Ang pagbabawas ng mga fraction ay kinakailangan upang dalhin ang fraction sa isang mas simpleng anyo, halimbawa, sa sagot na nakuha bilang isang resulta ng paglutas ng expression.

Pagbawas ng mga fraction, kahulugan at formula.

Ano ang pagbawas ng fraction? Ano ang ibig sabihin ng pagbabawas ng isang fraction?

Kahulugan:
Pagbabawas ng fraction- ito ang paghahati ng fraction numerator at denominator sa parehong positibong numero na hindi katumbas ng zero at isa. Bilang resulta ng pagbabawas, ang isang fraction na may mas maliit na numerator at denominator ay nakuha, katumbas ng nakaraang fraction ayon sa.

Formula ng pagbawas ng fraction pangunahing katangian ng mga rational na numero.

\(\frac(p \times n)(q \times n)=\frac(p)(q)\)

Isaalang-alang ang isang halimbawa:
Bawasan ang fraction \(\frac(9)(15)\)

Desisyon:
Maaari naming i-faction ang isang fraction sa prime factor at bawasan ang mga common factor.

\(\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(pula) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \times 1=\frac(3)(5)\)

Sagot: pagkatapos ng pagbabawas nakuha namin ang fraction \(\frac(3)(5)\). Ayon sa pangunahing pag-aari ng mga rational na numero, ang mga inisyal at nagresultang mga fraction ay pantay.

\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)

Paano bawasan ang mga fraction? Pagbawas ng isang fraction sa isang hindi mababawasan na anyo.

Upang makakuha tayo ng hindi mababawasang bahagi bilang resulta, kailangan natin hanapin ang pinakamalaking karaniwang divisor (gcd) para sa numerator at denominator ng isang fraction.

Mayroong ilang mga paraan upang mahanap ang GCD, gagamitin namin ang decomposition ng mga numero sa pangunahing mga kadahilanan sa halimbawa.

Kunin ang irreducible fraction \(\frac(48)(136)\).

Desisyon:
Hanapin ang GCD(48, 136). Isulat natin ang mga numerong 48 at 136 sa mga pangunahing salik.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
GCD(48, 136)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(48)(136)=\frac(\color(pula) (2 \times 2 \times 2) \times 2 \times 3)(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 17)=\frac(\color(red) (6) \times 2 \times 3)(\color(red) (6) \times 17)=\frac(2 \times 3)(17)=\ frac(6)(17)\)

Ang panuntunan para sa pagbabawas ng isang fraction sa isang hindi mababawasan na anyo.

1. Hanapin ang pinakamalaking karaniwang divisor para sa numerator at denominator.
2. Kailangan mong hatiin ang numerator at denominator sa pinakamalaking karaniwang divisor bilang resulta ng paghahati upang makakuha ng hindi mababawasang bahagi.

Halimbawa:
Bawasan ang fraction \(\frac(152)(168)\).

Desisyon:
Hanapin ang GCD(152, 168). Isulat natin ang mga numerong 152 at 168 sa mga pangunahing salik.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
gcd(152, 168)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(152)(168)=\frac(\color(red) (6) \times 19)(\color(red) (6) \times 21)=\frac(19)(21)\)

Sagot: Ang \(\frac(19)(21)\) ay isang irreducible fraction.

Pagpapaikli ng isang improper fraction.

Paano bawasan ang isang hindi tamang fraction?
Ang mga patakaran para sa pagbabawas ng mga praksiyon para sa wasto at hindi wastong mga praksiyon ay pareho.

Isaalang-alang ang isang halimbawa:
Bawasan ang hindi tamang fraction \(\frac(44)(32)\).

Desisyon:
Isulat natin ang numerator at denominator sa mga pangunahing salik. At pagkatapos ay binabawasan namin ang mga karaniwang kadahilanan.

\(\frac(44)(32)=\frac(\color(pula) (2 \times 2 ) \times 11)(\color(red) (2 \times 2 ) \times 2 \times 2 \times 2 )=\frac(11)(2 \times 2 \times 2)=\frac(11)(8)\)

Pagbawas ng mga pinaghalong fraction.

Ang mga pinaghalong fraction ay sumusunod sa parehong mga patakaran tulad ng mga ordinaryong fraction. Ang pinagkaiba lang ay kaya natin huwag hawakan ang buong bahagi, ngunit bawasan ang praksyonal na bahagi o I-convert ang mixed fraction sa improper fraction, bawasan at i-convert pabalik sa proper fraction.

Isaalang-alang ang isang halimbawa:
Bawasan ang pinaghalong fraction \(2\frac(30)(45)\).

Desisyon:
Lutasin natin ito sa dalawang paraan:
Unang paraan:
Isusulat namin ang fractional na bahagi sa prime factor, at hindi namin hawakan ang integer na bahagi.

\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3))(3 \times \color(red) (5 \times 3))=2\ frac(2)(3)\)

Pangalawang paraan:
Una, isinasalin natin sa isang hindi wastong bahagi, at pagkatapos ay isusulat natin ito sa mga pangunahing kadahilanan at bawasan ito. I-convert ang nagresultang improper fraction sa tamang fraction.

\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \times 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3) \times 2 \times 2)(3 \times \color(red) (3 \times 5))=\frac(2 \times 2 \times 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)

Mga kaugnay na tanong:
Maaari bang bawasan ang mga fraction kapag nagdaragdag o nagbabawas?
Sagot: hindi, kailangan mo munang magdagdag o magbawas ng mga fraction ayon sa mga patakaran, at pagkatapos ay bawasan. Isaalang-alang ang isang halimbawa:

Suriin ang expression na \(\frac(50+20-10)(20)\) .

Desisyon:
Madalas silang nagkakamali na bawasan ang parehong mga numero sa numerator at denominator sa aming kaso, ang numero 20, ngunit hindi sila mababawasan hanggang sa magsagawa ka ng karagdagan at pagbabawas.

\(\frac(50+\color(red) (20)-10)(\color(red) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \times 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)

Sa anong numero maaari mong bawasan ang isang fraction?
Sagot: Maaari mong bawasan ang isang fraction ng pinakamalaking karaniwang divisor o ang karaniwang divisor ng numerator at denominator. Halimbawa, ang fraction \(\frac(100)(150)\).

Isulat natin ang mga numerong 100 at 150 sa mga pangunahing salik.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Ang pinakamalaking karaniwang divisor ay ang bilang ng gcd(100, 150)= 2⋅5⋅5=50

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(3 \times 50)=\frac(2)(3)\)

Nakuha namin ang irreducible fraction \(\frac(2)(3)\).

Ngunit hindi kinakailangan na laging hatiin sa GCD, hindi palaging kailangan ang isang hindi mababawasang bahagi, maaari mong bawasan ang bahagi sa pamamagitan ng isang simpleng divisor ng numerator at denominator. Halimbawa, ang numerong 100 at 150 ay may karaniwang divisor 2. Bawasan natin ang fraction na \(\frac(100)(150)\) ng 2.

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(2 \times 75)=\frac(50)(75)\)

Nakuha namin ang pinababang fraction \(\frac(50)(75)\).

Anong mga fraction ang maaaring bawasan?
Sagot: Maaari mong bawasan ang mga fraction kung saan ang numerator at denominator ay may isang karaniwang divisor. Halimbawa, ang fraction \(\frac(4)(8)\). Ang numero 4 at 8 ay may numero kung saan pareho silang nahahati sa bilang na ito 2. Samakatuwid, ang nasabing fraction ay maaaring bawasan ng numero 2.

Halimbawa:
Paghambingin ang dalawang fraction na \(\frac(2)(3)\) at \(\frac(8)(12)\).

Ang dalawang fraction na ito ay pantay. Isaalang-alang ang bahaging \(\frac(8)(12)\) nang detalyado:

\(\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3) \beses 1=\frac(2)(3)\)

Mula dito nakukuha natin, \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)

Ang dalawang fraction ay pantay-pantay kung at kung ang isa sa mga ito ay nakuha sa pamamagitan ng pagbabawas ng isa pang fraction ng isang karaniwang salik ng numerator at denominator.

Halimbawa:
Bawasan ang mga sumusunod na fraction kung maaari: a) \(\frac(90)(65)\) b) \(\frac(27)(63)\) c) \(\frac(17)(100)\) d ) \(\frac(100)(250)\)

Desisyon:
a) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \times \color(red) (5) \times 3 \times 3)(\color(red) (5) \times 13)=\frac (2 \times 3 \times 3)(13)=\frac(18)(13)\)
b) \(\frac(27)(63)=\frac(\color(red) (3 \times 3) \times 3)(\color(red) (3 \times 3) \times 7)=\frac (3)(7)\)
c) \(\frac(17)(100)\) hindi mababawasan na fraction
d) \(\frac(100)(250)=\frac(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \times 2)(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \ beses 5)=\frac(2)(5)\)

Sa artikulong ito, titingnan natin mga pangunahing operasyon na may mga algebraic fraction:

• pagbawas ng fraction
• pagpaparami ng mga fraction
• paghahati ng mga fraction

Magsimula tayo sa pagdadaglat ng algebraic fractions.

parang, algorithm halata naman.

Upang bawasan ang mga algebraic fraction, kailangan

1. I-factor ang numerator at denominator ng isang fraction.

2. Bawasan ang parehong mga multiplier.

Gayunpaman, ang mga mag-aaral ay madalas na nagkakamali ng "pagbawas" hindi sa mga kadahilanan, ngunit sa mga tuntunin. Halimbawa, may mga amateur na "nagbabawas" ng mga fraction at nakakuha bilang isang resulta, na, siyempre, ay hindi totoo.

Isaalang-alang ang mga halimbawa:

1. Bawasan ang fraction:

1. Isinasali namin ang numerator ayon sa formula ng parisukat ng kabuuan, at ang denominator ayon sa formula ng pagkakaiba ng mga parisukat

2. Hatiin ang numerator at denominator sa pamamagitan ng

2. Bawasan ang fraction:

1. I-factor ang numerator. Dahil ang numerator ay naglalaman ng apat na termino, inilalapat namin ang pagpapangkat.

2. I-factor ang denominator. Ang parehong naaangkop sa pagpapangkat.

3. Isulat natin ang fraction na nakuha natin at bawasan ang parehong mga salik:

Pagpaparami ng mga algebraic fraction.

Kapag nagpaparami ng mga algebraic fractions, pinaparami natin ang numerator sa numerator, at pinaparami natin ang denominator sa denominator.

Mahalaga! Hindi kailangang magmadali upang magsagawa ng multiplikasyon sa numerator at denominator ng isang fraction. Pagkatapos nating maisulat ang produkto ng mga numerator ng mga fraction sa numerator, at ang produkto ng mga denominator sa denominator, kailangan nating i-factor ang bawat salik at bawasan ang fraction.

Isaalang-alang ang mga halimbawa:

3. Pasimplehin ang expression:

1. Isulat natin ang produkto ng mga fraction: sa numerator ang produkto ng mga numerator, at sa denominator ang produkto ng mga denominator:

2. Isinasaalang-alang namin ang bawat bracket:

Ngayon kailangan nating bawasan ang parehong mga multiplier. Tandaan na ang mga expression at naiiba lamang sa sign: at bilang isang resulta ng paghahati ng unang expression sa pangalawa, makakakuha tayo ng -1.

Kaya,

Ginagawa namin ang paghahati ng mga algebraic fraction ayon sa sumusunod na panuntunan:

I.e Upang hatiin sa isang fraction, kailangan mong i-multiply sa "inverted" isa.

Nakikita natin na ang paghahati ng mga fraction ay nababawasan sa multiplikasyon, at Ang multiplikasyon sa huli ay bumababa sa pagbabawas ng mga fraction.

Isaalang-alang ang isang halimbawa:

4. Pasimplehin ang expression:

Batay sa kanilang pangunahing pag-aari: kung ang numerator at denominator ng isang fraction ay hinati sa parehong non-zero polynomial, kung gayon ang isang fraction na katumbas nito ay makukuha.

Maaari mo lamang bawasan ang mga multiplier!

Hindi maaaring bawasan ang mga miyembro ng polynomial!

Upang bawasan ang isang algebraic fraction, ang mga polynomial sa numerator at denominator ay dapat munang i-factor.

Isaalang-alang ang mga halimbawa ng pagbawas ng fraction.

Ang numerator at denominator ng isang fraction ay monomials. Sila ay kumakatawan trabaho(mga numero, variable at kanilang mga antas), mga multiplier pwede nating bawasan.

Binabawasan namin ang mga numero sa pamamagitan ng kanilang pinakamalaking karaniwang divisor, iyon ay, sa pamamagitan ng pinakamalaking bilang kung saan ang bawat isa sa mga ibinigay na numero ay nahahati. Para sa 24 at 36, ito ay 12. Pagkatapos ng pagbawas mula sa 24, 2 ang nananatili, mula 36 - 3.

Binabawasan namin ang mga degree sa pamamagitan ng degree na may pinakamaliit na indicator. Upang bawasan ang isang fraction ay nangangahulugan na hatiin ang numerator at denominator sa parehong divisor, at ibawas ang mga exponent.

Ang a² at a⁷ ay binabawasan ng a². Kasabay nito, ang isa ay nananatili sa numerator mula sa a² (nagsusulat kami ng 1 lamang kung walang ibang mga salik na natitira pagkatapos ng pagbawas. 2 ay nananatili mula sa 24, kaya hindi namin isusulat ang 1 na natitira mula sa a²). Mula sa a⁷ pagkatapos ng pagbabawas ay nananatiling a⁵.

b at b ay dinaglat ng b, ang mga resultang yunit ay hindi nakasulat.

Ang c³º at c⁵ ay binabawasan ng c⁵. Mula sa c³º, nananatili ang c²⁵, mula sa c⁵ - unit (hindi namin ito isinusulat). kaya,

Ang numerator at denominator ng algebraic fraction na ito ay mga polynomial. Imposibleng bawasan ang mga tuntunin ng polynomials! (hindi maaaring bawasan, halimbawa, 8x² at 2x!). Upang mabawasan ang fraction na ito, ito ay kinakailangan. Ang numerator ay may karaniwang salik na 4x. Alisin natin ito sa mga bracket:

Parehong may parehong salik ang numerator at denominator (2x-3). Binabawasan namin ang fraction sa pamamagitan ng salik na ito. Nakakuha kami ng 4x sa numerator, 1 sa denominator. Ayon sa 1 property ng algebraic fractions, ang fraction ay 4x.

Maaari mo lamang bawasan ang mga kadahilanan (hindi mo maaaring bawasan ang isang partikular na bahagi ng 25x²!). Samakatuwid, ang mga polynomial sa numerator at denominator ng isang fraction ay dapat i-factor.

Ang numerator ay ang buong parisukat ng kabuuan, at ang denominator ay ang pagkakaiba ng mga parisukat. Pagkatapos ng pagpapalawak ng mga formula ng pinaikling multiplikasyon, nakukuha natin ang:

Binabawasan namin ang fraction sa pamamagitan ng (5x + 1) (para dito, sa numerator ay tinatanggal namin ang dalawa bilang isang exponent, mula sa (5x + 1)² ito ay mananatili (5x + 1)):

Ang numerator ay may karaniwang salik na 2, alisin natin ito sa mga bracket. Sa denominator - ang formula para sa pagkakaiba ng mga cube:

Bilang resulta ng pagpapalawak sa numerator at denominator, nakuha namin ang parehong kadahilanan (9 + 3a + a²). Binabawasan namin ang bahagi nito:

Ang polynomial sa numerator ay binubuo ng 4 na termino. ang unang termino na may pangalawa, ang pangatlo ay may pang-apat, at kinuha namin ang karaniwang salik na x² mula sa mga unang bracket. Nabulok namin ang denominator ayon sa pormula para sa kabuuan ng mga cube:

Sa numerator, inaalis namin ang karaniwang salik (x + 2) sa mga bracket:

Binabawasan namin ang fraction sa pamamagitan ng (x + 2):

Ang mga fraction at ang pagbabawas ng mga ito ay isa pang paksa na magsisimula sa ika-5 baitang. Dito nabuo ang batayan ng aksyon na ito, at pagkatapos ang mga kasanayang ito ay hinila ng isang thread sa mas mataas na matematika. Kung hindi natuto ang mag-aaral, maaaring magkaroon siya ng mga problema sa algebra. Samakatuwid, ito ay mas mahusay na upang maunawaan ang ilang mga patakaran minsan at para sa lahat. At tandaan ang isang pagbabawal at huwag na huwag itong sisirain.

Fraction at ang pagbabawas nito

Ano ito, alam ng bawat estudyante. Anumang dalawang digit na matatagpuan sa pagitan ng pahalang na bar ay agad na itinuturing bilang isang fraction. Gayunpaman, hindi lahat ay nauunawaan na ang anumang numero ay maaaring maging ito. Kung ito ay isang integer, maaari itong palaging hatiin ng isa, pagkatapos ay makakakuha ka ng isang hindi tamang fraction. Ngunit higit pa sa na mamaya.

Ang simula ay palaging simple. Una kailangan mong malaman kung paano bawasan ang tamang fraction. Iyon ay, isa na ang numerator ay mas mababa sa denominator. Upang gawin ito, kailangan mong tandaan ang pangunahing pag-aari ng isang fraction. Ito ay nagsasaad na kapag pinarami (pati na rin ang paghahati) nito numerator at denominator sa parehong numero sa parehong oras, isang katumbas na orihinal na fraction ay nakuha.

Ang mga aksyong paghahati na ginagawa sa property na ito ay nagreresulta sa isang pagbawas. Iyon ay, ang maximum na pagpapasimple nito. Maaaring bawasan ang isang fraction hangga't may mga karaniwang salik sa itaas at ibaba ng linya. Kapag wala na sila, imposible ang pagbawas. At sinasabi nila na ang fraction na ito ay hindi mababawasan.

dalawang paraan

1.Hakbang-hakbang na pagbabawas. Gumagamit ito ng paraan ng paghula, kapag ang parehong mga numero ay hinati sa pinakamababang karaniwang kadahilanan na napansin ng mag-aaral. Kung pagkatapos ng unang pagbawas ay malinaw na hindi ito ang katapusan, kung gayon ang paghahati ay magpapatuloy. Hanggang sa ang fraction ay hindi na mababawasan.

2. Paghahanap ng pinakamalaking karaniwang divisor ng numerator at denominator. Ito ang pinaka makatwirang paraan paano bawasan ang mga fraction. Ito ay nagsasangkot ng pagsasaliksik sa numerator at denominator sa mga pangunahing salik. Kabilang sa mga ito, pagkatapos ay kailangan mong piliin ang lahat ng pareho. Ang kanilang produkto ay magbibigay ng pinakamalaking karaniwang kadahilanan kung saan ang fraction ay nababawasan.

Ang parehong mga pamamaraan na ito ay katumbas. Inaanyayahan ang mag-aaral na master ang mga ito at gamitin ang isa na pinakagusto niya.

Paano kung may mga titik at operasyon ng pagdaragdag at pagbabawas?

Sa unang bahagi ng tanong, ang lahat ay higit pa o hindi gaanong malinaw. Ang mga titik ay maaaring paikliin tulad ng mga numero. Ang pangunahing bagay ay kumikilos sila bilang mga multiplier. Pero sa pangalawa, maraming nagkakaproblema.

Mahalagang tandaan! Maaari mo lamang bawasan ang mga numero na mga kadahilanan. Kung terms sila, imposible.

Upang maunawaan kung paano bawasan ang mga fraction na mukhang isang algebraic expression, kailangan mong matutunan ang panuntunan. Una, ipahayag ang numerator at denominator bilang isang produkto. Pagkatapos ay maaari mong bawasan kung may mga karaniwang kadahilanan. Para sa representasyon bilang mga multiplier, ang mga sumusunod na trick ay kapaki-pakinabang:

• pagpapangkat;
• bracketing;
• aplikasyon ng mga pinaikling pagkakakilanlan ng multiplikasyon.

Bukod dito, ang huling paraan ay ginagawang posible upang agad na makakuha ng mga termino sa anyo ng mga kadahilanan. Samakatuwid, dapat itong palaging gamitin kung ang isang kilalang pattern ay nakikita.

Ngunit hindi pa ito nakakatakot, pagkatapos ay lilitaw ang mga gawain na may mga degree at ugat. Iyan ay kapag kailangan mong mag-ipon ng lakas ng loob at matuto ng ilang mga bagong panuntunan.

Pagpapahayag ng kapangyarihan

Maliit na bahagi. Ang produkto sa numerator at denominator. May mga letra at numero. At itinataas din sila sa isang kapangyarihan, na binubuo rin ng mga termino o mga kadahilanan. May dapat ikatakot.

Upang malaman kung paano bawasan ang mga fraction na may mga kapangyarihan, kailangan mong matutunan ang dalawang puntos:

• kung mayroong isang kabuuan sa exponent, kung gayon maaari itong mabulok sa mga kadahilanan, na ang mga kapangyarihan ay magiging orihinal na mga termino;
• kung ang pagkakaiba, pagkatapos ay sa dibidendo at ang divisor, ang una sa antas ay mababawasan, ang pangalawa - ibawas.

Pagkatapos makumpleto ang mga hakbang na ito, makikita ang mga karaniwang multiplier. Sa ganitong mga halimbawa, hindi kinakailangang kalkulahin ang lahat ng kapangyarihan. Ito ay sapat na upang bawasan lamang ang mga degree na may parehong mga tagapagpahiwatig at base.

Upang sa wakas ay makabisado kung paano bawasan ang mga fraction na may mga kapangyarihan, kailangan mo ng maraming pagsasanay. Pagkatapos ng ilang halimbawa ng parehong uri, awtomatikong isasagawa ang mga aksyon.

Paano kung ang expression ay naglalaman ng isang ugat?

Maaari din itong paikliin. Muli, sundin lamang ang mga patakaran. Bukod dito, lahat ng inilarawan sa itaas ay totoo. Sa pangkalahatan, kung ang tanong ay kung paano bawasan ang isang bahagi na may mga ugat, pagkatapos ay kailangan mong hatiin.

Maaari rin itong hatiin sa mga hindi makatwirang ekspresyon. Iyon ay, kung ang numerator at denominator ay may parehong mga kadahilanan na nakapaloob sa ilalim ng root sign, maaari silang ligtas na mabawasan. Ito ay gawing simple ang expression at makakuha ng trabaho tapos na.

Kung, pagkatapos ng pagbawas, ang irrationality ay nananatili sa ilalim ng linya ng fraction, pagkatapos ay kailangan mong mapupuksa ito. Sa madaling salita, i-multiply dito ang numerator at denominator. Kung pagkatapos ng operasyong ito, lumitaw ang mga karaniwang kadahilanan, kakailanganin itong bawasan muli.

Iyon, marahil, ay tungkol sa kung paano bawasan ang mga fraction. Ilang mga patakaran, ngunit isang pagbabawal. Huwag kailanman bawasan ang mga tuntunin!

Ipinagpapatuloy ng artikulong ito ang tema ng pagbabagong-anyo ng mga algebraic fraction: isaalang-alang ang naturang aksyon bilang ang pagbabawas ng mga algebraic fraction. Tukuyin natin ang mismong termino, bumalangkas ng abbreviation rule at suriin ang mga praktikal na halimbawa.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kahulugan ng Algebraic Fraction Abbreviation

Sa mga materyales sa ordinaryong fraction, isinasaalang-alang namin ang pagbawas nito. Tinukoy namin ang pagbawas ng isang karaniwang fraction bilang paghahati ng numerator at denominator nito sa isang karaniwang salik.

Ang pagbabawas ng isang algebraic fraction ay isang katulad na operasyon.

Kahulugan 1

Algebraic fraction reduction ay ang paghahati ng numerator at denominator nito sa pamamagitan ng isang karaniwang salik. Sa kasong ito, hindi tulad ng pagbabawas ng isang ordinaryong fraction (isang numero lamang ang maaaring maging isang karaniwang denominator), isang polynomial, sa partikular, isang monomial o isang numero, ay maaaring magsilbi bilang isang karaniwang kadahilanan para sa numerator at denominator ng isang algebraic fraction.

Halimbawa, ang algebraic fraction na 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 ay maaaring bawasan ng bilang 3, bilang isang resulta ay nakukuha natin ang: x 2 + 2 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 . Maaari nating bawasan ang parehong fraction ng variable na x, at ito ay magbibigay sa atin ng expression na 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2 . Posible rin na bawasan ang isang binigay na fraction ng isang monomial 3 x o alinman sa mga polynomial x + 2 y, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y o 3 x 2 + 6 x y.

Ang pangwakas na layunin ng pagbabawas ng isang algebraic fraction ay isang fraction ng isang mas simpleng anyo, sa pinakamahusay na isang irreducible fraction.

Ang lahat ba ng algebraic fraction ay napapailalim sa pagbabawas?

Muli, mula sa mga materyales sa mga ordinaryong praksyon, alam natin na mayroong mababawas at hindi mababawasan na mga praksyon. Hindi mababawasan - ito ay mga fraction na walang mga karaniwang salik ng numerator at denominator, maliban sa 1.

Sa mga algebraic fraction, ang lahat ay pareho: maaaring mayroon o wala silang mga karaniwang salik ng numerator at denominator. Ang pagkakaroon ng mga karaniwang kadahilanan ay nagpapahintulot sa iyo na gawing simple ang orihinal na bahagi sa pamamagitan ng pagbawas. Kapag walang karaniwang mga kadahilanan, imposibleng i-optimize ang isang naibigay na fraction sa pamamagitan ng paraan ng pagbabawas.

Sa mga pangkalahatang kaso, para sa isang partikular na uri ng fraction, medyo mahirap maunawaan kung ito ay napapailalim sa pagbawas. Siyempre, sa ilang mga kaso, ang pagkakaroon ng isang karaniwang kadahilanan ng numerator at denominator ay halata. Halimbawa, sa algebraic fraction 3 · x 2 3 · y medyo malinaw na ang common factor ay ang number 3 .

Sa isang fraction - x · y 5 · x · y · z 3 agad din nating naiintindihan na posibleng bawasan ito ng x, o y, o ng x · y. Gayunpaman, ang mga halimbawa ng mga algebraic fraction ay mas karaniwan, kapag ang karaniwang kadahilanan ng numerator at denominator ay hindi madaling makita, at mas madalas - ito ay wala lamang.

Halimbawa, maaari nating bawasan ang fraction x 3 - 1 x 2 - 1 ng x - 1, habang ang tinukoy na common factor ay wala sa talaan. Ngunit ang fraction na x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 x + 4 ay hindi maaaring bawasan, dahil ang numerator at denominator ay walang karaniwang salik.

Kaya, ang tanong ng pag-alam sa contractibility ng isang algebraic fraction ay hindi gaanong simple, at kadalasan ay mas madaling magtrabaho sa isang fraction ng isang naibigay na form kaysa subukang alamin kung ito ay contractible. Sa kasong ito, ang mga naturang pagbabago ay nagaganap na sa mga partikular na kaso ay nagpapahintulot sa amin na matukoy ang karaniwang kadahilanan ng numerator at denominator o upang tapusin na ang fraction ay hindi mababawasan. Susuriin namin ang isyung ito nang detalyado sa susunod na talata ng artikulo.

Panuntunan sa pagbabawas ng algebraic fraction

Panuntunan sa pagbabawas ng algebraic fraction ay binubuo ng dalawang magkasunod na hakbang:

• paghahanap ng mga karaniwang salik ng numerator at denominator;
• sa kaso ng paghahanap ng tulad, ang pagpapatupad ng direktang aksyon ng pagbabawas ng fraction.

Ang pinaka-maginhawang paraan para sa paghahanap ng mga common denominator ay ang pag-factorize ng mga polynomial na nasa numerator at denominator ng isang ibinigay na algebraic fraction. Nagbibigay-daan ito sa iyo na makita agad ang presensya o kawalan ng mga karaniwang salik.

Ang mismong aksyon ng pagbabawas ng isang algebraic fraction ay batay sa pangunahing katangian ng isang algebraic fraction, na ipinahayag ng pagkakapantay-pantay na hindi natukoy , kung saan ang a , b , c ay ilang polynomial, at ang b at c ay hindi zero. Ang unang hakbang ay bawasan ang fraction sa anyong a c b c , kung saan agad nating napapansin ang karaniwang salik c . Ang ikalawang hakbang ay upang maisagawa ang pagbabawas, i.e. paglipat sa isang fraction ng anyong a b .

Mga karaniwang halimbawa

Sa kabila ng ilang malinaw, linawin natin ang tungkol sa espesyal na kaso kapag ang numerator at denominator ng isang algebraic fraction ay pantay. Ang mga katulad na fraction ay magkaparehong katumbas ng 1 sa buong ODZ ng mga variable ng fraction na ito:

5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1 ; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 x - x 2 y 1 2 x - x 2 y ;

Dahil ang mga ordinaryong fraction ay isang espesyal na kaso ng mga algebraic fraction, alalahanin natin kung paano sila nababawasan. Ang mga natural na numero na nakasulat sa numerator at denominator ay nabubulok sa mga pangunahing kadahilanan, pagkatapos ay ang mga karaniwang kadahilanan ay nababawasan (kung mayroon man).

Halimbawa, 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

Ang produkto ng simpleng magkatulad na mga kadahilanan ay maaaring isulat bilang mga degree, at sa proseso ng pagbawas ng fraction, gamitin ang pag-aari ng paghahati ng mga degree na may parehong mga base. Kung gayon ang solusyon sa itaas ay magiging:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(numerator at denominator na hinati sa isang karaniwang salik 2 2 3). O, para sa kalinawan, batay sa mga katangian ng pagpaparami at paghahati, ibibigay namin ang solusyon sa sumusunod na anyo:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

Sa pamamagitan ng pagkakatulad, ang pagbabawas ng mga algebraic fraction ay isinasagawa, kung saan ang numerator at denominator ay may mga monomial na may integer coefficients.

Halimbawa 1

Nabigyan ng algebraic fraction - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z . Kailangan itong bawasan.

Desisyon

Posibleng isulat ang numerator at denominator ng isang binigay na fraction bilang produkto ng prime factor at variable, at pagkatapos ay bawasan ang:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 3 a a a a a b b c z 2 3 a a b b c c c c c c c c z = - 3 3 a a a 2 c c c c c c c c c = - 9 a 3 2 c 6

Gayunpaman, ang isang mas makatwirang paraan ay ang pagsulat ng solusyon bilang isang pagpapahayag na may mga kapangyarihan:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 a 5 b 2 c z 2 3 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 2 3 a 5 a 2 b 2 b 2 c c 7 z z = = - 3 3 - 1 2 a 5 - 2 1 1 1 c 7 - 1 1 = - 3 2 a 3 2 c 6 = - 9 a 3 2 c 6 .

Sagot:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6

Kapag mayroong mga fractional numerical coefficient sa numerator at denominator ng isang algebraic fraction, mayroong dalawang posibleng paraan ng karagdagang pagkilos: alinman sa hiwalay na hatiin ang mga fractional coefficient na ito, o alisin muna ang mga fractional coefficient sa pamamagitan ng pagpaparami ng numerator at denominator sa ilang natural na numero . Ang huling pagbabago ay isinasagawa dahil sa pangunahing pag-aari ng isang algebraic fraction (maaari mong basahin ang tungkol dito sa artikulong "Pagbawas ng isang algebraic fraction sa isang bagong denominator").

Halimbawa 2

Ibinigay ang isang fraction 2 5 x 0 , 3 x 3 . Kailangan itong bawasan.

Desisyon

Posibleng bawasan ang fraction sa ganitong paraan:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

Subukan nating lutasin ang problema sa ibang paraan, na dati nang naalis ang mga fractional coefficients - pinaparami natin ang numerator at denominator sa hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga denominator ng mga coefficient na ito, i.e. bawat LCM(5, 10) = 10. Pagkatapos makuha namin:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.

Sagot: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

Kapag binabawasan natin ang mga pangkalahatang algebraic fraction, kung saan ang mga numerator at denominator ay maaaring parehong monomial at polynomial, ang isang problema ay posible kapag ang karaniwang kadahilanan ay hindi palaging nakikita kaagad. O higit pa riyan, wala lang ito. Pagkatapos, upang matukoy ang karaniwang salik o ayusin ang katotohanan ng kawalan nito, ang numerator at denominator ng algebraic fraction ay pinapangkat.

Halimbawa 3

Ibinigay ang rational fraction 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 . Kailangan itong paikliin.

Desisyon

I-factor natin ang mga polynomial sa numerator at denominator. Gawin natin ang mga panaklong:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)

Nakikita namin na ang expression sa mga bracket ay maaaring ma-convert gamit ang mga pinaikling formula ng multiplikasyon:

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

Malinaw na nakikita na posible na bawasan ang fraction sa pamamagitan ng isang karaniwang kadahilanan b 2 (a + 7). Gumawa tayo ng pagbawas:

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Sumulat kami ng isang maikling solusyon nang walang paliwanag bilang isang kadena ng pagkakapantay-pantay:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Sagot: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b .

Nangyayari na ang mga karaniwang kadahilanan ay nakatago sa pamamagitan ng mga numerical coefficient. Pagkatapos, kapag binabawasan ang mga fraction, pinakamainam na kunin ang mga numerical factor sa mas mataas na kapangyarihan ng numerator at denominator.

Halimbawa 4

Nabigyan ng algebraic fraction 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 . Dapat bawasan ito kung maaari.

Desisyon

Sa unang tingin, ang numerator at denominator ay walang common denominator. Gayunpaman, subukan nating i-convert ang ibinigay na fraction. Kunin natin ang factor x sa numerator:

1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2

Ngayon ay makikita mo ang ilang pagkakatulad sa pagitan ng expression sa mga bracket at ng expression sa denominator dahil sa x 2 y . Kunin natin ang mga numerical coefficient sa mas mataas na kapangyarihan ng mga polynomial na ito:

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10

Ngayon ang karaniwang multiplier ay makikita, isinasagawa namin ang pagbawas:

2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

Sagot: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .

Bigyang-diin natin na ang kasanayan sa pagbabawas ng mga rational fraction ay nakasalalay sa kakayahang mag-factorize ng mga polynomial.

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter