mga numero sa anyong trigonometriko.

Formula ng De Moivre

Hayaan ang z 1 = r 1 (cos  1 + isin  1) at z 2 = r 2 (cos  2 + isin  2).

Ang trigonometriko na anyo ng isang kumplikadong numero ay maginhawang gamitin upang maisagawa ang mga operasyon ng multiplikasyon, paghahati, pagtaas sa isang integer na kapangyarihan, at pagkuha ng isang ugat ng degree n.

z 1 ∙ z 2 = r 1 ∙ r 2 (cos ( 1 +  2) + i sin( 1 +  2)).

Kapag nagpaparami ng dalawang kumplikadong numero sa trigonometric form, ang kanilang moduli ay pinarami at ang kanilang mga argumento ay idinagdag. Kapag naghahati ang kanilang moduli ay nahahati at ang kanilang mga argumento ay ibinabawas.

Ang isang kinahinatnan ng panuntunan para sa pagpaparami ng isang kumplikadong numero ay ang panuntunan para sa pagpapataas ng isang kumplikadong numero sa isang kapangyarihan.

z = r(cos  + i sin ).

z n \u003d r n (cos n + isin n).

Ang ratio na ito ay tinatawag Ang formula ni De Moivre.

Halimbawa 8.1 Hanapin ang produkto at quotient ng mga numero:

At

Solusyon

z1∙z2
∙

=

;

Halimbawa 8.2 Sumulat ng isang numero sa trigonometric form

∙
-i) 7 .

Solusyon

Magpakilala
at z 2 =
– i.

r 1 = |z 1 | = √ 1 2 + 1 2 = √ 2;  1 = argz 1 = arctg ;

z1 =
;

r 2 = |z 2 | = √(√ 3) 2 + (– 1) 2 = 2;  2 = arg z 2 = arctg
;

z2 = 2
;

z 1 5 = (
) 5
; z 2 7 = 2 7

z = (
) 5 2 7
=

2 9

§ 9 Pagkuha ng ugat ng isang kumplikadong numero

Kahulugan. ugatnika kapangyarihan ng isang kumplikadong numero z (nagsasaad
) ay isang kumplikadong numero na w n = z. Kung z = 0, kung gayon
= 0.

Hayaan ang z  0, z = r(cos + isin). Ipahiwatig ang w = (cos + sin), pagkatapos ay isulat natin ang equation na w n = z sa sumusunod na anyo

 n (cos(n ) + isin(n )) = r(cos + isin).

Kaya  n = r,

 =

Kaya w k =
·
.

Mayroong eksaktong n natatanging mga halaga sa mga halagang ito.

Samakatuwid, k = 0, 1, 2, …, n – 1.

Sa kumplikadong eroplano, ang mga puntong ito ay ang mga vertex ng isang regular na n-gon na nakasulat sa isang bilog na may radius.
nakasentro sa punto O (Larawan 12).

Larawan 12

Halimbawa 9.1 Hanapin ang lahat ng mga halaga
.

Solusyon.

Katawanin natin ang numerong ito sa anyong trigonometric. Hanapin ang modulus at argumento nito.

w k =
, kung saan ang k = 0, 1, 2, 3.

w 0 =
.

w 1 =
.

w 2 =
.

w 3 =
.

Sa kumplikadong eroplano, ang mga puntong ito ay ang mga vertex ng isang parisukat na nakasulat sa isang bilog na may radius
nakasentro sa pinanggalingan (Figure 13).

Larawan 13 Larawan 14

Halimbawa 9.2 Hanapin ang lahat ng mga halaga
.

Solusyon.

z = - 64 = 64(cos + isin);

w k =
, kung saan ang k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

w 0 =
; w 1 =
;

w 2 =
w 3 =

w4 =
; w 5 =
.

Sa kumplikadong eroplano, ang mga puntong ito ay ang mga vertices ng isang regular na hexagon na nakasulat sa isang bilog na may radius na 2 na nakasentro sa puntong O (0; 0) - Figure 14.

§ 10 Ang exponential form ng isang complex number.

Formula ng Euler

Magpakilala
= cos  + isin  at
= cos  - isin  . Ang mga ratios na ito ay tinatawag Mga formula ng Euler .

Function
ay may mga karaniwang katangian ng isang exponential function:

Hayaang isulat ang complex number z sa trigonometric form z = r(cos + isin).

Gamit ang formula ng Euler, maaari nating isulat:

z = r
.

Ang entry na ito ay tinatawag na indicative form kumplikadong numero. Gamit ito, nakukuha namin ang mga patakaran para sa multiplikasyon, paghahati, exponentiation at root extraction.

Kung z 1 = r 1
at z 2 = r 2
?Iyon

z 1 z 2 = r 1 r 2
;

·

z n = r n

, kung saan ang k = 0, 1, … , n – 1.

Halimbawa 10.1 Sumulat ng numero sa algebraic form

z=
.

Solusyon.

Halimbawa 10.2 Lutasin ang equation z 2 + (4 - 3i)z + 4 - 6i = 0.

Solusyon.

Para sa anumang mga kumplikadong coefficient, ang equation na ito ay may dalawang ugat z 1 at z 1 (maaaring magkasabay). Ang mga ugat na ito ay matatagpuan gamit ang parehong formula tulad ng sa totoong kaso. kasi
tumatagal sa dalawang halaga na naiiba lamang sa sign, pagkatapos ang formula na ito ay may anyo:

Dahil –9 \u003d 9 e  i, pagkatapos ay ang mga halaga
ang mga numero ay magiging:

Pagkatapos
At
.

Solusyon.

Ang nais na mga ugat ng equation ay ang mga halaga
.

Para sa z = –1 mayroon tayong r = 1, arg(–1) = .

w k =
, k = 0, 1, 2.

Mga ehersisyo

9 Ipakita sa exponential form ang mga numero:

10 Isulat sa exponential at algebraic na anyo ng numero:

11 Isulat sa algebraic at geometric na anyo ang mga numero:

12 Mga binigay na numero

Paglalahad ng mga ito sa exponential form, hanapin
.

13 Gamit ang exponential form ng complex number, gawin ang sumusunod:

A)
b)

V)
G)

Sa at natural na numero n 2 .

Kumplikadong numero Z tinawag ugatn– c, Kung Z n = c.

Hanapin ang lahat ng root value n– ika degree mula sa isang kumplikadong numero Sa. Hayaan c=| c|·(cos Arg c+ i· kasalanan Argkasama), A Z = | Z|·(kasama angos Arg Z + i· kasalanan Arg Z) , Saan Z ugat n- ika degree mula sa isang kumplikadong numero Sa. Pagkatapos ito ay dapat na = c = | c|·(cos Arg c+ i· kasalanan Argkasama). Kaya naman sinusunod iyon
At n· Arg Z = ArgSa
Arg Z =
(k=0,1,…) . Kaya naman, Z =
(cos
+ i· kasalanan
), (k=0,1,…) . Ito ay madaling makita na ang alinman sa mga halaga
, (k=0,1,…) naiiba sa isa sa mga katumbas na halaga
,(k = 0,1,…, n-1) sa maramihan 2π. kaya lang , (k = 0,1,…, n-1) .

Halimbawa.

Kalkulahin ang ugat ng (-1).

, malinaw naman |-1| = 1, arg (-1) = π

-1 = 1 (cos π + i· kasalanan π )

, (k = 0, 1).

= i

Degree na may arbitrary rational exponent

Kumuha ng arbitrary complex number Sa. Kung n natural na numero, kung gayon Sa n = | c| n ·(Kasama angos nArgmay +i· kasalanan nArgkasama)(6). Totoo rin ang formula na ito sa kaso n = 0 (c≠0)
. Hayaan n < 0 At n Z At c ≠ 0, Pagkatapos

Sa n =
(cos nArgSa+ako nagkasala nArgSa) = (cos nArgSa+ nagkasala ako nArgSa) . Kaya, ang formula (6) ay may bisa para sa alinman n.

Kumuha tayo ng rational number , Saan q natural na numero, at R ay isang integer.

Tapos sa ilalim degree c r unawain natin ang bilang
.

Nakukuha namin iyon ,

(k = 0, 1, …, q-1). Ang mga halagang ito q piraso, kung ang fraction ay hindi nabawasan.

Lecture №3 Ang limitasyon ng isang sequence ng complex number

Ang isang kumplikadong pinahahalagahan na function ng isang natural na argumento ay tinatawag pagkakasunud-sunod ng mga kumplikadong numero at ipinapahiwatig (Kasama ang n ) o Sa 1 , Kasama 2 , ..., Kasama n . Sa n = a n + b n · i (n = 1,2, ...) kumplikadong mga numero.

Sa 1 , Kasama 2 , … - mga miyembro ng sequence; Sa n - karaniwang miyembro

Kumplikadong numero Sa = a+ b· i tinawag limitasyon ng pagkakasunod-sunod ng mga kumplikadong numero (c n ) , Saan Sa n = a n + b n · i (n = 1, 2, …) , kung saan para sa anumang

, para sa lahat yan n > N ang hindi pagkakapantay-pantay
. Ang pagkakasunod-sunod na may hangganan na limitasyon ay tinatawag nagtatagpo pagkakasunod-sunod.

Teorama.

Upang magkaroon ng pagkakasunod-sunod ng mga kumplikadong numero (na may n ) (Kasama ang n = a n + b n · i) converged sa isang numero na may = a+ b· i, ay kinakailangan at sapat para sa pagkakapantay-pantaylim a n = a, lim b n = b.

Patunay.

Papatunayan natin ang theorem batay sa sumusunod na halatang dobleng hindi pagkakapantay-pantay

, Saan Z = x + y· i (2)

Pangangailangan. Hayaan lim(Kasama ang n ) = kasama. Ipakita natin na ang pagkakapantay-pantay lim a n = a At lim b n = b (3).

Malinaw (4)

kasi
, Kailan n → ∞ , pagkatapos ay sumusunod mula sa kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay (4) na
At
, Kailan n → ∞ . samakatuwid ang pagkakapantay-pantay (3) ay hawak. Ang pangangailangan ay napatunayan.

Kasapatan. Ngayon, hayaan ang pagkakapantay-pantay (3). Ito ay sumusunod mula sa pagkakapantay-pantay (3) na
At
, Kailan n → ∞ , samakatuwid, dahil sa kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay (4), ito ay magiging
, Kailan n→∞ , Ibig sabihin lim(Kasama ang n )=s. Ang sapat ay napatunayan.

Kaya, ang tanong ng convergence ng isang sequence ng mga kumplikadong numero ay katumbas ng convergence ng dalawang real number sequence, samakatuwid, ang lahat ng mga pangunahing katangian ng mga limitasyon ng real number sequences ay nalalapat sa mga sequence ng complex number.

Halimbawa, para sa mga pagkakasunud-sunod ng mga kumplikadong numero, ang pamantayan ng Cauchy ay wasto: para sa pagkakasunod-sunod ng mga kumplikadong numero (na may n ) converged, ito ay kinakailangan at sapat na para sa anumang

, na para sa anumangn, m > Nang hindi pagkakapantay-pantay
.

Teorama.

Hayaan ang isang pagkakasunod-sunod ng mga kumplikadong numero (na may n ) At (z n ) magkatagpo ayon sa pagkakabanggit sa atz, pagkatapos ay ang pagkakapantay-pantaylim(Kasama ang n z n ) = c z, lim(Kasama ang n · z n ) = c· z. Kung ito ay kilala para sa tiyak nazay hindi katumbas ng 0, pagkatapos ay ang pagkakapantay-pantay
.