Ak I = f0g, potom F = R.

VII.6. Dôkaz Frobeniove vety

Ak I = f0g, potom F = R.

Ak rozmer podpriestor I rovná sa 1, potom F = C.

VII.6. Dôkaz Frobeniove vety

Ak I = f0g, potom F = R.

Ak rozmer podpriestor I rovná sa 1, potom F = C. Nech rozmer podpriestor I viac ako 1.

VII.6. Dôkaz Frobeniove vety

Nechajte rozmer podpriestor I viac ako 1.

priestory I. Nech i = p1 u. Potom

VII.6. Dôkaz Frobeniove vety

Nechajte rozmer podpriestor I viac ako 1.

Berte lineárne nezávislý systém vektory fu; vg lineárny

priestory I. Nechaj som =
i2 =

VII.6. Dôkaz Frobeniove vety

Nechajte rozmer podpriestor I viac ako 1.

Vezmite lineárne nezávislý systém vektorov fu; vg lineárny

priestory I. Nechaj som =

u2 (u2) =

i2 = p1 u 2 u

p 1 u 2 u =

VII.6. Dôkaz Frobeniove vety

Nechajte rozmer podpriestor I viac ako 1.

Vezmite lineárne nezávislý systém vektorov fu; vg lineárny

priestory I. Nechaj som =

u 2 (u2 ) = 1:

i2 = p1 u 2 u

p 1 u 2 u =

VII.6. Dôkaz Frobeniove vety

Nechajte rozmer podpriestor I viac ako 1.

Vezmite lineárne nezávislý systém vektorov fu; vg lineárny

priestory I. Nech i = p1 u. Potom i2 = 1:

By do súčtu i v = + x, kde 2 R, x 2 I.

VII.6. Dôkaz Frobeniove vety

Nechajte rozmer podpriestor I viac ako 1.

Vezmite lineárne nezávislý systém vektorov fu; vg lineárny

priestory I. Nechaj som =										u. Potom i2 = 1:
			Lema o rozklade prvkov z F
			i v = + x, kde				2 R, x 2 I. Podľa
					(i + v) 2 I , in		najmä (i + v)2< 0.
			(i+v)2

VII.6. Dôkaz Frobeniove vety

Nechajte rozmer podpriestor I viac ako 1.

Vezmite lineárne nezávislý systém vektorov fu; vg lineárny

priestory I. Nechaj som =										u. Potom i2 = 1:
			Lema o rozklade prvkov z F
			i v = + x, kde				2 R, x 2 I. Podľa
					(i + v) 2 I , in		najmä (i + v)2< 0.
			(i+v)2

VII.6. Dôkaz Frobeniove vety

Nechajte rozmer podpriestor I viac ako 1.

Vezmite lineárne nezávislý systém vektorov fu; vg lineárny

priestory I. Nechaj som =

u. Potom i2 = 1:

Lema o rozklade prvkov z F

i v = + x, kde

2 R, x 2 I.

Podľa

(i + v) 2 I ,

najmä (i + v)2< 0.

(i+v)2

(i+v)!

(i+v)2

VII.6. Dôkaz Frobeniove vety

Nechajte rozmer podpriestor I viac ako 1.

Vezmite lineárne nezávislý systém vektorov fu; vg lineárny

priestory I. Nechaj som =

u. Potom i2 = 1:

Lema o rozklade prvkov z F

i v = + x, kde

2 R, x 2 I.

Podľa

(i + v) 2 I ,

najmä (i + v)2< 0.

(i+v)2

(i+v)!

(i+v)2

VII.6. Dôkaz Frobeniove vety

Nechajte rozmer podpriestor I viac ako 1.

Vezmite lineárne nezávislý systém vektorov fu; vg lineárny

priestory I. Nechaj som =								u. Potom i2 = 1:
					o rozklade				prvky z
				i v = + x, kde					2 R, x 2 I.
					(i + v). Máme j2 = 1,
		(i+v)2

VII.6. Dôkaz Frobeniove vety

Nechajte rozmer podpriestor I viac ako 1.

Vezmite lineárne nezávislý systém vektorov fu; vg lineárny

priestory I. Nechaj som =

u. Potom i2 = 1:

o rozklade

prvky z

i v = + x, kde

2 R, x 2 I.

(i1 + v). Máme j2 = 1,

(i+v)2

i j = i

(i+v)2

VII.6. Dôkaz Frobeniove vety

Nechajte rozmer podpriestor I viac ako 1.

Vezmite lineárne nezávislý systém vektorov fu; vg lineárny

priestory I. Nechaj som =

u. Potom i2 = 1:

o rozklade prvkov

i v = + x, kde

x 2 ja.

(i1 + v). Máme j2 = 1,

(i+v)2

i j = i

(i+v)2

(i+v)2

VII.6. Dôkaz Frobeniove vety

Nechajte rozmer podpriestor I viac ako 1.

Vezmite lineárne nezávislý systém vektorov fu; vg lineárny

priestory I. Nechaj som =

u. Potom i2 = 1:

o rozklade

prvkov

i v = + x, kde

x 2 ja.

(i1 + v). Máme j2 = 1,

(i+v)2

i j = i

(i+v)2

(i+v)2

(i+v)2

VII.6. Dôkaz Frobeniove vety

Nechajte rozmer podpriestor I viac ako 1.

Vezmite lineárne nezávislý systém vektorov fu; vg lineárny

priestory I. Nechaj som =

u. Potom i2 = 1:

o rozklade

prvkov

i v = + x, kde

x 2 ja.

(i1 + v). Máme j2 = 1,

(i+v)2

i j = i

(i+v)2

(i+v)2

x 2 ja:

(i+v)2

(i+v)2

VII.6. Dôkaz Frobeniove vety

Nechajte rozmer podpriestor I viac ako 1.

Vezmite lineárne nezávislý systém vektorov fu; vg lineárny

priestory I. Nechaj som =								u. Potom i2 = 1:
					o rozklade				prvky z
				i v = + x, kde					2 R, x 2 I.

(i+v)2

Znamená,

VII.6. Dôkaz Frobeniove vety

Nechajte rozmer podpriestor I viac ako 1.

Vezmite lineárne nezávislý systém vektorov fu; vg lineárny

priestory I. Nechaj som =								u. Potom i2 = 1:
					o rozklade				prvky z
				i v = + x, kde					2 R, x 2 I.
					(i + v). Máme j2 = 1, i j 2I :
		(i+v)2

I + j + i j; ; ; 2 R

quaternionové telo.

VII.6. Dôkaz Frobeniove vety

Nechajte rozmer podpriestor I viac ako 1.

Vezmite lineárne nezávislý systém vektorov fu; vg lineárny

priestory I. Nechaj som =								u. Potom i2 = 1:
					o rozklade				prvky z
				i v = + x, kde					2 R, x 2 I.
					(i + v). Máme j2 = 1, i j 2I :
		(i+v)2
Preto podľa lemy o vložení šikmého poľa kvaterniónov do F ,

I + j + i j; ; ; 2 R

quaternionové telo.

Teda ak lineárny priestor I má rozmer 3, potom F je teleso kvaterniónov.

VII.6. Dôkaz Frobeniove vety

podpriestor I viac ako 3.

VII.6. Dôkaz Frobeniove vety

Zostáva zvážiť prípad, keď rozmer podpriestor I

Vezmime lineárne nezávislé

VII.6. Dôkaz Frobeniove vety

Zostáva zvážiť prípad, keď rozmer podpriestor I väčšie ako 3. Dokázali sme, že potom F zahŕňa šikmé pole kvaterniónov.

Vezmime lineárne nezávislé sústava vektorov fi; j; k; mg, kde i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

							X; y; z 2 ja:

VII.6. Dôkaz Frobeniove vety

Zostáva zvážiť prípad, keď rozmer podpriestor I väčšie ako 3. Dokázali sme, že potom F zahŕňa šikmé pole kvaterniónov.

Vezmime lineárne nezávislé sústava vektorov fi; j; k; mg, kde i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Na základe lemy o rozklade prvkov z F na súčet

VII.6. Dôkaz Frobeniove vety

Zostáva zvážiť prípad, keď rozmer podpriestor I väčšie ako 3. Dokázali sme, že potom F zahŕňa šikmé pole kvaterniónov.

Vezmime lineárne nezávislé sústava vektorov fi; j; k; mg, kde i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Na základe lemy o rozklade prvkov z F na súčet

							X; y; z 2 ja:

Na základe čoho podpriestorové lemy I t = m + i + j + k2I. Od lineárna nezávislosť systémy vektorov fi; j; k; mg ďalej-

fúka, že t 6 = 0.

VII.6. Dôkaz Frobeniove vety

Zostáva zvážiť prípad, keď rozmer podpriestor I väčšie ako 3. Dokázali sme, že potom F zahŕňa šikmé pole kvaterniónov.

Vezmime lineárne nezávislé sústava vektorov fi; j; k; mg, kde i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Na základe lemy o rozklade prvkov z F na súčet

							X; y; z 2 ja:

podpriestorová lemma I

VII.6. Dôkaz Frobeniove vety

Zostáva zvážiť prípad, keď rozmer podpriestor I väčšie ako 3. Dokázali sme, že potom F zahŕňa šikmé pole kvaterniónov.

Vezmime lineárne nezávislé sústava vektorov fi; j; k; mg, kde i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Na základe lemy o rozklade prvkov z F na súčet

							X; y; z 2 ja:

Je dokázané, že 0 6= t = m + i + j + k 2 I. Autor: podpriestorová lemma I

i t = i m + k j =

VII.6. Dôkaz Frobeniove vety

Zostáva zvážiť prípad, keď rozmer podpriestor I väčšie ako 3. Dokázali sme, že potom F zahŕňa šikmé pole kvaterniónov.

Vezmime lineárne nezávislé sústava vektorov fi; j; k; mg, kde i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Na základe lemy o rozklade prvkov z F na súčet

							X; y; z 2 ja:

Je dokázané, že 0 6= t = m + i + j + k 2 I. Autor: podpriestorová lemma I

i t = i m + k j = x + k j

VII.6. Dôkaz Frobeniove vety

Zostáva zvážiť prípad, keď rozmer podpriestor I väčšie ako 3. Dokázali sme, že potom F zahŕňa šikmé pole kvaterniónov.

Vezmime lineárne nezávislé sústava vektorov fi; j; k; mg, kde i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Na základe lemy o rozklade prvkov z F na súčet

							X; y; z 2 ja:

Je dokázané, že 0 6= t = m + i + j + k 2 I. Autor: podpriestorová lemma I

i t = i m + k j = x + k j 2 I:

VII.6. Dôkaz Frobeniove vety

Zostáva zvážiť prípad, keď rozmer podpriestor I väčšie ako 3. Dokázali sme, že potom F zahŕňa šikmé pole kvaterniónov.

Vezmime lineárne nezávislé sústava vektorov fi; j; k; mg, kde i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Na základe lemy o rozklade prvkov z F na súčet

Podobne môžeme dokázať, že j t 2 I, k t 2 I.

VII.6. Dôkaz Frobeniove vety

Zostáva zvážiť prípad, keď rozmer podpriestor I väčšie ako 3. Dokázali sme, že potom F zahŕňa šikmé pole kvaterniónov.

Vezmime lineárne nezávislé sústava vektorov fi; j; k; mg, kde i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Na základe lemy o rozklade prvkov z F na súčet

											X; y; z 2 ja:
Dokázal to			06= t = m + i + j + k2I. Polemma na subpro-
priestor I			i t 2 I, j t 2 I,
Dali sme n =

VII.6. Dôkaz Frobeniove vety

Zostáva zvážiť prípad, keď rozmer podpriestor I väčšie ako 3. Dokázali sme, že potom F zahŕňa šikmé pole kvaterniónov.

Vezmime lineárne nezávislé sústava vektorov fi; j; k; mg, kde i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

VII.6. Dôkaz Frobeniove vety

Zostáva zvážiť prípad, keď rozmer podpriestor I väčšie ako 3. Dokázali sme, že potom F zahŕňa šikmé pole kvaterniónov.

Vezmime lineárne nezávislé sústava vektorov fi; j; k; mg, kde i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Našli sme n 2 I také, že n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

Podľa lemy o vložení šikmého poľa kvaterniónov do F

VII.6. Dôkaz Frobeniove vety

Zostáva zvážiť prípad, keď rozmer podpriestor I väčšie ako 3. Dokázali sme, že potom F zahŕňa šikmé pole kvaterniónov.

Vezmime lineárne nezávislé sústava vektorov fi; j; k; mg, kde i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Našli sme n 2 I také, že n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

Podľa lemy o vložení šikmého poľa kvaterniónov do F

i n = ni; jn = nj; k n = nk:

VII.6. Dôkaz Frobeniove vety

Zostáva zvážiť prípad, keď rozmer podpriestor I väčšie ako 3. Dokázali sme, že potom F zahŕňa šikmé pole kvaterniónov.

Vezmime lineárne nezávislé sústava vektorov fi; j; k; mg, kde i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Našli sme n 2 I také, že n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

Podľa lemy o vložení šikmého poľa kvaterniónov do F

i n = ni; jn = nj; k n = nk:

N i j = i n j =

VII.6. Dôkaz Frobeniove vety

Zostáva zvážiť prípad, keď rozmer podpriestor I väčšie ako 3. Dokázali sme, že potom F zahŕňa šikmé pole kvaterniónov.

Vezmime lineárne nezávislé sústava vektorov fi; j; k; mg, kde i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Našli sme n 2 I také, že n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

Podľa lemy o vložení šikmého poľa kvaterniónov do F

i n = ni; jn = nj; k n = nk:

Nk = n i j = i n j =

VII.6. Dôkaz Frobeniove vety

Zostáva zvážiť prípad, keď rozmer podpriestor I väčšie ako 3. Dokázali sme, že potom F zahŕňa šikmé pole kvaterniónov.

Vezmime lineárne nezávislé sústava vektorov fi; j; k; mg, kde i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Našli sme n 2 I také, že n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

Podľa lemy o vložení šikmého poľa kvaterniónov do F

i n = ni; jn = nj; k n = n k: k n = n k = n i j = i n j =

VII.6. Dôkaz Frobeniove vety

Zostáva zvážiť prípad, keď rozmer podpriestor I väčšie ako 3. Dokázali sme, že potom F zahŕňa šikmé pole kvaterniónov.

Vezmime lineárne nezávislé sústava vektorov fi; j; k; mg, kde i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Našli sme n 2 I také, že n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

Podľa lemy o vložení šikmého poľa kvaterniónov do F

i n = ni; jn = nj; k n = nk:

k n = n k = n i j = i n j = i (j n) =

VII.6. Dôkaz Frobeniove vety

Zostáva zvážiť prípad, keď rozmer podpriestor I väčšie ako 3. Dokázali sme, že potom F zahŕňa šikmé pole kvaterniónov.

Vezmime lineárne nezávislé sústava vektorov fi; j; k; mg, kde i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Našli sme n 2 I také, že n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

Podľa lemy o vložení šikmého poľa kvaterniónov do F

i n = ni; jn = nj; k n = nk:

VII.6. Dôkaz Frobeniove vety

Zostáva zvážiť prípad, keď rozmer podpriestor I väčšie ako 3. Dokázali sme, že potom F zahŕňa šikmé pole kvaterniónov.

Vezmime lineárne nezávislé sústava vektorov fi; j; k; mg, kde i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Našli sme n 2 I také, že n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

Podľa lemy o vložení šikmého poľa kvaterniónov do F

i n = ni; jn = nj; k n = nk:

k n = n k = n i j = i n j = i (j n) = k n:

Preto 2k n = 0, rozpor.

VII. Frobeniova veta

Veta 2. Nech F je teleso a RF,

9i1; i2; : : : ; v		9 0 ;1 ;2 ; : : ; n 2 R
z = 0 +1 i1 +2 i2 + : : : +n v :

Potom F je buď R, alebo C, alebo telo kvaterniónov.

Veta bola dokázaná.

Pozor!

e-mail: [chránený e-mailom]; [chránený e-mailom]

webové stránky: http://melnikov.k66.ru; http://melnikov.web.ur.ru

Veta. Akákoľvek alternatívna lineárna algebra nad poľom reálne čísla s delením sa normalizuje lineárna algebra.

Nech je alternatívna algebra lineárneho delenia nad poľom reálnych čísel R. Zaveďme operáciu konjugácie v A takto: ak je prvok a v A úmerný 1, potom a = a; ak a nie je úmerné 1, potom je obsiahnuté v komplexnej subalgebre. V tejto subalgebre pre prvok a existuje konjugovaný prvok a, ktorý v algebre berieme ako prvok konjugovaný s a.

Vyplýva to priamo z definície a, že = a a tiež =ka, kde k R.

Nech a A nie je úmerné 1. Uvažujme kvaterniónovú subalgebru (K, +, . R , .) obsahujúcu a. V tejto subalgebre pre a existuje aj konjugovaný prvok a. Ukážme, že a sa zhoduje s a.

Prvky a a a, ako konjugáty v komplexnej algebre, spĺňajú podmienky:

a+a = 2a* 1, kde a R, (14)

a* a = d*1, kde d R. (15)

Prvky a a a, ako konjugáty v kvaterniónovej algebre, spĺňajú podmienky:

a + a \u003d 2a 1 * 1, kde a 1 R, (14")

a * a = d 1 * 1, kde d 1 R. (15 /)

Odpočítajte od (14) a (15) (14 /) a (15"). Potom:

a - a = 2 (a - a1) * 1.

a (a - a) = (d- d 1)* 1 2(a - a 1)a*1.= (d- d 1)* 1.

a(a - a), potom a = *1,

tie. a je úmerné 1, čo je v rozpore s predpokladom.

Z toho vyplýva, že prvok konjugovaný s a je rovnaký, či už a považujeme za prvok komplexnej subalgebry alebo za prvok kvartérnej subalgebry algebry.

Podobne |a| 2 = aa tak v prípade komplexnej subalgebry, ako aj v prípade kvaterniónovej subalgebry algebry, takže modul prvku a A nezávisí od toho, či ho považujeme za prvok komplexnej alebo kvaterniónovej subalgebry algebra.

Potom pre ľubovoľné a, b A platia rovnosti:

A+ a = a *. (šestnásť)

Ak a a b patria do tej istej komplexnej subalgebry algebry, potom rovnosti (16) sú vlastnosti, konjugácie v tejto subalgebre. Ak patria do rôznych komplexných subalgebier, potom budú platné ako konjugačné vlastnosti v kvartérnej subalgebre algebry.

Z = b az druhej rovnosti (16) vyplýva, že = ba, odkiaľ

a + ba = c* 1, kde c R.

V (A, +, . R , .) definujeme skalárny súčin (a, b) ako

a + ba = 2 (a, b) * 1.

Ukážme, že (a, b) spĺňa všetky vlastnosti skalárny súčin:

1) (a, a) > 0 pre a? 0 a (0, 0) = 0.

Naozaj,

(a, a) * 1 = (aa + aa) = aa = |a|* 1,

a modul komplexného čísla, podobne ako modul kvaterniónu, je striktne kladný pre a? 0 a rovná sa 0 pre a = 0.

2) (a, b) = (b. a), keďže

a + ba = 2 (a, b) * 1, ba + a = 2 (b, a) * 1,

a + ba = ba + a, potom (a, b) = (b, a).

3) (a, kb) = k(a, b) pre kR.

naozaj,

(a, kb) = (a() + kba) = (a(k) + kba) = k(a + ba) = k(a, b).

4) (a, b 1 + b 2) = (a, b 1) + (a, b 2)

vyplýva z definície skalárneho súčinu a prvej rovnosti v (16).

Z (a, a) = |a| 2 1 to = |a|, t.j. norma prvku a A sa zhoduje s modulom a komplexného čísla aj kvaterniónu.

Pretože ľubovoľné dva prvky a a b z algebry patria do jednej komplexnej alebo jednej kvaterniónovej subalgebry, potom

|ab| 2 = |a| 2 |b| 2 (ab, ab) = (a, a) (b, b).

Preto sú splnené všetky vlastnosti vnútorného produktu pre (a, b). To znamená, že algebra je normovaná lineárna algebra.

Zovšeobecnená Frobeniova veta. Akákoľvek alternatívna lineárna algebra nad poľom reálnych čísel s delením a jednotou je izomorfná s jednou zo štyroch algebier: s poľom reálnych čísel, s poľom komplexných čísel, s šikmým poľom kvartérnií alebo s algebrou oktáv.

Keďže, ako sa preukázalo v predchádzajúca veta Ak je alternatívnou lineárnou algebrou nad poľom reálnych čísel s delením a jednotou normalizovaná lineárna algebra, ktorá je podľa Hurwitzovej vety izomorfná buď s poľom reálnych čísel, alebo s poľom komplexných čísel, alebo šikmé pole kvaternionov alebo k algebre oktáv, potom z toho vyplýva výrok vety.

:

Encyklopedický YouTube

• 1 / 5

  Nech je telo obsahujúce telo ako podtelo R (\displaystyle \mathbb (R) ) reálne čísla a sú splnené dve podmienky:

  Inými slovami, L (\displaystyle \mathbb (L) ) je algebra konečných rozmerov delenia cez pole reálnych čísel.

  Frobeniova veta tvrdí, že každé takéto teleso L (\displaystyle \mathbb (L) ):

  Všimnite si, že Frobeniova veta platí len pre konečnorozmerné rozšírenia R (\displaystyle \mathbb (R) ). Nepokrýva napríklad oblasť hyperreálnych čísel neštandardnej analýzy, ktorá je tiež rozšírením R (\displaystyle \mathbb (R) ), ale nie konečných rozmerov. Ďalším príkladom je algebra racionálnych funkcií.

  Dôsledky a poznámky

  Posledné tri výroky tvoria tzv zovšeobecnená veta Frobenius.

  Deliace algebry v oblasti komplexných čísel

  Algebra dimenzie n nad poľom komplexných čísel je algebra dimenzie 2n vyššie R (\displaystyle \mathbb (R) ). Kvartérne telo nie je algebra nad poľom C (\displaystyle \mathbb (C) ), od centra H (\displaystyle \mathbb (H) ) je jednorozmerný reálny priestor. Preto jediná algebra s konečnou dimenziou delenia skončila C (\displaystyle \mathbb (C) ) je algebra C (\displaystyle \mathbb (C) ).

  Frobeniova hypotéza

  Veta obsahuje podmienku asociatívnosti. Čo sa stane, ak túto podmienku odmietnete? Frobeniova domnienka tvrdí, že aj bez podmienky asociativity pre n odlišnú od 1, 2, 4, 8, v skutočnosti lineárny priestor R n nemožno definovať štruktúru deliacej algebry. Frobeniova hypotéza bola potvrdená v 60. rokoch. XX storočia.

  Ak pri n>1 vo vesmíre R n je definované bilineárne násobenie bez nulových deliteľov, potom na guli S n-1 existuje n-1 lineárne nezávislé vektorové polia . Z výsledkov získaných Adamsom na čísle vektorové polia na guli, z toho vyplýva, že je to možné len pre gule S 1 , S 3 , S 7. To dokazuje Frobeniusovu domnienku.

  pozri tiež

  Literatúra

  • Bachturin Yu. A. Základné štruktúry modernej algebry. - M. : Nauka, 1990. - 320 s.
  • Kurosh A. G. Prednášky o všeobecnej algebre. 2. vyd. - M. : Nauka, 1973. - 400 s.
  • Pontryagin L. S. Zovšeobecnenia čísel. - M. : Nauka, 1986. - 120 s. - (Knižnica "Quantum", číslo 54).

  Počítanie súpravy
  Reálne čísla a ich rozšírenia
  Rozširujúce nástroje číselné sústavy
  Hierarchia čísel	− 1 , 0 , 1 , … (\displaystyle -1,\;0,\;1,\;\ldots )

  Je zrejmé, že ak, tak za. Navyše ukážeme, že pre dostatočne veľké p

  Lema č. 1. Ak je matica nezáporná a neredukovateľná, potom

  dôkaz:

  Ak vezmeme ľubovoľný vektor a, potom. A nech prebieha vektor, je zrejmé, že Z má najmenej rovnaký počet nula kladných prvkov ako y. V skutočnosti, ak predpokladáme, že Z má menej nulových zložiek, potom maticu A rozdelíme na bloky takto

  

  budeme mať

  

  Vzhľadom na to potom dostaneme to, čo je v rozpore s neredukovateľnosťou matice

  Pre ďalší vektor zopakujeme uvažovanie atď. Výsledkom je, že to dostaneme pre nejaký nenulový vektor y

  

  Pre nenulovú neredukovateľnú maticu A zvážte reálna funkcia r(x) definované pre nenulové vektory takto: , (Ax) i - i-tá súradnica vektor ah

  Z definície vyplýva, že a navyše r(x) je najmenšia hodnota, čo

  Je zrejmé, že r(x) je invariantné vzhľadom na nahradenie x za, takže v nasledujúcom môžeme uvažovať o uzavretej množine ako napr.

  

  Avšak r(x) môže mať diskontinuity v bodoch, kde sa súradnica x stáva 0, preto zvážte množinu vektorov a označte. Podľa Lemy 1 bude každý vektor v N kladný, a preto

  Označiť podľa najväčší počet, pre ktoré, . - spektrálny polomer matice A. Ak Dá sa ukázať, že existuje vektor y taký, že

  Komentujte. V L môžu byť aj iné vektory, pre ktoré r(x) nadobúda hodnotu r, takže každý takýto vektor sa pre maticu A nazýva extrémny (Az=rz)

  Záujem o číslo r vysvetľuje nasledujúci výsledok

  Lema č. 2. Ak je matica nezáporná a neredukovateľná, potom číslo je vlastnou hodnotou matice A, navyše každý extrémny vektor pre A je kladný a je správnym vlastným vektorom pre A zodpovedajúci vlastnej hodnote r

  Hlavným výsledkom je Frobenius-Peronova veta pre spojité matice

  Frobenius-Peronova veta. Ak je matica nezáporná a neredukovateľná, potom:

  A má kladnú vlastnú hodnotu rovnajúcu sa spektrálnemu polomeru matice A;

  existuje pozitívne právo vlastný vektor zodpovedajúcej vlastnej hodnote r.

  vlastná hodnota má algebraickú násobnosť rovnajúcu sa 1.

  Perónova veta (dôsledok). Pozitívny štvorcovú maticu A má kladnú a skutočnú vlastnú hodnotu r, ktorá má algebraickú násobnosť 1 a presahuje moduly všetkých ostatných vlastné hodnoty matice A. Toto r zodpovedá kladnému vlastnému vektoru

  Pomocou Frobenius-Peronovej vety je možné nájsť maximálnu reálnu hodnotu matice bez použitia charakteristického polynómu matice.

  Dôsledky a poznámky

  • Táto veta úzko súvisí s Hurwitzovou vetou o normovaných reálnych algebrách. Normované deliace algebry - len $\backslash mathbb\; R,\; \backslash mathbb\; C,\; \backslash mathbb\; H$ a (neasociatívna) algebra Cayleyho čísel.
  • Pri rozširovaní sústavy komplexných čísel o niektoré nevyhnutne prichádzame aritmetické vlastnosti: komutivita (kvaternióny), asociativita (Cayleyho algebra) atď.
  • Neexistuje žiadny analóg kvaterniónového systému s dvoma (skôr ako tromi) kvaterniónovými jednotkami.
  • poliach $\backslash mathbb\; R$ a $\backslash mathbb\; C$ sú jediné konečne-rozmerné reálne asociatívne a komutatívne algebry bez nulových deliteľov.
  • Quaternionové telo $\backslash mathbb\; H$ je jediná konečnorozmerná reálna asociatívna, ale nekomutatívna algebra bez nulových deliteľov.
  • Cayleyho algebra je jedinou konečnou dimenziou skutočnej alternatívnej neasociatívnej algebry bez nulových deliteľov.

  Posledné tri výroky tvoria tzv zovšeobecnená Frobeniova veta.

  Deliace algebry v oblasti komplexných čísel

  Algebra dimenzie n nad ihriskom $\backslash mathbb\; C$ komplexné čísla sú algebrou dimenzií 2n vyššie $\backslash mathbb\; R$. Quaternionové telo $\backslash mathbb\; H$ nie je algebra nad poľom $\backslash mathbb\; C$, od centra $\backslash mathbb\; H$ je jednorozmerný reálny priestor. Preto jediná algebra s konečnou dimenziou delenia skončila $\backslash mathbb\; C$ je algebra $\backslash mathbb\; C$.

  Frobeniova hypotéza

  Veta obsahuje podmienku asociatívnosti. Čo sa stane, ak túto podmienku odmietnete? Frobeniova domnienka hovorí, že aj bez podmienky asociativity pre n odlišnú od 1, 2, 4, 8 v reálnom lineárnom priestore R n nemožno definovať štruktúru deliacej algebry. Frobeniova hypotéza bola potvrdená v 60. rokoch. XX storočia.

  Ak pri n>1 vo vesmíre R n je definované bilineárne násobenie bez nulových deliteľov, potom na guli S n-1 existuje n-1 lineárne nezávislé vektorové polia . Z výsledkov získaných Adamsom na čísle vektorové polia na guli, z toho vyplýva, že je to možné len pre gule S 1 , S 3 , S 7. To dokazuje Frobeniusovu domnienku.

  pozri tiež

  Napíšte recenziu na článok „Frobeniova veta“

  Literatúra

  • Bachturin Yu. A. Základné štruktúry modernej algebry. - M .: Nauka, 1990. - 320 s.
  • Kurosh A.G.. - M .: Nauka, 1973. - 400 s.
  • Pontryagin L.S.. - M .: Nauka, 1986. - 120 s. - (Knižnica "Quantum", číslo 54).

  Počítanie súpravy

  ) Aritmetika s vyčísliteľnou periódou |header2= Reálne čísla
  a ich rozšírenia |header3= Nástroje rozšírenia
  číselné sústavy |nadpis4= Hierarchia čísel |zoznam4=

  $-1,\backslash ;0,\backslash ;1,\backslash ;\backslash ldots$ Celé čísla $-1,\backslash ;1,\backslash ;\backslash frac(1)(2),\backslash ;\backslash ;0(,)12,\backslash frac(2)(3),\backslash ;\backslash ldots$ Racionálne čísla $-1,\backslash ;1,\backslash ;\backslash ;0(,)12,\backslash frac(1)(2),\backslash ;\backslash pi,\backslash ;\backslash sqrt(2),\backslash ;\backslash ldots$ Reálne čísla
  $-1,\backslash ;\backslash frac(1)(2),\backslash ;0(,)12,\backslash ;\backslash pi,\backslash ;3i+2,\backslash ;e^(i\backslash pi/3),\backslash ;\backslash ldots$	Komplexné čísla

  $1,\backslash ;i,\backslash ;j,\backslash ;k,\backslash ;2i\; +\; \backslash pi\; j-\backslash frac(1)(2)k,\backslash ;\backslash bodky$ Kvaternióny $1,\backslash ;i,\backslash ;j,\backslash ;k,\backslash ;l,\backslash ;m,\backslash ;n,\backslash ;o,\backslash ;2\; -\; 5l\; +\; \backslash frac(\backslash pi)(3)m,\backslash ;\backslash \; bodky$ Octonions $1,\backslash ;e\_1,\backslash ;e\_2,\backslash ;\backslash bodky,\backslash ;e\_(15),\backslash ;7e\_2\; +\; \backslash frac(2)(5)e\_7\; -\; \backslash frac(1)(3)e\_(15),\backslash \; ;\backslash bodky$ sedenions |nadpis5= Ostatné
  číselné sústavy

  |list5=Kardinálne čísla Radové čísla (transfinitné, radové) p-adické Nadprirodzené čísla Všetko je rozptýlené. Strýko zložil Natašu z koňa a viedol ju za ruku hore po vratkých doskových schodoch na verande. V dome, neomietanom, so zrubovými stenami, nebolo veľmi čisto - nebolo jasné, že cieľom ľudí, ktorí žili, bolo, aby tam neboli žiadne fľaky, ale nebolo tam badateľné zanedbanie.
  Chodba voňala čerstvými jablkami a vlčie a líščie kože viseli. Strýko viedol svojich hostí cez predsieň do malej miestnosti so skladacím stolom a červenými stoličkami, potom do obývačky s brezou. okrúhly stôl a pohovku, potom do kancelárie s ošúchanou pohovkou, opotrebovaným kobercom a s portrétmi Suvorova, otca a matky majiteľa a jeho vo vojenskej uniforme. V kancelárii bolo cítiť silný zápach tabaku a psov. Strýko v kancelárii požiadal hostí, aby si sadli a udomácnili sa, a odišiel. Pokarhaný s neočisteným chrbtom vošiel do kancelárie, ľahol si na pohovku a čistil sa jazykom a zubami. Z kancelárie viedla chodba, v ktorej bolo vidieť obrazovky s roztrhanými závesmi. Spoza obrazoviek sa ozýval ženský smiech a šepot. Nataša, Nikolaj a Peťa sa vyzliekli a posadili sa na pohovku. Peťa sa oprel o jeho ruku a hneď zaspal; Nataša a Nikolaj sedeli ticho. Ich tváre boli v plameňoch, boli veľmi hladní a veľmi veselí. Pozreli sa na seba (po poľovačke v miestnosti Nikolaj už nepovažoval za potrebné ukázať svoju mužskú nadradenosť svojej sestre); Natasha žmurkla na brata a obaja sa dlho nezdržali a nahlas sa zasmiali, pričom nemali čas vymýšľať ospravedlnenie pre svoj smiech.
  O niečo neskôr prišiel môj strýko v kozáckom kabáte, modrých nohaviciach a malých čižmách. A Natasha cítila, že práve tento oblek, v ktorom s prekvapením a výsmechom videla svojho strýka v Otradnoye, je skutočným oblekom, ktorý nie je horší ako kabáty a fraky. Ujo bol tiež veselý; nielenže ho neurazil smiech jeho brata a sestry (to mu nemohlo vstúpiť do hlavy, že sa môžu smiať na jeho živote), ale sám sa pridal k ich bezpríčinnému smiechu.
  "Taká je mladá grófka - čistý pochod - inú som nevidel!" - povedal, dal jednu fajku s dlhým chiboukom Rostovovi a druhý položil krátky, narezaný chibouk známe gesto medzi tromi prstami.
  - Odišiel som na deň, hoci muž prišiel načas a akoby sa nič nestalo!
  Čoskoro po strýkovi otvorila dvere, podľa zvuku nôh očividne bosé dievča a cez dvere s veľkým podnosom v rukách vošiel tučný, ryšavý, krásna žena 40-ročný, s dvojitou bradou a plnými, ryšavými perami. Tá sa s pohostinnou reprezentatívnosťou a príťažlivosťou v očiach a pri každom pohybe obzerala po hosťoch a úctivo sa im s láskavým úsmevom klaňala. Napriek hrúbke väčšej ako zvyčajne, ktorá ju nútila predsunúť hrudník a brucho a držať hlavu dozadu, táto žena (strýkova gazdiná) zakročila mimoriadne ľahko. Podišla k stolu, odložila podnos a bielymi bacuľatými rukami šikovne odstránila a poukladala na stôl fľaše, občerstvenie a maškrty. Keď to dokončila, odsťahovala sa a s úsmevom na tvári stála pri dverách. „Tu je ona a ja! Rozumieš už svojmu strýkovi?" jej vzhľad povedal Rostov. Ako tomu nerozumieť: nielen Rostov, ale aj Nataša pochopili strýka a význam zamračeného obočia a šťastného, ​​sebauspokojeného úsmevu, ktorý mu trochu zvraštil pery, kým vošla Anisja Fjodorovna. Na podnose boli bylinkárka, likéry, huby, koláčiky z čiernej múky na jurage, medovník, varený a šumivý med, jablká, orechy surové a pražené, orechy v mede. Potom Anisya Fjodorovna priniesla džem s medom a cukrom, šunku a kura, čerstvo vyprážané.
  Toto všetko bola domácnosť, zbierka a džem Anisy Fjodorovny. To všetko voňalo a rezonovalo a malo chuť Anisy Fjodorovny. Všetko rezonovalo šťavnatosťou, čistotou, bielosťou a príjemným úsmevom.
  „Jedzte, mladá pani grófka,“ opakovala a dávala Natashe jednu vec, potom druhú. Nataša zjedla všetko a zdalo sa jej, že také koláče na yurage nikdy nevidela ani nejedla, s takou kyticou džemov, orieškami na mede a takým kuracím mäsom. Anisya Fjodorovna vyšla von. Rostov a jeho strýko, umývajúc si večeru čerešňovým likérom, hovorili o minulom a budúcom love, o Rugai a Ilaginských psoch. Natasha s iskriacimi očami sedela rovno na pohovke a počúvala ich. Niekoľkokrát sa pokúšala zobudiť Peťa, aby mu dal niečo na jedenie, no povedal niečo nezrozumiteľné, očividne sa nezobudil. Natasha bola v srdci taká veselá, taká šťastná v tomto pre ňu novom prostredí, že sa len bála, že si po ňu droshky prídu príliš skoro. Po náhodnom tichu, ako sa to takmer vždy stáva ľuďom, ktorí prvýkrát prijímajú svojich známych vo svojom dome, strýko povedal, keď odpovedal na myšlienku, že jeho hostia mali:
  "Takže žijem svoj život... Ak zomrieš, je to čistý pochod - nezostane nič." Aký hriech potom!
  Strýkova tvár bola veľmi významná a dokonca krásna, keď to povedal. Zároveň si Rostov mimovoľne spomenul na všetko, čo o svojom strýkovi počul dobré veci od svojho otca a susedov. Môj strýko mal v celom susedstve provincie povesť najušľachtilejšieho a najnezaujímavejšieho excentrika. Bol povolaný súdiť rodinné prípady, robili z neho vykonávateľa, verili mu tajní, volili ho za sudcov a iné funkcie, ale od r. verejná služba tvrdošijne odmietal, jeseň a jar trávil na poli na svojom hnedom valachovi, v zime sedel doma, v lete ležal vo svojej zarastenej záhrade.