mga exponential equation. Tulad ng alam mo, kasama sa USE simpleng equation. Napag-isipan na namin ang ilan - ito ay logarithmic, trigonometric, rational. Narito ang mga exponential equation.

Sa isang kamakailang artikulo, nagtrabaho kami sa mga exponential expression, magiging kapaki-pakinabang ito. Ang mga equation mismo ay nalutas nang simple at mabilis. Kinakailangan lamang na malaman ang mga katangian ng mga exponent at ... Tungkol ditoDagdag pa.

Inililista namin ang mga katangian ng mga exponent:

Ang zero power ng anumang numero ay katumbas ng isa.

Bunga ng ari-arian na ito:

Kaunting teorya pa.

Ang exponential equation ay isang equation na naglalaman ng variable sa exponent, ibig sabihin, ang equation na ito ay nasa anyo:

f(x) isang expression na naglalaman ng variable

Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga exponential equation

1. Bilang resulta ng mga pagbabago, ang equation ay maaaring bawasan sa anyo:

Pagkatapos ay inilapat namin ang ari-arian:

2. Kapag nakakuha ng equation ng form isang f (x) = b ang kahulugan ng logarithm ay ginagamit, nakukuha natin:

3. Bilang resulta ng mga pagbabago, maaari kang makakuha ng equation ng form:

Inilapat ang logarithm:

Ipahayag at hanapin ang x.

Sa mga gawain GAMITIN ang mga opsyon ito ay sapat na upang gamitin ang unang paraan.

Iyon ay, kinakailangan upang ipakita ang kaliwa at kanang bahagi bilang mga degree na may parehong base, at pagkatapos ay tinutumbas namin ang mga tagapagpahiwatig at lutasin ang karaniwan linear equation.

Isaalang-alang ang mga equation:

Hanapin ang ugat ng Equation 4 1-2x = 64.

Ito ay kinakailangan upang matiyak na sa kaliwa at tamang bahagi ay exponential expression na may isang base. Maaari nating katawanin ang 64 bilang 4 sa kapangyarihan ng 3. Nakukuha natin ang:

4 1–2x = 4 3

1 - 2x = 3

– 2x = 2

x = - 1

Pagsusuri:

4 1–2 (–1) = 64

4 1 + 2 = 64

4 3 = 64

64 = 64

Sagot: -1

Hanapin ang ugat ng equation 3 x-18 = 1/9.

Ito ay kilala na

Kaya 3 x-18 = 3 -2

Ang mga base ay pantay-pantay, maaari nating ipantay ang mga tagapagpahiwatig:

x - 18 \u003d - 2

x = 16

Pagsusuri:

3 16–18 = 1/9

3 –2 = 1/9

1/9 = 1/9

Sagot: 16

Hanapin ang ugat ng equation:

Katawanin natin ang fraction 1/64 bilang isang ikaapat hanggang sa ikatlong kapangyarihan:

2x - 19 = 3

2x = 22

x = 11

Pagsusuri:

Sagot: 11

Hanapin ang ugat ng equation:

Katawanin natin ang 1/3 bilang 3 -1, at 9 bilang 3 squared, makuha natin ang:

(3 –1) 8–2x = 3 2

3 –1∙(8–2х) = 3 2

3 -8 + 2x \u003d 3 2

Ngayon ay maaari nating itumbas ang mga tagapagpahiwatig:

– 8+2x = 2

2x = 10

x = 5

Pagsusuri:

Sagot: 5

26654. Hanapin ang ugat ng equation:

Desisyon:

Sagot: 8.75

Sa katunayan, sa anumang antas na itinaas natin positibong numero a, walang paraan na makakakuha tayo ng negatibong numero.

Anumang exponential equation pagkatapos ng naaangkop na mga pagbabago ay bumababa sa paglutas ng isa o higit pang mga simple.Sa seksyong ito, isasaalang-alang din natin ang solusyon ng ilang mga equation, huwag palampasin ito!Iyon lang. Good luck sa iyo!

Taos-puso, Alexander Krutitskikh.

P.S: Magpapasalamat ako kung sasabihin mo ang tungkol sa site sa mga social network.

Kagamitan:

• isang kompyuter,
• multimedia projector,
• screen,
• Appendix 1(slide presentation sa PowerPoint) "Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga exponential equation"
• Appendix 2(Ang solusyon ng equation ng uri na "Tatlo iba't ibang batayan degrees" sa Word)
• Annex 3(handout sa Word para sa praktikal na gawain).
• Appendix 4(handout sa Word para sa takdang-aralin).

Sa panahon ng mga klase

1. Yugto ng organisasyon

• mensahe ng paksa ng aralin (nakasulat sa pisara),
• ang pangangailangan para sa isang pangkalahatang aralin sa mga baitang 10-11:

Ang yugto ng paghahanda ng mga mag-aaral para sa aktibong asimilasyon ng kaalaman

Pag-uulit

Kahulugan.

Ang exponential equation ay isang equation na naglalaman ng variable sa exponent (sagot ng mag-aaral).

Tala ng guro. Ang mga exponential equation ay nabibilang sa klase ng transendental equation. Itong mahirap bigkasin na pangalan ay nagmumungkahi na ang mga naturang equation, sa pangkalahatan, ay hindi malulutas sa anyo ng mga formula.

Maaari lamang silang malutas sa pamamagitan ng humigit-kumulang numerical na pamamaraan sa mga computer. Ngunit ano ang tungkol sa mga tanong sa pagsusulit? Ang buong lansihin ay binubuo ng tagasuri ang problema sa paraang umamin lamang ito ng isang analytical na solusyon. Sa madaling salita, maaari mong (at dapat!) gawin ang mga katulad na pagbabagong-anyo na nagpapababa sa ibinigay na exponential equation sa pinakasimpleng exponential equation. Ito ang pinakasimpleng equation at tinatawag na: ang pinakasimpleng exponential equation. Ito ay nalutas logarithm.

Ang sitwasyon na may solusyon ng isang exponential equation ay kahawig ng isang paglalakbay sa isang maze, na espesyal na imbento ng compiler ng problema. Mula sa mga pangkalahatang pagsasaalang-alang na ito, sumusunod ang mga medyo tiyak na rekomendasyon.

Para sa matagumpay na solusyon ang mga exponential equation ay kinakailangan:

1. Hindi lamang aktibong nakakaalam ng lahat ng exponential na pagkakakilanlan, ngunit nakakahanap din ng mga hanay ng mga halaga ng variable kung saan tinukoy ang mga pagkakakilanlan na ito, upang kapag ginagamit ang mga pagkakakilanlan na ito, ang isa ay hindi nakakakuha ng hindi kinakailangang mga ugat, at higit pa, hindi mawawala. mga solusyon sa equation.

2. Aktibong alamin ang lahat ng exponential identity.

3. Malinaw, nang detalyado at walang mga pagkakamali, magsagawa ng mathematical transformations ng mga equation (maglipat ng mga termino mula sa isang bahagi ng equation patungo sa isa pa, hindi nakakalimutang baguhin ang sign, bawasan ang fraction sa isang common denominator, atbp.). Ito ay tinatawag na mathematical culture. Kasabay nito, ang mga kalkulasyon mismo ay dapat na awtomatikong gawin ng mga kamay, at dapat isipin ng ulo ang pangkalahatang gabay na thread ng solusyon. Kinakailangang gumawa ng mga pagbabago nang maingat at detalyado hangga't maaari. Ito lang ang magagarantiya ng tama, walang error na solusyon. At tandaan: maliit error sa aritmetika maaari lamang lumikha ng isang transendental na equation, na sa prinsipyo ay hindi malulutas nang analytical. Naligaw ka pala at tumakbo ka sa dingding ng labirint.

4. Alamin ang mga paraan ng paglutas ng mga problema (iyon ay, alamin ang lahat ng mga landas sa pamamagitan ng labirint ng solusyon). Para sa tamang oryentasyon sa bawat yugto, kakailanganin mong (sinasadya o intuitively!):

• tukuyin uri ng equation;
• tandaan ang kaukulang uri paraan ng solusyon mga gawain.

Ang yugto ng generalization at systematization ng pinag-aralan na materyal.

Ang guro, kasama ang mga mag-aaral, kasama ang paglahok ng isang computer, ay nagsasagawa ng isang pangkalahatang-ideya na pag-uulit ng lahat ng mga uri ng mga exponential equation at mga pamamaraan para sa paglutas ng mga ito, gumuhit pangkalahatang pamamaraan. (Gamit ang isang tutorial programa sa kompyuter L.Ya. Borevsky "Course of Mathematics - 2000", ang may-akda ng pagtatanghal sa PowerPoint - T.N. Kuptsov.)

kanin. isa. Ang figure ay nagpapakita ng pangkalahatang scheme ng lahat ng uri ng exponential equation.

Tulad ng makikita mula sa diagram na ito, ang diskarte para sa paglutas ng mga exponential equation ay upang bawasan ang exponential equation na ito sa equation, una sa lahat, na may parehong mga base , at pagkatapos - at na may parehong exponents.

Ang pagkakaroon ng pagkuha ng isang equation na may parehong mga base at exponents, papalitan mo ang degree na ito ng isang bagong variable at makakuha ng isang simpleng algebraic equation (kadalasan, fractional rational o quadratic) na may kinalaman sa bagong variable na ito.

Sa pamamagitan ng paglutas ng equation na ito at paggawa ng inverse substitution, magkakaroon ka ng isang set ng mga simpleng exponential equation na nalutas sa pangkalahatang pananaw gamit ang logarithms.

Magkahiwalay ang mga equation kung saan ang mga produkto lamang ng (pribadong) kapangyarihan ang nangyayari. Gamit ang mga exponential identity, posibleng dalhin agad ang mga equation na ito sa isang base, sa partikular, sa pinakasimpleng exponential equation.

Isaalang-alang kung paano nalulutas ang isang exponential equation na may tatlong magkakaibang base ng degree.

(Kung ang guro ay may pagtuturo sa computer program ni L.Ya. Borevsky "Course of Mathematics - 2000", pagkatapos ay natural na nagtatrabaho kami sa disk, kung hindi, maaari mong i-print ang ganitong uri ng equation para sa bawat desk mula dito, na ipinakita sa ibaba .)

kanin. 2. Plano ng solusyon sa equation.

kanin. 3. Nagsisimulang lutasin ang equation

kanin. 4. Ang dulo ng solusyon ng equation.

Gumagawa ng praktikal na gawain

Tukuyin ang uri ng equation at lutasin ito.

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

Pagbubuod ng aralin

Pagmamarka ng isang aralin.

pagtatapos ng aralin

Para sa guro

Scheme ng mga sagot sa praktikal na gawain.

Pagsasanay: pumili ng mga equation mula sa listahan ng mga equation tinukoy na uri(Ilagay ang sagot na numero sa talahanayan):

1. Tatlong magkakaibang base
2. Dalawang magkaibang base - magkaibang exponent
3. Mga base ng kapangyarihan - kapangyarihan ng isang numero
4. Parehong base, iba't ibang exponent
5. Parehong exponent base - parehong exponent
6. Produkto ng mga kapangyarihan
7. Dalawang magkaibang base ng mga degree - ang parehong mga tagapagpahiwatig
8. Ang pinakasimpleng exponential equation

1. (produkto ng kapangyarihan)

2. (parehong base - magkaibang exponents)

Sa yugto ng paghahanda para sa panghuling pagsubok, kailangang pagbutihin ng mga mag-aaral sa high school ang kanilang kaalaman sa paksang "Exponential Equation". Ang karanasan ng mga nakaraang taon ay nagpapahiwatig na ang gayong mga gawain ay nagdudulot ng ilang mga paghihirap para sa mga mag-aaral. Samakatuwid, ang mga mag-aaral sa high school, anuman ang kanilang antas ng paghahanda, ay kailangang maingat na makabisado ang teorya, kabisaduhin ang mga formula at maunawaan ang prinsipyo ng paglutas ng mga naturang equation. Ang pagkakaroon ng natutunan upang makayanan ang ganitong uri ng mga gawain, ang mga nagtapos ay makakaasa matataas na marka kapag pumasa sa pagsusulit sa matematika.

Maghanda para sa pagsusulit sa pagsusulit kasama si Shkolkovo!

Kapag inuulit ang mga materyal na sakop, maraming mga mag-aaral ang nahaharap sa problema sa paghahanap ng mga formula na kailangan upang malutas ang mga equation. Ang aklat-aralin sa paaralan ay hindi palaging nasa kamay, at ang pagpili kinakailangang impormasyon sa paksa sa Internet ay tumatagal ng mahabang panahon.

Iniimbitahan ng portal na pang-edukasyon ng Shkolkovo ang mga mag-aaral na gamitin ang aming base ng kaalaman. Kami ay ganap na nagpapatupad bagong paraan paghahanda para sa panghuling pagsubok. Ang pag-aaral sa aming site, magagawa mong matukoy ang mga puwang sa kaalaman at bigyang-pansin ang tiyak na mga gawaing nagdudulot ng pinakamalaking paghihirap.

Ang mga guro ng "Shkolkovo" ay nakolekta, nag-systematize at ipinakita ang lahat ng kailangan para sa isang matagumpay pagpasa sa pagsusulit materyal sa pinakasimple at naa-access na anyo.

Ang mga pangunahing kahulugan at formula ay ipinakita sa seksyong "Theoretical Reference".

Para sa isang mas mahusay na asimilasyon ng materyal, inirerekomenda namin na sanayin mo ang mga takdang-aralin. Maingat na suriin ang mga halimbawa ng mga exponential equation na may mga solusyon na ipinakita sa pahinang ito upang maunawaan ang algorithm ng pagkalkula. Pagkatapos nito, magpatuloy sa mga gawain sa seksyong "Mga Catalog". Maaari kang magsimula sa pinakamadaling gawain o dumiretso sa paglutas ng mga kumplikadong exponential equation na may ilang hindi alam o . Ang database ng mga pagsasanay sa aming website ay patuloy na pupunan at ina-update.

Ang mga halimbawang iyon na may mga tagapagpahiwatig na nagdulot sa iyo ng mga paghihirap ay maaaring idagdag sa "Mga Paborito". Upang mabilis mong mahanap ang mga ito at talakayin ang solusyon sa guro.

Upang matagumpay na makapasa sa pagsusulit, mag-aral sa portal ng Shkolkovo araw-araw!

Sa artikulong ito, makikilala mo ang lahat ng uri mga exponential equation at mga algorithm para sa paglutas ng mga ito, matutong kilalanin kung anong uri exponential equation, na kailangan mong lutasin, at ilapat ang naaangkop na paraan upang malutas ito. Detalyadong solusyon ng mga halimbawa mga exponential equation bawat uri ay makikita mo sa kaukulang VIDEO TUTORIALS.

Ang exponential equation ay isang equation kung saan ang hindi alam ay nakapaloob sa exponent.

Bago mo simulan ang paglutas ng exponential equation, kapaki-pakinabang na gawin ang ilan paunang aksyon , na maaaring lubos na mapadali ang kurso ng solusyon nito. Ito ang mga aksyon:

1. I-factorize ang lahat ng mga base ng kapangyarihan sa pangunahing mga kadahilanan.

2. Ipakita ang mga ugat bilang isang antas.

3. Ang mga desimal na praksiyon ay kumakatawan sa anyong ordinaryo.

4. magkahalong numero isulat bilang improper fractions.

Malalaman mo ang mga benepisyo ng mga pagkilos na ito sa proseso ng paglutas ng mga equation.

Isaalang-alang ang mga pangunahing uri mga exponential equation at mga algorithm para sa kanilang solusyon.

1. Uri ng equation

Ang equation na ito ay katumbas ng equation

Panoorin ang VIDEO na ito upang malutas ang equation ng ganitong uri.

2. Uri ng equation

Sa mga equation ng ganitong uri:

b) ang mga coefficient para sa hindi alam sa exponent ay pantay.

Upang malutas ang equation na ito, kailangan mong i-bracket ang multiplier sa pinakamaliit na antas.

Isang halimbawa ng paglutas ng isang equation ng ganitong uri:

tingnan mo ang VIDEO.

3. Uri ng equation

Ang mga uri ng mga equation na ito ay naiiba

a) lahat ng degree ay may parehong base

b) ang mga coefficient para sa hindi alam sa exponent ay iba.

Ang mga equation ng ganitong uri ay nalulutas gamit ang pagbabago ng mga variable. Bago ipakilala ang isang kapalit, ito ay kanais-nais na mapupuksa ang mga libreng termino sa exponent. (, , atbp)

Hanapin sa VIDEO ang solusyon ng ganitong uri ng equation:

4. Mga homogenous na equation mabait

Mga natatanging katangian ng homogenous na equation:

a) lahat ng monomial ay may parehong antas,

b) ang libreng termino ay katumbas ng zero,

c) ang equation ay naglalaman ng mga kapangyarihan na may dalawang magkaibang base.

Ang mga homogenous na equation ay nalulutas ng isang katulad na algorithm.

Upang malutas ang ganitong uri ng equation, hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng (maaaring hatiin ng o ng )

Pansin! Kapag hinahati ang kanan at kaliwang bahagi ng equation sa pamamagitan ng isang expression na naglalaman ng hindi alam, maaari mong mawala ang mga ugat. Samakatuwid, kinakailangang suriin kung ang mga ugat ng expression kung saan hinahati natin ang parehong bahagi ng equation ay ang mga ugat ng orihinal na equation.

Sa aming kaso, dahil ang expression ay hindi katumbas ng zero para sa anumang mga halaga ng hindi alam, maaari nating hatiin ito nang walang takot. Hinahati namin ang kaliwang bahagi ng equation sa pamamagitan ng terminong expression na ito sa pamamagitan ng termino. Nakukuha namin:

Bawasan ang numerator at denominator ng pangalawa at pangatlong fraction:

Magpakilala tayo ng kapalit:

At title="(!LANG:t>0">при всех !} pinahihintulutang halaga hindi kilala.

Kunin quadratic equation:

Lutasin natin ang quadratic equation, hanapin ang mga halaga, na tumutugon sa kundisyon na title="(!LANG:t>0">, а затем вернемся к исходному неизвестному.!}

Panoorin sa VIDEO detalyadong solusyon homogenous equation:

5. Uri ng equation

Kapag nilulutas ang equation na ito, magpapatuloy tayo mula sa katotohanan na ang title="(!LANG:f(x)>0">!}

Ang orihinal na pagkakapantay-pantay ay nasa dalawang kaso:

1. Kung , dahil ang 1 ay katumbas ng 1 sa anumang kapangyarihan,

2. Sa ilalim ng dalawang kondisyon:

Title="(!LANG:delim(lbrace)(matrix(2)(1)((f(x)>0) (g(x)=h(x)) (x-8y+9z=0))) ( )">!}

Panoorin ang VIDEO para sa isang detalyadong solusyon ng equation

Ano ang isang exponential equation? Mga halimbawa.

Kaya, isang exponential equation ... Isang bagong natatanging eksibit sa aming pangkalahatang eksibisyon ng isang malawak na uri ng mga equation!) Tulad ng halos palaging nangyayari, ang keyword ng anumang bagong term sa matematika ay ang katumbas na pang-uri na nagpapakilala dito. Kaya eto din. keyword sa terminong "exponential equation" ay ang salita "nagpapakita". Ano ang ibig sabihin nito? Ang ibig sabihin ng salitang ito ay ang hindi alam na (x). sa mga tuntunin ng anumang antas. At doon lang! Ito ay lubhang mahalaga.

Halimbawa, ang mga simpleng equation na ito:

3 x +1 = 81

5x + 5x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

O kahit na ang mga halimaw na ito:

2 sin x = 0.5

Mangyaring bigyang-pansin ang isa mahalagang bagay: sa bakuran degrees (ibaba) - mga numero lamang. Ngunit sa mga tagapagpahiwatig degrees (itaas) - isang malawak na pagkakaiba-iba ng mga expression na may x. Ganap na anuman.) Ang lahat ay nakasalalay sa tiyak na equation. Kung, biglang, ang x ay lumabas sa equation sa ibang lugar, bilang karagdagan sa indicator (sabihin, 3 x \u003d 18 + x 2), kung gayon ang gayong equation ay magiging isang equation na. halo-halong uri . Ang ganitong mga equation ay walang malinaw na mga panuntunan para sa paglutas. Samakatuwid, sa ang araling ito hindi natin sila isasaalang-alang. Sa kasiyahan ng mga mag-aaral.) Dito ay isasaalang-alang lamang natin ang mga exponential equation sa isang "dalisay" na anyo.

Sa pangkalahatan, kahit na ang mga purong exponential equation ay hindi malinaw na nalutas sa lahat ng kaso at hindi palaging. Ngunit kabilang sa mayamang iba't ibang mga exponential equation, mayroong ibang mga klase na maaari at dapat matugunan. Ito ang mga uri ng equation na isasaalang-alang namin sa iyo. At tiyak na malulutas namin ang mga halimbawa.) Kaya't kami ay tumira nang kumportable at - sa kalsada! Tulad ng sa mga "shooters" ng computer, dadaan ang ating paglalakbay sa mga antas.) Mula elementarya hanggang simple, mula simple hanggang medium at mula medium hanggang complex. Sa daan, maghihintay ka rin para sa isang lihim na antas - mga trick at pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi karaniwang halimbawa. Ang mga hindi mo mababasa tungkol sa karamihan mga aklat-aralin sa paaralan… Well, sa huli, siyempre, naghihintay para sa iyo panghuling boss parang bahay.)

Level 0. Ano ang pinakasimpleng exponential equation? Solusyon ng pinakasimpleng exponential equation.

Upang magsimula, tingnan natin ang ilang lantad na elementarya. Kailangan mong magsimula sa isang lugar, tama? Halimbawa, ang equation na ito:

2 x = 2 2

Kahit na walang anumang mga teorya, sa pamamagitan ng simpleng lohika at bait malinaw na x = 2. Wala namang ibang paraan diba? Walang ibang halaga ng x ang mabuti ... Ngayon ay ibaling natin ang ating pansin sa rekord ng desisyon ang cool na exponential equation na ito:

2 x = 2 2

X = 2

Anong nangyari sa atin? At nangyari ang mga sumusunod. Kami, sa katunayan, ay kumuha at ... itinapon lamang ang parehong mga base (dalawa)! Ganap na itinapon. At, kung ano ang pleases, pindutin ang bull's-eye!

Oo nga, kung sa exponential equation sa kaliwa at kanan ay pareho mga numero sa anumang antas, kung gayon ang mga numerong ito ay maaaring itapon at itumbas lamang ang mga exponent. Pinapayagan ng matematika.) At pagkatapos ay maaari kang magtrabaho nang hiwalay sa mga tagapagpahiwatig at lutasin ang isang mas simpleng equation. Ang galing diba?

Iyon ay pangunahing ideya solusyon ng anuman (oo, eksaktong anuman!) exponential equation: sa pamamagitan ng magkatulad na pagbabago ito ay kinakailangan upang matiyak na ang kaliwa at kanan sa equation ay pareho base na mga numero sa iba't ibang grado. At pagkatapos ay maaari mong ligtas na alisin ang parehong mga base at ipantay ang mga exponent. At gumana sa isang mas simpleng equation.

At ngayon naaalala natin ang panuntunang bakal: posibleng tanggalin ang parehong mga base kung at kung sa equation sa kaliwa at sa kanan ang mga base number ay sa ipinagmamalaking kalungkutan.

Ano ang ibig sabihin nito, sa napakagandang paghihiwalay? Nangangahulugan ito na walang anumang kapitbahay at coefficient. paliwanag ko.

Halimbawa, sa equation

3 3 x-5 = 3 2 x +1

Hindi mo matatanggal ang triplets! Bakit? Dahil sa kaliwa mayroon kaming hindi lamang isang malungkot na tatlo sa antas, ngunit trabaho 3 3 x-5 . Isang dagdag na triple ang humahadlang: isang coefficient, naiintindihan mo.)

Ang parehong ay maaaring sinabi tungkol sa equation

5 3 x = 5 2 x +5 x

Dito, din, ang lahat ng mga base ay pareho - lima. Ngunit sa kanan ay wala kaming isang antas ng lima: mayroong kabuuan ng mga degree!

Sa madaling salita, may karapatan kaming tanggalin ang parehong mga base lamang kapag ganito ang hitsura ng aming exponential equation at ganito lang:

af (x) = isang g (x)

Ang ganitong uri ng exponential equation ay tinatawag ang pinakasimple. O siyentipiko, kanonikal . At anuman ang baluktot na equation sa harap natin, sa isang paraan o iba pa, babawasan natin ito sa isang simpleng (canonical) na anyo. O, sa ilang mga kaso, sa pinagsama-samang mga equation ng ganitong uri. Pagkatapos ang aming pinakasimpleng equation ay maaaring muling isulat sa pangkalahatang anyo tulad ng sumusunod:

F(x) = g(x)

At ayun na nga. Ito ay katumbas na pagbabago. Kasabay nito, ganap na anumang mga expression na may x ay maaaring gamitin bilang f(x) at g(x). Kahit ano.

Marahil ay magtatanong ang isang partikular na mapagtanong na mag-aaral: bakit sa mundo ay napakadali at simpleng itinatapon natin ang parehong mga base sa kaliwa at kanan at tinutumbasan ang mga exponent? Intuition sa pamamagitan ng intuwisyon, ngunit biglang, sa ilang equation at para sa ilang kadahilanan diskarteng ito mali pala? Ito ba ay palaging legal na magtapon ng parehong mga base? Sa kasamaang palad, para sa isang mahigpit na mathematical na sagot dito interes Magtanong kailangan mong pumasok nang malalim at seryoso pangkalahatang teorya gawi ng device at function. At medyo mas partikular - sa hindi pangkaraniwang bagay mahigpit na monotonicity. Sa partikular, ang mahigpit na monotonicity exponential functiony= isang x. Dahil ito exponential function at ang mga katangian nito ay sumasailalim sa solusyon ng mga exponential equation, oo.) Ang isang detalyadong sagot sa tanong na ito ay ibibigay sa isang hiwalay na espesyal na aralin na nakatuon sa paglutas ng kumplikado hindi karaniwang mga equation gamit ang monotonicity ng iba't ibang function.)

Upang ipaliwanag ang puntong ito nang detalyado ngayon ay upang alisin lamang ang utak ng isang karaniwang mag-aaral at takutin siya nang maaga sa isang tuyo at mabigat na teorya. Hindi ko gagawin ito.) Para sa aming pangunahing sa sandaling ito gawain - matutong lutasin ang mga exponential equation! Ang pinakasimpleng! Samakatuwid, hanggang sa pawisan tayo at matapang na itapon ang parehong mga dahilan. Ito ay pwede, kunin ang aking salita para dito!) At pagkatapos ay nalutas na natin ang katumbas na equation na f (x) = g (x). Bilang isang tuntunin, ito ay mas simple kaysa sa orihinal na exponential.

Ipinapalagay, siyempre, na alam na ng mga tao kung paano lutasin ang hindi bababa sa , at mga equation, na wala nang x sa mga tagapagpahiwatig.) Sino ang hindi pa rin alam kung paano, huwag mag-atubiling isara ang pahinang ito, maglakad kasama ang naaangkop na mga link at punan ang ang mga lumang gaps. Kung hindi, mahihirapan ka, oo ...

Ako ay tahimik tungkol sa hindi makatwiran, trigonometriko at iba pang mga brutal na equation na maaari ding lumabas sa proseso ng pag-aalis ng mga base. Ngunit huwag maalarma, sa ngayon ay hindi namin isasaalang-alang ang lantad na tin sa mga tuntunin ng mga degree: masyadong maaga. Magsasanay lamang kami sa pinakasimpleng mga equation.)

Ngayon isaalang-alang ang mga equation na nangangailangan ng ilang karagdagang pagsisikap upang bawasan ang mga ito sa pinakasimple. Upang makilala sila, tawagan natin sila simpleng exponential equation. Kaya't lumipat tayo sa susunod na antas!

Level 1. Mga simpleng exponential equation. Kilalanin ang mga degree! natural na mga tagapagpahiwatig.

Ang mga pangunahing tuntunin sa paglutas ng anumang mga exponential equation ay mga tuntunin sa pagharap sa mga degree. Kung wala ang kaalaman at kasanayang ito, walang gagana. Naku. Kaya, kung may mga problema sa mga degree, pagkatapos ay para sa isang panimula ay malugod kang tinatanggap. Bilang karagdagan, kailangan din natin. Ang mga pagbabagong ito (kasing dami ng dalawa!) ay ang batayan para sa paglutas ng lahat ng equation ng matematika sa pangkalahatan. At hindi lang showcases. Kaya, kung sino man ang nakalimutan, mamasyal din sa link: I put them on for a reason.

Ngunit ang mga aksyon lamang na may kapangyarihan at magkatulad na pagbabago ay hindi sapat. Nangangailangan din ito ng personal na pagmamasid at katalinuhan. Kailangan natin ng parehong batayan, hindi ba? Kaya't sinusuri namin ang halimbawa at hinahanap ang mga ito sa isang tahasan o disguised form!

Halimbawa, ang equation na ito:

3 2x – 27x +2 = 0

Unang tingin sa bakuran. Sila ay magkaiba! Tatlo at dalawampu't pito. Ngunit masyado pang maaga para mataranta at mawalan ng pag-asa. Oras na para tandaan iyon

27 = 3 3

Ang mga numero 3 at 27 ay magkamag-anak sa degree! Bukod dito, mga kamag-anak.) Samakatuwid, mayroon kaming lahat ng karapatan na isulat:

27 x +2 = (3 3) x+2

At ngayon ikinonekta namin ang aming kaalaman tungkol sa mga aksyon na may kapangyarihan(at binalaan kita!). Mayroong isang napaka-kapaki-pakinabang na formula:

(am) n = isang mn

Ngayon kung patakbuhin mo ito sa kurso, sa pangkalahatan ay magiging maayos ito:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3(x +2)

Ang orihinal na halimbawa ay ganito na ngayon:

3 2 x – 3 3(x +2) = 0

Mahusay, ang mga base ng mga degree ay nakahanay. Kung ano ang aming pinagsikapan. Ang kalahati ng trabaho ay tapos na.) At ngayon inilunsad namin ang pangunahing pagbabago ng pagkakakilanlan - inililipat namin ang 3 3 (x +2) sa kanan. Walang nagkansela ng elementarya na pagkilos ng matematika, oo.) Nakukuha namin ang:

3 2 x = 3 3(x +2)

Ano ang nagbibigay sa atin ng ganitong uri ng equation? At ang katotohanan na ngayon ang aming equation ay nabawasan sa canonical form: nakatayo sa kaliwa't kanan parehong mga numero(triple) sa kapangyarihan. At parehong triplets - sa kahanga-hangang paghihiwalay. Matapang naming inalis ang triplets at makuha ang:

2x = 3(x+2)

Malutas namin ito at makakuha ng:

X=-6

Hanggang dito na lang. Ito ang tamang sagot.)

At ngayon naiintindihan na natin ang takbo ng desisyon. Ano ang nagligtas sa atin sa halimbawang ito? Kami ay nailigtas sa pamamagitan ng kaalaman sa mga antas ng triple. Paano eksakto? Kami nakilala number 27 naka-encrypt na tatlo! Ang trick na ito (pag-encrypt ng parehong base sa ilalim magkaibang numero) ay isa sa pinakasikat sa mga exponential equation! Maliban kung ito ang pinakasikat. Oo, at gayundin, sa pamamagitan ng paraan. Iyon ang dahilan kung bakit ang pagmamasid at ang kakayahang makilala ang mga kapangyarihan ng iba pang mga numero sa mga numero ay napakahalaga sa mga exponential equation!

Praktikal na payo:

Kailangan mong malaman ang kapangyarihan ng mga sikat na numero. Sa mukha!

Siyempre, kahit sino ay maaaring itaas ang dalawa sa ikapitong kapangyarihan o tatlo hanggang ikalima. Wala sa isip ko, kaya kahit sa draft. Ngunit sa mga exponential equation, mas madalas na kinakailangan na huwag itaas sa isang kapangyarihan, ngunit, sa kabaligtaran, upang malaman kung anong numero at hanggang saan ang nakatago sa likod ng numero, sabihin nating, 128 o 243. At ito ay higit pa kumplikado kaysa sa simpleng exponentiation, kita mo. Pakiramdam ang pagkakaiba, tulad ng sinasabi nila!

Dahil ang kakayahang makilala ang mga degree sa mukha ay kapaki-pakinabang hindi lamang sa antas na ito, kundi pati na rin sa mga sumusunod, narito ang isang maliit na gawain para sa iyo:

Tukuyin kung anong mga kapangyarihan at kung anong mga numero ang mga numero:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Mga sagot (siyempre nakakalat):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

Oo Oo! Huwag magtaka na mas maraming sagot kaysa mga gawain. Halimbawa, ang 2 8 , 4 4 at 16 2 ay 256 lahat.

Antas 2. Mga simpleng exponential equation. Kilalanin ang mga degree! Negatibo at fractional exponents.

Sa antas na ito, ginagamit na natin nang lubusan ang ating kaalaman sa mga degree. Ibig sabihin, kasali tayo dito kaakit-akit na proseso negatibo at fractional exponents! Oo Oo! Kailangan nating bumuo ng kapangyarihan, tama ba?

Halimbawa, ang kakila-kilabot na equation na ito:

Muli, tingnan muna ang mga pundasyon. Iba ang mga base! At sa pagkakataong ito ay hindi kahit na malayo katulad na kaibigan sa isang kaibigan! 5 at 0.04... At para maalis ang mga base, pareho ang kailangan... Ano ang gagawin?

ayos lang! Sa katunayan, ang lahat ay pareho, ang koneksyon sa pagitan ng lima at 0.04 ay hindi gaanong nakikita. Paano tayo lalabas? At lumipat tayo sa numerong 0.04 hanggang ordinaryong fraction! At doon, makikita mo, ang lahat ay nabuo.)

0,04 = 4/100 = 1/25

Wow! Ang 0.04 pala ay 1/25! Well, sinong mag-aakala!)

Well, paano? Ngayon ang koneksyon sa pagitan ng mga numero 5 at 1/25 ay mas madaling makita? Iyon na iyon...

At ngayon, ayon sa mga patakaran ng mga pagpapatakbo na may mga kapangyarihan na may negatibong tagapagpahiwatig maaaring isulat gamit ang mahigpit na kamay:

Iyan ay mahusay. Kaya nakarating kami sa parehong base - lima. Pinapalitan namin ngayon ang hindi komportable na numero 0.04 sa equation ng 5 -2 at makuha ang:

Muli, ayon sa mga patakaran ng mga pagpapatakbo na may mga kapangyarihan, maaari na tayong sumulat:

(5 -2) x -1 = 5 -2(x -1)

Kaso nga lang, I remind (bigla, sinong hindi nakakaalam) na mga tuntunin sa lupa ang mga aksyon na may kapangyarihan ay may bisa para sa anuman mga tagapagpahiwatig! Kasama ang para sa mga negatibo.) Kaya huwag mag-atubiling kunin at i-multiply ang mga indicator (-2) at (x-1) ayon sa kaukulang tuntunin. Ang aming equation ay nagiging mas mahusay at mas mahusay:

Lahat! Bukod sa mga lonely five sa mga degree sa kaliwa't kanan, wala nang iba. Ang equation ay nabawasan sa canonical form. At pagkatapos - kasama ang knurled track. Inalis namin ang lima at tinutumbasan ang mga tagapagpahiwatig:

x 2 –6 x+5=-2(x-1)

Ang halimbawa ay halos tapos na. Ang elementarya na matematika ng mga gitnang klase ay nananatili - binubuksan namin (tama!) Ang mga bracket at kinokolekta ang lahat sa kaliwa:

x 2 –6 x+5 = -2 x+2

x 2 –4 x+3 = 0

Malutas namin ito at makakuha ng dalawang ugat:

x 1 = 1; x 2 = 3

Iyon lang.)

Ngayon isipin natin muli. AT halimbawang ito kailangan naming kilalanin muli ang parehong numero sa iba't ibang antas! Namely, upang makita ang naka-encrypt na limang sa numero 0.04. At sa pagkakataong ito, sa negatibong antas! Paano natin ito nagawa? Sa paglipat - walang paraan. Ngunit pagkatapos ng paglipat mula sa decimal fraction 0.04 sa ordinaryong fraction 1/25 lahat ay naka-highlight! At pagkatapos ang buong desisyon ay naging parang orasan.)

Samakatuwid, isa pang berdeng praktikal na payo.

Kung mayroong mga decimal fraction sa exponential equation, pagkatapos ay lumipat tayo mula sa mga decimal fraction patungo sa mga ordinaryong. AT mga karaniwang fraction mas madaling makilala ang mga kapangyarihan ng maraming sikat na numero! Pagkatapos ng pagkilala, lumipat kami mula sa mga fraction patungo sa mga kapangyarihan na may mga negatibong exponent.

Tandaan na ang gayong pagkukunwari sa mga exponential equation ay nangyayari nang napakadalas! At ang tao ay wala sa paksa. Siya ay tumitingin, halimbawa, sa mga numerong 32 at 0.125 at nagagalit. Ito ay hindi alam sa kanya na ito ay ang parehong deuce, lamang sa iba't ibang antas… Ngunit nasa paksa ka na!)

Lutasin ang equation:

Sa! Mukhang isang tahimik na horror ... Gayunpaman, ang mga pagpapakita ay mapanlinlang. Ito ang pinakasimpleng exponential equation, sa kabila ng nakakatakot hitsura. At ngayon ipapakita ko ito sa iyo.)

Una, nakikitungo kami sa lahat ng mga numero na nakaupo sa mga base at sa mga coefficient. Halatang magkaiba sila, oo. Ngunit kami pa rin ang kumuha ng panganib at sinusubukang gawin ang mga ito pareho! Subukan nating makarating sa ang parehong numero sa iba't ibang antas. At, mas mabuti, ang bilang ng pinakamaliit na posible. Kaya, simulan natin ang pag-decipher!

Well, ang lahat ay malinaw sa apat nang sabay-sabay - ito ay 2 2 . Kaya, mayroon na.)

Sa isang bahagi ng 0.25 - hindi pa ito malinaw. Kailangan mong alamin. Gumagamit kami ng praktikal na payo - mula sa decimal hanggang karaniwan:

0,25 = 25/100 = 1/4

Mas maganda na. Sa ngayon ay malinaw na nakikita na ang 1/4 ay 2 -2. Mahusay, at ang bilang na 0.25 ay katulad din ng isang deuce.)

So far so good. Ngunit ang pinakamasamang bilang sa lahat ay nananatili - ang square root ng dalawa! Ano ang gagawin sa paminta na ito? Maaari rin ba itong ilarawan bilang kapangyarihan ng dalawa? At sino ang nakakaalam...

Buweno, muli kaming umakyat sa aming kabang-yaman ng kaalaman tungkol sa mga degree! Sa pagkakataong ito, ikinonekta natin ang ating kaalaman tungkol sa mga ugat. Mula sa kurso ng ika-9 na baitang, ikaw at ako ay kailangang magtiis na ang anumang ugat, kung ninanais, ay palaging maaaring gawing isang degree na may isang fraction.

Ganito:

Sa kaso natin:

Paano! Lumalabas na ang square root ng dalawa ay 2 1/2. Ayan yun!

ayos lang yan! Ang lahat ng aming hindi komportable na mga numero ay talagang naging isang naka-encrypt na deuce.) Hindi ako nakikipagtalo, sa isang lugar na napaka sopistikadong naka-encrypt. Ngunit pinapataas din namin ang aming propesyonalismo sa paglutas ng mga naturang cipher! At saka halata na ang lahat. Pinapalitan namin ang mga numero 4, 0.25 at ang ugat ng dalawa sa aming equation na may kapangyarihan ng dalawa:

Lahat! Ang mga batayan ng lahat ng antas sa halimbawa ay naging pareho - dalawa. At ngayon ang mga karaniwang aksyon na may mga degree ay ginagamit:

isang misang n = isang m + n

a m:a n = a m-n

(am) n = isang mn

Para sa kaliwang bahagi makakakuha ka ng:

2 -2 (2 2) 5 x -16 = 2 -2+2(5 x -16)

Para sa kanang bahagi ay magiging:

At ngayon ang aming masamang equation ay nagsimulang magmukhang ganito:

Para sa mga hindi pa nalaman kung paano eksaktong lumabas ang equation na ito, kung gayon ang tanong ay hindi tungkol sa mga exponential equation. Ang tanong ay tungkol sa mga aksyon na may kapangyarihan. I asked urgently to repeat sa mga may problema!

Narito ang linya ng pagtatapos! Ang canonical form ng exponential equation ay nakuha! Well, paano? Napaniwala ba kita na hindi ito nakakatakot? ;) Tinatanggal namin ang mga deuces at tinutumbasan ang mga tagapagpahiwatig:

Ito ay nananatiling lamang upang malutas ang linear equation na ito. paano? Sa tulong ng magkatulad na pagbabago, siyempre.) Lutasin kung ano ang mayroon na! I-multiply ang parehong bahagi ng dalawa (upang alisin ang fraction na 3/2), ilipat ang mga terminong may Xs sa kaliwa, nang walang Xs sa kanan, magdala ng mga katulad, bilangin - at ikaw ay magiging masaya!

Ang lahat ay dapat maging maganda:

X=4

Ngayon, pag-isipan nating muli ang desisyon. Sa halimbawang ito, kami ay nailigtas sa pamamagitan ng paglipat mula sa parisukat na ugat sa degree na may exponent 1/2. Bukod dito, ang gayong tusong pagbabago lamang ang nakatulong sa amin sa lahat ng dako upang maabot parehong base(dalawa), na nagligtas sa araw! At, kung hindi dahil dito, magkakaroon tayo ng bawat pagkakataon na mag-freeze magpakailanman at hindi na makayanan ang halimbawang ito, oo ...

Samakatuwid, hindi namin pinababayaan ang susunod na praktikal na payo:

Kung mayroong mga ugat sa exponential equation, pagkatapos ay pupunta tayo mula sa mga ugat patungo sa mga kapangyarihan na may mga fractional indicator. Kadalasan, ang gayong pagbabago lamang ang nagpapaliwanag sa karagdagang sitwasyon.

Siyempre, ang mga negatibo at praksyonal na kapangyarihan ay mas mahirap. natural na grado. Hindi bababa sa mga tuntunin ng visual na pang-unawa at, lalo na, pagkilala mula kanan hanggang kaliwa!

Malinaw na ang direktang pagtaas, halimbawa, ang isang dalawa sa kapangyarihan ng -3 o isang apat sa kapangyarihan ng -3/2 ay hindi ganoon. malaking problema. Para sa mga nakakaalam.)

Ngunit pumunta, halimbawa, agad na mapagtanto iyon

0,125 = 2 -3

O kaya

Dito lang ang practice at rich experience rule, oo. At, siyempre, isang malinaw na pananaw, Ano ang isang negatibo at isang fractional exponent. Pati na rin ang - praktikal na payo! Oo, oo, ang mga iyon berde.) Umaasa ako na gayunpaman ay makakatulong sila sa iyo na mas mahusay na mag-navigate sa lahat ng iba't ibang uri ng degree at makabuluhang taasan ang iyong mga pagkakataong magtagumpay! Kaya huwag natin silang pabayaan. hindi ako in vain sa berde Nagsusulat ako minsan.)

Sa kabilang banda, kung magiging "ikaw" ka kahit na may mga kakaibang kapangyarihan tulad ng negatibo at praksyonal, kung gayon ang iyong mga posibilidad sa paglutas ng mga exponential equation ay lalawak nang husto, at magagawa mo nang pangasiwaan ang halos anumang uri ng exponential equation. Well, kung wala man, 80 porsiyento ng lahat ng exponential equation - sigurado! Oo, oo, hindi ako nagbibiro!

Kaya, ang aming unang bahagi ng kakilala sa mga exponential equation ay dumating sa lohikal na konklusyon nito. At, bilang isang in-between workout, tradisyonal kong iminumungkahi na mag-solve ka nang mag-isa.)

Ehersisyo 1.

Upang ang aking mga salita tungkol sa pag-decipher ng negatibo at mga fractional na kapangyarihan hindi walang kabuluhan, ipinapanukala kong maglaro ng isang maliit na laro!

Ipahayag ang numero bilang kapangyarihan ng dalawa:

Mga sagot (magulo):

Nangyari? ayos! Pagkatapos ay gumawa kami ng isang misyon ng labanan - nilulutas namin ang pinakasimple at simpleng mga exponential equation!

Gawain 2.

Lutasin ang mga equation (lahat ng sagot ay gulo!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16x+3 = 0

Mga sagot:

x=16

x 1 = -1; x 2 = 2

x = 5

Nangyari? Sa katunayan, mas madali!

Pagkatapos ay malulutas namin ang sumusunod na laro:

(2 x +4) x -3 = 0.5 x 4 x -4

35 1-x = 0.2 - x 7 x

Mga sagot:

x 1 = -2; x 2 = 2

x = 0,5

x 1 = 3; x 2 = 5

At ang mga halimbawang ito ng natitira? ayos! Lumalaki ka! Pagkatapos ay narito ang ilang higit pang mga halimbawa para sa iyong meryenda:

Mga sagot:

x = 6

x = 13/31

x = -0,75

x 1 = 1; x 2 = 8/3

At napagpasyahan ba ito? Well, respeto! Tinatanggal ko ang aking sumbrero.) Kaya, ang aralin ay hindi walang kabuluhan, at Unang antas ang paglutas ng mga exponential equation ay maituturing na matagumpay na pinagkadalubhasaan. sa unahan - susunod na mga antas at iba pa kumplikadong mga equation! At mga bagong diskarte at diskarte. At hindi karaniwang mga halimbawa. At mga bagong sorpresa.) Lahat ng ito - sa susunod na aralin!

May hindi gumana? Kaya, malamang, ang mga problema ay nasa . O sa . O pareho sa parehong oras. Dito ako ay walang kapangyarihan. Pwede sa isa pa nag-aalok lamang ng isang bagay - huwag maging tamad at maglakad sa pamamagitan ng mga link.)

Itutuloy.)