Sa pagtukoy sa mga pangunahing equation ng kaugalian ng mga oscillation, mapapansin natin na kapag pinarami natin ang mga ito sa - = k 2, maglalaman sila ng mga termino, kung saan ang isa ay may coefficient squared sa bilis. At transverse vibrations, iba pa - ang parisukat ng bilis pahaba pagbabagu-bago.
Ang mga unang termino sa kaso ng mga longitudinal oscillations ay dapat mawala sa mga equation, at makuha natin ang unang grupo:
Dahil ang surface p ay, ayon sa ating pinili, ang ibabaw ng isang alon, sa mga equation ng § 7 kailangan nating panatilihin ang isang oscillation R at katumbas ng zero oscillations /?! At R.2, nagaganap sa isang eroplanong padaplis sa alon. Bilang resulta, nakita namin, ang setting // =1:
Dahil A = 0, ang mga equation (1) ay magkakaroon ng anyo:
Ang pag-multiply ng una sa mga equation (2) sa //i // 2 , pag-iiba nang may kinalaman sa p at pagbibigay-pansin sa equation (4), makikita natin:
Ano ayon sa mga equation (2), ang B ay hindi nakadepende sa alinman sa px o [–]. Samakatuwid, ibig sabihin sa pamamagitan ng &F partial derivative ng isang function F isa sa mga variable ^, R. 2 , nakukuha natin mula sa equation (7):
Pagpapalit sa expression na ito ng mga dami H 1H 2 matatagpuan sa p.p. 3, na katumbas ng zero ang mga coefficient sa iba't ibang degree, nakita namin ang mga sumusunod na kondisyon, na dapat masiyahan ng wave Ф - i
Ito ay kilala na ang gayong mga relasyon ay nagtataglay lamang para sa sphere, bilog na silindro at eroplano.
Kaya mayroon kami Ano Ang mga isothermal wave surface ay maaaring magpalaganap ng mga longitudinal vibrations.
Kaya, kung ang nanginginig na ibabaw o ang paunang alon ay hindi nabibilang sa mga ibabaw ng isothermal waves, pagkatapos ay malapit sa kanilang mga oscillations mangyari magkakahalo , ngunit sa malaking distansya ang alon ay lumalapit sa anyo ng isa sa mga isothermal wave, at ang mga pagbabago ay matatagpuan sa phenomenon pahaba. TIGIL!!!
Ito ay nananatiling upang isama ang pinababang kaugalian equation para sa globo, na may gamit harmonic functions!!!
Mga eksperimento ni Tesla – harmonic oscillator - hindi katanggap-tanggap!!!
Para sa mga globo sa mga coordinate na nagamit na namin, mayroon kaming:
Ang mga karagdagang pagbabago ay hindi gaanong mahalaga at hindi ibinibigay, dahil humantong sila sa orihinal na equation , na walang pisikal na kahulugan para sa mga alon na parang soliton.
Ang mga konklusyon na natagpuan ay pantay na naaangkop sa mga phenomena ng liwanag sa mga homogenous na katawan at, bukod dito, sa loob ng mga limitasyon ng approximation na nagaganap sa teorya ni Boussinesq!?
Mula rito:"sandali ng sakit" ipinahayag.
N. Umov mathematical collection, vol. 5, 1870.
Isa pang "kakila-kilabot" na kawalan ng katiyakan
Sa parehong pagtatalo, magiging madaling makakuha ng katulad na expression para sa magnetic energy, at dahil dito para sa mga alon. Nakikita natin na, kahit na igiit ang pinakasimpleng mga formula, hindi pa rin malulutas ang problema sa localization ng enerhiya.
At pareho tayo para sa daloy ng enerhiya. Posibleng baguhin ang galaw ng kasalukuyang enerhiya sa isang arbitrary na paraan sa pamamagitan ng pagdaragdag ng isa pang vector (u, v, w) sa Poynting vector, na dapat matugunan lamang ang equation ng incompressible fluids
Bilang resulta ng mga pangkalahatang equation, wala itong idinagdag sa kanila.
Samakatuwid, ang lokalisasyon ng enerhiya ay lohikal na walang silbi.(at kung minsan ay nakakapinsala).
Ngunit mayroong isang aspeto kung saan mahalagang isaalang-alang ang teorama ni Poynting.
Ang pangunahing katotohanan kung saan lumitaw ang batas ng konserbasyon ng enerhiya ay at nananatiling natuklasang eksperimento na katotohanan ng imposibilidad. walang hanggang galaw , isang katotohanan - anuman ang aming mga ideya, at maaaring maiugnay sa mga bahagi ng enerhiya na dapat taglayin ng eter sa kawalan ng mga materyal na katawan.
Ang batas ng konserbasyon ng enerhiya, sa klasikal na anyo nito W = Const nagpapaliwanag ng imposibilidad na ito.
Teorama ng pagturo, na nangangailangan ng kakayahang mag-convert integral ng volume(medyo arbitrary) sa ibabaw, nagpapahayag ng mas kaunti. Madali nitong inamin ang paglikha ng panghabang-buhay na paggalaw nang hindi naipakita ang imposibilidad nito.!
Sa katunayan, hanggang sa ipakilala natin ang hypothesis mga potensyal na may kapansanan, ang tuluy-tuloy na paglabas ng enerhiya mula sa nagtatagpo na mga alon na nagmumula sa infinity ay nananatiling kasing-lasing ng pagkawala ng enerhiya na aktwal na naobserbahan.
Kung ang makina ay maaaring tumagal lamang ng lakas ng eter magpakailanman, anuman ang pagkakaroon ng mga materyal na katawan, kung gayon ay maaaring magkaroon walang hanggang galaw . Kaya, nagiging malinaw na bago tanggapin ang formula para sa mga retarded na potensyal, dapat nating patunayan na ang pinabilis na particle ay nawawalan ng enerhiya at, bilang isang resulta, ay sumasailalim sa isang counteraction na proporsyonal sa derivative ng acceleration nito.
Baguhin lang ang sign c upang makarating sa converging wave hypothesis.
Pagkatapos ay matutuklasan natin anong tanda vector ng radiation magbabago din, at ang bagong hypothesis ay hahantong, sabihin, sa kaso ng isang nanginginig na particle, sa isang unti-unting pagtaas ng amplitude sa paglipas ng panahon, ngunit sa pangkalahatan – para mapataas ang energy ng system?!
Sa Kalikasan, ang mga soliton ay:
– sa ibabaw ng isang likido, ang mga unang soliton na matatagpuan sa kalikasan ay minsan ay itinuturing na ganoon ng mga tsunami wave
- iba't ibang uri ng water hammer
– sonic drums – pagtagumpayan ang “supersonic”
– ionosonic at magnetosonic solitons sa plasma
ay mga soliton sa anyo ng mga maikling pulso ng liwanag sa laser active medium
- siguro, isang halimbawa ng soliton ay ang Giant hexagon sa Saturn
– maaaring isaalang-alang sa anyo ng solitons nerve impulses , .
Modelong matematika, Korteweg-de Vries equation.
Ang isa sa pinakasimpleng at pinakakilalang mga modelo na nagpapahintulot sa pagkakaroon ng mga soliton sa solusyon ay ang Korteweg-de Vries equation:
ikaw t + uu x + β ikaw xxx = 0.
Ang isang posibleng solusyon sa equation na ito ay nag-iisa soliton:
ngunit dito rin ang oscillator ay ang harmonic function kung saan r, s,α, U ay ilang mga pare-pareho.Uncertainty theorems sa harmonic analysis
Harmonic oscillator sa quantum mechanics, inilalarawan ito ng equation Schrödinger,
(217.5)Ang equation (217.5) ay tinatawag na Schrödinger equation para sa mga nakatigil na estado.
Ang mga nakatigil na estado ng isang quantum oscillator ay tinutukoy ng equation Schrödinger mabait
(222.2)
saan E ay ang kabuuang enerhiya ng oscillator.
Sa teorya ng differential equation, napatunayan na ang equation (222.2) ay malulutas lamang para sa mga eigenvalue ng enerhiya
(222.3)Formula (222.3) ay nagpapakita na ang enerhiya ng quantum oscillator ay quantized.
Ang enerhiya ay bounded mula sa ibaba maliban sa zero, tulad ng para sa isang hugis-parihaba "mga hukay" na may walang katapusang mataas na "mga pader" (tingnan ang M. § 220), pinakamababang halaga ng enerhiya
E 0 = 1/2 ℏ w 0 . Ang pagkakaroon ng pinakamababang enerhiya ay tinatawag zero point na enerhiya– ay tipikal para sa mga quantum system at ito ay direktang bunga ng mga relasyon sa kawalan ng katiyakan.
SA maharmonya na pagsusuri ang prinsipyo ng kawalan ng katiyakan ay nagpapahiwatig na imposibleng tumpak na makuha ang mga halaga ng isang function at ang Fourier mapping nito - at sa gayon ay gumawa ng tumpak na pagkalkula.
Iyon ay, pagmomodelo, henerasyon at pagkakatulad sa pagsunod sa mga prinsipyo ng pagkakatulad ng mga proseso at anyo sa Kalikasan, gamit ang harmonic oscillator – Imposible.
iba't ibang uri mathematicalmga soliton kakaunti ang nalalaman sa ngayon at lahat ng mga ito ay hindi angkop para sa paglalarawan ng mga bagay sa tatlong-dimensional espasyo, lalo na ang mga prosesong nagaganap sa Kalikasan.
Halimbawa, mga ordinaryong soliton, na nangyayari sa Korteweg–de Vries equation, ay naisalokal sa isang dimensyon lamang kung "tumakbo" sa isang three-dimensional na mundo, pagkatapos ay magiging ganito isang walang katapusang patag na lamad na lumilipad pasulong, to put it mildly abracadabra!!!
Sa likas na katangian, ang gayong walang katapusang mga lamad ay hindi sinusunod, na nangangahulugang iyon orihinal na equation hindi angkop para sa paglalarawan ng mga three-dimensional na bagay.
Dito nakasalalay ang kamalian ng pagpapakilala ng mga harmonic function. – mga oscillator, mga koneksyon sa kaso ng halo-halong mga oscillation.Kaugnay na batas ng pagkakatulad, , ngunit iyon ay isa pang kuwento, na hahantong, teorya ng mga soliton mula sa sistematiko kawalan ng katiyakan, .
Libreng mga oscillations ng mga system na may mga ipinamamahagi na parameter
Ang pangunahing tampok ng proseso ng mga libreng oscillations ng mga system na may isang walang katapusang bilang ng mga degree ng kalayaan ay ipinahayag sa infinity ng bilang ng mga natural na frequency at mga mode ng oscillations. Ito ay may kaugnayan din sa mga katangian ng isang mathematical na kalikasan: sa halip ng mga ordinaryong differential equation na naglalarawan sa mga oscillations ng mga system na may isang may hangganan na bilang ng mga degree ng kalayaan, dito ang isa ay kailangang harapin ang mga differential equation sa mga partial derivatives. Bilang karagdagan sa mga paunang kondisyon na tumutukoy sa mga paunang displacement at bilis, kinakailangang isaalang-alang ang mga kondisyon ng hangganan na nagpapakilala sa pag-aayos ng system.
6.1. Paayon na panginginig ng boses ng mga pamalo
Kapag sinusuri ang mga longitudinal vibrations ng isang rectilinear rod (Larawan 67, a), ipagpalagay natin na ang mga cross section ay mananatiling flat at ang mga particle ng rod ay hindi gumagawa ng mga transverse na paggalaw, ngunit gumagalaw lamang sa paayon na direksyon.
Hayaan u - longitudinal displacement ng kasalukuyang seksyon ng baras sa panahon ng vibrations; ang displacement na ito ay depende sa lokasyon ng seksyon (x coordinates) at sa oras t. Kaya mayroong isang function ng dalawang variable; ang kahulugan nito ang pangunahing gawain. Ang paggalaw ng isang walang katapusang malapit na seksyon ay pantay, samakatuwid, ang ganap na pagpahaba ng isang walang katapusan na maliit na elemento ay (Larawan 67, b), at ang kamag-anak na pagpahaba nito ay .
Alinsunod dito, ang longitudinal na puwersa sa seksyon na may coordinate X maaaring isulat sa anyo
,(173)
nasaan ang tensile (compressive) stiffness ng baras. Ang puwersa N ay isang function din ng dalawang argumento - ang mga coordinate X at oras t.
Isaalang-alang ang isang elemento ng baras na matatagpuan sa pagitan ng dalawang walang katapusan na malapit na mga seksyon (Larawan 67, c). Ang isang puwersa N ay inilapat sa kaliwang bahagi ng elemento, at isang puwersa ay inilalapat sa kanang bahagi. Kung tinutukoy ng density ng materyal ng baras, kung gayon ang masa ng elemento na isinasaalang-alang ay . Samakatuwid, ang equation ng paggalaw sa projection papunta sa axis X
,
Isinasaalang-alang(173) at ipagpalagay A= const , nakukuha namin
Kasunod ng paraan ng Fourier, naghahanap kami ng isang partikular na solusyon ng differential equation (175) sa anyo
,(177)
mga. Ipagpalagay natin na gumagalaw u ay maaaring katawanin bilang isang produkto ng dalawang function, ang isa ay nakasalalay lamang sa argumento X, at ang iba ay mula lamang sa argumentong t . Pagkatapos, sa halip na tukuyin ang isang function ng dalawang variable u (x , t ), ito ay kinakailangan upang tukuyin ang dalawang function X(x ) at T(t ), ang bawat isa ay depende sa isang variable lamang.
Ang pagpapalit ng (177) sa (174), makuha natin
kung saan ang mga primes ay tumutukoy sa operasyon ng pagkita ng kaibhan na may kinalaman sa x, at mga tuldok sa t. Isulat muli natin ang equation na ito tulad nito:
Dito ang kaliwang bahagi ay nakasalalay lamang sa x, at ang kanang bahagi ay nakasalalay lamang sa t. Para sa magkatulad na katuparan ng pagkakapantay-pantay na ito (para sa alinman x at t ) kinakailangan na ang bawat bahagi nito ay katumbas ng isang pare-pareho, na tinutukoy natin ng:
; .(178)
Dalawang equation ang sumusunod mula dito:
;
.(179)
Ang unang equation ay may solusyon:
,(180)
na nagpapahiwatig ng isang oscillatory character, at mula sa (180) malinaw na ang hindi kilalang dami ay may kahulugan ng dalas ng mga libreng oscillations.
Ang pangalawa sa mga equation (179) ay may solusyon:
,(181)
pagtukoy sa anyo ng mga vibrations.
Ang frequency equation na tumutukoy sa halaga ng , ay pinagsama-sama sa pamamagitan ng paggamit ng mga kundisyon ng hangganan. Ang equation na ito ay palaging transendental at may walang katapusang bilang ng mga ugat. Kaya, ang bilang ng eigenfrequencies ay walang hanggan, at ang bawat frequency value ay tumutugma sa sarili nitong function T n (t ), na tinutukoy ng dependence (180), at sa sarili nitong function Xn (x ), na tinutukoy ng dependence (181). Ang Solusyon (177) ay bahagyang lamang at hindi nagbibigay ng kumpletong paglalarawan ng galaw. Ang kumpletong solusyon ay nakuha sa pamamagitan ng paglalagay ng lahat ng partikular na solusyon:
.
Tinatawag ang mga function na X n (x). sariling function mga gawain at ilarawan ang kanilang sariling mga mode ng oscillation. Hindi sila umaasa sa mga paunang kundisyon at nakakatugon sa kondisyon ng orthogonality, na para sa A=const ay may anyo
, Kung .
Isaalang-alang natin ang ilang variant ng mga kundisyon sa hangganan.
Nakapirming dulo ng baras(Larawan 68, a). Sa huling seksyon, ang displacement u ay dapat na katumbas ng zero; samakatuwid ito ay sumusunod na sa seksyong ito
X=0(182)
Libreng baras dulo(Larawan 68b). Sa dulong seksyon, ang paayon na puwersa
(183)
dapat magkaparehong katumbas ng zero, na posible kung X"=0 sa dulong seksyon.
nababanat na naayos dulo ng baston(Larawan 68, c).
Kapag gumagalaw u ng dulong baras, nangyayari ang isang nababanat na reaksyon ng suporta 
, kung saan C tungkol sa - ang tigas ng suporta. Isinasaalang-alang ang (183) para sa longitudinal na puwersa, nakukuha natin ang kundisyon ng hangganan
kung ang suporta ay matatagpuan sa kaliwang dulo ng baras (Larawan 68, c), at
kung ang suporta ay matatagpuan sa kanang dulo ng baras (Larawan 68, d).
Puro masa sa dulo ng pamalo.
Ang puwersa ng inertia na binuo ng masa:
.
Dahil, ayon sa una sa mga equation (179), , kung gayon ang puwersa ng pagkawalang-galaw ay maaaring isulat bilang . Nakukuha namin ang kondisyon ng hangganan
,
kung ang masa ay nasa kaliwang dulo (Larawan 68, e), at
, (184)
kung ang masa ay konektado sa kanang dulo (Larawan 68, f).
Alamin natin ang mga natural na frequency ng cantilever rod (Fig. 68, a").
Ayon sa (182) at (183), ang mga kondisyon ng hangganan
X=0 sa x=0;
X"=0 kailan x= .
Ang pagpapalit ng mga kundisyong ito nang paisa-isa sa solusyon (181), nakukuha natin
Ang kundisyon C0 ay humahantong sa frequency equation:
Ang mga ugat ng equation na ito
(n=1,2,…)
matukoy ang mga natural na frequency:
(n=1,2,…).(185)
Una (pinakamababa) dalas sa n=1:
.
Pangalawang dalas (kapag n=2):
Alamin natin ang mga natural na frequency ng baras na may masa sa dulo (Larawan 68, f).
Ayon sa (182) at (184), mayroon tayo
X=0 sa x=0;
sa x=.
Ang pagpapalit ng mga kundisyong ito sa solusyon (181), makuha natin ang:
D=0; 
.
Dahil dito, ang frequency equation, na isinasaalang-alang (176), ay may anyo
.
Dito, ang kanang bahagi ay ang ratio ng mass ng baras sa mass ng end load.
Upang malutas ang nagresultang transendental na equation, kinakailangan na gumamit ng ilang tinatayang pamamaraan.
Para sa at ang mga halaga ng pinakamahalagang pinakamababang ugat ay magiging 0.32 at 0.65 ayon sa pagkakabanggit.
Sa isang maliit na ratio, ang pag-load ay may mapagpasyang impluwensya at ang mga magagandang resulta ay nakuha ng isang tinatayang solusyon
.
Para sa mga bar ng variable na cross section, i.e. sa Аconst , mula sa (173) at (174) ang equation ng paggalaw ay nakuha sa anyo
.
Ang differential equation na ito ay hindi malulutas sa closed form. Samakatuwid, sa ganitong mga kaso, ang isa ay kailangang gumamit ng mga tinatayang pamamaraan para sa pagtukoy ng mga natural na frequency.
6.2. Torsional vibrations ng shafts
Ang mga torsional vibrations ng baras na may patuloy na ipinamamahagi na masa (Fig. 69, a) ay inilarawan sa pamamagitan ng mga equation na ganap na nag-tutugma sa istraktura sa mga equation ng longitudinal vibrations ng mga rod na ibinigay sa itaas.
Torque M sa seksyon na may abscissa X ay nauugnay sa anggulo ng pag-ikot sa pamamagitan ng isang pag-asa sa kaugalian na katulad ng (173):
saan Jp ay ang polar moment ng inertia ng cross section.
Sa isang seksyon sa malayo dx, ang torque ay (Fig. 69, b):
Tinutukoy sa pamamagitan ng (kung saan ang density ng materyal ng baras) ang intensity ng sandali ng pagkawalang-galaw ng mass ng baras na may kaugnayan sa axis nito (i.e., ang sandali ng pagkawalang-galaw ng isang haba ng yunit), ang equation ng paggalaw ng isang elementarya na seksyon ng shaft ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:
,
o tulad ng (174):
.
Pinapalitan ang expression (186) dito, ng Jp=const nakukuha natin, katulad ng (175):
, (187)
Ang pangkalahatang solusyon ng equation (187), pati na rin ang equation (175), ay may anyo
,
(188)
Ang mga eigenfrequencies at eigenfunction ay tinutukoy ng mga tiyak na kundisyon ng hangganan.
Sa mga pangunahing kaso ng pag-aayos ng mga dulo, katulad ng kaso ng mga longitudinal vibrations, nakukuha namin
a) nakapirming dulo (=0): X=0;
b) libreng dulo (M=0): X"=0;
V) naayos na nababanat kaliwang dulo: СoХ=GJpX "(Co-coefficient of stiffness);
G) naayos na nababanat kanang dulo: -CoX=GJpX ";
e) disk sa kaliwang dulo: 
(Ang Jo ay ang sandali ng pagkawalang-kilos ng disk na may kaugnayan sa axis ng baras);
f) disk sa kanang dulo: 
.
Kung ang baras ay naayos sa kaliwang dulo (x=0), at ang kanang dulo (x= ) ay libre, kung gayon ang X=0 sa x=0 at X"=0 sa x= ; ang mga natural na frequency ay tinutukoy nang katulad sa ( 185):
(n=1,2,…).
Kung ang kaliwang dulo ay naayos, at mayroong isang disk sa kanang dulo, makuha namin ang transcendental equation:
.
Kung ang magkabilang dulo ng baras ay naayos, ang mga kondisyon ng hangganan ay magiging X=0 sa x=0 at x= . Sa kasong ito, mula sa (188) nakuha namin
mga.
(n=1,2,…),
mula dito makikita natin ang mga natural na frequency:
Kung ang kaliwang dulo ng baras ay libre, at mayroong isang disk sa kanang dulo, kung gayon ang X"=0 sa x=0; Jo X=GJpX" sa x=.
Gamit ang (188), makikita natin
C=0; 
,
o ang transendental frequency equation:
.
6.3 Flexural vibrations ng mga beam
6.3.1 Pangunahing equation
Mula sa kurso ng paglaban ng mga materyales, ang mga dependency sa kaugalian ay kilala para sa mga bending beam:
kung saan EJ - baluktot na higpit; y \u003d y (x, t) - pagpapalihis; M=M(x, t) - baluktot na sandali; q ay ang intensity ng distributed load.
Pagsasama-sama ng (189) at (190), nakukuha natin
.(191)
Sa problema ng mga libreng oscillations, ang pag-load para sa nababanat na balangkas ay ang ipinamamahagi na mga puwersa ng inertia:
kung saan ang m ay ang mass intensity ng beam (mass per unit length), at ang equation (191) ay nagiging
.
Sa espesyal na kaso ng isang pare-parehong cross section, kapag EJ = const , m = const , mayroon kaming:
.(192)
Upang malutas ang equation (192), ipinapalagay namin, tulad ng nasa itaas,
y=X( x)× T( t ).(193)
Ang pagpapalit ng (193) sa (192), dumating tayo sa equation:
.
Upang ang pagkakapantay-pantay na ito ay magkapareho, kinakailangan na ang bawat isa sa mga bahagi ng pagkakapantay-pantay ay maging pare-pareho. Ang pagtukoy sa pare-parehong ito ng , nakakakuha tayo ng dalawang equation:
.(195)
Ang unang equation ay nagpapahiwatig na ang paggalaw ay oscillatory na may dalas.
Ang pangalawang equation ay tumutukoy sa hugis ng mga oscillation. Ang solusyon ng equation (195) ay naglalaman ng apat na constants at may anyo
Maginhawang gamitin ang variant ng pagsulat ng pangkalahatang solusyon na iminungkahi ni A.N. Krylov:
(198)
ay mga function ng A.N. Krylov.
Bigyang-pansin natin ang katotohanan na S=1, T=U=V=0 at x=0. Ang mga function na S, T, U, V ay magkakaugnay tulad ng sumusunod:
Samakatuwid, ang mga derivative expression (197) ay nakasulat sa anyo
(200)
Sa mga problema ng klase na isinasaalang-alang, ang bilang ng mga eigenfrequencies ay walang katapusan na malaki; bawat isa sa kanila ay may sariling time function T n at sarili nitong pangunahing function X n . Ang pangkalahatang solusyon ay nakuha sa pamamagitan ng pagpapataw ng mga bahagyang solusyon ng anyo (193)
.(201)
Upang matukoy ang mga natural na frequency at mga formula, kinakailangang isaalang-alang ang mga kondisyon ng hangganan.
6.3.2. Kondisyon sa hangganan
Para sa bawat dulo ng bar, maaaring tukuyin ang dalawang kundisyon ng hangganan .
Libreng baras dulo(Larawan 70, a). Ang transverse force Q=EJX"""T at ang bending moment M=EJX""T ay katumbas ng zero. Samakatuwid, ang mga kondisyon ng hangganan ay may anyo
X""=0; X"""=0 .(202)
Hined dulo ng baras(Larawan 70b). Ang pagpapalihis y=XT at ang baluktot na sandali M=EJX""T ay katumbas ng zero. Samakatuwid, ang mga kondisyon ng hangganan ay:
X=0 ; X""=0 .(203)
naipit na dulo(Larawan 70, c). Ang pagpapalihis y=XT at ang anggulo ng pag-ikot ay katumbas ng zero. Mga kundisyon sa hangganan:
X=0; X"=0 . (204)
Sa dulo ng baras ay may puntong masa(Larawan 70d). Ang kanyang puwersa ng pagkawalang-galaw 
maaaring isulat gamit ang equation (194) tulad ng sumusunod: ; ito ay dapat na katumbas ng transverse force Q=EJX"""T , kaya ang mga kundisyon ng hangganan ay nasa anyo
; X""=0 .(205)
Sa unang kondisyon, ang plus sign ay tinatanggap sa kaso kapag ang point weight ay konektado sa kaliwang dulo ng baras, at ang minus sign kapag ito ay konektado sa kanang dulo ng baras. Ang pangalawang kondisyon ay sumusunod mula sa kawalan ng isang baluktot na sandali.
Elastically suportado dulo ng baras(Larawan 70, e). Dito ang bending moment ay katumbas ng zero, at ang transverse force Q=EJX"""T ay katumbas ng reaksyon ng suporta 
(C o -coefficient ng rigidity ng suporta).
Mga kundisyon sa hangganan:
X""=0 ; (206)
(Ang minus sign ay kukunin kapag ang elastic support ay naiwan, at ang plus sign kapag ito ay tama).
6.3.3. Frequency equation at eigenform
Ang pinalawak na talaan ng mga kundisyon ng hangganan ay humahantong sa mga homogenous na equation para sa mga constant na C 1 , C 2 , C 3 , C 4 .
Para ang mga constant na ito ay hindi katumbas ng zero, ang determinant na binubuo ng mga coefficient ng system ay dapat na katumbas ng zero; humahantong ito sa isang frequency equation. Sa panahon ng mga operasyong ito, ang mga ugnayan sa pagitan ng C 1 , C 2 , C 3 , C 4 ay nalaman, i.e. ang mga eigenmode ng oscillations ay tinutukoy (hanggang sa isang pare-parehong kadahilanan).
Trace natin ang compilation ng frequency equation gamit ang mga halimbawa.
Para sa isang sinag na may mga hinged na dulo ayon sa (203) mayroon tayong mga sumusunod na kundisyon sa hangganan: X=0; X""=0 kapag x=0 at x= . Sa tulong ng (197)-(200) nakukuha natin mula sa unang dalawang kundisyon: C 1 =C 3 =0. Ang natitirang dalawang kondisyon ay maaaring isulat bilang
Upang ang C 2 at C 4 ay hindi katumbas ng zero, ang determinant ay dapat na katumbas ng zero:
.
Kaya, ang frequency equation ay may anyo
.
Ang pagpapalit ng mga ekspresyong T at U, nakukuha natin
Dahil , pagkatapos ay ang panghuling frequency equation ay nakasulat bilang mga sumusunod:
. (207)
Ang mga ugat ng equation na ito ay:
,(n=1,2,3,...).
Kung isasaalang-alang ang (196), nakukuha natin
.(208)
Magpatuloy tayo sa pagtukoy sa sarili nating mga anyo. Mula sa mga homogenous na equation na nakasulat sa itaas, ang sumusunod na relasyon ay sumusunod sa pagitan ng mga constants C 2 at C 4:
.
Dahil dito, (197) ang kumuha ng anyo
Ayon sa (207), mayroon tayo
,(209)
kung saan ay isang bagong pare-pareho, ang halaga nito ay nananatiling hindi natutukoy hanggang sa ang mga unang kundisyon ay ipinakilala sa pagsasaalang-alang.
6.3.4. Kahulugan ng paggalaw sa pamamagitan ng mga paunang kondisyon
Kung kinakailangan upang matukoy ang paggalaw kasunod ng paunang pag-abala, pagkatapos ay kinakailangan upang tukuyin ang parehong mga paunang displacement at mga paunang bilis para sa lahat ng mga punto ng beam:
(210)
at gamitin ang orthogonality property ng eigenshapes:
.
Isinulat namin ang pangkalahatang solusyon (201) tulad ng sumusunod:
.(211)
Ang bilis ay tinutukoy ng expression
.(212)
Ang pagpapalit sa mga kanang bahagi ng mga equation (211) at (212) , at sa kaliwang bahagi - ang ipinapalagay na kilalang mga paunang displacement at bilis, nakukuha namin
.
Ang pagpaparami ng mga expression na ito sa pamamagitan ng at pagsasama sa buong haba, mayroon kami
(213)
Ang mga walang katapusang kabuuan sa kanang bahagi ay nawala dahil sa pag-aari ng orthogonality. Mula sa (213) sumusunod na mga formula para sa mga constant at
(214)
Ngayon ang mga resultang ito ay dapat na palitan sa solusyon (211).
Muli, binibigyang-diin namin na ang pagpili ng sukat ng wastong mga hugis ay hindi mahalaga. Kung, halimbawa, sa pagpapahayag ng sarili nitong anyo (209) kunin natin sa halip ang isang halaga na mas malaki ng beses, kung gayon (214) ay magbibigay ng mga resulta na mas maliit ng beses; pagkatapos ng pagpapalit sa solusyon (211), kinansela ng mga pagkakaibang ito ang isa't isa. Gayunpaman, madalas na ginagamit ang normalized eigenfunctions, pinipili ang kanilang sukat upang ang mga denominator ng mga expression (214) ay katumbas ng isa, na nagpapasimple sa mga expression at .
6.3.5. Impluwensya ng patuloy na paayon na puwersa
Isaalang-alang natin ang kaso kapag ang oscillating beam ay nakakaranas ng pagkilos ng isang longitudinal force N, ang halaga nito ay hindi nagbabago sa panahon ng proseso ng oscillation. Sa kasong ito, ang static na bending equation ay nagiging mas kumplikado at nagiging anyo (ipagpalagay na ang compressive force ay itinuturing na positibo)
.
Ipagpalagay at ipagpalagay na ang higpit ay pare-pareho, nakukuha namin ang equation ng libreng vibrations
.(215)
Kumuha pa rin kami ng isang partikular na solusyon sa form
Pagkatapos ang equation (215) ay nahahati sa dalawang equation:
Ang unang equation ay nagpapahayag ng oscillatory na katangian ng solusyon, ang pangalawa ay tumutukoy sa hugis ng mga oscillations, at nagpapahintulot din sa iyo na mahanap ang mga frequency. Isulat muli natin ito ng ganito:
(216)
saan K ay tinutukoy ng formula (196), at
Ang solusyon ng equation (216) ay may anyo
Isaalang-alang ang kaso kapag ang magkabilang dulo ng baras ay may bisagra na mga suporta. Mga kundisyon sa kaliwang dulo 
bigyan . Ang pagbibigay-kasiyahan sa parehong mga kundisyon sa tamang dulo, nakukuha namin
Ang equating sa zero ang determinant, na binubuo ng mga coefficient sa mga halaga at , dumating tayo sa equation
Ang mga ugat ng frequency equation na ito ay:
Samakatuwid, ang natural na dalas ay tinutukoy mula sa equation
.
Samakatuwid, isinasaalang-alang ang (217), nakita namin
.(219)
Kapag naunat, ang dalas ay tumataas, kapag na-compress, ito ay bumababa. Kapag ang compressive force N ay lumalapit sa isang kritikal na halaga, ang ugat ay nagiging zero.
6.3.6. Epekto ng mga puwersa ng chain
Noong nakaraan, ang longitudinal na puwersa ay itinuturing na ibinibigay at independiyente sa mga displacement ng system. Sa ilang mga praktikal na problema, ang longitudinal na puwersa na kasama ng proseso ng transverse vibrations ay lumitaw dahil sa baluktot ng beam at nasa likas na katangian ng reaksyon ng suporta. Isaalang-alang, halimbawa, ang isang sinag sa dalawang hinged-fixed na suporta. Kapag ito ay baluktot, ang mga pahalang na reaksyon ng mga suporta ay nangyayari, na nagiging sanhi ng pag-uunat ng sinag; ang katumbas na puwersang pahalang ay tinatawag puwersa ng kadena. Kung ang sinag ay gumagawa ng mga transverse vibrations, ang puwersa ng chain ay magbabago sa paglipas ng panahon.
Kung sa isang iglap t ang mga pagpapalihis ng sinag ay tinutukoy ng pag-andar, kung gayon ang pagpahaba ng axis ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula
.
Ang katumbas na puwersa ng kadena ay matatagpuan gamit ang batas ni Hooke
.
Pinapalitan namin ang resultang ito sa (215) sa halip na ang longitudinal force N (isinasaalang-alang ang sign)
.(220)
Ang resultang non-linear integro-differential ang equation ay pinasimple sa pamamagitan ng pagpapalit
,(221)
kung saan ang isang walang sukat na function ng oras, ang pinakamataas na halaga nito ay maaaring itakda na katumbas ng anumang numero, halimbawa, isa; amplitude ng oscillation.
Ang pagpapalit ng (221) sa (220), makuha natin ang ordinaryong differential equation
,(222)
na ang mga coefficient ay may mga sumusunod na halaga:
;.
Ang differential equation (222) ay non-linear, samakatuwid, ang dalas ng mga libreng oscillations ay nakasalalay sa kanilang amplitude.
Ang eksaktong solusyon para sa dalas ng transverse vibrations ay may anyo
kung saan ang dalas ng transverse oscillations, kinakalkula nang hindi isinasaalang-alang ang mga puwersa ng chain; kadahilanan ng pagwawasto depende sa ratio ng amplitude ng oscillation sa radius ng gyration ng cross section; ang halaga ay ibinibigay sa sangguniang panitikan.
Kapag ang amplitude at radius ng gyration ng cross section ay maihahambing, ang pagwawasto sa dalas ay nagiging makabuluhan. Kung, halimbawa, ang oscillation amplitude ng isang baras ng circular cross section ay katumbas ng diameter nito, kung gayon, at ang dalas ay halos dalawang beses na mas malaki kaysa sa kaso ng libreng pag-aalis ng mga suporta.
Ang kaso ay tumutugma sa zero na halaga ng radius ng pagkawalang-galaw, kapag ang baluktot na higpit ng sinag ay nawawalang maliit - isang string. Sa kasong ito, ang formula para sa ay nagbibigay ng kawalan ng katiyakan. Inihayag ang kawalan ng katiyakan na ito, nakakakuha kami ng formula para sa dalas ng mga vibrations ng string
.
Ang formula na ito ay tumutukoy sa kaso kapag ang tensyon ay zero sa equilibrium na posisyon. Ang problema ng string vibrations ay madalas na posed sa ilalim ng iba pang mga pagpapalagay: ito ay ipinapalagay na ang displacements ay maliit, at ang makunat puwersa ay ibinigay at nananatiling hindi nagbabago sa panahon ng vibrations.
Sa kasong ito, ang formula para sa dalas ay may anyo
kung saan ang N ay isang palaging tensile force.
6.4. Impluwensya ng malapot na friction
Noong nakaraan, ipinapalagay na ang materyal ng mga rod ay perpektong nababanat at walang alitan. Isaalang-alang ang epekto ng panloob na alitan, sa pag-aakalang ito ay malapot; pagkatapos ay ang relasyon sa pagitan ng mga stress at mga strain ay inilarawan ng mga relasyon
;
.(223)
Hayaang magsagawa ng libreng longitudinal vibrations ang isang baras na may mga nakabahaging parameter. Sa kasong ito, ang longitudinal force ay isusulat sa form
Mula sa equation ng paggalaw ng elemento ng baras, nakuha ang kaugnayan (174).
Ang pagpapalit ng (224) dito, dumating tayo sa pangunahing equation ng kaugalian
,(225)
na naiiba sa (175) sa pangalawang termino, na nagpapahayag ng impluwensya ng malapot na puwersa ng friction.
Kasunod ng paraan ng Fourier, naghahanap kami ng solusyon sa equation (225) sa anyo
,(226)
kung saan ang function ay x coordinates lamang, at ang function ay oras lamang t.
Sa kasong ito, ang bawat miyembro ng serye ay dapat matugunan ang mga kundisyon sa hangganan ng problema, at ang kabuuang kabuuan ay dapat ding matugunan ang mga unang kundisyon. Pinapalitan ang(226) sa(225) at hinihiling na masiyahan ang pagkakapantay-pantay para sa anumang numero r, nakukuha namin
,(227)
kung saan ang mga primes ay tumutukoy sa pagkita ng kaibhan na may paggalang sa coordinate x, at ang mga puntos ay pagkita ng kaibhan na may paggalang sa oras t.
Paghahati (227) sa produkto 
, dumating tayo sa pagkakapantay-pantay
,(228)
ang kaliwang bahagi, na maaari lamang umasa sa coordinate x, at ang tama - mula lamang sa oras t. Para sa magkatulad na katuparan ng pagkakapantay-pantay (228), kinakailangan na ang parehong bahagi ay katumbas ng parehong pare-pareho, na tinutukoy natin ng .
Mula dito sundin ang mga equation
(229)
.(230)
Ang equation (229) ay hindi nakadepende sa viscosity coefficient K at, sa partikular, ay nananatiling pareho sa kaso ng isang perpektong nababanat na sistema, kapag . Samakatuwid, ang mga numero ay ganap na nag-tutugma sa mga natagpuan nang mas maaga; gayunpaman, tulad ng ipapakita sa ibaba, ang halaga ay nagbibigay lamang ng tinatayang halaga ng natural na dalas. Tandaan na ang mga eigenform ay ganap na independiyente sa mga malapot na katangian ng baras, i.e. ang mga anyo ng libreng damped oscillations ay kasabay ng mga anyo ng free undamped oscillations.
Ngayon ay lumipat tayo sa equation (230), na naglalarawan sa proseso ng damped oscillations; mukhang solusyon nito
.(233)
Tinutukoy ng expression (232) ang damping rate, at (233) ang tinutukoy ang oscillation frequency.
Kaya, ang kumpletong solusyon ng equation ng problema
.(234)
Constant at maaaring palaging matagpuan sa pamamagitan ng ibinigay na mga paunang kondisyon. Hayaang ibigay ang mga paunang displacement at paunang bilis ng lahat ng mga seksyon ng baras tulad ng sumusunod:
;
,(235)
kung saan at kilala ang mga function.
Pagkatapos para sa , ayon sa (211) at (212), mayroon tayo
pagpaparami ng parehong bahagi ng mga pagkakapantay-pantay na ito sa pamamagitan ng at pagsasama sa buong haba ng baras, nakukuha natin
(236)
Ayon sa kondisyon ng orthogonality ng eigenforms, lahat ng iba pang terminong kasama sa kanang bahagi ng mga pagkakapantay-pantay na ito ay naglalaho. Ngayon ay madaling mahanap mula sa mga pagkakapantay-pantay (236) para sa anumang numero r .
Isinasaalang-alang ang (232) at (234), napapansin namin na mas mataas ang bilang ng mode ng vibrations , mas mabilis ang pamamasa nito. Bilang karagdagan, ang mga termino sa (234) ay naglalarawan ng mga damped oscillations kung mayroong tunay na numero. Ito ay makikita mula sa (233) na ito ay nagaganap lamang para sa ilang mga paunang halaga ng r hangga't ang hindi pagkakapantay-pantay
Para sa sapat na malalaking halaga r ang hindi pagkakapantay-pantay (237) ay nilabag at ang dami ay nagiging haka-haka. Sa kasong ito, ang mga kaukulang termino ng pangkalahatang solusyon (234) ay hindi na maglalarawan ng damped oscillations, ngunit kakatawan ng isang aperiodic damped motion. Sa madaling salita, ang mga pagbabagu-bago, sa karaniwang kahulugan ng salita, ay ipinahayag lamang ng ilang may hangganang bahagi ng kabuuan (234).
Ang lahat ng mga husay na konklusyon na ito ay nalalapat hindi lamang sa kaso ng mga longitudinal vibrations, kundi pati na rin sa mga kaso ng torsional at bending vibrations.
6.5. Mga vibrations ng mga bar ng variable na cross section
Sa mga kasong iyon kapag ang ibinahagi na masa at cross section ng baras ay variable sa haba nito, sa halip na ang equation ng longitudinal vibrations (175), ang isa ay dapat magpatuloy mula sa equation
.(238)
Ang torsional vibration equation (187) ay dapat mapalitan ng equation
,(239)
at ang equation ng transverse oscillations (192) - sa pamamagitan ng equation
.(240)
Ang mga equation (238)-(240) sa tulong ng mga pagpapalit ng parehong uri ;; ay maaaring bawasan sa ordinaryong differential equation para sa function
MEKANIKA
UDC 531.01/534.112
LONGITUDINAL VIBRATION NG ISANG PACKAGE NG RODS
A.M. Pavlov, A.N. Temnov
MSTU im. N.E. Bauman, Moscow, Russian Federation e-mail: [email protected]; [email protected]
Sa mga tanong ng dynamics ng liquid-propellant rockets, isang mahalagang papel ang ginagampanan ng problema ng katatagan ng paggalaw ng rocket sa kaganapan ng paglitaw ng longitudinal elastic oscillations. Ang hitsura ng naturang mga oscillations ay maaaring humantong sa pagtatatag ng mga self-oscillations, na, kung ang rocket ay hindi matatag sa longitudinal na direksyon, ay maaaring humantong sa mabilis na pagkawasak nito. Ang problema ng mga longitudinal oscillations ng isang rocket ng isang scheme ng pakete ay nabuo, ang isang pakete ng mga rod ay ginagamit bilang isang modelo ng pagkalkula. Ipinapalagay na ang likido sa mga rocket tank ay "frozen", i.e. hindi isinasaalang-alang ang tamang paggalaw ng likido. Ang kabuuang batas sa balanse ng enerhiya para sa problemang isinasaalang-alang ay nabuo at ang pahayag ng operator nito ay ibinigay. Ang isang numerical na halimbawa ay ibinigay, kung saan ang mga frequency ay tinutukoy, at ang eigenmodes ay itinayo at sinusuri.
Mga keyword: longitudinal vibrations, dalas at hugis ng vibrations, rod package, kabuuang batas sa balanse ng enerhiya, self-adjoint operator, vibration spectrum, POGO.
SYSTEM OF RODS LONGITUDINAL VIBRATIONS A.M. Pavlov, Al. Temnov
Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russian Federation e-mail: [email protected]; [email protected]
Sa mga tanong ng dinamika ng mga rocket ng likidong gasolina, ang problema ng katatagan ng paggalaw para sa rocket na ito ay may mahalagang papel sa paglitaw ng mga longitudinal na nababanat na vibrations. Ang paglitaw ng ganitong uri ng mga panginginig ng boses ay maaaring magdulot ng mga self-vibrations na maaaring magdulot ng mabilis na pagkasira ng rocket sa kaso ng rocket instability sa loob ng longitudinal na direksyon. Ang problema sa longitudinal vibrations ng liquid fuel rocket batay sa packet scheme ay nabuo gamit ang package rods bilang computational model. Ipinapalagay na ang likido sa mga rocket tank ay "frozen", i.e. hindi kasama ang tamang galaw ng likido. Para sa problemang ito, ang prinsipyo ng konserbasyon ng enerhiya ay binuo at ang operator ng pagtatanghal nito ay ibinigay. Mayroong isang numerical na halimbawa, kung saan ang mga frequency ay natukoy, ang mga anyo ng Eigen vibration ay binuo at sinuri.
Mga keyword: mga longitudinal mode vibrations, eigen mode at frequency, rods model, energy conservation principle, selfadjoint operator, vibration spectrum, POGO.
Panimula. Sa kasalukuyan, sa Russia at sa ibang bansa, upang ilunsad ang isang payload sa kinakailangang orbit, ang mga sasakyang ilunsad (LV) ng isang layout ng pakete na may magkaparehong mga bloke sa gilid na pantay na ipinamamahagi sa paligid ng gitnang bloke ay kadalasang ginagamit.
Ang mga pag-aaral ng mga oscillations ng mga istruktura ng pakete ay nakakaranas ng ilang mga paghihirap na nauugnay sa pabago-bagong pagkilos ng gilid at gitnang mga bloke. Sa kaso ng simetrya ng layout ng paglulunsad ng sasakyan, ang kumplikado, spatial na pakikipag-ugnayan ng mga bloke ng isang disenyo ng pakete ay maaaring nahahati sa isang may hangganan na bilang ng mga uri ng panginginig ng boses, isa na rito ang mga longitudinal vibrations ng central at side blocks. Ang modelo ng matematika ng mga longitudinal vibrations ng isang katulad na disenyo sa anyo ng isang pakete ng mga manipis na pader na rod ay isinasaalang-alang nang detalyado sa trabaho. kanin. 1. Scheme ng central
makabuluhang vibrations ng isang pakete ng mga rods, supplementing ang pag-aaral na isinagawa ng A.A. Nakakaawa.
Pagbubuo ng problema. Isaalang-alang ang iba pang mga longhitudinal vibrations ng isang pakete ng mga rod, na binubuo ng isang gitnang baras na may haba l0 at N side rod na may parehong haba j = l, (l0 > lj), j = 1, 2,..., N, na ikinakabit sa punto A (xA = l) (Larawan 1) na may gitnang mga elemento ng tagsibol ng higpit k.
Ipakilala natin ang isang nakapirming frame ng sanggunian ОХ at ipagpalagay na ang higpit ng mga rod EFj (x), ang ibinahagi na masa mj (x) at ang perturbation q (x,t) ay mga bounded function ng coordinate x:
0 0 < mj < mj (x) < Mj; (1) 0 Hayaang lumitaw ang mga displacement Uj (x, t) sa mga cross section ng mga rod na may coordinate x, na tinutukoy ng mga equation mj (x) ^ - ¿(eFj (x) ^ = qj (x,t), j = 0,1, 2,..., N, (2) mga kondisyon ng hangganan para sa kawalan ng mga normal na puwersa sa mga dulo ng mga pamalo 3 \u003d 0, x \u003d 0, ^ \u003d 1, 2, 0, x = 0, x = l0; mga kondisyon ng pagkakapantay-pantay ng mga normal na puwersa na nagmumula sa mga tungkod, EF-3 = F x = l nababanat na puwersa ng mga elemento ng tagsibol FпPJ = k (u (ha) - u (¡,)); (4) EUodX (xa - 0) - EFodX (xa + 0) = , x = xa; ang kondisyon ng pagkakapantay-pantay ng mga displacement sa punto xa ng gitnang baras W (ha-o) \u003d W (ha + o) at mga paunang kundisyon W y (x, 0) - W (x); , _ u(x, 0) = u(x), kung saan u(x, 0) = "q^1(x, 0). Ang batas ng kabuuang balanse ng enerhiya. Pina-multiply namin ang equation (2) sa u(x, t), pinagsama-sama ang haba ng bawat rod, at idinaragdag ang mga resulta gamit ang boundary condition (3) at pagtutugma ng kondisyon (4). Bilang resulta, nakukuha namin (( 1 ^ [ (diL 2 tz (x) "BT" (x + dt | 2 ^ J 3 w V dt N x „ h 2 .. N „ i. 1 ⩽ Г „„ , f dn3\ , 1 ⩽ Гj 1 N /* i dpl 2 1 N fl j EF3 dx +2^Yo N (x - -)(no - Uj)2 dx = / ^ (x, t) ux y (x, t) (x, (6) kung saan ang 8(x - y) ay ang Dirac delta function. Sa equation (6), ang unang termino sa mga kulot na bracket ay ang kinetic energy T (¿) ng system, ang pangalawa ay ang potensyal na enerhiya Pr (£) dahil sa pagpapapangit ng mga rod, at ang pangatlo ay ang potensyal na enerhiya Pk (£) ng mga elemento ng tagsibol, kung saan, sa pagkakaroon ng nababanat na mga deformation rod ay maaaring isulat bilang Pk (*) = 2 £ / Cy (¡y) 8 (x - ¡1) E^ (¡y) (ddit (¡1)) 2 (x, Cy = Ey. Ang equation (6) ay nagpapakita na ang pagbabago sa kabuuang enerhiya sa bawat yunit ng oras ng itinuturing na mekanikal na sistema ay katumbas ng kapangyarihan panlabas na impluwensya. Sa kawalan ng panlabas na kaguluhan q (x,t), nakukuha natin ang batas ng konserbasyon ng kabuuang enerhiya: T (t) + Pr (t) + Pk (t) = T (0) + Pr (0) + Pk (0). Setting ng operator. Ipinapakita ng batas sa balanse ng enerhiya na sa anumang oras t ang mga function na Uj (x, t) ay maaaring ituring bilang mga elemento ng Hilbert space L2j(; m3 (x)), na tinukoy sa haba ¡i ng scalar product (us,Vk)j = J mj (x) usVkdx 0 at ang nauugnay na regulasyon. Ipakilala natin ang Hilbert space H, na katumbas ng orthogonal sum L2j, H = L20 Φ L21 Φ... Φ L2N, ang vector function na U = (uo, Ui,..., uN)m, at ang operator A kumikilos sa espasyo H ayon sa kaugnayan AU = diag(A00U0, A11U1, ..., Annun). mj(x)dx\jdx" tinukoy ng mga operator sa itakda ang B (A33) C H ng mga function na nagbibigay-kasiyahan sa mga kondisyon (3) at (4). Ang orihinal na problema (1)-(5) kasama ang mga paunang kondisyon ay maaaring isulat bilang Au = f(*), u(0) = u0, 17(0) = u1, (7) kung saan f (*) = (to (*) ,51 (*),..., Yam (¿)) i.e. Lemma. 1. Kung ang unang dalawang kundisyon (1) ay nasiyahan, ang operator A sa problema sa ebolusyon (7) ay isang unbounded, self-adjoint, positive-definite operator sa space H (Au, K)n = (u, AK)n, (Au, u)n > c2 (u, u)n. 2. Ang operator A ay bumubuo ng isang puwang ng enerhiya HA na may pamantayan na katumbas ng dalawang beses ang halaga ng potensyal na enerhiya ng mga oscillations ng pakete ng mga rod. 3 \ ^ I h)2 = 2n > 0. (8) IIUIIA = £/ EF^^J dx + k £ (uo - U)2 = 2П > 0. < Оператор А неограничен в пространстве Н, поскольку неограничен каждый диагональный элемент А33. Самосопряженность и положительная определенность оператора А проверяются непосредственно: (AU, v)h =/m (x) (-^| (EFo (x) ^j) Vo (x) dx+ +£ jm(x) (- jx) | (ef-(x) dndxa))v-(x) dx=... = EFo (x) uo (x) vo (x) dx - EFo (x) U) (x) vo (x) J E Fo (x) uo (x) vo (x) dx - E Fo (x) uo (x) ?o (x) + ^^ / EF- (x) u- (x) vo (x) dx - ^^ EF- (x) u- (x) v- (x) J E Fo (x) uo (x) v" (x) dx - E Fo (xa - 0) uo (xa - 0) vo (xa) + 0 EFo (xa + 0) uo (xa + 0) vo (xa) - £ EF- (/-) u- (/-) v- (/-) + J EF- (x) u- (x) v- (x) dx = J EFo (x) uo (x) vo (x) dx+ -=100 + £ / EF.,- (x) u- (x) r?- (x) dx+ o O(xa)- £ EF- (/-) u- (/-) v?"- (/-) = EFo (x) uo (x) v?"o (x) dx+ -=10 + £ / EF- (x) u- (x) v- (x) dx+ -=1 0 - + £ k (uo (xa) - u- (/-)) (vo (xa) - v- (/-)) = (U, A?)H (AU, U)H \u003d ... \u003d I EF0 (x) u "2 (x) dx - EF0 (x) u0 (x) u0 (x) J EF0 (x) u "0 (x) dx - EF0 (x) u0 (x) u0 (x) + ^^ / EFj (x) u"2 (x) dx - ^^ EFj (x) uj (x) u3 (x) "J EF°(x) u"2 (x) dx 4EF0 (x) u"2 (x) dx+£ JEFj (x) u"2 (x) dx Y^k (u0 (l) uj (l) - u2 (/)) + u0 (l) ^ k (u0 (l) - uj (l)) = EF0 (x) u "2 (x) dx + / EF0 (x) u" 0 (x) dx + S / EFj (x) u"2 (x) dx + k ^ (u0 (l) - uj (l))2 > c2 (U, U)H Ito ay sumusunod mula sa mga resulta sa itaas na ang enerhiya na pamantayan ng operator A ay ipinahayag ng formula (8). Solvability ng ebolusyonaryong problema. Binubalangkas namin ang sumusunod na teorama. Theorem 1. Hayaan ang mga kondisyon U0 £ D (A1/2) , U0 £ H, f (t) £ C (; H), pagkatapos ang problema (7) ay may natatanging mahinang solusyon U (t) sa segment na tinukoy ng formula U (t) = U0 cos (tA1/2) + U1 sin (tA1/2) +/sin ((t - s) A1/2) A-1/2f (s) ds. 5 sa kawalan ng panlabas na kaguluhan f (£), ang batas ng konserbasyon ng enerhiya ay nasiyahan 1 II A 1/2UИ2 = 1 1 II A1/2U 0|H. < Эволюционная задача (7) - это стандартная задача Коши для дифференциального операторного уравнения гиперболического типа, для которого выполнены все условия теоремы о разрешимости . Mga likas na panginginig ng boses ng isang pakete ng mga pamalo. Ipagpalagay natin na ang larangan ng mga panlabas na puwersa ay hindi kumikilos sa sistema ng baras: f (t) = 0. Sa kasong ito, ang paggalaw ng mga rod ay tatawaging libre. Ang mga libreng galaw ng mga rod, na nakasalalay sa oras t ayon sa batas exp (iwt), ay tatawaging eigenoscillations. Sa pagkuha sa equation (7) U (x, t) = U (x) eiWU, nakuha namin ang spectral na problema para sa operator A: AU - AEU \u003d 0, L \u003d w2. (9) Ang mga katangian ng operator A ay nagpapahintulot sa amin na bumalangkas ng isang teorama sa spectrum at mga katangian ng eigenfunctions. Theorem 2. Ang spectral na problema (9) sa natural oscillations ng isang pakete ng mga rod ay may discrete positive spectrum 0 < Ai < Л2 < ... < Ak < ..., Ak ^ то at isang sistema ng eigenfunctions (Uk (x))^=0, kumpleto at orthogonal sa mga puwang H at HA, at ang mga sumusunod na orthogonality formula ay nagtataglay: (Ufe, Us)H = £ m (xj UfejMSjdx = j=0 0 (Uk= £/U^) d*+ K ("feo - Mfej) (uso -) = Afeífes. j=i Pagsisiyasat ng parang multo na problema sa kaso ng isang homogenous na pakete ng mga rod. Kinakatawan ang displacement function m-(x, t) sa anyo na m-(x, t) = m-(x), pagkatapos paghiwalayin ang mga variable, nakakakuha tayo ng mga spectral na problema para sa bawat rod: ^0u + LM = 0, ^ = 0,1,2,..., N (10) na isinusulat namin sa matrix form 4 £ + Li = 0, A = -,-,-,...,- \ t0 t1 t2 t« u = (u0, u1, u2,..., u') ibig sabihin. Solusyon at pagsusuri ng mga nakuhang resulta. Italaga natin ang mga function ng displacement para sa central rod sa seksyon bilang u01 at sa seksyon bilang u02 (g). Sa kasong ito, para sa function na u02, inililipat namin ang pinagmulan ng mga coordinate sa puntong may coordinate /. Para sa bawat baras, kinakatawan namin ang solusyon ng equation (10) sa anyo Upang mahanap ang hindi kilalang mga constant sa (11), ginagamit namin ang mga kundisyon ng hangganan na nabuo sa itaas. Mula sa mga homogenous na kondisyon ng hangganan, ang ilang mga constant ay maaaring matukoy, katulad: C02 = C12 = C22 = C32 = C42 = ... = CN 2 = 0. Bilang resulta, nananatili itong makahanap ng N + 3 na mga constant: C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41,..., CN1. Upang gawin ito, malulutas namin ang N + 3 equation para sa N + 3 na hindi alam. Isinulat namin ang nagresultang sistema sa matrix form: (A) (C) = (0) . Dito (C) = (C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41,..., Cn 1)m ay ang vector ng mga hindi alam; (A) - katangian matrix, cos (L1) EF0 L sin (L1) + L sin (L (Zo - 1)) L cos (L (Zo - 1)) 0 00 0 \ -1 0 0000 0 y 00 00 0 000Y a \u003d k coe ^ ^A-L^; c \u003d -k co8 ((.40-01L) 1 / 2 ^; 7 \u003d (A4 "-1 l) 1/2 ap ((A" 1l) 1/2 + sa mga kuwago ((A "1l) 1/2; (~ \ 1/2 ~ A = ^ A] ; A-- : 3 = 0. Upang makahanap ng isang di-maliit na solusyon, kinukuha namin ang pare-parehong C01 € M bilang isang variable. Mayroon kaming dalawang pagpipilian: C01 = 0; C01 = 0. Hayaan ang С01 = 0, pagkatapos ay С03 = С04 = 0. Sa kasong ito, maaaring makuha ang isang nontrivial na solusyon kung 7 = 0 mula sa (12) sa ilalim ng karagdagang kondisyon £ c-1 = 0, (13) na maaaring makuha mula sa ikatlong equation ng system (12). Bilang resulta, nakakakuha kami ng isang simpleng frequency equation EP (A "1 L) 1/2 w ((A" 1 ^ 1/2 P + zz y \ V zz K cos ^ (A-/a) 1/2 ^ = 0, j G , coinciding sa frequency equation para sa isang rod na elastically fixed sa isang dulo, na maaaring ituring bilang ang unang partial system. Sa kasong ito, ang lahat ng posibleng kumbinasyon ng mga paggalaw ng mga side rod na nakakatugon sa kondisyon (13) ay maaaring kondisyon na nahahati sa mga grupo na naaayon sa iba't ibang mga kumbinasyon ng mga phase (sa kaso na isinasaalang-alang, ang yugto ay tinutukoy ng tanda ng S.d). Kung magkapareho ang mga side rod, mayroon kaming dalawang pagpipilian: 1) Cd \u003d 0, kung gayon ang bilang ng naturang mga kumbinasyon n para sa iba't ibang N ay maaaring kalkulahin ng formula n \u003d N 2, kung saan ang dibisyon ng function na walang natitira; 2) anuman (o alinman) sa mga C- constant ay katumbas ng 0, pagkatapos ay tataas ang bilang ng mga posibleng kumbinasyon at maaaring matukoy ng formula £ [(N - m) div 2]. Hayaan ang Coi = 0, pagkatapos ay Cn = C21 = C31 = C41 = ... = CN1 = C01 (-v/t), kung saan ang c at y ay mga complex sa (12). Mula sa system (12) mayroon din tayong: C03 = C01 cos (L/); C04=C03 tg (L (/0 - /)) = C01 cos (A/) x x tg (L (/0 - /)), i.e. lahat ng mga constant ay ipinahayag sa pamamagitan ng C01. Ang frequency equation ay tumatagal ng form EFo U-o1 L tg A-1 L) "(lo - l)) - K2 cos | ía!-,1 L Bilang halimbawa, isaalang-alang ang isang sistema na may apat na side rods. Bilang karagdagan sa pamamaraang inilarawan sa itaas, para sa halimbawang ito, maaari mong isulat ang frequency equation para sa buong system sa pamamagitan ng pagkalkula ng determinant ng matrix A at pagtumbas nito sa zero. Ipinakita namin ang anyo nito Y4 (L sin (L (/o - /)) cos (L/) EFoL+ L cos (L (/ o - /)) (EFoL sin (L /) + 4v)) - 4avt3L cos (L(/0 - /)) = 0. Ang mga graph ng transendental frequency equation para sa mga kaso na isinasaalang-alang sa itaas ay ipinapakita sa fig. 2. Ang mga sumusunod na data ay kinuha bilang paunang data: EF = 2109 N; EF0 = 2.2 109 N; k = 7 107 N/m; m = 5900 kg/m; mo = 6000 kg/m; //23; /o = 33 m. Ang mga halaga ng unang tatlong frequency ng oscillation ng scheme na isinasaalang-alang ay ibinibigay sa ibaba: n..................................... at, rad/s...................... 1 2 3 20,08 31,53 63,50 kanin. 2. Mga plot ng transendental frequency equation para sa Coi = 0 (i) at Coi = 0 (2) Ipakita natin ang mga mode ng panginginig ng boses na naaayon sa mga nakuhang solusyon (sa pangkalahatang kaso, ang mga mode ng panginginig ng boses ay hindi na-normalize). Ang mga waveform na tumutugma sa una, pangalawa, pangatlo, ikaapat, ika-13 at ika-14 na frequency ay ipinapakita sa fig. 3. Sa unang dalas ng oscillation, ang mga side rod ay nag-o-oscillate na may parehong hugis, ngunit sa mga pares sa antiphase Fig.3. Mga mode ng panginginig ng boses ng gilid (1) at gitnang (2) na mga rod na tumutugma sa unang V = 3.20 Hz (a), ang pangalawang V = 5.02 Hz (b), ang ikatlong V = 10.11 Hz (c), ang ikaapat na V = 13.60 Hz (d), 13th V = 45.90 Hz (d) at 14th V = 50.88 Hz (e) frequency (Larawan 3, a), sa pangalawa - ang gitnang baras ay nag-oscillates, at ang mga lateral ay nag-oscillate sa parehong anyo sa phase (Larawan 3, b). Dapat pansinin na ang una at pangalawang mga frequency ng oscillation ng itinuturing na sistema ng baras ay tumutugma sa mga oscillations ng isang sistema na binubuo ng mga solidong katawan. Kapag nag-oscillate ang system sa ikatlong natural na dalas, ang mga node ay lilitaw sa unang pagkakataon (Larawan 3c). Ang ikatlo at kasunod na mga frequency (Larawan 3d) ay tumutugma sa nababanat na mga oscillations ng system. Sa pagtaas ng dalas ng mga oscillations na nauugnay sa isang pagbawas sa impluwensya ng mga nababanat na elemento, ang mga frequency at anyo ng mga oscillations ay malamang na bahagyang (Larawan 3, e, f). Ang mga curve ng mga function, ang mga punto ng intersection kung saan kasama ang abscissa axis ay mga solusyon ng transendental equation, ay ipinapakita sa fig. 4. Ayon sa figure, ang natural na oscillation frequency ng system ay matatagpuan malapit sa partial frequency. Tulad ng nabanggit sa itaas, habang tumataas ang dalas, tumataas ang tagpo ng mga natural na frequency na may bahagyang mga frequency. Bilang resulta, ang mga frequency kung saan nag-o-oscillate ang buong sistema ay nahahati sa dalawang grupo: ang mga malapit sa bahagyang frequency ng side rod at mga frequency na malapit sa partial frequency ng central rod. Mga konklusyon. Ang problema ng longitudinal vibrations ng isang pakete ng mga rod ay isinasaalang-alang. Ang mga katangian ng formulated boundary value problem at ang spectrum ng eigenvalues nito ay inilarawan. Ang isang solusyon ng parang multo na problema para sa isang di-makatwirang bilang ng mga homogenous side rods ay iminungkahi. Para sa isang numerical na halimbawa, ang mga halaga ng mga unang oscillation frequency ay matatagpuan at ang kaukulang mga form ay itinayo. Ang ilang mga katangian ng mga constructed mode ng vibrations ay ipinahayag din. kanin. 4. Mga curve ng mga function, ang mga punto ng intersection kung saan kasama ang abscissa axis ay mga solusyon ng transendental equation, para sa Cox = 0 (1), Cox = 0 (2) ay nag-tutugma sa unang partial system (side rod na naayos sa nababanat na elemento sa puntong x = I) at ng pangalawang partial system (5) (gitnang baras na naayos sa apat na nababanat na elemento sa punto A) PANITIKAN 1. Kolesnikov K.S. Rocket dynamics. M.: Mashinostroenie, 2003. 520 p. 2. Ballistic missiles at ilunsad na mga sasakyan / O.M. Alifanov, A.N. Andreev, V.N. Gushchin et al. M.: Drofa, 2004. 511 p. 3. Rabinovich B.I. Panimula sa dynamics ng spacecraft carrier rockets. M.: Mashinostroenie, 1974. 396 p. 4. Parameter study sa POGO stability ng liquid rockets / Z. Zhao, G. Ren, Z. Yu, B. Tang, Q. Zhang // J. ng Spacecraft at Rockets. 2011 Vol. 48. Ay. 3. P. 537-541. 5. Balakirev Yu.G. Mga pamamaraan para sa pagsusuri ng mga longitudinal oscillations ng carrier rockets na may likidong makina // Cosmonautics at Rocket Engineering. 1995. Blg. 5. S. 50-58. 6. Balakirev Yu.G. Mga kakaiba ng modelo ng matematika ng isang nakabalot na liquid-propellant na rocket bilang isang control object // Mga napiling problema ng lakas ng modernong mechanical engineering. 2008. S. 43-55. 7. Dokuchaev L.V. Pagpapabuti ng mga pamamaraan para sa pag-aaral ng dinamika ng isang sasakyang paglulunsad ng disenyo ng pakete, na isinasaalang-alang ang kanilang simetrya // Cosmonautics at Rocket Engineering. 2005. Blg. 2. S. 112-121. 8. Pozhalostin A.A. Pagbuo ng Tinatayang Analytical na Paraan para sa Pagkalkula ng Natural at Sapilitang Vibrations ng Elastic Shells na may Fluid: Cand. ... tech ni Dr. Mga agham. M., 2005. 220 p. 9. Kerin S.G. Mga linear differential equation sa mga puwang ng Banach. M.: Nauka, 1967. 464 p. 10. Kopachevsky I.D. Mga pamamaraan ng operator ng mathematical physics. Simferopol: OOO "Forma", 2008. 140 p. Kolesnikov K.S. Dinamika missile. Moscow, Mashinostroenie Publ., 2003. 520 p. Alifanov O.N., Andreev A.N., Gushchin V.N., eds. Ballisticheskie rakety at rakety-nositeli. Moscow, Drofa Publ., 2003. 511 p. Rabinovich B.I. Vvedenie v dinamiku raket-nositeley kosmicheskikh apparatov. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1974. 396 p. Zhao Z., Ren G., Yu Z., Tang B., Zhang Q. Parameter study sa POGO stability ng liquid fuel rocket. J. Spacecraft at Rockets, 2011, vol. 48, ay. 3, pp. 537-541. Balakirev Yu.G. Mga paraan ng pagsusuri ng mga longitudinal vibrations ng mga sasakyang inilunsad na may likidong propellant na makina. Kosm. i rockettostr. , 1995, hindi. 5, pp. 50-58 (sa Russ.). Balakirev Yu.G. Osobennosti matematicheskoy modeli zhidkostnoy rakety paketnoy komponovki kak ob "ekta upravlenii. Sb. "Izbrannye problemy prochnosti sovremennogo mashinostroeniya" . Moscow, Fizmatlit Publ., 2008. 204 p. (nabanggit 355 pp.). Dokuchaev L.V. Pagpapabuti ng mga pamamaraan para sa pag-aaral ng dynamics ng clustered launch vehicle na isinasaalang-alang ang kanilang simetrya. Kosm. i rockettostr. , 2005, hindi. 2, pp. 112-121 (sa Russ.). Pozhalostin A.A. Razrabotka priblizhennykh analiticheskikh metodov rascheta sobstvennykh i vynuzhdennykh kolebaniy uprugikh obolochek s zhidkost "yu. Diss. doct. tekhn. nauk . Kreyn S.G. Lineynye differentsial "nye uravneniya v Banakhovykh prostranstvakh. Moscow, Nauka Publ., 1967. 464 p. Kopachevskiy I.D. Operatornye metody matematicheskoy fiziki. Simferopol", Forma Publ., 2008. 140 p. Ang artikulo ay natanggap ng mga editor noong Abril 28, 2014 Pavlov Arseniy Mikhailovich - mag-aaral ng departamento na "Spacecraft at paglulunsad ng mga sasakyan" ng Moscow State Technical University. N.E. Bauman. Dalubhasa sa larangan ng rocket at space technology. MSTU im. N.E. Baumash, Russian Federation, 105005, Moscow, 2nd Baumanskaya st., 5. Pavlov A.M. - mag-aaral ng departamento ng "Spacecrafts and Launch Vehicles" ng Bauman Moscow State Technical University. Espesyalista sa larangan ng teknolohiya ng rocket-and-space. Bauman Moscow State Technical University, 2-ya Baumanskaya ul. 5, Moscow, 105005 Russian Federation. Temnov Alexander Nikolaevich - Ph.D. Phys.-Math. Sci., Associate Professor, Department of Spacecraft and Launch Vehicles, Moscow State Technical University. N.E. Bauman. May-akda ng higit sa 20 siyentipikong papel sa larangan ng fluid at gas mechanics at rocket at space technology. MSTU im. N.E. Baumash, Russian Federation, 105005, Moscow, 2nd Baumanskaya st., 5. Temnov A.N. - Cand. sci. (Phys.-Math.), assoc. propesor ng departamento ng "Spacecrafts and Launch Vehicles" ng Bauman Moscow State Technical University. May-akda ng higit sa 20 publikasyon sa larangan ng fluid at gas mechanics at rocket-and-space technology. Bauman Moscow State Technical University, 2-ya Baumanskaya ul. 5, Moscow, 105005 Russian Federation. Isaalang-alang natin ang isang pare-parehong baras ng haba, ibig sabihin, isang katawan ng cylindrical o iba pang hugis, para sa pag-unat o baluktot kung saan ang isang tiyak na puwersa ay dapat ilapat. Ang huling pangyayari ay nakikilala kahit na ang pinakamanipis na baras mula sa string, na, tulad ng alam natin, ay malayang yumuko. Sa kabanatang ito, ilalapat natin ang pamamaraan ng mga katangian sa pag-aaral ng mga longitudinal vibrations ng isang baras, at paghigpitan natin ang ating mga sarili sa pag-aaral lamang ng mga naturang vibrations kung saan ang mga cross section, na gumagalaw sa kahabaan ng axis ng rod, ay nananatiling flat at parallel sa bawat isa (Larawan 6). Ang ganitong palagay ay makatwiran kung ang mga nakahalang na sukat ng baras ay maliit kumpara sa haba nito. Kung ang baras ay medyo nakaunat o naka-compress sa kahabaan ng longitudinal axis, at pagkatapos ay iniwan sa sarili nito, pagkatapos ay ang mga longitudinal vibrations ay magaganap sa loob nito. Idirekta natin ang axis sa kahabaan ng axis ng rod at ipagpalagay na ang mga dulo ng rod ay nasa mga punto. Ipahiwatig sa pamamagitan ng pag-aalis ng seksyong ito sa sandali ng oras, kung gayon ang pag-aalis ng seksyon na may abscissa ay magiging katumbas ng Mula dito ay malinaw na ang kamag-anak na pagpahaba ng baras sa seksyon na may abscissa x ay ipinahayag ng derivative Ipagpalagay na ngayon na ang baras ay nagsasagawa ng maliliit na panginginig ng boses, maaari nating kalkulahin ang pag-igting Real sa seksyong ito, na inilalapat ang batas ni Hooke, nalaman natin na nasaan ang modulus ng elasticity ng rod material, ang cross-sectional area nito. Kunin ang elemento ng baras, nakapaloob sa pagitan ng dalawang seksyon, ang mga abscissas na kung saan sa pamamahinga ay pantay-pantay. at diniretso kasama . Sa kabilang banda, ang acceleration ng elemento ay pantay, kaya maaari nating isulat ang pagkakapantay-pantay nasaan ang bulk density ng baras. Paglalagay at pagbabawas sa pamamagitan ng makuha natin ang differential equation ng longitudinal vibrations ng isang homogenous rod Ang anyo ng equation na ito ay nagpapakita na ang mga longitudinal oscillations ng rod ay isang wave nature, at ang velocity a ng propagation ng longitudinal waves ay tinutukoy ng formula (4). Kung ang isang panlabas na puwersa na kinakalkula sa bawat yunit ng dami nito ay kumikilos din sa baras, pagkatapos ay sa halip na (3) makuha natin Ito ang equation ng sapilitang longitudinal vibrations ng baras. Tulad ng sa dynamics sa pangkalahatan, ang isang equation ng paggalaw (6) ay hindi sapat upang ganap na matukoy ang paggalaw ng baras. Kinakailangang itakda ang mga paunang kondisyon, ibig sabihin, itakda ang mga displacement ng mga seksyon ng baras at ang kanilang mga bilis sa paunang sandali ng oras kung saan at binibigyan ng mga function sa pagitan ( Bilang karagdagan, dapat na tukuyin ang mga kundisyon ng hangganan sa mga dulo ng bar. Halimbawa. Sa seksyong ito, isasaalang-alang natin ang problema ng mga longitudinal vibrations ng isang homogenous rod. Ang baras ay isang katawan ng isang cylindrical (sa partikular, prismatic) na hugis, para sa pag-unat o pag-compress kung saan ang isang kilalang puwersa ay dapat ilapat. Ipagpalagay namin na ang lahat ng pwersa ay kumikilos sa kahabaan ng axis ng rod at ang bawat isa sa mga cross section ng rod (Fig. 23) ay gumagalaw sa pagsasalin lamang sa kahabaan ng axis ng rod. Ang pagpapalagay na ito ay karaniwang nabibigyang katwiran kung ang mga nakahalang na sukat ng baras ay maliit kumpara sa haba nito, at ang mga puwersa na kumikilos sa kahabaan ng axis ng baras ay medyo maliit. Sa pagsasagawa, ang mga longitudinal vibrations ay kadalasang nangyayari kapag ang baras ay unang bahagyang nakaunat o, sa kabaligtaran, naka-compress, at pagkatapos ay iniwan sa sarili nito. Sa kasong ito, ang mga libreng longitudinal vibrations ay lumabas dito. Kunin natin ang mga equation para sa mga oscillation na ito. Idirekta natin ang abscissa axis sa kahabaan ng axis ng baras (Larawan 23); sa pamamahinga, ang mga dulo ng baras ay may mga abscissas, ayon sa pagkakabanggit. - abscissa nito sa pahinga. Ang displacement ng seksyong ito sa anumang oras t ay mailalarawan ng isang function upang mahanap kung saan dapat tayong bumuo ng isang differential equation. Una sa lahat, nakita namin ang kamag-anak na pagpahaba ng seksyon ng baras na nakatali ng mga seksyon. Kung ang abscissa ng seksyon sa pahinga ay Samakatuwid, ang kamag-anak na pagpahaba ng baras sa seksyon na may abscissa sa oras na t ay katumbas ng Ipagpalagay na ang mga puwersang nagdudulot ng pagpapahaba na ito ay sumusunod sa batas ni Hooke, makikita natin ang laki ng puwersa ng tensyon T na kumikilos sa cross section: nasaan ang cross-sectional area ng rod, at ang modulus of elasticity (Young's modulus) ng rod material. Formula (5.2) ay dapat na kilala sa mambabasa mula sa lakas ng mga materyales na kurso. Alinsunod dito, ang puwersa na kumikilos sa seksyon ay katumbas ng Dahil pinapalitan ng mga puwersa ang pagkilos ng mga tinanggihang bahagi ng baras, ang kanilang resulta ay katumbas ng pagkakaiba Isinasaalang-alang ang napiling seksyon ng baras bilang isang materyal na punto na may masa , kung saan ang bulk density ng baras, at inilalapat ang pangalawang batas ni Newton dito, binubuo namin ang equation Ang pagbabawas ng at pagpapakilala ng notasyon, nakuha namin ang differential equation ng libreng longitudinal vibrations ng baras Kung ipagpalagay din natin na ang isang panlabas na puwersa na kinakalkula sa bawat dami ng yunit at kumikilos sa kahabaan ng axis ng baras ay inilapat sa baras, pagkatapos ay isang termino ay idaragdag sa kanang bahagi ng kaugnayan (5 3) at ang equation (5.4) ay kukuha ng anyo na eksaktong coincides sa equation ng sapilitang vibrations ng string. Bumaling tayo ngayon sa pagtatatag ng mga kondisyon ng paunang at hangganan ng problema at isaalang-alang ang pinaka-kagiliw-giliw na kaso sa pagsasanay, kapag ang isang dulo ng baras ay naayos at ang isa ay libre. Sa libreng dulo, magkakaroon ng ibang anyo ang kundisyon ng hangganan. Dahil walang mga panlabas na pwersa sa dulong ito, ang puwersa T na kumikilos sa seksyon ay dapat ding katumbas ng zero, i.e. Ang mga oscillations ay nangyayari dahil sa unang sandali ang baras ay na-deform (naunat o naka-compress) at ang ilang mga paunang bilis ay ibinigay sa mga punto ng baras. Samakatuwid, dapat nating malaman ang pag-aalis ng mga cross section ng baras sa sandaling ito pati na rin ang mga paunang bilis ng mga punto ng pamalo Kaya, ang problema ng libreng longitudinal vibrations ng isang baras na naayos sa isang dulo, na nagmumula dahil sa paunang compression o pag-igting, ay humantong sa amin sa equation na may mga paunang kondisyon at kundisyon ng hangganan Ito ang huling kundisyon na nagpapakilala sa mathematical point of view ng problemang isinasaalang-alang mula sa problema ng vibrations ng isang string na naayos sa magkabilang dulo. Malulutas natin ang nabuong problema sa pamamagitan ng pamamaraang Fourier, ibig sabihin, maghanap ng mga partikular na solusyon ng equation na nakakatugon sa mga kundisyon ng hangganan (5.8), sa anyo Dahil ang karagdagang kurso ng solusyon ay kahalintulad sa nakabalangkas na sa § 3, kinukulong natin ang ating sarili sa mga maikling indikasyon. Ang pag-iiba ng function , pagpapalit ng mga resultang expression sa (5.6) at paghihiwalay ng mga variable, nakuha namin (Iniiwan namin sa mambabasa na itatag para sa kanyang sarili na, dahil sa mga kundisyon ng hangganan, ang pare-pareho sa kanang bahagi ay hindi maaaring maging positibong numero o zero.) Ang pangkalahatang solusyon ng equation ay may anyo Dahil sa mga kundisyon na ipinataw sa function, magkakaroon tayo Ang mga solusyon na hindi magkaparehong katumbas ng zero ay makukuha lamang kung ang kundisyon ay natutugunan, ibig sabihin, para sa , kung saan ang k ay maaaring kunin ang mga halaga Kaya, ang eigenvalues ng problema ay ang mga numero Ang bawat isa ay may sariling function Tulad ng alam na natin, ang pagpaparami ng alinman sa mga eigenfunction sa pamamagitan ng isang arbitrary na pare-pareho, makakakuha tayo ng solusyon sa equation na may mga kundisyon sa hangganan na itinakda. Madaling suriin na, sa pamamagitan ng pagbibigay ng mga negatibong halaga sa numero k, hindi tayo makakakuha ng mga bagong eigenfunction (halimbawa, kapag nakakuha tayo ng isang function na naiiba sa eigenfunction ) sa sign lamang), Patunayan muna natin na ang eigenfunctions (5.11) ay orthogonal sa pagitan . Sa katunayan, sa Kung , kung gayon Posibleng patunayan ang orthogonality ng eigenfunctions sa ibang paraan, hindi umaasa sa kanilang tahasang mga expression, ngunit gumagamit lamang ng differential equation at mga kundisyon sa hangganan. Hayaan at maging dalawang magkaibang eigenvalues, at maging katumbas na eigenfunctions. Sa pamamagitan ng kahulugan, ang mga function na ito ay nagbibigay-kasiyahan sa mga equation at mga kondisyon sa gilid. I-multiply ang una sa mga equation ng pangalawa at ibawas ang isa sa isa.
(5.2)
