Axa x delimitată, graficul unei funcții integrabile și segmente de linie x=a\,\!și x=b\,\!, Unde A\,\!și b\,\!- limite de integrare (vezi figura).

Necesitatea aplicării integrării numerice poate fi cauzată cel mai adesea de absența reprezentării în și, prin urmare, de imposibilitatea calculării analitice a valorii unei anumite integrale peste . De asemenea, este posibil ca forma antiderivatei să fie atât de complexă încât este mai rapid să se calculeze numeric valoarea integralei.

Caz unidimensional

Ideea principală a majorității metodelor de integrare numerică este de a înlocui integrandul cu unul mai simplu, a cărui integrală poate fi ușor calculată analitic. În acest caz, pentru a estima valoarea integralei, formulele formei

I \aproximativ \sum_(i=1)^(n) w_i\, f(x_i),

Unde n\,\! este numărul de puncte la care se calculează valoarea integrandului. puncte x_i\,\! sunt numite noduri de metodă, numere w_i\,\!- greutățile nodurilor. Când integrandul este înlocuit cu un polinom de gradul zero, primul și al doilea, se obțin metodele , și respectiv (Simpson). Adesea formulele de estimare a valorii integralei se numesc formule de cuadratura.

Metoda dreptunghiului

Metoda dreptunghiului se obtine prin inlocuirea integrandului cu o constanta. Ca constantă, puteți lua valoarea funcției în orice punct al segmentului \stânga\,\!. Cele mai frecvent utilizate valori ale funcției sunt în mijlocul unui segment și la capetele acestuia. Modificările corespunzătoare se numesc metode dreptunghiuri medii, dreptunghiuri din stângași dreptunghiuri dreptunghiuri. Formula pentru calculul aproximativ al valorii unei integrale definite prin metoda dreptunghiurilor este

eu \aprox f(x) (b-a),

Unde x=\frac(\stanga(a+b\dreapta))(2), A\,\! sau b\,\!, respectiv.

Metoda trapezoidală

Dacă trasăm o linie dreaptă prin capetele segmentului de integrare, obținem metoda trapezoidală. Din considerente geometrice, este ușor de obținut

Eu \aprox \frac(f(a)+f(b))(2) (b-a).

Metoda parabolelor

Folosind trei puncte ale segmentului de integrare, putem înlocui integrandul cu o parabolă. De obicei, capetele segmentului și punctul său de mijloc sunt folosite ca astfel de puncte. În acest caz, formula este foarte simplă

Eu \aproximativ \frac(b-a)(6)\left(f(a)+4f\left(\frac(a+b)(2)\right)+f(b)\right).

Creșterea preciziei

Aproximarea unei funcții cu un polinom pe întregul interval de integrare, de regulă, duce la o mare eroare în estimarea valorii integralei.

Pentru a reduce eroarea, segmentul de integrare este împărțit în părți și se utilizează o metodă numerică pentru a evalua integrala pe fiecare dintre ele.

Deoarece numărul de partiții tinde spre infinit, estimarea integralei tinde către valoarea sa adevărată pentru orice metodă numerică.

Metodele de mai sus permit o procedură simplă de înjumătățire a pasului, în timp ce la fiecare pas este necesar să se calculeze valorile funcției numai la nodurile nou adăugate. Pentru estimarea erorii de calcul se folosește.

metoda Gauss

Metodele descrise mai sus folosesc puncte fixe de segment de linie (capete și puncte de mijloc) și sunt scăzute (1, 1 și, respectiv, 3). Dacă putem alege punctele în care calculăm valorile funcției f(x)\,\!, atunci este posibil, cu același număr de calcule ale integrandului, să se obțină metode de un ordin mai mare de precizie. Deci, pentru două calcule (ca și în metoda trapezului) ale valorilor integrandului, puteți obține o metodă nu mai de ordinul 1, ci de ordinul 3 de precizie:

I \aproximativ \frac(b-a)(2)\left(f\left(\frac(a+b)(2) - \frac(b-a)(2\sqrt(3)) \right)+f\left( \frac(a+b)(2) + \frac(b-a)(2\sqrt(3)) \right) \right).

În general, folosind n\,\! puncte, puteți obține o metodă cu o ordine de precizie 2n-1\,\!. Valorile nodurilor metodei Gaussiene prin n\,\! punctele sunt rădăcinile polinomului Legendre de grad n\,\!.

Valorile nodurilor metodei Gaussiene și ponderile lor sunt date în cărțile de referință ale funcțiilor speciale. Cea mai cunoscută este metoda gaussiană în cinci puncte.

Metoda Gauss-Kronrod

Dezavantajul metodei Gauss este că nu are o modalitate uşoară (din punct de vedere computaţional) de a estima eroarea valorii obţinute a integralei. Utilizarea regulii lui Runge necesită calcularea integrandului la aproximativ același număr de puncte, fără a da practic niciun câștig în precizie, spre deosebire de metodele simple, în care precizia crește de câteva ori cu fiecare nouă partiție. Kronrod a propus următoarea metodă de estimare a valorii integralei

I \aproximativ \sum_(i=1)^(n) a_i\, f(x_i) + \sum_(i=1)^(n+1) b_i\, f(y_i),

Unde x_i\,\!- Nodurile metodei Gauss prin n\,\! puncte, și 3n+2\,\! parametrii a_i\,\!, b_i\,\!, y_i\,\! sunt aleși în așa fel încât ordinea acurateței metodei să fie egală cu 3n+1\,\!.

Apoi, pentru a estima eroarea, se poate folosi formula empirică

\Delta = \left(200 |I - I_G|\right)^(1.5),

Unde IG\,\!- valoarea integralei, estimată prin metoda Gauss conform n\,\! puncte. Biblioteci [

programarea formulelor de integrare numerică

Introducere

1. Metode de integrare numerică

2. Formule de cuadratura

3. Selectarea automată a etapei de integrare

Concluzie

Lista bibliografică

Introducere

Scopul rezumatului este studiul și analiza comparativă a metodelor de integrare numerică a funcțiilor; implementarea acestor metode sub formă de programe de mașină într-un limbaj de nivel înalt și soluționarea practică a problemelor de integrare numerică pe calculator.

Când se rezolvă probleme de inginerie, adesea devine necesar să se calculeze valorile unei anumite integrale a formei

. (1)

Dacă funcția este continuă pe intervalul [ A , b] și antiderivata sa poate fi determinată printr-o funcție cunoscută, atunci calculul unei astfel de integrale se efectuează conform formulei Newton-Leibniz:

.

În problemele de inginerie, rareori este posibil să se obțină valoarea integralei într-o formă analitică. În plus, funcția f (X) poate fi dat, de exemplu, de un tabel de date experimentale. Prin urmare, în practică, pentru a calcula o integrală definită, se folosesc metode speciale, care se bazează pe aparatul de interpolare.

Ideea din spatele acestor metode este următoarea. În loc să se calculeze integrala folosind formula (1), mai întâi se calculează valorile funcției f (x i) = y eu la unele noduri x i Î[ A , b]. Apoi se alege polinomul de interpolare P (X) trecand prin punctele obtinute ( x i , y eu), care este utilizat la calcularea valorii aproximative a integralei (1):

.

La implementarea acestei abordări, formulele de integrare numerică iau următoarea formă generală:

, (2) - noduri de interpolare, Ai sunt niște coeficienți, R– termen rezidual care caracterizează eroarea formulei. Rețineți că formulele de forma (2) se numesc formule de cuadratura.

Sensul geometric al integrării numerice este de a calcula aria unui trapez curbiliniu mărginit de graficul funcției f (X), o axă de abscisă și două drepte x = ași x = b. Un calcul aproximativ al ariei duce la respingerea termenului rezidual din formulele de cuadratura R caracterizarea erorii metodei, care este suprapusă suplimentar de eroarea de calcul.

1. Metode de integrare numerică

În cercetarea aplicată, devine adesea necesar să se calculeze valoarea unei integrale definite

După cum se știe din cursul de matematică, calculul analitic al integralei nu poate fi efectuat în toate cazurile. Și chiar și în cazul în care este posibil să se găsească forma analitică a acestei integrale, procedura de calcul dă un rezultat aproximativ, deci se pune problema valorii aproximative a acestei integrale.

Esenţa calculului aproximativ constă în două operaţii: 1. în alegerea unui număr finit în locul lui n; 2. în selecţia punctului

în secțiunea corespunzătoare.

În funcție de alegere

obținem diverse formule pentru calcularea integralei: Formule pentru dreptunghiuri stânga și dreapta (5), (6) (5) (6)

Formula trapezoidală:

Formula Simpson

b, a - capete ale segmentului considerat.

Pentru a compara rezultatele calculului prin formulele de integrare numerică de mai sus, calculăm următoarea integrală în 3 moduri, împărțind segmentul în 6 segmente egale: h=

După formula dreptunghiurilor din stânga:

După formula trapezoidală:

Conform formulei lui Simpson:

Iar rezultatul obtinut analitic este egal cu

=1

Prin urmare, putem concluziona că metoda numerică de integrare conform formulei Simpson este mai precisă, dar este utilizată în cazul general la împărțirea segmentului fiind separat într-un număr par de intervale.

2. Formule de cuadratura

Formule dreptunghiulare sunt cele mai simple formule de cuadratura. Să împărțim segmentul de integrare [ a, b] pe P lungime părți egale

. Rețineți că valoarea h se numește pasul de integrare. La punctele de despicare X 0 = a ,X 1 = a + h , ..., x n = b notează ordonatele y 0 ,y 1 ,…,y n strâmb f (X), adică calcula i = f (x i), x i = a+ ih = x i -1 + h (i =). Pe fiecare segment de lungime h construiți un dreptunghi cu laturile hși y eu, Unde i =, adică prin valorile ordonatelor calculate la capetele din stânga ale segmentelor. Apoi, aria trapezului curbiliniu, care determină valoarea integralei (1), poate fi reprezentată aproximativ ca suma ariilor dreptunghiurilor (Fig. 1). De aici obținem formula dreptunghiurilor:
. (3)

Dacă, la calcularea sumei integrale, luăm valorile funcției f (X) nu la stânga, ci la capetele drepte ale segmentelor de lungime h, care este prezentat în fig. 1 cu o linie punctată, apoi obținem a doua versiune a formulei dreptunghiului:

. (4)

A treia variantă a formulei dreptunghiurilor poate fi obținută utilizând valorile funcției f (X) calculată la mijlocul fiecărui segment de lungime h(Fig. 2):

. (5)

Formulele (3), (4) și (4) se numesc formulele dreptunghiului din stânga, din dreapta și, respectiv, central.

Formula Simpson.Împărțim intervalul de integrare în 2 n lungime părți egale

. Pe fiecare segment [ x i , x i+2] integrand f (X) se înlocuiește cu o parabolă care trece prin punctele ( x i , y eu), (x i +1 , y eu +1), (x i +2 , y eu+2). Atunci valoarea aproximativă a integralei este determinată de formula Simpson: . (7)

Când se calculează pe computer, următoarea formulă este mai convenabilă:

Metoda lui Simpson este una dintre cele mai cunoscute și utilizate metode de integrare numerică, dă valori exacte ale integralei la integrarea polinoamelor de până la ordinul trei inclusiv.

formula lui Newton. Valoarea aproximativă a integralei conform formulei lui Newton se calculează după cum urmează:

unde numărul de segmente ale partiției este un multiplu de trei, adică este 3 n. Când dezvoltați programe de calculator, este mai convenabil să utilizați formula echivalentă:

Metoda lui Newton oferă valori exacte ale integralei atunci când se integrează polinoame până la ordinul al patrulea inclusiv.

3. Selectarea automată a etapei de integrare

În urma calculului prin formulele (3) - (8) se obține o valoare aproximativă a integralei, care poate diferi de cea exactă cu o anumită valoare, numită eroare de integrare. Eroarea este determinată de formula restului R, diferit pentru fiecare dintre metodele de integrare. Dacă este necesar să se calculeze valoarea integralei cu o eroare care nu depășește e, atunci este necesar să se aleagă un astfel de pas de integrare h pentru a satisface inegalitatea R (h) £e. În practică, se utilizează selecția automată a valorii h, care asigură realizarea erorii specificate. Mai întâi se calculează valoarea integralei eu (n), împărțind intervalul de integrare în P secțiuni, apoi se dublează numărul de secțiuni și se calculează integrala eu (2n). Procesul de calcul este continuat până când condiția devine adevărată.

Integrare numerică

Principalele întrebări discutate la prelegere:

2. Formule de cuadratura Newton-Cotes

3. Formulele dreptunghiurilor

4. Formula trapezoidală

5. Formula Simpson

6. Formule de cuadratura ale lui Gauss

7. Metoda Monte Carlo

1. Enunțarea problemei integrării numerice

Este necesar să se calculeze o integrală definită de forma , iar funcția poate fi dată atât sub formă de formulă, cât și sub formă de tabel.

Formule de cuadratura Newton-Cotes

,
Unde - Coeficienții Cotes.
Aceste formule dau reprezentări diferite pentru un număr diferit n de segmente de partiție pe același segment de integrare.

Formule dreptunghiulare

Să fie necesar să se calculeze integrala .
Dacă segmentul de integrare este suficient de mare, atunci trebuie să-l împărțiți în segmente mai mici de lungime egală, unde n este numărul de segmente, iar înlocuind trapezul curbiliniu cu un dreptunghi pe fiecare dintre segmente, calculați ariile acestor dreptunghiuri. Apoi suprafețele rezultate trebuie adunate, iar această sumă va fi luată ca valoare aproximativă a integralei dorite.
În ceea ce privește construcția dreptunghiurilor, acestea pot fi construite în moduri diferite: puteți desena o perpendiculară pe intersecția cu curba f (x) de la capătul drept al fiecărui segment (Fig. 1), puteți - de la capătul din stânga (Fig. 2)

Orez. unu

Orez. 2

În funcție de aceasta, formulele de calcul sunt oarecum diferite și se numesc formulele dreptunghiurilor cu ordonate dreapta sau stânga, respectiv:

(formula dreptunghiurilor „dreapte”)

(formula dreptunghiurilor „stânga”)
Există, de asemenea, o formulă pentru dreptunghiuri „de mijloc”: , pentru care construcția dreptunghiurilor se realizează prin punctele de mijloc ale fiecăruia dintre segmentele partiției:

· Formula trapezoidală

· Formula Simpson

Inlocuind pe fiecare segment al partitiei o parte din curba y = f(x) pe o curbă parabolică, calculând ariile figurilor rezultate și însumându-le, obținem formula Simpson:

·

· Formule de cuadratura ale lui Gauss

În mod tradițional, la obținerea formulelor gaussiene în cuadratura în integrala inițială, se efectuează o schimbare de variabilă, traducând integrala peste segment în integrală peste segmentul [-1; unu]:

.
Apoi .
Vom folosi interpolarea liniară a integrandului.
Dacă în loc de segmentul [-1; 1] pentru a lua nodurile în mișcare t1, t2 ca noduri de interpolare, atunci trebuie să alegeți aceste valori astfel încât aria trapezului mărginită de sus de linia dreaptă care trece prin punctele A1 (t1, φ(t1) ) și A2 (t2, φ(t2)) a fost egală cu integrala oricărui polinom de gradul cel mai înalt.
Presupunând că acesta este un polinom de gradul al treilea, calculăm t1, t2, care se dovedesc a fi egale cu și , diferind doar prin numerotarea valorilor.
Mai mult, împărțind segmentul de integrare în n părți, aplicând ideea descrisă mai sus la fiecare dintre ele, putem obține formula Gauss:

Integrare numerică

Integrare numerică(nume istoric: (numeric) cuadratura ) - calculul valorii unei integrale definite (de obicei aproximativă). Integrarea numerică este înțeleasă ca un set de metode numerice de găsire a valorii unei anumite integrale.

Integrarea numerică se aplică atunci când:

În aceste două cazuri, este imposibil să se calculeze integrala folosind formula Newton-Leibniz. De asemenea, este posibil ca forma antiderivatei să fie atât de complexă încât este mai rapid să se calculeze numeric valoarea integralei.

Caz unidimensional

Ideea principală a majorității metodelor de integrare numerică este de a înlocui integrandul cu unul mai simplu, a cărui integrală poate fi ușor calculată analitic. În acest caz, pentru a estima valoarea integralei, formulele formei

unde este numărul de puncte la care se calculează valoarea integrandului. Punctele se numesc nodurile metodei, numerele sunt greutățile nodurilor. Când integrandul este înlocuit cu un polinom de gradul zero, primul și al doilea, se obțin metodele dreptunghiurilor, trapezelor și, respectiv, parabolelor (Simpson). Adesea formulele de estimare a valorii integralei se numesc formule de cuadratura.

Un caz special este metoda de construire a formulelor de cuadratura integrală pentru grile uniforme, cunoscută ca Formule Cotes. Metoda poartă numele lui Roger Coates. Ideea principală a metodei este de a înlocui integrandu-ul cu un fel de polinom de interpolare. După ce luăm integrala, putem scrie

unde sunt numite numerele Coeficienții Cotesși sunt calculate ca integrale ale polinoamelor corespunzătoare din polinomul de interpolare original pentru integrand cu valoarea funcției la nod ( este pasul grilei; este numărul de noduri ale grilei, iar indicele nodului este ). Termenul este eroarea metodei, care poate fi găsită în diferite moduri. Pentru impar, eroarea poate fi găsită prin integrarea erorii polinomului de interpolare al integrandului.

Cazuri speciale ale formulelor Cotes sunt: ​​formule dreptunghiulare (n=0), formule trapezoidale (n=1), formula Simpson (n=2), formula Newton (n=3), etc.

Metoda dreptunghiului

Să fie necesar să se determine valoarea integralei funcției pe intervalul . Acest segment este împărțit de puncte în segmente egale de lungime Se notează cu valoarea funcției în puncte În continuare, alcătuim sumele Fiecare dintre sume este o sumă integrală pentru on și, prin urmare, exprimă aproximativ integrala

Dacă funcția dată este pozitivă și în creștere, atunci această formulă exprimă aria unei figuri în trepte alcătuită din dreptunghiuri „intrat”, numită și formula dreptunghiurilor din stânga, și formula

exprimă aria unei figuri în trepte constând din dreptunghiuri „ieșite”, numită și formula dreptunghiurilor dreptunghiulare. Cu cât lungimea segmentelor în care este împărțit segmentul este mai mică, cu atât valoarea calculată prin această formulă a integralei dorite este mai precisă.

Evident, merită să contam pe o precizie mai mare dacă luăm ca punct de referință punctul din mijlocul golului pentru găsirea înălțimii. Ca rezultat, obținem formula pentru dreptunghiurile din mijloc:

Având în vedere acuratețea a priori mai mare a ultimei formule cu același volum și natură a calculelor, se numește formula dreptunghiurilor

Metoda trapezoidală

Dacă funcția pe fiecare dintre segmentele parțiale este aproximată printr-o dreaptă care trece prin valorile finale, atunci obținem metoda trapezului.

Aria trapezului pe fiecare segment:

Eroare de aproximare pe fiecare segment:

Unde

Formula completă pentru trapeze în cazul împărțirii întregului interval de integrare în segmente de aceeași lungime:

Unde

Eroare de formulă trapezoidală:

Unde

Metoda parabolelor (metoda lui Simpson)

Folosind trei puncte ale segmentului de integrare, putem înlocui integrandul cu o parabolă. De obicei, capetele segmentului și punctul său de mijloc sunt folosite ca astfel de puncte. În acest caz, formula este foarte simplă

.

Dacă împărțim intervalul de integrare în părți egale, atunci avem

Creșterea preciziei

Aproximarea unei funcții cu un polinom pe întregul interval de integrare, de regulă, duce la o mare eroare în estimarea valorii integralei.

Pentru a reduce eroarea, segmentul de integrare este împărțit în părți și se utilizează o metodă numerică pentru a evalua integrala pe fiecare dintre ele.

Deoarece numărul de partiții tinde spre infinit, estimarea integralei tinde către valoarea sa adevărată pentru funcțiile analitice pentru orice metodă numerică.

Metodele de mai sus permit o procedură simplă de înjumătățire a pasului, în timp ce la fiecare pas este necesar să se calculeze valorile funcției numai la nodurile nou adăugate. Pentru a estima eroarea de calcul, se folosește regula Runge.

metoda Gauss

Metodele descrise mai sus folosesc puncte de segment fixe (capete și mijloc) și au o precizie de ordin scăzut (1 - metode dreptunghiul drept și stânga, 2 - metode dreptunghiul mijloc și trapez, 3 - metoda parabolă (Simpson)). Dacă putem alege punctele în care calculăm valorile funcției, atunci putem obține metode de un ordin mai mare de precizie cu același număr de calcule ale integrandului. Deci, pentru două calcule (ca și în metoda trapezului) ale valorilor integrandului, puteți obține o metodă nu mai de ordinul 2, ci de ordinul 3 de precizie:

.

În general, folosind puncte, puteți obține o metodă cu o ordine de precizie. Valorile nodurilor metodei Gauss prin puncte sunt rădăcinile polinomului Legendre de grad.

Valorile nodurilor metodei Gaussiene și ponderile lor sunt date în cărțile de referință ale funcțiilor speciale. Cea mai cunoscută este metoda gaussiană în cinci puncte.

Metoda Gauss-Kronrod

Dezavantajul metodei Gauss este că nu are o modalitate uşoară (din punct de vedere computaţional) de a estima eroarea valorii obţinute a integralei. Utilizarea regulii lui Runge necesită calcularea integrandului la aproximativ același număr de puncte, în timp ce nu oferă practic niciun câștig în precizie, spre deosebire de metodele simple, în care precizia crește de mai multe ori cu fiecare nouă partiție. Kronrod a propus următoarea metodă de estimare a valorii integralei

,

unde sunt nodurile metodei Gauss pe puncte, iar parametrii , , sunt aleși în așa fel încât ordinea de precizie a metodei să fie egală cu .

Apoi, pentru a estima eroarea, puteți folosi formula empirică:

,

unde este valoarea aproximativă a integralei obţinute prin metoda Gauss peste puncte. Bibliotecile gsl și SLATEC pentru calcularea integralelor definite conțin rutine folosind metoda Gauss-Kronrod pentru 15, 21, 31, 41, 51 și 61 de puncte. Biblioteca folosește metoda Gauss-Kronrod pentru 15 puncte.

metoda Cebyshev

Integrare sub limite infinite

Pentru a integra peste limite infinite, trebuie să introduceți o grilă neuniformă, ai cărei pași cresc pe măsură ce mergeți la infinit, sau puteți face o astfel de modificare a variabilelor în integrală, după care limitele vor fi finite. Se poate proceda într-un mod similar dacă funcția este singulară la capetele intervalului de integrare

Metode Monte Carlo

Figura 3 Integrarea numerică a unei funcții prin metoda Monte Carlo

Pentru a determina aria de sub graficul funcției, puteți utiliza următorul algoritm stocastic:

Pentru un număr mic de dimensiuni ale unei funcții integrabile, performanța integrării Monte Carlo este mult mai mică decât performanța metodelor deterministe. Totuși, în unele cazuri, când funcția este implicit specificată, dar este necesară determinarea ariei specificate sub formă de inegalități complexe, metoda stocastică poate fi mai de preferat.

Metode Runge-Kutta

metoda spline

Caz multivariat

În dimensiuni mici, se pot aplica și formule de cuadratura bazate pe polinoame de interpolare. Cu toate acestea, în dimensiuni mai mari, aceste metode devin inacceptabile din cauza creșterii rapide a numărului de puncte ale grilei și/sau a graniței complexe a regiunii. În acest caz, se aplică metoda Monte Carlo. Punctele aleatorii sunt generate în zona noastră, iar valorile funcției din ele sunt mediate. De asemenea, puteți utiliza o abordare mixtă - împărțiți zona în mai multe părți, în fiecare dintre acestea (sau numai în cele în care integrala nu poate fi calculată din cauza unei granițe complexe) se aplică metoda Monte Carlo.

Literatură

1. Kahaner D., Moler K., Nash S. Metode numerice și software (tradus din engleză). M.: Mir, 2001, 575 p.