Čitateľ a menovateľ zlomku sú veľmi často algebraické výrazy, ktoré sa musia najskôr rozložiť na faktory, a potom, keď sa medzi nimi nájde to isté, rozdeliť na ne čitateľa aj menovateľa, to znamená znížiť zlomok. Úlohám na rozklad polynómu je venovaná celá kapitola učebnice algebry pre 7. ročník. Faktoring sa dá urobiť 3 spôsoby, ako aj kombináciu týchto metód.

1. Aplikácia skrátených vzorcov na násobenie

Ako je známe vynásobte polynóm polynómom, musíte vynásobiť každý člen jedného polynómu každým členom druhého polynómu a sčítať výsledné produkty. Existuje najmenej 7 (sedem) bežných prípadov násobenia polynómov, ktoré sú zahrnuté v koncepte. Napríklad,

Tabuľka 1. Faktorizácia 1. spôsobom

2. Vybratie spoločného činiteľa zo zátvorky

Táto metóda je založená na aplikácii distributívneho zákona násobenia. Napríklad,

Každý člen pôvodného výrazu vydelíme činiteľom, ktorý vytiahneme, a zároveň dostaneme výraz v zátvorkách (čiže v zátvorkách zostane výsledok delenia toho, čo bolo, tým, čo vytiahneme). V prvom rade potrebujete správne určiť násobiteľ, ktorý musí byť v zátvorkách.

Polynóm v zátvorkách môže byť tiež spoločným faktorom:

Pri vykonávaní úlohy „faktorizovať“ treba byť obzvlášť opatrný na znamienka pri vyňatí spoločného faktora zo zátvoriek. Ak chcete zmeniť znamienko každého výrazu v zátvorke (b - a), vyberieme spoločný faktor -1 , pričom každý výraz v zátvorke je delený -1: (b - a) = - (a - b) .

V prípade, že výraz v zátvorkách je na druhú mocninu (alebo na akúkoľvek párnu mocninu), potom čísla v zátvorkách je možné zameniť úplne zadarmo, pretože mínusy zo zátvoriek sa po vynásobení zmenia na plus: (b - a) 2 = (a - b) 2, (b - a) 4 = (a - b) 4 atď…

3. Metóda zoskupovania

Niekedy nie všetky výrazy vo výraze majú spoločný činiteľ, ale len niektoré. Potom môžete skúsiť skupinové podmienky v zátvorkách, aby bolo možné z každého vyňať nejaký faktor. Metóda zoskupovania je dvojitá zátvorka spoločných faktorov.

4. Použitie viacerých metód naraz

Niekedy je potrebné použiť nie jeden, ale niekoľko spôsobov, ako rozdeliť polynóm na faktory naraz.

Toto je súhrn k téme. "faktorizácia". Vyberte ďalšie kroky:

• Prejdite na nasledujúci abstrakt:

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné informácie sa týkajú údajov, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Kedykoľvek nás budete kontaktovať, môžete byť požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných akciách a pripravovaných akciách.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje, aby sme vám mohli posielať dôležité upozornenia a oznámenia.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade, že je potrebné – v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí štátnych orgánov na území Ruskej federácie – zverejniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné z dôvodu bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušného nástupcu tretej strany.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Rozšírenie polynómov na získanie produktu sa niekedy zdá mätúce. Ale nie je to také ťažké, ak pochopíte proces krok za krokom. Článok podrobne popisuje, ako rozdeliť štvorcovú trojčlenku na rozklad.

Mnohí nerozumejú tomu, ako faktorizovať štvorcovú trojčlenku a prečo sa to robí. Spočiatku sa môže zdať, že ide o zbytočné cvičenie. Ale v matematike sa nič nerobí len tak. Transformácia je potrebná na zjednodušenie výrazu a pohodlia výpočtu.

Polynóm v tvare - ax² + bx + c, sa nazýva štvorcová trojčlenka. Výraz „a“ musí byť záporný alebo kladný. V praxi sa tento výraz nazýva kvadratická rovnica. Preto niekedy hovoria inak: ako rozšíriť kvadratickú rovnicu.

Zaujímavé!Štvorcový polynóm sa nazýva podľa jeho najväčšieho stupňa - štvorec. A trojčlenka - kvôli 3 zložkovým pojmom.

Niektoré ďalšie druhy polynómov:

• lineárny binomický (6x+8);
• kubický štvoruholník (x³+4x²-2x+9).

Faktorizácia štvorcového trojčlenu

Po prvé, výraz sa rovná nule, potom musíte nájsť hodnoty koreňov x1 a x2. Nemusí tam byť žiadne korene, môže existovať jeden alebo dva korene. Prítomnosť koreňov je určená diskriminantom. Jeho vzorec musí byť známy naspamäť: D=b²-4ac.

Ak je výsledok D negatívny, neexistujú žiadne korene. Ak je kladný, existujú dva korene. Ak je výsledok nula, koreň je jedna. Korene sú tiež vypočítané podľa vzorca.

Ak je výsledkom výpočtu diskriminantu nula, môžete použiť ktorýkoľvek zo vzorcov. V praxi sa vzorec jednoducho skráti: -b / 2a.

Vzorce pre rôzne hodnoty diskriminantu sú rôzne.

Ak je D kladné:

Ak je D nula:

Online kalkulačky

Na internete existuje online kalkulačka. Dá sa použiť na faktorizáciu. Niektoré zdroje poskytujú možnosť vidieť riešenie krok za krokom. Takéto služby pomáhajú lepšie porozumieť téme, ale musíte sa snažiť porozumieť dobre.

Užitočné video: Faktorizácia štvorcového trojčlenu

Príklady

Navrhujeme pozrieť sa na jednoduché príklady, ako faktorizovať kvadratickú rovnicu.

Príklad 1

Tu je jasne ukázané, že výsledok bude dva x, pretože D je kladné. Je potrebné ich nahradiť do vzorca. Ak sú korene záporné, znamienko vo vzorci sa obráti.

Poznáme vzorec na rozklad štvorcového trinomu: a(x-x1)(x-x2). Hodnoty vložíme do zátvoriek: (x+3)(x+2/3). V exponente nie je pred členom žiadne číslo. To znamená, že existuje jednotka, je znížená.

Príklad 2

Tento príklad jasne ukazuje, ako vyriešiť rovnicu, ktorá má jeden koreň.

Dosaďte výslednú hodnotu:

Príklad 3

Dané: 5x²+3x+7

Najprv vypočítame diskriminant, ako v predchádzajúcich prípadoch.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Diskriminant je záporný, čo znamená, že neexistujú žiadne korene.

Po obdržaní výsledku sa oplatí otvoriť zátvorky a skontrolovať výsledok. Mal by sa objaviť pôvodný trojčlen.

Alternatívne riešenie

Niektorí ľudia sa nikdy nedokázali spriateliť s diskriminantmi. Existuje ďalší spôsob rozkladu štvorcového trojčlenu. Pre pohodlie je spôsob uvedený v príklade.

Dané: x²+3x-10

Vieme, že by sme mali skončiť s 2 zátvorkami: (_)(_). Keď výraz vyzerá takto: x² + bx + c, umiestnime x na začiatok každej zátvorky: (x_) (x_). Zvyšné dve čísla sú súčin, ktorý dáva "c", t.j. v tomto prípade -10. Ak chcete zistiť, aké sú tieto čísla, môžete použiť iba metódu výberu. Nahradené čísla sa musia zhodovať so zostávajúcim termínom.

Napríklad vynásobením nasledujúcich čísel získate -10:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. nie
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. nie
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. nie
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Pasuje.

Transformácia výrazu x2+3x-10 teda vyzerá takto: (x-2)(x+5).

Dôležité! Mali by ste byť opatrní, aby ste si nepomýlili znamenia.

Rozklad komplexnej trojčlenky

Ak je „a“ väčšie ako jedna, začínajú ťažkosti. Ale všetko nie je také ťažké, ako sa zdá.

Aby sme mohli faktorizovať, musíme najprv zistiť, či je možné niečo vypočítať.

Napríklad pri výraze: 3x²+9x-30. Tu je číslo 3 vyňaté zo zátvoriek:

3(x²+3x-10). Výsledkom je už známa trojčlenka. Odpoveď vyzerá takto: 3(x-2)(x+5)

Ako rozložiť, ak je výraz na druhú mocninu záporný? AT tento prípadčíslo -1 je vyňaté zo zátvorky. Napríklad: -x²-10x-8. Výraz potom bude vyzerať takto:

Schéma sa len málo líši od predchádzajúcej. Je tam len pár nových vecí. Povedzme, že je daný výraz: 2x²+7x+3. Odpoveď je tiež napísaná v 2 zátvorkách, ktoré je potrebné vyplniť (_) (_). X je napísané v 2. zátvorke a to, čo zostalo v 1. zátvorke. Vyzerá to takto: (2x_) (x_). V opačnom prípade sa zopakuje predchádzajúca schéma.

Číslo 3 udáva čísla:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

Rovnice riešime dosadením daných čísel. Posledná možnosť sedí. Transformácia výrazu 2x²+7x+3 teda vyzerá takto: (2x+1)(x+3).

Iné prípady

Nie vždy je možné výraz transformovať. V druhej metóde sa riešenie rovnice nevyžaduje. Ale možnosť premeny výrazov na produkt sa kontroluje len cez diskriminant.

Oplatí sa precvičiť si riešenie kvadratických rovníc, aby pri používaní vzorcov nevznikali žiadne ťažkosti.

Užitočné video: faktorizácia trinomu

Záver

Môžete ho použiť akýmkoľvek spôsobom. Ale je lepšie pracovať na automatizme. Tiež tí, ktorí sa chystajú spojiť svoj život s matematikou, sa musia naučiť dobre riešiť kvadratické rovnice a rozkladať polynómy na faktory. Na tom sú postavené všetky nasledujúce matematické témy.

Faktorizácia rovnice je proces hľadania výrazov alebo výrazov, ktoré po vynásobení vedú k počiatočnej rovnici. Faktoring je užitočná zručnosť na riešenie základných algebraických problémov a stáva sa praktickou nevyhnutnosťou pri práci s kvadratickými rovnicami a inými polynómami. Faktoring sa používa na zjednodušenie algebraických rovníc, aby sa dali ľahšie riešiť. Faktoring vám môže pomôcť vylúčiť určité možné odpovede rýchlejšie, ako by ste mohli pri ručnom riešení rovnice.

Kroky

Faktorizácia čísel a základné algebraické výrazy

1. Faktorizácia čísel. Koncept faktoringu je jednoduchý, ale faktoring môže byť v praxi zložitý (vzhľadom na zložitú rovnicu). Začnime teda konceptom faktorizácie pomocou čísel ako príkladu, pokračujme jednoduchými rovnicami a potom prejdime na zložité rovnice. Faktory daného čísla sú čísla, ktoré po vynásobení dávajú pôvodné číslo. Napríklad faktory čísla 12 sú čísla: 1, 12, 2, 6, 3, 4, keďže 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.

   • Podobne si faktory čísla môžete predstaviť ako jeho deliteľa, teda čísla, ktorými je dané číslo deliteľné.
   • Nájdite všetky faktory čísla 60. Často používame číslo 60 (napríklad 60 minút za hodinu, 60 sekúnd za minútu atď.) a toto číslo má dosť veľké množstvo faktorov.
     • 60 multiplikátorov: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 a 60.

2. Pamätajte:členy výrazu obsahujúceho koeficient (číslo) a premennú možno tiež faktorizovať. Ak to chcete urobiť, nájdite multiplikátory koeficientu v premennej. Keď viete, ako faktorizovať členy rovníc, môžete túto rovnicu ľahko zjednodušiť.

   • Napríklad výraz 12x možno zapísať ako súčin 12 a x. Môžete tiež napísať 12x ako 3(4x), 2(6x) atď. rozpočítaním 12 do faktorov, ktoré pre vás najlepšie fungujú.
     • Môžete rozložiť 12x viackrát za sebou. Inými slovami, nemali by ste sa zastaviť na 3 (4x) alebo 2 (6x); pokračovať v rozširovaní: 3(2(2x)) alebo 2(3(2x)) (samozrejme, 3(4x)=3(2(2x)) atď.)

3. Použite distributívnu vlastnosť násobenia na faktorizáciu algebraických rovníc. Keď viete, ako faktorizovať čísla a členy výrazu (koeficienty s premennými), môžete zjednodušiť jednoduché algebraické rovnice nájdením spoločného činiteľa čísla a člena výrazu. Zvyčajne na zjednodušenie rovnice musíte nájsť najväčšieho spoločného deliteľa (gcd). Takéto zjednodušenie je možné vďaka distributívnej vlastnosti násobenia: pre ľubovoľné čísla a, b, c platí rovnosť a (b + c) = ab + ac.

   • Príklad. Vynásobte rovnicu 12x + 6. Najprv nájdite gcd 12x a 6. 6 je najväčšie číslo, ktoré delí 12x aj 6, takže túto rovnicu môžete rozdeliť na: 6(2x+1).
   • Tento proces platí aj pre rovnice, ktoré majú záporné a zlomkové členy. Napríklad x/2+4 možno rozložiť na 1/2(x+8); napríklad -7x+(-21) možno rozložiť na -7(x+3).

   Faktorizácia kvadratických rovníc

   1. Uistite sa, že rovnica je v kvadratickom tvare (ax 2 + bx + c = 0). Kvadratické rovnice sú: ax 2 + bx + c = 0, kde a, b, c sú číselné koeficienty iné ako 0. Ak dostanete rovnicu s jednou premennou (x) a táto rovnica má jeden alebo viac členov s druhým rádom premennej , môžete presunúť všetky členy rovnice na jednu stranu rovnice a prirovnať ju k nule.

      • Napríklad vzhľadom na rovnicu: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x - 18. Dá sa previesť na rovnicu x 2 + 6x + 9 = 0, čo je kvadratická rovnica.
      • Rovnice s premennou x veľkých rádov, napríklad x 3 , x 4 atď. nie sú kvadratické rovnice. Ide o kubické rovnice, rovnice štvrtého rádu atď. (iba ak takéto rovnice nemožno zjednodušiť na kvadratické rovnice s premennou x na mocninu 2).

   2. Kvadratické rovnice, kde a \u003d 1, sa rozložia na (x + d) (x + e), kde d * e \u003d c a d + e \u003d b. Ak má kvadratická rovnica, ktorá vám bola pridelená, tvar: x 2 + bx + c \u003d 0 (to znamená, že koeficient na x 2 sa rovná 1), potom sa takáto rovnica môže (ale nie je zaručená) rozložiť na vyššie uvedené faktory. Aby ste to dosiahli, musíte nájsť dve čísla, ktoré po vynásobení dávajú "c" a po sčítaní - "b". Keď nájdete tieto dve čísla (d a e), dosaďte ich do nasledujúceho výrazu: (x+d)(x+e), ktorý po otvorení zátvoriek vedie k pôvodnej rovnici.

      • Napríklad vzhľadom na kvadratickú rovnicu x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 a 3+2=5, takže rovnicu môžete rozšíriť na (x+3)(x+2).
      • V prípade negatívnych výrazov vykonajte v procese faktorizácie nasledujúce menšie zmeny:
        • Ak má kvadratická rovnica tvar x 2 -bx + c, potom sa rozkladá na: (x-_) (x-_).
        • Ak má kvadratická rovnica tvar x 2 -bx-c, potom sa rozkladá na: (x + _) (x-_).
      • Poznámka: medzery je možné nahradiť zlomkami alebo desatinnými miestami. Napríklad rovnica x 2 + (21/2)x + 5 = 0 sa rozloží na (x + 10) (x + 1/2).

   3. Faktorizácia metódou pokus-omyl. Jednoduché kvadratické rovnice možno rozdeliť jednoduchým dosadzovaním čísel do možných riešení, kým nenájdete správne riešenie. Ak má rovnica tvar ax 2 +bx+c, kde a>1, možné riešenia sa zapíšu ako (dx +/- _)(ex +/- _), kde d a e sú číselné koeficienty iné ako nula, ktoré po vynásobení dávajú a. Buď d alebo e (alebo obidva koeficienty) sa môžu rovnať 1. Ak sa oba koeficienty rovnajú 1, použite metódu opísanú vyššie.

      • Napríklad vzhľadom na rovnicu 3x 2 - 8x + 4. Tu má 3 iba dva faktory (3 a 1), takže možné riešenia sú napísané ako (3x +/- _)(x +/- _). V tomto prípade dosadením medzier -2 nájdete správnu odpoveď: -2*3x=-6x a -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x a -2*-2=4, to znamená, že takéto rozšírenie pri otváraní zátvoriek povedie k členom pôvodnej rovnice.

V tomto článku nájdete všetky potrebné informácie, ktoré odpovedajú na otázku, ako faktorizovať číslo. Najprv je uvedená všeobecná predstava o rozklade čísla na hlavné faktory, sú uvedené príklady expanzií. Ďalej je znázornená kanonická forma rozkladu čísla na prvočísla. Potom je uvedený algoritmus na rozklad ľubovoľných čísel na prvočísla a sú uvedené príklady rozkladu čísel pomocou tohto algoritmu. Zvažujú sa aj alternatívne metódy, ktoré vám umožňujú rýchlo rozložiť malé celé čísla na prvočísla pomocou kritérií deliteľnosti a tabuľky násobenia.

Navigácia na stránke.

Čo to znamená zahrnúť číslo do hlavných faktorov?

Najprv sa pozrime na to, čo sú hlavné faktory.

Je jasné, že keďže sa v tejto fráze nachádza slovo „faktory“, dochádza k súčinu niektorých čísel a objasňujúce slovo „prvočíslo“ znamená, že každý faktor je prvočíslo. Napríklad v súčine tvaru 2 7 7 23 sú štyri prvočísla: 2 , 7 , 7 a 23 .

Čo to znamená zahrnúť číslo do hlavných faktorov?

To znamená, že dané číslo musí byť vyjadrené ako súčin prvočísel a hodnota tohto súčinu sa musí rovnať pôvodnému číslu. Ako príklad uvažujme súčin troch prvočísel 2, 3 a 5, rovná sa 30, takže rozklad čísla 30 na prvočísla je 2 3 5 . Zvyčajne sa rozklad čísla na prvočísla zapisuje ako rovnosť, v našom príklade to bude takto: 30=2 3 5 . Samostatne zdôrazňujeme, že hlavné faktory expanzie sa môžu opakovať. Jasne to ilustruje nasledujúci príklad: 144=2 2 2 2 3 3 . Ale zobrazenie tvaru 45=3 15 nie je rozklad na prvočiniteľa, keďže číslo 15 je zložené.

Vynára sa nasledujúca otázka: „A aké čísla možno rozložiť na prvočísla“?

Pri hľadaní odpovede na ňu uvádzame nasledujúcu úvahu. Prvočísla podľa definície patria medzi čísla väčšie ako jedna. Vzhľadom na túto skutočnosť a možno tvrdiť, že súčinom niekoľkých prvočísel je kladné celé číslo väčšie ako jedna. Faktorizácia sa preto uskutočňuje iba pre kladné celé čísla, ktoré sú väčšie ako 1.

Ale ovplyvňujú všetky celé čísla väčšie ako jedno prvočíslo?

Je jasné, že neexistuje spôsob, ako rozložiť jednoduché celé čísla na prvočísla. Je to preto, že prvočísla majú iba dvoch kladných deliteľov, jedného a samého seba, takže ich nemožno reprezentovať ako súčin dvoch alebo viacerých prvočísel. Ak by sa celé číslo z dalo reprezentovať ako súčin prvočísel a a b, potom by nám koncept deliteľnosti umožnil dospieť k záveru, že z je deliteľné aj a aj b, čo je nemožné kvôli jednoduchosti čísla z. Predpokladá sa však, že každé prvočíslo je samo o sebe jeho rozkladom.

A čo zložené čísla? Rozkladajú sa zložené čísla na prvočísla a podliehajú takémuto rozkladu všetky zložené čísla? Kladnú odpoveď na mnohé z týchto otázok poskytuje základná veta aritmetiky. Základná veta aritmetiky hovorí, že každé celé číslo a, ktoré je väčšie ako 1, možno rozložiť na súčin prvočiniteľov p 1 , p 2 , ..., p n , pričom rozšírenie má tvar a=p 1 p 2 .. .p n , pričom tento rozklad je jedinečný, ak neberieme do úvahy poradie faktorov

Kanonický rozklad čísla na prvočiniteľ

Pri rozširovaní čísla sa prvočísla môžu opakovať. Opakujúce sa prvočísla možno napísať kompaktnejšie pomocou . Nech sa prvočiniteľ p 1 vyskytuje s 1-krát pri rozklade čísla a, prvočiniteľ p 2 - s 2-krát atď., p n - s n-krát. Potom prvočíselnú rozklad čísla a možno zapísať ako a=p 1 s 1 p 2 s 2 p n s n. Táto forma písania je tzv kanonická rozklad čísla na prvočiniteľ.

Uveďme príklad kanonického rozkladu čísla na prvočiniteľa. Dajte nám vedieť rozklad 609 840=2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, jeho kanonická podoba je 609 840=2 4 3 2 5 7 11 2.

Kanonický rozklad čísla na prvočísla umožňuje nájsť všetkých deliteľov čísla a počet deliteľov čísla.

Algoritmus rozkladu čísla na prvočísla

Ak chcete úspešne zvládnuť úlohu rozkladu čísla na prvočísla, musíte byť veľmi dobrý v informáciách v článku jednoduché a zložené čísla.

Podstata procesu rozširovania kladného celého čísla a väčšieho ako jedno číslo a je zrejmá z dôkazu hlavnej vety aritmetiky. Zmyslom je postupne nájsť najmenších prvočíselných deliteľov p 1 , p 2 , …, p n čísel a, a 1 , a 2 , …, a n-1 , čo umožňuje získať sériu rovnosti a=p 1 a 1 , kde a 1 = a:p 1, a=p 1 a 1 =p 1 p 2 a 2, kde a 2 =a 1:p 2, …, a=p 1 p 2 …p n a n, kde a n =a n -1:p n . Keď dostaneme a n = 1, potom rovnosť a=p 1 ·p 2 ·...·p n nám poskytne požadovaný rozklad čísla a na prvočísla. Tu treba tiež poznamenať, že p 1 ≤ p 2 ≤ p 3 ≤…≤ p n.

Zostáva sa zaoberať hľadaním najmenších prvočíselníkov v každom kroku a budeme mať algoritmus na rozklad čísla na prvočísla. Tabuľka prvočísel nám pomôže nájsť prvočíselných deliteľov. Ukážme si, ako ho použiť na získanie najmenšieho prvočísla deliteľa čísla z .

Postupne vezmeme prvočísla z tabuľky prvočísel (2 , 3 , 5 , 7 , 11 atď.) a vydelíme nimi dané číslo z. Prvé prvočíslo, ktorým je z rovnomerne deliteľné, je jeho najmenším prvočíslom deliteľa. Ak je číslo z prvočíslo, potom jeho najmenším prvočíselným deliteľom bude samotné číslo z. Tu treba tiež pripomenúť, že ak z nie je prvočíslo, tak jeho najmenší prvočíselný deliteľ nepresahuje číslo , kde - od z . Ak teda medzi prvočíslami nepresahujúcimi , nebol jediný deliteľ čísla z, potom môžeme konštatovať, že z je prvočíslo (viac o tom je napísané v teoretickej časti pod nadpisom toto číslo je prvočíslo alebo zložené číslo ).

Ukážme si napríklad, ako nájsť najmenšieho prvotriedneho deliteľa čísla 87. Berieme číslo 2. Vydelíme 87 2, dostaneme 87:2=43 (zost. 1) (ak treba, pozri článok). To znamená, že pri delení 87 číslom 2 je zvyšok 1, takže 2 nie je deliteľom čísla 87. Ďalšie prvočíslo vezmeme z tabuľky prvočísel, toto je číslo 3 . 87 vydelíme 3, dostaneme 87:3=29. Takže 87 je rovnomerne deliteľné 3, takže 3 je najmenší hlavný deliteľ čísla 87.

Všimnite si, že vo všeobecnom prípade na rozklad čísla a potrebujeme tabuľku prvočísel až po číslo, ktoré nie je menšie ako . Na túto tabuľku sa budeme musieť odvolávať na každom kroku, takže ju musíme mať po ruke. Napríklad na rozklad čísla 95 budeme potrebovať tabuľku prvočísel do 10 (keďže 10 je väčšie ako ). A na rozklad čísla 846 653 už budete potrebovať tabuľku prvočísel do 1 000 (keďže 1 000 je väčšie ako).

Teraz máme dostatok informácií na napísanie Algoritmus na rozdelenie čísla na prvočiniteľ. Algoritmus na rozšírenie čísla a je nasledujúci:

• Postupným triedením čísel z tabuľky prvočísel nájdeme najmenšieho prvočíselného deliteľa p 1 čísla a, po ktorom vypočítame a 1 =a:p 1 . Ak a 1 = 1 , potom číslo a je prvočíslo a samo je jeho rozkladom na prvočísla. Ak sa a 1 rovná 1, potom máme a=p 1 ·a 1 a prejdeme na ďalší krok.
• Nájdeme najmenšieho prvočíselného deliteľa p 2 čísla a 1 , preto postupne triedime čísla z tabuľky prvočísel, počnúc p 1 , potom vypočítame a 2 =a 1:p 2 . Ak a 2 = 1, potom požadovaný rozklad čísla a na prvočísla má tvar a=p 1 ·p 2 . Ak sa a 2 rovná 1, potom máme a=p 1 ·p 2 ·a 2 a prejdeme na ďalší krok.
• Prechádzame číslami z tabuľky prvočísel, počnúc p 2 , nájdeme najmenšieho prvočíselného deliteľa p 3 čísla a 2 , podľa ktorého vypočítame a 3 =a 2:p 3 . Ak a 3 = 1, potom požadovaný rozklad čísla a na prvočísla má tvar a=p 1 ·p 2 ·p 3 . Ak sa a 3 rovná 1, potom máme a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3 a prejdeme na ďalší krok.
• Nájdite najmenšieho prvočíselného deliteľa p n čísla a n-1 zoradením prvočísel, počnúc p n-1 , ako aj a n =a n-1:p n a a n sa rovná 1 . Tento krok je posledným krokom algoritmu, tu získame požadovaný rozklad čísla a na prvočiniteľa: a=p 1 ·p 2 ·...·p n .

Všetky výsledky získané v každom kroku algoritmu na rozklad čísla na prvočísla sú uvedené pre prehľadnosť vo forme nasledujúcej tabuľky, v ktorej sú čísla a, a 1, a 2, ..., a n zapísané postupne do naľavo od zvislého stĺpca a napravo od stĺpca - zodpovedajúce najmenšie prvočísla p 1 , p 2 , …, p n .

Zostáva len zvážiť niekoľko príkladov aplikácie získaného algoritmu na rozklad čísel na prvočísla.

Príklady prvočíselnej faktorizácie

Teraz budeme podrobne analyzovať príklady prvočíselnej faktorizácie. Pri rozklade použijeme algoritmus z predchádzajúceho odseku. Začnime jednoduchými prípadmi a postupne si ich budeme komplikovať, aby sme čelili všetkým možným nuansám, ktoré vznikajú pri rozklade čísel na prvočísla.

Príklad.

Faktor číslo 78 do prvočiniteľov.

rozhodnutie.

Začneme hľadať prvého najmenšieho prvočíselného deliteľa p 1 čísla a=78 . Aby sme to dosiahli, začneme postupne triediť prvočísla z tabuľky prvočísel. Zoberieme číslo 2 a vydelíme ním 78, dostaneme 78:2=39. Číslo 78 bolo vydelené 2 bez zvyšku, takže p 1 \u003d 2 je prvý nájdený hlavný deliteľ čísla 78. V tomto prípade a1=a:p1=78:2=39. Dostávame sa teda k rovnosti a=p 1 ·a 1 v tvare 78=2·39 . Je zrejmé, že a 1 = 39 sa líši od 1, takže prejdeme k druhému kroku algoritmu.

Teraz hľadáme najmenšieho prvotriedneho deliteľa p 2 čísla a 1 =39 . Vypočítavanie čísel začneme z tabuľky prvočísel, pričom začíname s p 1 =2 . Vydelíme 39 2, dostaneme 39:2=19 (zostáva 1). Keďže 39 nie je rovnomerne deliteľné 2, 2 nie je jeho deliteľ. Potom vyberieme ďalšie číslo z tabuľky prvočísel (číslo 3) a vydelíme ním 39, dostaneme 39:3=13. Preto je p 2 \u003d 3 najmenším hlavným deliteľom čísla 39, zatiaľ čo a 2 \u003d a 1: p 2 \u003d 39: 3 = 13. Rovnosť a=p 1 p 2 a 2 máme v tvare 78=2 3 13 . Pretože a 2 = 13 sa líši od 1, prejdeme k ďalšiemu kroku algoritmu.

Tu musíme nájsť najmenšieho prvočíselného deliteľa čísla a 2 =13. Pri hľadaní najmenšieho prvočíselného deliteľa p 3 čísla 13 budeme postupne triediť čísla z tabuľky prvočísel, počnúc p 2 =3 . Číslo 13 nie je deliteľné 3, keďže 13:3=4 (zost. 1), ani 13 nie je deliteľné 5, 7 a 11, keďže 13:5=2 (zost. 3), 13:7=1 (rozlíšenie 6) a 13:11 = 1 (rozlíšenie 2). Nasledujúce prvočíslo je 13 a 13 je ním deliteľné bezo zvyšku, preto najmenším prvočíslom p 3 čísla 13 je samotné číslo 13 a a 3 =a 2:p 3 =13:13=1 . Keďže a 3 = 1 , potom je tento krok algoritmu posledným a požadovaný rozklad čísla 78 na prvočísla má tvar 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3 ) .

odpoveď:

78 = 2 3 13 .

Príklad.

Vyjadrite číslo 83 006 ako súčin prvočísel.

rozhodnutie.

V prvom kroku algoritmu rozkladu čísla na prvočísla nájdeme p 1 =2 a a 1 =a:p 1 =83 006:2=41 503 , odkiaľ 83 006=2 41 503 .

V druhom kroku zistíme, že 2 , 3 a 5 nie sú prvočíselnými deliteľmi čísla a 1 =41 503 a číslo 7 je, keďže 41 503: 7=5 929 . Máme p 2 =7, a 2 =a 1:p 2 =41 503:7=5 929. Teda 83 006 = 2 7 5 929 .

Najmenší hlavný deliteľ a 2 =5 929 je 7 , pretože 5 929:7=847 . Teda p3=7, a3=a2:p3=5 929:7=847, odkiaľ 83 006=2 7 7 847.

Ďalej zistíme, že najmenší prvočíselník p 4 čísla a 3 =847 sa rovná 7 . Potom a 4 =a 3:p 4 =847:7=121, teda 83 006=2 7 7 7 121 .

Teraz nájdeme najmenšieho prvotriedneho deliteľa čísla a 4 =121, je to číslo p 5 =11 (keďže 121 je deliteľné 11 a nie je deliteľné 7). Potom a 5 = a 4: p 5 = 121: 11 = 11 a 83 006 = 2 7 7 7 11 11 .

Nakoniec, najmenší prvočíselník a5=11 je p6=11. Potom a 6 =a 5:p6 =11:11=1. Keďže a 6 = 1 , potom je tento krok algoritmu rozkladu čísla na prvočísla posledný a požadovaný rozklad má tvar 83 006=2·7·7·7·11·11 .

Získaný výsledok možno zapísať ako kanonický rozklad čísla na prvočísla 83 006=2·7 3 ·11 2 .

odpoveď:

83 006=2 7 7 7 11 11=2 7 3 11 2 991 je prvočíslo. V skutočnosti nemá žiadneho hlavného deliteľa, ktorý by nepresahoval (možno zhruba odhadnúť ako , pretože je zrejmé, že 991<40 2 ), то есть, наименьшим делителем числа 991 является оно само. Тогда p 3 =991 и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1 . Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289 на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991 .

odpoveď:

897 924 289=937 967 991 .

Použitie testov deliteľnosti pre prvočiniteľa

V jednoduchých prípadoch môžete rozložiť číslo na prvočísla bez použitia rozkladového algoritmu z prvého odseku tohto článku. Ak čísla nie sú veľké, potom na ich rozklad na prvočísla často stačí poznať znaky deliteľnosti. Na objasnenie uvádzame príklady.

Napríklad číslo 10 musíme rozložiť na prvočísla. Z násobilky vieme, že 2 5=10 a čísla 2 a 5 sú samozrejme prvočísla, takže rozklad na prvočíslo 10 je 10=2 5 .

Ďalší príklad. Pomocou tabuľky násobenia rozložíme číslo 48 na prvočísla. Vieme, že šesť osem je štyridsať osem, teda 48 = 6 8. Ani 6, ani 8 však nie sú prvočísla. Ale vieme, že dvakrát tri je šesť a dvakrát štyri je osem, teda 6=2 3 a 8=2 4 . Potom 48=6 8=2 3 2 4 . Zostáva si uvedomiť, že dvakrát dva sú štyri, potom dostaneme požadovaný rozklad na prvočiniteľa 48=2 3 2 2 2 . Zapíšme tento rozklad v kanonickom tvare: 48=2 4 ·3 .

Ale pri rozklade čísla 3400 na prvočísla môžete použiť znaky deliteľnosti. Znaky deliteľnosti 10, 100 nám umožňujú tvrdiť, že 3400 je deliteľné 100, zatiaľ čo 3400 = 34 100 a 100 je deliteľné 10, zatiaľ čo 100 = 10 10, teda 3400 = 34 10 10. A na základe znamienka deliteľnosti 2 možno tvrdiť, že každý z faktorov 34, 10 a 10 je deliteľný 2, dostaneme 3 400=34 10 10=2 17 2 5 2 5. Všetky faktory vo výslednej expanzii sú jednoduché, preto je táto expanzia žiaduca. Zostáva len preusporiadať faktory tak, aby išli vzostupne: 3 400=2 2 2 5 5 17 . Zapíšeme aj kanonický rozklad tohto čísla na prvočiniteľa: 3 400=2 3 5 2 17 .

Pri rozklade daného čísla na prvočísla môžete postupne použiť znamienka deliteľnosti aj tabuľku násobenia. Predstavme si číslo 75 ako súčin prvočísel. Znamienko deliteľnosti 5 nám umožňuje tvrdiť, že 75 je deliteľné 5, pričom dostaneme, že 75=5 15. A z tabuľky násobenia vieme, že 15=3 5 , teda 75=5 3 5 . Toto je požadovaný rozklad čísla 75 na prvočísla.

Bibliografia.

• Vilenkin N.Ya. atď. Matematika. 6. ročník: učebnica pre vzdelávacie inštitúcie.
• Vinogradov I.M. Základy teórie čísel.
• Mikhelovič Sh.Kh. Teória čísel.
• Kulikov L.Ya. a iné Zbierka úloh z algebry a teórie čísel: Učebnica pre študentov fiz.-mat. odbornosti pedagogických ústavov.