VEKTORY
vektory nazývané matematické objekty ( a, b, c, ...), pre ktoré je definované vykonávanie dvoch algebraických operácií:
pridanie dvoch vektorov a+b=c
· násobenie vektora číslom a = b.
Najvýraznejšou črtou týchto operácií je, že ich výsledkom je vždy vektor rovnakého typu ako pôvodné vektory. Preto, keď máme nejakú počiatočnú množinu vektorov, môžeme ju postupne rozširovať, t.j. získavať stále viac nových vektorov aplikovaním operácií sčítania a násobenia číslom na existujúce vektory. Nakoniec sa dostaneme k množine vektorov, ktoré sa už nebudú rozširovať, t.j. sa ukáže, že je zatvorený podľa uvedených operácií. Takáto množina vektorov sa nazýva vektorový priestor.
Ak vyššie uvedené operácie vyžadujú ďalšie podmienky linearity :
a( a+b)= a a+ a b
(a + b) a = a a+ b b
potom sa výsledný priestor nazýva lineárne priestor (LP) príp lineárny vektor priestor (HDL). LCS môže spolu so skupinami symetrie slúžiť ako ďalší príklad matematických štruktúr, ktoré sú uzavretými množinami objektov rovnakého typu a usporiadanými určitým spôsobom (pomocou algebraických operácií).
Lineárne kombinácie
Po operáciách sčítania vektorov a ich násobení číslami môžeme zostaviť zložitejšiu konštrukciu, ako napríklad:
a a+ b b+ g c + ..... = x
ktorá sa volá lineárna kombinácia (LK) vektory a, b, c,. . . s koeficientmi a, b, g, . . . , resp.
Koncept LC nám umožňuje formulovať niekoľko všeobecných pravidiel:
· každý LC akéhokoľvek vektora nejakého LP je tiež vektorom toho istého LP;
· akýkoľvek vektor nejakého LP môže byť reprezentovaný vo forme LC niekoľkých vektorov toho istého LP;
· v každom LP je takáto vybraná množina vektorov tzv základná sada (alebo jednoducho základ ), že všetky, bez výnimky, vektory tohto LP môžu byť reprezentované ako lineárne kombinácie týchto vybraných základných vektorov. Na vektory vybrané ako základné sa kladie jedna dôležitá podmienka: musia byť lineárne nezávislé medzi sebou (nemali by sa vyjadrovať cez seba, t.j.: X≠a× r).
Tieto pravidlá umožňujú zaviesť osobitný spôsob popisu akéhokoľvek lieku. Vyberme si základnú množinu a podľa tohto základu rozviňme všetky vektory, ktoré nás zaujímajú (t. j. prezentujme ich vo forme LC bázových vektorov); potom každý vektor môže byť jednoznačne špecifikovaný množinou LC koeficientov zodpovedajúcich danému vektoru. Takéto koeficienty sa nazývajú súradnice vektor (vzhľadom na daný základ). Zdôraznime, že súradnice vektora sú obyčajné čísla a súradnicová reprezentácia vektora nám umožňuje opísať ho iba pomocou množiny čísel, bez ohľadu na konkrétny fyzikálny význam, ktorý do pojmu vektor vložíme.
Pozrime sa na konkrétny príklad. Majme súbor rôznych zmesí dvoch čistých chemikálií: vody a alkoholu. Spomedzi všetkých možných zmesí zdôrazňujeme dve špeciálne:
1) zmes S 1 obsahujúca 100 % vody a 0 % alkoholu;
2) zmes S 2 s obsahom 0% vody a 100% alkoholu.
Je jasné, že ľubovoľná zmes môže byť reprezentovaná ako LC týchto dvoch základných zmesí:
S = n 1 * S 1 + n 2 * S 2
a plne ho charakterizujte iba dvoma súradnicovými číslami: n 1 a n 2. Inými slovami, ak máme základnú množinu, môžeme stanoviť ekvivalenciu ľubovoľnej chemickej zmesi a množiny čísel:
S~ {n 1 , n 2 }.
Teraz stačí nahradiť konkrétne chemické slovo „zmes“ abstraktným matematickým pojmom „vektor“, aby sme získali HDL model, ktorý popisuje veľa zmesí dvoch látok.
3.3. Lineárna nezávislosť vektorov. Základ.Lineárne kombinácia vektorové systémy
nazývaný vektor
kde a 1, a 2, ..., a n - ľubovoľné čísla.
Ak všetky i = 0, potom sa volá lineárna kombinácia triviálne . V tomto prípade očividne
Definícia 5.
|
Ak pre sústavu vektorov
existuje netriviálna lineárna kombinácia (aspoň jedna ai¹ 0) rovný nulovému vektoru: potom sa nazýva systém vektorov lineárne závislý. Ak je rovnosť (1) možná len v prípade, keď všetky a i =0, potom sa nazýva systém vektorov lineárne nezávislý . |
Veta 2 (Podmienky lineárnej závislosti).
Definícia 6.
Z vety 3 z toho vyplýva, že ak je báza daná v priestore, tak pridaním ľubovoľného vektora k nej dostaneme lineárne závislý systém vektorov. V súlade s Veta 2 (1) , jeden z nich (dá sa ukázať, že vektor) môže byť reprezentovaný ako lineárna kombinácia ostatných:
.
Definícia 7.
|
čísla sa volajú súradnice vektory v zákl (označené
|
Ak sú vektory uvažované v rovine, potom základom bude usporiadaná dvojica nekolineárnych vektorov
a súradnice vektora v tomto základe sú dvojica čísel:
Poznámka 3. Dá sa to ukázať pre daný základ sú súradnice vektora určené jednoznačne . Z toho najmä vyplýva, že ak sú vektory rovnaké, potom sú ich zodpovedajúce súradnice rovnaké a naopak .
Ak je teda v priestore daný základ, potom každému vektoru priestoru zodpovedá usporiadaná trojica čísel (súradnice vektora v tomto základe) a naopak: každá trojica čísel zodpovedá vektoru.
V rovine sa vytvorí podobná korešpondencia medzi vektormi a dvojicami čísel.
Veta 4 (Lineárne operácie cez vektorové súradnice).
|
Ak v nejakom základe A a je ľubovoľné číslo, potom v tomto základe |
Inými slovami:
Keď sa vektor vynásobí číslom, jeho súradnice sa vynásobia týmto číslom ;
pri pridávaní vektorov sa pridávajú ich zodpovedajúce súradnice .
Príklad 1 . V niektorých základoch vektorymať súradnice
Ukážte, že vektory tvoria základ a nájdite súradnice vektora v tomto základe.
Vektory tvoria základ, ak nie sú koplanárne, preto (v súlade s podľa vety 3(2) ) sú lineárne nezávislé.
Podľa definície 5 to znamená, že rovnosť
možné len akX = r = z = 0.
Lineárna kombinácia vektorov z sa nazýva vektor v . Je zrejmé, že lineárna kombinácia lineárnych kombinácií vektorov je opäť lineárnou kombináciou týchto vektorov.
Súbor vektorov sa nazýva lineárne nezávislý, ak je rovnosť možná iba pre . Ak existujú nenuly a také, že sú rovné - 0, potom sa množina vektorov nazýva lineárne závislá. Tieto definície sa zhodujú s definíciami uvedenými na strane 108 aplikovanými na reťazce.
Tvrdenie 1. Množina vektorov je lineárne závislá práve vtedy, ak jeden z vektorov je lineárnou kombináciou ostatných.
Tvrdenie 2. Ak je množina vektorov lineárne nezávislá a množina je lineárne závislá, potom je vektor lineárnou kombináciou vektorov
Tvrdenie 3. Ak sú vektory lineárnymi kombináciami vektorov, potom je kolekcia lineárne závislá.
Dôkazy týchto viet sa nelíšia od dôkazov podobných viet pre reťazce (s. 108-110).
Súbor vektorov sa nazýva generovanie, ak všetky vektory v priestore sú ich lineárnymi kombináciami. Ak pre priestor S existuje konečný generujúci systém, potom sa priestor nazýva konečnorozmerný, inak sa nazýva nekonečnerozmerný. V konečnej dimenzii nemôžu existovať ľubovoľne veľké (v počte vektorov) lineárne nezávislé kolekcie vektorov, pretože podľa tvrdenia 3 je každá kolekcia vektorov, ktorá počtom vektorov presahuje generujúcu kolekciu, lineárne závislá.
Priestor matíc pevných veľkostí a najmä priestor riadkov pevnej dĺžky je konečnorozmerný, matice s jednotkou na jednej pozícii a nulami vo zvyšku možno považovať za generujúci systém.
Priestor všetkých polynómov z je už nekonečne-rozmerný, pretože množina polynómov je lineárne nezávislá pre ľubovoľné .
V nasledujúcom budeme uvažovať o konečne-dimenzionálnych priestoroch.
Tvrdenie 4. Akákoľvek minimálna (v zmysle počtu vektorov) generujúca množina vektorov je lineárne nezávislá.
Vskutku, nech je minimálna generujúca kolekcia vektorov. Ak je lineárne závislý, potom jeden z vektorov, povedzme, je lineárnou kombináciou ostatných a každá lineárna kombinácia je lineárnou kombináciou menšej množiny vektorov, ktorá sa teda generuje.
Tvrdenie 5. Generuje sa akýkoľvek maximálny (v zmysle počtu vektorov) lineárne nezávislý súbor vektorov.
Nech je skutočne maximálna lineárne nezávislá kolekcia a u je ľubovoľný vektor priestoru. Potom množina nebude lineárne nezávislá a na základe tvrdenia 2 je vektor lineárnou kombináciou
Návrh 6. Akýkoľvek lineárne nezávislý generátorový agregát je minimálny medzi generátormi a maximálny medzi lineárne nezávislými.
Nech je skutočne lineárne nezávislá generujúca množina vektorov. Ak je nejaká iná generujúca množina, potom sú to lineárne kombinácie a z toho vyvodíme, že , pretože ak by tam potom bolo, na základe výroku by to bola lineárne závislá množina. Nech je teraz nejaká lineárne nezávislá zbierka. Vektory sú lineárne kombinácie vektorov, a preto by na základe toho istého výroku tvorili lineárne závislú množinu.
Vo výrokoch 4, 5, 6 je teda stanovená identita troch pojmov – minimálna generujúca množina vektorov, maximálna lineárne nezávislá množina vektorov a lineárne nezávislá generujúca množina.
Súbor vektorov, ktorý spĺňa tieto podmienky, sa nazýva báza priestoru a počet vektorov, ktoré tvoria bázu, sa nazýva dimenzia priestoru. Dimenzia priestoru S je označená . Rozmer sa teda rovná maximálnemu počtu lineárne nezávislých vektorov (v budúcnosti budeme často hovoriť slová „lineárne nezávislé“ a „lineárne závislé vektory“ namiesto „vektorov, ktoré tvoria lineárne závislú množinu“ a - resp. pre lineárne nezávislú množinu) a minimálny počet generujúcich vektorov.
Tvrdenie 7. Nech je lineárne nezávislá zbierka vektorov a ich počet je menší ako rozmer priestoru. Potom k nim možno pridať vektor, aby množina zostala lineárne nezávislá.
Dôkaz. Zoberme si veľa lineárnych kombinácií. Nevyčerpáva celý priestor, pretože netvoria generujúci súbor vektorov. Zoberme si vektor, ktorý nie je lineárnou kombináciou
Potom ide o lineárne nezávislú kolekciu, pretože inak by to bola lineárna kombinácia vektorov na základe tvrdenia 2.
Z tvrdenia 7 vyplýva, že každý lineárne nezávislý súbor vektorov môže byť doplnený o základ.
Ten istý návrh a jeho dôkaz naznačujú povahu svojvôle pri výbere základu. V skutočnosti, ak vezmete ľubovoľný nenulový vektor, môžete ho vytvoriť na základ tak, že akýmkoľvek spôsobom zoberiete druhý vektor, ale nie lineárnu kombináciu prvého, akýmkoľvek spôsobom tretieho, ale nie lineárnu kombináciu. z prvých dvoch atď.
Dá sa „klesnúť“ na základňu počnúc ľubovoľnou súpravou generátorov.
Tvrdenie 8. Každá generujúca množina vektorov obsahuje základ.
Vskutku, nech je generujúca množina vektorov. Ak je lineárne závislý, potom jeden z jeho vektorov je lineárnou kombináciou ostatných a možno ho vylúčiť z generujúcej množiny. Ak sú zostávajúce vektory lineárne závislé, potom je možné eliminovať ešte jeden vektor atď., kým nezostane lineárne nezávislá generujúca množina, t.j. báza.
V súlade s týmto kritériom kompromisu sa pre každé riešenie určí lineárna kombinácia minimálneho a maximálneho zisku
Druhá možnosť zahŕňa zameranie sa na jedno kritérium. Môže byť zvolený buď ako jeden zo štandardných ukazovateľov, ktoré majú úplne zrozumiteľnú ekonomickú interpretáciu (napríklad niektorý z ukazovateľov likvidity, úrokového krytia a pod.), alebo je toto kritérium vyvinuté vo forme nejakého umelého ukazovateľa, ktorý zovšeobecňuje konkrétne kritériá. Pre toto zovšeobecnené kritérium je stanovená prahová hodnota, s ktorou sa porovnáva skutočná hodnota kritéria vypočítaná pre potenciálneho dlžníka. Hlavný problém pri implementácii tohto prístupu spočíva v spôsobe konštrukcie súhrnného ukazovateľa. Najčastejšie ide o lineárnu kombináciu konkrétnych kritérií, z ktorých každé je zahrnuté do všeobecného ukazovateľa s určitým váhovým koeficientom. Práve tento prístup použil E. Altman pri vývoji Z-kritéria na predpovedanie bankrotu.
Riadok e sa nazýva lineárna kombinácia riadkov e, e-..., em matice if
Pojem lineárna kombinácia, lineárna závislosť a nezávislosť vektorov e, e2. f em sú podobné ako zodpovedajúce pojmy pre riadky matice e, e2,..., em (11.5).
Ako je znázornené na obrázku , pre ohraničené a konvexné prípustné množiny (2.14) môže byť vektor x% 0 spĺňajúci obmedzenie A xk bk reprezentovaný ako konvexná lineárna kombinácia konečnej množiny extrémnych bodov.
Optimalizačný postup na výpočet hraničných hodnôt prvkov a a ich lineárnych kombinácií do značnej miery nemá tieto nevýhody.
Je zrejmé, že bod (X1, d), získaný lineárnou kombináciou (A/, d) a (L.", d"), je tiež riešením sústavy (4.43), (4.44).
V tejto časti sa budeme zaoberať pravidlami pre výpočet matematického očakávania a rozptylu viacrozmernej náhodnej premennej, ktorá je lineárnou kombináciou korelovaných náhodných premenných.
Preto získame pre lineárnu kombináciu ľubovoľného počtu náhodných premenných
Zoberme si prípad, keď sa investovanie uskutočňuje do viacerých aktív (portfólia). Portfólio je lineárna kombinácia aktív, z ktorých každé má svoj vlastný očakávaný výnos a rozptyl výnosov.
Na rozdiel od ľubovoľnej lineárnej kombinácie náhodných premenných podliehajú váhy aktív normalizačnému pravidlu
Predchádzajúci odsek ukázal, že keď je korelačný koeficient medzi aktívami menší ako 1, diverzifikácia portfólia môže zlepšiť vzťah medzi očakávaným výnosom a očakávaným rizikom. Je to spôsobené tým, že očakávaný výnos portfólia je lineárnou kombináciou očakávaných výnosov aktív zaradených do portfólia a rozptyl portfólia je kvadratickou funkciou r.s. zaradené do portfólia aktív.
Keďže diskriminačná funkcia závisí iba od lineárnej kombinácie vstupov, neurón je lineárny diskriminátor. V niektorých najjednoduchších situáciách je lineárny diskriminátor najlepší možný, a to v prípade, keď sú pravdepodobnosti vstupných vektorov patriacich do triedy k dané Gaussovými rozdeleniami.
Presnejšie, výstupy siete Oya sú lineárne kombinácie prvých hlavných komponentov Ш. Na získanie presných samotných hlavných komponentov stačí nahradiť súčet všetkých výstupov v Oyovom pravidle za
Vektory b navyše tvoria takzvaný minimálny základ. Ide totiž o minimálny počet vektorov pomocou lineárnej kombinácie, z ktorej môžu byť reprezentované všetky zapamätané vektory.
Nasledujúci systematický postup je schopný iteratívne identifikovať najvýznamnejšie znaky, ktorými sú lineárne kombinácie vstupných premenných X = W X (podmnožiny vstupov sú špeciálnym prípadom lineárnej kombinácie, t.j. formálne možno nájsť lepšie riešenie, než aké je dostupné výberom najvýznamnejších kombinácií vstupov).
Počas analýzy sa na charakterizáciu rôznych aspektov finančného stavu používajú nasledujúce údaje. absolútne ukazovatele a finančné pomerové ukazovatele, ktoré sú relatívnymi ukazovateľmi finančnej situácie. Tie sa počítajú vo forme pomerov absolútnych ukazovateľov finančnej situácie alebo ich lineárnych kombinácií. Podľa klasifikácie jedného zo zakladateľov bilančnej vedy, N.A.Blatova, sa relatívne ukazovatele finančnej kondície delia na distribučné koeficienty a používajú sa v prípadoch, keď je potrebné určiť, ktorá časť toho či onoho
Vektorový koncept
Definícia 1.Vektor nazývaný riadený segment (alebo, čo je to isté, usporiadaná dvojica bodov).
Označené: (bod A je začiatok vektora), bod B je koniec vektora) alebo jedným písmenom -.
Definícia 2.Dĺžka vektora (modul) je vzdialenosť medzi začiatkom a koncom vektora. Dĺžku vektora označujeme alebo.
Definícia 3.Nulový vektor Nazýva sa vektor, ktorého začiatok a koniec sa zhodujú. Určenie:
Definícia 4.Jednotkový vektor je vektor, ktorého dĺžka sa rovná jednej.
Jednotkový vektor, ktorý má rovnaký smer ako daný vektor, sa nazýva jednotkový vektor vektora a označuje sa symbolom.
Definícia 5. Vektory sú tzv kolineárny, ak sú umiestnené na rovnakej priamke alebo na rovnobežných priamkach. Nulový vektor sa považuje za kolineárny s akýmkoľvek vektorom.
Definícia 6. Vektory sú tzv rovný, ak sú kolineárne, majú rovnakú dĺžku a rovnaký smer.
Lineárne operácie s vektormi
Definícia 7.Lineárne operácie s vektormi sa nazývajú sčítanie vektorov a násobenie vektora číslom.
Definícia 8.Súčet dvoch vektorov je vektor, ktorý ide od začiatku vektora po koniec vektora za predpokladu, že vektor je pripojený ku koncu vektora (pravidlo trojuholníka). V prípade nekolineárnych vektorov je možné namiesto trojuholníkového pravidla použiť pravidlo rovnobežníka: ak sú vektory vyčlenené zo spoločného počiatku a je na nich zostavený rovnobežník, potom súčet je vektor, ktorý sa zhoduje. pričom uhlopriečka tohto rovnobežníka pochádza zo spoločného pôvodu.
Definícia 9.Rozdiel dvoch vektorov sa nazýva vektor, ktorý po pridaní k vektoru vytvorí vektor. Ak sú dva vektory vyčlenené zo spoločného počiatku, potom ich rozdiel je vektor, ktorý pokračuje od konca vektora („odčíta sa“) po koniec vektora („redukuje“).
Definícia 10. Zavolajú sa dva kolineárne vektory rovnakej dĺžky smerujúce v opačných smeroch opak. Označuje sa vektor opačný k vektoru.
Súčin vektora a čísla označujeme α.
Niektoré vlastnosti lineárnych operácií
7)
;
Veta 1.(O kolineárnych vektoroch). Ak u sú dva kolineárne vektory a vektor je nenulový, potom existuje jedinečné číslo x také, že = x
Konkrétne, nenulový vektor a jeho vektor sú ort-spojené rovnosťou: =·.
Formulované vlastnosti lineárnych operácií umožňujú transformovať výrazy zložené z vektorov podľa zaužívaných pravidiel algebry: môžete otvárať zátvorky, prinášať podobné termíny, prenášať niektoré termíny do inej časti rovnosti s opačným znamienkom atď.
Príklad 1
Dokážte rovnosť:
a zistiť, aký je ich geometrický význam.
Riešenie. a) Na ľavej strane rovnosti otvorte zátvorky, pridajte podobné výrazy a získajte vektor na pravej strane. Vysvetlime túto rovnosť geometricky. Nech sú dané dva vektory, odložíme ich od spoločného počiatku a pozrieme sa na rovnobežník a jeho uhlopriečky, dostaneme:
§2 Lineárna kombinácia vektorov
Vektorový základ v lietadle a vo vesmíre.
Definícia 1.Lineárna kombinácia vektorov,,nazýva sa súčet súčinov týchto vektorov nejakými číslami,,:++.
Definícia 2.Vektorový základ v danej rovine sa nazýva akákoľvek dvojica nekolineárnych vektorov v tejto rovine.
Vektor sa nazýva prvý bázový vektor, vektor druhý.
Nasledujúca veta je pravdivá.
Veta 1. Ak základ ,– vektorovú bázu v rovine, potom môže byť reprezentovaný ľubovoľný vektor tejto roviny, a to jedinečným spôsobom, vo forme lineárnej kombinácie bázových vektorov: = x + y. (*)
Definícia 3. Rovnosť(*) sa volá a čísla x a y – súradnice vektora v základe,(alebo vzhľadom na základ,). Ak je vopred jasné, o akom základe hovoríme, napíšte stručne: = (x,y). Z definície súradníc vektora vzhľadom na bázu vyplýva, že rovnaké vektory majú príslušné rovnaké súradnice.
Volajú sa dva alebo viac vektorov v priestore koplanárny, ak sú rovnobežné s tou istou rovinou alebo ležia v tejto rovine.
Definícia 4.Vektorový základ v priestore sa nazývajú ľubovoľné tri vektory , ,.
Vektor sa nazýva prvý bázový vektor, druhý a tretí.
Komentujte. 1. Tri vektory = (), = () a = () tvoria základ priestoru, ak determinant zložený z ich súradníc je nenulový:
.
2. Základné princípy teórie determinantov a metódy ich výpočtu sú popísané v module 1 „lineárna algebra“.
Veta 2. Nechaj , , je vektorová báza v priestore. Potom môže byť akýkoľvek vektor v priestore reprezentovaný a jedinečným spôsobom ako lineárna kombinácia základných vektorov , a:
X+y+z. (**)
Definícia 5. Rovnosť (**) sa nazýva expanzia vektora podľa základu,,, a čísla x, y, z sú súradnice (zložky) vektora v základe , ,.
Ak je vopred jasné, o akom základe hovoríme, tak stručne napíšte: = (x,y,z).
Definícia 6. Základ , ,volal ortonormálny, ak vektory , , sú kolmé v pároch a majú jednotkovú dĺžku. V tomto prípade sa používa označenie ,,.
Akcie s vektormi určenými ich súradnicami.
Veta 3. Nech je v rovine zvolený vektorový základ , a relatívne k nej sú vektory dané ich súradnicami: = (), = ().
Potom =(),=( 
), t.j. Pri sčítaní alebo odčítaní vektorov sa ich rovnomenné súradnice sčítajú alebo odčítajú;= (·;), t.j. Keď sa vektor vynásobí číslom, jeho súradnice sa vynásobia týmto číslom.
Podmienka pre kolinearitu dvoch vektorov
Veta 4. Vektor je kolineárny s nenulovým vektorom práve vtedy, ak sú súradnice vektora úmerné zodpovedajúcim súradniciam vektora, t.j.
Lineárne operácie s vektormi určenými ich súradnicami v priestore sa vykonávajú podobným spôsobom.
Príklad 1 Nech sú vektory = (1;2;-1) ,= (3;2;1), = (1;0;1) dané v nejakej vektorovej báze , ,. Nájdite súradnice lineárnej kombinácie 2+3-4.
Riešenie. Zavedme označenie pre lineárnu kombináciu = 2+3+(-4).
Lineárne kombinačné koeficienty =2,=3,=-4. Napíšme túto vektorovú rovnosť v súradnicovom tvare = (x,y,z)=:
2
Je zrejmé, že každá súradnica lineárnej kombinácie vektorov sa rovná rovnakej lineárnej kombinácii súradníc rovnakého mena, t.j.
x = 2·1+3·3+(-4)·1=7,
y = 2·2+3·2+(-4)·0=10,
z= 2·(-1)+3.1+(-4)·0=-3.
Vektorové súradnice v základe , ,bude:
odpoveď:= {7,10,-3}.
Všeobecný (afinný) karteziánsky súradnicový systém
Definícia 7. Nech O je nejaký pevný bod, ktorý budeme nazývať začiatok.
Ak je M ľubovoľný bod, potom sa volá vektor vektor polomeru bod M vo vzťahu k začiatku, v skratke, vektor polomeru bodu M.
Kartézske (afinné) súradnice na priamke
Nech je v priestore uvedená nejaká priamka l. Zvoľme počiatok O, ktorý bude ležať na tejto čiare. Okrem toho vyberáme na priamke l nenulový vektor, ktorý budeme nazývať základ.
Definícia 8. Nech bod M leží na priamke. Keďže vektory sú kolineárne, potom = x, kde x je určité číslo. Zavolajme na toto číslo koordinovať body M na priamke.
Počiatok O má kladné alebo záporné súradnice v závislosti od toho, či sa smery vektorov zhodujú alebo sú opačné. Priamka, na ktorej sú súradnice, sa bude nazývať súradnicová os alebo os OX.
Zavedenie súradníc na priamke zodpovedá jedinému číslu x a naopak, existuje jediný bod M, pre ktorý je toto číslo súradnicou.
Kartézske (afinné) súradnice v rovine.
Vyberme dva nekolineárne vektory a na rovine O, tvoriace určitú bázu. Je zrejmé, že dĺžky vektorov môžu byť rôzne.
Definícia 9. Množina (0;;) bodu O a vektorovej bázy , volal Kartézsky (afinný) systém na povrchu.
Dve čiary prechádzajúce cez O a rovnobežné s vektormi , sa nazývajú súradnicové osi. Prvá z nich sa zvyčajne nazýva os x a je označená ako Ox, druhá je súradnicová os a je označená ako Oy.
Vždy ich budeme zobrazovať ako ležiace na zodpovedajúcich súradnicových osiach.
Definícia 10.Súradnice bodu M v rovine vzhľadom na kartézsky (afinný) súradnicový systém (0;;) sa nazývajú súradnice jeho vektora polomeru pozdĺž základne:
X+y, potom čísla x a y budú súradnice M relatívne ku karteziánskemu (afinnému) súradnicovému systému (0;;). Súradnica x sa nazýva úsečka bod M, súradnica y- ordinát body M.
Ak je teda zvolený súradnicový systém (0;;) v rovine, potom každý bod M roviny zodpovedá jedinému bodu M v rovine: tento bod je koncom vektora
Zavedenie súradnicového systému je základom metódy analytickej geometrie, ktorej podstatou je schopnosť redukovať akýkoľvek geometrický problém na problémy aritmetiky alebo algebry.
Definícia 11.Vektorové súradnice na rovine vzhľadom na karteziánsky súradnicový systém (0;;) sa volajú súradnice tohto vektora v báze.
Ak chcete nájsť súradnice vektora, musíte ho rozšíriť podľa základu:
X+y, kde koeficienty x,y a budú súradnice vektora vzhľadom na karteziánsky systém (0;;).
Kartézsky (afinný) súradnicový systém v priestore.
Nech je určitý bod O (začiatok) fixovaný v priestore a je zvolená vektorová báza
Definícia 12. Kolekcia (0;;;) sa volá Kartézsky súradnicový systém vo vesmíre.
Definícia 13. Tri priamky prechádzajúce cez O a rovnobežné s vektormi , ,, volal súradnicové osi a označujú Oz, Oy, Oz. Vždy budeme zobrazovať vektory , , ležiace na zodpovedajúcich osiach.
Definícia 14.Súradnice bodu M v priestore vzhľadom na kartézsky súradnicový systém (0;;;) sa v tomto systéme nazývajú súradnice jeho vektora polomeru.
Inými slovami, súradnicami bodu M sú tri čísla x, y, z, v uvedenom poradí úsečka a ordináta bodu M; tretia súradnica z sa nazýva aplikácia bodu M.
Zavedenie karteziánskeho súradnicového systému v priestore nám umožňuje vytvoriť korešpondenciu jedna ku jednej medzi bodmi M priestoru a usporiadanými trojicami čísel x, y, z.
Definícia 15.Vektorové súradnice v priestore vzhľadom na karteziánsky súradnicový systém (0;;;), sa nazývajú súradnice tohto vektora v báze;;.
Príklad 2
Dané tri po sebe idúce vrcholy rovnobežníka A(-2;1),B(1;3),C(4;0). Nájdite jeho štvrtú súradnicu D. Súradnicový systém je afinný.
Riešenie.
Vektory sú rovnaké, čo znamená, že ich súradnice sú rovnaké (koeficienty lineárnej kombinácie):
= (3;2), =(4-x;-y); 
. Takže, D(1;-2).
odpoveď: D(1;-2).
Lineárna závislosť. Pojem základ
Definícia 16. Vektory sú tzv lineárne závislé, ak existujú čísla,
Táto definícia lineárnej závislosti vektorov je ekvivalentná tejto: vektory sú lineárne závislé, ak jeden z nich môže byť reprezentovaný ako lineárna kombinácia ostatných (alebo rozšírený cez ostatné).
Vektory sa nazývajú lineárne závislé, ak je rovnosť (***) možná v jedinom prípade, keď
Koncept lineárnej závislosti hrá veľkú úlohu v lineárnej algebre. Vo vektorovej algebre má lineárna závislosť jednoduchý geometrický význam.
Akékoľvek dva kolineárne vektory sú lineárne závislé a naopak, dva nekolineárne vektory sú lineárne nezávislé.
Tri koplanárne vektory sú lineárne závislé a naopak, tri nekoplanárne vektory sú lineárne nezávislé.
Každé štyri vektory sú lineárne závislé.
Definícia 17. Zavolajú sa tri lineárne nezávislé vektory základ vesmíru, tie. akýkoľvek vektor môže byť reprezentovaný ako nejaký.
Definícia 18. Volajú sa dva lineárne nezávislé vektory ležiace v rovine základ lietadla, tie. akýkoľvek vektor ležiaci v tejto rovine môže byť reprezentovaný ako lineárna kombinácia vektorov.
Úlohy na samostatné riešenie.
vektory nachádzajú súradnice v tomto základe.
