Ang pinakasimpleng uri ng vibrations ay harmonic vibrations- pagbabagu-bago kung saan nagbabago ang displacement ng oscillating point mula sa equilibrium position sa paglipas ng panahon ayon sa batas ng sine o cosine.

Kaya, na may pare-parehong pag-ikot ng bola sa paligid ng circumference, ang projection nito (anino sa parallel rays ng liwanag) ay nagsasagawa ng harmonic oscillatory motion sa isang vertical na screen (Fig. 1).

Ang displacement mula sa equilibrium na posisyon sa panahon ng harmonic vibrations ay inilalarawan ng equation (ito ay tinatawag na kinematic law maharmonya na paggalaw) ng anyo:

kung saan x - displacement - isang halaga na nagpapakilala sa posisyon ng oscillating point sa oras t na may kaugnayan sa posisyon ng equilibrium at sinusukat ng distansya mula sa posisyon ng equilibrium hanggang sa posisyon ng punto sa sa sandaling ito oras; A - oscillation amplitude - ang maximum na pag-aalis ng katawan mula sa posisyon ng balanse; T - panahon ng oscillation - ang oras ng isang kumpletong oscillation; mga. ang pinakamaliit na tagal ng panahon pagkatapos kung saan ang mga halaga ng mga pisikal na dami na nagpapakilala sa oscillation ay paulit-ulit; - unang bahagi;

Ang yugto ng oscillation sa oras t. Ang oscillation phase ay ang argumento pana-panahong pag-andar, na sa isang naibigay na amplitude ng oscillation ay tumutukoy sa estado ng oscillatory system (pag-aalis, bilis, acceleration) ng katawan sa anumang oras.

Kung nasa paunang sandali oras, ang oscillating point ay pinakamataas na inilipat mula sa equilibrium na posisyon, pagkatapos , at ang displacement ng punto mula sa equilibrium na posisyon ay nagbabago ayon sa batas

Kung ang oscillating point sa ay nasa isang posisyon ng stable equilibrium, kung gayon ang displacement ng point mula sa equilibrium position ay nagbabago ayon sa batas.

Ang halaga ng V, ang kapalit ng panahon at katumbas ng bilang Ang buong oscillations na ginawa sa 1 s ay tinatawag na frequency ng oscillations:

Kung sa oras t ang katawan ay gumagawa ng N kumpletong oscillations, kung gayon

ang halaga , na nagpapakita kung gaano karaming mga oscillations ang ginagawa ng katawan sa s, ay tinatawag cyclic (circular) frequency.

Ang kinematic law ng harmonic motion ay maaaring isulat bilang:

Sa graphically, ang pag-asa ng displacement ng isang oscillating point sa oras ay kinakatawan ng isang cosine (o sinusoid).

Ipinapakita ng Figure 2, a ang time dependence ng displacement ng oscillating point mula sa equilibrium position para sa case .

Alamin natin kung paano nagbabago ang bilis ng isang oscillating point sa paglipas ng panahon. Upang gawin ito, nakita namin ang derivative ng oras ng expression na ito:

saan ang amplitude ng velocity projection sa x-axis.

Ang formula na ito ay nagpapakita na sa panahon ng harmonic oscillations, ang projection ng body velocity sa x axis ay nagbabago din ayon sa harmonic law na may parehong frequency, na may ibang amplitude, at nauuna sa mixing phase sa pamamagitan ng (Fig. 2, b) .

Upang malaman ang dependence ng acceleration, nakita namin ang time derivative ng velocity projection:

nasaan ang amplitude ng acceleration projection sa x-axis.

Para sa mga harmonic oscillations, ang acceleration projection ay nangunguna sa phase shift ng k (Larawan 2, c).

Katulad nito, maaari kang bumuo ng mga dependency graph

Isinasaalang-alang na , ang formula para sa acceleration ay maaaring isulat

mga. para sa mga harmonic oscillations, ang acceleration projection ay direktang proporsyonal sa displacement at kabaligtaran sa sign, i.e. ang acceleration ay nakadirekta sa direksyon na kabaligtaran sa displacement.

Kaya, ang acceleration projection ay ang pangalawang derivative ng displacement, kung gayon ang resultang ratio ay maaaring isulat bilang:

Ang huling pagkakapantay-pantay ay tinatawag equation ng harmonic oscillations.

Ang isang pisikal na sistema kung saan maaaring umiral ang mga harmonic oscillations ay tinatawag harmonic oscillator, at ang equation ng harmonic oscillations - harmonic oscillator equation.

Harmonic Wave Equation

Ang harmonic oscillation equation ay nagtatatag ng dependence ng body coordinate sa oras

Ang cosine graph ay may pinakamataas na halaga sa paunang sandali, at ang sine graph ay may zero na halaga sa paunang sandali. Kung sinimulan nating siyasatin ang oscillation mula sa posisyon ng equilibrium, pagkatapos ay uulitin ng oscillation ang sinusoid. Kung sinimulan nating isaalang-alang ang oscillation mula sa posisyon ng maximum deviation, pagkatapos ay ilalarawan ng oscillation ang cosine. O ang ganitong oscillation ay maaaring ilarawan ng sine formula na may paunang yugto.

Pagbabago sa bilis at acceleration sa panahon ng harmonic oscillation

Hindi lamang ang coordinate ng katawan ang nagbabago sa paglipas ng panahon ayon sa batas ng sine o cosine. Ngunit ang mga dami tulad ng puwersa, bilis at acceleration ay nagbabago rin sa katulad na paraan. Ang puwersa at acceleration ay pinakamataas kapag ang oscillating body ay nasa matinding posisyon, kung saan ang displacement ay maximum, at katumbas ng zero kapag ang katawan ay dumaan sa posisyon ng equilibrium. Ang bilis, sa kabaligtaran, sa matinding mga posisyon ay katumbas ng zero, at kapag ang katawan ay pumasa sa posisyon ng balanse, naabot nito ang pinakamataas na halaga nito.

Kung ang oscillation ay inilarawan ayon sa batas ng cosine

Kung ang oscillation ay inilarawan ayon sa batas ng sine

Pinakamataas na bilis at mga halaga ng acceleration

Pagkatapos pag-aralan ang mga equation ng dependence v(t) at a(t), mahuhulaan na ang pinakamataas na halaga ng velocity at acceleration ay tumatagal kapag trigonometriko kadahilanan ay 1 o -1. Natutukoy ng formula

Mga pagbabago sa oras ayon sa sinusoidal na batas:

saan X- ang halaga ng pabagu-bagong dami sa sandali ng oras t, PERO- malawak , ω - pabilog na dalas, φ ay ang unang yugto ng mga oscillation, ( φt + φ ) ay ang kabuuang yugto ng mga oscillation . Kasabay nito, ang mga halaga PERO, ω at φ - permanente.

Para sa mechanical vibrations na may oscillating value X ay, sa partikular, ang displacement at velocity, para sa mga electrical oscillations- boltahe at kasalukuyang.

Harmonic vibrations tumatagal espesyal na lugar sa lahat ng uri ng oscillations, dahil ito lang ang uri ng oscillations, ang hugis nito ay hindi nabaluktot kapag dumadaan sa alinmang homogenous na kapaligiran, ibig sabihin, ang mga alon na nagpapalaganap mula sa pinagmumulan ng mga harmonic oscillations ay magiging harmonic din. Anumang non-harmonic na vibration ay maaaring katawanin bilang isang kabuuan (integral) ng iba't ibang harmonic vibrations (sa anyo ng isang spectrum ng harmonic vibrations).

Mga pagbabagong-anyo ng enerhiya sa panahon ng maharmonya na vibrations.

Sa proseso ng mga oscillations, mayroong isang paglipat ng potensyal na enerhiya Wp sa kinetic W k at vice versa. Sa posisyon ng maximum na paglihis mula sa posisyon ng balanse, ang potensyal na enerhiya ay maximum, ang kinetic energy ay zero. Habang bumabalik ka sa posisyon ng balanse, ang bilis ng oscillating body ay tumataas, at kasama nito, gayundin ang kinetic energy, na umaabot sa pinakamataas sa posisyon ng ekwilibriyo. Ang potensyal na enerhiya ay bumaba sa zero. Ang karagdagang-leeg na paggalaw ay nangyayari na may pagbaba sa bilis, na bumababa sa zero kapag ang pagpapalihis ay umabot sa pangalawang maximum nito. Ang potensyal na enerhiya dito ay tumataas sa paunang (maximum) na halaga nito (sa kawalan ng friction). Kaya, ang mga oscillations ng kinetic at potensyal na enerhiya ay nangyayari na may dobleng (kumpara sa mga oscillations ng pendulum mismo) dalas at nasa antiphase (i.e., mayroong isang phase shift sa pagitan ng mga ito katumbas ng π ). Kabuuang enerhiya ng vibration W nananatiling hindi nagbabago. Para sa isang katawan na umiikot sa ilalim ng pagkilos ng isang nababanat na puwersa, ito ay katumbas ng:

saan v m- ang pinakamataas na bilis ng katawan (sa posisyon ng balanse), x m = PERO- malawak.

Dahil sa pagkakaroon ng friction at resistance ng medium libreng vibrations pagkabulok: bumababa ang kanilang enerhiya at amplitude sa paglipas ng panahon. Samakatuwid, sa pagsasagawa, hindi libre, ngunit sapilitang mga oscillations ay ginagamit nang mas madalas.

Kasama ng progresibo at mga paggalaw ng paikot katawan sa mekanika, oscillatory galaw ay din ng malaking interes. Mga mekanikal na panginginig ng boses tinatawag na mga paggalaw ng mga katawan na umuulit nang eksakto (o humigit-kumulang) sa mga regular na pagitan. Ang batas ng paggalaw ng isang oscillating body ay ibinibigay ng ilang pana-panahong paggana ng oras x = f (t). Graphic na larawan Ang function na ito ay nagbibigay ng visual na representasyon ng kurso ng oscillatory process sa oras.

Ang mga halimbawa ng mga simpleng oscillatory system ay isang load sa isang spring o mathematical pendulum(Larawan 2.1.1).

Mga mekanikal na panginginig ng boses, tulad ng mga proseso ng oscillatory anumang iba pang pisikal na kalikasan, ay maaaring libre at pilit. Libreng vibrations ay ginawa sa ilalim ng impluwensya panloob na pwersa sistema pagkatapos na mailabas ang sistema sa ekwilibriyo. Ang mga oscillations ng isang timbang sa isang spring o ang mga oscillations ng isang pendulum ay libreng oscillations. vibrations sa ilalim ng aksyon panlabas pana-panahong nagbabagong pwersa ay tinatawag pilit .

Ang pinakasimpleng uri ng proseso ng oscillatory ay simple harmonic vibrations , na inilalarawan ng equation

x = x m cos (ω t + φ 0).

Dito x- pag-aalis ng katawan mula sa posisyon ng balanse, x m - amplitude ng oscillation, ibig sabihin, ang maximum na pag-aalis mula sa posisyon ng equilibrium, ω - cyclic o circular frequency pag-aatubili, t- oras. Ang halaga sa ilalim ng cosine sign φ = ω t+ φ 0 ay tinatawag yugto maharmonya na proseso. Sa t= 0 φ = φ 0 , kaya tinatawag na φ 0 unang bahagi. Ang pinakamababang agwat ng oras pagkatapos kung saan ang paggalaw ng katawan ay paulit-ulit ay tinatawag panahon ng oscillation T. Pisikal na bilang, ang kapalit ng panahon ng oscillation, ay tinatawag dalas ng oscillation:

Dalas ng oscillation f nagpapakita kung gaano karaming mga vibrations ang nagagawa sa 1 s. Unit ng dalas - hertz(Hz). Dalas ng oscillation f ay nauugnay sa cyclic frequency ω at ang oscillation period T ratios:

Sa fig. 2.1.2 ay nagpapakita ng mga posisyon ng katawan sa mga regular na pagitan na may harmonic vibrations. Ang ganitong larawan ay maaaring makuha sa eksperimento sa pamamagitan ng pag-iilaw sa isang oscillating body na may maikling pana-panahong pagkislap ng liwanag ( stroboscopic na pag-iilaw). Ang mga arrow ay kumakatawan sa mga vector ng bilis ng katawan sa iba't ibang mga punto ng oras.

kanin. 2.1.3 inilalarawan ang mga pagbabagong nagaganap sa graph ng isang harmonic na proseso kung ang alinman sa amplitude ng mga oscillations ay nagbabago x m , o panahon T(o dalas f), o ang paunang yugto φ 0 .

Sa oscillatory motion katawan sa isang tuwid na linya (axis OX) ang velocity vector ay palaging nakadirekta sa tuwid na linyang ito. Bilis υ = υ x Ang galaw ng katawan ay natutukoy sa pamamagitan ng ekspresyon

Sa matematika, ang pamamaraan para sa paghahanap ng limitasyon ng ratio sa Δ t Ang → 0 ay tinatawag na pagkalkula ng derivative ng function x (t) ayon sa panahon t at tinutukoy bilang o bilang x"(t) o sa wakas bilang . Para sa harmonic law of motion Ang pagkalkula ng derivative ay humahantong sa sumusunod na resulta:

Ang hitsura ng term + π / 2 sa cosine argument ay nangangahulugan ng pagbabago sa paunang yugto. Pinakamataas na mga halaga ng modulo ng bilis υ = ω x m ay nakakamit sa mga sandaling iyon kapag ang katawan ay dumaan sa mga posisyon ng balanse ( x= 0). Ang acceleration ay tinukoy sa katulad na paraan a = ax mga katawan na may harmonic vibrations:

kaya ang acceleration a ay katumbas ng derivative ng function na υ ( t) ayon sa panahon t, o ang pangalawang derivative ng function x (t). Ang mga kalkulasyon ay nagbibigay ng:

Ang minus sign sa expression na ito ay nangangahulugan na ang acceleration a (t) laging may tanda, kabaligtaran ng tanda pagkiling x (t), at, samakatuwid, ayon sa ikalawang batas ni Newton, ang puwersa na nagiging sanhi ng katawan na magsagawa ng mga harmonic oscillations ay palaging nakadirekta sa posisyon ng balanse ( x = 0).

pagbabagu-bago tinatawag na mga paggalaw o proseso na nailalarawan sa pamamagitan ng isang tiyak na pag-uulit sa oras. Ang mga proseso ng oscillatory ay laganap sa kalikasan at teknolohiya, halimbawa, ang swing ng isang clock pendulum, variable kuryente atbp. Kapag ang pendulum ay nag-oscillates, ang coordinate ng sentro ng masa nito ay nagbabago, sa kaso alternating current pabagu-bago ang boltahe at kasalukuyang sa circuit. pisikal na kalikasan ang mga oscillations ay maaaring magkakaiba, samakatuwid, mekanikal, electromagnetic, atbp. oscillations ay nakikilala. Gayunpaman, ang iba't ibang mga oscillatory na proseso ay inilalarawan ng parehong mga katangian at ang parehong mga equation. Dito nagmumula ang pagiging posible pinag-isang diskarte sa pag-aaral ng vibrations magkaibang pisikal na katangian.

Ang mga pagbabago ay tinatawag libre, kung ang mga ito ay ginaganap lamang sa ilalim ng impluwensya ng mga panloob na pwersa na kumikilos sa pagitan ng mga elemento ng system, pagkatapos na maalis ang sistema mula sa posisyon ng ekwilibriyo panlabas na pwersa at iniwan sa sarili. Libreng vibrations palagi damped oscillations , dahil sa tunay na mga sistema Ang pagkawala ng enerhiya ay hindi maiiwasan. Sa idealized na kaso ng isang sistema na walang pagkawala ng enerhiya, ang mga libreng oscillations (nagpapatuloy hangga't ninanais) ay tinatawag sariling.

Ang pinakasimpleng uri ng libreng undamped oscillations ay harmonic oscillations - pagbabagu-bago kung saan nagbabago ang pabagu-bagong halaga sa paglipas ng panahon ayon sa batas ng sine (cosine). Ang mga oscillation na nakatagpo sa kalikasan at teknolohiya ay kadalasang may karakter na malapit sa harmonic.

Ang mga harmonic vibrations ay inilalarawan ng isang equation na tinatawag na equation ng harmonic vibrations:

saan PERO- amplitude ng pagbabagu-bago, ang pinakamataas na halaga ng pabagu-bagong halaga X; - pabilog (cyclic) dalas ng natural na mga oscillation; - ang unang yugto ng oscillation sa isang sandali ng oras t= 0; - ang yugto ng oscillation sa sandali ng oras t. Tinutukoy ng yugto ng oscillation ang halaga ng oscillating quantity sa isang partikular na oras. Dahil ang cosine ay nag-iiba mula +1 hanggang -1, kung gayon X maaaring kumuha ng mga halaga mula sa + A dati- PERO.

Oras T, kung saan kinukumpleto ng system ang isang kumpletong oscillation, ay tinatawag panahon ng oscillation. Sa panahon ng T Ang oscillation phase ay nadaragdagan ng 2 π , ibig sabihin.

saan . (14.2)

Ang kapalit ng panahon ng oscillation

ibig sabihin, ang bilang ng mga kumpletong oscillation sa bawat yunit ng oras ay tinatawag na dalas ng oscillation. Ang paghahambing ng (14.2) at (14.3) ay nakuha natin

Ang unit ng frequency ay hertz (Hz): 1 Hz ay ​​ang frequency kung saan ang isang kumpletong oscillation ay nagaganap sa loob ng 1 s.

Ang mga sistema kung saan maaaring mangyari ang mga libreng vibrations ay tinatawag mga oscillator . Anong mga katangian ang dapat taglayin ng isang sistema upang magkaroon ng mga libreng oscillations dito? mekanikal na sistema dapat meron posisyon ng matatag na ekwilibriyo, sa paglabas na lilitaw pagpapanumbalik ng puwersa tungo sa ekwilibriyo. Ang posisyon na ito ay tumutugma, tulad ng nalalaman, sa pinakamababa potensyal na enerhiya mga sistema. Isaalang-alang natin ang ilang mga oscillatory system na nakakatugon sa mga nakalistang katangian.