Ang bawat operasyon ng aritmetika kung minsan ay nagiging napakahirap upang itala at sinusubukan nilang gawing simple ito. Ito ay dating pareho sa pagpapatakbo ng karagdagan. Kinakailangan para sa mga tao na magsagawa ng paulit-ulit na pagdaragdag ng parehong uri, halimbawa, upang kalkulahin ang halaga ng isang daang Persian carpet, ang halaga nito ay 3 gintong barya para sa bawat isa. 3+3+3+…+3 = 300. Dahil sa pagiging mahirap, naimbento ito upang bawasan ang notasyon sa 3 * 100 = 300. Sa katunayan, ang notasyong “tatlong beses ng isang daan” ay nangangahulugan na kailangan mong kumuha ng isang daan triplets at idagdag ang mga ito nang sama-sama. Nag-ugat ang multiplikasyon, nakakuha ng pangkalahatang katanyagan. Ngunit ang mundo ay hindi tumitigil, at sa Middle Ages ito ay naging kinakailangan upang isagawa ang paulit-ulit na pagpaparami ng parehong uri. Naaalala ko ang isang matandang bugtong na Indian tungkol sa isang matalinong tao na humingi ng mga butil ng trigo sa sumusunod na dami bilang gantimpala para sa gawaing nagawa: para sa unang cell ng chessboard humingi siya ng isang butil, para sa pangalawa - dalawa, pangatlo - apat. , ang ikalima - walo, at iba pa. Ito ay kung paano lumitaw ang unang pagpaparami ng mga kapangyarihan, dahil ang bilang ng mga butil ay katumbas ng dalawa sa kapangyarihan ng numero ng cell. Halimbawa, sa huling cell ay magkakaroon ng 2*2*2*…*2 = 2^63 butil, na katumbas ng bilang na 18 character ang haba, na, sa katunayan, ay ang kahulugan ng bugtong.

Ang operasyon ng pagtaas sa isang kapangyarihan ay nag-ugat nang mabilis, at mabilis din itong naging kinakailangan upang magsagawa ng karagdagan, pagbabawas, paghahati at pagpaparami ng mga degree. Ang huli ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang nang mas detalyado. Ang mga formula para sa pagdaragdag ng mga kapangyarihan ay simple at madaling matandaan. Bilang karagdagan, napakadaling maunawaan kung saan sila nanggaling kung ang pagpapatakbo ng kapangyarihan ay papalitan ng multiplikasyon. Ngunit kailangan mo munang maunawaan ang elementarya na terminolohiya. Ang expression na a ^ b (basahin ang "a hanggang sa kapangyarihan ng b") ay nangangahulugan na ang bilang a ay dapat na i-multiply sa sarili nitong b beses, at ang "a" ay tinatawag na base ng degree, at ang "b" ay ang exponent. Kung ang mga batayan ng mga kapangyarihan ay pareho, kung gayon ang mga formula ay hinango nang simple. Tukoy na halimbawa: hanapin ang halaga ng expression na 2^3 * 2^4. Upang malaman kung ano ang dapat mangyari, dapat mong malaman ang sagot sa computer bago simulan ang solusyon. Ang pagpasok ng expression na ito sa anumang online na calculator, search engine, pag-type ng "multiplication of powers na may iba't ibang base at pareho" o isang mathematical package, ang output ay magiging 128. Ngayon, isulat natin ang expression na ito: 2^3 = 2*2*2, at 2^4 = 2 *2*2*2. Lumalabas na 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) . Lumalabas na ang produkto ng mga kapangyarihan na may parehong base ay katumbas ng base na itinaas sa isang kapangyarihan na katumbas ng kabuuan ng nakaraang dalawang kapangyarihan.

Maaari mong isipin na ito ay isang aksidente, ngunit hindi: ang anumang iba pang halimbawa ay maaari lamang kumpirmahin ang panuntunang ito. Kaya, sa pangkalahatan, ang formula ay ganito ang hitsura: a^n * a^m = a^(n+m) . Mayroon ding panuntunan na ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas ng isa. Dito dapat nating tandaan ang tuntunin ng mga negatibong kapangyarihan: a^(-n) = 1 / a^n. Iyon ay, kung 2^3 = 8, pagkatapos ay 2^(-3) = 1/8. Gamit ang panuntunang ito, mapapatunayan natin ang pagkakapantay-pantay a^0 = 1: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^(n) , a^ (n) ay maaaring bawasan at mananatiling isa. Mula dito, hinango ang panuntunan na ang quotient ng mga kapangyarihan na may parehong base ay katumbas ng base na ito sa isang antas na katumbas ng quotient ng dibidendo at divisor: a ^ n: a ^ m \u003d a ^ (n-m) . Halimbawa: Pasimplehin ang expression na 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) . Ang multiplication ay isang commutative operation, kaya dapat munang idagdag ang multiplication exponents: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 = 2. Susunod, dapat mong harapin ang dibisyon sa isang negatibong antas. Kinakailangang ibawas ang divisor exponent mula sa dividend exponent: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. Ito lumalabas na ang pagpapatakbo ng paghahati sa isang negatibong antas ay magkapareho sa pagpapatakbo ng pagpaparami ng isang katulad na positibong exponent. Kaya ang huling sagot ay 8.

May mga halimbawa kung saan nagaganap ang non-canonical multiplication of powers. Ang pagpaparami ng mga kapangyarihan na may iba't ibang mga base ay kadalasang mas mahirap, at kung minsan ay imposible pa. Maraming mga halimbawa ng iba't ibang posibleng mga diskarte ang dapat ibigay. Halimbawa: pasimplehin ang ekspresyong 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729. Malinaw, mayroong multiplikasyon ng mga kapangyarihan na may iba't ibang base. Ngunit, dapat tandaan na ang lahat ng mga base ay magkakaibang kapangyarihan ng isang triple. 9 = 3^2.1 = 3^4.3 = 3^5.9 = 3^6. Gamit ang panuntunan (a^n) ^m = a^(n*m) , dapat mong muling isulat ang expression sa isang mas maginhawang anyo: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * ( 3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7 -4+12 -10+6) = 3^(11) . Sagot: 3^11. Sa mga kaso kung saan may iba't ibang base, gumagana ang panuntunan a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n para sa pantay na mga indicator. Halimbawa, 3^3 * 7^3 = 21^3. Kung hindi, kapag mayroong iba't ibang mga base at tagapagpahiwatig, imposibleng gumawa ng isang buong multiplikasyon. Minsan maaari mong bahagyang pasimplehin o gamitin sa tulong ng teknolohiya ng computer.

Kung kailangan mong itaas ang isang partikular na numero sa isang kapangyarihan, maaari mong gamitin ang . Susuriin natin ngayon nang mas malapitan katangian ng mga kapangyarihan.

Mga numero ng exponential magbukas ng magagandang posibilidad, pinapayagan tayo nitong i-convert ang multiplikasyon sa karagdagan, at ang karagdagan ay mas madali kaysa multiplikasyon.

Halimbawa, kailangan nating i-multiply ang 16 sa 64. Ang produkto ng pagpaparami ng dalawang numerong ito ay 1024. Ngunit ang 16 ay 4x4, at ang 64 ay 4x4x4. Kaya 16 beses 64=4x4x4x4x4 na 1024 din.

Ang numerong 16 ay maaari ding irepresenta bilang 2x2x2x2, at 64 bilang 2x2x2x2x2x2, at kung mag-multiply tayo, muli tayong makakakuha ng 1024.

Ngayon gamitin natin ang panuntunan. 16=4 2 , o 2 4 , 64=4 3 , o 2 6 , habang 1024=6 4 =4 5 , o 2 10 .

Samakatuwid, ang ating problema ay maaaring isulat sa ibang paraan: 4 2 x4 3 =4 5 o 2 4 x2 6 =2 10, at sa bawat oras na makakakuha tayo ng 1024.

Maaari naming lutasin ang isang bilang ng mga katulad na halimbawa at makita na ang pagpaparami ng mga numero na may kapangyarihan ay nababawasan sa pagdaragdag ng mga exponent, o isang exponent, siyempre, sa kondisyon na ang mga batayan ng mga kadahilanan ay pantay.

Kaya, maaari nating, nang hindi nagpaparami, agad na sabihin na 2 4 x2 2 x2 14 \u003d 2 20.

Totoo rin ang panuntunang ito kapag hinahati ang mga numero sa mga kapangyarihan, ngunit sa kasong ito, e ang exponent ng divisor ay ibabawas mula sa exponent ng dibidendo. Kaya, 2 5:2 3 =2 2 , na sa ordinaryong mga numero ay katumbas ng 32:8=4, iyon ay, 2 2 . Ibuod natin:

a m x a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n, kung saan ang m at n ay mga integer.

Sa unang tingin, ito ay maaaring mukhang iyon multiplikasyon at paghahati ng mga numero na may kapangyarihan hindi masyadong maginhawa, dahil kailangan mo munang kumatawan sa numero sa exponential form. Hindi mahirap na katawanin ang mga numero 8 at 16 sa form na ito, iyon ay, 2 3 at 2 4, ngunit paano ito gagawin sa mga numero 7 at 17? O kung ano ang gagawin sa mga kasong iyon kapag ang numero ay maaaring katawanin sa exponential form, ngunit ang mga base ng exponential expression ng mga numero ay ibang-iba. Halimbawa, ang 8×9 ay 2 3 x 3 2 , kung saan hindi natin masusuma ang mga exponent. Hindi 2 5 o 3 5 ang sagot, ni ang sagot sa pagitan ng dalawa.

Kung gayon, ito ba ay nagkakahalaga ng pag-abala sa pamamaraang ito? Talagang sulit. Nagbibigay ito ng malaking pakinabang, lalo na para sa kumplikado at nakakaubos ng oras na mga kalkulasyon.

Pagdaragdag at pagbabawas ng mga kapangyarihan

Malinaw, ang mga numerong may kapangyarihan ay maaaring idagdag tulad ng iba pang dami , sa pamamagitan ng pagdaragdag sa kanila ng isa-isa kasama ng kanilang mga palatandaan.

Kaya, ang kabuuan ng a 3 at b 2 ay isang 3 + b 2 .
Ang kabuuan ng isang 3 - b n at h 5 -d 4 ay isang 3 - b n + h 5 - d 4.

Odds ang parehong mga kapangyarihan ng parehong mga variable maaaring idagdag o ibawas.

Kaya, ang kabuuan ng 2a 2 at 3a 2 ay 5a 2 .

Malinaw din na kung kukuha tayo ng dalawang parisukat a, o tatlong parisukat a, o limang parisukat a.

Ngunit degree iba't ibang variable at iba't ibang grado magkaparehong mga variable, ay dapat idagdag sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga ito sa kanilang mga palatandaan.

Kaya, ang kabuuan ng isang 2 at isang 3 ay ang kabuuan ng isang 2 + a 3 .

Malinaw na ang parisukat ng a, at ang kubo ng a, ay hindi dalawang beses ang parisukat ng a, ngunit dalawang beses ang kubo ng a.

Ang kabuuan ng a 3 b n at 3a 5 b 6 ay a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Pagbabawas Ang mga kapangyarihan ay isinasagawa sa parehong paraan tulad ng karagdagan, maliban na ang mga palatandaan ng subtrahend ay dapat baguhin nang naaayon.

O kaya:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Pagpaparami ng kapangyarihan

Ang mga numerong may kapangyarihan ay maaaring i-multiply tulad ng iba pang mga dami sa pamamagitan ng pagsulat ng mga ito nang sunud-sunod, mayroon man o wala ang multiplication sign sa pagitan ng mga ito.

Kaya, ang resulta ng pagpaparami ng 3 sa b 2 ay isang 3 b 2 o aaabb.

O kaya:
x -3 ⋅ a m = isang m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Ang resulta sa huling halimbawa ay maaaring i-order sa pamamagitan ng pagdaragdag ng parehong mga variable.
Ang expression ay magkakaroon ng anyong: a 5 b 5 y 3 .

Sa pamamagitan ng paghahambing ng ilang mga numero (mga variable) na may mga kapangyarihan, makikita natin na kung alinman sa dalawa sa mga ito ay pinarami, ang resulta ay isang numero (variable) na may kapangyarihan na katumbas ng sum antas ng mga termino.

Kaya, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Narito ang 5 ay ang kapangyarihan ng resulta ng pagpaparami, katumbas ng 2 + 3, ang kabuuan ng mga kapangyarihan ng mga termino.

Kaya, a n .a m = a m+n .

Para sa isang n , ang a ay kinuha bilang isang kadahilanan hangga't ang kapangyarihan ng n ay;

At ang a m , ay kinukuha bilang isang kadahilanan nang kasing dami ng antas ng m ay katumbas ng;

Kaya, Ang mga kapangyarihan na may parehong mga base ay maaaring i-multiply sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga exponent.

Kaya, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . At x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

O kaya:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Multiply (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Sagot: x 4 - y 4.
Multiply (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Ang panuntunang ito ay totoo rin para sa mga numero na ang mga exponent ay − negatibo.

1. Kaya, a -2 .a -3 = a -5 . Ito ay maaaring isulat bilang (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Kung ang a + b ay pinarami ng a - b, ang resulta ay isang 2 - b 2: ibig sabihin

Ang resulta ng pagpaparami ng kabuuan o pagkakaiba ng dalawang numero ay katumbas ng kabuuan o pagkakaiba ng kanilang mga parisukat.

Kung ang kabuuan at pagkakaiba ng dalawang numero ay itinaas sa parisukat, ang resulta ay magiging katumbas ng kabuuan o pagkakaiba ng mga numerong ito sa pang-apat degree.

Kaya, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Dibisyon ng mga kapangyarihan

Ang mga numero ng kapangyarihan ay maaaring hatiin tulad ng iba pang mga numero sa pamamagitan ng pagbabawas mula sa divisor, o sa pamamagitan ng paglalagay ng mga ito sa fraction form.

Kaya ang a 3 b 2 na hinati sa b 2 ay isang 3 .

Ang pagsulat ng 5 na hinati ng 3 ay parang $\frac $. Ngunit ito ay katumbas ng isang 2 . Sa isang serye ng mga numero
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
anumang numero ay maaaring hatiin ng isa pa, at ang exponent ay magiging katumbas ng pagkakaiba mga tagapagpahiwatig ng mahahati na mga numero.

Kapag hinahati ang mga kapangyarihan na may parehong base, ang kanilang mga exponent ay ibinabawas..

Kaya, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Ibig sabihin, $\frac = y$.

At a n+1:a = a n+1-1 = a n . Ibig sabihin, $\frac = a^n$.

O kaya:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Ang panuntunan ay may bisa din para sa mga numerong may negatibo mga halaga ng degree.
Ang resulta ng paghahati ng isang -5 sa isang -3 ay isang -2 .
Gayundin, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 o $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Ito ay kinakailangan upang makabisado ang pagpaparami at paghahati ng mga kapangyarihan nang napakahusay, dahil ang mga naturang operasyon ay napakalawak na ginagamit sa algebra.

Mga halimbawa ng paglutas ng mga halimbawa na may mga fraction na naglalaman ng mga numerong may kapangyarihan

1. Bawasan ang mga exponents sa $\frac $ Sagot: $\frac $.

2. Bawasan ang mga exponent sa $\frac$. Sagot: $\frac $ o 2x.

3. Bawasan ang mga exponent na a 2 / a 3 at a -3 / a -4 at dalhin sa isang common denominator.
a 2 .a -4 ay isang -2 unang numerator.
a 3 .a -3 ay isang 0 = 1, ang pangalawang numerator.
a 3 .a -4 ay a -1 , ang karaniwang numerator.
Pagkatapos ng pagpapasimple: a -2 /a -1 at 1/a -1 .

4. Bawasan ang mga exponents 2a 4 /5a 3 at 2 /a 4 at dalhin sa isang common denominator.
Sagot: 2a 3 / 5a 7 at 5a 5 / 5a 7 o 2a 3 / 5a 2 at 5/5a 2.

5. I-multiply ang (a 3 + b)/b 4 sa (a - b)/3.

6. I-multiply ang (a 5 + 1)/x 2 sa (b 2 - 1)/(x + a).

7. I-multiply ang b 4 /a -2 sa h -3 /x at a n /y -3 .

8. Hatiin ang isang 4 /y 3 sa isang 3 /y 2 . Sagot: a/y.

mga katangian ng degree

Ipinapaalala namin sa iyo na sa araling ito ay naiintindihan namin mga katangian ng degree na may mga natural na tagapagpahiwatig at zero. Tatalakayin sa mga aralin para sa ika-8 baitang ang mga antas na may mga rational indicator at ang kanilang mga katangian.

Ang isang exponent na may natural na exponent ay may ilang mahahalagang katangian na nagbibigay-daan sa iyong pasimplehin ang mga kalkulasyon sa mga halimbawa ng exponent.

Ari-arian #1
Produkto ng mga kapangyarihan

Kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang base ay nananatiling hindi nagbabago, at ang mga exponent ay idinagdag.

a m a n \u003d a m + n, kung saan ang "a" ay anumang numero, at ang "m", "n" ay anumang natural na mga numero.

Ang pag-aari na ito ng mga kapangyarihan ay nakakaapekto rin sa produkto ng tatlo o higit pang mga kapangyarihan.

• Pasimplehin ang expression.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Ipakita bilang isang degree.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Ipakita bilang isang degree.
  (0.8) 3 (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15

Pakitandaan na sa ipinahiwatig na ari-arian ito ay tungkol lamang sa pagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong mga base.. Hindi ito naaangkop sa kanilang karagdagan.

Hindi mo maaaring palitan ang kabuuan (3 3 + 3 2) ng 3 5 . Ito ay maliwanag kung
kalkulahin ang (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 at 3 5 = 243

Ari-arian #2
Mga pribadong degree

Kapag naghahati ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang base ay nananatiling hindi nagbabago, at ang exponent ng divisor ay ibabawas mula sa exponent ng dibidendo.

• Isulat ang quotient bilang isang kapangyarihan
  (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
• Kalkulahin.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Halimbawa. Lutasin ang equation. Ginagamit namin ang pag-aari ng bahagyang degree.
3 8: t = 3 4

Sagot: t = 3 4 = 81

Gamit ang mga katangian No. 1 at No. 2, madali mong gawing simple ang mga expression at magsagawa ng mga kalkulasyon.

Halimbawa. Pasimplehin ang expression.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

Halimbawa. Hanapin ang halaga ng isang expression gamit ang mga katangian ng degree.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Pakitandaan na ang property 2 ay nakipag-deal lamang sa dibisyon ng mga kapangyarihan na may parehong mga base.

Hindi mo maaaring palitan ang pagkakaiba (4 3 −4 2) ng 4 1 . Maiintindihan ito kung kalkulahin mo ang (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48, at 4 1 = 4

Ari-arian #3
Exponentiation

Kapag nagtataas ng isang kapangyarihan sa isang kapangyarihan, ang base ng kapangyarihan ay nananatiling hindi nagbabago, at ang mga exponent ay pinarami.

(a n) m \u003d a n m, kung saan ang "a" ay anumang numero, at "m", "n" ay anumang natural na mga numero.

Ipinapaalala namin sa iyo na ang isang quotient ay maaaring katawanin bilang isang fraction. Samakatuwid, tatalakayin natin ang paksa ng pagtaas ng isang fraction sa isang kapangyarihan nang mas detalyado sa susunod na pahina.

Paano paramihin ang kapangyarihan

Paano paramihin ang kapangyarihan? Aling mga kapangyarihan ang maaaring paramihin at alin ang hindi? Paano mo i-multiply ang isang numero sa isang kapangyarihan?

Sa algebra, mahahanap mo ang produkto ng mga kapangyarihan sa dalawang kaso:

1) kung ang mga degree ay may parehong batayan;

2) kung ang mga degree ay may parehong mga tagapagpahiwatig.

Kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang base ay dapat manatiling pareho, at ang mga exponent ay dapat idagdag:

Kapag nagpaparami ng mga degree na may parehong mga tagapagpahiwatig, ang kabuuang tagapagpahiwatig ay maaaring alisin sa mga bracket:

Isaalang-alang kung paano paramihin ang mga kapangyarihan, na may mga partikular na halimbawa.

Ang yunit sa exponent ay hindi nakasulat, ngunit kapag pinarami ang mga degree, isinasaalang-alang nila:

Kapag nagpaparami, ang bilang ng mga degree ay maaaring anuman. Dapat tandaan na hindi mo maaaring isulat ang multiplication sign bago ang titik:

Sa mga expression, ang exponentiation ay unang ginanap.

Kung kailangan mong i-multiply ang isang numero sa pamamagitan ng isang kapangyarihan, kailangan mo munang magsagawa ng exponentiation, at pagkatapos lamang - multiplikasyon:

Pagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base

Ang video tutorial na ito ay magagamit sa pamamagitan ng subscription

May subscription ka na ba? Pumasok

Sa araling ito, matututunan natin kung paano i-multiply ang mga kapangyarihan na may parehong base. Una, naaalala natin ang kahulugan ng antas at bumalangkas ng teorama sa bisa ng pagkakapantay-pantay . Pagkatapos ay nagbibigay kami ng mga halimbawa ng aplikasyon nito sa mga tiyak na numero at patunayan ito. Ilalapat din natin ang theorem upang malutas ang iba't ibang mga problema.

Paksa: Degree sa isang natural na tagapagpahiwatig at mga katangian nito

Aralin: Pagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base (formula)

1. Mga pangunahing kahulugan

Mga pangunahing kahulugan:

n- exponent,

— n-ika-kapangyarihan ng isang numero.

2. Pahayag ng Theorem 1

Teorama 1. Para sa anumang numero a at anumang natural n at k ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

Sa madaling salita: kung a- kahit anong numero; n at k natural na mga numero, pagkatapos ay:

Kaya ang panuntunan 1:

3. Pagpapaliwanag ng mga gawain

Konklusyon: kinumpirma ng mga espesyal na kaso ang kawastuhan ng Theorem No. 1. Patunayan natin ito sa pangkalahatang kaso, iyon ay, para sa alinman a at anumang natural n at k.

4. Katibayan ng Theorem 1

Binigyan ng numero a- anumang; numero n at k- natural. Patunayan:

Ang patunay ay batay sa kahulugan ng antas.

5. Solusyon ng mga halimbawa gamit ang Theorem 1

Halimbawa 1: Ipakita bilang isang degree.

Upang malutas ang mga sumusunod na halimbawa, ginagamit namin ang Theorem 1.

g)

6. Paglalahat ng Theorem 1

Narito ang isang generalization:

7. Solusyon ng mga halimbawa gamit ang generalization ng Theorem 1

8. Paglutas ng iba't ibang problema gamit ang Theorem 1

Halimbawa 2: Kalkulahin (maaari mong gamitin ang talahanayan ng mga pangunahing degree).

a) (ayon sa talahanayan)

b)

Halimbawa 3: Sumulat bilang isang kapangyarihan na may base 2.

a)

Halimbawa 4: Tukuyin ang tanda ng numero:

, isang - negatibo dahil ang exponent sa -13 ay kakaiba.

Halimbawa 5: Palitan ang ( ) ng power na may base r:

Mayroon kaming, iyon ay.

9. Pagbubuod

1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. et al. Algebra 7. Ika-6 na edisyon. M.: Enlightenment. 2010

1. School Assistant (Source).

1. Ipahayag bilang isang degree:

a B C D E)

3. Sumulat bilang isang kapangyarihan na may base 2:

4. Tukuyin ang tanda ng numero:

a)

5. Palitan ang ( ) ng kapangyarihan ng isang numero na may base r:

a) r 4 ( ) = r 15 ; b) ( ) r 5 = r 6

Multiplikasyon at paghahati ng mga kapangyarihan na may parehong exponent

Sa araling ito, pag-aaralan natin ang multiplikasyon ng mga kapangyarihan na may parehong exponent. Una, alalahanin natin ang mga pangunahing kahulugan at teorema tungkol sa pagpaparami at paghahati ng mga kapangyarihan na may parehong mga batayan at pagpapataas ng kapangyarihan sa isang kapangyarihan. Pagkatapos ay bumalangkas at nagpapatunay kami ng mga theorems sa multiplikasyon at paghahati ng mga kapangyarihan na may parehong mga exponent. At pagkatapos ay sa kanilang tulong malulutas namin ang isang bilang ng mga tipikal na problema.

Paalala ng mga pangunahing kahulugan at teorema

Dito a- base ng degree

— n-ika-kapangyarihan ng isang numero.

Teorama 1. Para sa anumang numero a at anumang natural n at k ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

Kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang mga exponent ay idinagdag, ang base ay nananatiling hindi nagbabago.

Teorama 2. Para sa anumang numero a at anumang natural n at k, ganyan n > k ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

Kapag naghahati ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang mga exponent ay ibinabawas, at ang base ay nananatiling hindi nagbabago.

Teorama 3. Para sa anumang numero a at anumang natural n at k ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

Ang lahat ng mga theorems sa itaas ay tungkol sa mga kapangyarihan na may pareho bakuran, isasaalang-alang ng araling ito ang mga degree na may pareho mga tagapagpahiwatig.

Mga halimbawa para sa pagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong mga exponent

Isaalang-alang ang mga sumusunod na halimbawa:

Isulat natin ang mga expression para sa pagtukoy ng antas.

Konklusyon: Mula sa mga halimbawa, makikita mo iyon , ngunit kailangan pa rin itong patunayan. Binubalangkas namin ang teorama at patunayan ito sa pangkalahatang kaso, iyon ay, para sa anuman a at b at anumang natural n.

Pahayag at patunay ng Theorem 4

Para sa anumang mga numero a at b at anumang natural n ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

Patunay Teorama 4 .

Sa pamamagitan ng kahulugan ng degree:

So napatunayan na natin yan .

Upang i-multiply ang mga kapangyarihan na may parehong exponent, sapat na upang i-multiply ang mga base, at iwanan ang exponent na hindi nagbabago.

Pahayag at patunay ng Theorem 5

Bumubuo kami ng isang theorem para sa paghahati ng mga kapangyarihan na may parehong mga exponent.

Para sa anumang numero a at b() at anumang natural n ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

Patunay Teorama 5 .

Isulat natin at ayon sa kahulugan ng degree:

Pahayag ng theorems sa mga salita

Kaya napatunayan na natin yan.

Upang hatiin ang mga degree na may parehong mga exponent sa bawat isa, sapat na upang hatiin ang isang base sa isa pa, at iwanan ang exponent na hindi nagbabago.

Solusyon sa mga karaniwang problema gamit ang Theorem 4

Halimbawa 1: Ipahayag bilang produkto ng mga kapangyarihan.

Upang malutas ang mga sumusunod na halimbawa, ginagamit namin ang Theorem 4.

Upang malutas ang sumusunod na halimbawa, alalahanin ang mga formula:

Paglalahat ng Teorama 4

Paglalahat ng Theorem 4:

Paglutas ng mga Halimbawa Gamit ang Generalized Theorem 4

Patuloy na paglutas ng mga karaniwang problema

Halimbawa 2: Sumulat bilang isang antas ng produkto.

Halimbawa 3: Sumulat bilang isang kapangyarihan na may exponent na 2.

Mga Halimbawa ng Pagkalkula

Halimbawa 4: Kalkulahin sa pinaka makatwirang paraan.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. at iba pa.Algebra 7 .M .: Edukasyon. 2006

2. Katulong sa paaralan (Pinagmulan).

1. Ipakita bilang isang produkto ng mga kapangyarihan:

a) ; b); sa) ; G);

2. Isulat bilang antas ng produkto:

3. Sumulat sa anyo ng isang degree na may indicator na 2:

4. Kalkulahin sa pinakanakapangangatwiran na paraan.

Aralin sa matematika sa paksang "Pagpaparami at paghahati ng mga kapangyarihan"

Mga Seksyon: Mathematics

Layunin ng pedagogical:

matututo ang mag-aaral upang makilala sa pagitan ng mga katangian ng multiplikasyon at paghahati ng mga kapangyarihan na may natural na exponent; ilapat ang mga katangiang ito sa kaso ng parehong mga base;

magkakaroon ng pagkakataon ang mag-aaral magagawang magsagawa ng mga pagbabagong-anyo ng mga degree na may iba't ibang mga batayan at magagawang magsagawa ng mga pagbabago sa pinagsamang mga gawain.

Mga gawain:

ayusin ang gawain ng mga mag-aaral sa pamamagitan ng pag-uulit ng naunang pinag-aralan na materyal;

tiyakin ang antas ng pagpaparami sa pamamagitan ng pagsasagawa ng mga pagsasanay ng iba't ibang uri;

ayusin ang self-assessment ng mga mag-aaral sa pamamagitan ng pagsubok.

Mga yunit ng aktibidad ng doktrina: pagpapasiya ng antas na may natural na tagapagpahiwatig; mga bahagi ng degree; kahulugan ng pribado; nag-uugnay na batas ng pagpaparami.

I. Organisasyon ng isang pagpapakita ng pagkabisado ng mga umiiral na kaalaman ng mga mag-aaral. (hakbang 1)

a) Pag-update ng kaalaman:

2) Bumuo ng isang kahulugan ng antas na may natural na tagapagpahiwatig.

a n \u003d a a a a ... a (n beses)

b k \u003d b b b b a ... b (k beses) Pangatwiranan ang iyong sagot.

II. Organisasyon ng self-assessment ng trainee ayon sa antas ng pagkakaroon ng may-katuturang karanasan. (hakbang 2)

Pagsusuri para sa pagsusuri sa sarili: (indibidwal na gawain sa dalawang bersyon.)

A1) Ipahayag ang produkto 7 7 7 7 x x x bilang kapangyarihan:

A2) Ipahayag bilang produkto ang degree (-3) 3 x 2

A3) Kalkulahin: -2 3 2 + 4 5 3

Pinipili ko ang bilang ng mga gawain sa pagsusulit alinsunod sa paghahanda ng antas ng klase.

Para sa pagsusulit, nagbibigay ako ng isang susi para sa pagsusuri sa sarili. Pamantayan: pass-fail.

III. Pang-edukasyon at praktikal na gawain (hakbang 3) + hakbang 4. (ang mga mag-aaral mismo ang bubuo ng mga katangian)

kalkulahin: 2 2 2 3 = ? 3 3 3 2 3 =?

Pasimplehin: a 2 a 20 =? b 30 b 10 b 15 = ?

Sa kurso ng paglutas ng mga problema 1) at 2), ang mga mag-aaral ay nagmumungkahi ng isang solusyon, at ako, bilang isang guro, ay nag-organisa ng isang klase upang makahanap ng isang paraan upang pasimplehin ang mga kapangyarihan kapag nagpaparami sa parehong mga base.

Guro: makabuo ng isang paraan upang gawing simple ang mga kapangyarihan kapag nagpaparami sa parehong base.

May lalabas na entry sa cluster:

Nabuo ang tema ng aralin. Pagpaparami ng kapangyarihan.

Guro: bumuo ng isang panuntunan para sa paghahati ng mga degree na may parehong mga base.

Pangangatwiran: anong aksyon ang sumusuri sa dibisyon? a 5: a 3 = ? na a 2 a 3 = a 5

Bumalik ako sa scheme - isang cluster at pandagdag sa entry - ..kapag hinahati, ibawas at idagdag ang paksa ng aralin. ...at paghahati ng mga digri.

IV. Komunikasyon sa mga mag-aaral ng mga limitasyon ng kaalaman (bilang minimum at bilang maximum).

Guro: ang gawain ng pinakamababa para sa aralin ngayon ay matutunan kung paano ilapat ang mga katangian ng multiplikasyon at paghahati ng mga kapangyarihan na may parehong mga batayan, at ang pinakamataas: upang ilapat ang multiplikasyon at paghahati nang magkasama.

Isulat sa pisara : a m a n = a m + n ; a m: a n = a m-n

V. Organisasyon ng pag-aaral ng bagong materyal. (hakbang 5)

a) Ayon sa aklat-aralin: Blg. 403 (a, c, e) mga gawain na may iba't ibang salita

Hindi. 404 (a, e, f) independiyenteng trabaho, pagkatapos ay nag-aayos ako ng mutual check, binigay ko ang mga susi.

b) Para sa anong halaga ng m pinanghahawakan ang pagkakapantay-pantay? isang 16 a m \u003d isang 32; x h x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14

Gawain: makabuo ng mga katulad na halimbawa para sa paghahati.

c) No. 417(a), No. 418 (a) Mga bitag para sa mga mag-aaral: x 3 x n \u003d x 3n; 3 4 3 2 = 9 6 ; a 16: a 8 \u003d a 2.

VI. Pagbubuod ng natutunan, pagsasagawa ng diagnostic na gawain (na naghihikayat sa mga mag-aaral, hindi sa mga guro, na pag-aralan ang paksang ito) (hakbang 6)

gawaing diagnostic.

Pagsusulit(ilagay ang mga susi sa likod ng pagsubok).

Mga opsyon sa gawain: ipakita bilang isang degree ang quotient x 15: x 3; kinakatawan bilang kapangyarihan ang produkto (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; kung saan ang m ay ang pagkakapantay-pantay a 16 a m = a 32 totoo; hanapin ang halaga ng expression na h 0: h 2 na may h = 0.2; kalkulahin ang halaga ng expression (5 2 5 0): 5 2 .

Buod ng aralin. Pagninilay. Hinahati ko ang klase sa dalawang grupo.

Hanapin ang mga argumento ng pangkat I: pabor sa kaalaman sa mga katangian ng antas, at pangkat II - mga argumento na magsasabi na magagawa mo nang walang mga katangian. Nakikinig kami sa lahat ng mga sagot, gumuhit ng mga konklusyon. Sa kasunod na mga aralin, maaari kang mag-alok ng istatistikal na data at pangalanan ang rubric na "Hindi ito kasya sa aking ulo!"

Ang karaniwang tao ay kumakain ng 32 10 2 kg ng mga pipino sa panahon ng kanilang buhay.

Ang wasp ay may kakayahang gumawa ng walang tigil na paglipad ng 3.2 10 2 km.

Kapag nabibitak ang salamin, ang bitak ay kumakalat sa bilis na humigit-kumulang 5 10 3 km/h.

Ang isang palaka ay kumakain ng higit sa 3 tonelada ng lamok sa buong buhay nito. Gamit ang degree, isulat sa kg.

Ang pinakamarami ay ang isda sa karagatan - ang buwan (Mola mola), na naglalagay ng hanggang 300,000,000 itlog na may diameter na humigit-kumulang 1.3 mm sa isang pangingitlog. Isulat ang numerong ito gamit ang isang degree.

VII. Takdang aralin.

Sanggunian sa kasaysayan. Anong mga numero ang tinatawag na mga numero ng Fermat.

P.19. #403, #408, #417

Mga Gamit na Aklat:

Textbook "Algebra-7", mga may-akda Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk at iba pa.

Didactic na materyal para sa grade 7, L.V. Kuznetsova, L.I. Zvavich, S.B. Suvorov.

Encyclopedia of Mathematics.

Journal "Quantum".

Mga katangian ng mga degree, formulations, proofs, mga halimbawa.

Matapos matukoy ang antas ng numero, lohikal na pag-usapan mga katangian ng degree. Sa artikulong ito, ibibigay namin ang mga pangunahing katangian ng antas ng isang numero, habang hinahawakan ang lahat ng posibleng exponent. Dito ay magbibigay kami ng mga patunay ng lahat ng mga katangian ng antas, at ipapakita din kung paano inilalapat ang mga katangiang ito kapag nilulutas ang mga halimbawa.

Pag-navigate sa pahina.

Mga katangian ng mga degree na may natural na mga tagapagpahiwatig

Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang kapangyarihan na may natural na exponent, ang kapangyarihan ng isang n ay produkto ng n mga kadahilanan, na ang bawat isa ay katumbas ng isang . Batay sa kahulugang ito, at paggamit real number multiplication properties, maaari nating makuha at bigyang katwiran ang mga sumusunod mga katangian ng degree na may natural na exponent:

ang pangunahing katangian ng antas a m ·a n =a m+n , ang paglalahat nito a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k ;

ang pag-aari ng mga bahagyang kapangyarihan na may parehong mga base a m:a n =a m−n ;

product degree property (a b) n =a n b n , ang extension nito (a 1 a 2 a k) n = a 1 n a 2 n a k n ;

quotient property in kind (a:b) n =a n:b n ;

exponentiation (a m) n =a m n , ang paglalahat nito (((a n 1) n 2) ...) n k =a n 1 ·n 2 ·... n k ;

paghahambing ng antas sa zero:

• kung a>0 , pagkatapos ay a n >0 para sa anumang natural n ;
• kung a=0 , pagkatapos ay a n =0 ;
• kung a 2 m >0 , kung a 2 m−1 n ;
• kung ang m at n ay mga natural na bilang na m>n , kung gayon para sa 0m n , at para sa a>0 ang hindi pagkakapantay-pantay a m >a n ay totoo.

Agad naming tandaan na ang lahat ng nakasulat na pagkakapantay-pantay ay magkapareho sa ilalim ng tinukoy na mga kondisyon, at ang kanilang kanan at kaliwang bahagi ay maaaring palitan. Halimbawa, ang pangunahing katangian ng fraction a m a n = a m + n na may pagpapasimple ng mga expression kadalasang ginagamit sa anyong a m+n = a m a n .

Ngayon tingnan natin ang bawat isa sa kanila nang detalyado.

Magsimula tayo sa pag-aari ng produkto ng dalawang kapangyarihan na may parehong mga base, na tinatawag na ang pangunahing pag-aari ng degree: para sa anumang tunay na bilang a at anumang natural na mga numerong m at n, ang pagkakapantay-pantay na a m ·a n =a m+n ay totoo.

Patunayan natin ang pangunahing pag-aari ng degree. Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang degree na may natural na exponent, ang produkto ng mga kapangyarihan na may parehong mga batayan ng form a m a n ay maaaring isulat bilang produkto . Dahil sa mga katangian ng multiplikasyon, ang resultang expression ay maaaring isulat bilang , at ang produktong ito ay ang kapangyarihan ng a na may natural na exponent m+n , iyon ay, a m+n . Kinukumpleto nito ang patunay.

Magbigay tayo ng isang halimbawa na nagpapatunay sa pangunahing pag-aari ng degree. Kumuha tayo ng mga degree na may parehong mga base 2 at natural na kapangyarihan 2 at 3, ayon sa pangunahing katangian ng degree, maaari nating isulat ang pagkakapantay-pantay 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Suriin natin ang bisa nito, kung saan kinakalkula natin ang mga halaga ng mga expression 2 2 ·2 3 at 2 5 . Sa pagsasagawa ng exponentiation, mayroon tayong 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 at 2 5 =2 2 2 2 2=32 , dahil nakakakuha tayo ng pantay na halaga, kung gayon ang pagkakapantay-pantay 2 2 2 3 = 2 5 ay totoo, at kinukumpirma nito ang pangunahing katangian ng degree.

Ang pangunahing katangian ng isang degree na batay sa mga katangian ng multiplikasyon ay maaaring gawing pangkalahatan sa produkto ng tatlo o higit pang mga kapangyarihan na may parehong mga base at natural na exponent. Kaya para sa anumang bilang k ng mga natural na numero n 1 , n 2 , …, n k ang pagkakapantay-pantay a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k ay totoo.

Halimbawa, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2.1) 3+3+4+7 =(2.1) 17 .

Maaari kang magpatuloy sa susunod na pag-aari ng mga degree na may natural na tagapagpahiwatig - ang pag-aari ng mga bahagyang kapangyarihan na may parehong mga batayan: para sa anumang di-zero real number a at arbitrary na natural na mga numero m at n na nagbibigay-kasiyahan sa kondisyon m>n , ang pagkakapantay-pantay a m:a n =a m−n ay totoo.

Bago ibigay ang patunay ng ari-arian na ito, talakayin natin ang kahulugan ng mga karagdagang kundisyon sa pahayag. Ang kundisyong a≠0 ay kinakailangan upang maiwasan ang paghahati ng zero, dahil 0 n =0, at nang makilala natin ang paghahati, napagkasunduan natin na imposibleng hatiin ng zero. Ang kundisyon m>n ay ipinakilala upang hindi tayo lumampas sa natural exponents. Sa katunayan, para sa m>n, ang exponent a m−n ay isang natural na numero, kung hindi, ito ay magiging alinman sa zero (na mangyayari kapag m−n) o isang negatibong numero (na nangyayari kapag m m−n a n =a (m−n) + n = a m Mula sa nakuhang pagkakapantay-pantay a m−n a n = a m at mula sa kaugnayan ng multiplikasyon sa paghahati ay sumusunod na ang isang m−n ay isang bahagyang kapangyarihan ng a m at a n Ito ay nagpapatunay ng pag-aari ng mga bahagyang kapangyarihan na may parehong mga base.

Kumuha tayo ng isang halimbawa. Kumuha tayo ng dalawang degree na may parehong mga base π at natural exponents 5 at 2, ang itinuturing na pag-aari ng degree ay tumutugma sa pagkakapantay-pantay π 5: π 2 = π 5−3 = π 3.

Ngayon isaalang-alang ari-arian ng antas ng produkto: ang natural na digri n ng produkto ng alinmang dalawang tunay na numero a at b ay katumbas ng produkto ng mga digri a n at b n , ibig sabihin, (a b) n =a n b n .

Sa katunayan, sa pamamagitan ng kahulugan ng isang degree na may natural na exponent, mayroon tayo . Ang huling produkto, batay sa mga katangian ng pagpaparami, ay maaaring muling isulat bilang , na katumbas ng a n b n .

Narito ang isang halimbawa: .

Ang pag-aari na ito ay umaabot sa antas ng produkto ng tatlo o higit pang mga kadahilanan. Ibig sabihin, ang natural na degree property n ng produkto ng k factor ay isinusulat bilang (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n .

Para sa kalinawan, ipinapakita namin ang property na ito na may isang halimbawa. Para sa produkto ng tatlong salik sa kapangyarihan ng 7, mayroon kaming .

Ang susunod na ari-arian ay likas na ari-arian: ang quotient ng mga tunay na numero a at b , b≠0 sa natural na kapangyarihan n ay katumbas ng quotient ng mga kapangyarihan a n at b n , ibig sabihin, (a:b) n =a n:b n .

Ang patunay ay maaaring isagawa gamit ang dating ari-arian. Kaya (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n , at mula sa pagkakapantay-pantay (a:b) n b n =a n sumusunod na ang (a:b) n ay isang quotient ng a n hanggang b n .

Isulat natin ang property na ito gamit ang halimbawa ng mga partikular na numero: .

Ngayon boses natin pag-aari ng exponentiation: para sa anumang tunay na numero a at anumang natural na bilang na m at n, ang kapangyarihan ng a m sa kapangyarihan ng n ay katumbas ng kapangyarihan ng a na may exponent m·n , iyon ay, (a m) n =a m·n .

Halimbawa, (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 .

Ang patunay ng power property sa isang degree ay ang sumusunod na chain of equalities: .

Ang itinuturing na ari-arian ay maaaring palawigin sa degree sa loob ng degree sa loob ng degree, at iba pa. Halimbawa, para sa anumang natural na numerong p, q, r, at s, ang pagkakapantay-pantay . Para sa higit na kalinawan, magbigay tayo ng isang halimbawa na may mga tiyak na numero: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Ito ay nananatiling upang tumira sa mga katangian ng paghahambing ng mga degree sa isang natural na exponent.

Magsisimula tayo sa pamamagitan ng pagpapatunay sa paghahambing na katangian ng zero at kapangyarihan na may natural na exponent.

Una, bigyang-katwiran natin na a n >0 para sa alinmang a>0 .

Ang produkto ng dalawang positibong numero ay isang positibong numero, tulad ng sumusunod mula sa kahulugan ng multiplikasyon. Ang katotohanang ito at ang mga katangian ng pagpaparami ay nagpapahintulot sa amin na igiit na ang resulta ng pagpaparami ng anumang bilang ng mga positibong numero ay magiging isang positibong numero. At ang kapangyarihan ng a na may natural na exponent n ay, sa pamamagitan ng kahulugan, ang produkto ng n mga kadahilanan, na ang bawat isa ay katumbas ng a. Ang mga argumentong ito ay nagpapahintulot sa amin na igiit na para sa anumang positibong base a ang antas ng a n ay isang positibong numero. Sa bisa ng napatunayang ari-arian 3 5 >0 , (0.00201) 2 >0 at .

Ito ay lubos na halata na para sa anumang natural n na may a=0 ang antas ng isang n ay zero. Sa katunayan, 0 n =0·0·…·0=0 . Halimbawa, 0 3 =0 at 0 762 =0 .

Lumipat tayo sa mga negatibong batayan.

Magsimula tayo sa kaso kapag ang exponent ay isang even na numero, ipahiwatig ito bilang 2 m , kung saan ang m ay isang natural na numero. Pagkatapos . Ayon sa panuntunan ng pagpaparami ng mga negatibong numero, ang bawat isa sa mga produkto ng form na a ay katumbas ng produkto ng mga module ng mga numerong a at a, na nangangahulugan na ito ay isang positibong numero. Samakatuwid, ang produkto ay magiging positibo din. at degree a 2 m . Narito ang mga halimbawa: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 at .

Sa wakas, kapag ang base ng a ay isang negatibong numero at ang exponent ay isang kakaibang numero 2 m−1, kung gayon . Ang lahat ng mga produkto a·a ay mga positibong numero, ang produkto ng mga positibong numero ay positibo rin, at ang pagpaparami nito sa natitirang negatibong numero ay nagreresulta sa isang negatibong numero. Sa bisa ng katangiang ito, ang (−5) 3 17 n n ay produkto ng kaliwa at kanang bahagi ng n tunay na hindi pagkakapantay-pantay a mga katangian ng hindi pagkakapantay-pantay, ang hindi pagkakapantay-pantay na pinatutunayan ay nasa anyong a n n . Halimbawa, dahil sa ari-arian na ito, ang mga hindi pagkakapantay-pantay 3 7 7 at .

Ito ay nananatiling patunayan ang pinakahuli sa mga nakalistang katangian ng mga kapangyarihan na may mga natural na exponent. Bumalangkas tayo. Sa dalawang degree na may natural na mga tagapagpahiwatig at parehong positibong mga base, mas mababa sa isa, ang antas ay mas malaki, ang tagapagpahiwatig na kung saan ay mas mababa; at ng dalawang degree na may natural na mga tagapagpahiwatig at ang parehong mga base na mas malaki kaysa sa isa, ang antas ay mas malaki, ang tagapagpahiwatig kung saan ay mas malaki. Bumaling tayo sa patunay ng ari-arian na ito.

Patunayan natin na para sa m>n at 0m n . Upang gawin ito, isinusulat namin ang pagkakaiba a m − a n at ihambing ito sa zero. Ang nakasulat na pagkakaiba pagkatapos kunin ang isang n mula sa mga bracket ay magkakaroon ng anyong a n ·(a m−n −1) . Ang resultang produkto ay negatibo bilang produkto ng isang positibong numero a n at isang negatibong numero a m−n −1 (a n ay positibo bilang isang natural na kapangyarihan ng isang positibong numero, at ang pagkakaiba ng a m−n −1 ay negatibo, dahil m−n >0 dahil sa paunang kondisyon m>n , kung saan sumusunod na para sa 0m−n ito ay mas mababa sa isa). Samakatuwid, a m − a n m n , na dapat patunayan. Halimbawa, ibinibigay namin ang tamang hindi pagkakapantay-pantay.

Ito ay nananatiling patunayan ang ikalawang bahagi ng ari-arian. Patunayan natin na para sa m>n at a>1, ang isang m >a n ay totoo. Ang pagkakaiba ng a m −a n pagkatapos kunin ang isang n mula sa mga bracket ay nasa anyong a n ·(a m−n −1) . Ang produktong ito ay positibo, dahil para sa a>1 ang antas ng a n ay isang positibong numero, at ang pagkakaiba ng a m−n −1 ay isang positibong numero, dahil m−n>0 dahil sa paunang kondisyon, at para sa a>1, ang antas ng isang m−n ay mas malaki kaysa sa isa . Samakatuwid, a m − a n >0 at a m >a n , na dapat patunayan. Ang katangiang ito ay inilalarawan ng hindi pagkakapantay-pantay 3 7 >3 2 .

Mga katangian ng mga degree na may mga integer exponents

Dahil ang mga positibong integer ay mga natural na numero, kung gayon ang lahat ng mga katangian ng mga kapangyarihan na may positibong integer na mga exponent ay eksaktong katugma sa mga katangian ng mga kapangyarihan na may mga natural na exponent na nakalista at napatunayan sa nakaraang talata.

Tinukoy namin ang isang degree na may negatibong integer exponent, pati na rin isang degree na may zero exponent, upang ang lahat ng katangian ng mga degree na may natural na exponent na ipinahayag ng mga pagkakapantay-pantay ay mananatiling wasto. Samakatuwid, ang lahat ng mga katangiang ito ay may bisa kapwa para sa mga zero exponents at para sa mga negatibong exponents, habang, siyempre, ang mga base ng mga degree ay nonzero.

Kaya, para sa anumang tunay at di-zero na mga numero a at b, pati na rin ang anumang integer na m at n, ang mga sumusunod ay totoo mga katangian ng mga degree na may mga integer exponent:

• a m a n \u003d a m + n;
• a m: a n = a m−n ;
• (a b) n = a n b n ;
• (a:b) n =a n:b n ;
• (a m) n = a m n ;
• kung ang n ay isang positibong integer, ang a at b ay mga positibong numero, at a n n at a−n>b−n ;
• kung ang m at n ay mga integer, at m>n , kung gayon para sa 0m n , at para sa a>1, ang hindi pagkakapantay-pantay a m >a n ay nasiyahan.

Para sa a=0, ang powers a m at a n ay may katuturan lamang kapag ang m at n ay positive integers, iyon ay, natural na mga numero. Kaya, ang mga katangian na isinulat lamang ay wasto din para sa mga kaso kapag ang a=0 at ang mga numerong m at n ay mga positibong integer.

Hindi mahirap patunayan ang bawat isa sa mga pag-aari na ito, para dito sapat na gamitin ang mga kahulugan ng antas na may natural at integer na exponent, pati na rin ang mga katangian ng mga aksyon na may totoong mga numero. Bilang halimbawa, patunayan natin na ang power property ay may hawak para sa parehong positive integers at nonpositive integers. Upang gawin ito, kailangan nating ipakita na kung ang p ay zero o isang natural na numero at q ay zero o isang natural na numero, kung gayon ang mga pagkakapantay-pantay (a p) q =a p q , (a − p) q =a (−p) q , (a p ) −q =a p (−q) at (a −p) −q =a (−p) (−q) . Gawin natin.

Para sa positibong p at q, ang pagkakapantay-pantay (a p) q =a p·q ay napatunayan sa nakaraang subsection. Kung p=0 , kung gayon mayroon tayong (a 0) q =1 q =1 at a 0 q =a 0 =1 , kung saan (a 0) q =a 0 q . Katulad nito, kung q=0 , kung gayon (a p) 0 =1 at a p 0 =a 0 =1 , kung saan (a p) 0 =a p 0 . Kung parehong p=0 at q=0 , kung gayon (a 0) 0 =1 0 =1 at a 0 0 =a 0 =1 , kung saan (a 0) 0 =a 0 0 .

Patunayan natin ngayon na (a −p) q =a (−p) q . Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang degree na may negatibong integer exponent , kung gayon . Sa pamamagitan ng pag-aari ng quotient sa degree, mayroon kami . Dahil 1 p =1·1·…·1=1 at , pagkatapos . Ang huling expression ay, sa pamamagitan ng kahulugan, isang kapangyarihan ng anyong a −(p q) , na, sa bisa ng mga tuntunin sa pagpaparami, ay maaaring isulat bilang isang (−p) q .

Ganun din .

At .

Sa pamamagitan ng parehong prinsipyo, mapapatunayan ng isa ang lahat ng iba pang mga katangian ng isang degree na may isang integer exponent, na nakasulat sa anyo ng mga pagkakapantay-pantay.

Sa penultimate ng mga katangiang isinulat, nararapat na pag-isipan ang patunay ng hindi pagkakapantay-pantay a −n >b −n , na totoo para sa anumang negatibong integer −n at anumang positibong a at b kung saan ang kundisyon a . Sinusulat at binabago namin ang pagkakaiba sa pagitan ng kaliwa at kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay na ito: . Dahil sa pamamagitan ng kondisyon a n n , samakatuwid, b n − a n >0 . Ang produktong a n ·b n ay positibo rin bilang produkto ng mga positibong numero a n at b n . Pagkatapos ang resultang fraction ay positibo bilang isang quotient ng mga positibong numero b n − a n at a n b n . Kaya naman, saan a −n >b −n , na dapat patunayan.

Ang huling pag-aari ng mga degree na may mga integer na exponents ay napatunayan sa parehong paraan tulad ng kahalintulad na katangian ng mga degree na may mga natural na exponents.

Mga katangian ng mga kapangyarihan na may mga rational exponents

Tinukoy namin ang degree na may fractional exponent sa pamamagitan ng pagpapalawak ng mga katangian ng isang degree na may integer exponent dito. Sa madaling salita, ang mga degree na may mga fractional exponents ay may parehong mga katangian tulad ng mga degree na may integer exponents. Namely:

1. ari-arian ng produkto ng mga kapangyarihan na may parehong base para sa a>0 , at kung at , pagkatapos ay para sa a≥0 ;
2. pag-aari ng mga bahagyang kapangyarihan na may parehong mga batayan para sa a>0 ;
3. ari-arian ng fractional na produkto para sa a>0 at b>0 , at kung at , pagkatapos ay para sa a≥0 at (o) b≥0 ;
4. quotient property sa isang fractional power para sa a>0 at b>0 , at kung , pagkatapos ay para sa a≥0 at b>0 ;
5. degree na ari-arian sa degree para sa a>0 , at kung at , pagkatapos ay para sa a≥0 ;
6. ang pag-aari ng paghahambing ng mga kapangyarihan sa pantay na rational exponents: para sa anumang positibong numero a at b, a 0 ang hindi pagkakapantay-pantay a p p ay wasto, at para sa p p >b p ;
7. ang pag-aari ng paghahambing ng mga kapangyarihan sa mga rational exponents at pantay na base: para sa mga rational na numero p at q, p>q para sa 0p q, at para sa a>0, ang hindi pagkakapantay-pantay a p >a q .

Ang patunay ng mga katangian ng mga degree na may fractional exponent ay batay sa kahulugan ng isang degree na may isang fractional exponent, sa mga katangian ng arithmetic root ng nth degree, at sa mga katangian ng isang degree na may isang integer exponent. Bigyan natin ng patunay.

Sa pamamagitan ng kahulugan ng degree na may fractional exponent at , pagkatapos . Ang mga katangian ng arithmetic root ay nagpapahintulot sa amin na isulat ang mga sumusunod na pagkakapantay-pantay. Dagdag pa, gamit ang property ng degree na may integer exponent, nakukuha namin ang , kung saan, sa pamamagitan ng kahulugan ng degree na may fractional exponent, mayroon kaming , at ang exponent ng degree na nakuha ay maaaring ma-convert bilang mga sumusunod: . Kinukumpleto nito ang patunay.

Ang pangalawang pag-aari ng mga kapangyarihan na may mga fractional exponents ay napatunayan sa eksaktong parehong paraan:


Ang natitirang mga pagkakapantay-pantay ay pinatutunayan ng magkatulad na mga prinsipyo:


Bumaling tayo sa patunay ng susunod na ari-arian. Patunayan natin na para sa anumang positibong a at b , a 0 ang hindi pagkakapantay-pantay a p p ay wasto, at para sa p p >b p . Isinulat namin ang rational number p bilang m/n , kung saan ang m ay isang integer at n ay isang natural na numero. Ang mga kundisyon p 0 sa kasong ito ay magiging katumbas ng mga kondisyon m 0, ayon sa pagkakabanggit. Para sa m>0 at am m . Mula sa hindi pagkakapantay-pantay na ito, sa pamamagitan ng pag-aari ng mga ugat, mayroon tayong , at dahil ang a at b ay mga positibong numero, kung gayon, batay sa kahulugan ng antas na may fractional exponent, ang resultang hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring muling isulat bilang , iyon ay, a p p .

Katulad nito, kapag m m >b m , kung saan , iyon ay, at a p >b p .

Ito ay nananatiling patunayan ang huli sa mga nakalistang katangian. Patunayan natin na para sa mga rational na numero p at q , p>q para sa 0p q , at para sa a>0 ang hindi pagkakapantay-pantay a p >a q . Maaari nating palaging bawasan ang mga rational na numerong p at q sa isang karaniwang denominator, makuha natin ang mga ordinaryong fraction at , kung saan ang m 1 at m 2 ay mga integer, at ang n ay isang natural na numero. Sa kasong ito, ang kundisyon p>q ay tumutugma sa kundisyon m 1 >m 2, na sumusunod sa panuntunan para sa paghahambing ng mga ordinaryong fraction na may parehong denominator. Pagkatapos, sa pamamagitan ng pag-aari ng paghahambing ng mga kapangyarihan na may parehong mga base at natural na exponents, para sa 0m 1 m 2 , at para sa a>1, ang hindi pagkakapantay-pantay a m 1 >a m 2 . Ang mga hindi pagkakapantay-pantay na ito sa mga tuntunin ng mga katangian ng mga ugat ay maaaring muling isulat, ayon sa pagkakabanggit, bilang at . At ang kahulugan ng isang degree na may rational exponent ay nagpapahintulot sa amin na pumasa sa mga hindi pagkakapantay-pantay at, ayon sa pagkakabanggit. Mula dito iginuhit natin ang pangwakas na konklusyon: para sa p>q at 0p q , at para sa a>0, ang hindi pagkakapantay-pantay a p >a q .

Mga katangian ng mga degree na may mga hindi makatwirang exponent

Mula sa kung paano tinukoy ang isang degree na may hindi makatwirang exponent, maaari nating tapusin na mayroon itong lahat ng mga katangian ng mga degree na may mga rational exponent. Kaya para sa anumang a>0 , b>0 at hindi makatwiran na mga numero p at q ang mga sumusunod ay totoo katangian ng mga degree na may hindi makatwirang exponent:

1. a p a q = a p + q ;
2. a p:a q = a p−q ;
3. (a b) p = a p b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q = a p q ;
6. para sa anumang positibong numero a at b , a 0 ang hindi pagkakapantay-pantay a p p ay wasto, at para sa p p >b p ;
7. para sa mga hindi makatwirang numero p at q , p>q para sa 0p q , at para sa a>0 ang hindi pagkakapantay-pantay a p >a q .

Mula dito maaari nating tapusin na ang mga kapangyarihan na may anumang tunay na exponents p at q para sa a>0 ay may parehong mga katangian.

• Algebra - ika-10 baitang. Trigonometric equation Aralin at presentasyon sa paksa: "Solusyon ng pinakasimpleng trigonometriko equation" Karagdagang materyales Minamahal na mga gumagamit, huwag kalimutang iwanan ang iyong mga komento, puna, mga mungkahi! Lahat ng materyales […]
• Ang isang kumpetisyon para sa posisyon ng "SELLER - CONSULTANT" ay binuksan: Mga Responsibilidad: pagbebenta ng mga mobile phone at accessories para sa serbisyo ng mobile na komunikasyon para sa Beeline, Tele2, MTS subscriber na koneksyon ng mga plano ng taripa at serbisyo ng Beeline at Tele2, MTS [...]
• Isang parallelepiped ng formula Ang parallelepiped ay isang polyhedron na may 6 na mukha, na ang bawat isa ay parallelogram. Ang cuboid ay isang cuboid na ang bawat mukha ay parihaba. Ang anumang parallelepiped ay nailalarawan sa pamamagitan ng 3 [...]
• PAGBABAY NG Н AT НН SA IBA'T IBANG BAHAGI NG PANANALITA 2. Pangalanan ang mga pagbubukod sa mga tuntuning ito. 3. Paano makilala ang isang verbal adjective na may suffix -n- mula sa isang participle na may [...]
• INSPEKSIYON NG GOSTEKHNADZOR NG BRYANSK REGION Resibo ng pagbabayad ng tungkulin ng estado (I-download-12.2 kb) Mga aplikasyon para sa pagpaparehistro para sa mga indibidwal (I-download-12 kb) Mga aplikasyon para sa pagpaparehistro para sa mga legal na entity (I-download-11.4 kb) 1. Kapag nagrerehistro ng bagong sasakyan : 1.aplikasyon 2.pasaporte […]
• Society for the Protection of Consumer Rights Astana Upang makakuha ng pin-code para ma-access ang dokumentong ito sa aming website, magpadala ng SMS message na may text zan sa numerong Mga Subscriber ng mga operator ng GSM (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) sa pamamagitan ng pagpapadala ng SMS sa kwarto, […]
• Magpatibay ng batas sa mga homestead ng pamilya Magpatibay ng pederal na batas sa walang bayad na alokasyon sa bawat gustong mamamayan Pederasyon ng Russia o isang pamilya ng mga mamamayan ng isang kapirasong lupa para sa pagsasaayos ng isang Kin's Homestead dito sa mga sumusunod na kondisyon: 1. Ang plot ay inilaan para sa […]
• Pivoev V.M. Pilosopiya at pamamaraan ng agham: aklat-aralin para sa mga masters at nagtapos na mga mag-aaral Petrozavodsk: PetrSU Publishing House, 2013. - 320 pp. ISBN 978-5-821-1647-0 PDF 3 mb […]

Aralin sa paksa: "Mga panuntunan para sa pagpaparami at paghahati ng mga kapangyarihan na may pareho at magkakaibang exponents. Mga halimbawa"

Mga karagdagang materyales
Minamahal na mga gumagamit, huwag kalimutang iwanan ang iyong mga komento, puna, mungkahi. Ang lahat ng mga materyales ay sinuri ng isang antivirus program.

Mga tulong sa pagtuturo at simulator sa online na tindahan na "Integral" para sa grade 7
Manwal para sa aklat-aralin Yu.N. Makarycheva Manual para sa aklat-aralin A.G. Mordkovich

Ang layunin ng aralin: matutunan kung paano magsagawa ng mga operasyon na may mga kapangyarihan ng isang numero.

Upang magsimula, alalahanin natin ang konsepto ng "kapangyarihan ng isang numero". Ang isang expression tulad ng $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ ay maaaring katawanin bilang $a^n$.

Totoo rin ang kabaligtaran: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

Ang pagkakapantay-pantay na ito ay tinatawag na "pagtatala ng antas bilang isang produkto". Makakatulong ito sa atin na matukoy kung paano paramihin at hatiin ang mga kapangyarihan.
Tandaan:
a- ang batayan ng antas.
n- exponent.
Kung ang n=1, na nangangahulugang ang numero a kinuha nang isang beses at ayon sa pagkakabanggit: $a^n= 1$.
Kung ang n=0, pagkatapos ay $a^0= 1$.

Kung bakit ito nangyayari, malalaman natin kapag nakilala natin ang mga patakaran para sa pagpaparami at paghahati ng mga kapangyarihan.

mga tuntunin sa pagpaparami

a) Kung ang mga kapangyarihan na may parehong base ay pinarami.
Sa $a^n * a^m$, isinusulat namin ang mga kapangyarihan bilang isang produkto: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a )_ (m)$.
Ipinapakita ng figure na ang numero a kinuha n+m beses, pagkatapos ay $a^n * a^m = a^(n + m)$.

Halimbawa.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Ang ari-arian na ito ay maginhawang gamitin upang pasimplehin ang trabaho kapag nagtataas ng isang numero sa isang malaking kapangyarihan.
Halimbawa.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Kung ang mga kapangyarihan ay pinarami sa ibang base, ngunit sa parehong exponent.
Sa $a^n * b^n$, isinusulat namin ang mga kapangyarihan bilang isang produkto: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_ (m)$.
Kung papalitan natin ang mga salik at bibilangin ang mga resultang pares, makukuha natin ang: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

Kaya $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Halimbawa.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

mga panuntunan sa paghahati

a) Ang base ng degree ay pareho, ang mga exponent ay iba.
Pag-isipang hatiin ang isang degree na may mas malaking exponent sa pamamagitan ng paghahati ng degree na may mas maliit na exponent.

Kaya, ito ay kinakailangan $\frac(a^n)(a^m)$, saan n>m.

Isinulat namin ang mga degree bilang isang fraction:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

Para sa kaginhawahan, isinusulat namin ang dibisyon bilang isang simpleng fraction.

Ngayon bawasan natin ang fraction.

Ito ay lumabas: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Ibig sabihin, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Ang pag-aari na ito ay makakatulong na ipaliwanag ang sitwasyon sa pagtaas ng isang numero sa isang kapangyarihan ng zero. Ipagpalagay natin na n=m, pagkatapos ay $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

Mga halimbawa.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

b) Ang mga batayan ng antas ay magkakaiba, ang mga tagapagpahiwatig ay pareho.
Sabihin nating kailangan mo ng $\frac(a^n)( b^n)$. Isinulat namin ang mga kapangyarihan ng mga numero bilang isang fraction:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

Isipin natin para sa kaginhawahan.

Gamit ang pag-aari ng mga fraction, hinahati namin ang isang malaking fraction sa isang produkto ng maliliit, nakukuha namin.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
Alinsunod dito: $\frac(a^n)( b^n)=(\frac(a)(b))^n$.

Halimbawa.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.

Unang antas

Degree at mga katangian nito. Comprehensive Guide (2019)

Bakit kailangan ang mga degree? Saan mo sila kailangan? Bakit kailangan mong maglaan ng oras sa pag-aaral ng mga ito?

Upang matutunan ang lahat tungkol sa mga degree, para saan ang mga ito, kung paano gamitin ang iyong kaalaman sa pang-araw-araw na buhay, basahin ang artikulong ito.

At, siyempre, ang pag-alam sa mga degree ay maglalapit sa iyo sa matagumpay na pagpasa sa OGE o sa Unified State Examination at pagpasok sa unibersidad na iyong mga pangarap.

Tara na... (Let's go!)

Mahalagang paalaala! Kung sa halip na mga formula ang nakikita mong kalokohan, i-clear ang iyong cache. Upang gawin ito, pindutin ang CTRL+F5 (sa Windows) o Cmd+R (sa Mac).

UNANG ANTAS

Ang exponentiation ay ang parehong mathematical operation bilang karagdagan, pagbabawas, multiplikasyon o paghahati.

Ngayon ay ipapaliwanag ko ang lahat sa wika ng tao gamit ang napakasimpleng mga halimbawa. Bigyang-pansin. Ang mga halimbawa ay elementarya, ngunit ipaliwanag ang mahahalagang bagay.

Magsimula tayo sa karagdagan.

Walang maipaliwanag dito. Alam mo na ang lahat: walo kami. Bawat isa ay may dalawang bote ng cola. Magkano ang cola? Tama iyon - 16 na bote.

Ngayon multiplication.

Ang parehong halimbawa sa cola ay maaaring isulat sa ibang paraan: . Ang mga mathematician ay tuso at tamad na tao. Una nilang napansin ang ilang mga pattern, at pagkatapos ay gumawa ng isang paraan upang "mabilang" ang mga ito nang mas mabilis. Sa aming kaso, napansin nila na ang bawat isa sa walong tao ay may parehong bilang ng mga bote ng cola at nakaisip sila ng isang pamamaraan na tinatawag na multiplication. Sumang-ayon, ito ay itinuturing na mas madali at mas mabilis kaysa.

Kaya, upang mabilang nang mas mabilis, mas madali at walang mga error, kailangan mo lang tandaan talaan ng multiplikasyon. Siyempre, magagawa mo ang lahat nang mas mabagal, mas mahirap at may mga pagkakamali! Pero…

Narito ang talahanayan ng pagpaparami. Ulitin.

At isa pa, mas maganda:

At anong iba pang nakakalito na trick sa pagbibilang ang naisip ng mga tamad na mathematician? tama - pagtataas ng isang numero sa isang kapangyarihan.

Pagtaas ng isang numero sa isang kapangyarihan

Kung kailangan mong i-multiply ang isang numero sa sarili nitong limang beses, pagkatapos ay sinabi ng mga mathematician na kailangan mong itaas ang numerong ito sa ikalimang kapangyarihan. Halimbawa, . Naaalala ng mga mathematician na dalawa hanggang ikalimang kapangyarihan ay. At nalulutas nila ang mga naturang problema sa kanilang isip - mas mabilis, mas madali at walang mga pagkakamali.

Upang gawin ito, kailangan mo lamang tandaan kung ano ang naka-highlight sa kulay sa talahanayan ng mga kapangyarihan ng mga numero. Maniwala ka sa akin, gagawin nitong mas madali ang iyong buhay.

Nga pala, bakit second degree ang tawag parisukat mga numero, at ang pangatlo kubo? Ano ang ibig sabihin nito? Isang napakagandang tanong. Ngayon ay magkakaroon ka ng parehong mga parisukat at mga cube.

Halimbawa sa totoong buhay #1

Magsimula tayo sa isang parisukat o sa pangalawang kapangyarihan ng isang numero.

Isipin ang isang parisukat na pool na may sukat na metro bawat metro. Ang pool ay nasa iyong likod-bahay. Ang init at gusto ko talagang lumangoy. Ngunit ... isang pool na walang ilalim! Kinakailangan na takpan ang ilalim ng pool na may mga tile. Ilang tile ang kailangan mo? Upang matukoy ito, kailangan mong malaman ang lugar ng ilalim ng pool.

Mabibilang mo lang sa pamamagitan ng pagsundot ng iyong daliri na ang ilalim ng pool ay binubuo ng mga cube metro bawat metro. Kung ang iyong mga tile ay metro bawat metro, kakailanganin mo ng mga piraso. Madali lang... Pero saan ka nakakita ng ganyang tile? Ang tile ay mas magiging cm sa cm. At pagkatapos ay pahihirapan ka sa pamamagitan ng "pagbibilang gamit ang iyong daliri". Pagkatapos ay kailangan mong magparami. Kaya, sa isang gilid ng ilalim ng pool, magkakasya kami ng mga tile (piraso) at sa kabilang banda, din, mga tile. Pag-multiply sa, makakakuha ka ng mga tile ().

Napansin mo ba na pinarami namin ang parehong numero sa pamamagitan ng kanyang sarili upang matukoy ang lugar ng ilalim ng pool? Ano ang ibig sabihin nito? Dahil ang parehong numero ay pinarami, maaari naming gamitin ang exponentiation technique. (Siyempre, kapag dalawa lang ang numero mo, kailangan mo pa ring i-multiply o itaas sa power. Pero kung marami ka, mas madali ang pagtaas sa power at mas kaunti rin ang error sa kalkulasyon. Para sa pagsusulit, ito ay napakahalaga).
Kaya, tatlumpu hanggang ikalawang antas ay magiging (). O maaari mong sabihin na tatlumpung parisukat ang magiging. Sa madaling salita, ang pangalawang kapangyarihan ng isang numero ay maaaring palaging kinakatawan bilang isang parisukat. At vice versa, kung makakita ka ng isang parisukat, ito ay palaging ang pangalawang kapangyarihan ng ilang numero. Ang parisukat ay isang imahe ng pangalawang kapangyarihan ng isang numero.

Halimbawa sa totoong buhay #2

Narito ang isang gawain para sa iyo, bilangin kung gaano karaming mga parisukat ang nasa chessboard gamit ang parisukat ng numero ... Sa isang gilid ng mga cell at sa kabilang panig din. Upang mabilang ang kanilang numero, kailangan mong i-multiply ang walo sa walo, o ... kung mapapansin mo na ang isang chessboard ay isang parisukat na may gilid, maaari mong kuwadrado ang walo. Kumuha ng mga cell. () Kaya?

Halimbawa sa totoong buhay #3

Ngayon ang kubo o ang ikatlong kapangyarihan ng isang numero. Ang parehong pool. Ngunit ngayon kailangan mong malaman kung gaano karaming tubig ang kailangang ibuhos sa pool na ito. Kailangan mong kalkulahin ang lakas ng tunog. (Ang mga volume at likido, sa pamamagitan ng paraan, ay sinusukat sa metro kubiko. Hindi inaasahan, tama?) Gumuhit ng isang pool: isang ilalim na isang metro ang laki at isang metro ang lalim at subukang kalkulahin kung gaano karaming metro bawat metrong cube ang papasok sa iyong pool.

Ituro lamang ang iyong daliri at magbilang! Isa, dalawa, tatlo, apat...dalawampu't dalawa, dalawampu't tatlo... Magkano ang naging resulta? Hindi nawala? Mahirap bang magbilang gamit ang iyong daliri? Kaya yun! Kumuha ng isang halimbawa mula sa mga mathematician. Ang mga ito ay tamad, kaya napansin nila na upang makalkula ang dami ng pool, kailangan mong i-multiply ang haba, lapad at taas nito sa bawat isa. Sa aming kaso, ang dami ng pool ay magiging katumbas ng mga cube ... Mas madali, tama?

Ngayon isipin kung gaano katamad at tuso ang mga mathematician kung gagawin nilang napakadali. Binawasan ang lahat sa isang aksyon. Napansin nila na ang haba, lapad at taas ay pantay at ang parehong bilang ay pinarami ng sarili nito ... At ano ang ibig sabihin nito? Nangangahulugan ito na maaari mong gamitin ang degree. Kaya, ang minsan mong binilang gamit ang isang daliri, ginagawa nila sa isang aksyon: tatlo sa isang cube ay pantay. Ito ay nakasulat tulad nito:

Nananatili lamang kabisaduhin ang talahanayan ng mga digri. Maliban kung, siyempre, ikaw ay tamad at tuso bilang mga mathematician. Kung gusto mong magtrabaho nang husto at magkamali, maaari mong patuloy na magbilang gamit ang iyong daliri.

Kaya, upang sa wakas ay makumbinsi ka na ang mga degree ay naimbento ng mga loafers at tusong tao upang malutas ang kanilang mga problema sa buhay, at hindi upang lumikha ng mga problema para sa iyo, narito ang ilang higit pang mga halimbawa mula sa buhay.

Halimbawa sa totoong buhay #4

Mayroon kang isang milyong rubles. Sa simula ng bawat taon, kumikita ka ng isa pang milyon para sa bawat milyon. Ibig sabihin, doble ang bawat isa sa iyong milyon sa simula ng bawat taon. Magkano ang pera mo sa mga taon? Kung nakaupo ka ngayon at "nagbibilang gamit ang iyong daliri", kung gayon ikaw ay isang napakasipag na tao at .. tanga. Ngunit malamang na magbibigay ka ng sagot sa loob ng ilang segundo, dahil matalino ka! Kaya, sa unang taon - dalawang beses dalawa ... sa ikalawang taon - kung ano ang nangyari, sa pamamagitan ng dalawa pa, sa ikatlong taon ... Stop! Napansin mo na ang bilang ay na-multiply sa sarili nitong isang beses. Kaya ang dalawa hanggang ikalimang kapangyarihan ay isang milyon! Ngayon isipin na mayroon kang isang kumpetisyon at ang isa na mas mabilis na nagkalkula ay makakakuha ng mga milyon-milyong ito ... Ito ba ay nagkakahalaga ng pag-alala sa mga antas ng mga numero, ano sa palagay mo?

Halimbawa sa totoong buhay #5

Mayroon kang isang milyon. Sa simula ng bawat taon, kikita ka pa ng dalawa sa bawat milyon. Ang galing diba? Bawat milyon ay triple. Magkano ang pera mo sa isang taon? Magbilang tayo. Ang unang taon - multiply sa pamamagitan ng, pagkatapos ay ang resulta sa pamamagitan ng isa pa ... Ito ay mayamot na, dahil naiintindihan mo na ang lahat: tatlo ay pinarami ng sarili nitong beses. Kaya ang pang-apat na kapangyarihan ay isang milyon. Kailangan mo lang tandaan na ang tatlo hanggang ikaapat na kapangyarihan ay o.

Ngayon alam mo na na sa pamamagitan ng pagtaas ng isang numero sa isang kapangyarihan, gagawin mong mas madali ang iyong buhay. Tingnan natin kung ano ang maaari mong gawin sa mga degree at kung ano ang kailangan mong malaman tungkol sa mga ito.

Mga tuntunin at konsepto ... para hindi malito

Kaya, una, tukuyin natin ang mga konsepto. Ano sa tingin mo, ano ang exponent? Ito ay napaka-simple - ito ang numero na "nasa itaas" ng kapangyarihan ng numero. Hindi siyentipiko, ngunit malinaw at madaling tandaan ...

Well, at the same time, ano tulad ng isang base ng degree? Kahit na mas simple ay ang numero na nasa ibaba, sa base.

Narito ang isang larawan para makasigurado ka.

Buweno, sa mga pangkalahatang tuntunin, upang mas maging pangkalahatan at matandaan ... Ang isang degree na may base na "" at isang indicator "" ay binabasa bilang "sa degree" at nakasulat tulad ng sumusunod:

Kapangyarihan ng isang numero na may natural na exponent

Marahil ay nahulaan mo na: dahil ang exponent ay isang natural na numero. Oo, pero ano natural na numero? elementarya! Ang mga natural na numero ay ang mga ginagamit sa pagbibilang kapag naglilista ng mga item: isa, dalawa, tatlo ... Kapag nagbibilang kami ng mga item, hindi namin sinasabi: "minus five", "minus six", "minus seven". Hindi rin namin sinasabing "one third" o "zero point five tenths". Ang mga ito ay hindi natural na mga numero. Ano sa palagay mo ang mga numerong ito?

Ang mga numero tulad ng "minus five", "minus six", "minus seven" ay tumutukoy sa buong numero. Sa pangkalahatan, kasama sa mga integer ang lahat ng natural na numero, mga numerong kabaligtaran ng mga natural na numero (iyon ay, kinuha gamit ang minus sign), at isang numero. Madaling maunawaan ang Zero - ito ay kapag wala. At ano ang ibig sabihin ng mga negatibong ("minus") na numero? Ngunit sila ay naimbento lalo na upang tukuyin ang mga utang: kung mayroon kang balanse sa iyong telepono sa rubles, nangangahulugan ito na may utang ka sa operator na rubles.

Ang lahat ng mga fraction ay mga rational na numero. Paano sila nangyari, sa tingin mo? Napakasimple. Ilang libong taon na ang nakalilipas, natuklasan ng ating mga ninuno na wala silang sapat na natural na mga numero upang sukatin ang haba, timbang, lawak, atbp. At nakaisip sila mga rational na numero… Kawili-wili, hindi ba?

Mayroon ding mga hindi makatwirang numero. Ano ang mga numerong ito? Sa madaling salita, isang infinite decimal fraction. Halimbawa, kung hahatiin mo ang circumference ng isang bilog sa diameter nito, makakakuha ka ng hindi makatwirang numero.

Buod:

Tukuyin natin ang konsepto ng degree, ang exponent nito ay isang natural na numero (iyon ay, integer at positibo).

1. Anumang numero sa unang kapangyarihan ay katumbas ng sarili nito:
2. Ang pag-square ng isang numero ay ang pagpaparami nito sa sarili nito:
3. Ang pag-cube ng isang numero ay ang pagpaparami nito sa sarili nitong tatlong beses:

Kahulugan. Upang itaas ang isang numero sa isang natural na kapangyarihan ay upang i-multiply ang numero sa sarili nitong mga beses:
.

Mga katangian ng degree

Saan nagmula ang mga ari-arian na ito? Ipapakita ko sa iyo ngayon.

Tingnan natin kung ano at ?

A-priory:

Ilang multiplier ang nasa kabuuan?

Ito ay napaka-simple: nagdagdag kami ng mga kadahilanan sa mga kadahilanan, at ang resulta ay mga kadahilanan.

Ngunit sa pamamagitan ng kahulugan, ito ang antas ng isang numero na may exponent, iyon ay: , na kinakailangang patunayan.

Halimbawa: Pasimplehin ang expression.

Desisyon:

Halimbawa: Pasimplehin ang expression.

Desisyon: Mahalagang tandaan na sa ating panuntunan kinakailangan dapat pareho ang dahilan!
Samakatuwid, pinagsama namin ang mga degree sa base, ngunit nananatiling isang hiwalay na kadahilanan:

para lamang sa mga produkto ng kapangyarihan!

Sa anumang pagkakataon dapat mong isulat iyon.

2. ibig sabihin -ika-kapangyarihan ng isang numero

Tulad ng sa nakaraang pag-aari, buksan natin ang kahulugan ng antas:

Ito ay lumalabas na ang expression ay pinarami ng kanyang sarili nang isang beses, iyon ay, ayon sa kahulugan, ito ang ika-kapangyarihan ng numero:

Sa katunayan, ito ay matatawag na "bracketing the indicator". Ngunit hindi mo ito magagawa sa kabuuan:

Alalahanin natin ang mga pormula para sa pinaikling multiplikasyon: ilang beses natin gustong sumulat?

Pero hindi totoo yun.

Degree na may negatibong base

Hanggang sa puntong ito, tinalakay lang natin kung ano ang dapat na exponent.

Ngunit ano ang dapat na maging batayan?

Sa mga degree mula sa natural na tagapagpahiwatig maaaring maging batayan kahit anong numero. Sa katunayan, maaari nating i-multiply ang anumang numero sa bawat isa, maging sila ay positibo, negatibo, o kahit na.

Isipin natin kung anong mga palatandaan (" " o "") ang magkakaroon ng mga antas ng positibo at negatibong mga numero?

Halimbawa, magiging positibo ba o negatibo ang numero? PERO? ? Sa una, malinaw ang lahat: gaano man karaming positibong numero ang i-multiply natin sa isa't isa, magiging positibo ang resulta.

Ngunit ang mga negatibo ay medyo mas kawili-wili. Pagkatapos ng lahat, natatandaan namin ang isang simpleng panuntunan mula sa ika-6 na baitang: "ang isang minus na beses ang isang minus ay nagbibigay ng isang plus." Iyon ay, o. Pero kung paramihin tayo, lumalabas.

Tukuyin para sa iyong sarili kung anong senyales ang magkakaroon ng mga sumusunod na expression:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Inayos mo ba?

Narito ang mga sagot: Sa unang apat na halimbawa, sana ay malinaw ang lahat? Tinitingnan lang namin ang base at exponent, at inilalapat ang naaangkop na panuntunan.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Sa halimbawa 5), ​​ang lahat ay hindi rin nakakatakot gaya ng tila: hindi mahalaga kung ano ang katumbas ng base - ang antas ay pantay, na nangangahulugan na ang resulta ay palaging magiging positibo.

Well, maliban kung ang base ay zero. Ang batayan ay hindi pareho, di ba? Malinaw na hindi, dahil (dahil).

Halimbawa 6) ay hindi na napakasimple!

6 mga halimbawa ng pagsasanay

Pagsusuri ng solusyon 6 na halimbawa

Kung hindi natin papansinin ang ikawalong antas, ano ang makikita natin dito? Tingnan natin ang programa sa ika-7 baitang. Kaya, tandaan? Ito ang pinaikling formula ng multiplikasyon, lalo na ang pagkakaiba ng mga parisukat! Nakukuha namin:

Maingat naming tinitingnan ang denominator. Mukha itong isa sa mga kadahilanan ng numerator, ngunit ano ang mali? Maling pagkakasunud-sunod ng mga tuntunin. Kung sila ay pinalitan, maaaring ilapat ang panuntunan.

Ngunit paano gawin iyon? Ito ay lumiliko na ito ay napakadali: ang pantay na antas ng denominator ay tumutulong sa amin dito.

Ang mga termino ay nakapagpalit ng mga lugar. Ang "phenomenon" na ito ay nalalapat sa anumang expression sa isang pantay na antas: maaari nating malayang baguhin ang mga palatandaan sa mga bracket.

Ngunit mahalagang tandaan: lahat ng mga palatandaan ay nagbabago sa parehong oras!

Bumalik tayo sa halimbawa:

At muli ang formula:

buo pinangalanan namin ang mga natural na numero, ang kanilang mga kabaligtaran (iyon ay, kinuha gamit ang sign "") at ang numero.

positibong integer, at ito ay hindi naiiba mula sa natural, kung gayon ang lahat ay mukhang eksaktong katulad sa nakaraang seksyon.

Ngayon tingnan natin ang mga bagong kaso. Magsimula tayo sa isang tagapagpahiwatig na katumbas ng.

Ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas ng isa:

Gaya ng dati, tinatanong natin ang ating sarili: bakit ganito?

Isaalang-alang ang ilang kapangyarihan na may base. Kunin, halimbawa, at i-multiply sa:

Kaya, pinarami namin ang numero sa pamamagitan ng, at nakuha ang parehong bilang ito ay -. Anong numero ang dapat i-multiply para walang magbago? Tama iyon, sa. ibig sabihin.

Magagawa natin ang parehong sa isang arbitrary na numero:

Ulitin natin ang panuntunan:

Ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas ng isa.

Ngunit may mga pagbubukod sa maraming mga patakaran. At narito din doon - ito ay isang numero (bilang base).

Sa isang banda, ito ay dapat na katumbas ng anumang antas - gaano man karami mong i-multiply ang zero sa kanyang sarili, makakakuha ka pa rin ng zero, ito ay malinaw. Ngunit sa kabilang banda, tulad ng anumang numero sa zero degree, dapat itong pantay. Kaya ano ang katotohanan nito? Nagpasya ang mga mathematician na huwag makisali at tumanggi na itaas ang zero sa zero na kapangyarihan. Iyon ay, ngayon ay hindi lamang natin mahahati sa zero, ngunit itaas din ito sa zero na kapangyarihan.

Tayo ay pumunta sa karagdagang. Bilang karagdagan sa mga natural na numero at numero, kasama sa mga integer ang mga negatibong numero. Upang maunawaan kung ano ang isang negatibong antas, gawin natin ang katulad ng huling pagkakataon: minu-multiply natin ang ilang normal na numero sa pareho sa isang negatibong antas:

Mula dito madali nang ipahayag ang ninanais:

Ngayon ay pinalawak namin ang nagresultang panuntunan sa isang di-makatwirang antas:

Kaya, buuin natin ang panuntunan:

Ang isang numero sa isang negatibong kapangyarihan ay ang kabaligtaran ng parehong numero sa isang positibong kapangyarihan. Ngunit sa parehong oras hindi maaaring null ang base:(dahil imposibleng hatiin).

Ibuod natin:

I. Ang pagpapahayag ay hindi tinukoy sa kaso. Kung, kung gayon.

II. Ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas ng isa: .

III. Ang isang numero na hindi katumbas ng zero sa isang negatibong kapangyarihan ay ang kabaligtaran ng parehong numero sa isang positibong kapangyarihan: .

Mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

Well, gaya ng dati, mga halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon:

Pagsusuri ng mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

Alam ko, alam ko, ang mga numero ay nakakatakot, ngunit sa pagsusulit kailangan mong maging handa sa anumang bagay! Lutasin ang mga halimbawang ito o suriin ang kanilang solusyon kung hindi mo ito malutas at matututunan mo kung paano madaling harapin ang mga ito sa pagsusulit!

Patuloy nating palawakin ang hanay ng mga numerong "angkop" bilang isang exponent.

Ngayon isaalang-alang mga rational na numero. Anong mga numero ang tinatawag na rational?

Sagot: lahat ng iyon ay maaaring katawanin bilang isang fraction, kung saan at mga integer, bukod dito.

Upang maunawaan kung ano ang "fractional degree" Isaalang-alang natin ang isang fraction:

Itaas natin ang magkabilang panig ng equation sa isang kapangyarihan:

Ngayon tandaan ang panuntunan "degree to degree":

Anong numero ang dapat itaas sa isang kapangyarihan para makuha?

Ang pagbabalangkas na ito ay ang kahulugan ng ugat ng ika-degree.

Paalalahanan ko kayo: ang ugat ng ika-kapangyarihan ng isang numero () ay isang numero na, kapag itinaas sa isang kapangyarihan, ay katumbas.

Iyon ay, ang ugat ng ika-degree ay ang kabaligtaran na operasyon ng exponentiation: .

Lumalabas na. Malinaw, ang espesyal na kaso na ito ay maaaring palawigin: .

Ngayon idagdag ang numerator: ano ito? Ang sagot ay madaling makuha gamit ang power-to-power rule:

Ngunit maaari bang maging anumang numero ang base? Pagkatapos ng lahat, ang ugat ay hindi maaaring makuha mula sa lahat ng mga numero.

wala!

Tandaan ang panuntunan: anumang numero na itinaas sa pantay na kapangyarihan ay isang positibong numero. Iyon ay, imposibleng kunin ang mga ugat ng pantay na antas mula sa mga negatibong numero!

At nangangahulugan ito na ang mga naturang numero ay hindi maaaring itaas sa isang fractional na kapangyarihan na may pantay na denominator, iyon ay, ang expression ay walang kahulugan.

Paano naman ang expression?

Ngunit narito ang isang problema ay lumitaw.

Ang numero ay maaaring kinakatawan bilang iba, pinababang mga fraction, halimbawa, o.

At lumalabas na ito ay umiiral, ngunit hindi umiiral, at ito ay dalawang magkaibang mga talaan ng parehong numero.

O isa pang halimbawa: isang beses, pagkatapos ay maaari mo itong isulat. Ngunit sa sandaling isulat namin ang tagapagpahiwatig sa ibang paraan, muli kaming nagkakaproblema: (iyon ay, nakakuha kami ng ganap na kakaibang resulta!).

Upang maiwasan ang gayong mga kabalintunaan, isaalang-alang positibong base exponent lamang na may fractional exponent.

Kaya kung:

• - natural na numero;
• ay isang integer;

Mga halimbawa:

Ang mga kapangyarihan na may rational exponent ay lubhang kapaki-pakinabang para sa pagbabago ng mga expression na may mga ugat, halimbawa:

5 mga halimbawa ng pagsasanay

Pagsusuri ng 5 halimbawa para sa pagsasanay

Well, ngayon - ang pinakamahirap. Ngayon ay susuriin natin degree na may hindi makatwirang exponent.

Ang lahat ng mga panuntunan at katangian ng mga degree dito ay eksaktong kapareho ng para sa mga degree na may isang rational exponent, maliban sa

Sa katunayan, ayon sa kahulugan, ang mga hindi makatwirang numero ay mga numero na hindi maaaring katawanin bilang isang fraction, kung saan at mga integer (iyon ay, ang mga hindi makatwirang numero ay lahat ng tunay na numero maliban sa mga makatwiran).

Kapag nag-aaral ng mga degree na may natural, integer at rational na indicator, sa bawat oras na bumubuo kami ng isang partikular na "larawan", "analogy", o paglalarawan sa mas pamilyar na mga termino.

Halimbawa, ang natural na exponent ay isang numero na pinarami ng sarili nitong ilang beses;

...walang kapangyarihan- ito ay, tulad ng, isang numero na pinarami ng kanyang sarili nang isang beses, iyon ay, hindi pa nagsisimulang dumami, na nangangahulugang ang bilang mismo ay hindi pa lumitaw - samakatuwid, ang resulta ay isang tiyak na "paghahanda ng isang numero”, ibig sabihin ay isang numero;

...negatibong integer exponent- para bang isang tiyak na "reverse process" ang naganap, iyon ay, ang bilang ay hindi pinarami ng sarili nito, ngunit hinati.

Sa pamamagitan ng paraan, ang agham ay madalas na gumagamit ng isang degree na may isang kumplikadong exponent, iyon ay, ang isang exponent ay hindi kahit isang tunay na numero.

Ngunit sa paaralan, hindi namin iniisip ang mga ganitong paghihirap; magkakaroon ka ng pagkakataong maunawaan ang mga bagong konseptong ito sa institute.

KUNG SAAN KAMI SIGURO PUPUNTA KA! (kung matutunan mo kung paano lutasin ang mga ganitong halimbawa :))

Halimbawa:

Magpasya para sa iyong sarili:

Pagsusuri ng mga solusyon:

1. Magsimula tayo sa dati nang panuntunan para sa pagpapataas ng degree sa isang degree:

Ngayon tingnan ang iskor. May naaalala ba siya sa iyo? Naaalala namin ang formula para sa pinaikling pagpaparami ng pagkakaiba ng mga parisukat:

AT kasong ito,

Lumalabas na:

Sagot: .

2. Dinadala namin ang mga fraction sa exponents sa parehong anyo: alinman sa parehong decimal o parehong ordinaryo. Nakukuha namin, halimbawa:

Sagot: 16

3. Walang espesyal, inilalapat namin ang karaniwang katangian ng mga degree:

ADVANCED LEVEL

Kahulugan ng degree

Ang antas ay isang pagpapahayag ng anyo: , kung saan:

• — base ng degree;
• - exponent.

Degree na may natural na exponent (n = 1, 2, 3,...)

Ang pagtaas ng isang numero sa natural na kapangyarihan n ay nangangahulugan ng pagpaparami ng numero sa sarili nitong mga beses:

Power na may integer exponent (0, ±1, ±2,...)

Kung ang exponent ay positibong integer numero:

paninigas sa zero na kapangyarihan:

Ang expression ay hindi tiyak, dahil, sa isang banda, sa anumang antas ay ito, at sa kabilang banda, anumang numero sa ika-degree ay ito.

Kung ang exponent ay negatibong integer numero:

(dahil imposibleng hatiin).

Isa pang beses tungkol sa nulls: ang expression ay hindi tinukoy sa kaso. Kung, kung gayon.

Mga halimbawa:

Degree na may rational exponent

• - natural na numero;
• ay isang integer;

Mga halimbawa:

Mga katangian ng degree

Upang gawing mas madali ang paglutas ng mga problema, subukan nating maunawaan: saan nagmula ang mga katangiang ito? Patunayan natin sila.

Tingnan natin: ano ang at?

A-priory:

Kaya, sa kanang bahagi ng expression na ito, ang sumusunod na produkto ay nakuha:

Ngunit ayon sa kahulugan, ito ay isang kapangyarihan ng isang numero na may exponent, iyon ay:

Q.E.D.

Halimbawa : Pasimplehin ang expression.

Desisyon : .

Halimbawa : Pasimplehin ang expression.

Desisyon : Mahalagang tandaan na sa ating tuntunin kinakailangan dapat may parehong batayan. Samakatuwid, pinagsama namin ang mga degree sa base, ngunit nananatiling isang hiwalay na kadahilanan:

Isa pang mahalagang tala: ang panuntunang ito - para lamang sa mga produkto ng kapangyarihan!

Sa anumang pagkakataon dapat kong isulat iyon.

Tulad ng sa nakaraang pag-aari, buksan natin ang kahulugan ng antas:

Ayusin natin ito tulad nito:

Lumalabas na ang expression ay pinarami ng isang beses, iyon ay, ayon sa kahulugan, ito ang -th na kapangyarihan ng numero:

Sa katunayan, ito ay matatawag na "bracketing the indicator". Ngunit hindi mo ito magagawa sa kabuuan:!

Alalahanin natin ang mga pormula para sa pinaikling multiplikasyon: ilang beses natin gustong sumulat? Pero hindi totoo yun.

Power na may negatibong base.

Hanggang sa puntong ito, napag-usapan lang natin kung ano ang dapat tagapagpahiwatig degree. Ngunit ano ang dapat na maging batayan? Sa mga degree mula sa natural tagapagpahiwatig maaaring maging batayan kahit anong numero .

Sa katunayan, maaari nating i-multiply ang anumang numero sa bawat isa, maging sila ay positibo, negatibo, o kahit na. Isipin natin kung anong mga palatandaan (" " o "") ang magkakaroon ng mga antas ng positibo at negatibong mga numero?

Halimbawa, magiging positibo ba o negatibo ang numero? PERO? ?

Sa una, malinaw ang lahat: gaano man karaming positibong numero ang i-multiply natin sa isa't isa, magiging positibo ang resulta.

Ngunit ang mga negatibo ay medyo mas kawili-wili. Pagkatapos ng lahat, natatandaan namin ang isang simpleng panuntunan mula sa ika-6 na baitang: "ang isang minus na beses ang isang minus ay nagbibigay ng isang plus." Iyon ay, o. Ngunit kung i-multiply natin sa (), makakakuha tayo ng -.

At iba pa ang ad infinitum: sa bawat kasunod na pagpaparami, magbabago ang tanda. Maaari mong buuin ang mga simpleng panuntunang ito:

1. kahit degree, - numero positibo.
2. Negatibong numero itinaas sa kakaiba degree, - numero negatibo.
3. Ang isang positibong numero sa anumang kapangyarihan ay isang positibong numero.
4. Ang zero sa anumang kapangyarihan ay katumbas ng zero.

Tukuyin para sa iyong sarili kung anong senyales ang magkakaroon ng mga sumusunod na expression:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Inayos mo ba? Narito ang mga sagot:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Sa unang apat na halimbawa, sana ay malinaw ang lahat? Tinitingnan lang namin ang base at exponent, at inilalapat ang naaangkop na panuntunan.

Sa halimbawa 5), ​​ang lahat ay hindi rin nakakatakot gaya ng tila: hindi mahalaga kung ano ang katumbas ng base - ang antas ay pantay, na nangangahulugan na ang resulta ay palaging magiging positibo. Well, maliban kung ang base ay zero. Ang batayan ay hindi pareho, di ba? Malinaw na hindi, dahil (dahil).

Halimbawa 6) ay hindi na gaanong simple. Dito kailangan mong malaman kung alin ang mas kaunti: o? Kung naaalala mo iyon, nagiging malinaw iyon, na nangangahulugan na ang base ay mas mababa sa zero. Ibig sabihin, inilalapat namin ang panuntunan 2: magiging negatibo ang resulta.

At muli ginagamit namin ang kahulugan ng degree:

Ang lahat ay tulad ng dati - isinulat namin ang kahulugan ng mga degree at hatiin ang mga ito sa isa't isa, hatiin ang mga ito sa mga pares at makuha:

Bago pag-aralan ang huling tuntunin, lutasin natin ang ilang mga halimbawa.

Kalkulahin ang mga halaga ng mga expression:

Mga solusyon :

Kung hindi natin papansinin ang ikawalong antas, ano ang makikita natin dito? Tingnan natin ang programa sa ika-7 baitang. Kaya, tandaan? Ito ang pinaikling formula ng multiplikasyon, lalo na ang pagkakaiba ng mga parisukat!

Nakukuha namin:

Maingat naming tinitingnan ang denominator. Mukha itong isa sa mga kadahilanan ng numerator, ngunit ano ang mali? Maling pagkakasunud-sunod ng mga tuntunin. Kung sila ay pinalitan, maaaring ilapat ang panuntunan 3. Ngunit paano ito gagawin? Ito ay lumiliko na ito ay napakadali: ang pantay na antas ng denominator ay tumutulong sa amin dito.

Kung i-multiply mo ito, walang magbabago di ba? Ngunit ngayon ay ganito ang hitsura:

Ang mga termino ay nakapagpalit ng mga lugar. Ang "phenomenon" na ito ay nalalapat sa anumang expression sa isang pantay na antas: maaari nating malayang baguhin ang mga palatandaan sa mga bracket. Ngunit mahalagang tandaan: lahat ng mga palatandaan ay nagbabago nang sabay-sabay! Hindi ito mapapalitan ng pagbabago lamang ng isang hindi kanais-nais na minus sa amin!

Bumalik tayo sa halimbawa:

At muli ang formula:

Kaya ngayon ang huling tuntunin:

Paano natin ito mapapatunayan? Siyempre, gaya ng dati: palawakin natin ang konsepto ng degree at pasimplehin:

Well, ngayon buksan natin ang mga bracket. Gaano karaming mga titik ang magkakaroon? beses sa pamamagitan ng mga multiplier - ano ang hitsura nito? Ito ay walang iba kundi ang kahulugan ng isang operasyon pagpaparami: total nagkaroon pala ng multipliers. Iyon ay, ito ay, sa pamamagitan ng kahulugan, isang kapangyarihan ng isang numero na may isang exponent:

Halimbawa:

Degree na may hindi makatwirang exponent

Bilang karagdagan sa impormasyon tungkol sa mga degree para sa average na antas, susuriin namin ang degree na may hindi makatwirang tagapagpahiwatig. Ang lahat ng mga patakaran at katangian ng mga degree dito ay eksaktong kapareho ng para sa isang degree na may rational exponent, maliban sa lahat - pagkatapos ng lahat, sa pamamagitan ng kahulugan, ang mga hindi makatwiran na numero ay mga numero na hindi maaaring katawanin bilang isang fraction, kung saan at mga integer (iyon ay , ang mga hindi makatwirang numero ay lahat ng tunay na numero maliban sa mga makatwiran).

Kapag nag-aaral ng mga degree na may natural, integer at rational na indicator, sa bawat oras na bumubuo kami ng isang partikular na "larawan", "analogy", o paglalarawan sa mas pamilyar na mga termino. Halimbawa, ang natural na exponent ay isang numero na pinarami ng sarili nitong ilang beses; ang isang numero sa zero degree ay, kumbaga, isang numero na pinarami ng kanyang sarili nang isang beses, iyon ay, hindi pa ito nagsisimulang i-multiply, na nangangahulugang ang numero mismo ay hindi pa lumitaw - samakatuwid, ang resulta ay isang tiyak na "paghahanda ng isang numero", katulad ng isang numero; isang degree na may negatibong integer - parang isang tiyak na "reverse process" ang naganap, iyon ay, ang numero ay hindi pinarami ng sarili nito, ngunit hinati.

Napakahirap isipin ang isang degree na may hindi makatwiran na exponent (tulad ng mahirap isipin ang isang 4-dimensional na espasyo). Sa halip, ito ay isang purong matematikal na bagay na nilikha ng mga mathematician upang palawigin ang konsepto ng isang antas sa buong espasyo ng mga numero.

Sa pamamagitan ng paraan, ang agham ay madalas na gumagamit ng isang degree na may isang kumplikadong exponent, iyon ay, ang isang exponent ay hindi kahit isang tunay na numero. Ngunit sa paaralan, hindi namin iniisip ang mga ganitong paghihirap; magkakaroon ka ng pagkakataong maunawaan ang mga bagong konseptong ito sa institute.

Kaya ano ang gagawin natin kung makakita tayo ng hindi makatwiran na exponent? Sinusubukan namin ang aming makakaya upang mapupuksa ito! :)

Halimbawa:

Magpasya para sa iyong sarili:

1)

2)

3)

Mga sagot:

1. Tandaan ang pagkakaiba ng formula ng mga parisukat. Sagot: .
2. Dinadala namin ang mga fraction sa parehong anyo: alinman sa parehong mga decimal, o parehong mga ordinaryong. Nakukuha namin, halimbawa: .
3. Walang espesyal, inilalapat namin ang karaniwang mga katangian ng mga degree:

BUOD NG SEKSYON AT BATAYANG FORMULA

Degree ay tinatawag na pagpapahayag ng anyo: , kung saan:

Degree na may integer exponent

degree, ang exponent nito ay isang natural na numero (i.e. integer at positive).

Degree na may rational exponent

degree, ang indicator kung saan ay negatibo at fractional na mga numero.

Degree na may hindi makatwirang exponent

exponent na ang exponent ay isang infinite decimal fraction o ugat.

Mga katangian ng degree

Mga tampok ng degree.

• Negatibong numero itinaas sa kahit degree, - numero positibo.
• Negatibong numero itinaas sa kakaiba degree, - numero negatibo.
• Ang isang positibong numero sa anumang kapangyarihan ay isang positibong numero.
• Ang zero ay katumbas ng anumang kapangyarihan.
• Ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas.

NGAYON MAY SALITA KA NA...

Paano mo gusto ang artikulo? Ipaalam sa akin sa mga komento sa ibaba kung nagustuhan mo ito o hindi.

Sabihin sa amin ang tungkol sa iyong karanasan sa mga katangian ng kapangyarihan.

Marahil ay mayroon kang mga katanungan. O mga mungkahi.

Sumulat sa mga komento.

At good luck sa iyong mga pagsusulit!