snímka 3

Gorner Williams George (1786 – 22. septembra 1837) bol anglický matematik. Narodený v Bristole. Študoval a pracoval tam, potom na školách v Bathe. Základné práce z algebry. V roku 1819 publikoval metódu na približný výpočet reálnych koreňov polynómu, ktorá sa dnes nazýva Ruffini-Hornerova metóda (túto metódu poznali Číňania už v 13. storočí) Schéma delenia polynómu binómom x-a je pomenovaný po Hornerovi.

snímka 4

HORNEROVÁ SCHÉMA

Metóda delenia polynómu n-tého stupňa lineárnym binómom - a, založená na skutočnosti, že koeficienty neúplného kvocientu a zvyšku r súvisia s koeficientmi deliteľného polynómu a s a podľa vzorcov:

snímka 5

Výpočty podľa Hornerovej schémy sú umiestnené v tabuľke:

Príklad 1 Delenie Neúplný podiel je x3-x2+3x - 13 a zvyšok je 42=f(-3).

snímka 6

Hlavnou výhodou tejto metódy je kompaktnosť zápisu a možnosť rýchlo rozdeliť polynóm na dvojčlen. V skutočnosti je Hornerova schéma ďalšou formou zaznamenávania metódy zoskupovania, hoci na rozdiel od druhej je úplne nepopisná. Odpoveď (faktorizácia) sa tu ukazuje sama od seba a nevidíme samotný proces jej získania. Nebudeme sa zaoberať rigoróznym zdôvodnením Hornerovej schémy, ale iba ukážeme, ako funguje.

Snímka 7

Príklad2.

Dokážeme, že polynóm P(x)=x4-6x3+7x-392 je deliteľný x-7, a nájdeme kvocient. rozhodnutie. Pomocou Hornerovej schémy nájdeme Р(7): Získame teda Р(7)=0, t.j. zvyšok pri delení polynómu x-7 je nula, a preto je polynóm P (x) násobkom (x-7).V tomto prípade sú čísla v druhom riadku tabuľky koeficienty delenie P (x) (x-7), teda P(x)=(x-7)(x3+x2+7x+56).

Snímka 8

Vynásobte polynóm x3 - 5x2 - 2x + 16.

Tento polynóm má celočíselné koeficienty. Ak je celé číslo koreňom tohto polynómu, potom je to deliteľ čísla 16. Ak teda daný polynóm má celé korene, potom to môžu byť iba čísla ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. Priamym overením sa uistíme, že číslo 2 je koreňom tohto polynómu, teda x3 - 5x2 - 2x + 16 = (x - 2)Q(x), kde Q(x) je polynóm druhého. stupňa

Snímka 9

Výsledné čísla 1, −3, −8 sú koeficienty polynómu, ktorý získame delením pôvodného polynómu x - 2. Výsledkom delenia je teda: 1 x2 + (-3)x + (- 8) = x2 - 3x - 8. Stupeň polynómu získaný delením je vždy o 1 menší ako stupeň pôvodného. Takže: x3 - 5x2 - 2x + 16 = (x - 2) (x2 - 3x - 8).

Pri riešení rovníc a nerovníc sa často stáva nevyhnutnosťou faktorizovať polynóm, ktorého stupeň sa rovná trom alebo vyšším. V tomto článku sa pozrieme na najjednoduchší spôsob, ako to urobiť.

Ako obvykle, obráťme sa na pomoc v teórii.

Bezoutova veta uvádza, že zvyšok delenia polynómu binómom je .

Pre nás však nie je dôležitá samotná veta, ale dôsledok z toho:

Ak je číslo koreňom polynómu, potom je polynóm bezo zvyšku deliteľný dvojčlenom.

Stojíme pred úlohou nájsť nejakým spôsobom aspoň jeden koreň polynómu a potom ho vydeliť číslom , kde je koreň polynómu. Výsledkom je, že dostaneme polynóm, ktorého stupeň je o jeden menší ako stupeň pôvodného. A potom, ak je to potrebné, môžete proces zopakovať.

Táto úloha je rozdelená na dve časti: ako nájsť koreň polynómu a ako rozdeliť polynóm na dvojčlen.

Pozrime sa bližšie na tieto body.

1. Ako nájsť koreň polynómu.

Najprv skontrolujeme, či čísla 1 a -1 sú koreňmi polynómu.

Tu nám pomôžu nasledujúce fakty:

Ak je súčet všetkých koeficientov polynómu nula, potom číslo je koreňom polynómu.

Napríklad v polynóme sa súčet koeficientov rovná nule: . Je ľahké skontrolovať, čo je koreňom polynómu.

Ak sa súčet koeficientov polynómu pri párnych mocninách rovná súčtu koeficientov pri nepárnych mocninách, potom číslo je koreňom polynómu. Voľný člen sa považuje za koeficient v párnom stupni, pretože , a je párne číslo.

Napríklad v polynóme je súčet koeficientov pri párnych stupňoch : a súčet koeficientov pri nepárnych stupňoch je : . Je ľahké skontrolovať, čo je koreňom polynómu.

Ak ani 1, ani -1 nie sú koreňmi polynómu, ideme ďalej.

Pre polynóm so zníženým stupňom (t. j. pre polynóm, v ktorom sa vedúci koeficient - koeficient - rovná jednej), platí vzorec Vieta:

Kde sú korene polynómu.

Existujú aj Vieta vzorce týkajúce sa zostávajúcich koeficientov polynómu, ale práve tento nás zaujíma.

Z tohto vzorca Vieta to vyplýva ak sú korene polynómu celé číslo, potom sú deliteľmi jeho voľného člena, ktorý je tiež celým číslom.

Na základe toho musíme rozložiť voľný člen polynómu na faktory a postupne, od menšieho k väčšiemu, skontrolovať, ktorý z faktorov je koreňom polynómu.

Zoberme si napríklad polynóm

Voľné deliče členov: ; ; ;

Súčet všetkých koeficientov polynómu je rovnaký, preto číslo 1 nie je koreňom polynómu.

Súčet koeficientov pri párnych mocninách:

Súčet koeficientov pri nepárnych mocninách:

Preto ani číslo -1 nie je koreňom polynómu.

Skontrolujme, či je číslo 2 koreňom polynómu: teda číslo 2 je koreňom polynómu. Podľa Bezoutovej vety je teda polynóm bezo zvyšku deliteľný binomom.

2. Ako rozdeliť mnohočlen na dvojčlen.

Polynóm možno rozdeliť na binóm podľa stĺpca.

Polynóm rozdelíme na binomický stĺpec:

Existuje aj iný spôsob, ako rozdeliť polynóm na binom – Hornerova schéma.

Pozrite si toto video, aby ste pochopili ako rozdeliť polynóm binomom stĺpcom a pomocou Hornerovej schémy.

Podotýkam, že ak pri delení stĺpcom v pôvodnom polynóme absentuje nejaký stupeň neznámej, napíšeme na jej miesto 0 – rovnako ako pri zostavovaní tabuľky pre Hornerovu schému.

Ak teda potrebujeme rozdeliť polynóm na binóm a ako výsledok delenia dostaneme polynóm, potom môžeme nájsť koeficienty polynómu pomocou Hornerovej schémy:

Môžeme použiť aj Hornerova schéma aby sme skontrolovali, či je dané číslo koreňom polynómu: ak je číslo koreňom polynómu, potom zvyšok delenia polynómu číslom je nula, to znamená v poslednom stĺpci druhého riadku Hornera. schémy, dostaneme 0.

Pomocou Hornerovej schémy „zabijeme dve muchy jednou ranou“: zároveň skontrolujeme, či je číslo koreňom polynómu a tento polynóm vydelíme binómom.

Príklad. Vyriešte rovnicu:

1. Vypíšeme deliteľov voľného člena a medzi deliteľmi voľného člena budeme hľadať korene polynómu.

Deliteľ 24:

2. Skontrolujte, či číslo 1 je koreňom polynómu.

Súčet koeficientov polynómu, teda číslo 1 je koreňom polynómu.

3. Rozdeľte pôvodný polynóm na binóm pomocou Hornerovej schémy.

A) Napíšte koeficienty pôvodného polynómu do prvého riadku tabuľky.

Keďže chýba obsahujúci člen, do stĺpca tabuľky, do ktorého sa má zapísať koeficient at, zapíšeme 0. Vľavo napíšeme nájdený koreň: číslo 1.

B) Vyplňte prvý riadok tabuľky.

V poslednom stĺpci sme podľa očakávania dostali nulu, pôvodný polynóm sme bezo zvyšku rozdelili na dvojčlen. Koeficienty polynómu vyplývajúce z delenia sú zobrazené modrou farbou v druhom riadku tabuľky:

Je ľahké skontrolovať, či čísla 1 a -1 nie sú koreňmi polynómu

C) Pokračujme v tabuľke. Pozrime sa, či číslo 2 je koreňom polynómu:

Takže stupeň polynómu, ktorý sa získa ako výsledok delenia jednou, je menší ako stupeň pôvodného polynómu, preto je počet koeficientov a počet stĺpcov menší o jeden.

V poslednom stĺpci sme dostali -40 - číslo, ktoré sa nerovná nule, preto je polynóm deliteľný binómom so zvyškom a číslo 2 nie je koreňom polynómu.

C) Skontrolujeme, či číslo -2 je koreňom polynómu. Keďže predchádzajúci pokus bol neúspešný, aby nedošlo k zámene s koeficientmi, vymažem riadok zodpovedajúci tomuto pokusu:

Dobre! Vo zvyšku sme dostali nulu, preto bol polynóm rozdelený na binóm bez zvyšku, preto číslo -2 je koreňom polynómu. Koeficienty polynómu, ktorý získame delením polynómu binomom, sú v tabuľke znázornené zelenou farbou.

V dôsledku delenia sme dostali štvorcový trojčlen , ktorého korene sa dajú ľahko nájsť podľa Vietovej vety:

Takže korene pôvodnej rovnice:

{}

odpoveď: ( }

Stránka „odborný tútor z matematiky“ pokračuje v sérii metodických článkov o vyučovaní. Uverejňujem popisy metód mojej práce s najzložitejšími a najproblematickejšími témami školského kurikula. Tento materiál bude užitočný pre učiteľov a tútorov matematiky, ktorí pracujú so študentmi v ročníkoch 8-11, a to ako v bežnom programe, tak aj v programe matematických tried.

Doučovateľ matematiky nemôže vždy vysvetliť látku, ktorá je v učebnici zle prezentovaná. Žiaľ, takýchto tém je čoraz viac a chyby v prezentácii podľa autorov príručiek sa robia masovo. Týka sa to nielen začínajúcich lektorov matematiky a lektorov na čiastočný úväzok (tútori - študenti a vysokoškolskí lektori), ale aj skúsených pedagógov, lektorov - profesionálov, lektorov s praxou a kvalifikáciou. Zďaleka nie všetci učitelia matematiky majú talent kompetentného korektora hrubosti školských učebníc. Nie každý tiež chápe, že tieto opravy (alebo doplnenia) sú potrebné. Len málokto sa zaoberá prispôsobovaním materiálu pre jeho kvalitatívne vnímanie deťmi. Žiaľ, pominula doba, keď učitelia matematiky spolu s metodikmi a autormi publikácií masívne diskutovali o každom písmenku učebnice. V minulosti, pred vydaním učebnice do škôl, sa robili seriózne analýzy a štúdie výsledkov vzdelávania. Nastal čas pre diletantov, ktorí sa snažia urobiť príručky univerzálnymi a prispôsobiť ich štandardom silných matematických tried.

Závod o zvýšenie množstva informácií vedie len k zníženiu kvality ich asimilácie a v dôsledku toho k zníženiu úrovne skutočných vedomostí v matematike. Tomu však nikto nevenuje pozornosť. A naše deti sú nútené už v 8. ročníku študovať to, čím sme si prešli na ústave: teóriu pravdepodobnosti, riešenie rovníc vysokých stupňov a ešte niečo. Prispôsobenie látky v knihách tak, aby ju dieťa plne vnímalo, ponecháva veľa požiadaviek a učiteľ matematiky je nútený sa s tým nejako vysporiadať.

Povedzme si niečo o metodike výučby tak špecifickej témy, akou je „delenie rohu polynómu polynómom“, v matematike pre dospelých známejšie ako „Bezoutova veta a Hornerova schéma“. Len pred pár rokmi nebola táto otázka pre učiteľa matematiky taká akútna, pretože nebol zaradený do učebných osnov hlavnej školy. Teraz uznávaní autori učebnice, ktorú redigoval Teljakovskij, urobili zmeny v najnovšom vydaní najlepšej, podľa mňa, učebnice, a tým, že ju úplne pokazili, pridali lektorovi iba zbytočné starosti. Učitelia škôl a tried, ktoré nemajú štatút matematiky, so zameraním na novinky autorov, začali do svojich hodín častejšie zaraďovať ďalšie odseky a zvedavé deti, ktoré si prezerajú krásne stránky svojej učebnice matematiky, sa čoraz častejšie pýtajú, učiteľ: „Čo je to za roh? Prechádzame týmto? Ako zdieľať kútik? Pred takýmito priamymi otázkami sa nedá skryť. Doučovateľ bude musieť dieťaťu niečo povedať.

Ale ako? Asi by som neopisoval spôsob práce s témou, ak by bola správne prezentovaná v učebniciach. Ako sa to všetko u nás deje? Učebnice treba tlačiť a predávať. A preto je potrebné ich pravidelne aktualizovať. Sťažujú sa vysokoškolskí učitelia, že k nim prichádzajú deti s prázdnymi hlavami, bez vedomostí a zručností? Rastú požiadavky na matematické znalosti? Dobre! Odstránime niektoré cvičenia a namiesto nich vložíme témy, ktoré sa študujú v iných programoch. Prečo je naša učebnica horšia? Zahrnieme niekoľko ďalších kapitol. Školáci nepoznajú pravidlo delenia rohom? Toto je elementárna matematika. Takýto odsek by sme mali urobiť ako nepovinný s nadpisom „pre tých, ktorí chcú vedieť viac“. Doučovatelia proti? A čo nás na lektoroch všeobecne zaujíma? Aj metodici a učitelia škôl sú proti? Nebudeme komplikovať materiál a zvážime jeho najjednoduchšiu časť.

A tu to začína. Jednoduchosť témy a kvalita jej asimilácie spočíva predovšetkým v pochopení jej logiky, a nie v tom, že podľa predpisu autorov učebnice vykonávať určitý súbor operácií, ktoré spolu jasne nesúvisia. V opačnom prípade bude zabezpečená hmla v hlave študenta. Ak autori rátajú s relatívne silnými študentmi (avšak študujúcimi podľa bežného programu), tak tému nezadávajte v tímovej forme. Čo vidíme v učebnici? Deti, je potrebné rozdeliť podľa tohto pravidla. Získajte polynóm v rohu. Pôvodný polynóm bude teda faktorizovaný. Nie je však jasné, prečo sú výrazy pod rohom zvolené týmto spôsobom, prečo je potrebné ich vynásobiť polynómom nad rohom a potom odpočítať od aktuálneho zvyšku - nie je jasné. A čo je najdôležitejšie, nie je jasné, prečo musia byť zvolené monoméry nakoniec pridané a prečo budú výsledné zátvorky rozšírením pôvodného polynómu. Každý kompetentný matematik umiestni tučný otáznik nad vysvetlenia, ktoré sú uvedené v učebnici.

Do pozornosti tútorov a učiteľov matematiky dávam svoje riešenie úlohy, ktoré prakticky študentovi ozrejmí všetko, čo je v učebnici uvedené. V skutočnosti dokážeme Bezoutovu vetu: ak je číslo a koreňom polynómu, potom tento polynóm možno rozložiť na faktory, z ktorých jeden je x-a a druhý sa získa z pôvodného jedným z troch spôsobov: extrakciou lineárneho činiteľa pomocou transformácií, delením rohom alebo podľa Hornerovej schémy. Práve s takouto formuláciou sa bude učiteľom matematiky pracovať ľahšie.

Čo je metodika výučby? V prvom rade je to jasné poradie v postupnosti vysvetlení a príkladov, na základe ktorých sa vyvodzujú matematické závery. Táto téma nie je výnimkou. Pre učiteľa matematiky je veľmi dôležité oboznámiť dieťa s Bezoutovou vetou pred vykonaním rohového delenia. Je to veľmi dôležité! Najlepšie to pochopíte na konkrétnom príklade. Zoberme si polynóm s vybraným koreňom a ukážme techniku ​​jeho rozkladu metódou identických transformácií, ktorú pozná žiak zo 7. ročníka. S príslušnými sprievodnými vysvetleniami, prízvukmi a tipmi od učiteľa matematiky je celkom možné sprostredkovať materiál bez akýchkoľvek všeobecných matematických výpočtov, ľubovoľných koeficientov a stupňov.

Dôležité tipy pre učiteľov matematiky- postupujte podľa pokynov od začiatku do konca a nemeňte túto postupnosť.

Povedzme teda, že máme polynóm. Ak namiesto jeho x dosadíme číslo 1, potom bude hodnota polynómu nulová. Preto x=1 je jeho koreň. Skúsme sa rozložiť na dva členy tak, že jeden z nich je súčinom lineárneho výrazu a nejakého monomilu a druhý by mal o jeden stupeň menej ako . To znamená, že ho reprezentujeme vo forme

Jednočlen pre červené pole volíme tak, že pri jeho vynásobení vedúcim členom sa úplne zhoduje s vedúcim členom pôvodného mnohočlenu. Ak študent nie je najslabší, potom bude celkom schopný dať učiteľovi matematiky požadovaný výraz:. Tútor by mal byť okamžite požiadaný, aby ho vložil do červeného poľa a ukázal, čo sa stane, keď sa otvoria. Tento virtuálny dočasný polynóm je najlepšie podpísať pod šípkami (pod fotografiou) a zvýrazniť ho nejakou farbou, napríklad modrou. To vám pomôže vybrať sčítanec pre červené pole, nazývaný zvyšok z výberu. Odporúčam učiteľom, aby tu poukázali na to, že tento zvyšok možno nájsť odčítaním. Vykonaním tejto operácie dostaneme:

Lektor matematiky by mal upozorniť študenta na skutočnosť, že dosadením jednotky v tejto rovnosti zaručene dostaneme nulu na jej ľavej strane (keďže 1 je koreň pôvodného polynómu) a na pravej, samozrejme, tiež nastavíme prvý člen na nulu. Bez akéhokoľvek overovania teda môžeme povedať, že jednotka je koreňom „zeleného zvyšku“.

Vyrovnajme sa s tým rovnakým spôsobom ako s pôvodným polynómom, pričom z neho vyberieme rovnaký lineárny faktor . Učiteľ matematiky nakreslí pred študenta dve políčka a požiada ich, aby ich vyplnili zľava doprava.

Študent vyberie pre tútora jednočlen pre červené pole tak, aby po vynásobení najvyšším členom lineárneho výrazu dostal najvyšší člen rozšíreného mnohočlenu. Zadáme ho do rámčeka, hneď otvoríme zátvorku a modrou zvýrazníme výraz, ktorý treba odčítať od rozbaleného. Vykonaním tejto operácie dostaneme

A nakoniec urobte to isté s posledným zvyškom

konečne dostať

Teraz vyberieme výraz zo zátvorky a budeme čeliť rozkladu pôvodného polynómu na faktory, z ktorých jeden je „x mínus zvolený koreň“.

Aby si študent nemyslel, že posledný „zelený zvyšok“ bol náhodne rozložený na potrebné faktory, učiteľ matematiky by mal upozorniť na dôležitú vlastnosť všetkých zelených zvyškov – každý z nich má koreň 1. Keďže stupne týchto zvyšky klesajú, potom bez ohľadu na to, aký stupeň počiatočného polynómu nám nebol daný, skôr či neskôr dostaneme lineárny „zelený zvyšok“ s odmocninou 1, a preto ho treba rozložiť na súčin určitého čísla a výraz.

Po takýchto prípravných prácach nebude pre lektora matematiky ťažké vysvetliť študentovi, čo sa deje pri delení rohu. Ide o rovnaký proces, len v kratšej a kompaktnejšej forme, bez rovnosti a bez prepisovania rovnakých vybraných pojmov. Napíšeme polynóm, z ktorého je lineárny multiplikátor pridelený naľavo od rohu, zbierame vybrané červené monomály pod uhlom (teraz je jasné, prečo by sa mali sčítať), aby ste získali „modré polynómy“, musíte ich vynásobiť. „červenú“ x-1 a potom odčítajte od zvoleného prúdu, ako sa to robí pri obvyklom delení čísel v stĺpci (tu je to analógia s predtým študovanou). Výsledné „zelené zvyšky“ sa podrobia novej selekcii a selekcii „červených monomilov“. A tak ďalej, kým sa nedosiahne nulový "zelený zvyšok". Najdôležitejšie je, aby bol študentovi jasný ďalší osud zapísaných mnohočlenov nad a pod rohom. Je zrejmé, že ide o zátvorky, ktorých súčin sa rovná pôvodnému polynómu.

Ďalšou etapou v práci tútora matematiky je formulácia Bezoutovej vety. V skutočnosti je jeho formulácia s týmto prístupom tútora zrejmá: ak je číslo a koreňom polynómu, potom ho možno rozložiť na faktory, z ktorých jeden a druhý sa získa z pôvodného v jednom z troch. spôsoby:

• priamy rozklad (podobne ako pri metóde zoskupovania)
• delenie rohom (v stĺpci)
• cez Hornerovu schému

Musím povedať, že zďaleka nie všetci učitelia matematiky ukazujú študentom hornerovu schému a nie všetci učitelia škôl (našťastie pre samotných tútorov) idú na hodinách tak hlboko do témy. Pre študenta matematickej triedy však nevidím dôvod, aby sa zastavil pri dlhom delení. Navyše, najpohodlnejšie a rýchlo Technika rozkladu je založená práve na Hornerovej schéme. Aby sme dieťaťu vysvetlili, odkiaľ pochádza, stačí vysledovať výskyt vyšších koeficientov v zelených zvyškoch na príklade delenia rohom. Je zrejmé, že najvyšší koeficient počiatočného polynómu sa zbúra na koeficient prvého „červeného monomizmu“ a ďalej od druhého koeficientu súčasného horného polynómu. odpočítané výsledok vynásobenia súčasného koeficientu "červeného monomiálu" koeficientom . Preto môžete pridať výsledok násobenia . Po zameraní pozornosti študenta na špecifiká akcií s koeficientmi môže učiteľ matematiky ukázať, ako sa tieto akcie zvyčajne vykonávajú, bez zapisovania samotných premenných. Na tento účel je vhodné zadať koreň a koeficienty pôvodného polynómu v poradí priority do nasledujúcej tabuľky:

Ak v polynóme chýba niektorý stupeň, tak sa do tabuľky násilne zapíše jeho nulový koeficient. Koeficienty „červených polynómov“ sa striedavo zadávajú do spodného riadku podľa pravidla „háčika“:

Odmocnina sa vynásobí posledným zbúraným „červeným koeficientom“, pripočíta sa k ďalšiemu koeficientu horného riadku a výsledok sa zloží na spodný riadok. V poslednom stĺpci zaručene dostaneme najvyšší koeficient posledného „zeleného zostatku“, teda nulu. Po dokončení procesu čísla vložené medzi zhodný koreň a nulový zvyšok sa ukážu ako koeficienty druhého (nelineárneho) faktora.

Pretože koreň a dáva na konci spodného riadku nulu, potom možno použiť Hornerovu schému na kontrolu čísel pre úroveň koreňa polynómu. Ak špeciálna veta o výbere racionálneho koreňa. Všetci s jeho pomocou získaní kandidáti na tento titul sa jednoducho postupne zľava vkladajú do Hornerovej schémy. Akonáhle dostaneme nulu, testované číslo bude koreňom a zároveň dostaneme koeficienty rozšírenia pôvodného polynómu na faktory. Veľmi pohodlne.

Na záver by som rád poznamenal, že pre presné zavedenie Hornerovej schémy, ako aj pre praktické upevnenie témy, musí mať učiteľ matematiky k dispozícii dostatočný počet hodín. Tútor pracujúci v režime „raz za týždeň“ by sa nemal zaoberať delením rohu. Na Jednotnej štátnej skúške z matematiky a na GIA z matematiky je nepravdepodobné, že v prvej časti bude niekedy takto vyriešená rovnica tretieho stupňa. Ak školiteľ pripraví dieťa na skúšku z matematiky na Moskovskej štátnej univerzite, štúdium témy sa stáva povinným. Vysokoškolskí učitelia veľmi radi, na rozdiel od zostavovateľov Jednotnej štátnej skúšky, preverujú hĺbku vedomostí uchádzača.

Kolpakov Alexander Nikolaevič, učiteľ matematiky Moskva, Strogino

Ciele lekcie:

• naučiť žiakov riešiť rovnice vyšších stupňov pomocou Hornerovej schémy;
• rozvíjať schopnosť pracovať vo dvojiciach;
• vytvárať spolu s hlavnými časťami kurzu základ pre rozvoj schopností študentov;
• pomôcť študentovi posúdiť jeho potenciál, rozvíjať záujem o matematiku, schopnosť myslieť, hovoriť na danú tému.

Vybavenie: karty pre prácu v skupinách, plagát s Hornerovou schémou.

Vyučovacia metóda: prednáška, príbeh, výklad, prevedenie tréningových cvičení.

Forma kontroly: overenie problémov samostatného riešenia, samostatná práca.

Počas vyučovania

1. Organizačný moment

2. Aktualizácia vedomostí žiakov

Ktorá veta vám umožňuje určiť, či je číslo koreňom danej rovnice (na sformulovanie vety)?

Bezoutova veta. Zvyšok delenia polynómu P(x) binomom x-c sa rovná P(c), číslo c sa nazýva koreň polynómu P(x), ak P(c)=0. Veta umožňuje bez vykonania operácie delenia určiť, či je dané číslo koreňom polynómu.

Ktoré tvrdenia uľahčujú hľadanie koreňov?

a) Ak je vodiaci koeficient polynómu rovný jednej, potom korene polynómu treba hľadať medzi deliteľmi voľného člena.

b) Ak je súčet koeficientov polynómu 0, potom jeden z koreňov je 1.

c) Ak sa súčet koeficientov na párnych miestach rovná súčtu koeficientov na nepárnych miestach, potom sa jeden z koreňov rovná -1.

d) Ak sú všetky koeficienty kladné, potom korene polynómu sú záporné čísla.

e) Polynóm nepárneho stupňa má aspoň jeden skutočný koreň.

3. Učenie sa nového materiálu

Pri riešení celých algebraických rovníc je potrebné nájsť hodnoty koreňov polynómov. Táto operácia môže byť značne zjednodušená, ak sa výpočty vykonávajú podľa špeciálneho algoritmu nazývaného Hornerova schéma. Táto schéma je pomenovaná po anglickom vedcovi Williamovi Georgeovi Hornerovi. Hornerova schéma je algoritmus na výpočet kvocientu a zvyšku delenia polynómu P(x) x-c. Stručne povedané, ako to funguje.

Nech je daný ľubovoľný polynóm P(x)=a 0 x n + a 1 x n-1 + ...+ a n-1 x+ a n. Delenie tohto polynómu x-c je jeho znázornením v tvare P(x)=(x-c)g(x) + r(x). Súkromné ​​g (x) \u003d pri 0 x n-1 + pri n x n-2 + ... + pri n-2 x + pri n-1, kde pri 0 \u003d a 0, pri n \u003d sv n- 1 + a n, n=1,2,3,...n-1. Zvyšok r (x) \u003d St n-1 + a n. Táto metóda výpočtu sa nazýva Hornerova schéma. Slovo „schéma“ v názve algoritmu je spôsobené tým, že jeho vykonávanie je zvyčajne formalizované nasledovne. Prvý žreb tabuľky 2 (n+2). Do ľavej dolnej bunky sa zapíše číslo c a do horného riadku koeficienty polynómu P (x). V tomto prípade zostane ľavá horná bunka prázdna.

	pri 0 = a 0	v 1 \u003d sv 1 + a 1	v 2 \u003d sv 1 + a 2		v n-1 \u003d sv n-2 +a n-1	r(x)=f(c)=svn-1 +a n

Číslo, ktoré sa po vykonaní algoritmu ukáže ako zapísané v pravej dolnej bunke, je zvyškom po delení polynómu P(x) x-c. Ostatné čísla 0 , 1 , 2 ,... spodného riadku sú koeficienty kvocientu.

Napríklad: Vydeľte polynóm P (x) \u003d x 3 -2x + 3 x-2.

Dostaneme, že x 3 -2x + 3 \u003d (x-2) (x 2 + 2x + 2) + 7.

4. Konsolidácia študovaného materiálu

Príklad 1: Rozlož polynóm P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 s celočíselnými koeficientmi.

Hľadáme celočíselné odmocniny medzi deliteľmi voľného člena -1: 1; - jeden. Urobme si tabuľku:

X \u003d -1 - koreň

P (x) \u003d (x + 1) (2x 3 -9x 2 + 6x -1)

Skontrolujeme 1/2.

					X = 1/2 - koreň

Preto môže byť polynóm P(x) reprezentovaný ako

P (x) \u003d (x + 1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) \u003d (x + 1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)

Príklad 2: Vyriešte rovnicu 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0

Keďže súčet koeficientov polynómu zapísaného na ľavej strane rovnice sa rovná nule, potom jeden z koreňov je 1. Využime Hornerovu schému:

						X = 1 - koreň

Dostaneme P (x) \u003d (x-1) (2x 3 -3x 2 \u003d 2x +2). Budeme hľadať korene medzi deliteľmi voľného termínu 2.

Zistili sme, že už neexistujú celé korene. Skontrolujeme 1/2; -1/2.

					X \u003d -1/2 - koreň

Odpoveď: 1; -1/2.

Príklad 3: Vyriešte rovnicu 5x 4 - 3x 3 - 4x 2 -3x + 5 = 0.

Korene tejto rovnice budeme hľadať medzi deliteľmi voľného člena 5: 1; -1; 5; -5. x=1 je koreň rovnice, keďže súčet koeficientov je nula. Využime Hornerovu schému:

rovnicu reprezentujeme ako súčin troch faktorov: (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) \u003d 0. Riešením kvadratickej rovnice 5x 2 -7x+5=0 sme dostali D=49-100=-51, neexistujú žiadne korene.

Karta 1

1. Faktor polynómu: x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
2. Vyriešte rovnicu: 27x 3 -15x 2 +5x-1=0

karta 2

1. Faktor polynómu: x 4 -x 3 -7x 2 + 13x-6
2. Vyriešte rovnicu: x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0

karta 3

1. Faktorizácia: 2x 3 -21x 2 + 37x + 24
2. Vyriešte rovnicu: x 3 -2x 2 +4x-8=0

karta 4

1. Faktorizácia: 5x 3 -46x 2 + 79x-14
2. Riešte rovnicu: x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0

5. Zhrnutie

Testovanie vedomostí pri riešení vo dvojiciach prebieha na hodine rozpoznaním spôsobu akcie a názvu odpovede.

Domáca úloha:

Riešte rovnice:

a) x 4 -3x 3 +4x 2 -3x + 1 \u003d 0

b) 5x 4 -36x 3 +62x 2 -36x+5=0

c) x 4 + x 3 + x + 1 \u003d 4 x 2

d) x 4 + 2 x 3 -x-2 \u003d 0

Literatúra

1. N.Ya. Vilenkin a kol., Algebra a začiatky analýzy 10. ročník (hĺbkové štúdium matematiky): Osvietenie, 2005.
2. U.I. Sacharčuk, L.S. Sagatelova, Riešenie rovníc vyšších stupňov: Volgograd, 2007.
3. S.B. GashkovČíselné systémy a ich aplikácia.

Atď. má všeobecný charakter a veľký významštudovať CELÝ kurz vyššej matematiky. Dnes si zopakujeme "školské" rovnice, ale nielen tie "školské" - ale tie, ktoré sa nachádzajú všade v rôznych úlohách vysmatu. Ako už býva zvykom, dej pôjde aplikovaným spôsobom, t.j. Nebudem sa venovať definíciám, klasifikáciám, ale podelím sa s vami o moju osobnú skúsenosť s riešením. Informácie sú určené predovšetkým začiatočníkom, ale aj viac pripravených čitateľov si nájde veľa zaujímavých bodov pre seba. A, samozrejme, pribudne nový materiál, ktorý presahuje strednú školu.

Takže rovnica... Mnoho ľudí si toto slovo zapamätá s otrasom. Čo sú to za "vymyslené" rovnice s koreňmi... ...zabudnite na ne! Pretože ďalej stretnete tých najneškodnejších „zástupcov“ tohto druhu. Alebo nudné goniometrické rovnice s desiatkami metód na riešenie. Úprimne povedané, ani sa mi nepáčili... Žiadna panika! - vtedy vás očakávajú hlavne "púpavy" so samozrejmým riešením v 1-2 krokoch. Aj keď sa „lopúch“ samozrejme drží – tu treba byť objektívny.

Napodiv, vo vyššej matematike je oveľa bežnejšie zaoberať sa veľmi primitívnymi rovnicami ako napr lineárne rovnice.

Čo znamená vyriešiť túto rovnicu? To znamená - nájsť TAKÚ hodnotu "x" (koreň), ktorá ho premení na skutočnú rovnosť. Otočme „trojku“ doprava so zmenou znamienka:

a pustite „dvojku“ na pravú stranu (alebo to isté - vynásobte obe časti číslom) :

Pre kontrolu dosadíme získanú trofej do pôvodnej rovnice:

Získa sa správna rovnosť, čo znamená, že nájdená hodnota je skutočne koreňom tejto rovnice. Alebo, ako sa hovorí, spĺňa túto rovnicu.

Všimnite si, že koreň možno zapísať aj ako desatinný zlomok:
A snažte sa nedržať tohto škaredého štýlu! Dôvod som opakoval mnohokrát, najmä hneď na prvej hodine vyššia algebra.

Mimochodom, rovnica sa dá vyriešiť aj „v arabčine“:

A čo je najzaujímavejšie - tento záznam je úplne legálny! Ale ak nie si učiteľ, tak to radšej nerob, lebo originalita sa tu trestá =)

A teraz trochu o

grafická metóda riešenia

Rovnica má tvar a jej koreň je "x" súradnica priesečníky graf lineárnej funkcie s grafom lineárnej funkcie (os úsečky):

Zdalo by sa, že príklad je taký elementárny, že tu už nie je čo analyzovať, ale dá sa z neho „vytlačiť“ ešte jedna neočakávaná nuansa: tú istú rovnicu znázorníme vo forme a nakreslíme grafy funkcií:

pričom prosím nezamieňajte si tieto dve veci: rovnica je rovnica a funkciu je funkcia! Funkcie len pomoc nájsť korene rovnice. Z ktorých môžu byť dve, tri, štyri a dokonca nekonečne veľa. Najbližší príklad v tomto zmysle je známy každému kvadratická rovnica, ktorej algoritmus riešenia bol ocenený samostatnou položkou „horúce“ školské formule. A to nie je náhoda! Ak viete vyriešiť kvadratickú rovnicu a viete Pytagorova veta, potom by sa dalo povedať „podlahu vyššej matematiky už máte vo vrecku“ =) Prehnané, samozrejme, ale nie až tak ďaleko od pravdy!

A preto nie sme príliš leniví a vyriešime nejakú kvadratickú rovnicu podľa štandardný algoritmus:

, takže rovnica má dve rôzne platné koreň:

Je ľahké overiť, že obe nájdené hodnoty skutočne spĺňajú túto rovnicu:

Čo robiť, ak ste náhle zabudli algoritmus riešenia a po ruke nie sú žiadne nástroje / pomocné ruky? Takáto situácia môže nastať napríklad pri teste alebo skúške. Používame grafickú metódu! A existujú dva spôsoby: môžete bodovo stavať parabola , čím sa zistí, kde pretína os (ak sa to vôbec skríži). Je však lepšie konať prefíkanejšie: rovnicu uvádzame vo forme, kreslíme grafy jednoduchších funkcií - a "x" súradnice ich priesečníky, na prvý pohľad!


Ak sa ukáže, že sa priamka dotýka paraboly, potom rovnica má dva zhodné (viacnásobné) korene. Ak sa ukáže, že priamka nepretína parabolu, potom neexistujú žiadne skutočné korene.

K tomu je samozrejme potrebné vedieť stavať grafy elementárnych funkcií, no na druhej strane, tieto schopnosti má v silách aj školák.

A opäť - rovnica je rovnica a funkcie sú funkcie, ktoré len pomohol vyriešiť rovnicu!

A tu, mimochodom, by bolo vhodné pripomenúť ešte jednu vec: ak sú všetky koeficienty rovnice vynásobené nenulovým číslom, potom sa jej korene nezmenia.

Takže napríklad rovnica má rovnaké korene. Ako najjednoduchší „dôkaz“ vyberiem konštantu zo zátvoriek:
a bezbolestne ho odstráňte (obe časti rozdelím na „mínus dve“):

ALE! Ak vezmeme do úvahy funkciu , tak tu je už nemožné zbaviť sa konštanty! Násobiteľ je možné vybrať len zo zátvoriek: .

Mnohí spôsob grafického riešenia podceňujú, považujú ho za niečo „nedôstojné“ a niektorí na túto možnosť dokonca úplne zabúdajú. A to je zásadne nesprávne, pretože sprisahanie niekedy zachráni situáciu!

Ďalší príklad: Predpokladajme, že si nepamätáte korene najjednoduchšej goniometrickej rovnice:. Všeobecný vzorec je v školských učebniciach, vo všetkých príručkách o elementárnej matematike, ale nie sú vám k dispozícii. Riešenie rovnice je však kritické (inak „dva“). Existuje východ! - vytvárame grafy funkcií:


potom si pokojne zapíšeme súradnice "x" ich priesečníkov:

Existuje nekonečne veľa koreňov a ich zložený zápis je akceptovaný v algebre:
, kde ( – množina celých čísel) .

A bez „odchodu od pokladne“ pár slov o grafickej metóde riešenia nerovností s jednou premennou. Princíp je rovnaký. Takže napríklad akékoľvek "x" je riešením nerovnosti, pretože sínusoida leží takmer celá pod priamkou. Riešením nerovnosti je množina intervalov, na ktorých časti sínusoidy ležia presne nad priamkou (úsečka):

alebo v skratke:

A tu je súbor riešení nerovnosti - prázdny, keďže žiadny bod sínusoidy neleží nad priamkou.

Nie je niečo jasné? Naliehavo si preštudujte lekcie o súpravy a funkčné grafy!

Zahriať sa:

Cvičenie 1

Vyriešte graficky nasledujúce trigonometrické rovnice:

Odpovede na konci lekcie

Ako vidíte, na štúdium presných vied nie je vôbec potrebné napchať vzorce a referenčné knihy! Navyše ide o zásadne zlý prístup.

Ako som vás ubezpečil na úplnom začiatku hodiny, zložité goniometrické rovnice v štandardnom kurze vyššej matematiky musíte riešiť veľmi zriedka. Všetka zložitosť sa spravidla končí rovnicami ako , ktorých riešením sú dve skupiny koreňov odvodené z najjednoduchších rovníc a . S riešením druhého sa príliš netrápte - pozrite sa do knihy alebo si to nájdite na internete =)

V menej triviálnych prípadoch môže pomôcť aj grafický spôsob riešenia. Zvážte napríklad nasledujúcu „pestrú“ rovnicu:

Vyhliadky na jej riešenie vyzerajú ... vôbec nevyzerajú, ale stačí rovnicu prezentovať v tvare , zostrojiť funkčné grafy a všetko bude neuveriteľne jednoduché. Kresba je v strede článku o nekonečne malé funkcie (otvorí sa na ďalšej karte).

Pomocou rovnakej grafickej metódy môžete zistiť, že rovnica už má dva korene a jeden z nich sa rovná nule a druhý, zdá sa, iracionálny a patrí do segmentu . Tento koreň možno vypočítať približne napr. tangentová metóda. Mimochodom, pri niektorých úlohách sa stáva, že nie je potrebné nájsť korene, ale zistiť či vôbec existujú. A aj tu môže pomôcť kresba – ak sa grafy nepretínajú, tak tam nie sú korene.

Racionálne korene polynómov s celočíselnými koeficientmi.
Hornerova schéma

A teraz vám navrhujem obrátiť oči do stredoveku a pocítiť jedinečnú atmosféru klasickej algebry. Pre lepšie pochopenie látky odporúčam aspoň malé zoznámenie sa s komplexné čísla.

Oni sú najviac. Polynómy.

Objektom nášho záujmu budú najčastejšie polynómy tvaru s celý koeficienty . Prirodzené číslo sa volá polynomický stupeň, číslo - koeficient na najvyššom stupni (alebo len najvyšší koeficient), a koeficient je voľný člen.

Tento polynóm označím zložený .

Polynomické korene nazývané korene rovnice

Milujem železnú logiku =)

Pre príklady ideme na úplný začiatok článku:

S hľadaním koreňov polynómov 1. a 2. stupňa nie sú žiadne problémy, ale s pribúdajúcimi úlohami je táto úloha čoraz ťažšia. Ale na druhej strane je všetko zaujímavejšie! A práve tomu bude venovaná druhá časť lekcie.

Najprv doslova pol obrazovky teórie:

1) Podľa dôsledkov základná veta algebry, stupeň polynóm má presne integrovaný korene. Niektoré korene (alebo dokonca všetky) môžu byť konkrétne platné. Okrem toho medzi skutočnými koreňmi môžu byť rovnaké (viaceré) korene (minimálne dva, maximálne kusy).

Ak je nejaké komplexné číslo koreňom polynómu, potom konjugovať jeho číslo je tiež nevyhnutne koreňom tohto polynómu (korene konjugovaného komplexu majú tvar ).

Najjednoduchším príkladom je kvadratická rovnica, s ktorou sme sa prvýkrát stretli v 8 (Páči sa mi to) triedy, a ktoré sme nakoniec v téme „dopracovali“. komplexné čísla. Pripomínam vám: kvadratická rovnica má buď dva rôzne skutočné korene, alebo viaceré korene, alebo konjugované komplexné korene.

2) Od Bezoutove vety z toho vyplýva, že ak je číslo koreňom rovnice, príslušný polynóm možno faktorizovať:
, kde je polynóm stupňa .

A opäť náš starý príklad: keďže je koreňom rovnice , potom . Potom je ľahké získať známy "školský" rozklad.

Dôsledok Bezoutovej vety má veľkú praktickú hodnotu: ak poznáme koreň rovnice 3. stupňa, môžeme ho znázorniť v tvare a z kvadratickej rovnice je ľahké zistiť zostávajúce korene. Ak poznáme koreň rovnice 4. stupňa, potom je možné ľavú stranu rozšíriť na súčin atď.

A tu sú dve otázky:

Otázka jedna. Ako nájsť tento koreň? Najprv si definujme jeho povahu: v mnohých problémoch vyššej matematiky sa vyžaduje nájsť racionálny, najmä celý korene polynómov a v tomto smere nás ďalej budú zaujímať hlavne tie .... ...sú také dobré, také nadýchané, že ich jednoducho chcete nájsť! =)

Prvá vec, ktorá sa navrhuje, je metóda výberu. Zoberme si napríklad rovnicu . Háčik je tu vo voľnom termíne - ak by sa rovnal nule, všetko by bolo v prelamovaní - "x" dáme von zo zátvoriek a samotné korene "vypadnú" na povrch:

Ale náš voľný člen sa rovná „trom“, a preto začneme do rovnice dosadzovať rôzne čísla, ktoré tvrdia, že sa nazývajú „koreň“. V prvom rade sa navrhuje nahradenie jednotlivých hodnôt. Náhradník:

Prijaté nesprávne rovnosť, teda jednotka „nesadla“. Dobre, vložíme to:

Prijaté správne rovnosť! To znamená, že hodnota je koreňom tejto rovnice.

Na nájdenie koreňov polynómu 3. stupňa existuje analytická metóda (takzvané Cardanoove vzorce), no nás teraz zaujíma trochu iný problém.

Keďže - je koreňom nášho polynómu, potom môže byť polynóm reprezentovaný v tvare a vzniká Druhá otázka: ako nájsť „mladšieho brata“?

Najjednoduchšie algebraické úvahy naznačujú, že na to musíte deliť. Ako rozdeliť polynóm polynómom? Rovnaká školská metóda, ktorá delí obyčajné čísla – „stĺpec“! Túto metódu som podrobne rozobral v prvých príkladoch lekcie. Komplexné limity, a teraz zvážime ďalšiu metódu, ktorá sa nazýva Hornerova schéma.

Najprv napíšeme „starší“ polynóm so všetkými vrátane nulových koeficientov:
, po ktorom zadáme tieto koeficienty (presne v poradí) do horného riadku tabuľky:

Naľavo píšeme koreň:

Okamžite urobím rezerváciu, že Hornerova schéma funguje aj v prípade „červeného“ čísla nie je koreňom polynómu. Neunáhlime sa však.

Zhora vezmeme seniorský koeficient:

Proces vypĺňania spodných buniek trochu pripomína vyšívanie, kde „mínus jedna“ je druh „ihly“, ktorá preniká do nasledujúcich krokov. "Zbúrané" číslo vynásobíme (-1) a k produktu pridáme číslo z hornej bunky:

Nájdenú hodnotu vynásobíme „červenou ihlou“ a k produktu pridáme nasledujúci koeficient rovnice:

A nakoniec sa výsledná hodnota opäť „spracuje“ s „ihlou“ a horným koeficientom:

Nula v poslednej bunke nám hovorí, že sa polynóm rozdelil na bez stopy (ako má byť), pričom koeficienty expanzie sú „odstránené“ priamo zo spodného riadku tabuľky:

Prešli sme teda od rovnice k ekvivalentnej rovnici a s dvoma zostávajúcimi koreňmi je všetko jasné (v tento prípad získajú sa korene konjugovaného komplexu).

Rovnica, mimochodom, sa dá vyriešiť aj graficky: stavať "zips" a uvidíte, že graf pretína os x () v bode . Alebo rovnaký "prefíkaný" trik - prepíšeme rovnicu do tvaru , nakreslíme elementárne grafy a zistíme súradnicu "X" ich priesečníka.

Mimochodom, graf ľubovoľnej polynómovej funkcie 3. stupňa pretína os aspoň raz, čo znamená, že zodpovedajúca rovnica má najmenej jeden platné koreň. Táto skutočnosť platí pre akúkoľvek polynómovú funkciu nepárneho stupňa.

A tu sa chcem tiež zastaviť dôležitý bodčo sa týka terminológie: polynóm a polynomiálna funkcia – nie je to to isté! V praxi sa však často hovorí napríklad o „polynomickom grafe“, ktorý je, samozrejme, nedbanlivý.

Ale vráťme sa k Hornerovej schéme. Ako som nedávno spomenul, táto schéma funguje aj pre iné čísla, ale ak číslo nie je koreň rovnice, potom sa v našom vzorci objaví nenulová prísada (zvyšok):

„Neúspešnú“ hodnotu „zajazdíme“ podľa Hornerovej schémy. Zároveň je vhodné použiť rovnakú tabuľku - vľavo zapíšeme novú „ihlu“, zhora zničíme najvyšší koeficient (zelená šípka doľava) a ideme preč:

Pre kontrolu otvárame zátvorky a dávame podobné výrazy:
, OK.

Je ľahké vidieť, že zvyšok („šesť“) je presne hodnota polynómu v . A v skutočnosti - čo to je:
a ešte krajšie - takto:

Z vyššie uvedených výpočtov je ľahké pochopiť, že Hornerova schéma umožňuje nielen faktorizovať polynóm, ale aj vykonať „civilizovaný“ výber koreňa. Navrhujem, aby ste nezávisle opravili výpočtový algoritmus malou úlohou:

Úloha 2

Pomocou Hornerovej schémy nájdite celý koreň rovnice a rozkladajte príslušný polynóm na faktor

Inými slovami, tu musíte postupne kontrolovať čísla 1, -1, 2, -2, ... -, kým sa v poslednom stĺpci „nevykreslí“ nulový zvyšok. To bude znamenať, že "ihla" tejto čiary je koreňom polynómu

Výpočty sú pohodlne usporiadané v jednej tabuľke. Podrobné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Metóda výberu koreňov je dobrá pre relatívne jednoduché prípady, ale ak sú koeficienty a / alebo stupeň polynómu veľké, proces sa môže oneskoriť. Alebo možno niektoré hodnoty z toho istého zoznamu 1, -1, 2, -2 a nemá zmysel uvažovať? A okrem toho sa korene môžu ukázať ako zlomkové, čo povedie k úplne nevedeckému popichovaniu.

Našťastie existujú dve silné vety, ktoré môžu výrazne znížiť počet „kandidátskych“ hodnôt pre racionálne korene:

Veta 1 Zvážte neredukovateľné zlomok , kde . Ak je číslo koreňom rovnice, potom je voľný člen deliteľný a vodiaci koeficient je deliteľný číslom.

Najmä, ak je vodiaci koeficient , potom tento racionálny koreň je celé číslo:

A začneme využívať vetu práve z tohto chutného konkrétneho:

Vráťme sa k rovnici. Keďže jeho vodiaci koeficient je , hypotetické racionálne korene môžu byť výlučne celé číslo a voľný člen musí byť týmito koreňmi bezo zvyšku deliteľný. A "trojku" možno rozdeliť len na 1, -1, 3 a -3. To znamená, že máme len 4 "kandidátov na korene." A podľa Veta 1, iné racionálne čísla nemôžu byť PRINCÍPY koreňmi tejto rovnice.

V rovnici je o niečo viac „žiadateľov“: voľný termín je rozdelený na 1, -1, 2, -2, 4 a -4.

Upozorňujeme, že čísla 1, -1 sú "bežné" v zozname možných koreňov (zrejmý dôsledok vety) a najlepšia voľba pre prvú kontrolu.

Prejdime k zmysluplnejším príkladom:

Úloha 3

rozhodnutie: keďže vodiaci koeficient , potom môžu byť hypotetické racionálne korene iba celé čísla, pričom musia byť deliteľmi voľného člena. "Mínus štyridsať" je rozdelené do nasledujúcich dvojíc čísel:
- spolu 16 "kandidátov".

A tu sa okamžite objaví lákavá myšlienka: je možné odstrániť všetky negatívne alebo všetky pozitívne korene? V niektorých prípadoch môžete! Sformulujem dva znaky:

1) Ak všetky Ak sú koeficienty polynómu nezáporné, potom nemôže mať kladné korene. Žiaľ, toto nie je náš prípad (Teraz, ak by sme dostali rovnicu - potom áno, keď je akákoľvek hodnota polynómu striktne kladná, čo znamená, že všetky kladné čísla (a aj iracionálne) nemôžu byť koreňmi rovnice.

2) Ak sú koeficienty pre nepárne mocniny nezáporné a pre všetky párne mocniny (vrátane bezplatného člena) sú záporné, potom polynóm nemôže mať záporné korene. Toto je náš prípad! Pri bližšom pohľade môžete vidieť, že keď sa do rovnice nahradí akékoľvek záporné „x“, ľavá strana bude striktne záporná, čo znamená, že záporné korene zmiznú.

Na výskum teda zostáva 8 čísel:

Dôsledne ich „nabíjajte“ podľa Hornerovej schémy. Dúfam, že ste už zvládli mentálne výpočty:

Pri testovaní „dvojky“ nás čakalo šťastie. Je teda koreňom uvažovanej rovnice a

Zostáva preskúmať rovnicu . Je ľahké to urobiť pomocou diskriminantu, ale rovnakým spôsobom vykonám exponenciálny test. Najprv si všimnite, že voľný termín sa rovná 20, čo znamená, že podľa Veta 1čísla 8 a 40 vypadnú zo zoznamu možných koreňov a hodnoty zostávajú na výskum (jeden bol eliminovaný podľa Hornerovej schémy).

Koeficienty trojčlenky zapíšeme do horného riadku novej tabuľky a začneme kontrolovať s rovnakými "dvojkami". prečo? A pretože korene môžu byť násobky, prosím: - táto rovnica má 10 rovnakých koreňov. Ale neodbočujme:

A tu som bol, samozrejme, trochu prefíkaný, vediac, že ​​korene sú racionálne. Ak by totiž boli iracionálne alebo komplexné, tak by som mal neúspešnú kontrolu všetkých zvyšných čísel. Preto sa v praxi riaďte diskriminantom.

Odpoveď: racionálne korene: 2, 4, 5

V analyzovanom probléme sme mali šťastie, pretože: a) záporné hodnoty okamžite klesli a b) koreň sme našli veľmi rýchlo (a teoreticky sme mohli skontrolovať celý zoznam).

V skutočnosti je však situácia oveľa horšia. Pozývam vás sledovať vzrušujúcu hru s názvom „Posledný hrdina“:

Úloha 4

Nájdite racionálne korene rovnice

rozhodnutie: zapnuté Veta 1Čitatelia hypotetických racionálnych koreňov musia spĺňať podmienku (čítaj „dvanásť je deliteľných pivom“) a menovateľov podmienky . Na základe toho dostaneme dva zoznamy:

"zoznam el":
a "uveďte ich": (našťastie, tu sú čísla prirodzené).

Teraz si urobme zoznam všetkých možných koreňov. Najprv rozdelíme „zoznam piva“ podľa . Je úplne jasné, že dopadnú rovnaké čísla. Pre pohodlie si ich dajme do tabuľky:

Mnohé zlomky boli znížené, výsledkom čoho sú hodnoty, ktoré sú už v „zozname hrdinov“. Pridávame len „nováčikov“:

Podobne rozdeľujeme rovnaký „zoznam piva“ podľa:

a nakoniec ďalej

Tím účastníkov našej hry je teda obsadený:


Bohužiaľ, polynóm tohto problému nespĺňa „kladné“ alebo „negatívne“ kritérium, a preto nemôžeme zahodiť horný alebo dolný riadok. Musíte pracovať so všetkými číslami.

Aká je tvoja nálada? No tak, otočte nos - existuje ďalšia veta, ktorú možno obrazne nazvať „zabijácka veta“ .... ... "kandidáti", samozrejme =)

Najprv však musíte prejsť Hornerovým diagramom aspoň na jeden celáčísla. Tradične berieme jeden. V hornom riadku napíšeme koeficienty polynómu a všetko je ako obvykle:

Keďže štyri zjavne nie je nula, hodnota nie je koreňom príslušného polynómu. Ale ona nám veľmi pomôže.

Veta 2 Ak pre niektorých všeobecne hodnota polynómu je nenulová: , potom jeho racionálne korene (ak sú) splniť podmienku

V našom prípade a teda všetky možné korene musia spĺňať podmienku (nazvime to podmienka #1). Táto štvorica bude „zabijakom“ mnohých „kandidátov“. Ako ukážku sa pozriem na niekoľko kontrol:

Preverme kandidáta. Aby sme to dosiahli, umelo ho reprezentujeme ako zlomok , z čoho je jasne vidieť, že . Vypočítajme kontrolný rozdiel: . Štyri sú delené "mínus dva": čo znamená, že možný koreň prešiel testom.

Skontrolujeme hodnotu. Tu je rozdiel v teste: . Samozrejme, a preto v zozname zostáva aj druhý „testovaný subjekt“.