Numele științei „geometrie” este tradus ca „măsurarea pământului”. S-a născut prin eforturile primilor geodeți antici. Și s-a întâmplat așa: în timpul inundațiilor Nilului sacru, pâraiele de apă spălau uneori granițele parcelelor fermierilor, iar noile granițe s-ar putea să nu coincidă cu cele vechi. Impozitele erau plătite de țărani la vistieria faraonului proporțional cu mărimea terenului. După deversare, persoane speciale au fost angajate în măsurarea suprafețelor de teren arabil din noile limite. În urma activităților lor, a apărut o nouă știință, care a fost dezvoltată în Grecia antică. Acolo și-a primit numele și a căpătat un aspect aproape modern. În viitor, termenul a devenit numele internațional pentru știința figurilor plate și tridimensionale.

Planimetria este o ramură a geometriei care se ocupă cu studiul figurilor plane. O altă ramură a științei este stereometria, care ia în considerare proprietățile figurilor spațiale (volumice). Cilindrul descris în acest articol aparține și el unor astfel de figuri.

Există o mulțime de exemple de prezență a obiectelor cilindrice în viața de zi cu zi. Aproape toate părțile de rotație - arborii, bucșele, gâturile, osiile etc. au o formă cilindrică (mult mai rar - conică). Cilindrul este utilizat pe scară largă în construcții: turnuri, suport, coloane decorative. Și în plus, vase, unele tipuri de ambalaje, țevi de diferite diametre. Și în sfârșit - celebrele pălării, care au devenit de mult timp un simbol al eleganței masculine. Lista este nesfârșită.

Definirea unui cilindru ca figură geometrică

Un cilindru (cilindru circular) este de obicei numit o figură constând din două cercuri, care, dacă se dorește, sunt combinate folosind translația paralelă. Aceste cercuri sunt bazele cilindrului. Dar liniile (segmente drepte) care leagă punctele corespunzătoare se numesc „generatoare”.

Este important ca bazele cilindrului să fie întotdeauna egale (dacă această condiție nu este îndeplinită, atunci avem în față un trunchi de con, altceva, dar nu un cilindru) și să fie în planuri paralele. Segmentele care leagă punctele corespunzătoare de pe cercuri sunt paralele și egale.

Totalitatea unui set infinit de generatoare nu este altceva decât suprafața laterală a unui cilindru - unul dintre elementele unei figuri geometrice date. Cealaltă componentă importantă a acesteia sunt cercurile discutate mai sus. Se numesc baze.

Tipuri de cilindri

Cel mai simplu și cel mai comun tip de cilindru este circular. Este format din două cercuri regulate care acționează ca baze. Dar în locul lor pot exista și alte cifre.

Bazele cilindrilor pot forma (cu excepția cercurilor) elipse și alte figuri închise. Dar cilindrul poate să nu aibă neapărat o formă închisă. De exemplu, o parabolă, o hiperbolă sau o altă funcție deschisă poate servi ca bază a unui cilindru. Un astfel de cilindru va fi deschis sau desfășurat.

Dupa unghiul de inclinare al generatricelor fata de baze, cilindrii pot fi drepti sau inclinati. Pentru un cilindru drept, generatoarele sunt strict perpendiculare pe planul bazei. Dacă acest unghi diferă de 90°, cilindrul este înclinat.

Ce este o suprafață a revoluției

Un cilindru circular drept este, fără îndoială, cea mai comună suprafață de revoluție folosită în inginerie. Uneori, conform indicațiilor tehnice, se folosesc suprafețe conice, sferice și alte tipuri de suprafețe, dar 99% din toți arborii rotativi, osii etc. realizate sub formă de cilindri. Pentru a înțelege mai bine ce este o suprafață de revoluție, putem lua în considerare modul în care este format cilindrul în sine.

Să spunem că există o linie A plasat vertical. ABCD este un dreptunghi, una dintre ale cărui laturi (segmentul AB) se află pe o dreaptă A. Dacă rotim un dreptunghi în jurul unei linii drepte, așa cum se arată în figură, volumul pe care îl va ocupa în timp ce se rotește va fi corpul nostru de revoluție - un cilindru circular drept cu înălțimea H = AB = DC și raza R = AD = BC.

În acest caz, ca urmare a rotației figurii - un dreptunghi - se obține un cilindru. Rotind un triunghi, puteți obține un con, rotind un semicerc - o minge etc.

Suprafața cilindrului

Pentru a calcula suprafața unui cilindru circular drept obișnuit, este necesar să se calculeze ariile bazelor și ale suprafeței laterale.

Mai întâi, să ne uităm la modul în care se calculează aria suprafeței laterale. Acesta este produsul dintre circumferința și înălțimea cilindrului. Circumferința, la rândul său, este egală cu dublul produsului numărului universal P la raza cercului.

Se știe că aria unui cerc este egală cu produsul P la pătratul razei. Deci, adăugând formulele pentru aria de determinare a suprafeței laterale cu de două ori expresia pentru aria de bază (sunt două) și efectuând transformări algebrice simple, obținem expresia finală pentru determinarea ariei suprafeței cilindru.

Determinarea volumului unei figuri

Volumul unui cilindru este determinat de schema standard: suprafața bazei este înmulțită cu înălțimea.

Astfel, formula finală arată astfel: doritul este definit ca produsul înălțimii corpului cu numărul universal. Pși pătratul razei bazei.

Formula rezultată, trebuie spus, este aplicabilă pentru rezolvarea celor mai neașteptate probleme. În același mod ca și volumul unui cilindru, de exemplu, se determină volumul cablurilor electrice. Acest lucru poate fi necesar pentru a calcula masa firelor.

Singura diferență în formulă este că, în loc de raza unui cilindru, există diametrul miezului de cablu împărțit în două, iar numărul de miezuri din fir apare în expresie N. De asemenea, lungimea firului este folosită în loc de înălțime. Astfel, volumul „cilindrului” este calculat nu de unul, ci de numărul de fire din împletitură.

Astfel de calcule sunt adesea necesare în practică. La urma urmei, o parte semnificativă a rezervoarelor de apă este realizată sub formă de țeavă. Și este adesea necesar să se calculeze volumul unui cilindru chiar și în gospodărie.

Cu toate acestea, după cum sa menționat deja, forma cilindrului poate fi diferită. Și în unele cazuri este necesar să se calculeze cu ce este egal volumul cilindrului înclinat.

Diferența este că suprafața bazei este înmulțită nu cu lungimea generatricei, ca în cazul unui cilindru drept, ci cu distanța dintre plane - un segment perpendicular construit între ele.

După cum se poate observa din figură, un astfel de segment este egal cu produsul lungimii generatricei cu sinusul unghiului de înclinare al generatricei față de plan.

Cum se construiește un cilindru de măturat

În unele cazuri, este necesară tăierea unui alez cilindric. Figura de mai jos arată regulile prin care se construiește un semifabricat pentru fabricarea unui cilindru cu o înălțime și un diametru dat.

Vă rugăm să rețineți că figura este afișată fără cusături.

Diferențele de cilindru teșit

Să ne imaginăm un cilindru drept mărginit pe o parte de un plan perpendicular pe generatoare. Dar planul care limitează cilindrul pe cealaltă parte nu este perpendicular pe generatoare și nu este paralel cu primul plan.

Figura prezintă un cilindru teșit. Avion A la un alt unghi decât 90° față de generatoare, intersectează figura.

Această formă geometrică este mai frecventă în practică sub formă de conexiuni de conducte (coturi). Dar există chiar și clădiri construite sub forma unui cilindru teșit.

Caracteristicile geometrice ale cilindrului teșit

Panta unuia dintre planurile cilindrului teșit modifică ușor ordinea de calcul atât a suprafeței unei astfel de figuri, cât și a volumului acesteia.

1.1. Definiția cilindrului 4

1. 3. Secțiuni ale cilindrului 8

1.5. Volumul cilindrului 14

Sarcina 1. 16

Sarcina 2. 16

Sarcina 3. 17

Sarcina 4. 18

Problema 5. 19

Sarcina 6. 20

Problema 7. 21

Problema 8. 22

Sarcina 9. 23

Problema 10. 24

Problema 11. 25

Sarcina 12. 26

Introducere

Stereometria este o ramură a geometriei care studiază formele din spațiu. Principalele figuri din spațiu sunt un punct, o dreaptă și un plan. Un nou tip de aranjare reciprocă a liniilor apare în stereometrie: liniile oblice. Aceasta este una dintre puținele diferențe semnificative dintre geometria solidă și planimetrie, deoarece în multe cazuri problemele de stereometrie sunt rezolvate prin luarea în considerare a diferitelor planuri în care sunt îndeplinite legile planimetrice.

În natura din jurul nostru, există multe obiecte care sunt modele fizice ale acestei figuri. De exemplu, multe piese de mașină sunt sub forma unui cilindru sau a unei combinații a acestora, iar coloanele maiestuoase ale templelor și catedralelor, realizate sub formă de cilindri, le subliniază armonia și frumusețea.

greacă − kyulindros. termen antic. În viața de zi cu zi - un sul de papirus, o rolă, un patinoar (verb - răsucire, rostogolire).

În Euclid, un cilindru se obține prin rotirea unui dreptunghi. Pentru Cavalieri - prin mișcarea generatricei (cu un ghid arbitrar - „cilindru”).

Scopul acestui eseu este de a considera un corp geometric - un cilindru.

Pentru a atinge acest obiectiv, trebuie luate în considerare următoarele sarcini:

− dați definiții pentru un cilindru;

- luați în considerare elementele cilindrului;

− să studieze proprietăţile cilindrului;

- luați în considerare tipurile de secțiune a cilindrului;

- deduceți formula pentru aria unui cilindru;

− se deduce formula pentru volumul unui cilindru;

− rezolvarea problemelor cu ajutorul unui cilindru.

1 Parte teoretică

1.1. Definiția cilindrului

Să considerăm o dreaptă (curbă, linie întreruptă sau linie mixtă) situată într-un plan α și o dreaptă S care intersectează acest plan. Prin toate punctele dreptei date l trasăm drepte paralele cu dreapta S; suprafața α formată de aceste drepte se numește suprafață cilindrică. Linia l se numește ghidajul acestei suprafețe, liniile s 1 , s 2 , s 3 ,... sunt generatoarele acesteia.

Dacă ghidajul este o linie întreruptă, atunci o astfel de suprafață cilindrică constă dintr-o serie de benzi plate închise între perechi de linii paralele și se numește suprafață prismatică. Generatricele care trec prin vârfurile poliliniei de ghidare se numesc marginile suprafeței prismatice, benzile plate dintre ele se numesc fețele acesteia.

Dacă tăiem orice suprafață cilindrică cu un plan arbitrar care nu este paralel cu generatoarele sale, atunci obținem o linie care poate fi luată și ca ghid pentru această suprafață. Dintre ghidaje se remarca unul, care se obtine din sectiunea suprafetei printr-un plan perpendicular pe generatoarele suprafetei. O astfel de secțiune se numește o secțiune normală, iar ghidul corespunzător este numit un ghid normal.

Dacă ghidajul este o linie închisă (convexă) (linie întreruptă sau curbă), atunci suprafața corespunzătoare se numește suprafață prismatică sau cilindrică închisă (convexă). Dintre suprafețele cilindrice, cea mai simplă are cercul său de ghidare normal. Să disecăm o suprafață prismatică convexă închisă prin două plane paralele între ele, dar nu paralele cu generatoarele.

În secțiuni obținem poligoane convexe. Acum partea suprafeței prismatice închisă între planurile α și α”, și cele două plăci poligonale formate în aceste planuri, limitează corpul, numit corp prismatic - prismă.

Un corp cilindric - un cilindru este definit în mod similar cu o prismă:
Un cilindru este un corp delimitat lateral de o suprafață cilindrică închisă (convexă) și de la capete de două baze paralele plate. Ambele baze ale cilindrului sunt egale și toți generatorii cilindrului sunt, de asemenea, egali unul cu celălalt, adică. segmente care formează o suprafaţă cilindrică între planurile bazelor.

Un cilindru (mai precis, un cilindru circular) este un corp geometric, care constă din două cercuri care nu se află în același plan și sunt combinate prin transfer paralel și toate segmentele care conectează punctele corespunzătoare ale acestor cercuri (Fig. 1) .

Orez. 1 − Cilindru

1.2. Elementele și proprietățile unui cilindru

Cercurile se numesc bazele cilindrului, iar segmentele care leagă punctele corespunzătoare ale cercurilor cercurilor sunt numite generatoare ale cilindrului.

Deoarece translația paralelă este mișcare, bazele cilindrului sunt egale.

Deoarece în timpul translației paralele planul trece într-un plan paralel (sau în sine), atunci bazele cilindrului se află în planuri paralele.

Deoarece, în timpul translației paralele, punctele sunt deplasate de-a lungul liniilor paralele (sau care coincid) la aceeași distanță, atunci generatoarele cilindrului sunt paralele și egale.

Suprafața unui cilindru este formată din baze și o suprafață laterală. Suprafața laterală este compusă din generatoare.

Un cilindru se numește drept dacă generatoarele lui sunt perpendiculare pe planurile bazelor.

Un cilindru drept poate fi vizualizat ca un corp geometric care descrie un dreptunghi pe măsură ce se rotește în jurul laturii ca o axă (Fig. 2).

Orez. 2 − Cilindru drept

În cele ce urmează, vom lua în considerare doar un cilindru drept, numindu-l pur și simplu cilindru pentru concizie.

Raza unui cilindru este raza bazei acestuia. Înălțimea unui cilindru este distanța dintre planurile bazelor sale. Axa unui cilindru este o linie dreaptă care trece prin centrele bazelor. Este paralel cu generatoarele.

Cilindrul se numește echilateral, dacă înălţimea sa este egală cu diametrul bazei.

Dacă bazele cilindrului sunt plate (și, prin urmare, planurile care le conțin sunt paralele), atunci se spune că cilindrul stă pe un plan. Dacă bazele unui cilindru aflat pe un plan sunt perpendiculare pe generatoare, atunci cilindrul se numește drept.

În special, dacă baza unui cilindru aflat pe un plan este un cerc, atunci se vorbește despre un cilindru circular (rotund); dacă este o elipsă, atunci eliptică.

1. 3. Secțiuni ale cilindrului

Secțiunea cilindrului după un plan paralel cu axa acestuia este un dreptunghi (fig. 3, a). Două dintre laturile sale sunt generatrice ale cilindrului, iar celelalte două sunt coarde paralele ale bazelor.

Orez. 3 - Secțiuni ale cilindrului

În special, dreptunghiul este secțiunea axială. Aceasta este o secțiune a cilindrului printr-un plan care trece prin axa acestuia (Fig. 3, b).

Secțiunea cilindrului după un plan paralel cu baza este un cerc (Fig. 3, c).

Secțiunea transversală a cilindrului cu un plan care nu este paralel cu baza și axa acestuia este ovală (Fig. 3d).

Teorema 1. Un plan paralel cu planul bazei cilindrului își intersectează suprafața laterală de-a lungul unui cerc egal cu circumferința bazei.

D
dovada. Fie β un plan paralel cu planul bazei cilindrului. Transferul paralel în direcția axei cilindrului, care combină planul β cu planul bazei cilindrului, combină secțiunea suprafeței laterale de către planul β cu circumferința bazei. Teorema a fost demonstrată.

1.4. Zona cilindrului

Zona suprafeței laterale a cilindrului.

Aria suprafeței laterale a cilindrului este considerată limita la care tinde aria suprafeței laterale a unei prisme regulate înscrise în cilindru atunci când numărul de laturi ale bazei acestei prisme crește la nesfârșit.

Teorema 2. Aria suprafeței laterale a cilindrului este egală cu produsul dintre circumferința bazei sale și înălțimea (latura S.c = 2πRH, unde R este raza bazei cilindrului, H este înălțimea cilindrului).

A)
b)
Orez. 4 - Aria suprafeței laterale a cilindrului

Dovada.

Fie P n și, respectiv, H perimetrul bazei și înălțimea unei prisme regulate n-gonale înscrise într-un cilindru (Fig. 4, a). Atunci aria suprafeței laterale a acestei prisme este latura S.c − P n H. Să presupunem că numărul de laturi ale poligonului înscris în bază crește la nesfârșit (Fig. 4, b). Atunci perimetrul P n tinde spre circumferința C = 2πR, unde R este raza bazei cilindrului, iar înălțimea H nu se modifică. Astfel, aria suprafeței laterale a prismei tinde spre limita 2πRH, adică aria suprafeței laterale a cilindrului este egală cu latura S.c = 2πRH. Teorema a fost demonstrată.

Suprafața totală a cilindrului.

Suprafața totală a unui cilindru este suma suprafețelor laterale și a celor două baze. Aria fiecărei baze a cilindrului este egală cu πR 2, prin urmare, aria întregii suprafețe a cilindrului S plin este calculată prin formula S side.c \u003d 2πRH + 2πR 2.

T 1

F 1

A)

B)

Orez. 5 - Suprafața completă a cilindrului

Dacă suprafața laterală a cilindrului este tăiată de-a lungul generatricei FT (Fig. 5, a) și desfășurată astfel încât toate generatricele să fie în același plan, atunci ca rezultat obținem un dreptunghi FTT1F1, care se numește dezvoltarea suprafata laterala a cilindrului. Latura FF1 a dreptunghiului este o dezvoltare a circumferinței bazei cilindrului, prin urmare, FF1=2πR, iar latura sa FT este egală cu generatricea cilindrului, adică FT = H (Fig. 5, b). Astfel, aria FT∙FF1=2πRH a dezvoltării cilindrului este egală cu aria suprafeței sale laterale.

kylindros, rolă, rolă) - un corp geometric delimitat de o suprafață cilindrică (numită suprafața laterală a cilindrului) și nu mai mult de două suprafețe (baze cilindrice); în plus, dacă există două baze, atunci una se obține din cealaltă prin transfer paralel de-a lungul generatricei suprafeței laterale a cilindrului; iar baza intersectează fiecare generatrică a suprafeței laterale exact o dată.

Se numește un corp infinit delimitat de o suprafață cilindrică infinită închisă cilindru nesfârșit, delimitat de o rază cilindrica închisă și baza ei, se numește cilindru deschis. Baza și generatoarele unui fascicul cilindric se numesc baza și, respectiv, generatoarele unui cilindru deschis.

Un corp finit delimitat de o suprafață cilindrică finită închisă și două secțiuni care îl despart se numește cilindru final, sau de fapt cilindru. Secțiunile se numesc bazele cilindrului. Prin definiția unei suprafețe cilindrice finite, bazele unui cilindru sunt egale.

În mod evident, generatoarele suprafeței laterale a cilindrului sunt egale ca lungime (numite înălţime cilindru) segmente situate pe linii paralele, iar capetele lor situate pe bazele cilindrului. Curiozitățile matematice includ definirea oricărei suprafețe tridimensionale finite fără auto-intersecții ca un cilindru cu înălțime zero (această suprafață este considerată simultan de ambele baze ale unui cilindru finit). Bazele cilindrului afectează calitativ cilindrul.

Dacă bazele cilindrului sunt plate (și, prin urmare, planurile care le conțin sunt paralele), atunci cilindrul se numește stând în avion. Dacă bazele unui cilindru aflat pe un plan sunt perpendiculare pe generatoare, atunci cilindrul se numește drept.

În special, dacă baza unui cilindru aflat pe un plan este un cerc, atunci se vorbește despre un cilindru circular (rotund); dacă o elipsă - atunci eliptică.

Volumul cilindrului final este egal cu integrala ariei bazei de-a lungul generatricei. În special, volumul unui cilindru circular drept este

,

(unde este raza bazei, este înălțimea).

Suprafața laterală a unui cilindru se calculează folosind următoarea formulă:

.

Suprafața totală a unui cilindru este suma suprafeței laterale și aria bazelor. Pentru un cilindru circular drept:

.

Fundația Wikimedia. 2010 .

Vedeți ce este „Cilidru (geometrie)” în alte dicționare:

O ramură a matematicii care studiază proprietățile diferitelor forme (puncte, linii, unghiuri, obiecte bidimensionale și tridimensionale), dimensiunea și poziția relativă a acestora. Pentru comoditatea predării, geometria este împărțită în planimetrie și geometrie solidă. LA… … Enciclopedia Collier

- (γήμετρώ pământ, μετρώ măsura). Conceptele de spațiu, poziție și formă se numără printre cele originale, cu care omul era deja familiarizat în vremurile străvechi. Primii pași în Georgia au fost făcut de egipteni și caldeeni. În Grecia, G. a fost introdus ...... Dicţionar enciclopedic F.A. Brockhaus și I.A. Efron

GEOMETRIE LIBERA DE SURFACE- forma suprafeţei libere, formată sub acţiunea gravitaţiei şi a forţei centrifuge în timpul rotaţiei metalului lichid în jurul axei de rotaţie. Cu o axă orizontală de rotație, suprafața liberă este un cilindru circular, cu o verticală ... Dicţionar metalurgic

O secțiune de geometrie în care imaginile geometrice sunt studiate prin metode de analiză matematică. Obiectele principale ale DG sunt curbe (linii) și suprafețe ale spațiului euclidian suficient de netede, precum și familii de linii și ...

Acest termen are alte semnificații, vezi Pyramidatsu (sensuri). Fiabilitatea acestei secțiuni a articolului a fost pusă la îndoială. Este necesar să se verifice acuratețea faptelor menționate în această secțiune. Pot exista explicații pe pagina de discuții... Wikipedia

O teorie care studiază geometria externă și relația dintre extern și intern. geometria subvarietăților spațiului euclidian sau riemannian. P. m. g. este o generalizare a clasicului. Geometria diferențială a suprafețelor din spațiul euclidian. Enciclopedie matematică

Sistem de coordonate carteziene Secțiune de geometrie analitică a geometriei în care ... Wikipedia

Secțiune de geometrie, în care se studiază geometria. imagini, în primul rând curbe și suprafețe, prin metode matematice. analiză. De obicei, în DG-uri proprietățile curbelor și suprafețelor sunt studiate în mici, adică proprietățile unor bucăți arbitrar mici ale acestora. În plus, în… Enciclopedie matematică

Acest termen are alte semnificații, vezi Domeniul de aplicare (sensuri). Volumul este o funcție aditivă a unei mulțimi (măsuri) care caracterizează capacitatea unei regiuni a spațiului pe care o ocupă. Inițial, a apărut și a fost aplicat fără stricte ... ... Wikipedia

O parte a geometriei inclusă în matematica elementară (vezi matematica elementară). Granițele egalitarismului, precum și ale matematicii elementare în general, nu sunt strict delimitate. Ei spun că E.g. este acea parte a geometriei care este studiată în ...... Marea Enciclopedie Sovietică

Cărți

• Geometrie veselă pentru cei mici, Timofeevsky Alexander Pavlovich. O nouă carte a minunatului poet, autor al binecunoscutului Cântec al crocodilului Gena Alexander Timofeevsky, cu ilustrații vii de Leonid Shmelkov într-un mod jucăuș, îi introduce pe copii în principalele ...

O suprafață cilindrică se formează prin deplasarea unei linii drepte paralele cu ea însăși. Punctul dreptei, care este selectat, se deplasează de-a lungul curbei plane date - ghid. Această linie se numește generatoarea unei suprafeţe cilindrice.

Drept cilindru este un cilindru în care generatoarele sunt perpendiculare pe bază. Dacă generatoarele cilindrului nu sunt perpendiculare pe bază, atunci aceasta va fi cilindru înclinat.

cilindru circular- un cilindru a cărui bază este un cerc.

cilindru rotund- un cilindru care este atât drept, cât și circular.

Cilindru circular drept determinat de raza bazei Rși generatoare L, care este egală cu înălțimea cilindrului H.

O prismă este un caz special al unui cilindru.

Formule pentru găsirea elementelor unui cilindru.

Suprafața laterală a unui cilindru circular drept:

Latura S = 2πRH

Suprafața totală a unui cilindru circular drept:

S=Slatură+ 2Sprincipal = 2 π R(H+R)

Volumul unui cilindru circular drept:

V = S principal H = πR 2 H

Un cilindru circular drept cu o bază teșită sau un cilindru scurt teșit este definit de raza bazei R, inaltime minima h1 si inaltimea maxima h2.

Suprafața laterală a cilindrului teșit:

Latura S \u003d πR (h 1 + h 2)

Aria bazelor unui cilindru teșit.

Un cilindru este un corp geometric delimitat de două plane paralele și o suprafață cilindrică. În articol, vom vorbi despre cum să găsim aria unui cilindru și, folosind formula, vom rezolva mai multe probleme, de exemplu.

Un cilindru are trei suprafețe: o suprafață de sus, una de jos și o suprafață laterală.

Partea de sus și de jos a cilindrului sunt cercuri și sunt ușor de definit.

Se știe că aria unui cerc este egală cu πr 2 . Prin urmare, formula pentru aria a două cercuri (sus și jos a cilindrului) va arăta ca πr 2 + πr 2 = 2πr 2 .

A treia suprafață laterală a cilindrului este peretele curbat al cilindrului. Pentru a reprezenta mai bine această suprafață, să încercăm să o transformăm pentru a obține o formă recunoscută. Imaginați-vă că un cilindru este o cutie de conserve obișnuită care nu are capac superior și fund. Să facem o incizie verticală pe peretele lateral de sus până jos al borcanului (Pasul 1 din figură) și să încercăm să deschidem (îndreptați) figura rezultată cât mai mult posibil (Pasul 2).

După dezvăluirea completă a borcanului rezultat, vom vedea o figură familiară (Pasul 3), acesta este un dreptunghi. Aria unui dreptunghi este ușor de calculat. Dar înainte de asta, să revenim pentru o clipă la cilindrul original. Vârful cilindrului inițial este un cerc și știm că circumferința unui cerc se calculează prin formula: L = 2πr. Este marcat cu roșu în figură.

Când peretele lateral al cilindrului este complet extins, vedem că circumferința devine lungimea dreptunghiului rezultat. Laturile acestui dreptunghi vor fi circumferința (L = 2πr) și înălțimea cilindrului (h). Aria unui dreptunghi este egală cu produsul laturilor sale - S = lungime x lățime = L x h = 2πr x h = 2πrh. Ca rezultat, am obținut o formulă pentru calcularea suprafeței laterale a unui cilindru.

Formula pentru aria suprafeței laterale a unui cilindru
partea S = 2prh

Suprafața completă a unui cilindru

În cele din urmă, dacă adunăm aria tuturor celor trei suprafețe, obținem formula pentru suprafața totală a unui cilindru. Suprafața cilindrului este egală cu aria vârfului cilindrului + aria bazei cilindrului + aria suprafeței laterale a cilindrului sau S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Uneori această expresie este scrisă cu formula identică 2πr (r + h).

Formula pentru suprafața totală a unui cilindru
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r este raza cilindrului, h este înălțimea cilindrului

Exemple de calcul al suprafeței unui cilindru

Pentru a înțelege formulele de mai sus, să încercăm să calculăm aria suprafeței unui cilindru folosind exemple.

1. Raza bazei cilindrului este 2, înălțimea este 3. Determinați aria suprafeței laterale a cilindrului.

Suprafața totală se calculează cu formula: partea S. = 2prh

partea S = 2 * 3,14 * 2 * 34,6 . Evaluări totale primite: 990.