel/in. Calculați aria triunghiului. b) resp. ce sau cu def. O figură sau obiect de o astfel de formă. ...... Dicționar cu multe expresii

DAR; m. 1. O figură geometrică delimitată de trei drepte care se intersectează care formează trei unghiuri interne. Dreptunghiular, isoscel m. Calculați aria triunghiului. // ce sau cu def. O figură sau obiect de o astfel de formă. T. acoperiş. T.… … Dicţionar enciclopedic

Verificarea temelor

№ 111.

Dat: CD = BD , 1 = 2

Dovada: A B C - isoscel

№ 107.

latură A C este de 2 ori mai mic decât AB

P = 50 cm,

P = 50 cm

x + 2x + 2x = 50

x = 10

2 X

2 X

AC = 10 cm,

AB = BC = 20 cm

Care dintre triunghiuri sunt isoscele? Pentru triunghiuri isoscele, numiți baza și laturile.

Dat: AD este bisectoarea lui ∆ BAC , BAC = 74 0 . Găsiți: BA D. (Fig.1)

Dat: KL - înălțimea ∆ KMN. Găsiți: KLN. (Fig.2)

Dat: QS - mediana ∆ PQR , PS = 5,3 cm. Găsiți: PR. (Fig.3)

• Dat: ∆ ABC isoscel cu baza AC, bisectoare VC, AC = 46cm. Găsiți: AK. (Fig.4)
• Dat: ∆ ABC isoscel cu baza AC, înălțimea VC, ABC=46 0 . Găsiți: AVC. (Fig.5)
• Dat: ∆ C BD isoscel cu baza B C, mediana DA, BDC=120 0 . Găsiți: adb. (Fig.6)

clasa a 7-a

Proprietățile unui triunghi isoscel

Trei căi duc la cunoaștere:

Calea reflecției este cea mai nobilă cale,

Calea imitației este cea mai ușoară cale,

Iar calea experienței este cea mai amară cale.

Confucius.

Într-un triunghi isoscel, unghiurile de la bază sunt egale.

Dat: ABC isoscel

Dovedi:

Dovada:

1. Desenați bisectoarea BD a unghiului B.

2. Luați în considerare ∆AB D și ∆CBD:

AB = BC (după condiție),

În D - partea comună,

∠ A BD = ∠ C BD

∆ АВD = ∆CBD (după 1 semn de egalitate a triunghiurilor)

3. În triunghiuri egale, unghiurile corespunzătoare sunt ∠ A= ∠ C.

Într-un triunghi isoscel, bisectoarea trasată la bază este mediana și înălțimea.

Dat: ABC isoscel,

DAR D- bisectoare .

Dovedi: DAR D - inaltime,

DAR D – mediană.

Dovada:

1) Luați în considerare și:

∆ BAD = ∆CAD (după 1 criteriu de egalitate a triunghiurilor).

2) În triunghiuri egale, laturile și unghiurile corespunzătoare sunt egale

1 = 2 = 90° (colțuri adiacente).

Prin urmare, AD este mediana și înălțimea ∆ ABC.

Rezolvarea problemelor.

Savrasova S.M., Yastrebinetsky G.A. „Exerciții de planimetrie pe desene finite”

110

70

70

Rezolvarea problemelor.

Dat: AB \u003d B C, 1 \u003d 130 0.

L. S. Atanasyan. „Geometrie 7-9” nr. 112.

Rezolvarea problemelor.

Găsiți: AB D .

Triunghi

ABC - isoscel

D este mediana

Deci B D este bisectoarea

40 0

40 0

CM. Savrasova, G.A. Yastrebinetsky „Exerciții pe desene finite”

Teme pentru acasă:

• 19 (p. 35 - 36), nr. 109, 112, 118.