Video kurz „Získaj A“ obsahuje všetky potrebné témy úspešné doručenie POUŽITIE v matematike za 60-65 bodov. Kompletne všetky úlohy 1-13 profilová skúška matematiky. Vhodné aj na absolvovanie Základného USE v matematike. Ak chcete skúšku zvládnuť s 90-100 bodmi, musíte 1. časť vyriešiť za 30 minút a bezchybne!
Prípravný kurz na skúšku pre ročníky 10-11, ako aj pre učiteľov. Všetko, čo potrebujete na vyriešenie 1. časti skúšky z matematiky (prvých 12 úloh) a 13. úlohy (trigonometria). A to je na Jednotnej štátnej skúške viac ako 70 bodov a bez nich sa nezaobíde ani stobodový študent, ani humanista.
Všetka potrebná teória. Rýchle spôsoby riešenia, pasce a POUŽÍVAJTE tajomstvá. Všetky relevantné úlohy časti 1 z úloh Bank of FIPI boli analyzované. Kurz plne vyhovuje požiadavkám USE-2018.
Kurz obsahuje 5 veľké témy, 2,5 hodiny každý. Každá téma je daná od začiatku, jednoducho a jasne.
Stovky skúšobných úloh. Problémy s textom a teória pravdepodobnosti. Jednoduché a ľahko zapamätateľné algoritmy na riešenie problémov. Geometria. teória, referenčný materiál, analýza všetkých typov úloh USE. Stereometria. Zložité riešenia, užitočné cheaty, vývoj priestorová predstavivosť. Trigonometria od nuly - k úlohe 13. Pochopenie namiesto napchávania. Vizuálne vysvetlenie komplexné koncepty. Algebra. Odmocniny, mocniny a logaritmy, funkcia a derivácia. Základ pre riešenie náročné úlohy 2 časti skúšky.
Veta
Ak rovno, tak nie patriaci lietadlu, je rovnobežná s nejakou priamkou v tejto rovine, potom je rovnobežná aj so samotnou rovinou.
Dôkaz
Nech α je rovina, a priamka, ktorá v nej neleží, a a1 priamka v rovine α rovnobežná s priamkou a. Prenesme rovinu α1 cez priamky a a a1. Roviny α a α1 sa pretínajú pozdĺž priamky a1. Ak by priamka a pretínala rovinu α, potom by priesečník patril priamke a1. To je však nemožné, pretože priamky a a a1 sú rovnobežné. Preto priamka a nepretína rovinu α, a preto je rovnobežná s rovinou α. Veta bola dokázaná.
18. LIETADLÁ
Ak sa dve rovnobežné roviny pretínajú s treťou, potom sú priesečníky rovnobežné.(Obr. 333).
Skutočne, podľa definície Rovnobežné čiary sú čiary, ktoré ležia v rovnakej rovine a nepretínajú sa. Naše čiary ležia v tej istej rovine - sečnej rovine. Nepretínajú sa, pretože rovnobežné roviny, ktoré ich obsahujú, sa nepretínajú.
Čiary sú teda rovnobežné, čo sme chceli dokázať.
Vlastnosti
§ Ak je rovina α rovnobežná s každou z dvoch pretínajúcich sa priamok ležiacich v druhej rovine β, potom sú tieto roviny rovnobežné
§ Ak dve rovnobežné roviny pretína tretia, potom sú priamky ich priesečníka rovnobežné
§ Cez bod mimo danej roviny je možné nakresliť rovinu rovnobežnú s danou rovinou a navyše iba jednu
§ Úsečky rovnobežných priamok ohraničené dvoma rovnobežnými rovinami sú rovnaké
§ Dva uhly s rovnobežnými a rovnako nasmerovanými stranami sú rovnaké a ležia v rovnobežných rovinách
19.
Ak dve čiary ležia v rovnakej rovine, uhol medzi nimi sa dá ľahko zmerať - napríklad pomocou uhlomeru. A ako merať uhol medzi čiarou a rovinou?
Nechajte priamku pretínať rovinu a nie v pravom uhle, ale v inom uhle. Takáto čiara je tzv šikmé.
Pustime kolmicu z nejakého bodu nakloneného k našej rovine. Pripojte základňu kolmice k priesečníku naklonenej a roviny. Máme priemet šikmej roviny.
Uhol medzi priamkou a rovinou je uhol medzi priamkou a jej priemetom do danej roviny..
Upozorňujeme - ako uhol medzi čiarou a rovinou volíme ostrý uhol.
Ak je priamka rovnobežná s rovinou, potom uhol medzi priamkou a rovinou je nula.
Ak je priamka kolmá na rovinu, jej priemetom do roviny je bod. Je zrejmé, že v tomto prípade je uhol medzi čiarou a rovinou 90°.
Čiara je kolmá na rovinu, ak je kolmá na akúkoľvek čiaru v tejto rovine..
Toto je definícia. Ale ako s ním pracovať? Ako skontrolovať, či je daná čiara kolmá na všetky čiary ležiace v rovine? Veď je ich nekonečne veľa.
V praxi sa uplatňuje znak kolmosti priamky a roviny:
Čiara je kolmá na rovinu, ak je kolmá na dve pretínajúce sa priamky ležiace v tejto rovine.
21. Dihedrálny uhol- priestorový geometrický obrazec, tvorený dvoma polrovinami vychádzajúcimi z jednej priamky, ako aj časťou priestoru ohraničeného týmito polrovinami.
Dve roviny sa považujú za kolmé, ak je uhol medzi nimi 90 stupňov.
§ Ak rovina prechádza priamkou kolmou na inú rovinu, potom sú tieto roviny kolmé.
§ Ak z bodu patriaceho do jedného z dvoch kolmé roviny, nakreslite kolmicu na inú rovinu, potom táto kolmica leží úplne v prvej rovine.
§ Ak v jednej z dvoch kolmých rovín nakreslíme kolmicu na ich priesečník, potom bude táto kolmica kolmá na druhú rovinu.
Dve pretínajúce sa roviny tvoria štyri dihedrálne uhly so spoločnou hranou: páry vertikálne uhly sú rovnaké a súčet dvoch susedných uhlov je 180°. Ak je jeden zo štyroch uhlov pravý, potom sú aj ostatné tri rovnaké a správne. Dve roviny sa nazývajú kolmé, ak je uhol medzi nimi pravý.
Veta. Ak rovina prechádza priamkou kolmou na inú rovinu, potom sú tieto roviny kolmé.
Nech a sú dve roviny také, že prechádza priamkou AB, kolmou na ňu a pretínajúcou sa s ňou v bode A (obr. 49). Dokážme, že _|_ . Roviny a pretínajú sa pozdĺž nejakej priamky AC a AB _|_ AC, pretože AB _|_ . V rovine nakreslíme priamku AD kolmú na priamku AC.
Potom uhol BAD je lineárny uhol dihedrálny uhol, vzdelaný a . ale< ВАD - 90° (ибо AB _|_ ), а тогда, по определению, _|_ . Теорема доказана.
22. Mnohosten je teleso, ktorého povrch pozostáva z konečného počtu plochých mnohouholníkov.
1. ktorýkoľvek z mnohouholníkov tvoriacich mnohosten, môžete dosiahnuť ktorýkoľvek z nich tak, že prejdete na susediaci a z tohto zase na susediaci atď.
Tieto polygóny sa nazývajú tváre, ich strany - rebrá, a ich vrcholy sú vrcholy mnohosten. Najjednoduchšie príklady mnohostenov sú konvexné mnohosteny, teda hranicu ohraničenej podmnožiny euklidovského priestoru, ktorá je priesečníkom konečného počtu polpriestorov.
Vyššie uvedená definícia mnohostenu nadobúda odlišný význam v závislosti od toho, ako je mnohouholník definovaný, pričom sú možné tieto dve možnosti:
§ Ploché uzavreté prerušované čiary (aj keď sa navzájom pretínajú);
§ Časti roviny ohraničené prerušovanými čiarami.
V prvom prípade dostaneme koncept hviezdneho mnohostenu. V druhom je polyhedron plocha zložená z polygonálnych častí. Ak sa táto plocha nepretína, tak je to celá plocha nejakého geometrického telesa, ktoré sa nazýva aj mnohosten. Vzniká tak tretia definícia mnohostenu ako samotného geometrického telesa.
rovný hranol
Hranol je tzv rovno Ak si to bočné rebrá kolmo na základne.
Hranol je tzv šikmé ak jeho bočné okraje nie sú kolmé na základne.
Priamy hranol má plochy v tvare obdĺžnika.
Hranol je tzv správne ak sú jeho základne pravidelné mnohouholníky.
Oblasť bočného povrchu hranola sa nazýva súčet plôch bočných plôch.
Celá plocha hranola rovná súčtu bočného povrchu a plôch základov
Prvky hranola:
Body – nazývané vrcholy
Segmenty sa nazývajú bočné hrany
Polygóny a - sa nazývajú základne. Samotné lietadlá sa tiež nazývajú základne.
24. Rovnobežník(z gréčtiny παράλλος - rovnobežka a gréčtina επιπεδον - rovina) - hranol, ktorého základňou je rovnobežník, alebo (ekvivalentne) mnohosten, ktorý má šesť stien a každá z nich je rovnobežník.
§ Rovnobežník je symetrický okolo stredu svojej uhlopriečky.
§ Každý segment s koncami patriacimi k povrchu rovnobežnostena a prechádzajúcim stredom jeho uhlopriečky je ním rozdelený na polovicu; najmä všetky uhlopriečky rovnobežnostena sa pretínajú v jednom bode a pretínajú ho.
§ Protiľahlé strany kvádra sú rovnobežné a rovnaké.
§ Štvorec dĺžky uhlopriečky kváder sa rovná súčtuštvorce jeho troch rozmerov.
Povrchová plocha kvádra sa rovná dvojnásobku súčtu plôch troch stien tohto rovnobežnostena:
| 1. | S= 2(S a+Sb+S c)= 2(ab+bc+ac) |
25 .Pyramída a jej prvky
Uvažujme rovinu , v nej ležiaci mnohouholník a bod S, ktorý v nej neleží. Pripojte S ku všetkým vrcholom mnohouholníka. Výsledný mnohosten sa nazýva pyramída. Segmenty sa nazývajú bočné hrany. 
Mnohouholník sa nazýva základňa a bod S sa nazýva vrchol pyramídy. V závislosti od čísla n sa pyramída nazýva trojuholníková (n=3), štvoruholníková (n=4), päťuholníková (n=5) atď. Alternatívny názov trojuholníková pyramída – štvorsten. Výška pyramídy je kolmica vedená z jej vrcholu k základnej rovine. 
Pyramída sa nazýva správne ak pravidelný mnohouholník, a základňou výšky pyramídy (základňa kolmice) je jej stred.
Program je určený na výpočet bočného povrchu správna pyramída.
Pyramída je mnohosten so základňou v tvare mnohouholníka a zvyšné strany sú trojuholníky so spoločným vrcholom. 
Vzorec na výpočet bočného povrchu pravidelnej pyramídy je:
kde p je obvod základne (polygón ABCDE),
a - apotém (OS);
Apotém je výška bočnej steny pravidelnej pyramídy, ktorá sa kreslí z jej vrcholu.
Ak chcete nájsť plochu bočného povrchu pravidelnej pyramídy, zadajte obvod pyramídy a hodnoty apotémy, potom kliknite na tlačidlo „VYPOČÍTAŤ“. Program určí plochu bočného povrchu pravidelnej pyramídy, ktorej hodnota môže byť umiestnené na schránke.
Zrezaná pyramída
| Súčasťou je zrezaná pyramída úplná pyramída uzavretý medzi základňou a časťou rovnobežnou s ňou. | |
| Prierez je tzv horná základňa zrezaného ihlana, a základňa celej pyramídy je spodná základňa zrezaná pyramída. (Základy sú podobné.) Bočné plochy zrezaný ihlan - lichobežník. V zrezanej pyramíde 3 n rebrá, 2 n vrcholy, n+ 2 tváre, n(n- 3) uhlopriečky. Vzdialenosť medzi hornou a spodnou základňou je výška zrezaného ihlana (segment odrezaný od výšky celého ihlana). |  |
| Námestie celoplošný zrezaná pyramída sa rovná súčtu plôch jej plôch. | |
| Objem zrezanej pyramídy ( S a s- základná plocha, H- výška) |  |
Rotačné telo nazývané teleso vytvorené ako výsledok rotácie priamky okolo priamky.
Pravý kruhový valec je vpísaný do gule, ak kružnice jeho podstav ležia na gule. Základy valca sú malé kruhy gule, stred gule sa zhoduje so stredom osi valca. [ 2 ]
Pravý kruhový valec je vpísaný do gule, ak kružnice jeho podstav ležia na gule. Je zrejmé, že stred gule neleží ani v strede osi valca. [ 3 ]
Objem akéhokoľvek valca sa rovná produktu základná plocha po výšku:
| 1. | V=π r 2 h |
Celá plocha povrch valca sa rovná súčtu bočného povrchu valca a dvojitý štvorec základňa valca.
Vzorec na výpočet celkovej plochy povrchu valca je:
27. Okrúhly kužeľ možno získať otáčaním správny trojuholník okolo jednej z jeho nôh, preto sa okrúhly kužeľ nazýva aj otočný kužeľ. Pozri tiež Objem okrúhleho kužeľa
Celková plocha kruhového kužeľa sa rovná súčtu plôch bočného povrchu kužeľa a jeho základne. Základňa kužeľa je kruh a jeho plocha sa vypočíta podľa vzorca pre oblasť kruhu:
| 2. | S=π rl+π r 2 = π r(r+l) |
28. Frustum získaný nakreslením rezu rovnobežného so základňou kužeľa. Teleso ohraničené týmto úsekom, základňou a bočnou plochou kužeľa sa nazýva zrezaný kužeľ. Pozri tiež Objem zrezaného kužeľa
Celková plocha zrezaného kužeľa sa rovná súčtu plôch bočnej plochy zrezaného kužeľa a jeho podstav. Základy zrezaného kužeľa sú kruhy a ich plocha sa vypočíta podľa vzorca pre oblasť kruhu: S= π (r 1 2 + (r 1 + r 2)l+ r 2 2)
29. lopta - geometrické teleso ohraničený povrchom, na ktorom sú všetky body rovnakú vzdialenosť od centra. Táto vzdialenosť sa nazýva polomer gule.
Sphere(grécky σφαῖρα - guľa) - uzavretý povrch, geometrické miesto body v priestore rovnako vzdialené od daného bodu, nazývané stred gule. Guľa je špeciálny prípad elipsoidu, v ktorom sú všetky tri osi (polosie, polomery) rovnaké. Guľa je povrch gule.
Plocha guľového povrchu guľového segmentu (guľového sektora) a guľovej vrstvy závisí iba od ich výšky a polomeru gule a rovná sa obvodu veľkého kruhu gule vynásobenému výškou.
Objem lopty rovná objemu pyramídy, ktorej základňa má rovnakú plochu ako povrch gule a výška je polomer gule
Objem gule je jedenapolkrát menší ako objem valca, ktorý je okolo nej opísaný.
guľové prvky
Guľový segment Rovina rezu rozdeľuje guľu na dva guľové segmenty. H- výška segmentu, 0< H < 2 R,
r- polomer základne segmentu,  Objem segmentu lopty  Oblasť guľového povrchu guľového segmentu |  |
| Guľová vrstva Guľová vrstva je časť gule uzavretá medzi dvoma rovnobežnými časťami. Vzdialenosť ( H) medzi sekciami sa nazýva výška vrstvy a samotné sekcie - vrstvové základy. Sférický povrch ( objem) guľovej vrstvy možno nájsť ako rozdiel v plochách guľové plochy(objemov) sférických segmentov. |  |
1. Násobenie vektora číslom(obr. 56).
Vektorový produkt ALE za číslo λ nazývaný vektor AT, ktorého modul sa rovná súčinu modulu vektora ALE na číslo modulu λ :
Smer sa nemení, ak λ > 0 ; zmení na opačný ak λ < 0 . Ak λ = -1, potom vektor
nazývaný vektor, opačný vektor ALE, a je označený
2. Sčítanie vektorov. Ak chcete nájsť súčet dvoch vektorov ALE a AT vektor
Potom bude súčet vektorom, ktorého začiatok sa zhoduje so začiatkom prvého a koniec - s koncom druhého. Toto pravidlo sčítania vektorov sa nazýva „pravidlo trojuholníka“ (obr. 57). je potrebné znázorniť vektory sčítancov tak, aby sa začiatok druhého vektora zhodoval s koncom prvého.
Je ľahké dokázať, že pre vektory sa "súčet nemení od zmeny miest členov."
Uveďme ešte jedno pravidlo na pridávanie vektorov – „pravidlo paralelogramu“. Ak spojíme začiatky vektorov súčtu a postavíme na nich rovnobežník, tak súčet bude vektor, ktorý sa zhoduje s uhlopriečkou tohto rovnobežníka (obr. 58).
Je jasné, že sčítanie podľa „pravidla rovnobežnosti“ vedie k rovnakému výsledku ako podľa „pravidla trojuholníka“.
„Pravidlo trojuholníka“ sa dá ľahko zovšeobecniť (na prípad viacerých pojmov). S cieľom nájsť súčet vektorov
Je potrebné skombinovať začiatok druhého vektora s koncom prvého, začiatok tretieho - s koncom druhého atď. Potom začiatok vektora S sa zhoduje so začiatkom prvého a koncom S- s koncom posledne menovaného (obr. 59).
3. Odčítanie vektorov. Operácia odčítania je zredukovaná na dve predchádzajúce operácie: rozdiel dvoch vektorov je súčtom prvého s vektorom opačným k druhému:
Môžete tiež sformulovať „pravidlo trojuholníka“ na odčítanie vektorov: je potrebné spojiť začiatky vektorov ALE a AT, potom ich rozdiel bude vektor
Nakreslené od konca vektora AT ku koncu vektora ALE(obr. 60).
Ďalej budeme hovoriť o vektore posunutia hmotný bod, teda vektor spájajúci počiatočnú a konečnú polohu bodu. Súhlaste s tým, že zavedené pravidlá pôsobenia na vektory sú pre vektory posunutia celkom zrejmé.
4. Bodový súčin vektorov. výsledok skalárny súčin dva vektory ALE a AT je číslo c rovné súčinu modulov vektorov a kosínusu uhla α medzi
Skalárny súčin vektorov je vo fyzike veľmi rozšírený. V budúcnosti budeme musieť často riešiť takúto operáciu.
Článok sa zaoberá pojmami rovnobežnosti priamky a roviny. Zvážia sa hlavné definície a uvedú sa príklady. Uvažujme znamienko rovnobežnosti priamky s rovinou s nevyhnutnými a dostatočnými podmienkami pre rovnobežnosť, príklady úloh budeme riešiť podrobne.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Definícia 1
Čiara a rovina sú tzv paralelný ak nemajú spoločné body, to znamená, že sa nepretínajú.
Paralelnosť je označená "∥". Ak v úlohe podľa podmienky sú priamka a a rovina α rovnobežné, potom je zápis a ∥ α . Zvážte obrázok nižšie.
Predpokladá sa, že priamka a rovnobežná s rovinou a a rovina a rovnobežná s priamkou a sú ekvivalentné, to znamená, že priamka a rovina sú v každom prípade navzájom rovnobežné.
Rovnobežnosť priamky a roviny - znak a podmienky rovnobežnosti
Nie je vždy zrejmé, že priamka a rovina sú rovnobežné. Často to treba dokázať. Nevyhnutné na použitie dostatočný stav, čo zaručí paralelnosť. Takéto znamenie sa nazýva znak rovnobežnosti priamky a roviny Odporúča sa najskôr preštudovať definíciu rovnobežiek.
Veta 1
Ak je daná priamka a, neležiaca v rovine α, rovnobežná s priamkou b, ktorá patrí rovine α, potom je priamka a rovnobežná s rovinou α.
Zvážte vetu použitú na stanovenie rovnobežnosti priamky s rovinou.
Veta 2
Ak je jedna z dvoch rovnobežných priamok rovnobežná s rovinou, potom druhá priamka leží v tejto rovine alebo je s ňou rovnobežná.
Podrobný dôkaz je uvedený v učebnici 10. - 11. ročníka o geometrii. Nevyhnutná a postačujúca podmienka pre rovnobežnosť priamky s rovinou je možná, ak existuje definícia smerového vektora priamky a normálového vektora roviny.
Veta 3
Pre rovnobežnosť priamky a, ktorá nepatrí do roviny α, a danej roviny je nutnou a postačujúcou podmienkou kolmosť smerového vektora na priamku s. normálny vektor danej rovine.
Podmienka platí, keď je potrebné dokázať paralelnosť v pravouhlý systém súradnice trojrozmerný priestor. Pozrime sa na podrobný dôkaz.
Dôkaz
Predpokladajme, že priamka a v súradnicovom systéme O x y je daná kanonickými rovnicami priamky v priestore, ktoré majú tvar x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y \u003d z - z 1 a z alebo parametrické rovnice priamka v priestore x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ, rovina α so všeobecnými rovnicami roviny A x + B y + C z + D = 0 .
Preto a → = (a x, a y, a z) je smerový vektor so súradnicami priamky a, n → = (A, B, C) je normálový vektor danej roviny alfa.
Na dôkaz kolmosti n → = (A , B , C) a a → = (a x , a y, a z) je potrebné použiť koncept bodového súčinu. To znamená, že pri súčine a → , n → = a x · A + a y · B + a z · C sa musí výsledok rovnať nule za podmienky, že vektory sú kolmé.
To znamená, že nevyhnutnú a postačujúcu podmienku rovnobežnosti priamky a roviny zapíšeme takto: a → , n → = a x · A + a y · B + a z · C . Preto a → = (a x , a y , a z) je smerový vektor priamky a so súradnicami a n → = (A , B , C) je normálový vektor roviny α .
Príklad 1
Určte, či priamka x = 1 + 2 λ y = - 2 + 3 λ z = 2 - 4 λ je rovnobežná s rovinou x + 6 y + 5 z + 4 = 0 .
rozhodnutie
Dostaneme, že poskytnutá úsečka nepatrí do roviny, keďže súradnice úsečky M (1 , - 2 , 2) nesedia. Pri dosadzovaní dostaneme, že 1 + 6 (- 2) + 5 2 + 4 = 0 ⇔ 3 = 0 .
Je potrebné skontrolovať realizovateľnosť nevyhnutnej a postačujúcej podmienky pre rovnobežnosť priamky a roviny. Dostaneme, že súradnice smerového vektora priamky x = 1 + 2 λ y = - 2 + 3 λ z = 2 - 4 λ majú hodnoty a → = (2 , 3 , - 4) .
Normálny vektor pre rovinu x + 6 y + 5 z + 4 = 0 je n → = (1 , 6 , 5) . Pristúpme k výpočtu skalárneho súčinu vektorov a → a n → . Dostaneme, že a → , n → = 2 1 + 3 6 + (- 4) 5 = 0 .
Preto je kolmosť vektorov a → an → zrejmá. Z toho vyplýva, že priamka a rovina sú rovnobežné.
odpoveď: priamka a rovina sú rovnobežné.
Príklad 2
Určte rovnobežnosť priamky A B v rovine súradníc O y z, keď sú zadané súradnice A (2, 3, 0) , B (4, - 1, - 7) .
rozhodnutie
Podmienkou je vidieť, že bod A (2, 3, 0) neleží na osi O x, pretože hodnota x sa nerovná 0.
Pre rovinu O x z sa za normálový vektor danej roviny považuje vektor so súradnicami i → = (1 , 0 , 0). Smerový vektor priamky A B označíme ako A B → . Teraz pomocou súradníc začiatku a konca vypočítame súradnice vektora A B . Dostaneme, že A B → = (2 , - 4 , - 7) . Pre vektory A B → = (2 , - 4 , - 7) a i → = (1 , 0 , 0) je potrebné overiť realizovateľnosť nevyhnutných a postačujúcich podmienok pre určenie ich kolmosti.
Napíšme A B → , i → = 2 1 + (- 4) 0 + (- 7) 0 = 2 ≠ 0 .
Z toho vyplýva, že priamka A B c súradnicová rovina O y z nie sú rovnobežné.
odpoveď: nie sú paralelné.
Nie vždy prispieva špecifikovaná podmienka ľahká definícia dôkaz rovnobežnosti priamky a roviny. Je potrebné skontrolovať, či priamka a patrí do roviny α . Existuje ešte jedna postačujúca podmienka, pomocou ktorej sa paralelizmus dokazuje.
Pre danú priamku a pomocou rovnice dvoch pretínajúcich sa rovín A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 je rovina α - všeobecná rovnica rovina A x + B y + C z + D = 0 .
Veta 4
Nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou rovnobežnosti priamky a a roviny α je absencia riešení sústavy lineárne rovnice majúci tvar Aix + B1y + C1z + D1 = 0 A2 x + B2y + C2z + D2 = 0 A x + By + Cz + D = 0.
Dôkaz
Z definície vyplýva, že priamka a s rovinou α by nemala mať spoločné body, to znamená, že by sa nemali pretínať, iba v tomto prípade budú považované za rovnobežné. To znamená, že súradnicový systém O x y z by nemal mať body, ktoré k nemu patria a spĺňajú všetky rovnice:
A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, ako aj rovnica roviny A x + B y + C z + D = 0.
Preto sústava rovníc, ktorá má tvar A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 , sa nazýva nekonzistentné.
Opak je pravdou: ak neexistujú riešenia pre sústavu A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 v O x y z nie sú žiadne body, ktoré by vyhovovali všetkým dané rovnice súčasne. Dostaneme, že neexistuje taký bod so súradnicami, ktorý by mohol byť okamžite riešením všetkých rovníc A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 a rovnice A x + B y + Cz + D = 0. To znamená, že máme rovnobežnú čiaru a rovinu, pretože chýbajú ich priesečníky.
Sústava rovníc A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 nemá č. riešenie, keď je hodnosť hlavnej matice nižšia ako hodnosť rozšírenej matice. Overuje to Kronecker-Capelliho veta na riešenie lineárnych rovníc. Na určenie jeho nekompatibility môžete použiť Gaussovu metódu.
Príklad 3
Dokážte, že priamka x - 1 = y + 2 - 1 = z 3 je rovnobežná s rovinou 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 = 0 .
rozhodnutie
Pre riešenia tento príklad by sa mal odsťahovať kanonická rovnica priamo do tvaru rovnice dvoch pretínajúcich sa rovín. Napíšme to takto:
x - 1 = y + 2 - 1 = z 3 ⇔ - 1 x = - 1 (y + 2) 3 x = - 1 z 3 (y + 2) = - 1 z ⇔ x - y - 2 = 0 3 x + z = 0
Na dôkaz rovnobežnosti danej priamky x - y - 2 = 0 3 x + z = 0 s rovinou 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 = 0 je potrebné transformovať rovnice do sústavy rovnice x - y - 2 = 0 3 x + z = 0 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 = 0 .
Vidíme, že to nie je riešiteľné, preto sa uchýlime ku Gaussovej metóde.
Po napísaní rovníc dostaneme, že 1 - 1 0 2 3 0 1 0 6 - 5 1 3 2 3 ~ 1 - 1 0 2 0 3 1 - 6 0 1 1 3 - 11 1 3 ~ 1 - 1 0 2 0 3 1 - 6 0 0 0 - 9 1 3 .
Z toho usudzujeme, že sústava rovníc je nekonzistentná, keďže priamka a rovina sa nepretínajú, to znamená, že nemajú spoločné body.
Dospeli sme k záveru, že priamka x - 1 \u003d y + 2 - 1 \u003d z 3 a rovina 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 \u003d 0 sú rovnobežné, pretože nevyhnutná a dostatočná podmienka pre rovnobežnosť rovina s danou čiarou bola splnená.
odpoveď: priamka a rovina sú rovnobežné.
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
Niektoré dôsledky axiómov
Veta 1:
Cez priamku a bod, ktorý na nej neleží, prechádza rovina a navyše iba jedna.
Vzhľadom na to: M ₵ a
Dokážte: 1) Existuje α: a∈ α , М ∈ b ∈ α
2)
α je jediné
dôkaz:
1) Na priamke a vyberte body P a Q. Potom máme 3 body - R, Q, M ktoré neležia na rovnakej čiare.
2) Podľa axiómy A1 rovina prechádza tromi bodmi, ktoré neležia na jednej priamke, a navyše iba jedným, t.j. rovina α, ktorá obsahuje priamku a a bod M, existujú.
3) Teraz to dokážmeα jediný. Predpokladajme, že existuje rovina β, ktorá prechádza bodom M aj priamkou a, ale potom táto rovina prechádza bodmiP, Q, M. A po troch bodoch P, Q, M, ktorá neleží na jednej priamke, na základe axiómy 1 prechádza iba jedna rovina.
4) Táto rovina sa teda zhoduje s rovinou α.Preto 1) Na priamke, ale zvoľte body P a Q. Potom máme 3 body - P, Q, M, ktoré neležia na tej istej línii.Preto je α jedinečné.
Veta bola dokázaná.
1) Na priamke b vezmite bod N, ktorý sa nezhoduje s bodom M, teda N ∈ b, N≠M
2) Potom máme bod N, ktorý nepatrí do priamky a. Podľa predchádzajúcej vety rovina prechádza priamkou a bodom, ktorý na nej neleží. Nazvime to rovina α. To znamená, že taká rovina, ktorá prechádza priamkou a a bodom N existuje.
3) Dokážme jedinečnosť tejto roviny. Predpokladajme opak. Nech je rovina β taká, že prechádza cez priamku a aj priamku b. Potom však prechádza aj priamkou a a bodom N. Ale podľa predchádzajúcej vety je táto rovina jedinečná, t.j. rovina β sa zhoduje s rovinou α.
4) Dokázali sme teda existenciu jedinečnej roviny prechádzajúcej cez dve pretínajúce sa priamky.
Veta bola dokázaná.
Veta o paralelných čiarach
Veta:
Cez ktorýkoľvek bod v priestore, ktorý neleží na danej priamke, prechádza priamka rovnobežná s danou priamkou.
Dané: rovné a, M₵ a
dokázať:Existuje len jeden priamyb ∥ a, M ∈ b
dôkaz:
1) Cez priamku a a bod M, ktorý na nej neleží, možno nakresliť jednu rovinu (1. dôsledok). V rovine α možno nakresliť priamku b, rovnobežnú s a, prechádzajúcu cez M.
2) Dokážme, že je to jediné. Predpokladajme, že bodom M prechádza ďalšia priamka c rovnobežná s priamkou a. Nech rovnobežky a a c ležia v rovine β. Potom β prechádza cez M a priamku a. Ale cez priamku a a bod M prechádza rovina α.
3) Preto sa α a β zhodujú. Z axiómy rovnobežných priamok vyplýva, že priamky b a c sa zhodujú, pretože v rovine prechádzajúcej cez daný bod a rovnobežne s danou čiarou.
Veta bola dokázaná.
Definícia rovnobežných čiar a ich vlastnosti v priestore sú rovnaké ako v rovine (pozri bod 11).
Zároveň je možný ešte jeden prípad usporiadania čiar v priestore - šikmé čiary. Čiary, ktoré sa nepretínajú a neležia v rovnakej rovine, sa nazývajú pretínajúce sa čiary.
Obrázok 121 zobrazuje usporiadanie obývacej izby. Vidíte, že čiary, ku ktorým patria segmenty AB a BC, sú zošikmené.
Uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami je uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami rovnobežnými s nimi. Tento uhol nezávisí od toho, ktoré pretínajúce sa čiary sa berú.
Predpokladá sa, že miera uhla medzi rovnobežnými čiarami je nulová.
Spoločná kolmica dvoch pretínajúcich sa čiar je úsečka s koncami na týchto čiarach, ktorá je kolmou na každú z nich. Dá sa dokázať, že dve pretínajúce sa čiary majú spoločnú kolmicu a navyše iba jednu. Je to spoločná kolmica rovnobežných rovín prechádzajúcich týmito priamkami.
Vzdialenosť medzi pretínajúcimi sa čiarami je dĺžka ich spoločnej kolmice. Rovná sa vzdialenosti medzi rovnobežnými rovinami prechádzajúcimi týmito čiarami.
Aby sme teda našli vzdialenosť medzi pretínajúcimi sa priamkami a a b (obr. 122), je potrebné nakresliť rovnobežné roviny a a cez každú z týchto priamok. Vzdialenosť medzi týmito rovinami bude vzdialenosťou medzi pretínajúcimi sa čiarami a a b. Na obrázku 122 je táto vzdialenosť napríklad vzdialenosťou AB.
Príklad. Priamky a a b sú rovnobežné a priamky c a d sa pretínajú. Môže každá z čiar a pretínať obe čiary
rozhodnutie. Priamky a a b ležia v rovnakej rovine, a preto každá priamka pretínajúca každú z nich leží v rovnakej rovine. Ak teda každá z priamok a, b pretína obe priamky c a d, potom by priamky ležali v rovnakej rovine s priamkami a a b, a to nemôže byť, keďže sa priamky pretínajú.
42. Rovnobežnosť priamky a roviny.
Čiara a rovina sa nazývajú rovnobežné, ak sa nepretínajú, to znamená, že nemajú spoločné body. Ak je priamka a rovnobežná s rovinou a, potom píšu:.
Obrázok 123 zobrazuje priamku a rovnobežnú s rovinou a.
Ak je priamka, ktorá nepatrí do roviny, rovnobežná s nejakou priamkou v tejto rovine, potom je rovnobežná aj so samotnou rovinou (znak rovnobežnosti priamky a roviny).
Táto veta umožňuje konkrétnu situáciu Dokážte, že priamka a rovina sú rovnobežné. Obrázok 124 zobrazuje priamku b rovnobežnú s priamkou a ležiacu v rovine a, t.j. pozdĺž priamky b rovnobežnej s rovinou a, t.j.
Príklad. Cez vrchol pravý uhol Z obdĺžnikového trojuholník ABC Rovina je nakreslená rovnobežne s preponou vo vzdialenosti 10 cm od nej. Priemet nôh na túto rovinu je 30 a 50 cm Nájdite priemet prepony v tej istej rovine.
rozhodnutie. Z pravouhlých trojuholníkov BBVC a (obr. 125) zistíme:
Z trojuholníka ABC zistíme:
Priemet prepony AB na rovinu a je . Keďže AB je rovnobežná s rovinou a, tak So,.
43. Paralelné roviny.
Dve roviny sa nazývajú rovnobežné. ak sa nepretínajú.
Dve roviny sú rovnobežné“, ak je jedna z nich rovnobežná s dvomi pretínajúcimi sa priamkami ležiacimi v inej rovine (znak rovnobežnosti dvoch rovín).
Na obrázku 126 je rovina a rovnobežná s pretínajúcimi sa priamkami a a b ležiacimi v rovine, potom sú pozdĺž týchto rovín rovnobežné.
Cez bod mimo danej roviny možno nakresliť rovinu rovnobežnú s danou rovinou a navyše iba jednu.
Ak sa dve rovnobežné roviny pretínajú s treťou, potom sú priesečníky rovnobežné.
Obrázok 127 zobrazuje dve rovnobežné roviny a rovina y ich pretína pozdĺž priamych čiar a a b. Potom pomocou vety 2.7 môžeme tvrdiť, že priamky a a b sú rovnobežné.
Segmenty rovnobežných čiar uzavreté medzi dvoma rovnobežnými rovinami sú rovnaké.
Podľa T.2.8 sú segmenty AB a zobrazené na obrázku 128 rovnaké, pretože
Nech sa tieto roviny pretnú. Nakreslite rovinu kolmú na čiaru ich priesečníka. Pretína tieto roviny pozdĺž dvoch priamych čiar. Uhol medzi týmito čiarami sa nazýva uhol medzi týmito rovinami (obr. 129). Uhol medzi takto definovanými rovinami nezávisí od výberu sečnej roviny.
