MGA VECTOR
Mga vector tinatawag na mathematical objects ( a, b, c, …), kung saan ang dalawang algebraic na operasyon ay tinukoy:
pagdaragdag ng dalawang vectors a+b=c
pagpaparami ng isang vector sa isang numero a a = b.
Ang pinakamahalagang tampok ng mga operasyong ito ay palaging nagreresulta ang mga ito sa isang vector na kapareho ng uri ng mga orihinal na vector. Samakatuwid, ang pagkakaroon ng ilang paunang hanay ng mga vectors, maaari nating unti-unting palawakin ito, i.e. makakuha ng higit at higit pang mga bagong vector, na inilalapat ang mga operasyon ng pagdaragdag at pagpaparami ng isang numero sa mga umiiral nang vector. Sa huli, darating tayo sa isang hanay ng mga vectors na hindi na lalawak, i.e. lumalabas na sarado na may paggalang sa ipinahiwatig na mga operasyon. Ang ganitong hanay ng mga vector ay tinatawag espasyo ng vector.
Kung, kapag nagsasagawa ng mga operasyong ito, karagdagang mga kondisyon ng linearity :
a( a+b)= a isang + a b
(a + b) a = a isang + b b
pagkatapos ay tinawag ang nagresultang espasyo linear space (LP) o linear na vector space (HDL). Maaaring magsilbi ang LCS, kasama ng mga pangkat ng symmetry, bilang isa pang halimbawa ng mga istrukturang matematikal na mga saradong hanay ng mga bagay ng parehong uri at inayos sa isang tiyak na paraan (sa tulong ng mga algebraic na operasyon).
Mga Linear na Kumbinasyon
Ang pagkakaroon ng mga operasyon ng pagdaragdag ng mga vectors at pagpaparami ng mga ito sa pamamagitan ng mga numero, posible na bumuo ng isang mas kumplikadong konstruksyon ng uri:
a isang + b b+ g c + ..... = x
na tinatawag na linear na kumbinasyon (LC) na mga vector a, b, c, . . . na may mga coefficient a, b, g, . . . , ayon sa pagkakabanggit.
Ang konsepto ng LC ay nagpapahintulot sa amin na bumalangkas ng ilang pangkalahatang tuntunin:
· anumang LC ng anumang vectors ng ilang LP ay isa ring vector ng parehong LP;
anumang vector ng ilang LP ay maaaring katawanin bilang isang LC ng ilang vectors ng parehong LP;
sa anumang LP mayroong isang kilalang hanay ng mga vector na tinatawag itinakda ng batayan (o simple lang batayan ) na lahat, nang walang pagbubukod, ang mga vector ng LP na ito ay maaaring katawanin bilang mga linear na kumbinasyon ng mga napiling batayang vector na ito. Isang mahalagang kondisyon ang ipinapataw sa mga vector na pinili bilang mga batayan: dapat sila linearly independent sa kanilang mga sarili (hindi dapat ipahayag sa pamamagitan ng bawat isa, i.e.: x≠a × y).
Ginagawang posible ng mga panuntunang ito na ipakilala ang isang espesyal na paraan ng paglalarawan ng anumang LP. Pinipili namin ang isang set ng batayan at pinalawak ang lahat ng mga vector na interesado sa amin sa batayan na ito (ibig sabihin, kinakatawan namin ang mga ito sa anyo ng mga vector na batayan ng LK); pagkatapos ang bawat vector ay maaaring natatanging tukuyin sa pamamagitan ng isang set ng mga LC coefficient na naaayon sa ibinigay na vector. Ang ganitong mga coefficient ay tinatawag mga coordinate vector (na may paggalang sa ibinigay na batayan). Binibigyang-diin namin na ang mga coordinate ng isang vector ay mga ordinaryong numero, at ang coordinate na representasyon ng isang vector ay nagpapahintulot sa amin na ilarawan ito sa pamamagitan lamang ng isang hanay ng mga numero, anuman ang tiyak na pisikal na kahulugan na inilagay namin sa konsepto ng isang vector.
Isaalang-alang natin ang isang partikular na halimbawa. Ipagpalagay na mayroon tayong isang hanay ng iba't ibang pinaghalong dalawang purong kemikal: tubig at alkohol. Sa lahat ng posibleng mga mixture, ibinubukod namin ang dalawang espesyal:
1) pinaghalong S1 naglalaman ng 100% tubig at 0% na alkohol;
2) pinaghalong S2 naglalaman ng 0% tubig at 100% alkohol.
Malinaw na ang isang di-makatwirang timpla ay maaaring katawanin bilang isang LC ng dalawang pangunahing pinaghalong ito:
S = n 1 * S1 + n 2 * S2
at ganap na kilalanin ito gamit ang dalawang numero-coordinate: n 1 at n 2. Sa madaling salita, dahil sa set ng batayan, maaari nating itatag ang katumbas ng isang di-makatwirang pinaghalong kemikal at isang hanay ng mga numero:
S~ {n 1 , n 2 }.
Ngayon ay sapat na upang palitan ang partikular na kemikal na salitang "halo" ng abstract mathematical term na "vector" upang makakuha ng modelong HDL na naglalarawan sa hanay ng mga pinaghalong dalawang sangkap.
3.3. Linear na pagsasarili ng mga vectors. Batayan.Linear kumbinasyon mga sistema ng vector
tinatawag na vector
kung saan a 1 , a 2 , ..., a n - di-makatwirang mga numero.
Kung lahat ng i = 0, pagkatapos ay ang linear na kumbinasyon ay tinatawag walang kuwenta . Sa kasong ito, malinaw naman
Kahulugan 5.
|
Kung para sa isang sistema ng mga vectors
mayroong isang di-trivial na linear na kumbinasyon (kahit isa a i ¹ 0) katumbas ng zero vector: pagkatapos ay ang sistema ng mga vectors ay tinatawag linearly umaasa. Kung ang pagkakapantay-pantay (1) ay posible lamang kung lahat a i =0, pagkatapos ay tinatawag ang sistema ng mga vectors linearly malaya . |
Teorama 2 (Linear na mga kondisyon ng pagdepende).
Kahulugan 6.
Mula sa Theorem 3 ito ay sumusunod na kung ang isang batayan ay ibinigay sa espasyo, pagkatapos ay pagdaragdag ng isang di-makatwirang vector dito, makakakuha tayo ng isang linearly dependent na sistema ng mga vector. Alinsunod sa Teorama 2 (1) , isa sa mga ito (maaari itong ipakita na ang vector ) ay maaaring katawanin bilang isang linear na kumbinasyon ng iba pa:
.
Kahulugan 7.
|
Numero tinawag mga coordinate mga vector sa batayan (tinutukoy
|
Kung ang mga vector ay isasaalang-alang sa isang eroplano, kung gayon ang batayan ay isang nakaayos na pares ng mga di-collinear na vector
at ang mga coordinate ng vector sa batayan na ito ay isang pares ng mga numero:
Puna 3. Maaari itong ipakita na para sa isang naibigay na batayan, ang mga coordinate ng vector ay natatanging tinutukoy . Mula dito, lalo na, sinusundan iyon kung ang mga vector ay pantay, kung gayon ang kanilang kaukulang mga coordinate ay pantay, at kabaliktaran .
Kaya, kung ang isang batayan ay ibinigay sa espasyo, kung gayon ang isang order na triple ng mga numero (vector coordinates sa batayan na ito) ay tumutugma sa bawat vector ng espasyo, at kabaliktaran: ang bawat triple ng mga numero ay tumutugma sa isang vector.
Sa eroplano, ang isang katulad na sulat ay itinatag sa pagitan ng mga vector at mga pares ng mga numero.
Teorama 4 (Mga linear na operasyon sa pamamagitan ng mga coordinate ng mga vector).
|
Kung sa ilang batayan At a ay isang arbitrary na numero, pagkatapos ay sa batayan na ito |
Sa ibang salita:
kapag ang isang vector ay pinarami ng isang numero, ang mga coordinate nito ay pinarami ng numerong iyon ;
kapag ang mga vector ay idinagdag, ang kanilang mga kaukulang coordinate ay idinaragdag .
Halimbawa 1 . Sa ilang batayan, ang mga vectorsmay mga coordinate
Ipakita na ang mga vector ay bumubuo ng isang batayan at hanapin ang mga coordinate ng vector sa batayan na ito.
Ang mga vector ay bumubuo ng isang batayan kung sila ay hindi coplanar, samakatuwid (ayon sa Teorama 3(2) ) ay linearly independent.
Sa pamamagitan ng kahulugan 5 ito ay nangangahulugan na ang pagkakapantay-pantay
posible lamang kapagx = y = z = 0.
Ang isang linear na kumbinasyon ng mga vector mula sa ay tinatawag na vector st at . Malinaw na ang isang linear na kumbinasyon ng mga linear na kumbinasyon ng mga vector ay muli na isang linear na kumbinasyon ng mga vector na ito.
Ang isang set ng mga vector ay tinatawag na linearly independent kung ang pagkakapantay-pantay ay posible lamang para sa . Kung, gayunpaman, mayroong si na hindi katumbas ng zero sa parehong oras at tulad ng st - 0, kung gayon ang hanay ng mga vector ay tinatawag na linearly dependent. Ang mga kahulugang ito ay pareho sa mga ibinigay sa pahina 108 para sa mga string.
Proposisyon 1. Ang isang koleksyon ng mga vector ay linearly dependent kung at kung ang isa sa mga vector ay linear na kumbinasyon ng iba.
Proposisyon 2. Kung ang koleksyon ng mga vector ay linearly independent, at ang koleksyon ay linearly dependent, ang vector ay isang linear na kumbinasyon ng mga vectors.
Proposisyon 3. Kung ang mga vector ay mga linear na kumbinasyon ng mga vectors , ang set ay linearly dependent.
Ang mga patunay ng mga pangungusap na ito ay hindi naiiba sa mga patunay ng mga katulad na pangungusap para sa mga string (pp. 108-110).
Ang isang set ng mga vector ay tinatawag na pagbuo kung ang lahat ng mga vector ng espasyo ay ang kanilang mga linear na kumbinasyon. Kung mayroong isang finite generating system para sa space S, kung gayon ang space ay tinatawag na finite-dimensional, kung hindi man ito ay tinatawag na infinite-dimensional. Sa isang finite-dimensional na espasyo, hindi maaaring umiral ang mga linearly independent na koleksyon ng mga vector na arbitraryong malaki (sa bilang ng mga vectors), dahil, ayon sa Proposisyon 3, ang anumang koleksyon ng mga vector na lumampas sa bumubuo ng koleksyon sa bilang ng mga vector ay linearly dependent.
Ang espasyo ng mga matrice ng mga nakapirming laki at, sa partikular, ang espasyo ng mga hilera ng nakapirming haba ay may hangganan-dimensional; bilang isang sistema ng pagbuo, ang isa ay maaaring kumuha ng mga matrice na may isa sa isang posisyon at may mga zero sa iba.
Ang espasyo ng lahat ng polynomial mula sa ay infinite-dimensional na, dahil ang set ng polynomials ay linearly independent para sa alinmang .
Sa mga sumusunod, isasaalang-alang namin ang mga may hangganan na dimensyon na mga puwang.
Proposisyon 4. Anumang minimal (sa bilang ng mga vector) na bumubuo ng set ng mga vector ay linearly independent.
Sa katunayan, hayaan ang minimal na pagbuo ng set ng mga vectors. Kung ito ay linearly dependent, kung gayon ang isa sa mga vector, sabihin nating, ay isang linear na kumbinasyon ng iba, at ang anumang linear na kumbinasyon ay isang linear na kumbinasyon ng isang mas maliit na hanay ng mga vectors, na sa gayon ay lumalabas na bumubuo.
Proposisyon 5. Ang anumang pinakamalaki (sa bilang ng mga vector) na linearly independent set ng mga vector ay bumubuo.
Sa katunayan, hayaan ang pinakamataas na linearly independent na koleksyon at u anumang space vector. Pagkatapos ang set at hindi magiging linearly independent, at, sa bisa ng Proposisyon 2, ang vector ay isang linear na kumbinasyon
Proposisyon 6. Anumang linearly independent generating set ay minimal sa mga generator at pinakamalaki sa linearly independent.
Sa katunayan, maging isang linearly independent na pagbuo ng set ng mga vectors. Kung - ilang iba pang set ng pagbuo, kung gayon ang mga ito ay mga linear na kumbinasyon at samakatuwid ay napagpasyahan namin na, dahil kung noon, sa bisa ng panukala ito ay isang linearly dependent set. Hayaan ngayon ang anumang linearly independent set. Ang mga vector ay mga linear na kumbinasyon ng mga vector at, dahil dito, dahil, sa bisa ng parehong proposisyon, sila ay bubuo ng isang linearly dependent set.
Kaya, sa Proposisyon 4, 5, 6, ang pagkakakilanlan ng tatlong konsepto ay itinatag - ang minimum na pagbuo ng set ng mga vectors, ang maximum na linearly independent set ng mga vectors, at ang linearly independent generating set.
Ang hanay ng mga vector na nakakatugon sa mga kundisyong ito ay tinatawag na batayan ng espasyo, at ang bilang ng mga vector na bumubuo sa batayan ay tinatawag na dimensyon ng espasyo. Ang dimensyon ng espasyo S ay tinutukoy ng . Kaya, ang dimensyon ay katumbas ng maximum na bilang ng mga linearly independent na vectors (madalas nating sasabihin sa mga sumusunod ang mga salitang "linearly independent" at "linearly dependent vectors" sa halip na sabihing "vectors na bumubuo sa isang linearly dependent na populasyon" at - ayon sa pagkakabanggit para sa isang linearly independent na populasyon) at ang pinakamababang bilang ng mga bumubuo ng mga vector.
Proposisyon 7. Hayaan ay isang linearly independent set ng mga vectors, at ang kanilang bilang ay mas mababa kaysa sa dimensyon ng espasyo. Pagkatapos ay ang isang vector ay maaaring ikabit sa kanila sa paraang ang koleksyon ay nananatiling linearly independent.
Patunay. Isaalang - alang ang isang hanay ng mga linear na kumbinasyon . Hindi nito nauubos ang buong espasyo, dahil hindi sila bumubuo ng isang pagbuo ng hanay ng mga vectors. Kumuha ng vector na hindi isang linear na kumbinasyon
Pagkatapos ay isang linearly independent na koleksyon, dahil kung hindi, ito ay magiging isang linear na kumbinasyon ng mga vector ayon sa Proposisyon 2.
Kasunod nito mula sa Proposisyon 7 na ang anumang linearly independent na koleksyon ng mga vector ay maaaring kumpletuhin sa isang batayan.
Ang parehong panukala at ang patunay nito ay nagpapahiwatig ng likas na katangian ng arbitrariness sa pagpili ng isang batayan. Sa katunayan, kung kukuha tayo ng di-zero na vector, maaari itong kumpletuhin sa batayan sa pamamagitan ng pagkuha ng pangalawang vector ayon sa gusto mo, ngunit hindi isang linear na kumbinasyon ng una, ang pangatlo ayon sa gusto mo, ngunit hindi isang linear na kumbinasyon ng ang unang dalawa, atbp.
Ang isa ay maaaring "bumaba" sa batayan, na nagpapatuloy mula sa isang di-makatwirang hanay ng pagbuo.
Panukala 8. Ang anumang bumubuong set ng mga vector ay naglalaman ng batayan.
Sa katunayan, hayaan ang isang pagbuo ng hanay ng mga vectors. Kung ito ay linearly dependent, kung gayon ang isa sa mga vector nito ay isang linear na kumbinasyon ng iba, at maaari itong hindi kasama sa pagbuo ng set. Kung ang natitirang mga vector ay linearly dependent, kung gayon ang isa pang vector ay maaaring alisin, at iba pa, hanggang sa may nananatiling isang linearly independent generating set, ibig sabihin, isang batayan.
Alinsunod sa pamantayan ng kompromiso na ito, para sa bawat solusyon, tinutukoy ang isang linear na kumbinasyon ng pinakamababa at pinakamataas na kabayaran.
Ang pangalawang opsyon ay nagsasangkot ng pagtuon sa isang criterion. Maaari itong piliin bilang isa sa mga karaniwang tagapagpahiwatig na may ganap na nauunawaan na interpretasyong pang-ekonomiya (halimbawa, isa sa mga ratio ng pagkatubig, ratio ng saklaw ng interes, atbp.), o ang pamantayang ito ay binuo sa anyo ng ilang artipisyal na tagapagpahiwatig na nagsa-generalize. pribadong pamantayan. Para sa pangkalahatang pamantayang ito, ang isang halaga ng threshold ay itinakda, kung saan ang isang paghahambing ay ginawa ng aktwal na halaga ng pamantayan na kinakalkula para sa isang potensyal na nanghihiram. Ang pangunahing kahirapan sa pagpapatupad ng diskarte na ito ay nakasalalay sa paraan ng pagbuo ng isang pangkalahatang tagapagpahiwatig. Kadalasan, ito ay isang linear na kumbinasyon ng bahagyang pamantayan, ang bawat isa ay kasama sa pangkalahatang tagapagpahiwatig na may isang tiyak na koepisyent ng timbang. Ito ang pamamaraang ito na ginamit ni E. Altman nang bumuo ng Z-criterion para sa paghula ng bangkarota.
Ang isang hilera e ay tinatawag na isang linear na kumbinasyon ng mga hilera e, e-..., em ng isang matrix kung
Ang konsepto ng linear combination, linear dependence at independence ng mga vectors e, e2. Ang f em ay katulad ng mga katumbas na konsepto para sa mga hilera ng matrix e, e2,..., em (11.5).
Gaya ng ipinapakita sa , para sa bounded at convex admissible set (2.14), ang vector x% 0 na nagbibigay-kasiyahan sa constraint A xk bk ay maaaring katawanin bilang isang convex linear na kumbinasyon ng isang may hangganan na set ng mga extreme point
Ang pamamaraan ng pag-optimize para sa pagkalkula ng mga limitasyon ng mga halaga ng mga elemento a at ang kanilang mga linear na kumbinasyon ay higit sa lahat ay wala sa mga pagkukulang na ito.
Malinaw na ang punto (X1, q) na nakuha ng linear na kumbinasyon ng (A/, q) at (L., q") ay isa ring solusyon ng system (4.43), (4.44).
Sa seksyong ito, isasaalang-alang namin ang mga panuntunan para sa pagkalkula ng inaasahan sa matematika at pagkakaiba ng isang multivariate random variable , na isang linear na kumbinasyon ng mga nauugnay na random variable.
Samakatuwid, para sa isang linear na kumbinasyon ng isang arbitrary na bilang ng mga random na variable, nakuha namin
Isaalang-alang ang kaso kapag ang pamumuhunan ay ginawa sa ilang mga asset (portfolio). Ang portfolio ay isang linear na kumbinasyon ng mga asset, na ang bawat isa ay may sariling inaasahang return at return dispersion.
Hindi tulad ng isang arbitraryong linear na kumbinasyon ng mga random na variable, ang mga timbang ng asset ay sumusunod sa panuntunan ng normalisasyon
Sa nakaraang talata, ipinakita na kapag ang koepisyent ng ugnayan sa pagitan ng mga asset ay mas mababa sa 1, maaaring mapabuti ng portfolio diversification ang ratio sa pagitan ng inaasahang pagbabalik at inaasahang panganib. Ito ay dahil sa katotohanan na ang inaasahang pagbabalik ng isang portfolio ay isang linear na kumbinasyon ng mga inaasahang pagbabalik sa mga asset na kasama sa portfolio, at ang portfolio variance ay isang quadratic function ng s.d. kasama sa portfolio ng mga asset.
Dahil ang discriminant function ay nakasalalay lamang sa isang linear na kumbinasyon ng mga input, ang neuron ay isang linear discriminator. Sa ilang pinakasimpleng sitwasyon, ang isang linear discriminator ay ang pinakamahusay na posible, ibig sabihin, sa kaso kapag ang mga probabilidad na kabilang sa klase k ng input vectors ay ibinibigay ng Gaussian distributions.
Upang maging mas tumpak, ang mga output ng network ng Oya ay mga linear na kumbinasyon ng mga unang W pangunahing bahagi. Upang makuha mismo ang mga pangunahing bahagi, sapat na sa panuntunang Oya na palitan ang pagsusuma sa lahat ng mga output sa pamamagitan ng
Ang mga vectors b ay bumubuo rin ng tinatawag na minimal na batayan. Ibig sabihin, ito ang pinakamababang bilang ng mga vector, sa tulong ng isang linear na kumbinasyon kung saan ang lahat ng mga kabisadong vector ay maaaring katawanin
Ang sumusunod na sistematikong pamamaraan ay may kakayahang paulit-ulit na i-extract ang pinaka makabuluhang mga tampok na linear na kumbinasyon ng mga variable ng input X = W X (isang subset ng mga input ay isang espesyal na kaso ng isang linear na kumbinasyon, ibig sabihin, ang isang pormal na makakahanap ng isang mas mahusay na solusyon kaysa sa kung ano ang magagamit ng pagpili ng pinakamahalagang kumbinasyon ng mga input).
Sa kurso ng pagsusuri, upang makilala ang iba't ibang aspeto ng kondisyon sa pananalapi, ginagamit ang mga ito bilang. absolute indicators at financial ratios , na mga relatibong indicator ng financial condition . Ang huli ay kinakalkula bilang mga ratio ng ganap na mga tagapagpahiwatig ng kondisyon sa pananalapi o kanilang mga linear na kumbinasyon. Ayon sa pag-uuri ng N.A. Blatov, isa sa mga tagapagtatag ng agham ng balanse, ang mga kamag-anak na tagapagpahiwatig ng kondisyon sa pananalapi ay nahahati sa mga coefficient ng pamamahagi at ginagamit sa mga kaso kung saan kinakailangan upang matukoy kung aling bahagi ng isa o iba pa.
Konsepto ng vector
Kahulugan 1.Vector ay tinatawag na nakadirekta na segment (o, ano ang pareho, isang nakaayos na pares ng mga puntos).
Italaga: (point A ay ang simula ng vector), point B ay ang dulo ng vector) o may isang titik -.
Kahulugan 2.Haba ng vector (modulo) ay ang distansya sa pagitan ng simula at dulo ng vector. Ang haba ng isang vector ay tinutukoy ng o.
Kahulugan 3.Zero vector Ang isang vector na ang simula at wakas ay pareho ay tinatawag. Italaga:
Kahulugan 4.unit vector ay isang vector na ang haba ay katumbas ng isa.
Ang isang unit vector na may parehong direksyon bilang isang naibigay na vector ay tinatawag na vector vector at tinutukoy ng simbolo.
Kahulugan 5. Ang mga vector ay tinatawag collinear, kung sila ay matatagpuan sa parehong linya o sa parallel na linya. Ang null vector ay itinuturing na collinear sa anumang vector.
Kahulugan 6. Ang mga vector ay tinatawag pantay kung sila ay collinear, magkaroon ng parehong haba at parehong direksyon.
Mga linear na operasyon sa mga vector
Kahulugan 7.Mga linear na operasyon sa mga vector ay tinatawag na pagdaragdag ng mga vector at pagpaparami ng isang vector sa isang numero.
Kahulugan 8.Ang kabuuan ng dalawang vectors ay tinatawag na vector na napupunta mula sa simula ng vector hanggang sa dulo ng vector, sa kondisyon na ang vector ay naka-attach sa dulo ng vector (triangle rule). Sa kaso ng mga non-collinear vectors, maaaring gamitin ng isa ang parallelogram rule sa halip na ang triangle rule: kung ang mga vector u ay naka-plot mula sa isang karaniwang pinagmulan at isang parallelogram ay itinayo sa kanila, kung gayon ang kabuuan ay isang vector na tumutugma sa diagonal ng ang paralelogram na ito ay nagmumula sa isang karaniwang pinagmulan u.
Kahulugan 9.Ang pagkakaiba ng dalawang vectors at ang isang vector ay tinatawag, na, sa kabuuan ng isang vector, ay bumubuo ng isang vector. Kung ang dalawang vector ay ipinagpaliban mula sa isang karaniwang simula, kung gayon ang kanilang pagkakaiba ay isang vector na nagmumula sa dulo ng vector ("binawas") hanggang sa dulo ng vector ("binawasan").
Kahulugan 10. Dalawang collinear vector na may pantay na haba na tumuturo sa magkasalungat na direksyon ay tinatawag kabaligtaran. Ang vector na kabaligtaran ng vector ay tinutukoy.
Ang produkto ng isang vector at isang numero ay tinutukoy ng α.
Ang ilang mga katangian ng mga linear na operasyon
7)
;
Teorama 1.(Sa mga collinear vectors). Kung ang at ay dalawang collinear vectors, at ang vector ay hindi zero, kung gayon mayroong isang natatanging numerong x tulad na = x
Sa partikular, ang isang di-zero na vector at ang ortho nito ay nauugnay sa pagkakapantay-pantay:=·.
Ang mga nabuong katangian ng mga linear na operasyon ay ginagawang posible na ibahin ang anyo ng mga expression na binubuo ng mga vector ayon sa karaniwang mga patakaran ng algebra: maaari mong buksan ang mga bracket, magdala ng mga katulad na termino, ilipat ang ilang mga termino sa ibang bahagi ng pagkakapantay-pantay na may kabaligtaran na tanda, atbp.
Halimbawa 1
Patunayan ang pagkakapantay-pantay:
at alamin kung ano ang kanilang geometric na kahulugan.
Solusyon. a) Sa kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay, binubuksan namin ang mga bracket, nagbibigay ng mga katulad na termino, nakakakuha kami ng isang vector sa kanang bahagi. Ipaliwanag natin ang pagkakapantay-pantay na ito sa geometriko. Hayaang magbigay ng dalawang vector, itabi ang mga ito sa karaniwang pinagmulan at tingnan ang paralelogram at ang mga diagonal nito, nakukuha natin:
§2 Linear na kumbinasyon ng mga vector
Vector na batayan sa eroplano at sa kalawakan.
Kahulugan 1.Linear na kumbinasyon ng mga vector,, ay ang kabuuan ng mga produkto ng mga vector na ito ng ilang numero,,:++.
Kahulugan 2.batayan ng vector anumang pares ng non-collinear vectors sa eroplanong ito ay tinatawag sa isang partikular na eroplano.
Ang vector ay tinatawag na first basis vector, ang pangalawang vector.
Ang sumusunod na teorama ay totoo.
Teorama 1. Kung ang batayan ,– vector na batayan sa isang eroplano, kung gayon ang anumang vector ng eroplanong ito ay maaaring katawanin, at saka sa isang natatanging paraan, bilang isang linear na kumbinasyon ng mga batayang vector: = x + y. (*)
Kahulugan 3. Equality(*) ay tinatawag , at ang mga numerong x at y ay mga coordinate ng vector sa batayan,(o may kinalaman sa batayan,). Kung malinaw nang maaga kung aling batayan ang tinatalakay, pagkatapos ay sumulat sila nang maikli: = (x, y). Mula sa kahulugan ng mga coordinate ng isang vector na may paggalang sa batayan, ito ay sumusunod na ang pantay na mga vector ay may katumbas na pantay na mga coordinate.
Dalawa o higit pang mga vector sa kalawakan ang tinatawag coplanar, kung sila ay parallel sa parehong eroplano o nakahiga sa eroplanong iyon.
Kahulugan 4.batayan ng vector sa kalawakan ang anumang tatlong vector ay tinatawag , ,.
Sa kasong ito, ang vector ay tinatawag na unang batayan ng vector, ang pangalawa, at ang pangatlo.
Magkomento. 1. Tatlong vectors = (),= () at = () ang bumubuo sa batayan ng espasyo kung ang determinant na binubuo ng kanilang mga coordinate ay hindi zero:
.
2. Ang mga pangunahing probisyon ng teorya ng mga determinant at kung paano kalkulahin ang mga ito ay isinasaalang-alang sa module 1 "linear algebra".
Teorama 2. Hayaan , , ay isang vector na batayan sa espasyo. Kung gayon ang anumang vector sa kalawakan ay maaaring katawanin, at higit pa rito sa isang natatanging paraan, bilang isang linear na kumbinasyon ng mga batayang vector , At:
X+y+z. (**)
Kahulugan 5. Ang pagkakapantay-pantay (**) ay tinatawag pagpapalawak ng vector sa mga tuntunin ng batayan,,, at ang mga numerong x, y, z ay ang mga coordinate (mga bahagi) ng vector sa batayan , ,.
Kung malinaw nang maaga kung aling batayan ang tinatalakay, pagkatapos ay sumulat sila nang maikli: = (x, y, z).
Kahulugan 6. Batayan , , ay tinatawag na orthonormal, kung ang mga vectors , , ay pairwise perpendicular at may unit length. Sa kasong ito, ang notasyon ,, ay pinagtibay.
Mga aksyon sa mga vector na ibinigay ng kanilang mga coordinate.
Teorama 3. Hayaang pumili ng isang vector basis sa eroplano , at tungkol sa mga vector nito at ibinibigay sa pamamagitan ng kanilang mga coordinate: = (),= ().
Tapos =(),=( 
), ibig sabihin. kapag nagdaragdag o nagbabawas ng mga vector, ang kanilang mga coordinate ng parehong pangalan ay idinaragdag o ibinabawas; = ( ;), i.e. kapag ang isang vector ay pinarami ng isang numero, ang mga coordinate nito ay pinarami ng numerong iyon.
Kondisyon ng collinearity para sa dalawang vectors
Teorama 4. Ang isang vector ay collinear sa isang di-zero na vector kung at kung ang mga coordinate ng vector ay proporsyonal sa mga kaukulang coordinate ng vectorat.e.
Ang mga linear na operasyon sa mga vector na ibinigay ng kanilang mga coordinate sa espasyo ay ginaganap nang katulad.
Halimbawa 1 Hayaang ang mga vectors = (1;2;-1) ,= (3;2;1), = (1;0;1) ay ibigay sa ilang batayan ng vector , ,. Hanapin ang mga coordinate ng linear na kumbinasyon 2+3-4.
Solusyon. Ipakilala natin ang notasyon para sa linear na kumbinasyon=2+3+(-4).
Mga koepisyent ng linear na kumbinasyon =2,=3,=-4. Isinulat namin ang pagkakapantay-pantay ng vector na ito sa anyo ng coordinate = (x, y, z) =:
2
Malinaw, ang bawat coordinate ng isang linear na kumbinasyon ng mga vector ay katumbas ng parehong linear na kumbinasyon ng mga coordinate ng parehong pangalan, i.e.
x \u003d 2 1 + 3 3 + (-4) 1 \u003d 7,
y = 2 2+3 2+(-4) 0=10,
z= 2 (-1)+3 1+(-4) 0=-3.
Vector coordinate sa batayan , , magiging:
Sagot:= {7,10,-3}.
General (affine) Cartesian coordinate system
Kahulugan 7. Hayaan ang O maging ilang nakapirming punto, na tatawagin natin simula.
Kung ang M ay isang arbitrary na punto, kung gayon ang vector ay tinatawag radius vector point M na may paggalang sa pinanggalingan, sa madaling salita, ang radius vector ng point M.
Cartesian (affine) coordinate sa isang linya
Hayaang magbigay ng ilang tuwid na linya sa espasyo l. Piliin natin ang pinanggalingan O nakahiga sa linyang ito. Bilang karagdagan, pumili kami sa linya l non-zero vector, na tatawagin nating batayang vector.
Kahulugan 8. Hayaang ang puntong M ay nasa linyang l. Dahil ang mga vector ay collinear, kung gayon = x, kung saan ang x ay ilang numero. Tatawagan natin ang numerong ito coordinate puntos M sa linya.
Ang pinagmulan O ay may positibo o negatibong mga coordinate, depende sa kung ang mga direksyon ng mga vector ay pareho o kabaligtaran. Ang tuwid na linya kung saan ang mga coordinate ay tinatawag na coordinate axis o ang OX axis.
Ang pagpapakilala ng mga coordinate sa isang linya ay tumutugma sa isang solong numero x, at vice versa, mayroong isang natatanging punto M kung saan ang numerong ito ay isang coordinate.
Cartesian (affine) coordinate sa eroplano.
Pumili kami ng dalawang non-collinear vectors u sa eroplano O, na bumubuo ng ilang batayan. Malinaw, ang mga haba ng mga vector ay maaaring magkakaiba.
Kahulugan 9. Ang set (0;;) ng point O at ang vector na batayan , tinawag Sistema ng Cartesian (affine). sa ibabaw.
Dalawang linya na dumadaan sa O at kahanay ayon sa pagkakabanggit sa mga vectors , ay tinatawag na coordinate axes. Ang una sa kanila ay karaniwang tinatawag na abscissa axis at tinutukoy ng Ox, ang pangalawa ay ang ordinate axis at tinutukoy ng Oy.
Kami ay palaging ilarawan at nakahiga sa kaukulang coordinate axes.
Kahulugan 10.mga coordinate ng punto M sa eroplano na may paggalang sa Cartesian (affine) coordinate system (0;;) ay tinatawag na mga coordinate ng radius vector nito ayon sa batayan,:
X + y, kung gayon ang mga numerong x at y ay magiging mga coordinate ng M na may kaugnayan sa Cartesian (affine) coordinate system (0;;). Ang x coordinate ay tinatawag abscissa punto M, coordinate y- ordinate puntos M.
Kaya, kung ang isang coordinate system ay pinili, (0;;) sa eroplano, kung gayon ang bawat punto M ng eroplano ay tumutugma sa isang solong punto M sa eroplano: ang puntong ito ay ang dulo ng vector
Ang pagpapakilala ng isang sistema ng coordinate ay sumasailalim sa pamamaraan ng analytical geometry, ang kakanyahan nito ay upang mabawasan ang anumang geometriko na problema sa mga problema ng aritmetika o algebra.
Kahulugan 11.Mga coordinate ng vector sa eroplano na may paggalang sa Cartesian coordinate system (0;;) ay tinatawag na mga coordinate ng vector na ito sa batayan,.
Upang mahanap ang mga coordinate ng vector , kailangan mong palawakin ito sa mga tuntunin ng batayan ,:
X + y, kung saan ang mga coefficients x, y at magiging mga coordinate ng vector na may kaugnayan sa Cartesian system (0;;).
Cartesian (affine) coordinate system sa kalawakan.
Hayaang maayos ang ilang puntong O(simula) sa espasyo at pumili ng batayan ng vector
Kahulugan 12. Ang koleksyon (0;;;) ay tinatawag Cartesian coordinate system sa kalawakan.
Kahulugan 13. Tatlong linya na dumadaan sa O at kahanay sa mga vector , ,, tinawag coordinate axes at tukuyin ayon sa pagkakabanggit Oz, Oy, Oz. Palagi kaming maglalarawan ng mga vector , nakahiga sa kani-kanilang palakol.
Kahulugan 14.mga coordinate ng punto M sa espasyo na may kaugnayan sa Cartesian coordinate system (0;;;) ay tinatawag na mga coordinate ng radius vector nito sa sistemang ito.
Sa madaling salita, ang mga coordinate ng point M ay tatlong numero x, y, z, ayon sa pagkakabanggit, ang abscissa at ang ordinate ng point M; ang ikatlong coordinate z ay tinatawag na applicate ng point M.
Ang pagpapakilala ng isang Cartesian coordinate system sa kalawakan ay nagbibigay-daan sa isa na magtatag ng isa-sa-isang pagsusulatan sa pagitan ng mga punto M ng espasyo at nakaayos na triple ng mga numerong x, y, z.
Kahulugan 15.Mga coordinate ng vector sa espasyo na may kaugnayan sa Cartesian coordinate system (0;;;) ay ang mga coordinate ng vector na ito sa batayan;;.
Halimbawa 2
Ibinigay ang tatlong magkakasunod na vertices ng parallelogram A(-2;1),B(1;3),C(4;0). Hanapin ang ikaapat na coordinate nito D. Ang coordinate system ay affine.
Solusyon.
Ang mga vector ay pantay, na nangangahulugan na ang kanilang mga coordinate ay pantay (coefficients ng isang linear na kumbinasyon):
= (3;2), =(4-x;-y); 
. Kaya D(1;-2).
Sagot: D(1;-2).
Linear dependency. Konsepto ng batayan
Kahulugan 16. Vectors, tinatawag nakadepende sa linear, kung may mga numero
Ang kahulugan na ito ng linear dependence ng mga vector ay katumbas nito: ang mga vector ay linearly na umaasa kung ang isa sa mga ito ay maaaring katawanin bilang isang linear na kumbinasyon ng iba (o pinalawak sa iba pa).
Vectors , ay tinatawag na linearly dependent kung ang pagkakapantay-pantay (***) ay posible sa tanging kaso kapag
Ang konsepto ng linear dependence ay may malaking papel sa linear algebra. Sa vector algebra, ang linear dependence ay may simpleng geometric na kahulugan.
Anumang dalawang collinear vectors ay linearly dependent, at vice versa, dalawang non-collinear vectors ay linearly independent.
Tatlong coplanar vectors ay linearly dependent, at vice versa, tatlong non-coplanar vectors ay linearly independent.
Bawat apat na vectors ay linearly dependent.
Kahulugan 17. Tatlong linearly independent vectors ang tinatawag ang batayan ng espasyo mga. anumang vector ay maaaring ilarawan bilang ilan.
Kahulugan 18. Dalawang linearly independent vectors na nakahiga sa isang eroplano ay tinatawag base sa eroplano, mga. anumang vector na nakahiga sa eroplanong ito ay maaaring katawanin bilang isang linear na kumbinasyon ng mga vector.
Mga gawain para sa malayang desisyon.
vectors upang mahanap ang mga coordinate sa batayan na ito.
