Isaalang-alang ang axial at central symmetries bilang mga katangian ng ilang geometric figure; Isaalang-alang ang axial at central symmetries bilang mga katangian ng ilang geometric figure; Magagawang bumuo ng mga simetriko na puntos at makilala ang mga figure na simetriko tungkol sa isang punto o isang linya; Magagawang bumuo ng mga simetriko na puntos at makilala ang mga figure na simetriko tungkol sa isang punto o isang linya; Pagpapabuti ng mga kasanayan sa paglutas ng problema; Pagpapabuti ng mga kasanayan sa paglutas ng problema; Ipagpatuloy ang trabaho sa katumpakan ng pag-record at pagsasagawa ng geometric na pagguhit; Ipagpatuloy ang trabaho sa katumpakan ng pag-record at pagsasagawa ng geometric na pagguhit;

Oral na gawain "Magiliw na poll" Oral na gawain "Magiliw na poll" Anong punto ang tinatawag na midpoint ng segment? Aling tatsulok ang tinatawag na isosceles triangle? Anong katangian mayroon ang mga diagonal ng isang rhombus? Bumuo ng katangian ng bisector ng isang isosceles triangle. Aling mga linya ang tinatawag na patayo? Ano ang isang equilateral triangle? Anong katangian mayroon ang mga dayagonal ng isang parisukat? Anong mga numero ang tinatawag na pantay?

Anong mga bagong konsepto ang natutunan mo sa klase? Anong mga bagong konsepto ang natutunan mo sa klase? Ano ang natutunan mo tungkol sa mga geometric na hugis? Ano ang natutunan mo tungkol sa mga geometric na hugis? Magbigay ng mga halimbawa ng geometric figure na may axial symmetry. Magbigay ng mga halimbawa ng geometric figure na may axial symmetry. Magbigay ng halimbawa ng mga figure na may gitnang simetriya. Magbigay ng halimbawa ng mga figure na may gitnang simetriya. Magbigay ng mga halimbawa ng mga bagay mula sa nakapaligid na buhay na may isa o dalawang uri ng simetriya. Magbigay ng mga halimbawa ng mga bagay mula sa nakapaligid na buhay na may isa o dalawang uri ng simetriya.

"Point of symmetry" - Symmetry sa arkitektura. Mga halimbawa ng simetrya ng mga figure ng eroplano. Ang dalawang puntos na A at A1 ay tinatawag na simetriko na may kinalaman sa O kung ang O ay ang midpoint ng segment na AA1. Ang mga halimbawa ng mga figure na may central symmetry ay ang bilog at ang paralelogram. Ang punto C ay tinatawag na sentro ng simetrya. Symmetry sa agham at teknolohiya.

"Pagbuo ng mga geometric na hugis" - Pang-edukasyon na aspeto. Kontrol at pagwawasto ng asimilasyon. Ang pag-aaral ng teorya kung saan nakabatay ang pamamaraan. Sa stereometry - hindi mahigpit na mga konstruksyon. stereometric na mga konstruksyon. algebraic na pamamaraan. Paraan ng pagbabagong-anyo (pagkakatulad, simetrya, parallel na pagsasalin, atbp.). Halimbawa: tuwid; angle bisector; median na patayo.

"Human Figure" - Ang hugis at paggalaw ng katawan ng tao ay higit na tinutukoy ng balangkas. Patas na may pagtatanghal sa teatro. Sa tingin mo ba may trabaho para sa isang artista sa isang sirko? Ang balangkas ay gumaganap ng papel ng isang frame sa istraktura ng pigura. Pangunahing Katawan (tiyan, dibdib) Hindi pinansin Ulo, mukha, kamay. A. Mathis. Mga proporsyon. Sinaunang Greece.

"Simetrya tungkol sa isang linya" - Ang simetrya tungkol sa isang linya ay tinatawag na axial symmetry. Ang tuwid na linya a ay ang axis ng simetrya. Symmetry tungkol sa isang tuwid na linya. Bulavin Pavel, 9B class. Ilang axes ng symmetry mayroon ang bawat figure? Ang isang figure ay maaaring magkaroon ng isa o higit pang mga axes ng symmetry. sentral na simetrya. Equosceles trapezoid. Parihaba.

"Mga parisukat ng mga figure geometry" - Pythagorean theorem. Mga lugar ng iba't ibang figure. Sagutan ang puzzle. Ang mga figure na may pantay na mga lugar ay tinatawag na pantay na mga lugar. Mga yunit ng lugar. Lugar ng isang tatsulok. Parihaba, tatsulok, paralelogram. square centimeter. Mga figure ng pantay na lugar. Pantay na mga numero b). square millimeter. sa). Ano ang magiging lugar ng figure na binubuo ng figure A at D.

"Limit ng isang function sa isang punto" - Pagkatapos sa kasong ito. Kapag nagsusumikap. Limitasyon ng isang function sa isang punto. Tuloy-tuloy sa isang punto. Katumbas ng halaga ng function sa. Ngunit kapag kinakalkula ang limitasyon ng pag-andar sa. Katumbas ng halaga. Pagpapahayag. Hangad. O maaari mong sabihin ito: sa isang sapat na maliit na kapitbahayan ng punto. Pinagsama-sama mula sa. Desisyon. Tuloy-tuloy sa pagitan. Sa gitna.

Homothety at pagkakatulad.Homothety - isang pagbabago kung saan ang bawat punto M (eroplano o espasyo) ay itinalaga ng isang punto M", nakahiga sa OM (Larawan 5.16), at ang ratio OM":OM= λ pareho para sa lahat ng puntos maliban sa O. nakapirming punto O ay tinatawag na homothety center. Saloobin OM": OM itinuturing na positibo kung M" at M humiga sa isang tabi ng O, negatibo - sa magkabilang panig. Numero X ay tinatawag na homothety coefficient. Sa X< 0 homothety ay tinatawag na kabaligtaran. Saλ = - Ang 1 homothety ay nagiging isang symmetry transformation tungkol sa isang punto O. Sa homothety, ang isang tuwid na linya ay pumasa sa isang tuwid na linya, ang mga parallel na linya at eroplano ay napanatili, ang mga anggulo (linear at dihedral) ay napanatili, ang bawat figure ay pumasa dito katulad (Larawan 5.17).

Totoo rin ang kabaligtaran. Ang isang homothety ay maaaring tukuyin bilang isang affine transformation kung saan ang mga linya na nagkokonekta sa mga kaukulang punto ay dumadaan sa isang punto - ang sentro ng homothety. Ang homothety ay ginagamit upang palakihin ang mga imahe (projection lamp, sinehan).

Central at mirror symmetry.Symmetry (sa malawak na kahulugan) - isang pag-aari ng isang geometric figure Ф, na nagpapakilala sa isang tiyak na kawastuhan ng hugis nito, ang invariance nito sa ilalim ng pagkilos ng mga paggalaw at pagmuni-muni. Ang figure na Ф ay may simetriko (symmetric) kung may mga hindi magkaparehong orthogonal na pagbabagong-anyo na kinuha ang figure na ito sa sarili nito. Ang hanay ng lahat ng mga pagbabagong orthogonal na pinagsama ang figure Ф sa sarili nito ay ang pangkat ng figure na ito. Kaya, isang flat figure (Larawan 5.18) na may isang tuldok M, nagbabago-

Xia sa sarili mo na may salamin pagmuni-muni, simetriko tungkol sa tuwid - axis AB. Dito ang pangkat ng simetrya ay binubuo ng dalawang elemento - ang punto M pinalitan sa M".

Kung ang figure Ф sa eroplano ay tulad na umiikot tungkol sa ilang mga punto O sa pamamagitan ng isang anggulo ng 360°/n, kung saan ang n > 2 ay isang integer, ibahin ito sa sarili nito, pagkatapos ang figure na Ф ay may n-th order symmetry na may kinalaman sa punto O - sentro ng simetrya. Ang isang halimbawa ng naturang mga figure ay ang mga regular na polygon, halimbawa, hugis-bituin (Larawan 5.19), na may ikawalong order na simetrya tungkol sa gitna nito. Ang pangkat ng symmetry dito ay ang tinatawag na pangkat na paikot ng n-th order. Ang bilog ay may simetrya ng walang katapusang pagkakasunud-sunod (dahil ito ay pinagsama sa sarili nito sa pamamagitan ng pagliko sa anumang anggulo).

Ang pinakasimpleng uri ng spatial symmetry ay central symmetry (inversion). Sa kasong ito, na may paggalang sa punto O ang figure Ф ay pinagsama sa sarili nito pagkatapos ng sunud-sunod na pagmuni-muni mula sa tatlong magkaparehong patayo na eroplano, ibig sabihin, ang punto O - ang gitna ng segment na nagkokonekta sa mga simetriko na punto F. Kaya, para sa kubo (Larawan 5.20) ang punto O ay ang sentro ng simetrya. puntos M at M" cube

SYMMETRY NG SPATIAL FIGURE

Ayon sa tanyag na German mathematician na si G. Weyl (1885-1955), "ang simetrya ay ang ideya kung saan ang tao ay nagsisikap sa loob ng maraming siglo upang maunawaan at lumikha ng kaayusan, kagandahan at pagiging perpekto."
Ang magagandang larawan ng simetrya ay ipinakita ng mga gawa ng sining: arkitektura, pagpipinta, iskultura, atbp.
Ang konsepto ng simetrya ng mga figure sa eroplano ay isinasaalang-alang sa kurso ng planimetry. Sa partikular, tinukoy ang mga konsepto ng sentral at axial symmetry. Para sa mga spatial figure, ang konsepto ng simetrya ay tinukoy sa katulad na paraan.
Isaalang-alang muna ang sentral na simetrya.
simetriko tungkol sa isang punto Oh, tinawag sentro ng simetrya, kung ang O ay ang midpoint ng segment na AA". Ang puntong O ay itinuturing na simetriko sa sarili nito.
Ang pagbabagong-anyo ng espasyo kung saan ang bawat punto A ay nauugnay sa isang punto A simetriko dito (na may kinalaman sa isang ibinigay na punto O) ay tinatawag sentral na simetrya. Ang puntong O ay tinatawag sentro ng simetrya.
Ang dalawang figure F at F" ay tinatawag sentral na simetriko, kung mayroong pagbabagong simetrya na magdadala sa isa sa kanila sa isa pa.
Ang Figure F ay tinatawag sentral na simetriko kung ito ay sentral na simetriko sa sarili nito.
Halimbawa, ang isang kahon ay sentral na simetriko tungkol sa intersection point ng mga diagonal nito. Ang bola at globo ay sentral na simetriko sa kanilang mga sentro.
Sa regular na polyhedra, ang cube, octahedron, icosahedron, at dodecahedron ay sentral na simetriko. Ang tetrahedron ay hindi isang sentral na simetriko na pigura.
Isaalang-alang ang ilang mga katangian ng central symmetry.
Ari-arian 1. Kung O 1 , O 2 ay ang mga sentro ng simetrya ng figure Ф, pagkatapos ay ang punto O 3 simetriko sa O 1 na may paggalang sa O 2 ay din ang sentro ng simetrya ng figure na ito.
Patunay. Hayaang ang A ay isang punto sa espasyo, A 2 ay isang puntong simetriko dito na may paggalang sa O 2 , A 1 – puntong simetriko sa A 2 na may kaugnayan sa O 1 at A 3 - simetriko punto A 1 na may kaugnayan sa O 2 (Larawan 1).

Pagkatapos ay ang mga tatsulok O 2 O 1 A 1 at O ​​2 O 3 A 3, O 2 O 1 A 2 at O ​​2 O 3 A ay pantay. Samakatuwid, ang A at A 3 ay simetriko na may paggalang sa O 3 . Kaya ang simetrya na may paggalang sa O 3 ay isang komposisyon ng mga simetriko na may paggalang sa O 2 , O 1 at O ​​2 . Dahil dito, sa simetrya na ito, ang figure Ф ay nagbabago sa sarili nito, i.e. O 3 ay ang sentro ng simetrya ng F.

Bunga.Anumang figure ay maaaring walang sentro ng simetrya, o may isang sentro ng simetriya, o may walang katapusang bilang ng mga sentro ng simetrya

Sa katunayan, kung O 1 , O 2 ay ang mga sentro ng simetrya ng figure Ф, pagkatapos ay ang punto O 3 simetriko sa O 1 na may paggalang sa O 2 ay din ang sentro ng simetrya ng figure na ito. Katulad nito, ang punto O 4 simetriko O 2 na may paggalang sa O 3 ay din ang sentro ng mahusay na proporsyon ng figure Ф, atbp. Kaya, sa kasong ito ang figure Ф ay walang hanggan maraming mga sentro ng mahusay na proporsyon.

Isaalang-alang ngayon ang konsepto axial symmetry.
Ang mga punto A at A" ng espasyo ay tinatawag simetriko tungkol sa isang tuwid na linya a tinawag axis ng simetrya kung tuwid a dumadaan sa midpoint ng segment na AA "at patayo sa segment na ito. Bawat punto ng linya a itinuturing na simetriko sa sarili nito.
Isang pagbabagong-anyo ng espasyo kung saan ang bawat punto A ay nauugnay sa isang puntong A simetriko dito (na may kinalaman sa isang partikular na linya a), ay tinatawag na axial symmetry. Diretso a ito ay tinatawag na axis ng simetrya.
Ang dalawang pigura ay tinatawag simetriko tungkol sa isang tuwid na linya a kung ang pagbabago ng simetrya tungkol sa linyang ito ay dadalhin ang isa sa kanila sa isa pa.
Ang figure Ф sa espasyo ay tinatawag simetriko tungkol sa isang tuwid na linya a kung ito ay simetriko sa sarili nito.
Halimbawa, ang isang cuboid ay simetriko tungkol sa isang tuwid na linya na dumadaan sa mga sentro ng magkasalungat na mukha. Ang isang kanang pabilog na silindro ay simetriko tungkol sa axis nito, ang isang bola at isang globo ay simetriko tungkol sa anumang mga tuwid na linya na dumadaan sa kanilang mga sentro, atbp.
Ang kubo ay may tatlong palakol ng mahusay na proporsyon na dumadaan sa mga sentro ng magkasalungat na mukha at anim na palakol ng mahusay na proporsyon na dumadaan sa mga gitnang punto ng magkasalungat na mga gilid.
Ang isang tetrahedron ay may tatlong axes ng symmetry na dumadaan sa mga midpoint ng magkasalungat na gilid.
Ang octahedron ay may tatlong axes ng symmetry na dumadaan sa magkasalungat na vertices at anim na axes ng symmetry na dumadaan sa mga midpoint ng magkasalungat na gilid.
Ang icosahedron at dodecahedron bawat isa ay may labinlimang axes ng simetriya na dumadaan sa mga midpoint ng magkasalungat na gilid.
Ari-arian 3. Kung anga 1 , a 2 - ang axis ng symmetry ng figure Ф, pagkatapos ay ang tuwid na linyaa 3, simetriko a 1 medyo a 2 ay din ang axis ng simetrya ng figure na ito.

Ang patunay ay katulad ng patunay ng Property 1.

Ari-arian 4.Kung ang dalawang intersecting na patayong linya sa espasyo ay ang mga axes ng symmetry ng ibinigay na figure Ф, kung gayon ang linya na dumadaan sa intersection point at patayo sa eroplano ng mga linyang ito ay magiging axis ng symmetry ng figure Ф.
Patunay. Isaalang-alang ang coordinate axes O x,O y,O z. Symmetry sa paligid ng O axis x x, y, z) hanggang sa punto ng figure Ф na may mga coordinate ( x, -y, -z). Katulad nito, simetrya tungkol sa O axis y isinasalin ang punto ng figure Ф na may mga coordinate ( x, –y, –z) sa isang punto ng figure Ф na may mga coordinate (– x, -y, z) . Kaya, ang komposisyon ng mga simetriyang ito ay isinasalin ang punto ng figure Ф na may mga coordinate ( x, y, z) sa isang punto ng figure Ф na may mga coordinate (– x, -y, z). Samakatuwid, ang O axis z ay ang axis ng symmetry ng F.

Bunga.Ang anumang figure sa espasyo ay hindi maaaring magkaroon ng kahit na (hindi-zero) na bilang ng mga symmetry axes.
Sa katunayan, inaayos namin ang ilang axis ng simetrya a. Kung ang b- axis ng mahusay na proporsyon, hindi bumalandra a o intersects ito hindi sa isang tamang anggulo, pagkatapos ay para dito ay may isa pang axis ng mahusay na proporsyon b', simetriko na may paggalang sa a. Kung ang axis ng simetrya b mga krus a sa isang tamang anggulo, pagkatapos ay para dito mayroong isa pang axis ng simetrya b' dumadaan sa punto ng intersection at patayo sa eroplano ng mga linya a at b. Samakatuwid, bilang karagdagan sa axis ng mahusay na proporsyon a alinman sa kahit o isang walang katapusang bilang ng mga axes ng simetriya ay posible. Kaya, imposible ang isang kabuuang kahit (hindi zero) na bilang ng mga symmetry axes.
Bilang karagdagan sa mga axes ng symmetry na tinukoy sa itaas, isinasaalang-alang din namin mga palakol ng simetrya n-ika-utos, n 2 .
Diretso a tinawag axis ng simetrya n-ika-utos figure Ф, kung kapag pinaikot ang figure Ф sa isang tuwid na linya a sa isang anggulo, ang figure Ф ay pinagsama sa sarili nito.

Malinaw na ang 2nd order axis ng symmetry ay simpleng axis ng symmetry.
Halimbawa, sa tama n-angular pyramid, isang tuwid na linya na dumadaan sa tuktok at gitna ng base ay ang axis ng simetrya n-ika-utos.
Alamin natin kung aling mga axes ng symmetry ang may regular na polyhedra.
Ang cube ay may tatlong 4th order axes ng symmetry na dumadaan sa mga sentro ng magkasalungat na mukha, apat na 3rd order axes ng symmetry na dumadaan sa magkatapat na vertices, at anim na 2nd order axes ng symmetry na dumadaan sa mga midpoint ng magkasalungat na gilid.
Ang tetrahedron ay may tatlong axes ng symmetry ng pangalawang order na dumadaan sa mga midpoint ng magkasalungat na gilid.
Ang icosahedron ay may anim na 5th-order axes ng symmetry na dumadaan sa magkabilang vertices; sampung palakol ng simetriya ng ika-3 ayos na dumadaan sa mga sentro ng magkasalungat na mukha at labinlimang palakol ng simetriya ng ika-2 ayos na dumadaan sa mga gitnang punto ng magkasalungat na mga gilid.
Ang dodecahedron ay may anim na 5th-order axes ng simetrya na dumadaan sa mga sentro ng magkasalungat na mukha; sampung axes ng symmetry ng ika-3 order na dumadaan sa magkasalungat na vertices at labinlimang axes ng symmetry ng 2nd order na dumadaan sa mga midpoint ng magkasalungat na gilid.
Isaalang-alang ang konsepto simetrya ng salamin.
Points A at A" sa espasyo ay tinatawag simetriko tungkol sa eroplano, o, sa madaling salita, simetriko ng salamin, kung ang eroplanong ito ay dumaan sa gitnang punto ng segment na AA "at patayo dito. Ang bawat punto ng eroplano ay itinuturing na simetriko sa sarili nito.
Ang pagbabagong-anyo ng espasyo, kung saan ang bawat punto A ay nauugnay sa isang puntong A simetriko dito (na may kinalaman sa ibinigay na eroplano), ay tinatawag simetrya ng salamin. Tinawag ang eroplano eroplano ng simetrya.
Ang dalawang pigura ay tinatawag simetriko ng salamin tungkol sa isang eroplano kung ang isang pagbabagong-anyo ng simetrya na may paggalang sa eroplanong iyon ay magdadala sa isa sa kanila sa isa pa.
Ang figure Ф sa espasyo ay tinatawag simetriko ng salamin kung ito ay mirror simetriko sa sarili nito.
Halimbawa, ang isang cuboid ay mirror-symmetrical na may kinalaman sa isang eroplanong dumadaan sa axis ng symmetry at parallel sa isa sa mga pares ng magkasalungat na mukha. Ang silindro ay mirror-symmetric na may paggalang sa anumang eroplano na dumadaan sa axis nito, atbp.
Kabilang sa mga regular na polyhedra, ang kubo at ang octahedron bawat isa ay may siyam na eroplano ng simetrya. Ang tetrahedron ay may anim na eroplano ng simetrya. Ang icosahedron at dodecahedron bawat isa ay may labinlimang eroplano ng simetriya na dumadaan sa mga pares ng magkasalungat na gilid.
Ari-arian 5. Ang komposisyon ng dalawang mirror symmetries na may kinalaman sa parallel na mga eroplano ay isang parallel na pagsasalin ng isang vector na patayo sa mga eroplanong ito at katumbas ng magnitude sa dalawang beses ang distansya sa pagitan ng mga eroplanong ito.
Bunga. Ang parallel na transportasyon ay maaaring kinakatawan bilang isang komposisyon ng dalawang mirror symmetries.
Ari-arian 6. Ang komposisyon ng dalawang mirror symmetries na may kinalaman sa mga eroplanong nagsasalubong sa isang tuwid na linya ay isang pag-ikot sa paligid ng tuwid na linya na ito ng isang anggulo na katumbas ng dalawang beses ang dihedral na anggulo sa pagitan ng mga eroplanong ito. Sa partikular, ang axial symmetry ay ang komposisyon ng dalawang mirror symmetries tungkol sa mga patayong eroplano.
Bunga. Ang isang pag-ikot ay maaaring isipin bilang isang komposisyon ng dalawang simetrya ng salamin.
Ari-arian 7. Ang sentral na simetrya ay maaaring kinakatawan bilang isang komposisyon ng tatlong mga simetriko ng salamin.
Patunayan natin ang property na ito gamit ang coordinate method. Hayaan ang punto A sa espasyo ay may mga coordinate ( x, y, z). Ang simetrya ng salamin na may paggalang sa eroplano ng coordinate ay nagbabago sa tanda ng kaukulang coordinate. Halimbawa, ang simetrya ng salamin na may paggalang sa eroplano O xy nagsasalin ng isang punto na may mga coordinate ( x, y, z) sa isang puntong may mga coordinate ( x, y, –z). Ang komposisyon ng tatlong mirror symmetry tungkol sa mga coordinate planes ay isinasalin ang punto na may mga coordinate ( x, y, z) sa isang puntong may mga coordinate (– x, -y, -z), na sentral na simetriko sa panimulang punto A.
Ang mga paggalaw na nagsasalin ng figure F sa sarili nito ay bumubuo ng isang pangkat na may paggalang sa komposisyon. Ito ay tinatawag na pangkat ng simetrya mga figure F.
Hanapin natin ang pagkakasunud-sunod ng pangkat ng simetrya ng kubo.
Malinaw na ang anumang paggalaw na kumukuha ng kubo sa kanyang sarili ay iniiwan ang gitna ng kubo sa lugar, inililipat ang mga sentro ng mga mukha sa mga gitna ng mga mukha, ang mga gitnang punto ng mga gilid sa mga gitnang punto ng mga gilid, at ang mga vertice sa ang mga vertex.
Kaya, upang itakda ang paggalaw ng kubo, sapat na upang matukoy kung saan pupunta ang gitna ng mukha, ang gitna ng gilid ng mukha na ito, at ang vertex ng gilid.
Isaalang-alang ang paghahati ng isang kubo sa tetrahedra, ang mga vertice ng bawat isa ay ang gitna ng kubo, ang gitna ng mukha, ang midpoint ng gilid ng mukha na ito, at ang vertex ng gilid. Mayroong 48 na ganoong tetrahedra. Dahil ang paggalaw ay ganap na tinutukoy kung saan sa tetrahedra ang ibinigay na tetrahedron ay ililipat, ang pagkakasunud-sunod ng pangkat ng simetrya ng cube ay magiging 48.
Katulad nito, matatagpuan ang mga order ng symmetry group ng tetrahedron, octahedron, icosahedron, at dodecahedron.
Hanapin ang pangkat ng simetrya ng bilog na yunit S 1 . Ang pangkat na ito ay may kahulugang O(2). Ito ay isang walang katapusang topological na pangkat. Kinakatawan namin ang bilog ng yunit bilang isang pangkat ng mga kumplikadong numero modulo isa. Mayroong natural na epimorphism p:O(2) --> S 1 , na nagtatalaga sa isang elementong u ng pangkat O(2) ng isang elementong u(1) sa S 1 . Ang kernel ng pagmamapa na ito ay ang pangkat Z 2 , na nabuo sa pamamagitan ng simetrya ng bilog ng yunit tungkol sa axis na Ox. Samakatuwid, O(2)/Z 2S1 . Bukod dito, kung ang istraktura ng grupo ay hindi isinasaalang-alang, pagkatapos ay mayroong isang homeomorphism O (2) at ang direktang produkto S 1 at Z 2 .
Katulad nito, ang symmetry group ng two-dimensional sphere S 2 ay tinutukoy ng O(3), at natutugunan nito ang isomorphism O(3)/O(2) S 2 .
Ang mga pangkat ng symmetry ng mga n-dimensional na sphere ay may mahalagang papel sa mga modernong sangay ng topology: ang teorya ng manifolds, ang teorya ng fiber space, atbp.
Ang isa sa mga pinaka-kapansin-pansin na pagpapakita ng simetrya sa kalikasan ay mga kristal. Ang mga katangian ng mga kristal ay tinutukoy ng mga tampok ng kanilang geometric na istraktura, lalo na, sa pamamagitan ng simetriko na pag-aayos ng mga atomo sa kristal na sala-sala. Ang mga panlabas na hugis ng mga kristal ay bunga ng kanilang panloob na simetrya.
Ang una, hindi malinaw na mga pagpapalagay na ang mga atomo sa mga kristal ay nakaayos sa isang regular, regular, simetriko na pagkakasunud-sunod ay ipinahayag sa mga gawa ng iba't ibang mga natural na siyentipiko sa panahon na ang mismong konsepto ng isang atom ay hindi malinaw at walang eksperimentong ebidensya ng atomic na istraktura ng bagay. Ang simetriko na panlabas na hugis ng mga kristal ay hindi sinasadyang iminungkahi na ang panloob na istraktura ng mga kristal ay dapat na simetriko at regular. Ang mga batas ng simetriya ng panlabas na anyo ng mga kristal ay ganap na naitatag noong kalagitnaan ng ika-19 na siglo, at sa pagtatapos ng siglong ito, ang mga batas ng simetriya na namamahala sa mga istrukturang atomiko sa mga kristal ay malinaw at tumpak na natukoy.
Ang nagtatag ng matematikal na teorya ng istraktura ng mga kristal ay isang natitirang Russian mathematician at crystallographer - Evgraf Stepanovich Fedorov (1853-1919). Matematika, kimika, geology, mineralogy, petrography, pagmimina - E.S. Fedorov ay gumawa ng isang makabuluhang kontribusyon sa bawat isa sa mga lugar na ito. Noong 1890, mahigpit niyang hinihinuha ang lahat ng posibleng geometriko na batas para sa kumbinasyon ng mga elemento ng simetrya sa mga istrukturang kristal, sa madaling salita, ang simetrya ng pag-aayos ng mga particle sa loob ng mga kristal. Limitado pala ang bilang ng mga naturang batas. Ipinakita ni Fedorov na mayroong 230 mga grupo ng simetrya sa espasyo, na kalaunan, bilang parangal sa siyentipiko, ay pinangalanang Fedorov's. Ito ay isang napakalaking gawain na isinagawa 10 taon bago ang pagtuklas ng X-ray, 27 taon bago nila napatunayan ang pagkakaroon ng crystal lattice mismo. Ang pagkakaroon ng 230 grupo ng Fedorov ay isa sa pinakamahalagang geometriko na batas ng modernong istrukturang crystallography. "Ang napakalaking pang-agham na gawa ni E.S. Fedorov, na pinamamahalaang magdala ng lahat ng natural na "kaguluhan" ng hindi mabilang na mga kristal na pormasyon sa ilalim ng isang geometric na pamamaraan, ay pumukaw pa rin ng paghanga. Ang pagtuklas na ito ay katulad ng pagtuklas ng periodic table ng D.I. Mendeleev. " Ang kaharian ng mga kristal "ay isang hindi matitinag na monumento at ang pinakasukdulan ng klasikal na Fedorov crystallography," sabi ng Academician A.V. Shubnikov.

Panitikan
1. Hadamard J. Elementarya geometry. Bahagi II. Stereometry. - 3rd ed. – M.: Uchpedgiz, 1958.
2. Weil G. Symmetry. – M.: Nauka, 1968.
3. Wigner E. Etudes sa simetrya. – M.: Mir, 1971.
4. Gardner M. Itong kanan, kaliwang mundo. – M.: Mir, 1967.
5. Gilde V. Mirror world. – M.: Mir, 1982.
6. Kompaneets A.S. Symmetry sa micro- at macroworld. – M.: Nauka, 1978.
7. Paramonova I.M. Symmetry sa matematika. – M.: MTsNMO, 2000.
8. Perepelkin D.I. Kurso ng elementarya na geometry. Bahagi II. Geometry sa kalawakan. - M.-L.: State ed. teknikal-teoretikal Panitikan, 1949.
9. Sonin A.S. Pag-unawa sa pagiging perpekto (symmetry, asymmetry, dissymmetry, antisymmetry). – M.: Kaalaman, 1987.
10. Tarasov L.V. Ang kamangha-manghang simetriko na mundo. – M.: Enlightenment, 1982.
11. Mga pattern ng simetrya. – M.: Mir, 1980.
12. Shafranovsky I.I. Symmetry sa kalikasan. - 2nd ed. – L.; 1985.
13. Shubnikov A.V., Koptsik V.A. Symmetry sa agham at sining. – M.: Nauka, 1972.