Lecție și prezentare pe tema: "Funcția y=cos(x). Definiția și graficul unei funcții"

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, feedback-ul, sugestiile voastre. Toate materialele sunt verificate de un program antivirus.

Mijloace și simulatoare didactice în magazinul online „Integral” pentru clasa a 10-a
Probleme algebrice cu parametri, clasele 9–11
Mediul software „1C: constructor matematic 6.1”

Ce vom studia:
1. Definiție.
2. Graficul funcției.
3. Proprietăţile funcţiei Y=cos(X).
4. Exemple.

Definiția funcției cosinus y=cos(x)

Băieți, ne-am întâlnit deja cu funcția Y=sin(X).

Să ne amintim una dintre formulele fantomă: sin(X + π/2) = cos(X).

Datorită acestei formule, putem afirma că funcțiile sin(X + π/2) și cos(X) sunt identice, iar graficele funcțiilor lor sunt aceleași.

Graficul funcției sin(X + π/2) se obține din graficul funcției sin(X) prin deplasarea paralelă a π/2 unități la stânga. Acesta va fi graficul funcției Y=cos(X).

Graficul funcției Y=cos(X) se mai numește și sinusoid.

proprietățile funcției cos(x).

Să scriem proprietățile funcției noastre:
• Domeniul definiției este mulțimea numerelor reale.
• Funcția este egală. Să ne amintim definiția unei funcții pare. O funcție este numită chiar dacă egalitatea y(-x)=y(x) este valabilă. După cum ne amintim din formulele fantomă: cos(-x)=-cos(x), definiția este îndeplinită, atunci cosinusul este o funcție pară.
• Funcția Y=cos(X) scade pe interval și crește pe intervalul [π; 2π]. Putem verifica acest lucru pe graficul funcției noastre.
• Funcția Y=cos(X) este mărginită de jos și de sus. Această proprietate provine din faptul că
  -1 ≤ cos(X) ≤ 1
• Cea mai mică valoare a funcției este -1 (pentru x = π + 2πk). Cea mai mare valoare a funcției este 1 (pentru x = 2πk).
• Funcția Y=cos(X) este o funcție continuă. Să ne uităm la grafic și să ne asigurăm că funcția noastră nu are goluri, ceea ce înseamnă continuitate.
• Intervalul de valori este segmentul [- 1; unu]. Acest lucru este, de asemenea, clar vizibil din grafic.
• Funcția Y=cos(X) este o funcție periodică. Să ne uităm din nou la grafic și să vedem că funcția ia aceleași valori la anumite intervale.

Exemple cu funcția cos(x).

1. Rezolvați ecuația cos(X)=(x - 2π) 2 + 1

Rezolvare: Să construim 2 grafice ale funcției: y=cos(x) și y=(x - 2π) 2 + 1 (vezi figura).


y \u003d (x - 2π) 2 + 1 este o parabolă deplasată la dreapta cu 2π și în sus cu 1. Graficele noastre se intersectează într-un punct A (2π; 1), acesta este răspunsul: x \u003d 2π.

2. Reprezentați grafic funcția Y=cos(X) pentru x ≤ 0 și Y=sin(X) pentru x ≥ 0

Soluție: Pentru a construi graficul necesar, să reprezentăm două grafice ale funcției bucată cu bucată. Prima felie: y=cos(x) pentru x ≤ 0. A doua felie: y=sin(x)
pentru x ≥ 0. Să reprezentăm ambele „piese” pe un singur grafic.

3. Aflați cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției Y=cos(X) pe segmentul [π; 7π/4]

Rezolvare: Să construim un grafic al funcției și să considerăm segmentul nostru [π; 7π/4]. Graficul arată că cele mai mari și cele mai mici valori sunt obținute la capetele segmentului: în punctele π și, respectiv, 7π/4.
Răspuns: cos(π) = -1 este cea mai mică valoare, cos(7π/4) = cea mai mare valoare.

4. Reprezentați grafic funcția y=cos(π/3 - x) + 1

Rezolvare: cos(-x)= cos(x), atunci graficul dorit se va obtine prin mutarea graficului functiei y=cos(x) π/3 unitati la dreapta si 1 unitate in sus.

Sarcini pentru soluție independentă

1) Rezolvați ecuația: cos (x) \u003d x - π / 2.
2) Rezolvați ecuația: cos(x)= - (x - π) 2 - 1.
3) Reprezentați grafic funcția y=cos(π/4 + x) - 2.
4) Trasează funcția y=cos(-2π/3 + x) + 1.
5) Aflați cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției y=cos(x) pe segmentul .
6) Aflați cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției y=cos(x) pe intervalul [- π/6; 5π/4].

Inapoi inainte

Atenţie! Previzualizarea slide-ului are doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte întreaga amploare a prezentării. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Subiectul lecției: „Funcția y=cosx”

Lectia 1

Obiectivele lecției: Introducerea elevilor în proprietățile unei funcții

Obiectivele lecției.

Educațional - formarea reprezentărilor funcționale pe material vizual, formarea capacității de a reprezenta grafice ale funcției y \u003d cosx, de a forma abilitățile de citire liberă a graficelor, capacitatea de a reflecta proprietățile funcției pe grafic.

În timpul orelor

№	Etapa lecției	Prezentare de diapozitive	Timp
1	Organizarea timpului. Salutari
2	Anunțarea temei și a scopului lecției
3	Actualizarea cunoștințelor de bază Făcând exerciții orale.	Sondaj frontal
4	Prezentarea de material nou Sarcina de a trasa y \u003d cosx pe un segment Discuție asupra proprietăților funcției y = cosx pe un segment Sarcina de a construi o schiță a graficului funcției y \u003d cosx Discuție asupra proprietăților funcției y = cosx	Introducerea proprietăților într-un tabel
5	Rezolvarea problemelor conform manualului nr. 708, nr. 709	Decizia este însoțită de diapozitivul numărul 4
6	Sarcina de a reprezenta un grafic de funcții cu o deplasare de-a lungul axei ordonatelor și de-a lungul axei absciselor. Discuție despre proprietatea funcției
7	Lucru independent la manual	№710 (1;3), №711 (1;3), №711 (1;3)
	Rezumând. Rezultatele lecției. Notare.
9	Teme pentru acasă	§40 #710(2;4), #711(2;4), #711(2;4). Construiți grafice ale funcțiilor y \u003d cosx pe și descrieți proprietățile acestei funcții. Extra #717 (1)

Scopul lecției: Să familiarizeze elevii cu proprietățile funcției y \u003d cosx, învățând să traseze graficul funcției y \u003d cosx, citind acest grafic, folosind proprietățile și graficul funcției atunci când rezolvă ecuațiile și inegalitățile .

2. Anunțarea temei și a scopului lecției este însoțită de diapozitivul numărul 2

3. Actualizarea cunoștințelor de bază

Făcând exerciții orale.

1. Repetați definiția funcțiilor trigonometrice și semnele valorilor acestor funcții.
2. Atrageți atenția elevilor asupra faptului că, pentru orice număr real, puteți indica punctul corespunzător de pe cercul unității și, prin urmare, abscisa și ordonatele acestuia, i.e. cosinus și sinus al numărului x: y \u003d cosx și y \u003d sinx, al cărui domeniu de definiție este toate numerele reale.

Apoi elevii răspund la întrebările:

1. La ce valori ale lui x ia funcția y=cosx o valoare egală cu 0? unu? -unu?
2. Funcția y=cosx poate lua o valoare mai mare decât 1, mai mică decât -1?
3. La ce valori ale lui x ia funcția y=cosx cea mai mare (cea mai mică) valoare?
4. Care este setul de valori ale funcției y=cosx?

Răspunsurile la aceste întrebări și la următoarele întrebări sunt însoțite de o ilustrație pe un cerc unitar.

După ce au repetat semnele valorilor funcțiilor trigonometrice în fiecare sfert al planului de coordonate, elevii sunt rugați să arate mai multe puncte ale cercului unitar corespunzătoare numerelor al căror cosinus este un număr pozitiv (negativ). Apoi raspunde la întrebări:

1) Care este semnul funcției y \u003d cosx, dacă x \u003d, x \u003d,

0<х<, 0<х<, <х<, <х<2.5?

2) Indicați mai multe valori ale lui x, la care valorile funcției y \u003d cosx sunt pozitive, negative.

3) Este posibil să denumim toate valorile unui număr al cărui cosinus este pozitiv, negativ?

4) Este posibil să se numească toate valorile argumentului x pentru care valorile funcției y = cosx sunt pozitive sau negative?

5) Funcția pară sau impară y = cosx.

6) Care este perioada acestei funcții?

4. Prezentarea de material nou.

Generalizarea si concretizarea cunostintelor obtinute anterior: studiul domeniului de definitie, multimii de valori, paritate, periodicitate permite construirea unui grafic mai intai pe segment, apoi pe segment, iar apoi pe intreaga dreapta numerica. Explicația este însoțită de diapozitivul #3.

Apoi elevii învață să deseneze o schiță a graficului funcției y \u003d cosx în punctele (0; 1), (; 0),

(:-1), (;0), (;1) și generalizați proprietățile funcției scriindu-le într-un tabel.

Verificăm cu ajutorul diapozitivului numărul 4.

(În această etapă, sunt emise note justificative (Anexa 1))

5. Consolidarea cunoștințelor primare.

Cu ajutorul unei schițe a graficului funcției y \u003d cosx, elevii răspund la întrebările nr. 708, folosind tabelul de proprietăți al funcției y \u003d cosx, ei răspund la întrebările nr. 709

6. Sarcina de a reprezenta un grafic al unei funcții cu o deplasare de-a lungul axei ordonatelor și de-a lungul axei absciselor.

1. Slide numărul 5, 6

În timpul conversației, sunt discutate proprietățile acestor funcții.

7. Lucru independent la manual

№710(1;3), №711(1;3), №711(1;3), №710

Împărțiți acest segment în două segmente, astfel încât funcția y \u003d cosx să crească pe unul dintre ele și să scadă pe celălalt:

Scăderi; - creste

Scăderi; - creste

Folosind proprietatea crescătoare sau descrescătoare a funcției y \u003d cosx, comparați numerele:

Pe segment, funcția y \u003d cosx scade; , prin urmare, .

Pe segment, funcția y \u003d cosx crește;

<, следовательно, cos < cos

Găsiți toate rădăcinile ecuației aparținând segmentului:

1) cosx \u003d x \u003d ± +2 n, n Z

Răspuns: ; ; .

2) cosx = - x = ±

8. Rezumând.

Notare.

În lecție, am învățat cum să graficăm funcția y = cosx, să citim proprietățile acestui grafic, să construim o schiță a graficului, să rezolvăm probleme legate de utilizarea graficului și proprietățile funcției y = cosx.

9. Tema pentru acasă.

§40 #710(2;4), #711(2;4), #711(2;4). Construiți grafice ale funcțiilor y \u003d cosx pe și descrieți proprietățile acestei funcții.

În plus, nr. 717(1).

Subiect: „Funcția y=cosx”

Lectia 2

Obiectivele lecției: Repetați regulile pentru construirea unui grafic al unei funcții y \u003d cosx, învățați cum să aplicați tehnicile de transformare a graficului, citiți acest grafic, utilizați proprietățile și graficul unei funcții atunci când rezolvați ecuații și inegalități.

Obiectivele lecției.

Educațional - formarea reprezentărilor funcționale pe material vizual, formarea capacității de a reprezenta grafice ale funcției y \u003d cosx cu diverse transformări, pentru a forma abilitățile de citire liberă a graficelor, capacitatea de a reflecta proprietățile unei funcții pe un grafic.

Dezvoltarea - formarea capacitatii de analiza, generalizare a cunostintelor acumulate. Formarea gândirii logice.

Educațional - pentru a activa interesul pentru dobândirea de noi cunoștințe, educarea unei culturi grafice, formarea acurateței și acurateței la realizarea desenelor.

Dotare: proiector multimedia, ecran, sistem de operare Microsoft Windows 98/Me/2000/XP, MS Office 2003: Power Point, Microsoft Word, Microsoft Excel.

În timpul orelor

№	Etapa lecției	Prezentare de diapozitive	Timp
1	Organizarea timpului. Salutari		1
2	Anunțarea temei și a scopului lecției		2
3	Verificarea temelor	№717(1), Slide №7	5
4	Prezentarea de material nou Sarcina de a trasa un grafic prin strângere și întindere pe axa OX Discuție despre proprietățile funcției y =k cosx pentru k>1 și 0 Sarcina de a trasa un grafic prin strângere și întindere la ori OU Discuție despre proprietățile funcției y = cos(k x) pentru k>1 și 0	Slide №8, 9	12
5	Consolidarea cunoștințelor primare. Rezolvarea problemelor din manual №713(1;3), №715(1) №716(1)	Nr. 717 (2) manual p. 208. Când rezolvați Nr. 715 (1), Nr. 716 (1), utilizați graficul construit al funcției y \u003d cos2x. Slide #10	5
6	Sarcina este de a reprezenta un grafic al unei funcții care este simetrică față de axa x. 1. Moment organizatoric. Salutari. 2. Anunțarea temei și a scopului lecției este însoțită de diapozitivul numărul 2. 3. Verificarea temelor 4. Prezentarea de material nou 1. Sarcina de a trasa un grafic prin strângere și întindere pe axa OX. Discuție despre proprietățile funcției y =k cosx pentru k>1 și 0 diapozitivul numărul 8 2. Sarcina de a trasa un grafic prin strângere și întindere pe axa y. Discuție asupra proprietăților funcției y = cos(kx) pentru k>1 și 0 diapozitivul numărul 9 5. Consolidarea cunoștințelor primare Rezolvarea problemelor conform manualului nr. 713 (1; 3), nr. 715 (1) nr. 716 (1) Sarcina nr. 715 (1) nr. 716 (1) se verifică cu ajutorul diapozitivei nr. 10 6. Sarcina de a reprezenta un grafic al unei funcții simetric față de axa x Discuție despre proprietatea funcției . Diapozitivul numărul 11 ​​(utilizați schița de referință (Anexa 1)) 7. Munca independentă Rezolvarea problemelor de testare . (Jumătate dintre elevi rezolvă teste în XL (Anexa 2), la computere, a doua jumătate pe fișe (Anexa 3). Apoi elevii își schimbă locul.) 8. Rezultatele lecției. Ca urmare a studierii subiectului, elevii au învățat să grafice funcția y \u003d cosx, să citească proprietățile funcției, să construiască grafice ale funcției folosind diverse transformări, să citească proprietățile graficelor cu transformări, să rezolve probleme simple folosind grafice și proprietățile funcției y \u003d cosx. Notare. 9. Tema pentru acasă. §40 #717(3), #713(4), #715(4), #716(2). În plus, nr. 719(2) (Verificați diapozitivul nr. 13) La începutul următoarei lecții, puteți invita elevii să lucreze la construirea de grafice pe fișe gata făcute (

În această lecție, vom analiza în detaliu funcția y \u003d cos x, principalele sale proprietăți și graficul. La începutul lecției, vom oferi definiția funcției trigonometrice y \u003d cost pe cercul de coordonate și vom lua în considerare graficul funcției pe cerc și dreaptă. Să arătăm periodicitatea acestei funcții pe grafic și să luăm în considerare principalele proprietăți ale funcției. La sfârșitul lecției, vom rezolva câteva probleme simple folosind graficul funcției și proprietățile acesteia.

Tema: Funcții trigonometrice

Lecția: Funcția y=cost, principalele sale proprietăți și grafic

O funcție este o lege conform căreia fiecărei valori a unui argument independent i se atribuie o valoare unică a funcției.

Să ne amintim definirea funcției Lasa t- orice număr real. Ea corespunde unui singur punct M pe cercul numeric. La punctul M există o singură abscisă. Se numește cosinus al numărului. t. Fiecare valoare de argument t corespunde unei singure valori a funcției (Fig. 1).

Unghiul central este numeric egal cu dimensiunea arcului în radiani, adică. număr Prin urmare, argumentul poate fi fie un număr real, fie un unghi în radiani.

Dacă putem determina pentru fiecare valoare, atunci putem reprezenta grafic funcția

Puteți obține graficul funcției într-un alt mod. Conform formulelor de reducere deci graficul cosinus este o sinusoid deplasat de-a lungul axei X spre stânga (Fig. 2).

Proprietățile funcției

1) Domeniul de definiție:

2) Interval de valori:

3) Funcția este pară:

4) Cea mai mică perioadă pozitivă:

5) Coordonatele punctelor de intersecție cu axa absciselor:

6) Coordonatele punctului de intersecție cu axa y:

7) Intervale în care funcția ia valori pozitive:

8) Intervale la care funcția ia valori negative:

9) Creșterea intervalelor:

10) Intervale descrescătoare:

11) Puncte scăzute:

12) Functie minima: .

13) Puncte maxime:

14) Caracteristici maxime:

Am luat în considerare principalele proprietăți și graficul funcției și, în continuare, vor fi utilizate în rezolvarea problemelor.

Bibliografie

1. Algebra și începutul analizei, nota 10 (în două părți). Manual pentru instituții de învățământ (nivel de profil), ed. A. G. Mordkovici. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra și începutul analizei, nota 10 (în două părți). Caiet de sarcini pentru instituțiile de învățământ (nivel de profil), ed. A. G. Mordkovici. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebră și analiză matematică pentru clasa a 10-a (manual pentru elevii școlilor și claselor cu studiu aprofundat al matematicii) - M .: Educație, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartburd S.I. Un studiu aprofundat al algebrei și al analizei matematice.-M .: Education, 1997.

5. Culegere de probleme de matematică pentru candidații la universitățile tehnice (sub redacția M.I.Skanavi).-M.: Liceul, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Antrenor algebric.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Tasks in Algebra and the Beginnings of Analysis (un manual pentru elevii din clasele 10-11 din instituțiile de învățământ general).-M .: Educație, 2003.

8. Karp A.P. Culegere de probleme de algebră și începuturile analizei: manual. alocație pentru 10-11 celule. cu o adâncime studiu matematică.-M.: Educaţie, 2006.

Teme pentru acasă

Algebra și începuturile analizei, clasa a 10-a (în două părți). Caiet de sarcini pentru instituțiile de învățământ (nivel de profil), ed. A. G. Mordkovici. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.6, 16.7, 16.9.

Resurse web suplimentare

3. Portal educațional pentru pregătirea examenelor ().

Principalele funcții trigonometrice sunt funcțiile y=sin(x), y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x). Să luăm în considerare fiecare dintre ele separat.

Y = sin(x)

Graficul funcției y=sin(x).

Proprietăți de bază:

3. Funcția este impară.

Y = cos(x)

Graficul funcției y=cos(x).

Proprietăți de bază:

1. Aria de definiție este întreaga axă numerică.

2. Funcția este limitată. Setul de valori este segmentul [-1;1].

3. Funcția este pară.

4. Funcția este periodică cu cea mai mică perioadă pozitivă egală cu 2*π.

Y = tan(x)

Graficul funcției y=tg(x).

Proprietăți de bază:

1. Domeniul de definiție este întreaga axă numerică, cu excepția punctelor de forma x=π/2 + π*k, unde k este un număr întreg.

3. Funcția este impară.

Y = ctg(x)

Graficul funcției y=ctg(x).

Proprietăți de bază:

1. Domeniul de definiție este întreaga axă numerică, cu excepția punctelor de forma x=π*k, unde k este un număr întreg.

2. Funcția este nelimitată. Valoarea setată este întreaga linie numerică.

3. Funcția este impară.

4. Funcția este periodică cu cea mai mică perioadă pozitivă egală cu π.

Ai nevoie de ajutor cu studiile tale?

Subiect anterior: