4.2. Algebraic at transendental na mga numero

Ang mga tunay na numero ay minsan ding nahahati sa algebraic at transendental.

Ang mga algebraic na numero ay mga numero na mga ugat ng algebraic polynomial na may mga integer coefficient, halimbawa, 4, . Ang lahat ng iba pang (non-algebraic) na numero ay transendental. Dahil ang bawat rational number na p/q ay isang ugat ng katumbas na polynomial ng unang degree na may integer coefficients qx -p, kung gayon ang lahat ng transendental na numero ay hindi makatwiran.

Isa-isahin natin ang mga katangiang katangian ng isinasaalang-alang (natural, rational, real) na mga numero: nag-model lang sila ng isang property - dami; ang mga ito ay isang-dimensional at lahat ay kinakatawan ng mga punto sa isang tuwid na linya, na tinatawag na coordinate axis.

5. Mga kumplikadong numero

5.1. haka-haka na mga numero

Kahit na mas estranghero kaysa sa mga hindi makatwiran ay ang mga bilang ng isang bagong kalikasan na natuklasan ng siyentipikong Italyano na si Cardano noong 1545. Ipinakita niya na ang isang sistema ng mga equation na walang mga solusyon sa hanay ng mga tunay na numero ay may mga solusyon sa anyong, . Kinakailangan lamang na sumang-ayon na kumilos sa gayong mga expression ayon sa mga tuntunin ng ordinaryong algebra at ipagpalagay na · = -.

Tinawag ni Cardano ang mga naturang dami na "purong negatibo" at kahit na "sopistikadong negatibo", itinuring silang walang silbi at sinubukang huwag gamitin ang mga ito.

Sa loob ng mahabang panahon ang mga numerong ito ay itinuturing na imposible, hindi umiiral, haka-haka. Tinawag sila ni Descartes na haka-haka, Leibniz - "isang kakaiba mula sa mundo ng mga ideya, isang nilalang na matatagpuan sa pagitan ng pagiging at hindi pagiging."

Sa katunayan, sa tulong ng gayong mga numero, imposibleng ipahayag ang alinman sa resulta ng pagsukat ng ilang dami, o ang pagbabago sa ilang dami.

Ang mga haka-haka na numero ay walang lugar sa coordinate axis. Gayunpaman, napansin ng mga siyentipiko na kung kukunin natin ang tunay na numero b sa positibong bahagi ng axis ng coordinate at i-multiply ito sa, makukuha natin ang haka-haka na numero b, walang nakakaalam kung saan matatagpuan. Ngunit kung muling i-multiply ang numerong ito, makukuha natin ang -b, iyon ay, ang orihinal na numero, ngunit nasa negatibong bahagi na ng axis ng coordinate. Kaya, sa pamamagitan ng dalawang multiplikasyon, binaligtad namin ang numero b mula sa positibo patungo sa negatibo, at eksakto sa gitna ng paghagis na ito, ang numero ay haka-haka. Kaya nakahanap sila ng lugar para sa mga haka-haka na numero sa mga punto sa haka-haka na coordinate axis na patayo sa gitna ng tunay na coordinate axis. Ang mga punto ng eroplano sa pagitan ng haka-haka at tunay na mga palakol ay naglalarawan ng mga numero na natagpuan ni Cardano, na sa pangkalahatan ay bumubuo ng a + b i naglalaman ng mga tunay na numero a at haka-haka b i sa isang kumplikadong (komposisyon), samakatuwid sila ay tinatawag na mga kumplikadong numero.

Ito ang ika-4 na antas ng generalization ng mga numero.

Ang pamamaraan ng mga operasyon sa mga haka-haka na numero ay unti-unting nabuo. Sa pagliko ng ika-17 at ika-17 siglo, isang pangkalahatang teorya ng mga ugat ng ika-10 kapangyarihan ang binuo, una mula sa negatibo, at pagkatapos ay mula sa anumang kumplikadong mga numero, batay sa sumusunod na pormula ng English mathematician na si A. De Moivre:

Gamit ang formula na ito, posible ring makakuha ng mga formula para sa mga cosine at sine ng maraming arc.

Si Leonhard Euler ay gumawa ng isang kahanga-hangang pormula noong 1748:

na pinagsama-sama ang exponential function sa trigonometric function. Sa tulong ng formula ni Euler, posible na itaas ang numerong e sa anumang kumplikadong kapangyarihan. Ito ay kakaiba, halimbawa, iyon. Maaari mong mahanap ang kasalanan at cos ng kumplikadong mga numero, kalkulahin ang logarithms ng mga naturang numero, at iba pa.

Sa loob ng mahabang panahon, kahit na ang mga mathematician ay itinuturing na mga kumplikadong numero na misteryoso at ginamit lamang ang mga ito para sa mga manipulasyon sa matematika. Kaya, ang Swiss mathematician na si Bernoulli ay gumamit ng mga kumplikadong numero upang malutas ang mga integral. Maya-maya, sa tulong ng mga haka-haka na numero, natutunan nilang ipahayag ang mga solusyon ng mga linear differential equation na may pare-parehong coefficient. Ang ganitong mga equation ay nakatagpo, halimbawa, sa teorya ng mga oscillations ng isang materyal na punto sa isang lumalaban na medium.

Mga pangkat ng algebraic matrix

Algebraic system ng pagsasara

Magsimula tayo sa konsepto ng isang algebraic operation. Hayaang ang A ay isang unibersal na algebra na may hanay ng mga algebraic na operasyong W. Ang bawat operasyong w sa W ay may tiyak na arity n, nN(0). Para sa anumang natural na n, ang n-ary operation u ay isang pagmamapa mula An hanggang A...

Kapangyarihan ng mga pangunahing numero

Ang mga mutually prime number ay natural o whole number, kaya hindi mo maiisip ang pinakamalaking doubles para sa 1, o, kung hindi, tila ang iyong pinakamalaking doubles ay mabuti para sa 1. Sa ganitong pagkakasunud-sunod, ang 2 at 3 ay magkaparehong simple, at 2 i 4 -- nі (hinati ng 2)...

Mga graph at ang kanilang mga pag-andar

Isaalang-alang ang mga pangunahing algebraic na operasyon sa mga function at ang kanilang mga graph, tulad ng karagdagan at pagbabawas (y = f(x) ±g(x)), multiplication (y = f(x) g(x)), division (y = f( x) / g(x)). Kapag gumagawa ng ganitong uri ng graph, dapat isaalang-alang ng isa ...

Mga kumplikadong numero: ang kanilang nakaraan at kasalukuyan

Matematika sa Middle Ages

Ang isang kinakailangang kondisyon para sa paglalapat ng pamamaraang Fang Cheng sa mga sistema ng mga equation ay ang pagpapakilala ng mga negatibong numero. Halimbawa, kapag nag-solve ng system, nakakakuha kami ng table. Susunod na hakbang: ibawas ang mga elemento ng ikatlong hanay mula sa kanan mula sa mga elemento ng unang...

Numerolohiya

Ang mga numero sa Pythagoras ay itinuring na hindi lamang abstract na mga pamalit para sa mga tunay na bagay, ngunit ang mga buhay na nilalang na sumasalamin sa mga katangian ng espasyo, enerhiya o sound vibration. Ang pangunahing agham ng numero, aritmetika...

Numerolohiya

Sinasabi ng alamat na ang mga maharmonya na numero, ang ratio na nagbibigay ng musika ng mga sphere, ay natagpuan ni Pythagoras. Isinalaysay muli ni Flammarion ang alamat na ito tulad ng sumusunod: "Sinasabi nila na ang pagdaan sa isang forge, narinig niya ang tunog ng mga martilyo ...

Praktikal na aplikasyon ng mga quadrature formula na may timbang na Chebyshev-Hermite

Hayaang maibigay ang pantay na pagpapaandar ng timbang sa buong axis. (1.1) Sa sunud-sunod na pagkakaiba sa function na ito, makikita natin ang (1.2) Madaling patunayan sa pamamagitan ng induction na ang derivative ng order n ng function (1.1) ay produkto ng function na ito ng ilang polynomial ng degree n...

Magpakilala tayo ng bagong di-wastong numero na ang parisukat ay katumbas ng -1. Tinutukoy namin ang numerong ito sa pamamagitan ng simbolo na I at tinatawag ang haka-haka na yunit. Kaya, (2.1) Pagkatapos. (2.2) 1. Algebraic Form ng Complex Number Kung, ang bilang (2.3) ay tinatawag na complex number...

Mga paulit-ulit na numeric sequence

Kapag nilulutas ang maraming problema, madalas na kailangang harapin ng isang tao ang mga pagkakasunod-sunod na ibinigay nang paulit-ulit, ngunit, hindi katulad ng pagkakasunud-sunod ng Fibonacci, hindi laging posible na makuha ang gawaing pagsusuri nito...

Transcendental Equation na may Mga Parameter at Paraan para sa Mga Solusyon Nito

Ang transcendental equation ay isang equation na naglalaman ng transcendental functions (irrational, logarithmic, exponential, trigonometric at inverse trigonometric) mula sa isang hindi kilalang (variable), halimbawa, isang equation ...

Kamangha-manghang mga Numero

Matagal na ang nakalipas, tinutulungan ang kanilang sarili sa pagbibilang ng mga pebbles, binigyang pansin ng mga tao ang tamang mga figure na maaaring ilatag mula sa mga pebbles. Maaari mo lamang ilagay ang mga pebbles sa isang hilera: isa, dalawa, tatlo. Kung ilalagay mo ang mga ito sa dalawang hanay upang makagawa ng mga parihaba...

Kamangha-manghang mga Numero

Minsan ang mga perpektong numero ay itinuturing na isang espesyal na kaso ng mga friendly na numero: bawat perpektong numero ay palakaibigan sa sarili nito. Si Nicomachus ng Geras, ang sikat na pilosopo at matematiko, ay sumulat: "Ang mga perpektong numero ay maganda. Ngunit alam natin...

Mga katangian ng fractal ng mga prosesong panlipunan

Ang geometric fractals ay mga static na figure. Ang ganitong paraan ay lubos na katanggap-tanggap hangga't hindi na kailangang isaalang-alang ang mga likas na phenomena tulad ng pagbagsak ng mga agos ng tubig, magulong pag-inog ng usok ...

transendental na numero

isang numero (totoo o haka-haka) na hindi nakakatugon sa anumang algebraic equation (Tingnan ang Algebraic Equation) na may mga integer coefficient. Kaya, ang mga numero ay laban sa algebraic na numero (tingnan ang Algebraic number). Ang pagkakaroon ng T. h. ay unang itinatag ni J. Liouville (1844). Ang panimulang punto para sa Liouville ay ang kanyang teorama, ayon sa kung saan ang pagkakasunud-sunod ng pagtatantya ng isang rational fraction na may ibinigay na denominator sa isang ibinigay na hindi makatwiran na algebraic na numero ay hindi maaaring basta-basta mataas. Namely, kung isang algebraic number A nakakatugon sa hindi mababawasang algebraic equation ng degree n na may mga integer coefficients, kung gayon para sa anumang rational number c ay nakasalalay lamang sa α ). Samakatuwid, kung para sa isang naibigay na hindi makatwirang bilang na α ay posibleng tumukoy ng isang walang katapusang hanay ng mga makatwirang pagtatantya na hindi nakakatugon sa ibinigay na hindi pagkakapantay-pantay para sa anumang Sa At n(pareho para sa lahat ng pagtatantya), pagkatapos α mayroong T. h. Ang isang halimbawa ng naturang numero ay nagbibigay ng:

Ang isa pang patunay ng pagkakaroon ng T. h. ay ibinigay ni G. Kantor (1874), na binanggit na ang hanay ng lahat ng algebraic na numero ay mabibilang (iyon ay, ang lahat ng algebraic na numero ay maaaring palitan ng numero; tingnan ang Set theory), habang ang set ng lahat ng tunay na numero ay hindi mabilang. Mula dito ay sumunod na ang hanay ng mga numero ay hindi mabilang, at higit pa, ang mga numerong iyon ay bumubuo sa karamihan ng hanay ng lahat ng mga numero.

Ang pinakamahalagang problema sa teorya ng T.p. ay upang malaman kung ang mga halaga ng T.p. ay mga analytic function na may ilang mga arithmetic at analytic na katangian para sa mga algebraic na halaga ng argumento. Ang mga problema ng ganitong uri ay kabilang sa pinakamahirap na problema sa modernong matematika. Noong 1873, pinatunayan ni S. Hermite na ang numero ng Napier

Noong 1882, nakuha ng German mathematician na si F. Lindemann ang isang mas pangkalahatang resulta: kung ang α ay isang algebraic na numero, kung gayon e Ang resulta ng α - T. h. Lipdemann ay makabuluhang pangkalahatan ng German mathematician na si K. Siegel (1930), na pinatunayan, halimbawa, ang transcendence ng halaga ng isang malawak na klase ng cylindrical function para sa mga algebraic na halaga ng argumento. Noong 1900, sa isang mathematical congress sa Paris, D. Hilbert, kabilang sa 23 hindi nalutas na mga problema ng matematika, ay itinuro ang mga sumusunod: ay isang transendental na numero α β , Saan α At β - mga algebraic na numero, at β - isang hindi makatwirang numero, at, sa partikular, kung ang numero e π ay transendental (ang problema ng transcendence ng mga numero ng form α β ay unang itinanghal sa pribadong anyo ni L. Euler, 1744). Ang isang kumpletong solusyon sa problemang ito (sa affirmative sense) ay nakuha lamang noong 1934 ni A. O. Gel'fond. Mula sa pagtuklas ni Gelfond, sa partikular, sumusunod na ang lahat ng decimal logarithms ng mga natural na numero (i.e., "tabular logarithms") ay t.

Lit.: Gelfond A. O., Transcendental at Algebraic Numbers, Moscow, 1952.

Great Soviet Encyclopedia. - M.: Encyclopedia ng Sobyet. 1969-1978 .

Tingnan kung ano ang "Transcendent Number" sa ibang mga diksyunaryo:

Isang numero na hindi nakakatugon sa anumang algebraic equation na may mga integer coefficient. Ang mga transendental na numero ay: numero??3,14159...; ang decimal logarithm ng anumang integer na hindi kinakatawan ng isang yunit na may mga zero; ang numero e=2.71828... atbp... Malaking Encyclopedic Dictionary

- (mula sa lat. transcendere to pass, to exceed) ay isang tunay o kumplikadong numero na hindi algebraic, sa madaling salita, isang numero na hindi maaaring maging ugat ng isang polynomial na may mga integer coefficient. Mga Nilalaman 1 Mga Katangian 2 ... ... Wikipedia

Isang numero na hindi nakakatugon sa anumang algebraic equation na may mga integer coefficient. Ang mga transendental na numero ay: ang bilang π = 3.14159...; ang decimal logarithm ng anumang integer na hindi kinakatawan ng isang yunit na may mga zero; ang numero e \u003d 2.71828 ... at iba pa ... encyclopedic Dictionary

Isang numero na hindi nakakatugon sa anumang algebra. equation na may integer coefficients. Kabilang ang: ang bilang ng PI \u003d 3.14159 ...; ang decimal logarithm ng anumang integer na hindi kinakatawan ng isang yunit na may mga zero; ang numero e \u003d 2.71828 ... at iba pa ... Likas na agham. encyclopedic Dictionary

Isang numero na hindi ugat ng anumang polynomial na may mga integer coefficient. Ang domain ng kahulugan ng naturang mga numero ay ang mga zero ng tunay, kumplikado at radikal na mga numero. Ang pag-iral at tahasang mga pagtatayo ng totoong T. oras ay pinatunayan ni J. Liouville ... ... Mathematical Encyclopedia

Isang equation na hindi algebraic. Kadalasan ito ay mga equation na naglalaman ng exponential, logarithmic, trigonometric, inverse trigonometriko function, halimbawa: Ang isang mas mahigpit na kahulugan ay: Ang transcendental equation ay isang equation ... Wikipedia

Isang numero na humigit-kumulang katumbas ng 2.718, na kadalasang matatagpuan sa matematika at agham. Halimbawa, sa panahon ng pagkabulok ng isang radioactive substance pagkatapos ng oras t, ang isang fraction na katumbas ng e kt ay nananatili mula sa paunang halaga ng substance, kung saan ang k ay isang numero, ... ... Collier Encyclopedia

Ang E ay isang mathematical constant, ang base ng natural na logarithm, isang hindi makatwiran at transendental na numero. Minsan ang numerong e ay tinatawag na Euler number (hindi dapat ipagkamali sa tinatawag na Euler number ng unang uri) o ang Napier number. Ito ay tinutukoy ng isang maliit na letrang Latin na "e" ... ... Wikipedia

Ang E ay isang mathematical constant, ang base ng natural na logarithm, isang hindi makatwiran at transendental na numero. Minsan ang numerong e ay tinatawag na Euler number (hindi dapat ipagkamali sa tinatawag na Euler number ng unang uri) o ang Napier number. Ito ay tinutukoy ng isang maliit na letrang Latin na "e" ... ... Wikipedia

Sa totoong linya, bilang karagdagan sa mga algebraic na numero, mayroong isa pang hanay, ang kardinalidad na kung saan ay tumutugma sa kardinalidad ng buong linya - ito ang hanay ng mga transendental na numero.

Kahulugan 6 : Ang isang numero na hindi algebraic ay tinatawag transendente, ibig sabihin, ang transendental na numero (lat. transcendere - upang pumasa, lumampas) ay isang tunay o kumplikadong numero na hindi maaaring maging ugat ng isang polynomial (hindi magkaparehong katumbas ng zero) na may mga rational coefficient.

Mga katangian ng transendental na numero:

· Ang hanay ng mga transendental na numero ay tuloy-tuloy.

· Ang bawat transendental na tunay na numero ay hindi makatwiran, ngunit ang kabaligtaran ay hindi totoo. Halimbawa, ang isang numero ay hindi makatwiran, ngunit hindi transendente: ito ang ugat ng isang polynomial (at samakatuwid ay algebraic).

· Ang pagkakasunud-sunod sa hanay ng mga tunay na transendental na numero ay isomorphic sa pagkakasunud-sunod sa hanay ng mga hindi makatwirang numero.

· Ang sukat ng irrationality ng halos anumang transendental na numero ay katumbas ng 2.

Ang pagkakaroon ng transendental na mga numero ay unang pinatunayan ni Liouville. Ang patunay ni Laouville sa pagkakaroon ng transendental na mga numero ay epektibo; sa batayan ng sumusunod na theorem, na isang direktang kinahinatnan ng Theorem 5, ang mga konkretong halimbawa ng transendental na numero ay itinayo.

Teorama 6 [3, pahina 54].: Hayaan ay isang tunay na numero. Kung para sa anumang natural n 1 at anumang tunay c>0, mayroong hindi bababa sa isang rational fraction tulad ng (11), pagkatapos ay isang transendental na numero.

Patunay: Kung ay algebraic, pagkatapos ay magkakaroon ng (Theorem 5) isang positive integer n at wasto c>0 na para sa anumang fraction ito ay magiging, at ito ay sumasalungat sa katotohanan na (11) ay nagaganap. Ang assumption na algebraic number, i.e. transendente na numero. Ang teorama ay napatunayan.

Mga numero kung saan, para sa alinman n 1 at c Ang >0 inequality (11) ay may solusyon sa mga integer a At b ay tinatawag na transendental na mga numero ng Liouville.

Mayroon na kaming pasilidad para sa pagbuo ng hindi algebraic na tunay na mga numero. Kailangan nating bumuo ng isang numero na nagbibigay-daan sa mga pagtatantya ng isang arbitraryong mataas na pagkakasunud-sunod.

Halimbawa:

a ay isang transendental na numero.

Kumuha ng arbitrary real n 1 at c>0. Hayaan kung saan k pinili kaya malaki na kn, Pagkatapos

Dahil para sa arbitraryo n 1 at c>0, makakahanap ka ng isang fraction na kung gayon ay isang transendental na numero.

Itakda natin ang numero sa anyo ng isang infinite decimal fraction: kung saan

Pagkatapos, saanman, . Kaya, at nangangahulugan ito na tinatanggap nito ang mga pagtatantya ng isang arbitraryong mataas na pagkakasunud-sunod at samakatuwid ay hindi maaaring maging algebraic.

Noong 1873, pinatunayan ni Sh. Hermit ang transcendence ng numero e, mga base ng natural na logarithms.

Upang patunayan ang transcendence ng isang numero e dalawang lemma ang kailangan.

Lemma 1. Kung g(x) ay isang polynomial na may mga integer coefficient, pagkatapos ay para sa anuman kN lahat ng coefficients k- oh hinalaw g (k) (x) ay nahahati sa k!.

Patunay. Mula noong operator d/dx linear, pagkatapos ay sapat na upang i-verify ang assertion ng lemma para lamang sa mga polynomial ng form g(x)=x s , s 0.

Kung k>s, Iyon g (k) (x)=0 at k!|0.

Kung k< s , Iyon

ang binomial coefficient ay isang integer at g(k) ( x) ay muling mahahati ng k! ganap.

Lemma 2 (pagkakakilanlan ng Ermitanyo) . Hayaan f(x) ay isang arbitrary na degree na polynomial k na may mga tunay na coefficient,

F( x)=f(x)+f" (x)+f"(x)+ … +f (k) (x) ay ang kabuuan ng lahat ng mga derivatives nito. Pagkatapos ay para sa anumang tunay (at kahit na kumplikado, ngunit hindi pa namin ito kakailanganin) x tapos na:

Patunay. Pagsasama ayon sa mga bahagi:

Ang integral ay muling isinama ng mga bahagi, at iba pa. Sa pamamagitan ng pag-uulit ng pamamaraang ito k+1 beses, nakukuha namin ang:

Theorem 7 (Hermite, 1873). Numero e transendente.

Patunay. Patunayan natin ang assertion na ito sa pamamagitan ng kontradiksyon. Ipagpalagay natin na e - algebraic na numero, kapangyarihan m. Pagkatapos

a m e m + … +a 1 e+a 0 =0

para sa ilang natural m at ilang buo a m ,… a 1 , a 0 . Ipalit natin sa Hermite identity (12) sa halip na X integer k na kumukuha ng mga halaga mula 0 hanggang m; i-multiply ang bawat equation

ayon sa pagkakabanggit sa a k at pagkatapos ay idagdag silang lahat. Nakukuha namin:

Dahil (ito ang aming pangit na palagay), lumalabas na para sa anumang polynomial f(x) ang pagkakapantay-pantay ay dapat masiyahan:

Sa pamamagitan ng angkop na pagpili ng polynomial f(x) maaari nating gawing non-zero integer ang kaliwang bahagi ng (13), habang ang kanang bahagi ay nasa pagitan ng zero at isa.

Isaalang-alang ang isang polynomial kung saan n tukuyin mamaya ( nN, At n malaki).

Ang bilang 0 ay ang ugat ng multiplicity n-1 polinomyal f(x), mga numero 1, 2,…, m- multiplicity roots n, kaya:

f (l) (0)=0, l=1,2,…, n-2

f(n-1) (0)=(-1) mn (m!) n

f (l) (k)=0, l=0,1, …, n-1; k=1,2,…, m

Isaalang-alang ang g( x)=x n-1 (x-1) n (x-2) n … (x-m) n ay isang polynomial na katulad ng f(x), ngunit may mga integer coefficient. Sa pamamagitan ng Lemma 1, ang coefficients g ( l) (x) ay mga integer na nahahati ng l!, samakatuwid, kapag l< n , ang derivative g ( l) (x) lahat ng mga coefficient ay mga integer na nahahati ng n, dahil g( l) (x) ay nakuha mula sa g (l) ( x) hinahati lamang sa pamamagitan ng ( n-1)!. Kaya naman

saan A ay isang angkop na integer, at sa itaas ng sum sign ay ang numero ( m+1) n-1 - polynomial degree f(x) at, bagama't posibleng isama sa infinity, ang mga nonzero derivatives ng y f(x) ay eksakto na magkano.

Ganun din

saan B k- angkop na mga integer, k = 1, 2,…, m.

Hayaan mo na nN - anumang integer na nakakatugon sa mga kundisyon:

Isaalang-alang muli ang pagkakapantay-pantay (13):

Sa kabuuan sa kaliwa, ang lahat ng mga termino ay integer, at a k F(k) sa k = 1, 2,…, m hinati ng n, A a 0 F(0) sa n hindi nagbabahagi. Nangangahulugan ito na ang buong kabuuan, bilang isang integer, n hindi nagbabahagi, i.e. ay hindi null. Kaya naman,

Tantyahin natin ngayon ang kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay (13). Ito ay malinaw na sa segment at samakatuwid sa segment na ito

nasaan ang mga pare-pareho C 0 at C 1 ay hindi umaasa sa n. Ito ay kilala na

Samakatuwid, para sa sapat na malaki n, ang kanang bahagi ng (13) ay mas mababa sa isa, at ang pagkakapantay-pantay (13) ay imposible.

Noong 1882, pinatunayan ni Lindemann ang power transcendence theorem e na may non-zero algebraic exponent, sa gayon ay nagpapatunay sa transcendence ng numero.

Teorama 8 (Lindemann) [3, pahina 58]. Kung ay isang algebraic na numero at, kung gayon ang numero ay transendental.

Ang teorama ni Lindemann ay nagpapahintulot sa isa na makabuo ng mga transendental na numero.

Mga halimbawa:

Mula sa Lindemann theorem ito ay sumusunod, halimbawa, na ang numero ln 2 - transendente, dahil 2=e ln 2, at ang numero 2 ay algebraic, at kung ang numero ln Ang 2 ay algebraic, at sa pamamagitan ng lemma ang numero 2 ay magiging isang transendental na numero.

Sa pangkalahatan, para sa anumang algebraic, ln sa pamamagitan ng teorama ni Lindemann ay transendental. Kung transendente, kung gayon ln hindi kinakailangang isang transendental na numero, hal. ln e =1

Lumalabas na marami tayong nakitang transendental na numero noong high school - ln 2,ln 3,ln() at iba pa.

Pansinin din namin na ang mga numero ng form ay transendental, para sa anumang hindi zero na algebraic na numero (sa pamamagitan ng Lindemann-Weierstrass theorem, na isang generalization ng Lindemann theorem). Halimbawa, ang mga numero ay transendental, .

Kung ito ay transendental, kung gayon, hindi kinakailangang transendental na mga numero, halimbawa,

Ang patunay ng teorama ni Lindemann ay maaaring isagawa gamit ang pagkakakilanlang Hermite, sa parehong paraan kung paano napatunayan ang transcendence, na may ilang mga komplikasyon sa mga pagbabagong-anyo. Ito ay eksakto kung paano pinatunayan ito mismo ni Lindemann. At maaari mong patunayan ang teorama na ito sa ibang paraan, gaya ng sinabi ng Sobyet na matematiko na si A.O. Si Gelfond, na ang mga ideya ay humantong sa kalagitnaan ng ika-20 siglo sa paglutas ng Ikapitong Problema ni Hilbert.

Noong 1900, sa II International Congress of Mathematicians, si Hilbert, kabilang sa mga problemang kanyang binuo, ay bumalangkas ng ikapitong problema: "Kung, totoo ba na ang mga numero ng anyo, kung saan, ay algebraic at hindi makatwiran na transendental na mga numero?" . Ang problemang ito ay nalutas noong 1934 ni Gelfond, na nagpatunay na ang lahat ng naturang bilang ay talagang transendental.

Ang patunay ng transcendence ng mga halaga ng exponential function, na iminungkahi ni Gelfond, ay batay sa paggamit ng mga pamamaraan ng interpolation.

Mga halimbawa:

1) Sa batayan ng teorama ni Gelfond, mapapatunayan ng isa, halimbawa, na ang isang numero ay transendental, dahil kung ito ay algebraic na hindi makatwiran, kung gayon, dahil ang bilang na iyon 19, ayon sa teorama ni Gelfond, ay magiging transendental, na hindi totoo.

2) Hayaan a At b- hindi nakapangangatwiran numero. Pwede ng number a b maging makatwiran?

Siyempre, gamit ang ikapitong problema ni Hilbert, hindi mahirap lutasin ang problemang ito. Sa katunayan, ang numero ay transendente (dahil ito ay isang algebraic na hindi makatwiran na numero). Ngunit ang lahat ng mga makatwirang numero ay algebraic, samakatuwid - hindi makatwiran. Sa kabila,

Kaya, ipinakita lang namin ang mga numerong ito:, Gayunpaman, ang problemang ito ay maaari ding malutas nang walang anumang pagtukoy sa resulta ng Gelfond. Maaari tayong mangatuwiran tulad ng sumusunod: isaalang-alang ang isang numero. Kung ang bilang na ito ay makatwiran, kung gayon ang problema ay malulutas, tulad a At b natagpuan. Kung ito ay hindi makatwiran, pagkatapos ay kunin namin at.

Kaya, ipinakita namin ang dalawang pares ng mga numero a At b, na ang isa sa mga pares na ito ay nakakatugon sa ibinigay na kondisyon, ngunit hindi niya alam kung alin. Ngunit pagkatapos ng lahat, hindi kinakailangan na ipakita ang gayong pares! Kaya, ang solusyon na ito ay, sa isang kahulugan, isang teorama ng pag-iral.

na, para sa isang = 1, ay nagsilbi sa amin upang matukoy ang kabuuan ng isang geometric na pag-unlad. Ipagpalagay na ang teorem ni Gauss ay napatunayan, ipinapalagay namin na ang a = a 1 ay ang ugat ng equation (17), upang

	) = a n + a		isang n−1			isang n−2		isang 1 + a

Ang pagbabawas ng expression na ito mula sa f(x) at muling pagsasaayos ng mga termino, makukuha natin ang pagkakakilanlan

f(x) = f(x) − f(a1 ) = (xn − a n 1 ) + an−1 (xn−1 − a n 1 −1 ) + . . . + a1 (x − a1 ).

(21) Gamit ang formula ngayon (20), maaari nating kunin ang factor x − a 1 mula sa bawat termino at pagkatapos ay alisin ito sa bracket, at ang antas ng polynomial na natitira sa mga bracket ay magiging mas mababa ng isa. Muling ayusin ang mga tuntunin, makuha namin ang pagkakakilanlan

f(x) = (x − a1 )g(x),

kung saan ang g(x) ay isang polynomial ng degree n − 1:

g(x) = xn−1 + bn−2 xn−2 + . . . + b1 x + b0 .

(Ang pagkalkula ng mga coefficient na tinutukoy ng b ay hindi interesado sa amin dito.) Ilapat pa natin ang parehong argumento sa polynomial g(x). Sa pamamagitan ng Gauss theorem, mayroong isang ugat a2 ng equation na g(x) = 0, upang

g(x) = (x − a2 )h(x),

kung saan ang h(x) ay isang bagong polynomial ng degree na n − 2. Ang pag-uulit ng mga argumentong ito n − 1 beses (siyempre, ang aplikasyon ng prinsipyo ng mathematical induction ay ipinahiwatig), sa wakas ay nakarating tayo sa decomposition

f(x) = (x − a1 )(x − a2 ) . . . (x − an ).

Ang pagkakakilanlan (22) ay nagpapahiwatig hindi lamang na ang mga kumplikadong numero a1 , a2 ,

Ang isang ay ang mga ugat ng equation (17), ngunit din ang katotohanan na ang equation (17) ay walang iba pang mga ugat. Sa katunayan, kung ang bilang na y ay ang ugat ng equation (17), pagkatapos ay mula sa (22) ito ay susunod

f(y) = (y − a1 )(y − a2 ) . . . (y − an ) = 0.

Ngunit nakita natin (p. 115) na ang produkto ng kumplikadong mga numero ay zero kung at kung ang isa sa mga kadahilanan ay zero. Kaya, ang isa sa mga salik na y − ar ay katumbas ng 0, ibig sabihin, y = ar , na siyang kinakailangang maitatag.

§ 6.

1. Kahulugan at mga tanong ng pagkakaroon. Ang algebraic na numero ay anumang numerong x, totoo o haka-haka, na nakakatugon sa ilang algebraic equation ng form

isang xn + isang−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 = 0 (n > 1, isang 6= 0),

130 MATHEMATICAL NUMERICAL SYSTEM ch. II

kung saan ang mga numerong ai ay mga integer. Kaya, halimbawa, ang numero 2 ay algebraic, dahil natutugunan nito ang equation

x2 − 2 = 0.

Sa parehong paraan, ang anumang ugat ng anumang equation na may mga integer coefficient ng ikatlo, ikaapat, ikalima, anumang antas, at hindi alintana kung ito ay ipinahayag o hindi ipinahayag sa mga radical, ay isang algebraic na numero. Ang konsepto ng isang algebraic na numero ay isang natural na paglalahat ng konsepto ng isang rational na numero, na tumutugma sa partikular na kaso n = 1.

Hindi lahat ng totoong numero ay algebraic. Ito ay sumusunod mula sa sumusunod na theorem na sinabi ni Cantor: ang set ng lahat ng algebraic na numero ay mabibilang. Dahil ang hanay ng lahat ng tunay na numero ay hindi mabilang, dapat mayroong mga tunay na numero na hindi algebraic.

Ipahiwatig natin ang isa sa mga pamamaraan para sa muling pagkalkula ng hanay ng mga algebraic na numero. Ang bawat equation ng form (1) ay nauugnay sa isang positive integer

h = |isang | + |isang−1 | + . . . + |a1 | + |a0 | +n,

na, para sa kapakanan ng kaiklian, tatawagin natin ang "taas" ng equation. Para sa bawat nakapirming halaga ng n, mayroon lamang isang tiyak na bilang ng mga equation ng form (1) na may taas na h. Ang bawat isa sa mga equation na ito ay may hindi hihigit sa n mga ugat. Samakatuwid, maaari lamang magkaroon ng isang may hangganang bilang ng mga algebraic na numero na nabuo ng mga equation na may taas na h; samakatuwid, ang lahat ng algebraic na numero ay maaaring isaayos sa anyo ng isang sequence, na naglilista muna ng mga nabuo sa pamamagitan ng mga equation ng taas 1, pagkatapos ay ang mga nasa taas 2, at iba pa.

Ang patunay na ito na ang hanay ng mga algebraic na numero ay mabibilang ay nagtatatag ng pagkakaroon ng mga tunay na numero na hindi algebraic. Ang ganitong mga numero ay tinatawag na transendental (mula sa Latin na transcendere - upang pumasa, upang malampasan); Ibinigay sa kanila ni Euler ang pangalang ito dahil "lumampas sila sa kapangyarihan ng mga pamamaraang algebraic."

Ang patunay ni Cantor sa pagkakaroon ng transendental na numero ay hindi nakabubuo. Sa teoryang pagsasalita, ang isa ay maaaring bumuo ng isang transendental na numero sa pamamagitan ng isang diagonal na pamamaraan na isinagawa sa isang haka-haka na listahan ng mga pagpapalawak ng decimal ng lahat ng algebraic na numero; ngunit ang naturang pamamaraan ay walang anumang praktikal na halaga at hindi hahantong sa isang numero na ang pagpapalawak sa isang decimal (o ilang iba pang) fraction ay maaaring aktwal na maisulat. Ang pinaka-kagiliw-giliw na mga problema na nauugnay sa transendental na mga numero ay nasa pagpapatunay na ang ilang mga tiyak na numero (kabilang dito ang mga numerong p at e, kung saan makikita ang pp. 319–322) ay transendental.

ALGEBRAIC AT TRANSCENDENT NUMBERS

**2. Ang teorama ni Liouville at ang pagbuo ng mga transendental na numero. Ang patunay ng pagkakaroon ng transendental na mga numero bago pa man ibinigay ni J. Liouville si Cantor (1809–1862). Ginagawa nitong posible na aktwal na bumuo ng mga halimbawa ng mga naturang numero. Ang patunay ni Liouville ay mas mahirap kaysa sa Cantor, at ito ay hindi nakakagulat, dahil ang pagbuo ng isang halimbawa ay, sa pangkalahatan, mas mahirap kaysa sa pagpapatunay ng pagkakaroon. Sa paglalahad ng patunay ni Liouville sa ibaba, nasa isip lamang namin ang isang sinanay na mambabasa, bagama't ang kaalaman sa elementarya na matematika ay ganap na sapat upang maunawaan ang patunay.

Tulad ng natuklasan ni Liouville, ang mga hindi makatwirang algebraic na numero ay may katangian na ang mga ito ay hindi matantya ng mga rational na numero na may napakataas na antas ng katumpakan, maliban kung ang mga denominator ng tinatayang mga fraction ay kinuha nang napakalaki.

Ipagpalagay na ang numerong z ay nakakatugon sa algebraic equation na may mga integer coefficients

f(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + isang xn = 0 (isang 6= 0),

ngunit hindi nakakatugon sa parehong mas mababang antas ng equation. Pagkatapos

sabihin na ang x mismo ay isang algebraic na bilang ng degree n. Halimbawa,

ang numerong z = 2 ay isang algebraic na numero ng degree 2, dahil natutugunan nito ang equation x2 − 2 = 0√ ng degree 2, ngunit hindi nakakatugon sa first degree equation; ang bilang na z = 3 2 ay nasa degree 3, dahil natutugunan nito ang equation na x3 − 2 = 0, ngunit hindi (tulad ng ipapakita namin sa Kabanata III) ay nakakatugon sa isang equation na mas mababang antas. Algebraic na bilang ng degree n > 1

hindi maaaring makatwiran, dahil ang rasyonal na bilang na z = p q ay natutugunan

natutugunan ang equation qx − p = 0 ng degree 1. Ang bawat irrational number na z ay maaaring tantiyahin sa anumang antas ng katumpakan gamit ang isang rational number; nangangahulugan ito na maaari mong palaging tukuyin ang pagkakasunod-sunod ng mga rational na numero

p1, p2, . . .

q 1 q 2

na may walang limitasyong lumalaking denominator, na may ari-arian

na

p r → z. qr

Ang theorem ni Liouville ay nagsasaad: anuman ang isang algebraic na numero z ng degree n > 1, hindi ito maaaring tantiyahin ng isang rational

sapat na malalaking denominador, ang hindi pagkakapantay-pantay

z−p q			> q n1 +1 .

MATHEMATICAL NUMBER SYSTEM

Magbibigay tayo ng patunay ng teorama na ito, ngunit ipapakita muna natin kung paano ito magagamit sa pagbuo ng mga transendental na numero. Isaalang-alang ang numero

z = a1 10−1! + a2 10−2! + a3 10−3! + . . . + am · 10−m! + . . . == 0,a1 a2 000a3 00000000000000000a4 000 . . . ,

kung saan ang ai ay kumakatawan sa mga di-makatwirang digit mula 1 hanggang 9 (pinakamadaling itakda ang lahat ng ai katumbas ng 1), at ang simbolo n!, gaya ng dati (tingnan ang p. 36 ), ay nangangahulugang 1 · 2 · . . . n. Ang isang katangian ng pagpapalawak ng desimal ng naturang numero ay ang mga pangkat ng mga zero na mabilis na tumataas sa haba ay kahalili dito ng mga indibidwal na digit maliban sa zero. Tukuyin sa pamamagitan ng zm ang huling decimal na fraction na nakuha sa pamamagitan ng pagkuha ng lahat ng termino hanggang am · 10−m! sa pagpapalawak. kasama. Pagkatapos ay nakukuha natin ang hindi pagkakapantay-pantay

Ipagpalagay na ang z ay isang algebraic na bilang ng degree n. Pagkatapos, ang pagtatakda sa Liouville inequality (3) p q = zm = 10 p m! , dapat mayroon tayo

|z - zm | > 10(n+1)m!

para sa sapat na malalaking halaga ng m. Ang paghahambing ng huling hindi pagkakapantay-pantay sa hindi pagkakapantay-pantay (4) ay nagbibigay

10(n+1)m!		10(m+1)!			10(m+1)!−1

saan sumusunod (n + 1)m! > (m + 1)! − 1 para sa sapat na malaking m. Ngunit hindi ito totoo para sa mga halaga ng m mas malaki kaysa sa n (hayaan ang mambabasa na gumawa ng problema upang magbigay ng isang detalyadong patunay ng pahayag na ito). Dumating tayo sa isang kontradiksyon. Kaya, ang bilang na z ay transendental.

Ito ay nananatiling patunayan ang teorama ni Liouville. Ipagpalagay na ang z ay isang algebraic na bilang ng degree n > 1 na kasiya-siyang equation (1), upang

f(zm ) = f(zm ) − f(z) = a1 (zm − z) + a2 (zm 2 − z2 ) + . . . + an (zm n − zn ).

Paghahati sa parehong bahagi ng zm − z at gamit ang algebraic formula

u n − v n = un−1 + un−2 v + un−3 v2 + . . . + uvn−2 + vn−1 , u − v

makuha namin:

	f(zm)	A1 + a2 (zm + z) + a3 (zm 2 + zm z + z2 ) + . . .
	zm − z
		An (zm n−1 + . . . + zn−1 ). (6)

ALGEBRAIC AT TRANSCENDENT NUMBERS

Dahil ang zm ay may gawi sa z, kung gayon para sa sapat na malaking m ang rational number na zm ay mag-iiba mula sa z nang mas mababa sa isa. Samakatuwid, para sa sapat na malaking m, maaari naming gawin ang sumusunod na magaspang na pagtatantya:

	f(zm)		< |a1 | + 2|a2 |(|z| + 1) + 3|a3 |(|z| + 1)2
zm − z

N|an |(|z| + 1)n−1 = M, (7)

bukod dito, ang bilang M sa kanan ay pare-pareho, dahil ang z ay hindi nagbabago sa panahon ng patunay. Piliin natin ngayon ang m kaya malaki na

ang fraction z m = p m ay may denominator q m ay mas malaki kaysa sa M; Pagkatapos qm

|z - zm | >	|f(zm )|			|f(zm )|

|f(zm )| =							-qn
							1 p + . . . +a
Rational number zm =			hindi maaaring maging ugat ng equation

simula noon ay posible nang kunin ang factor (x − zm ) mula sa polynomial f(x), at, samakatuwid, ang z ay makakatugon sa isang equation na mas mababa sa n. Kaya, f(zm ) 6= 0. Ngunit ang numerator sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay (9) ay isang integer at, samakatuwid, sa ganap na halaga ito ay hindi bababa sa katumbas ng isa. Kaya, ang paghahambing ng mga relasyon (8) at (9) ay nagpapahiwatig ng hindi pagkakapantay-pantay

|z - zm | >
					qn+1

na tiyak ang nilalaman ng ipinahiwatig na teorama.

Sa nakalipas na ilang dekada, ang pananaliksik sa posibilidad ng pagtatantya ng mga algebraic na numero sa pamamagitan ng mga makatwiran ay mas sumulong. Halimbawa, itinatag ng Norwegian mathematician na si A. Thue (1863–1922) na sa hindi pagkakapantay-pantay ni Liouville (3), ang exponent n + 1 ay maaaring palitan ng mas maliit na exponent n 2 + 1.

Ipinakita ng K. L. Siegel na posible na kumuha ng mas maliit (kahit na mas maliit

para sa mas malaking n) exponent 2 n.

Ang mga transendental na numero ay palaging isang paksa na umaakit sa atensyon ng mga mathematician. Ngunit hanggang sa medyo kamakailang mga panahon, kabilang sa mga bilang na kawili-wili sa kanilang mga sarili, napakakaunti ang kilala na ang transendental na karakter ay maaaring maitatag. (Ang transcendence ng bilang p, na tatalakayin sa Kabanata III, ay nagpapahiwatig ng imposibilidad ng pag-square ng bilog na may ruler at compass.) Sa kanyang talumpati sa Paris International Congress of Mathematicians noong 1900, iminungkahi ni David Hilbert ang tatlumpung mathematical

ALGEBRA NG MGA SET

mga problemang umamin ng isang simpleng pormulasyon, ang ilan ay medyo elementarya at tanyag, na hindi lamang nalutas, ngunit tila kayang lutasin sa pamamagitan ng paraan ng matematika noong panahong iyon. Ang mga "Hilbert problema" ay nagkaroon ng isang malakas na stimulating epekto sa buong kasunod na panahon sa pag-unlad ng matematika. Halos lahat ng mga ito ay nalutas nang paunti-unti, at sa maraming mga kaso ang kanilang solusyon ay nauugnay sa malinaw na pag-unlad sa pagbuo ng mas pangkalahatan at mas malalim na mga pamamaraan. Isang problema na tila walang pag-asa

patunay na ang bilang

ay transendente (o hindi bababa sa hindi makatwiran). Sa loob ng tatlong dekada ay walang kahit isang pahiwatig ng gayong diskarte sa isyu mula sa panig ng sinuman na magbubukas ng pag-asa para sa tagumpay. Sa wakas, si Siegel at, nang nakapag-iisa sa kanya, ang batang Ruso na matematiko na si A. Gelfond ay nakatuklas ng mga bagong pamamaraan para patunayan ang transcendence ng marami.

mga numerong mahalaga sa matematika. Sa partikular, ito ay itinakda

transcendence hindi lamang ng Hilbert number 2 2 , kundi pati na rin ng medyo malawak na klase ng mga numero ng anyong ab , kung saan ang a ay isang algebraic na numero maliban sa 0 at 1, at ang b ay isang hindi makatwiran na algebraic na numero.

APENDIKS SA KABANATA II

Algebra ng mga set

1. Pangkalahatang teorya. Ang konsepto ng isang klase, o koleksyon, o hanay ng mga bagay ay isa sa pinakapangunahing sa matematika. Ang set ay tinukoy ng ilang ari-arian ("katangian") A, na ang bawat bagay na isinasaalang-alang ay dapat na mayroon o wala; ang mga bagay na iyon na may ari-arian A ay bumubuo ng isang set A. Kaya, kung isasaalang-alang natin ang mga integer at ang pag-aari ng A ay "maging prime", kung gayon ang kaukulang set A ay binubuo ng lahat ng prime number 2, 3, 5, 7, . . .

Ang teorya ng matematika ng mga hanay ay nagpapatuloy mula sa katotohanan na ang mga bagong hanay ay maaaring mabuo mula sa mga hanay sa tulong ng ilang mga operasyon (tulad ng mga bagong numero ay nakuha mula sa mga numero sa pamamagitan ng mga operasyon ng pagdaragdag at pagpaparami). Ang pag-aaral ng mga operasyon sa mga set ay ang paksa ng "set algebra", na may malaking pagkakatulad sa ordinaryong numerical algebra, bagama't sa ilang mga paraan ito ay naiiba mula dito. Ang katotohanan na ang mga pamamaraang algebraic ay maaaring ilapat sa pag-aaral ng mga bagay na di-numero, tulad ng mga hanay, ay mailarawan.

ALGEBRA NG MGA SET

nagpapakita ng isang mahusay na pangkalahatan ng mga ideya ng modernong matematika. Kamakailan, naging malinaw na ang set algebra ay nagbibigay ng bagong liwanag sa maraming larangan ng matematika, halimbawa, sukatin ang teorya at probability theory; ito ay kapaki-pakinabang din sa pag-systematize ng mga konseptong matematika at paglilinaw ng kanilang mga lohikal na koneksyon.

Sa sumusunod, ako ay magsasaad ng isang tiyak na pare-parehong hanay ng mga bagay, na ang likas na katangian ay walang malasakit, at kung saan maaari nating tawaging unibersal na hanay (o ang uniberso ng pangangatwiran), at

A, B, C, . . . magkakaroon ng ilang mga subset ng I. Kung ang I ay ang koleksyon ng lahat ng natural na numero, kung gayon ang A, sabihin nating, ay maaaring tukuyin ang set ng lahat ng even na numero, B ang set ng lahat ng odd na numero, C ang set ng lahat ng prime number, atbp. Kung tinutukoy ko ang koleksyon ng lahat ng mga punto sa eroplano, ang A ay maaaring isang hanay ng mga punto sa loob ng ilang bilog, B - isang hanay ng mga punto sa loob ng isa pang bilog, atbp. Maginhawa para sa amin na isama ang I mismo bilang "mga subset ”, pati na rin ang isang “empty” set na hindi naglalaman ng anumang elemento. Ang layunin na hinahabol ng naturang artipisyal na extension ay upang mapanatili ang posisyon na para sa bawat pag-aari ng A ay may tumutugma sa isang tiyak na hanay ng mga elemento mula sa I na may ganitong katangian. Kung ang A ay isang unibersal na wastong pag-aari, gaya ng ipinakita (sa kaso ng mga numero) sa pamamagitan ng pag-aari ng pagbibigay-kasiyahan sa maliit na pagkakapantay-pantay na x = x, kung gayon ang kaukulang subset ng I ay magiging I mismo, dahil ang bawat elemento ay may ganitong katangian; sa kabilang banda, kung ang A ay isang uri ng panloob na kasalungat na pag-aari (tulad ng x 6= x), kung gayon ang katumbas na subset ay hindi naglalaman ng anumang elemento, ito ay "walang laman" at tinutukoy ng isang simbolo.

Sinasabi namin na ang set A ay isang subset ng set B, sa madaling salita, "Ang A ay kasama sa B", o "B ay naglalaman ng A" kung walang ganoong elemento sa set A na wala rin sa set B Ang kaugnayang ito ay tumutugma sa notasyon

A B, o B A.

Halimbawa, ang set A ng lahat ng integer na nahahati ng 10 ay isang subset ng set B ng lahat ng integer na nahahati ng 5, dahil ang bawat numero na nahahati ng 10 ay nahahati din ng 5. Ang kaugnayan A B ay hindi nagbubukod ng kaugnayan B A. Kung at sa alinmang paraan, kung gayon

Nangangahulugan ito na ang bawat elemento ng A ay isa ring elemento ng B, at kabaliktaran, upang ang mga hanay ng A at B ay naglalaman ng eksaktong parehong mga elemento.

Ang kaugnayan A B sa pagitan ng mga hanay sa maraming aspeto ay kahawig ng kaugnayan a 6 b sa pagitan ng mga numero. Sa partikular, tandaan namin ang mga sumusunod

ALGEBRA NG MGA SET

ang mga sumusunod na katangian ng ratio na ito:

1) A A.

2) Kung A B at B A, A = B.

3) Kung A B at B C, A C.

Para sa kadahilanang ito, ang ugnayang A B ay minsang tinutukoy bilang "kaugnayan ng pagkakasunud-sunod". Ang pangunahing pagkakaiba sa pagitan ng ugnayang isinasaalang-alang at ang kaugnayan a 6 b sa pagitan ng mga numero ay ang sa pagitan ng alinmang dalawang ibinigay na (tunay) na mga numero a at b, hindi bababa sa isa sa mga ugnayang a 6 b o b 6 a ay kinakailangang isagawa, habang para sa ang kaugnayan A B sa pagitan ng mga set ng isang katulad na pahayag ay mali. Halimbawa, kung ang A ay isang set na binubuo ng mga numero 1, 2, 3,

at B ay ang set na binubuo ng mga numero 2, 3, 4,

pagkatapos ay wala ang kaugnayan A B o ang kaugnayan B A. Para sa kadahilanang ito, ang mga subset A, B, C, . . . ang mga set na I ay "partially ordered", habang ang mga tunay na numero a, b, c, . . .

bumuo ng isang "well-ordered" set.

Tandaan, sa pamamagitan ng paraan, na mula sa kahulugan ng kaugnayan A B ito ay sumusunod na, anuman ang subset A ng set I,

Ang Property 4) ay maaaring mukhang medyo kabalintunaan, ngunit kung iisipin mo ito, ito ay lohikal na tumutugma sa eksaktong kahulugan ng kahulugan ng sign. Sa katunayan, ang relasyon A ay lalabag lamang

V sa kaganapan na ang walang laman na hanay ay naglalaman ng isang elemento na hindi makikita sa A; ngunit dahil ang walang laman na hanay ay naglalaman ng walang mga elemento sa lahat, ito ay hindi maaaring maging, anuman A ay maaaring.

Tinutukoy namin ngayon ang dalawang operasyon sa mga set na pormal na mayroong marami sa mga algebraic na katangian ng pagdaragdag at pagpaparami ng mga numero, bagama't sa kanilang panloob na nilalaman ay ganap silang naiiba sa mga pagpapatakbong ito ng aritmetika. Hayaang maging dalawang set ang A at B. Ang unyon, o "lohikal na kabuuan", ng A at B ay nauunawaan bilang set na binubuo ng mga elementong iyon na nakapaloob sa alinman sa A o

V B (kabilang ang mga elementong iyon na nasa parehong A at B). Ang hanay na ito ay tinutukoy ng A + B. 1 Ang "intersection" o "lohikal na produkto" ng A at B ay nauunawaan na ang set na binubuo ng mga elementong iyon na nasa parehong A at B. Ang set na ito ay tinutukoy na AB.2

Kabilang sa mga mahahalagang katangian ng algebraic ng mga operasyong A + B at AB, inilista namin ang mga sumusunod. Mapapatunayan ng mambabasa ang kanilang bisa batay sa kahulugan ng mga pagpapatakbo mismo:

	A + (B + C) = (A + B) + C. 9)
	A(B + C) = AB + AC.		A + (BC) = (A + B)(A + C).
	Ang kaugnayan A B ay katumbas ng bawat isa sa dalawang relasyon

Ang pagsuri sa lahat ng mga batas na ito ay isang bagay sa pinakapangunahing lohika. Halimbawa, ang panuntunan 10) ay nagsasaad na ang hanay ng mga elementong nakapaloob sa alinman sa A o A ay ang hanay lamang ng A; tuntunin 12) ay nagsasaad na ang hanay ng mga elementong iyon na nakapaloob sa A at sa parehong oras ay nakapaloob sa alinman sa B o sa C ay nag-tutugma sa hanay ng mga elemento na maaaring sabay na nilalaman sa A at B, o nakapaloob nang sabay-sabay sa A at C Ang lohikal na pangangatwiran na ginamit sa mga patunay ng ganitong uri ng mga tuntunin ay maginhawang inilalarawan kung sumasang-ayon kaming kumatawan sa mga set A, B, C, . . . sa anyo ng ilang mga figure sa eroplano at kami ay magiging maingat na hindi makaligtaan ang alinman sa mga umuusbong na lohikal na posibilidad pagdating sa pagkakaroon ng mga karaniwang elemento ng dalawang set o, sa kabaligtaran, ang presensya sa isang hanay ng mga elemento na ay hindi nakapaloob sa iba.

ALGEBRA NG MGA SET

Walang alinlangan na binigyang pansin ng mambabasa ang katotohanan na ang mga batas 6), 7), 8), 9) at 12) ay panlabas na magkapareho sa mga kilalang commutative, associative, at distributive na batas ng ordinaryong algebra. Ito ay sumusunod mula dito na ang lahat ng mga tuntunin ng ordinaryong algebra na sumusunod mula sa mga batas na ito ay wasto din sa algebra ng mga hanay. Sa kabaligtaran, ang mga batas 10), 11) at 13) ay walang mga analogue sa ordinaryong algebra, at binibigyan nila ang algebra ng mga hanay ng isang mas simpleng istraktura. Halimbawa, ang binomial formula sa set algebra ay bumababa sa pinakasimpleng pagkakapantay-pantay

(A + B)n = (A + B) · (A + B) . . . (A + B) = A + B,

na sumusunod sa batas 11). Ang mga batas 14), 15) at 17) ay nagsasabi na ang mga katangian ng set at I kaugnay ng mga operasyon ng unyon at intersection ng mga set ay halos kapareho sa mga katangian ng mga numero 0 at 1 na may kaugnayan sa mga pagpapatakbo ng numerical na operasyon ng pagdaragdag at pagpaparami. Ngunit ang batas 16) ay walang analogue sa numerical algebra.

Ito ay nananatiling tukuyin ang isa pang operasyon sa algebra ng mga set. Hayaang ang A ay ilang subset ng unibersal na set I. Pagkatapos ang complement ng A sa I ay ang set ng lahat ng elemento ng I na hindi nakapaloob sa A. Para sa set na ito ipinakilala namin ang notation A0 . Kaya, kung ako ang set ng lahat ng natural na numero, at ang A ay ang set ng lahat ng prime number, kung gayon ang A0 ay ang set na binubuo ng lahat ng composite na numero at ang numero 1. Ang transition operation mula A hanggang A0 , kung saan walang analogue sa ordinaryong algebra, ay may mga sumusunod na katangian:

	A + A0 = I.		AA0 = .
	0 = ako.		I0 = .

23) A 00 = A.

24) Ang kaugnayan A B ay katumbas ng kaugnayan B 0 A0 .

25) (A + B)0 = A0 B0 . 26) (AB)0 = A0 + B0 .

Muli naming ipinauubaya sa mambabasa ang pag-verify ng mga katangiang ito.

Batas 1)–26) ang sumasailalim sa algebra ng mga set. Mayroon silang kahanga-hangang pag-aari ng "duality" sa sumusunod na kahulugan:

Kung sa isa sa mga batas 1)–26) papalitan natin ang katumbas

(sa bawat isa sa kanilang mga paglitaw), pagkatapos ay ang resulta ay muli ang isa sa parehong mga batas. Halimbawa, ang batas 6) ay napupunta sa batas 7), 12) - sa 13), 17) - sa 16), atbp. Ito ay sumusunod na ang bawat teorama na maaaring makuha mula sa mga batas 1)–26) ay tumutugma sa isa pa , ang teorem "dalawahan" dito, na nakuha mula sa una sa pamamagitan ng ipinahiwatig na mga permutasyon ng mga simbolo. Sa katunayan, dahil ang patunay

ch. II ALGEBRA NG MGA SET 139

ng unang teorama ay binubuo ng sunud-sunod na aplikasyon (sa iba't ibang yugto ng pangangatwiran) ng ilan sa mga batas 1–26), kung gayon ang aplikasyon ng mga batas na "dalawahan" sa kaukulang mga yugto ay bubuo ng isang patunay ng "dalawahang" teorama . (Para sa katulad na "duality" sa geometry, tingnan ang Kabanata IV.)

2. Application sa mathematical logic. Ang pagpapatunay ng mga batas ng algebra ng mga hanay ay batay sa pagsusuri ng lohikal na kahulugan ng kaugnayan A B at ang mga operasyong A + B, AB at A0 . Maaari na nating baligtarin ang prosesong ito at isaalang-alang ang mga batas 1)–26) bilang batayan para sa "algebra of logic". Sabihin natin nang mas tumpak: ang bahaging iyon ng lohika na may kinalaman sa mga set, o, na halos pareho, ang mga katangian ng mga bagay na isinasaalang-alang, ay maaaring gawing pormal na algebraic system batay sa mga batas 1)–26). Ang lohikal na "conditional universe" ay tumutukoy sa set I; Ang bawat pag-aari ng A ay tumutukoy sa isang set A na binubuo ng mga bagay sa I na mayroong pag-aari na iyon. Ang mga patakaran para sa pagsasalin ng ordinaryong lohikal na terminolohiya sa set na wika ay malinaw mula sa

ang mga sumusunod na halimbawa:
"Hindi A o B"			(A + B)0 , o, na pareho, A0 B0
"Hindi totoo na parehong A at B"			(AB)0 , o, na pareho, A0 + B0
ay B", o
"Kung A, B"
"Mula sa A ay sumusunod kay B"
"Ang ilang A ay B"
"Hindi A ay B"			AB=
"Ang ilang A ay hindi B"			AB0 6=
"Walang A"

Sa mga tuntunin ng set algebra, ang "Barbara" syllogism, na nangangahulugang "kung ang bawat A ay isang B at ang bawat B ay isang C, kung gayon ang bawat A ay isang C", ay may simpleng anyo:

3) Kung A B at B C, A C.

Katulad nito, ang "batas ng kontradiksyon", na nagsasaad na "ang isang bagay ay hindi maaaring magkasabay at walang pag-aari", ay nakasulat bilang:

20) AA 0 = ,

A "ang batas ng ibinukod na gitna", na nagsasabing "ang isang bagay ay dapat magkaroon o walang pag-aari" ay nakasulat:

19) A + A 0 = I.

ALGEBRA NG MGA SET

Kaya, ang bahaging iyon ng lohika, na maipapahayag sa mga tuntunin ng mga simbolo, +, · at 0 , ay maaaring ituring bilang isang pormal na algebraic system, na napapailalim sa mga batas 1)–26). Batay sa pagsasanib ng lohikal na pagsusuri ng matematika at ang matematikal na pagsusuri ng lohika, isang bagong disiplina ang nilikha - ang lohika ng matematika, na kasalukuyang nasa proseso ng mabilis na pag-unlad.

Mula sa isang axiomatic point of view, ang kapansin-pansing katotohanan na ang mga pahayag 1)–26), kasama ang lahat ng iba pang theorems ng set algebra, ay maaaring lohikal na mahihinuha mula sa sumusunod na tatlong pagkakapantay-pantay:

27) A + B = B + A,

(A + B) + C = A + (B + C),

(A0 + B0 )0 + (A0 + B)0 = A.

Kasunod nito na ang algebra ng mga hanay ay maaaring mabuo bilang isang teoryang deduktibo, tulad ng Euclidean geometry, batay sa tatlong proposisyong ito na kinuha bilang mga axiom. Kung tinanggap ang mga axiom na ito, ang operasyon AB at ang kaugnayan A B ay tinukoy sa mga tuntunin ng A + B at A0 :

	nagsasaad ng set (A0 + B0 )0 ,
	Ang ibig sabihin ng B ay ang A + B = B.

Ang isang ganap na naiibang halimbawa ng isang mathematical system kung saan ang lahat ng pormal na batas ng algebra ng set ay nasiyahan ay ibinigay ng sistema ng walong numero 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30: dito ang a + b ay nagsasaad , ni

sa pamamagitan ng kahulugan, ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng a at b, ang ab ay ang pinakamalaking karaniwang divisor ng a at b, ang a b ay ang pahayag na "b ay nahahati ng a", at ang a0 ay ang bilang na 30 a . su-

Ang pagkakaroon ng ganitong mga halimbawa ay humantong sa pag-aaral ng mga pangkalahatang algebraic system na nagbibigay-kasiyahan sa mga batas 27). Ang ganitong mga sistema ay tinatawag na "Boolean algebras" pagkatapos ni George Boole (1815–1864), isang English mathematician at logician, na ang aklat na An investigation of the laws of thought ay lumabas noong 1854.

3. Isa sa mga aplikasyon sa teorya ng probabilidad. Ang set algebra ay malapit na nauugnay sa probability theory at nagbibigay-daan sa iyong tingnan ito sa isang bagong liwanag. Isaalang-alang natin ang pinakasimpleng halimbawa: isipin ang isang eksperimento na may limitadong bilang ng mga posibleng resulta, na ang lahat ay itinuturing na "pantay na posible". Ang isang eksperimento ay maaaring, halimbawa, ay binubuo sa pagguhit ng card nang random mula sa isang well-shuffled full deck. Kung tinutukoy natin ang set ng lahat ng kinalabasan ng eksperimento sa pamamagitan ng I, at ang A ay nagsasaad ng ilang subset ng I, kung gayon ang posibilidad na ang resulta ng eksperimento ay mapabilang sa subset A ay tinukoy bilang ratio

p(A) = bilang ng mga elemento ng A . bilang ng mga elemento I

ALGEBRA NG MGA SET

Kung sumasang-ayon kami na tukuyin ang bilang ng mga elemento sa ilang set A sa pamamagitan ng n(A), kung gayon ang huling pagkakapantay-pantay ay maaaring bigyan ng form

Sa aming halimbawa, kung ipagpalagay na ang A ay isang subset ng mga club, nakukuha namin
n(A) = 13, n(I) = 52 at p(A) =

Ang mga ideya ng algebra ng mga set ay matatagpuan sa pagkalkula ng mga probabilities kapag ito ay kinakailangan, alam ang probabilities ng ilang set, upang makalkula ang probabilities ng iba. Halimbawa, dahil sa mga probabilidad na p(A), p(B), at p(AB), maaari nating kalkulahin ang probabilidad p(A + B):

p(A + B) = p(A) + p(B) − p(AB).

Hindi magiging mahirap patunayan ito. Meron kami

n(A + B) = n(A) + n(B) − n(AB),

dahil ang mga elementong nakapaloob nang sabay-sabay sa A at B, ibig sabihin, ang mga elemento ng AB, ay binibilang nang dalawang beses kapag kinakalkula ang kabuuan n(A) + n(B), at, samakatuwid, kailangan mong ibawas ang n(AB) mula sa kabuuan na ito sa upang makalkula ang n(A + B) ay ginawa nang tama. Pagkatapos ay hinahati ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng n(I), nakukuha natin ang kaugnayan (2).

Ang isang mas kawili-wiling pormula ay makukuha kung pinag-uusapan natin ang tungkol sa tatlong set A, B, C mula sa I. Gamit ang kaugnayan (2), mayroon tayong

p(A + B + C) = p[(A + B) + C] = p(A + B) + p(C) − p[(A + B)C].

Ang batas (12) mula sa nakaraang talata ay nagbibigay sa atin ng (A + B)C = AC + BC. Ito ay nagpapahiwatig:

p[(A + B)C)] = p(AC + BC) = p(AC) + p(BC) − p(ABC).

Ang pagpapalit ng halagang p[(A + B)C] at ang halagang p(A + B) na kinuha mula sa (2) sa ugnayang nakuha kanina, nakarating tayo sa formula na kailangan natin:

p(A + B + C) = p(A) + p(B) + p(C) − p(AB) − p(AC) − p(BC) + p(ABC). (3)

Bilang halimbawa, isaalang-alang ang sumusunod na eksperimento. Tatlong numero 1, 2, 3 ay nakasulat sa anumang pagkakasunud-sunod. Ano ang posibilidad na kahit isa sa mga digit ay nasa tamang lugar (sa mga tuntunin ng pagnunumero)? Hayaang ang A ay ang hanay ng mga permutasyon kung saan ang numero 1 ay nasa unang lugar, ang B ay ang hanay ng mga permutasyon kung saan ang numero 2 ay nasa pangalawang lugar, C ay ang hanay ng mga permutasyon kung saan ang numero 3 ay nasa pangatlo lugar. Kailangan nating kalkulahin ang p(A + B + C). Malinaw na iyon

p(A) = p(B) = p(C) = 2 6 = 1 3 ;

sa katunayan, kung anumang digit ang nasa tamang lugar, may dalawang posibilidad na muling ayusin ang natitirang dalawang digit sa kabuuang 3 · 2 · 1 = 6 na posibleng permutasyon ng tatlong digit. Dagdag pa,

Mag-ehersisyo. Kunin ang naaangkop na formula para sa p(A + B + C + D) at ilapat ito sa isang eksperimento na magsasangkot ng 4 na digit. Ang katumbas na posibilidad ay 5 8 = 0.6250.

Ang pangkalahatang pormula para sa pagsasama ng n set ay

p(A1 + A2 + . . . + An ) =
	p(Ai ) −
			p(Ai Aj ) + p(Ai Aj Ak ) − . . . ± p(A1 A2 . . . An ), (4)
kung saan ang mga simbolo				tukuyin ang kabuuan sa lahat ng posible

mga kumbinasyong naglalaman ng isa, dalawa, tatlo, . . . , (n − 1) mga titik mula sa A1 , A2 , . . .

isang. Ang formula na ito ay maaaring itatag sa pamamagitan ng mathematical induction - tulad ng formula (3) ay hinango mula sa formula (2).

Mula sa formula (4) maaari nating tapusin na kung ang n digit ay 1, 2, 3, . . . , n ay nakasulat sa anumang pagkakasunud-sunod, kung gayon ang posibilidad na kahit isa sa mga digit ay nasa tamang lugar ay katumbas ng

pn = 1

kung saan ang huling termino ay pinangungunahan ng isang + o − sign, depende sa kung ang n ay pantay o kakaiba. Sa partikular, para sa n = 5 ang posibilidad na ito ay katumbas ng

p5 = 1 − 2! + 3! − 4! +5! = 30 = 0.6333. . .

Sa Kabanata VIII makikita natin na habang napupunta ang n sa infinity, ang expression

1 1 1 1 Sn = 2! − 3! +4! − . . . ±n!

may posibilidad sa limitasyon na 1 e , ang halaga nito, na may limang decimal na lugar,

katumbas ng 0.36788. Dahil malinaw sa formula (5) na pn = 1 − Sn, sumusunod mula rito na bilang n → ∞

pn → 1 − e ≈ 0.63212.