Metódy riešenia kombinatorické problémy
Zoznam možných možností
Jednoduché problémy sa riešia obyčajným úplným vymenovaním možných možností bez kompilácie rôzne tabuľky a schém.
Úloha 1.
Aké dvojciferné čísla možno zostaviť z čísel 1, 2, 3, 4, 5?
odpoveď: 11, 12, 13, 14, 15, 21, 22, 23, 24, 25, 31, 32, 33, 34, 35, 41, 42, 43, 44, 45, 51, 52, 53, 54, 55.
Úloha 2.
Ivanov, Gromov a Orlov sa zúčastňujú záverečných pretekov na 100 m. názov možné možnosti distribúcia ceny.
odpoveď:
Možnosť 1: 1) Ivanov, 2) Gromov, 3) Orlov.
Možnosť 2: 1) Ivanov, 2) Orlov, 3) Gromov.
Možnosť 3: 1) Orlov, 2) Ivanov, 3) Gromov.
Možnosť 4: 1) Orlov, 2) Gromov, 3) Ivanov.
Možnosť 5: 1) Gromov, 2) Orlov, 3) Ivanov.
Možnosť 6: 1) Gromov, 2) Ivanov, 3) Orlov.
Úloha 3.
Petya, Kolya, Vitya, Oleg, Tanya, Olya, Natasha, Sveta sa prihlásili do klubu spoločenských tancov. Aké tanečné páry môžu vytvoriť dievča a chlapec?
odpoveď:
1) Tanya - Petya, 2) Tanya - Kolya, 3) Tanya - Vitya, 4) Tanya - Oleg, 5) Olya - Petya, 6) Olya - Kolya, 7) Olya - Vitya, 8) Olya - Oleg, 9) Nataša - Peťa, 10) Nataša - Kolja, 11) Nataša - Viťa, 12) Nataša - Oleg, 13) Sveta - Peťa, 14) Sveta - Kolja, 15) Sveta - Viťa, 16) Sveta - Oleg.
Strom možných možností
Rôzne kombinatorické problémy sa riešia vypracovaním špeciálnych schém. Navonok sa takáto schéma podobá stromu, odtiaľ názov metódy - strom možných možností.
Úloha 4.
Aké trojciferné čísla možno zostaviť z čísel 0, 2, 4?
rozhodnutie.Zostavme si strom možných možností, keďže 0 nemôže byť prvou číslicou čísla.
odpoveď: 200, 202, 204, 220, 222, 224, 240, 242, 244, 400, 402, 404, 420, 422, 424, 440, 442, 444.
Úloha 5.
Školskí turisti sa rozhodli urobiť si výlet k horskému jazeru. Prvú etapu cesty je možné prekonať vlakom alebo autobusom. Druhá etapa je na kajakoch, bicykloch alebo pešo. A tretia etapa cesty je pešo alebo lanovkou. Aké možnosti cestovania majú školskí turisti?
rozhodnutie.Postavme si strom možných možností, označte cestu vlakom P, autobusom - A, kajakom - B, bicyklom - C, pešo - X, lanovkou - K.
odpoveď:Na obrázku je uvedených všetkých 12 možných možností cestovania pre školských turistov.
Úloha 6.
Zapíšte si všetky možné možnosti rozvrhu piatich hodín denne z predmetov: matematika, ruština, dejepis, anglický jazyk, telesná výchova, a matematika by mala byť druhá hodina.
rozhodnutie.Postavme si strom možných možností, označíme M - matematika, R - ruština, I - dejepis, A - angličtina, F - telesná výchova.
odpoveď:Celkovo je k dispozícii 24 možností:
|
R |
R |
R |
R |
R |
R |
A |
A |
A |
A |
A |
A |
ALE |
ALE |
ALE |
ALE |
ALE |
ALE |
F |
F |
F |
F |
F |
F |
Úloha 7.
Sasha chodí do školy v nohaviciach alebo džínsoch a nosí k nim sivé, modré, zelené alebo kárované košele, vymeniteľné topánky berie topánky alebo tenisky.
a) Koľko dní bude Saša môcť vyzerať novým spôsobom?
b) Koľko dní bude chodiť v teniskách?
c) Koľko dní bude nosiť kockovanú košeľu a džínsy?
rozhodnutie.Postavme si strom možných možností, označujúci B - nohavice, D - džínsy, C - sivá košeľa, D - modrá košeľa, G - zelená košeľa, P - kockovaná košeľa, T - topánky, K - tenisky.
odpoveď:a) 16 dní; b) 8 dní; c) 2 dni.
Tabuľkovanie
Kombinatorické problémy môžete vyriešiť pomocou tabuliek. Rovnako ako strom možných možností vizuálne predstavujú riešenie takýchto problémov.
Úloha 8.
Koľko nepárnych dvojciferných čísel možno vytvoriť z čísel 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9?
rozhodnutie.Urobme si tabuľku: vľavo v prvom stĺpci sú prvé číslice hľadaných čísel, v prvom riadku hore sú druhé číslice.
odpoveď: 28.
Úloha 9.
Masha, Olya, Vera, Ira, Andrey, Misha a Igor sa pripravovali na to, aby sa stali moderátormi na novoročná dovolenka. Pomenujte možné možnosti, ak vodcami môže byť len jedno dievča a jeden chlapec.
rozhodnutie.Urobme si tabuľku: vľavo v prvom stĺpci sú mená dievčat, v prvom riadku hore mená chlapcov.
odpoveď:Všetky možné možnosti sú uvedené v riadkoch a stĺpcoch tabuľky.
pravidlo násobenia
Tento spôsob riešenia kombinatorických úloh sa používa vtedy, keď nie je potrebné uvádzať všetky možné možnosti, ale je potrebné odpovedať na otázku - koľko ich existuje.
Úloha 10.
AT futbalový turnaj je zapojených niekoľko tímov. Ukázalo sa, že všetci používali bielu, červenú, modrú a bielu na šortky a tričká. zelené farby a boli predstavené všetky možné možnosti. Koľko tímov sa zúčastnilo turnaja?
rozhodnutie.
Slipy môžu byť biele, červené, modré alebo zelené, t.j. sú 4 možnosti. Každá z týchto možností má 4 farebné varianty dresu.
4 x 4 = 16.
odpoveď: 16 tímov.
Úloha 11.
6 žiakov absolvuje test z matematiky. Koľkými spôsobmi ich možno umiestniť na zoznam?
rozhodnutie.
Prvý v zozname môže byť ktorýkoľvek zo 6 študentov,
druhý v zozname môže byť ktorýkoľvek zo zostávajúcich 5 študentov,
tretí - ktorýkoľvek zo zostávajúcich 4 študentov,
štvrtý - ktorýkoľvek zo zostávajúcich 3 študentov,
piaty - ktorýkoľvek zo zostávajúcich 2 študentov,
šiesty - posledný 1 žiak.
6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720.
odpoveď: 720 spôsobov.
Úloha 12.
Koľko párnych dvojciferných čísel možno poskladať z číslic 0, 2, 3, 4, 6, 7?
rozhodnutie.
Prvý v dvojciferný môže byť 5 číslic (číslo 0 nemôže byť prvé v čísle), druhé v dvojcifernom čísle môže byť 4 číslice (0, 2, 4, 6, pretože číslo musí byť párne).
5 x 4 = 20.
odpoveď: 20 čísel.
Úlohy na riešenie spevnenia nového materiálu
Úloha č.1. Koľkými spôsobmi môže 5 účastníkov finále
beh na 5 bežiacich pásoch?
rozhodnutie: R 5 \u003d 5! \u003d 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 \u003d 120 spôsobov.
Úloha číslo 2. Koľko trojciferné čísla môžu byť zložené z čísel 1,2,3, ak každé
Zobrazuje sa číslica na obrázku čísla iba raz?
rozhodnutie: Počet všetkých permutácií troch prvkov je P 3 =3!, kde 3!=1 * 2 * 3=6
To znamená, že existuje šesť trojciferných čísel tvorených číslami 1,2,3.
Úloha číslo 3. Koľkými spôsobmi môžu štyria chlapci pozvať štyroch zo šiestich
dievčatá tancovať?
rozhodnutie: Dvaja chlapci nemôžu pozvať to isté dievča súčasne. A
možnosti, v ktorých tie isté dievčatá tancujú s rôznymi chlapcami,
považované za odlišné, takže:
Úloha č. 4. Koľko rôznych trojciferných čísel možno vytvoriť z čísel 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9 za predpokladu, že každá číslica sa použije len pri zadávaní čísla
raz?
rozhodnutie: V stave problému sa navrhuje spočítať počet možných kombinácií od
tri číslice prevzaté z navrhovaných deviatich číslic s poradím
na usporiadaní čísel v kombinácii záleží (napríklad čísla 132)
a 231 rôznych). Inými slovami, musíte nájsť počet umiestnení z deviatich
tri prvky.
Podľa vzorca pre počet umiestnení zistíme:
Odpoveď: 504 trojciferných čísel.
Úloha č. 5 Koľkými spôsobmi možno vybrať 3-členný výbor zo 7 osôb?
rozhodnutie: Ak chcete zvážiť všetky možné provízie, musíte zvážiť všetky
možné 3-prvkové podmnožiny zostavy pozostávajúcej zo 7
Ľudské. Požadovaný počet spôsobov je
Úloha číslo 6. Súťaže sa zúčastňuje 12 tímov. Koľko možností je
rozdelenie cenových (1, 2, 3) miest?
rozhodnutie: A 12 3 = 12 ∙11 ∙10 = 1320 možností na rozdelenie cien.
Odpoveď: 1320 možností.
Úloha číslo 7. Na atletických pretekoch našu školu reprezentovalo družstvo z
10 športovcov. Koľkými spôsobmi môže tréner určiť, ktorý z nich
pobeží v štafete na 4x100m v prvej, druhej, tretej a štvrtej etape?
rozhodnutie: Výber od 10 do 4, berúc do úvahy poradie: 
spôsoby.
Odpoveď: 5040 spôsobov.
Úloha číslo 8. Koľkými spôsobmi môže červená, čierna, modrá a
zelené gule?
rozhodnutie: V prvom rade si môžete dať ktorúkoľvek zo štyroch loptičiek (4 spôsoby).
druhý - ktorýkoľvek z troch zostávajúcich (3 spôsobov), tretie miesto - ktorýkoľvek z
zostávajúce dva (2 spôsoby), na štvrtom mieste - zostávajúca posledná guľa.
Spolu 4 3 2 1 = 24 spôsobov.
P 4 = 4! \u003d 1 2 3 4 \u003d 24. Odpoveď: 24 spôsobov.
Úloha číslo 9. Študenti dostali zoznam 10 kníh, ktoré si mali prečítať
Dovolenka. Koľkými spôsobmi si z nich môže študent vybrať 6 kníh?
rozhodnutie: Výber 6 z 10 bez ohľadu na objednávku: 
spôsoby.
Odpoveď: 210 spôsobov.
Úloha číslo 10. V 9. ročníku je 7 žiakov, v 10. ročníku 9 žiakov a v 11. ročníku 8 žiakov. Pre
práce na stránke školy, je potrebné vyčleniť dvoch žiakov z 9. ročníka,
tri z 10 a jeden z 11. Koľko spôsobov je na výber
študentov pracovať na pôde školy?
rozhodnutie: Výber z troch sád bez ohľadu na objednávku, každá z nich
prvej sady (C 7 2) je možné kombinovať s každým výberom z
druhý (C 9 3)) a pri každom výbere tretieho (C 8 1) podľa pravidla
násobením dostaneme:
Odpoveď: 14 112 spôsobov.
Úloha číslo 11.Žiaci deviateho ročníka Zhenya, Seryozha, Kolya, Natasha a Olya bežali do
presedlať na tenisový stôl, pri ktorom sa už hralo. Koľko
piati deviataci, ktorí pribehli k stolu, si môžu vziať
v rade na stolný tenis?
rozhodnutie: Prvým v poradí mohol byť ktorýkoľvek deviatak, druhý môže byť ktorýkoľvek z nich.
zostávajúce tri, tretí - ktorýkoľvek zo zvyšných dvoch a štvrtý -
deviatak, ktorý dobehol predposledný a piaty bol posledný. Autor:
pravidlo násobenia, päť študentov má 5 4321=120 spôsobov
Veľkosť: px
Začať zobrazenie zo stránky:
prepis
1 1 Základné pojmy kombinatoriky 1 Príloha Definícia Súčin všetkých prirodzených čísel od 1 do n vrátane sa nazýva n-faktoriál a píše sa Príklad Vypočítajte 4! 3! n! 1 3 n 4!-3!= ! 5! Príklad Vypočítajte! 7! 5! 5!! Nech sú uvedené tri písmená týchto písmen: 7 1! Permutácie 5 3 A, B, C Urobme všetky možné kombinácie ABC / ACB / BCA / CAB / CBA / BAC (totálne kombinácie) Vidíme, že sa navzájom líšia iba v poradí písmen Definícia Kombinácie n prvkov, ktoré líšia sa od seba iba poradím prvkov, nazývajú sa permutácie Permutácie sa označujú symbolom n, kde n je počet prvkov zahrnutých v každej permutácii 3 3! Počet permutácií možno vypočítať pomocou vzorca n alebo pomocou faktoriálu: n n 1 n 3 1 n n! Počet permutácií troch prvkov podľa vzorca je teda, čo sa zhoduje s výsledkom vyššie uvedeného príkladu 5 0 Príklad Vypočítaj,! ! - 5! 5! -pätnásť! 5! 1 5 0! ! jeden! Príklad Koľko rôznych päťciferných čísel možno vytvoriť z čísel 1, 3, 4, 5, ak sa v čísle neopakuje žiadna číslica?
25! Príklad Súťaže sa zúčastnili štyri tímy. Koľko možností je medzi nimi rozdelenia miest? 4! Umiestnenie Nech sú tam štyri písmená A, B, C, D Poskladajte všetky kombinácie iba dvoch písmen, dostaneme: AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC Vidíme, že všetky výsledné kombinácie sa líšia buď písmenami alebo ich poradím (kombinácie BA a AB sa považujú za odlišné) Definícia Kombinácie m prvkov o n prvkov, ktoré sa navzájom líšia buď samotnými prvkami alebo poradím prvkov, sa nazývajú umiestnenia sú označené n A m n počtom prvkov v každej kombinácii, kde m je počet všetkých dostupných prvkov, A n m m! (m n)! Príklad Koľko možností je na rozdelenie troch cien, ak sa žrebovania zúčastní 7 tímov? 3 7! 7! A! 4! 10 Príklad Koľko rôznych štvorciferných čísel možno vytvoriť z čísel 0, 1, 8, 9? 410! desať! A!! Príklad Koľko možností rozvrhu možno vytvoriť na jeden deň, ak ich je celkovo 8 predmetov, a len tri z nich je možné zaradiť do rozvrhu dňa? 38! osem! A! 5! Príklad Koľko možností na distribúciu troch poukážok do sanatória rôznych profilov možno urobiť pre piatich žiadateľov? 35! 5! A!!
3 Kombinácie Definícia Kombinácie sú všetky možné kombinácie m prvkov podľa n, ktoré sa navzájom líšia v najmenej aspoň jeden prvok (tu m a n celé čísla, a n 4 Náhodný jav možno charakterizovať pomerom počtu jeho výskytov k počtu pokusov, z ktorých v každom by za rovnakých podmienok všetkých pokusov mohol nastať, ale aj nenastať.. Aby sa tieto zákonitosti zaznamenali a preskúmali , uvádzame niekoľko základných pojmov a definícií Definícia Akákoľvek akcia, jav, pozorovanie s niekoľkými rôznymi výstupmi, realizované za daného súboru podmienok, sa nazývajú test Definícia Výsledok tejto akcie alebo pozorovania sa nazýva náhodná udalosť. Napríklad výskyt čísla pri hode mincou je náhodná udalosť, keďže sa mohla, ale aj nemusela stať Definícia Ak nás zaujíma nejaká konkrétna udalosť zo všetkých možných možné udalosti, potom to nazveme žiaducou udalosťou (alebo želaným výsledkom) Definícia Všetky zvažované udalosti sa budú považovať za rovnako možné, tie, ktoré majú rovnakú šancu nastať, takže pri hode kockou 1 bod, 3, 4 , 5 alebo bodov sa môžu objaviť výsledky testu sú rovnako pravdepodobné Inými slovami, rovnosť znamená rovnosť, symetriu jednotlivých výsledkov testu za určitých podmienok Udalosti sa zvyčajne označujú veľkými písmenami latinskej abecedy: A, B, C, D Definícia Udalosti sú nazývané nezlučiteľné, ak sa v tomto experimente nemôžu vyskytnúť dve z nich. Inak sa udalosti nazývajú spoločné. Takže, keď sa hodí minca, výskyt čísla vylučuje súčasný výskyt erbu; toto je príklad nekompatibilných udalostí 4 5 Uvažujme o ďalšom príklade Nechajte nakresliť kruh, kosoštvorec a trojuholník na terč Zaznie jeden výstrel. Udalosť A zasiahnutie kruhu, udalosť B zasiahnutie diamantu, udalosť C zasiahnutie trojuholníka Potom udalosti A a B, A a C, C a B sú nezlučiteľné Definícia Udalosť sa nazýva spoľahlivá, ak sa v tomto teste nevyhnutne stane Napríklad výhra na lotériovom lístku s výhrou je spoľahlivá udalosť Spoľahlivé udalosti sa označujú písmenom U Definícia Udalosť sa nazýva nemožná, ak k nej nemôže dôjsť v tomto teste Napríklad pri hode kockou nie je možné získať 7 bodov Nemožná udalosť označená písmenom V Definícia Kompletný systém udalostí A 1, A, A 3, A n je súbor nezlučiteľných udalostí, výskyt z ktorých aspoň jeden je povinný pre tento test Takže strata jedného, dvoch, troch, štyroch, piatich, šiestich bodov pri hádzaní hracích kostí je kompletný systém udalostí, pretože všetky tieto udalosti sú nezlučiteľné a výskyt vyžaduje sa aspoň jedna z nich Definícia Ak sa celý systém skladá z dvoch udalostí, potom sa takéto udalosti nazývajú opačne a sú označené A a A Príklad Existuje jeden tiket lotérie „6 zo 45“, ktorý nemožno vyhrať Sú tieto udalosti nezlučiteľné ? Príklad V krabici je 30 očíslovaných loptičiek Určte, ktorá z nasledujúcich udalostí je nemožná, istá, naopak: žrebuje sa loptička s číslom (; žrebuje sa loptička s párnym číslom (žrebuje sa loptička s nepárnym číslom (C); loptička bez čísla sa žrebuje (D) Ktorá z nich tvorí kompletnú skupinu?Príklad Sú udalosti pravdivé alebo nemožné, že výsledkom jedného hodu kockou bude: 5 bodov; 7 bodov; od 1 po body? Ktoré udalosti v tejto skúške vytvoriť kompletnú skupinu? 5 6 Definícia Súčet viacerých udalostí je dej spočívajúci v výskyte aspoň jedného z nich v dôsledku testu Súčet dejov A a B, označovaných (A + a znamená, že dej A, alebo B, alebo A a B spolu nastali Definícia Súčin viacerých udalostí sa nazýva udalosť, ktorá spočíva v spoločnom výskyte všetkých týchto udalostí ako výsledok testu Súčin udalostí A a B označuje: AB 3 Stanovenie pravdepodobnosti udalosť Náhodné udalosti sa realizujú s rôznymi možnosťami Niektoré sa vyskytujú častejšie, iné menej často Pre kvantifikáciu možností pre realizáciu udalosti sa zavádza pojem pravdepodobnosti udalosti Definícia Pravdepodobnosť udalosti A je podiel počtu M priaznivých výsledkov k celkovému počtu N rovnako pravdepodobných výsledkov tvoriacich kompletnú skupinu: Pravdepodobnosť určitej udalosti je 1, nemožná 0, náhodná: 0 (1 Toto je klasická definícia pravdepodobnosti Relatívna frekvencia udalosti n testov: M N * (Príklad Jedno písmeno je náhodne vybrané zo slova „poliklinika“ Aká je pravdepodobnosť, že ide o samohlásku? Čo je písmeno K? Čo je to samohláska alebo písmeno K? Celkový počet písmen 11 Udalosť A ako výsledok experimentu sa objavilo písmeno samohlásky Udalosť B objavilo sa písmeno K Udalosť A je uprednostňovaná piatimi udalosťami (5 samohlások), udalosť B je uprednostňovaná dvoma m 5 m (, n 11 n 11 m n 4 Základné vety a vzorce teórie pravdepodobnosti Veta o sčítaní pravdepodobnosti Pravdepodobnosť výskytu jedného z nezlučiteľných udalostí sa rovná súčtu ich pravdepodobností: 7 A A A A A 1 n 1 A n Pravdepodobnosť súčtu dvoch spoločných udalostí A A Súčet pravdepodobností opačných udalostí (1 Definícia Nech A a B sú dva náhodné javy toho istého testu Označenie: A B A Veta o násobení pravdepodobnosti Pravdepodobnosť súčasný výskyt dvoch nezávislých udalostí sa rovná súčinu pravdepodobnosti týchto udalostí A 7 Matematika (BkPl-100) M.P. Kharlamov akademický rok 2011/2012, 1. semester Prednáška 5. Téma: Kombinatorika, úvod do teórie pravdepodobnosti 1 Téma: Kombinatorika Kombinatorika je odbor matematiky, ktorý študuje Katedra matematiky a informatiky Matematika Vzdelávací a metodický komplex pre študentov stredného odborného vzdelávania študujúcich pomocou dištančných technológií Modul 6 Základy teórie pravdepodobnosti a matematickej štatistiky PREDMET. TEÓMY O SČÍTANÍ A NÁSOBENÍ PRAVDEPODOBNOSTI Operácie s náhodnými udalosťami. Algebra udalostí. Koncept kompatibility udalostí. Kompletná skupina podujatí. Závislosť a nezávislosť od náhodných udalostí. Podmienené Prednáška Teória pravdepodobnosti Základné pojmy Experiment Frekvencia Pravdepodobnosť Teória pravdepodobnosti je časť matematiky, ktorá študuje vzorce náhodných javov Náhodné udalosti sú udalosti, ktoré keď LEKCIA 3 ÚVOD DO TEÓRIE PRAVDEPODOBNOSTI METODICKÉ ODPORÚČANIA MISIS 2013 SCHVÁLENÉ: D.E. Kaputkin predseda Výchovno-metodickej komisie pre plnenie Dohody s odborom školstva hor. 1 ČASŤ I. TEÓRIA PRAVDEPODOBNOSTI KAPITOLA 1. 1. Prvky kombinatoriky Definícia 1. Príklady: Definícia. -faktoriál je číslo označené !, kým! = 1** * pre všetky prirodzené čísla 1, ; okrem toho 1) Koľko je trojciferných prirodzených čísel, ktoré majú len o dve číslice menej ako päť? Len päť číslic je menších ako 5: ( 0; 1; 2; 3; 4 ) Zvyšných päť číslic nie je menších ako 5: ( ; ; ; ; ) 1. metóda riešenia 3. prednáška Téma Hlavné vety a vzorce teórie pravdepodobnosti Obsah témy Algebra udalostí. Vety o sčítaní pravdepodobností. Podmienená pravdepodobnosť. Vety o násobení pravdepodobnosti. Vzorec úplnej pravdepodobnosti. Téma prednášky: ALGEBRA UDALOSTÍ ZÁKLADNÉ TEÓMY O PRAVDEPODOBNOSTI Algebra udalostí Súčet udalostí sa nazýva dej S = +, ktorý spočíva vo výskyte aspoň jedného z nich Súčin udalostí a je tzv. Katedra vyššej matematiky Sekcia prednášok z teórie pravdepodobnosti a matematickej štatistiky. Teória pravdepodobnosti Predmetom teórie pravdepodobnosti je štúdium špecifických zákonitostí v hmote homogénnej OBSAH TÉMA III. ÚVOD DO TEÓRIE PRAVDEPODOBNOSTI... 2 1. REFERENČNÉ MATERIÁLY... 2 1.1. ZÁKLADNÉ POJMY A DEFINÍCIE... 2 1.2. AKCIE PRI NÁHODNÝCH UDALOSTIACH... 4 1.3. KLASICKÁ DEFINÍCIA Prednáška 2. Vety o sčítaní a násobení pravdepodobností Súčet a súčin deja FEDERÁLNA ŠTÁTNA ROZPOČTOVÁ VZDELÁVACIA INŠTITÚCIA VYSOKÉHO ODBORNÉHO VZDELÁVANIA "Čeljabinská štátna akadémia kultúry a umenia" Katedra informatiky TEÓRIA PRAVDEPODOBNOSTI PRAVDEPODOBNOSŤ NÁHODNEJ UDALOSTI Kolmogorovove axiómy V roku 1933 AN Kolmogorov vo svojej knihe „Základné pojmy teórie pravdepodobnosti“ axiomaticky zdôvodnil teóriu pravdepodobnosti. „To znamená, že po KATEDRA ŠKOLSTVA SEVERNÉHO OBVODU PRACOVNÝ PROGRAM Hodina teórie pravdepodobnosti a štatistiky Použité učebné pomôcky: Učebnica: Tyurin Yu.N. atď. Teória pravdepodobnosti a štatistiky. M., MTsNMO: as Federálna agentúra pre vzdelávanie Štátna vzdelávacia inštitúcia vyššieho odborného vzdelávania "NÁRODNÝ VÝSKUM TOMSKOVÁ POLYTECHNICKÁ UNIVERZITA" PREDNÁŠKA Z TEÓRIE KOMBINÁTORNÁ PRAVDEPODOBNOSŤ Téma 5 Obsah prednášky 1 Úvod 2 3 4 Ďalší odsek 1 Úvod 2 3 4 Problém... Problém... Problém... ... a riešenie: Dievča PREDNÁŠKA URČOVANIA PRAVDEPODOBNOSTI UDALOSTI Pravdepodobnosť udalosti sa týka základných pojmov teórie pravdepodobnosti a vyjadruje mieru objektívnej možnosti vzniku udalosti Pre praktickú činnosť je dôležité I Definícia pravdepodobnosti a základné pravidlá jej výpočtu Pravdepodobnostný experiment Predmet teórie pravdepodobnosti Kniha úloh Chudesenko, teória pravdepodobnosti, variant Hodia sa dve kocky. Určte pravdepodobnosť, že: a súčet počtu bodov nepresiahne N ; b súčin počtu bodov nepresahuje N; v Zostavil: docent Katedry lekárskej a biologickej fyziky Romanova N.Yu. Teória pravdepodobnosti 1 prednáška Úvod. Teória pravdepodobnosti je matematická veda, ktorá študuje vzorce náhodných javov. MVDubatovskaya Teória pravdepodobnosti a matematická štatistika Prednáška 3 Metódy určovania pravdepodobností 0 Klasická definícia pravdepodobností Akýkoľvek z možných výsledkov experimentu nazývame elementárnymi. 3. prednáška Téma Hlavné vety a vzorce teórie pravdepodobnosti Obsah témy Algebra udalostí. Vety o sčítaní pravdepodobností. Podmienená pravdepodobnosť. Vety o násobení pravdepodobnosti. Hlavné kategórie algebry Prednáška 1. Téma: ZÁKLADNÉ PRÍSTUPY K URČOVANIU PRAVDEPODOBNOSTI Predmet teórie pravdepodobnosti. Historické pozadie M.P. Kharlamov http://vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Synopsa Teória pravdepodobnosti a matematická štatistika Zhrnutie prvej časti (otázky a odpovede) Dr. fyz. Profesor vied Michail Pavlovič Kharlamov Teória pravdepodobnosti Plán prednášky P O pravdepodobnosti ako veda P Základné definície pravdepodobnosti P Frekvencia náhodnej udalosti Definícia pravdepodobnosti P 4 Aplikácia kombinatoriky na počítanie Prvky teórie pravdepodobnosti Náhodné udalosti Deterministické procesy Vo vede a technike sa uvažuje o procesoch, ktorých výsledok možno s istotou predpovedať: Ak sa na konce vodiča aplikuje rozdiel TÉMA 1 Kombinatorika Výpočet pravdepodobností Úloha 1B Národného pohára vo futbale sa zúčastňuje 17 tímov Koľko spôsobov je možné rozdeliť zlaté, strieborné a bronzové medaily? Pokiaľ ide o ( σ-algebra - pole náhodných javov - prvá skupina Kolmogorovových axióm - druhá skupina Kolmogorovových axióm - základné vzorce teórie pravdepodobnosti - veta o sčítaní pravdepodobnosti - podmienená pravdepodobnosť Základy teórie pravdepodobnosti Prednáška 2 Obsah 1. Podmienená pravdepodobnosť 2. Pravdepodobnosť súčinu udalostí 3. Pravdepodobnosť súčtu udalostí 4. Vzorec celkovej pravdepodobnosti Závislé a nezávislé udalosti Definícia N. G. TAKTAROV TEÓRIA PRAVDEPODOBNOSTI A MATEMATICKÁ ŠTATISTIKA: KRÁTKY KURZ S PRÍKLADMI A RIEŠENIAMI Ministerstvo školstva a vedy Ruskej federácie Federálna štátna rozpočtová vzdelávacia inštitúcia vyššieho odborného vzdelávania „Saratovská štátna sociálno-ekonomická univerzita“ Problémy teórie pravdepodobnosti a matematickej štatistiky. Náhodné udalosti Úloha. V sérii N položiek majú položky skrytú chybu. Aká je pravdepodobnosť, že z k položiek vybratých náhodne, TEÓRIA PRAVDEPODOBNOSTI. ÚLOHY. Obsah (podľa tém) 1. Vzorec pre klasickú definíciu pravdepodobnosti. Prvky kombinatoriky. Geometrická pravdepodobnosť 4. Operácie s udalosťami. Vety o sčítaní a násobení Kombinatorické vzorce Nech existuje množina pozostávajúca z n prvkov. Označme ho U n. Permutácia n prvkov je daný poriadok v množine U n. Príklady permutácií: 1) rozdelenie KAPITOLA 5 PRVKY TEÓRIE PRAVDEPODOBNOSTI 5 Axióm teórie pravdepodobnosti Rôzne udalosti možno klasifikovať takto: Nemožná udalosť Udalosť, ktorá sa nemôže stať Určitá udalosť PRCTICUM Základné vzorce kombinatoriky Typy udalostí Pôsobenie na udalosti Klasická pravdepodobnosť Geometrická pravdepodobnosť Základné vzorce kombinatoriky Kombinatorika študuje počet kombinácií, Vzorec úplnej pravdepodobnosti. Nech existuje skupina udalostí H 1, H 2,..., H n s nasledujúcimi vlastnosťami: 1) Všetky udalosti sú párovo nekompatibilné: H i H j =; i, j=1,2,...,n; ij 2) Ich zväzkové formy MINISTERSTVO ŠKOLSTVA RUSKEJ FEDERÁCIE IVANOVO ŠTÁTNA ENERGETICKÁ UNIVERZITA KATEDRA VYŠŠEJ MATEMATIKY METODICKÉ POKYNY K TEÓRII PRAVDEPODOBNOSTI Zostavil: MINISTERSTVO KULTÚRY RUSKEJ FEDERÁCIE FEDERÁLNA ŠTÁTNA VZDELÁVACIA INŠTITÚCIA VYSOKÉHO ODBORNÉHO VZDELÁVANIA „SV. Teória pravdepodobnosti a matematická štatistika Doktor fyziky a matematiky. Profesor vied Michail Pavlovič Kharlamov „Stránka“ s metodickými materiálmi http://inter.vags.ru/hmp Volgogradská pobočka RANEPA (FGOU Vorobyov V.V. "Lyceum", Kalachinsk, región Omsk Workshop o riešení problémov v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike Teória pravdepodobnosti a matematická štatistika Doktor fyziky a matematiky. Profesor vied Michail Pavlovič Kharlamov „Stránka“ s metodickými materiálmi http://vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Volgogradská pobočka RANEPA TEÓRIA PRAVDEPODOBNOSTI. ROZDELENIE NÁHODNÝCH HODNOT Úloha. Vyber správnu odpoveď:. Relatívna frekvencia náhodnej udalosti A je hodnota rovnajúca sa ... a) pomeru počtu prípadov, ktoré favorizujú ZÁKLADNÉ POJMY TEÓRIE PRAVDEPODOBNOSTI. 3.1. Náhodné udalosti. Každá veda pri štúdiu javov hmotného sveta operuje s určitými pojmami, medzi ktorými sú nevyhnutne základné; Vyššie odborné vzdelanie Vysokoškolské V. S. Mkhitaryan, V. F. Shishov, A. Yu. Kozlov Teória pravdepodobnosti a matematická štatistika Učebnica Odporúčaná Vzdelávacou a metodickou asociáciou pre vzdelávanie OBSAH ODDIEL I. TEÓRIA PRAVDEPODOBNOSTI Predslov................................................... ................ ......... 6 ČASŤ I. NÁHODNÉ UDALOSTI ................... ............... 7 KAPITOLA 1. Prvková kombinatorická analýza ........................ Teória pravdepodobnosti a matematická štatistika Doktor fyziky a matematiky. Profesor vied Michail Pavlovič Kharlamov Internetový zdroj s metodickými materiálmi http://www.vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Volgogradská pobočka Chiv až S udalosť, ktorá spočíva v tom, že systém nie je uzavretý, možno napísať: S = A 1 A 2 + B = (A 1 + A 2) + B. 2.18. Podobne ako pri riešení úloh 2.5, 2.6 dostaneme S = A(B 1 +B 2) C D; S = A + B1B2 + C Ministerstvo školstva a vedy Ruskej federácie FEDERÁLNY ŠTÁTNY ROZPOČET VZDELÁVACIA INŠTITÚCIA VYSOKÉHO ODBORNÉHO VZDELÁVANIA "KAZAN" TEÓRIA PRAVDEPODOBNOSTI Kombinatorika, pravidlá súčinu a súčtu Kombinatorika ako veda Kombinatorika je odvetvie matematiky, ktoré študuje zlúčeniny podmnožiny prvkov extrahovaných z Federálna agentúra pre vzdelávanie Štátna univerzita riadiacich systémov a rádioelektroniky v Tomsku NE Lugina WORKSHOP O TEÓRII PRAVDEPODOBNOSTI Učebnica Tomsk 2006 Recenzenti: Cand. Prednáška Náhodné udalosti Definícia. Elementárny výsledok (alebo elementárna udalosť) je akýkoľvek jednoduchý (t. j. nedeliteľný v rámci danej skúsenosti) výsledok skúsenosti. Súbor všetkých elementárnych výsledkov FEDERÁLNA AGENTÚRA PRE VZDELÁVANIE Štátna vzdelávacia inštitúcia vyššieho odborného vzdelávania Uljanovská štátna technická univerzita S. G. Valeev S. V. Kurkina Test 4. Teória pravdepodobnosti Kontrolná práca na túto tému obsahuje štyri úlohy. Uveďme si základné pojmy teórie pravdepodobnosti potrebné na ich implementáciu. Na riešenie úloh 50 50 je potrebná znalosť témy Sekcia „Pravdepodobnosť a štatistika“ E.M. Udalovej. Prímorský okres, škola 579 Teória pravdepodobnosti je matematická veda, ktorá vám umožňuje nájsť pravdepodobnosti iných náhodných udalostí z pravdepodobností niektorých náhodných udalostí. Úloha 1. V urne je 40 loptičiek. Pravdepodobnosť, že 2 vytiahnuté loptičky sú biele, je 7 60. Koľko bielych loptičiek je v urne? Počet spôsobov, ktorými možno vybrať k položiek z n, sa rovná C k 4 Ministerstvo školstva a vedy Ruskej federácie Štátna vzdelávacia inštitúcia vyššieho odborného vzdelávania „Chabarovská štátna akadémia ekonómie a práva“ Katedra FEDERÁLNA AGENTÚRA PRE VZDELÁVANIE MINISTERSTVA ŠKOLSTVA A VEDY RUSKEJ FEDERÁCIE Perm State University Assoc. V.V. Morozenko MDT 59. (075,8) Katedra teórie vyššej matematiky FEDERÁLNA AGENTÚRA PRE ŠKOLSTVO Štátna vzdelávacia inštitúcia vyššieho odborného vzdelávania "Tomská polytechnická univerzita" L. I. Konstantinová TEÓRIA PRAVDEPODOBNOSTI A MATEMATIKA Federálna agentúra pre železničnú dopravu pobočka Spolkovej štátnej rozpočtovej vzdelávacej inštitúcie vyššieho odborného vzdelávania „Sibírska štátna univerzita Definícia determinantu matice Štvorcová matica pozostáva z jedného prvku A = (a). Determinant takejto matice je A = det(a) = a. () a a Štvorcová matica 2 2 pozostáva zo štyroch prvkov A = VYSOKÁ ŠKOLA ŽELEZNIČNEJ DOPRAVY TOMSK SGUPS ZBIERKA INDIVIDUÁLNYCH ÚLOH „Prvky kombinatoriky. Základy teórie pravdepodobnosti“ disciplíny Teória pravdepodobnosti a Matematická štatistika
À. Ì. Ïîïîâ, Â. Í. Ñîòíèêîâ ÒÅÎÐÈß ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ È ÌÀÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÀß ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÀ Âûñøàÿ ìàòåìàòèêà äëÿ ýêîíîìèñòîâ Ó ÅÁÍÈÊ ÄËß ÁÀÊÀËÀÂÐÎÂ Ïîä ðåäàêöèåé À. Ì. Ïîïîâà Ðåêîìåíäîâàíî Ó åáíî-ìåòîäè åñêèì öåíòðîì MINISTERSTVO ŠKOLSTVA A VEDY RUSKA Federálna štátna rozpočtová vzdelávacia inštitúcia vyššieho odborného vzdelávania "Ukhta State Technical University" (USTU) Workshop o disciplíne MVDubatov Teória pravdepodobnosti a matematická štatistika Prednáška 4 Vety o sčítaní a násobení Vzorec celkovej pravdepodobnosti Bayesov vzorec Nech a B sú nezlučiteľné udalosti a pravdepodobnosti ÚLOHY: 1. Pomocou zložených zátvoriek zapíšte množinu prirodzených čísel umiestnených na lúči medzi číslami 10 a 15. Ktoré z čísel je 0; desať; jedenásť; 12; pätnásť; 50 patrí do tejto sady? 2. Zapíšte si súbor FEDERÁLNA VZDELÁVACIA AGENTÚRA Štátna vzdelávacia inštitúcia vyššieho odborného vzdelávania „NÁRODNÝ VÝSKUM TOMSKOVÁ POLYTECHNICKÁ UNIVERZITA“ L.I. KONSTANTINOV 5. prednáška Téma Bernoulliho schéma. Obsah témy Bernoulliho schéma. Bernoulliho vzorec. Najpravdepodobnejší počet úspechov v Bernoulliho schéme. Binomická náhodná premenná. Hlavné kategórie Newtonovho binomického systému, schéma V dôsledku štúdia sekcie musí študent: vedieť: ¾ základné pojmy kombinatoriky; ¾ klasická definícia pravdepodobnosti; ¾ definícia náhodnej premennej; ¾ matematické charakteristiky náhodnej premennej: matematické očakávanie a rozptyl; byť schopný: ¾ riešiť problémy s cieľom nájsť pravdepodobnosť udalosti; ¾ riešiť úlohy na nájdenie matematického očakávania a rozptylu náhodnej premennej. Základné pojmy kombinatoriky V časti matematiky zvanej kombinatorika sa riešia niektoré problémy súvisiace s uvažovaním množín a zostavovaním rôznych kombinácií prvkov týchto množín. Napríklad, ak vezmeme 10 rôznych čísel 0, 1, 2, ..., 9 a vytvoríme ich kombinácie, dostaneme rôzne čísla, napríklad 345, 534, 1036, 5671, 45 atď. Vidíme, že niektoré z týchto kombinácií sa líšia iba poradím číslic (345 a 534), iné číslami, ktoré sú v nich zahrnuté (1036, 5671) a iné sa líšia aj počtom číslic (345 a 45). Takto získané kombinácie spĺňajú rôzne podmienky. V závislosti od pravidiel kompozície možno rozlíšiť tri typy kombinácií: umiestnenia, permutácie a kombinácie. Poďme sa však najskôr zoznámiť s pojmom faktoriál. Súčin všetkých prirodzených čísel od 1 do n vrátane sa nazýva n-faktoriál. 1. Ubytovanie
. Usporiadania n prvkov, každý m, sú také spojenia, ktoré sa navzájom líšia buď samotnými prvkami, alebo poradím ich usporiadania. Príklad. Koľko dvojciferných čísel možno vytvoriť z piatich číslic 1, 2, 3, 4, 5, ak sa žiadne z nich neopakuje? rozhodnutie. Keďže dvojciferné čísla sa navzájom líšia buď samotnými číslami, alebo ich poradím, požadované číslo sa rovná počtu umiestnení piatich prvkov po dvoch: Cvičenie. Koľkými spôsobmi možno vybrať tri osoby z ôsmich kandidátov na tri pozície? odpoveď: 336. 2. Permutácie
. Permutácie n prvkov sú také zlúčeniny všetkých n prvkov, ktoré sa navzájom líšia v poradí prvkov. Príklad. Nech sú dané tri písmená A, B, C. Koľko kombinácií týchto písmen možno vytvoriť? rozhodnutie. Počet permutácií troch prvkov možno vypočítať pomocou vzorca: 3! == 6. Cvičenie. Koľkými spôsobmi je možné usadiť 7 ľudí na 7 miestach? rozhodnutie. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Odpoveď: 5040. 3. Príklad.Koľkými spôsobmi možno vybrať troch sprievodcov, ak je v triede 30 žiakov? rozhodnutie. Keďže z 30 žiakov treba vybrať 3, môžete zostaviť kombinácie, ktoré sa od seba líšia aspoň jedným prvkom, t.j. kombinácie 30 až 3: Odpoveď: 4060. Cvičenie. Koľkými spôsobmi možno z 15 pracovníkov vytvoriť tímy s 5 ľuďmi? ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Odpoveď: 3003. Otázky na sebaovládanie 1. Uveďte hlavné úlohy kombinatoriky. 2. Čo sa nazýva permutácie? 3. Napíšte vzorec pre permutácie n prvkov. 4. Čo sa nazýva umiestnenia? 5. Napíšte vzorec pre počet umiestnení n prvkov podľa m. 6. Ako sa nazývajú kombinácie? 7. Napíšte vzorec pre počet kombinácií n prvkov podľa m. Kontrolná úloha PRAKTICKÉ ÚLOHY PRE SEBAOVLÁDANIE Koľko možností je na rozdelenie troch cien, ak sa žrebovania zúčastní 7 tímov? Koľkými spôsobmi možno na konferenciu vybrať dvoch študentov, ak je v skupine 33 ľudí? Riešiť rovnice Zo skupiny 15 ľudí treba vybrať majstra a 4 členov brigády. Koľkými spôsobmi sa to dá urobiť? Písmená morzeovky sa skladajú zo symbolov (bodky a pomlčky). Koľko písmen môže byť zastúpených, ak každé písmeno nesmie obsahovať viac ako päť znakov? Koľkými spôsobmi môžu byť štvorfarebné stuhy zložené zo siedmich stuh rôznych farieb? Koľkými spôsobmi možno vybrať štyroch ľudí na štyri rôzne pozície z deviatich kandidátov? Koľkými spôsobmi si môžete vybrať 3 zo 6 kariet? Pred promóciou si skupina 30 študentov vymenila fotografie. Koľko fotografií bolo rozdaných. Koľkými spôsobmi sa dá usadiť 10 hostí na desať miest pri slávnostnom stole? Koľko zápasov musí odohrať 20 futbalových tímov na jednokolovom šampionáte? Koľkými spôsobmi možno rozdeliť 12 ľudí do tímov, ak je v každom tíme 6 ľudí? Teória pravdepodobnosti Na jednej poličke je náhodne usporiadaných deväť rôznych kníh. Nájdite pravdepodobnosť, že štyri určité knihy budú umiestnené vedľa seba (udalosť C). Z 10 tiketov sú výherné 2. Určte pravdepodobnosť, že spomedzi 5 náhodne vybratých tiketov vyhrá jeden. Z balíčka kariet (52 kariet) sa náhodne vylosujú 3 karty. Nájdite pravdepodobnosť, že je to trojka, sedmička, eso. Dieťa sa hrá s piatimi písmenami delenej abecedy A, K, R, W, Y. Aká je pravdepodobnosť, že pri náhodnom usporiadaní písmen v rade dostane slovo „Strecha“. Balenie obsahuje 6 bielych a 4 červené gule. Náhodne sa odoberú dve loptičky. Aká je pravdepodobnosť, že budú mať rovnakú farbu? Prvá urna obsahuje 6 čiernych a 4 biele loptičky, druhá urna obsahuje 5 čiernych a 7 bielych loptičiek. Z každej urny sa vyžrebuje jedna loptička. Aká je pravdepodobnosť, že obe loptičky sú biele? Náhodná veličina, matematické očakávanie a rozptyl náhodnej veličiny Pravdepodobnosť, že študent nájde v knižnici knihu, ktorú potrebuje, je 0,3. Vypracovať distribučný zákon na počet knižníc, ktoré navštívi, ak sú v meste štyri knižnice. Poľovník strieľa na zver pred prvým zásahom, ale nestihne urobiť viac ako štyri výstrely. Nájdite rozptyl počtu netrafení, ak pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa jednou ranou je 0,7. Nájdite matematické očakávanie náhodnej premennej X, ak zákon jej rozdelenia je daný tabuľkou: X R Zariadenie má štyri automatické linky. Pravdepodobnosť, že počas pracovnej zmeny nebude prvý riadok vyžadovať úpravu, je 0,9, druhý - 0,8, tretí - 0,75, štvrtý - 0,7. nájdite matematické očakávanie počtu riadkov, ktoré nevyžadujú úpravu počas pracovnej zmeny. X R V. ODPOVEDE Kombinatorika Teória pravdepodobnosti Náhodná veličina, matematické očakávanie a rozptyl náhodnej veličiny. 0,046656 2. 0,3 3. 13 EMBED Rovnica.3 1415 4. 13 EMBED Rovnica.3 1415 5.13 EMBED Rovnica.3 1415 6.13 EMBED Rovnica.3 1415. Základný vstupRovnica NatívnaRovnica NatívnaRovnica NatívnaRovnica NatívnaRovnica NatívnaRovnica NatívnaRovnica NatívnaRovnica NatívnaRovnica NatívnaRovnica NatívnaRovnica NatívnaRovnica NatívnaRovnica NatívnaRovnica NatívnaRovnica NatívnaRovnica NatívnaRovnica NativeRovnica NativeRovnica NatívnaRovnica NatívnaRovnica NatívnaRovnica NatívnaRovnica NatívnaRovnica
Kombinácie
. Kombinácie n prvkov, každý m, sú také zlúčeniny, ktoré sa navzájom líšia aspoň jedným prvkom.
Kombinatorika
Koľko rôznych päťciferných čísel možno vytvoriť z číslic 1, 3, 5, 7, 9, ak sa žiadna číslica v čísle neopakuje?
a) 13 EMBED Rovnica.3 1415. b) 13 EMBED Rovnica.3 1415.
Koľko štvorciferných čísel deliteľných 5 možno vytvoriť z číslic 0, 1, 2, 5, 7, ak každé číslo nesmie obsahovať rovnaké číslice?
Urna obsahuje 7 červených a 6 modrých loptičiek. Z urny sa vyberú dve loptičky súčasne. Aká je pravdepodobnosť, že obe loptičky sú červené (udalosť A)?
Napíšte distribučný zákon pre počet zásahov do terča šiestimi ranami, ak pravdepodobnosť zásahu jednou ranou je 0,4.
1
2
3
4
0,3
0,1
0,2
0,4
Nájdite rozptyl náhodnej premennej X, pričom poznáte zákon jej rozloženia:
0
1
2
3
4
0,2
0,4
0,3
0,08
0,02
1. 13 EMBED Rovnica.3 1415. 2. 13 EMBED Rovnica.3 1415. 3. 13 EMBED Rovnica.3 1415. 4. a) 13 EMBED Rovnica.3 1415, 5; b) 13 EMBED Rovnica.3 1415. 5. 13 EMBED Rovnica.3 1415. 6.13 EMBED Rovnica.3 1415. 7. 13 EMBED Rovnica.3 1415. 8. 13 EMBED Rovnica.3.3 14115. 10.13 EMBED rovnica.3 1415. 11. 13 EMBED rovnica.3 1415. 12. 13 EMBED rovnica.3 1415. 13.190.14.924.
1. 13 EMBED rovnica.3 1415 2.13 EMBED rovnica.3 1415 3. 13 EMBED rovnica.3 1415 4. 13 EMBED rovnica.3 14155. 13 EMBED rovnica.3 14536.13 EMBED51413
1.
0
1
2
3
4
5
6
0,186624
0,311040
0,276480
0,138240
0,036864
0,004096
1
2
3
4
0,21
0,147
0,343
